PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ OXY BẰNG CÁCH KHAI THÁC MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÌNH HỌC PHẲNG
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Luật giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam qui định về giáo dục phổ
thông như sau : “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác
chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, từng môn
học, bồi dưỡng năng lực tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,
(Luật giáo dục chương II, mục 2, điều 28).
tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh”.
Trong công cuộc đổi mới giáo dục Bộ giáo dục và Đào tạo tiến hành theo ba hướng :
+ Đổi mới chương trình và sách giáo khoa.
+ Đổi mới phương pháp dạy học.
+ Đổi mới cách kiểm tra đánh giá học sinh.
Đi đôi với đối mới sách giáo khoa,đổi mới chương trình dạy học là đổi mới phương
pháp dạy học. Vấn đề đổi mới phương pháp dạy học để phát huy năng lực của học
sinh là một đòi hỏi cấp bách trong tiến trình đổi mới giáo dục hiện nay.
Trong những năm qua, các thầy, cô giáo Tổ Toán trường THPT Long Khánh đã có
nhiều cố gắng trong việc đổi mới và cải tiến phương pháp dạy học. Tuy nhiên các
thầy, cô vẫn còn gặp những vướng mắc nhất định, nhất là các vấn đề khó. Trong các
đề thi đại học trong các năm học gần đây. Đặc biệt chuẩn bị cho kỳ thi : “Trung học
phổ thông Quốc Gia”, bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng là câu khó không
những đối với học sinh mà giáo viên cũng lúng túng. Làm sao để dạy cho học sinh tiếp
thu được kiến thức này một cách tốt nhất, chủ động, tích cực sáng tạo, để các em đạt
được kết quả cao trong kỳ thi ? làm sao để cùng các đồng nghiệp giải quyết được
những vướng mắc về dạng Toán này ? Bởi vậy qua nhiều lần trao đổi cùng các đồng
nghiệp và học sinh, chúng tôi thấy cần thiết phải có các giải pháp về dạy học chủ đề
này nhằm nâng cao chất lượng học tập của các em không những tại đơn vị mình mà
còn cho học sinh và các đồng nghiệptrong các đơn vị khác.
1
Môn hình học giải tích trong mặt phẳng là một nội dung cơ bản trong chương trình
hình học, mà học sinh được học ở lớp 10. Để giải loại toán này học sinh phải có kiến
thức tổng hợp,biết vận dụng các kiến thức hình học phẳng và khả năng phán đoán ,
khả năng cảm nhận , trực quan hình học tốt. Thực sự đây là loại toán rèn luyện được
nhiều phẩm chất tư duy cho học sinh.Bởi vậy các bài toán về hình học giải tích trong
mặt phẳng Oxy gắn với tính chất của hình học phẳng là bài toán khó trong các kỳ thi
tuyển sinh đại học, các kỳ thi chọn học sinh giỏi. Bài toán về hình giải tích trong mặt
phẳng được hình thành theo hai hướng là :
+ Tham số hóa bài toán hình học , chuyển về “ Đại số”.
+ Khai thác các tính chất của hình học phẳng từ đó mới “ Đại số hóa”.
Qua hơn ba mươi năm trong dạy học, chúng tôi thấy học sinh thường làm được các bài
toán dạng này khi bài toán không đòi hỏi học sinh phải khai thác tính chất của hình
học phẳng, mả chỉ cần “ Đại số hóa bài toán hình học ”. Các em rất lúng túng khi gặp
các bài Toán mà giả thiết “ ẩn” dưới dạng phải “ Khai thác các tính chất của hình
học phẳng ” mới giải được. Bởi vậy trong sáng kiến này chúng tôi đề cập đến “ khai
thác các tính chất của hình học phẳng” để giải loại toán này. Đây là mấu chốt để
giúp cho các em có căn cứ suy luận tìm được lời giải cho loại Toán này. Qua đây để
phát huy được các khả năng tư duy Toán học của học sinh .
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỂN:
a) Phương pháp dạy học nêu vấn đề là phương pháp dạy học trong đó giáo viên
tạo ra các tình huống có vấn đề, tổ chức để học sinh tìm tòi giải quyết các vấn đề đó.
Phương pháp dạy học nêu vấn đề rất thích hợp trong dạy học môn Toán.
Với môn hình học phương pháp này phát huy được các ưu điểm:
- Phương pháp này góp phần tích cực vào rèn luyện tư duy phê phán, tư duy sáng
tạo cho học sinh.
- Phương pháp này tạo cho học sinh có hứng thú trong học tập.
- Thông qua phương pháp học sinh tiếp thu kiến thức chủ động, sáng tạo.
- Phương pháp này đòi hỏi giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian và công sức.
Bởi vậy năng lực của giáo viên cũng được rèn luyện và phát triển.
2
b) Kiến thức hình học giải tích trong mặt phẳng học sinh được học từ lớp 10, tuy
nhiên với đặc điểm tư duy các em còn hạn chế khi phải tiếp thu kiến thức mới, nên yêu
cầu còn chưa cao. Chủ yếu là yêu cầu các em hoàn thiện các kiến thức cơ bản.
c) Khó khăn:
+ Học sinh rất yếu với môn học “Hình học phẳng” vốn chỉ được học ở cấp hai.
+ Học sinh không có thói quen “ Khai thác các tính chất của hình học phẳng” để giải
+ Số tiết luyện tập ít nên rèn luyện kĩ năng nâng cao là không thực hiện được.
bài toán “ hình giải tích trong mặt phẳng”.
+ Thực tế bài tập thi yêu cầu cao, đa dạng, đòi hỏi có nhiều kỉ năng, kỉ xảo bởi vậy
học sinh phải được luyện tập nhiều.
+ Số lượng bài tập tham khảo không đầy đủ và đồng bộ.
Từ các thực tế nói trên, mục đích của đề tài là:
+ Xây dựng được phương pháp tìm tòi có căn cứ để giải được bài toán
+ Góp phần giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức, hứng thú trong học tập từ
đó vận dụng để giải tốt các bài tập về hình học phẳng oxy, đạt được các kết quả cao
trong các kỳ thi vào đại học, thi chọn học sinh giỏi.
Để tìm được hướng đi cho lời giải, đó là chất “men” để học sinh có hứng thú khi học
bài. Thế nhưng dựa vào đâu để tìm tòi? Theo tôi đó là dấu hiệu của mỗi phương pháp.
Chúng ta phải làm cho học sinh tiếp cận được với những dấu hiệu đó. Để phát hiện ra
các dấu hiệu theo chúng tôi.
- Dựa vào các tính chất trong hình học phẳng.
- Dùng trực giác để từ hình vẽ tìm thấy nét đặc biệt trong các quan hệ của các
yếu tố về điểm, đường thẳng, dùng giả thiết để kết nối các mối quan hệ đó lại.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN:
A.Một số kiến thức liên quan:
I.Vectơ:
Cho và
cùng phương và
Nếu và ,thì:
cùng phương
3
II. Đường thẳng:
được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của nó song 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng Vectơ
song hoặc trùng với .
là một VTCP của thì (k 0) cũng là một VTCP của .
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.
là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu giá của nó vuông góc với .
là một VTPT của thì
(k 0) cũng là một VTPT của . – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT. là một VTPT của thì – Nếu là một VTCP và .
Nhận xét:– Nếu 2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Vectơ Nhận xét: – Nếu 3. Phương trình tham số của đường thẳng Cho đường thẳng đi qua và có VTCP .
Phương trình tham số của : ( t là tham số).
Nhận xét: – M(x; y) t R: .
4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Cho đường thẳng đi qua và có VTCP .
Phương trình chính tắc của : (2) (u1 0, u2 0).
5. Phương trình tham số của đường thẳng PT với
và VTCP là phương trình tổng quát của đường thẳng. thì có: .
Nhận xét: – Nếu có phương trình hoặc và có VTPT VTPT là – Nếu đi qua thì phương trình của là:
đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b 0): Phương trình của : .
(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn). và có hệ số góc k: Phương trình của :
đi qua điểm (phương trình đường thẳng theo hệ số góc)
6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
. và 2:
Cho hai đường thẳng 1: Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:
(1)
4
(nếu ) 1 cắt 2 hệ (1) có một nghiệm
(nếu ) 1 // 2 hệ (1) vô nghiệm
(nếu ) 1 2 hệ (1) có vô số nghiệm
7. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: và 2:
.
Cho 1:
, 2: + 1 // 2 k1 = k2 thì: + 1 2 k1. k2 = –1.
Chú ý: 1 2 8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng : và điểm .
Cho đường thẳng : và hai điểm
Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng – M, N nằm cùng phía đối với . .
– M, N nằm khác phía đối với
cắt nhau. Cho hai đường thẳng 1: và 2:
. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là:
III. Đường tròn:
1)Đường tròn(C) có tâm bán kình R có phương trình là:
2)Phương trình ,điều kiện: >0 là phương trình
đường tròn có tâm I(a;b) bán kính
3)Phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C): tại
là:
5
B.CÁC GIẢI PHÁP
Ví dụ mở đầu :
Trong sách giáo khoa “ Hình học lớp 10 nâng cao của nhà xuất bản Giáo Dục” có
nêu ví dụ : “ Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại
tiếp O.
a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh
b) Chứng minh
c) Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng.”
(Trang 21 sách giáo khoa Hình Học lớp 10 nâng cao )
Đường thẳng đi qua ba điểm : O, G, H gọi là đường thẳng Ơle.
Chúng ta phân tích bài tập sau : “ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam
giác ABC có trực tâm H(3;-2), tâm đường tròn ngoại tiếp O(8;11) và hình chiếu của A
xuống BC là K(4;-1).Xác định tọa độ các đỉnh A,B,C.
6
Từ gỉa thiết bài toán ta dễ dàng viết được phương trình đường thẳng BC ( đi qua K và
có véc tơ pháp tuyến ). Do đó ta xác định được trung điểm I của BC. Điều gì xảy
ra khi biết được tọa độ ba điểm H, O, I ? Điểm A có liên quan gì đến O , H , I ?Từ hệ
thức véc tơ đã nói ở trên ta xác định được tọa độ điểm A. Xác định được tọa
độ A chính là giải quyết được điểm then chốt của bài toán. Từ đây ta viết được
phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giao điểm của đường tròn với BC
là B, C cần tìm.
Như vậy để giải được bài toán này các em vận dụng tính chất của hình học phẳng, đó
là . Ngoài ra nếu ta suy nghỉ thêm chút nữa là ngoài điểm A ở trên đường
tròn mà ta xác định được tọa độ, còn có thể xác định được điểm nào nữa ?
Ta cũng thấy điểm H’ đối xứng với H qua BC là điểm thuộc đường tròn. Có tọa độ H
và có phương trình BC thì xác định được tọa độ H’. Như vậy,ở đây chúng ta lại khai
thác một tính chất nũa của hình học phẳng đó là : “ Trong một tam giác điểm đối xứng
với trực tâm qua một cạnh thì nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác”.
Một ví dụ tiếp theo : “ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
A(1;4), tiếp tuyến với đường tròn ( O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường
phân giác trong của góc ADB có phương trình x – y + 2 = 0, điểm M(4;-1) thuộc cạnh
AC . Viết phương trình đường thẳng AB” .
7
Để viết được phương trình cạnh AB , vì có A(1;4) vậy tìm thêm điểm nữa thuộc AB?
Tại sao đề bài lại cho điểm M trên cạnh AC ? Điểm M liên quan gì đến điểm cần tìm
trên cạnh AB ? Nếu biết được phương trình đường phân giác góc BAC thì kết hợp với
M ta tìm được điểm trên cạnh AB . Lời giải bài toán có chiều hướng tốt . Vậy làm
cách nào để viết được phương trình phân giác góc BAC ? Bằng trực quan ta dự đoán
phân giác góc BAC và phân giác góc ADB vuông góc với nhau .N ếu điều đó xảy ra
thì tam giác ADI phải cân tại D . Cuối cùng ta phải chứng minh một bài Toán hình học
phẳng là : “ Tam giác ADI cân tại D” . Bài tập này các em phải có khả năng suy luận ,
khả năng phán đoán và kỷ năng chứng minh hình học phẳng .
Bài tập này được giải như sau :
+Chứng minh tam giác ADI cân tại D
Góc ABC = góc DAC ; góc BAI = góc IAC . Vậy góc IAD = góc IAC+ góc CAD =
góc ABC + góc BAI = góc AID .Do đó tam giác ADI cân tại D.
+Do tam giác ADI cân tại D và DE là phân giác của góc ADI nên DE vuông góc với
AI . Từ đó phương trình AI là : x+ y – 5 = 0
+ M’ là điểm đối xứng M qua AI , suy ra M’(4;9)
+ Phương trình AB là 5x – 3y + 7 = 0
8
Tóm lại để giải các bài toán trên chúng ta phải biết khai thác các tính chất của hình
học phẳng. Trong quá trình dạy học về loại Toán dạng này mà giả thiết “ ẩn” chúng
tôi luôn luôn cố gắng hướng dẫn các em tìm tòi để khai thác các tính chất của hình
học phẳng , từ đó các em biết vận dụng vào giải các bài toán hình học giải tích trong
mặt phẳng một cách tốt nhất.Qua việc tìm tòi lời giải phát huy được tư duy sáng tạo
cho các em trong học tập.Trong quá trình hướng dẫn các em , chúng tôi xây dựng
được các giải pháp để giải loại Toán này.Sau đây chúng tôi xin phép lần lượt trình bày
các giải pháp trong sáng kiến kinh ngiệm này.
Giải pháp 1: Khai thác các tính chất đường phân giác.
Tính chất: Hai đường thẳng cắt nhau tại I, đường phân giác của góc của
là (d).M là điểm , và M’ là điểm đối xứng với M qua (d), thì M’
Chứng minh:
M’ đối xứng với M qua(d)MIM’cân tạ I (d) là phân giác của M’
Trong số các bài toán về hình phẳng có khá nhiều bài giả thiết cho phương trình
đường phân giác của một góc tam giác. Khai thác được tính chất gì của đường phân
giác ? Đó là khi biết tọa độ của điểm trên một tia của góc thì ta xác định được điểm
đối xứng của nó qua đường phân giác trên tia còn lại.
Ví dụ 1:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, có đỉnh B(-4;1), trọng
tâm G(1;1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình
.Tìm tọa độ A và C.
(Đề thi khối D-2011)
*Tìm tòi lời giải: 9
M là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác.Từ mối quan hệ ba điểm
B;G;M em tìm tọa độ điểm nào? Từ đó các em tìm được tọa đọ diểm M.
AD là phân giác trong của góc A, B là điểm biết tọa độ thuộc AB, vậy điểm K đối
xứng B qua AD thuộc đường thẳng nào? Áp dụng tính chất đường phân giác các em
phát hiện K thuộc AC.
Do M và K là các điểm thuộc AC vậy phương trình AC viết được, suy ra tọa độ A và
C.
*Lời giải:
Tìm tọa độ ,theo tính chất trọng tâm G, có:
Tìm tọa độ K đối xứng với B qua AD. I là trung điểm BK
với vectơ chỉ phương của AD là .Ta có
.Mà I AD Từ đó K(2;-5)
+Phương trình AC là:
+Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy A (4;3).
+Tọa độ C:
M là trung điểm AC, ta có:
10
Vậy C (3;-1).
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, phân giác trong của
góc A có phương trình: , đường cao kẻ từ B có phương trình:
, H (-1;-1) là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm tọa độ C?
(Đề thi khối B – 2008)
*Tìm tòi lời giải:
AD là phân giác góc A, H thuộc AB. K là điểm đối xứng với H qua AB K thuộc
AC. Trên đường thẳng AC xác định được tọa độ điểm K, đường thẳng AC đi qua K và
vuông góc với BE phương trình AC tọa độ A. Do A và H xác định được tọa độ
nên viết được phương trình AB, tìm được B, phương trình AC tọa độ C.
*Lời giải:
K là điểm đối xứng với H qua AD K (-3;1). AC qua K và vuông góc với BE
phương trình AC: , tọa độ A (5;7), CH qua H và vuông góc với AH có
phương trình . Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình:
.
Vậy C .
Ví dụ 3:
11
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giac ABC vuông tại A, B và C đối xứng
qua gốc tọa độ O, đường phân giác trong của góc B có phương trình
(d): .K(6;2)AC.Tìm tọa độ các đỉnh tam giác.
*Tìm tòi lời giải:
H là điểm đối xứng với O qua phân giác BD, xác định tọa độ H.
BBD: B(5-2t; t) C(2t-5; -t)
Các em phải tìm một phương trình với ẩn t. Xét mối quan hệ và ? Học sinh
phát hiện được tính vuông góc của hai vectơ vậy .Với phương trình vừa
xác lập được ta tìm được t tức là xác định được tọa độ B, từ đó tìm được tọa độ C. A là
giao điểm của CK và BH, vậy tìm được tọa độ A.
*Lời giải:
H là điểm đối xứng với O qua BDHAB và H(2;4)
BBDB(5-2t; t), C là điểm đối xứng B qua O vậy C(2t-5; -t)
=(2t-11; -t-2), =(3-2t; t-4)
Vì G(-3;-1) và H(2; 4) ở về cùng phía so với BD nên (loại) (loại).
Vì và H(2; 4) ở về hai phía nên (nhận) (nhận).
Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy B(3;1) C(5;-5)
Ví dụ 4:
12
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A,C(-4;1), phân giác
trong của góc A có phương trình: .Viết phương trình BC, biết diện tích
ABC =24 và x>0.
*Tìm tòi lời giải:
Để viết được phương trình BC ta phải xác định được tọa độ B. D là điểm đối xứng của
C qua phân giác trong của góc A thì DAB và D xác định được tọa độ.
AADA(a; 5-a). Để xác định được a ta phải giải quyết được phương trình với ẩn a?
Từ đó hướng các em về tính chất vuông góc tại A. Tìm được tọa độ A dẫn tới có
phương trình đường thẳng AD. Dùng tính chất BAD và diện tích tam giác ta tìm
được B.
*Lời giải:
+D là điểm đối xứng với C qua đường phân giác trong của góc A D(4;9)
+Aphân giác góc AA(a;5-a); A(4;1)AC=8
+Phương trình AD: x=4B(4;b)
+Diện tích ABC =24 AB=6 .Vì và cùng hướng nên b=7.Vậy
B(4; 7) BC:
Ví dụ 5:
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC biết B(2;-1) phương trình đường
cao AH: ; đường phân giác trong CD của góc C có phương
trình: . Lập phương trình ba cạnh tam giác.
*Tìm tòi lời giải:
13
B’ là điểm đối xứng của B qua phân giác AD thì B’ xác định được tọa độ. Đường
thẳng BC qua B và vuông góc với AH viết được phương trình BC. Từ đó tìm được
tọa độ C.
Đường thẳng AC qua B’và C xác định được tọa độ nên phương trình AC xác định
được. Do đó tọa độ A xác định được từ đó viết được phương trình AB.
*Lời giải:
B’ đối xứng B qua phân giác góc CB’(4;3), BC:
Tọa độ C(-1;3). Phương trình AC: y=3
Tộ độ A(-5;3). Phương trình AB: .
Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;5) , đường
phân giác trong góc BAC có phương trình x – 1 = 0 . Tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác I( , M(10;2) BC .Tìm tọa độ B , C .
*Tìm tòi lời giải :
Với giả thiết ta viết được phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chỉ cần
viết được phương trình BC . Đường phân giác trong của góc A có tác dụng gì ? Từ đó
nếu gọi D là giao của đường phân giác với đường tròn thì cung BD = cung DC , suy ra
DI vuông góc với BC . Đến đây đường thẳng BC xác định được véctơ pháp tuyến .
Lời giải :
14
+Ta chứng minh D là trung điểm của cung BC , suy ra DI vuông góc với BC.
+Phương trình đường tròn (O) :
+D(1;-5)
+Phương trình BC : x -2y – 6 = 0
+ B(-4;5) , C(4;-1)
*Nhận xét:
Qua sáu ví dụ trên, bằng cách cho học sinh phát hiện tính chất điểm đối xứng qua
đường phân giác. Từ đó hình thành cho các em hướng tìm tòi lời giải khi làm bài toán
cho giả thiết về đường phân giác của một góc. Qua đó giúp các em có được đinh
hướng rõ ràng và quá trình tìm tòi lời giải của các em khi gặp bài toán có tình chất
đường phân giác sẽ được nâng lên rõ rệt. Điều đó được thể hiện khi tôi cho các em
làm các bài tập sau.
Bài tập luyện tập
Bài 1.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC, phân giác trong góc A có
phương trình: , đường cao CH có phương trình: . M(0;-1)AC;
AB=3AM. Tìm tọa độ B?
15
Bài 2.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 48. D(-
3;2). Đường phân giác của góc BAD có phương trình: . Tìm tọa độ B biết
> 0.
(Đề thi của trường chuyên Nguyễn Quang Diệu-Đồng Tháp)
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC đường cao AH, phác BD của
góc ABC lần lượt có phương trình: ; ; M(0;2)AB
và AB=2BC. Tìm tọa độ A,B,C ?
Bài 4.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có AC>AB, C(6;0) và hai đường
thẳng d: và d’: trong đó (d) là phân giác trong của góc A,
(d’)AC. (d), (d’) và trung trực BC đồng quy tại 1 điểm. Tìm tọa độ B.
(ĐH Sư phạm Hà Nội)
Bài 5.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC, M(0;-1). Phương trình đường
phân giác trong của góc A là: . Phương trình đường cao kẻ từ C
là: .Đường AC đi qua M và AB=2AM. Tìm B,C ?
(Trường Amsterdam-Hà Nội)
Giải pháp 2: Khai thác điều kiện của hai đường thẳng vuông góc.
+Nếu thì
Các bài toán để khai thác tính chất vuông góc của hai đường thẳng hầu hết tính vuông
góc đều “ẩn”. Dựa vào hình vẽ và bằng trực giác hướng dẫn học sinh phát hiện. Bởi
vậy việc vẽ hình chính xác là một điều kiện dẫn đến sự phán đoán đúng.
Ví dụ 6 : Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân tại A (-1;3), D là
điểm nằm trên cạnh AB sao cho AB = 3AD và H là hình chiếu vuông góc của B lên
CD. Điểm M( là trung điểm của HC. Xác định tọa độ C, biết B thuộc đường
thẳng x + y + 7 = 0.
Tìm tòi lời giải :
16
Đề bài yêu cầu tìm tọa độ điểm C,trong khi ta lại có tọa độ trung điểm M của CH. Vậy
ta phải tìm tọa độ H.Mà H là giao điểm của AH và BH. Để làm được điều đó ta phải
tìm được tọa độ điểm B ? Xét mối quan hệ B với A và M ta phán đoán AM BM Nếu
chứng minh được điều đó bài toán sẽ giải xong.
Để chứng minh AM BM ta có thể dùng phương pháp hình phẳng thông thường hoặc
dùng phương pháp véc tơ hay phương pháp tọa độ. Chúng tôi đưa ra phương pháp tọa
độ như sau :
Chọn hệ trục tọa độ với gốc là I, IC là trục hoành, IA là trục tung. I(0;0) A(0;a),
B C(c;0). Phương trình CD là ax+2cy - ac =0; BH là 2cx – ay +2c = 0 tọa độ
điểm H( , M( .
Tính được :
Lời giải :
AM có phương trình 3x + y = 0 ; BM vuông góc AM, vậy BM có phương trình :
x - 3y – 5 = 0. Tọa độ B(-4 ;-3). Do có D(-2;1). Toa độ H(-1;0), C(2;-3)
Nhận xét :
Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nhìn thấy được AM vuông góc BM. Phát triển tư
duy học sinh là từ chổ tìm tòi lời giải đưa đến phát hiện được tính vuông góc của AM
với BM.
17
Ví dụ 7.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình chử nhật ABCD, có đỉnh B thuộc đường
thẳng và đỉnh C thuộc đường thẳng . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của B xuống AC, M( là trung điểm AH, K(9;2) là trung điểm CD. Tìm
tọa độ các đỉnh của hình chử nhật biết hoành độ của C >4.
(Trích đề thi thử lần 3- 2013 K2pi.net )
Tìm tòi lời giải :
Từ giả thiết, xét mối quan hệ ba điểm B, M, K dựa vào hình vẽ ta phán đoán BM
vuông góc MK ? Nếu đúng thì ta tìm được tọa độ B. Tìm được tọa độ B là bài toán
được giải xong.
Lời giải :
Chứng minh BM MK : Gọi N là trung điểm AB MN là đường trung bình của tam
giác ABH MN AC. Vậy M thuộc đường tròn (C) đường kính MN BM vuông
góc MK (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn đường kính BK).
Đường thẳng MK có phương trình : 2x – 9y = 0.Vì BM MK BM có phương trình
là : 9x +2y – 17 = 0. Tọa độ B(1;4), C thuộc : x – y – 5 = 0 và = 0. Do đó
C(9;4) vì hoành độ C > 4.
Nhận xét : Tại sao ta hướng về mối quan hệ ba điểm B, M,K ? Thực tế là M và K đề
bài cho biết tọa độ, B giả thiết cho thuộc một đường thẳng có phương trình, thực chất
18
cũng cho biết một toa độ.Khi hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải chúng ta nhấn mạnh
điềm này để học sinh có phương hướng, từ đó phát hiện vấn đề là BM MK
Ví dụ 8
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình vuông ABCD, có A(-2;6),
B(d): . M và N là hai điểm trên hai cạnh BC và CD sao cho BM=CN. I
là giao điểm của AM và BN và . Xác định tọa độ C.
*Tìm tòi lời giải:
và
Để giải quyết được điểm B ta phải “kiếm” được phương trình cho ẩn b. Dựa vào hình
vẽ ta phán đoán AMBN. Nếu điều này đúng thì “giải quyết” xong điểm B. Khi tìm
được B thì lập được phương trình BC từ đó tìm được C.
*Lời giải:
+Chứng minh AMBN.
Cách 1: Hướng dẫn các em chứng minh tam giác vuông ABM bằng tam giác vuông
BCN.
Cách 2: Hướng dẫn các em chứng minh
; B(2b-6; b) b=4B(2;4) ; +
+Phương trình BC: C(c;2c). Do BC=ABc=0 hoặc c=4. Vậy C(0;0)
hoặc C(4;8).
Ví dụ 9.
19
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa dộ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(d):
. M(4;0) BC; N(0;2)CD sao cho tam giác MAN cân tại A. Xác định tọa
độ các đỉnh hình vuông.
(Đề thi của trường THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An)
*Tìm tòi lời giải:
Ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm A. Từ yếu tố MCNC ta có được một phương trình
cho C, vì c có hai ẩn vậy phải tìm một phương trình nữa. Dựa vào hình vẽ các em có
thể phán đoán ACMN. Nếu phán đoán đúng thì khi đó ta có ta được
phương trình thứ hai, vậy giải quyết được C. Khi biết được C thì B và D dễ dàng tìm
được. Vậy mấu chốt là chứng minh được ACMN.
*Lời giải:
+Chứng minh ACMN
Do MAN cân tại AMA=NA vậy A thuộc đường trung trực của MN. Do
vuông ABM bằng vuông ADN MB=ND NC=MC vậy C trung trực MN
ACMN.
A(a; a-4). Mặt khác AM=AN a=-1A(-1;-5). +A(d):
+Tìm
Do và ta có C(1;-1) hoặc C(3;3).
Khi C(1;-1)B(-2;-2) và D(2;4) hoặc B(2;-4) và D(-2;-2).
Khi C(3;3)B(5;-3) và D(-3;1) hoặc B(-3;1) và D(5;-3).
Ví dụ 10.
20
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình vuông ABCD, M là trung điểm BC,
là điểm trên cạnh AC sao cho Xác định các đỉnh hình vuông,
biết đường thẳng DM có phương trình: .
*Tìm tòi lời giải:
Bằng trực giác các em có thể phán đoán về sự vuông góc của MN với MD. Nếu có
tính chất vuông góc đó cũng chưa đủ để giải quyết được tọa độ của hai điểm liên quan
là M và D. Dự đoán tam giác MND còn cân tại N. Đến đây ta sẽ tìm được D và M.
Tìm được D và M là giải quyết được nút thắt cho ta giải quyết tiếp được các đỉnh còn
lại.
*Lời giải:
+Chứng minh tam giác MND vuông cân tại N. O là giao điểm hai đường chéo AC với
BD, I là trung điểm DO. Tứ giác MNIC là hình bình hành và I là trực tâm DNC CI
DN MNDN Tứ giác MNDC nội tiếp Góc NMD bằng góc NCD bằng
DNM vuông cân tại N.
+D D(1; t)
Khi d=-2D(1;-2) M(1;3) và A(-3;0); B(-1;4); C(3;2).
Khi d=3 D(1;3)M(1;-2) và A(-3;1); B(-1;-3); C(3;-1).
21
*Nhận xét:
Nút thắt của bài toán là nhận thấy được DNM là tam giác vuông cân tại N. Lý do tại
sao học sinh có thể phát hiện được điều đó? Chúng ta phải hướng cho các em thấy
được giả thiết tập trung vào 3 điểm đó là N,D và M. Vậy mối quan hệ 3 điểm này như
thế nào? Từ hình vẽ giúp cho các em có dự đoán về tam giác vuông cân DNM. Để học
sinh hứng thú hơn và hiểu bài sâu sắc hơn ta có thể yêu cầu các em dùng các cách
khác nhau như vectơ, tọa độ để chứng minh DNM vuông cân.
Đối với học sinh giỏi, cho các em nghiên cứu bài toán trong hình phẳng sau:
“Cho hình vuông ABCD, MBC và NAC sao cho . Chứng
minh rằng:
Bài toán vừa giải quyết là một trường hợp đăc biệt của bài toán tổng quát vừa nêu.
Ví dụ 11.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và B có
BC=2AD. Điểm là hình chiếu vuông góc của B lên CD. Xác định tọa độ
các đỉnh B và D, biết A(-3; 1) và trung điểm M của BC nằm trên đường thẳng
.
*Tìm tòi lời giải:
Gỉa thiết tập trung vào ba điểm A,M,H xoay quanh 3 điểm đó là mối quan hệ gì? Từ
hình vẽ ta dự đoán AHM vuông tại H. Chỉ cần chứng minh được AHMH là giải
quyết được điểm M. Điểm M giải quyết xong xem như bài toán giải quyết xong.
22
*Lời giải:
+Chứng minh AHMH
ABMD là hình chữ nhật nên góc BAM bằng góc BDM. BMHD nội tiếp góc
BDM= góc BMH góc BAM= góc BHM Tứ giác ABMH nội tiếp góc
AMH= hay AHMH.
+Tìm M
M M(1-2t; t)
; và
+Lập phương trình D:
+Tìm tọa độ D.
D(8-3d; d). Do
+Tìm tọa độ C.
Do
*Nhận xét:
Qúa trình dẫn dắt các em để phát hiện được điểm then chốt là tìm được điểm M. Để
giải quyết được điều đó các em phải xoay quanh mối quan hệ 3 điểm là A,H,M.
Ví dụ 12.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy,cho hình thang cân ABCD có góc A và D là hai góc
vuông, CD là đáy lớn, góc BCD bằng . Đường thẳng AD có phương trình
, đường thẳng BD có phương trình . Viết phương trình BC biết
diện tích ABCD bằng 15 và .
*Tìm tòi lời giải:
23
Giả thiết bài toán cho khá rời rạc, chung ta chưa thấy điều kiện nào để gắn kết chúng
lại. Khai thác được gì từ các giả thiết?
Phải chăng từ hai đường thẳng AD và DB? Cho phương trình hai đường thẳng đó ta
khai thác được gì? Đầu tiên là được tọa độ D. Còn gì nữa? Xác định được góc giữa hai
đường đó. Từ đó ta có góc ADB = vậy góc BDC bằng . Nút thắt đã được mở.
Tam giác DBC vuông cân tại B. Điều khó khăn ở bài toán này là hình vẽ không giúp
được gì cho các em. Hướng tìm tòi là khai thác triệt để giả thiết bài toán.
*Lời giải:
+Chứng minh góc ADB=
+Chứng minh DBC vuông cân tại B
Do góc BDC= góc BCD = DBC vuông cân tại B.
+Tính độ dài DB. Từ diên tích ABCD =15 và AB=AD=2DC ta tính được
BD= B(4;2)
+Do D(0;0) vậy BC qua B và nhận làm vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình BC:
.
Bài tập luyện tập :
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(-1;3), B
thuộc đường thẳng có phương trình : x- 2y – 1 = 0. M và N lần lượt là trung điểm của
BC và CD. I( là giao điểm của AM và BN.Tìm tọa độ C.
ĐS : C(5;5) ; C(1;-3)
Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa dộ Oxy, cho hình chử nhật ABCD có đỉnh B
thuộc đường thẳng có phương trình : , góc ACD =30 và diện tích bằng 3
Giao điểm của đường phân giác trong góc ABD với đường cao tam giác BCD kẻ từ C
là điểm M( . Tìm tọa độ B, D biết hoành độ B, D nhỏ hơn .
ĐS : B ; D( .
24
Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa dộ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình
, đường thẳng (d) : x – y – 3 + = 0, A(3;0). Gọi M là điểm thay đổi trên
đường tròn ( C) và B là điểm sao cho tứ giác ABMO là hình bình hành. Tính diện tích
tam giác ABM biết trọng tâm G của tam giác ABM thuộc (d) và G có tung độ dương.
(Trích đề thi HSG Thanh Hóa năm 2012 )
Giải pháp 3: Khai thác tính chất ba điểm thẳng hàng.
Nếu A,B,C thẳng hàng thì và cùng phương =k .
Khi hai véc tơ cùng phương ta khai thác được hai phương trình, đây là một lợi thế
không nhỏ. Khi giả thiết cho hai điểm xác định tọa độ, chúng tôi cho học sinh phát
hiện xem có điểm nào khả nghi trên đường thẳng qua hai điểm đó không ? Nếu có thì
tiến hành so sánh hai véc tơ tạo thành.
Đường thẳng Ơ-le được học sinh học ở lớp 10(phần vectơ). Đây là một tính chất nói
về ba điểm thẳng hàng. Chúng tôi sau khi cho các em ôn tập lại tính chất đó. Để khai
thác tính chất này, chúng tôi cho các em làm các ví dụ sau đây:
Ví dụ 13.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC, có tâm đường tròn ngoại tiếp
, trực tâm và M(1;1) là trung điểm cạnh BC. Xác định A,B,C.
*Tìm tòi lời giải:
Gỉa thiết của bài toán đưa đến một liên tưởng về đường thẳng Ơ-le đó là ba điểm thẳng
hàng H,G,I với G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có , từ đấy xác định G.
Xác định được G là cởi được nút thắt của bài toán. Từ G ta xác định A và xác định B,C.
25
Điều gì làm chúng ta nghỉ tới đường thẳng Ơ-le? Đó là giả thiết đề cập đến trực tâm H
và tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác. Dùng tính chất hình phẳng mà học sinh đã
được ôn tập : “ Trong tam giác ABC, tâm đường tròn ngoại tiếp I, trực tâm H và trọng
tâm G là ba điểm thẳng hàng đồng thời ”.
*Lời giải:
+Chứng minh
+Tìm tọa độ G(1;2)
+Tìm tọa độ A(1;4)
+Phương trình BC là
+Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
+Tọa độ B(-1;2), C(3;0) hoặc B(3;0), C(-1;2).
Ví dụ 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm ,
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và là trung điểm BC. Viết
Tìm tòi lời giải:
với
phương trình AB, biết B có hoành độ dương. Nếu ở ví dụ 11 ta hướng dẫn học sinh tìm toạ độ trọng tâm G thông qua mối quan hệ 3 điểm thẳng hàng H, G, I thì bài tập này, chúng ta hướng sự suy nghĩ của học sinh vào cách tìm trực tiếp điểm A thông qua . Dễ dàng mối quan hệ giữa . Đến các em dự đoán được đây điểm A được giải quyết xong. Khi đó, viết được phương trình đường tròn ngoại và phương trình BC. Dĩ nhiên tiếp tính được toạ độ B và ta viết được phương trình AB. Lời giải: + Chứng minh (*)
+ Xác định (từ *)
+ Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác là .
Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình: .
.
Phương trình AB: 26
Ví dụ 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với hai đáy AB, CD và CD = 2.AB. H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC và M là trung điểm HC. , phương trình DM: Biết toạ độ , phương trình đường thẳng DH:
. Tìm toạ độ các đỉnh hình thang ABCD.
(Đề thi thử ĐH 2014 – Hưng Yên)
Tìm tòi lời giải: Điểm D và B biết toạ độ 3 điểm D, I, B thẳng hàng. Nếu tìm được toạ độ I bài toán giải quyết xong. Điều quan tâm bây giờ I là điểm chia BD theo tỉ số nào? Bằng cách ? Điều này chứng minh được dễ dàng dựa vào dựa vào hình vẽ ta phán đoán điều kiện song song của AB với DC và giả thiết . Quá trình tìm tòi lời giải là quá trình chỉ ra cho các em thấy hướng đi như thế nào? Tại sao các em phải quan tâm đến điểm I. Có như vậy các em mới hứng thú và nắm bài một cách sâu sắc. Lời giải: + . Chứng minh
Thật vậy:
+ Phương trình AC:
+ Toạ độ
+ M là trung điểm CH
Ví dụ 16: Cho hình vuông ABCD. M là trung điểm BC, là điểm trên cạnh
AC sao cho , là giao điểm của AC với DM. Xác định A, B, C, D.
Tìm tòi lời giải:
Liên quan N và I có 3 điểm là A, O, C.
Điểm được nghi vấn nhiều nhất là A vì .
Vấn đề còn lại là tỉ số . Theo giả thiết thì I là
trọng tâm . Vậy Như vậy,
đến đây toạ độ điểm A giải quyết xong. Bài toán đã có hướng giải quyết.
27
Lời giải:
+ Chứng minh
I là trọng tâm
+
+
BD: Mặt khác B, D thuộc đường tròn đường kính AC. Do đó toạ độ B, D là nghiệm của hệ
phương trình.
Ví dụ 17: Cho tam giác ABC có trọng tâm và là trung điểm BC,
. Viết phương trình các cạnh
phương trình đường cao BH có phương trình của tam giác.
do G là trọng
Tìm tòi lời giải: Với 3 điểm thẳng hàng A, G, M ta dễ dàng thấy được . Vậy điểm A xác định được. Từ đó ta dễ dàng viết được phương trình các cạnh của tam giác. Lời giải: Ta có: tâm ABC Phương trình AC:
là trung điểm BC. Vậy:
, C nằm trên đường . M là trung điểm BC, N là điểm nằm trên cạnh AD
. Tìm toạ độ điểm B, C, D.
Phương trình AB là Phương trình BC là Ví dụ 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có thẳng có phương trình sao cho AN = 2.ND, MN có phương trình Tìm tòi lời giải: 28
Xoay quanh ba điểm A, I, C là ba điểm thẳng hàng. Nếu tìm được mối liên hệ của là giải quyết được C và I. Từ chỗ biết toạ độ A, C ta tìm được toạ độ B và D. Trước hết cho học sinh tìm được tỉ số
Lời giải: Xét hai tam giác đồng dạng ICM và IAN
có
Phương trình BD:
Phương trình đường tròn đường kính AC
Do B, D và . Vậy toạ độ B, D là nghiệm hệ phương trình
Bài tập luyện tập Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;3), trực tâm H(9;7),
trọng tâm G( .Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tìm tọa
độ B, C. ĐS: Đường tròn có phương trình là B(6;-2) C(4;2) và ngược lại.
Bài 2 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có diện tích bằng
đáy lớn CD nằm trên đường thẳng có phương trình x – 3y -3 = 0. Hai đường chéo AC
29
và BD vuông góc với nhau tại I(2;3). Viết phương trình đường thẳng BC,biết C có hoành độ dương. ĐS: 4x+3y – 27 = 0 d) Giải pháp 4: Khai thác khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. *Cho đường thẳng ( ):
Khoảng cách từ đến là
*Cho tam giác ABC vuông ở A, AH là đường cao. Ta có:
Khai thác khoảng cách đưa đến cho bài toán một phương trình. Dạng khoảng cách được ẩn dưới dạng cạnh hình vuông, đường cao tam giác, diện tích tam giác. Ví dụ 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết , trọng tâm
. Diện tích tam giác ABC bằng . Viết phương trình AC.
Tìm tòi lời giải: Để viết phương trình AC ta chỉ cần xác định C. Để xác định C ta phải xác định G. Do nên G chỉ cần một phương trình với ẩn t. Diện tích tam giác chắc chắn có liên quan đến khoảng cách từ C đến AB. Theo giả thiết khoảng cách này xác định được. Vậy khoảng cách này liên quan đến G
chỗ nào? Vấn đề là chỗ đó. Theo tính chất trọng tâm . Bài
toán được giải quyết. Lời giải:
+ Chứng minh
+ Viết phương trình AB:
+
+
+ Phương trình AC: Ví dụ 20:
30
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, và N là điểm trên CD sao cho CN = 2.ND. AN có phương trình:
Tìm toạ độ A.
(Đề thi TSĐH Khối A – 2012)
Tìm tòi lời giải:
Làm cách nào để lập được một phương trình cho ẩn a? Rõ ràng là khoảng cách từ M đến AN là tính được. Gọicạnh hình vuông là p ta có
Diện tích tam giác AMN là
Ví dụ 21: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường thẳng Đường tròn
tại A và B sao cho cắt Tiếp tuyến của (C) tại A
(C) có bán kính và B cắt nhau tại một điểm của tia Oy. Viết phương trình đường tròn (C).
(Đề thi ĐH khối A – 2013)
Tìm tòi lời giải: Để lập phương trình đường tròn (C) chỉ cần xác định tâm I. Ta có và PH là các khoảng cách từ I; P đến
tại H vậy IH PI có phương trình dạng . Chỉ cần xác định được phương trình PI là tìm được toạ độ H. Biết toạ độ
H thì tìm được toạ độ tâm I. Vậy mục tiêu bây giờ hướng đến tìm độ dài PH. PH liên quan đến yếu tố nào đã biết? Từ đây chỉ càn xác định được IH là được. IH lại dễ dàng tính Dễ thấy được thông qua tam giác vuông AHI. 31
có phương trình dạng Theo giả thiết
Lời giải: Từ tam giác vuông IHA Từ Đường thẳng ( vì P thuộc tia Oy)
mà
Do P và I ở về hai phía là tâm đường tròn.
Phương trình đường tròn là: Nhận xét: Để giải bài toán này chúng ta phải hướng cho học sinh khai thác triệt để hai khoảng cách, đó là Ví dụ 22:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm Đường thẳng
, AB = 2.AD, Lập phương trình
chứa cạch AB có phương trình cạnh AD, DC, BC. Tìm tòi lời giải:
Biết toạ độ điểm I, biết phương trình AB. Vậy biết Lời giải: M là trung điểm AB
Do
Do AB = 2.AD AM = 2.IM =
Vậy
Phương trình AD là I là trung điểm AC
Phương trình CD: Phương trình BC: Bài tập tự luyện: Bài 1:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình :
32
và điểm A(-1;3). Tìm tọa độ các đỉnh của hình chử nhật ABCD nội
tiếp trong đường tròn (C) có diện tích bằng 10. ĐS: B(2;4) C(3;1) D(0;0). Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình một đường chéo là :3x+y -7 = 0 và điểm B(0;-3). Tìm tọa độ các đỉnh hình thoi biết diện tích hình thoi là 20. ĐS: A(4;-5) C(2;1) D(6;-1) hay A(2;1) C(4;-5) D(6;-1). Bài 3:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình :
và đường thẳng (d) có phương trình : x+y-2=0. A,B là giao điểm (d) với đường tròn. Tìm tọa độ điểm C thuộc đường tròn sao cho diện tích tam giác
ABC bằng .
ĐS:
Bài 4:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho M(2;-1), đường thẳng . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua M và tiếp xúc ,
.
ĐS :
Bài 5:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình :
nội tiếp trong hình vuông ABCD, AB đi qua M(-3;-2) và
ĐS: A(6;1) B(0;-1) C(-2;5) D(4;7). Bài 6 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. M là trung điểm BC. AM có phương trình là : 3x + y - 7 =0, B(4;1). Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông, biết A có tung độ dương và M có tung độ âm. ĐS: A(1;4) C(1;-2) D(-2;1). Giải pháp 5: Khai thác góc giữa hai đường thẳng. *Trong mặt phẳng cho tam giác ABC:
*Trong mặt phẳng cho 2 đường thẳng lần lượt có phương trình:
:
Khi một đường thẳng di qua một điểm và tạo với một đường thẳng cho trước một góc được xác định, thì phương trình đường thẳng đó viết được phương trình.Dấu hiệu sử dụng kết quả này là giả thiết cho phương trình một đường thẳng và đường thẳng ‘’đối tác’’ còn lại đi qua
một điểm biết tọa độ. Ví dụ 23:
33
thuộc AC, điểm
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết phương trình cạnh BC là (d): thuộc AB và ở ngoài đoạn AB. Viết phương trình AB, AC.
Tìm tòi lời giải: Tam giác ABC vuông cân tại A, vậy AC là đường thẳng qua N tạo với BC góc 450, AB là đường thẳng qua Lời giải: AB có phương trình dạng:
AB tạo BC góc 450
có phương trình: AB: chọn
, AC: .
*Khi Phương trình AC: * Khi Phương trình AB: Phương trình AC: Trường hợp này AB, AC, BC đồng quy nên loại. Do đó phương trình AB: Ví dụ 24: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho và hai đường thẳng
cắt nhau tại A. Viết phương trình đường thẳng đi qua P tạo
với một tam giác cân tại A có diện tích
Tìm tòi lời giải: Dễ dàng thấy vậy chính là tam giác vuông cân tại A.
là đường thẳng qua P tạo với cân tại A thì góc 450.
34
Lời giải:
là đường thẳng có phương trình dạng
*Khi
Do diện tích tam giác ABC là
. Tương tự trên nhưng không thoả yêu cầu (loại).
Phương trình BC là *Khi Ví dụ 25: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng Trung điểm cạnh AB là và 12. Tâm I là giao điểm giao điểm của với Ox. Viết phương trình các cạnh còn lại của hình chữ nhật.
Tìm tòi lời giải:
biết toạ độ I.
biết toạ độ M. Phương trình AB lập được, phương trình CD lập được. Biết được diện tích HCN và AD = MN
Lời giải:
M là trung điểm của AB và Phương trình AB:
Phương trình CD:
Gọi phương trình AD:
* *
Ví dụ 26.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình vuông ABCD có A(1;3). M(6;4)BC và
DC. Tìm tọa độ B,C,D.
(Đề thi học sinh giỏi khối 11-Nghệ An năm 2014)
35
*Tìm tòi lời giải:
Gỉa thiết cho tọa độ ba điểm A,M,N nhưng A,M,N thẳng hàng. Vậy khai thác được gì
từ ba điểm thẳng hàng? Trước hết ta phải quan tâm đến tỉ số của hai đoạn thẳng
. Bài toán này còn xuất hiện thêm tính song song của MC và AD
ND, AD tính theo ADtỉ số sẽ không đổi. Mà tỉ số này là gì? Đó là
. Đến đây xuât hiện một tín hiệu tốt là xác định được tọa độ D là
mấu chốt mà qua ta tìm được các đỉnh còn lại. Nhìn lại cả quá trình tìm tòi lời giải có
lúc chúng ta thấy “mịt mù” nhưng những tín hiệu “le lói” đã được chúng ta khai thác
tốt. Bởi vậy dù chỉ “mong manh” niềm hy vọng nhưng chừng đó cũng là cơ hội để
chúng ta vượt qua. Chúng tôi dạy cho các em cách để tìm kiếm “cơ hội” trong nhưng
bài toán và tính kiên trì để hiên thực hóa những cơ hội đấy.
*Lời giải:
+Chúng minh ;
Vậy A,M,N thẳng hang và AM=2MN. Do MC//AD
+Gọi a là cạnh hình vuông, có
+Lập phương trình CD.
36
CD qua N và tạo với NA một góc có
Phương trình CD có dạng
-Khi a=-bCD:
AB:
AD:
BC:
B(4;6) C(7;3) D(4;0)
-Khi 17a=7b CD:
AB:
AD:
BC:
.
Nhận xét
Bài tập này , chúng tôi cho các em khai thác khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng
cũng có kết quả thú vị . Đó là khoảng cách từ M tới AD bằng khoảng cách từ N tới AB
Bài tập tự luyện: Bài 1:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, phương
trình AB,BC lần lượt là : 3x-y+10=0, x+2y-2= 0.Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp
tam giác ABC biết M(2;2) thuộc cạnh AC.
ĐS: I( .
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chử nhật ABCD có phương
trình cạnh AB : x - 2y – 1= 0, BD có phương trình :x- 7y +14 = 0, AC qua điểm
E(2;1). Tìm tọa độ các đỉnh hình chử nhật.
ĐS: A(1;0) B(7;3) C(6;5) D(0;2) 37
Bài 3:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, phương
trình cạnh đáy BC : x+y+1 = 0. Đường cao BH : x- 2y – 2 = 0. M(2;1) thuộc đường
cao CK. Viết phương trình AB, AC.
ĐS: AB có phương trình x + 2y +2 = 0 AC có phương trình 6x + 3y +1 = 0
Bài 4:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, phương
trình AB, AC lần lượt là : 2x+ y -1 = 0 và x+ 4y + 3 = 0. Viết phương trình đường cao
kẻ từ đỉnh B.
ĐS: 31x+22y – 9 = 0
V. Bài học kinh nghiệm:
Khi các em học sinh bắt tay vào giải một bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng
với hệ trục Oxy, với kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy chúng tôi rút ra được một số
kinh nghiệm như sau:
1. Đa số là các em chuyển thẳng từ bài toán hình học về phương pháp giải“đại số”
bằng cách mã hóa các giả thiết hình học dưới dạng ẩn số.
Ví dụ tôi cho các em bài toán sau đây: “Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam
giác ABC, biết A(2;1), trực tâm H(-6;-3), trung điểm BC là M(2;2). Lập phương trình
các cạnh tam giác”.
*Các em giải bài toán như sau
+Tính
+Viết pt BC.
+Dùng điều kiện vuông góc với tìm tọa độ, suy ra toạ độ C, suy ra phương
trình AB, AC.
Đây là bài toán dể, các em chỉ cần nắm vững kiến thức là làm được.
2. Những bài toán được khai thác tính chất hình học phẳng thì các em bối rối ngay cả
với học sinh giỏi. Tại sao như vậy? Đó là vì thầy, cô giáo và học sinh chỉ quan tâm
đến mảng thứ nhất mà thôi. Để cải thiện điều này, tôi thường xây dựng các bài tập mà
bắt buộc học sinh phải sử dụng cả hai mảng toán đó. Tôi lấy ví dụ sau. Tôi cho các em
giải bài tập: “Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(-
2;0), C nằm trên đường thẳng có phương trình x + y – 3 = 0. M là trung điểm BC, N là
điểm thuộc cạnh CD sao cho AN = 2.ND. Phương trình MN: 7x – 5y – 6 = 0. Tìm tọa
độ B, C, D”.
38
Tôi đưa ra yêu cầu giải bài tập đó theo hai cách là:
Cách 1: Mã hóa các giả thiết dưới dạng các ẩn rồi lập các phương trình dưới dạng đại
số, tính toán ra kết quả.
Cách 2: Nghiên cứu tính chất hình học, bằng cách phát hiện mối quan hệ giữa 3 điểm
thẳng hàng M, I, N với .
3. Năng lực tiếp thu hình học phẳng của học sinh khá yếu, bởi vậy những bài tập khai
thác các tính chất hình học phẳng học sinh thường lúng túng. Bởi vậy câu hình phẳng
Oxy thường được xếp vào loại câu “khó” trong các đề tuyển sinh đại học và nay là đề
thi của kỳ thi “THPT Quốc Gia”.
VI. Hiệu quả của đề tài:
Đề tài này tôi nghiên cứu trong hai năm: 2013 – 2014 và 2014 – 2015 trên hai lớp
chọn là 12C1 và 12B1. Sau hai năm nghiên cứu và áp dụng, chúng tôi xây dựng được
quy trình như sau:
1. Xây dựng một số tính chất thông dụng của hình học phẳng.
2. Nghiên cứu trên hình vẽ để phát hiện được các tính chất của hình học phẳng.
3. Thiết lập các mối quan hệ giữa các điểm để giải quyết được vấn đề “then chốt”
của bài toán.
4. Thiết lập các mối quan hệ còn lại.
5. Giải bài toán.
6. Dùng tính chất hình học phẳng để đề xuất các bài toán mới.
Các em học sinh bước đầu khi chưa áp dụng kết quả này thường rơi vào trạng thái rất
“mơ hồ” và “mò mẫm” vào ngõ cụt. Sau quá trình được giáo viên thực hành tìm tòi lời
giải trên năm giải pháp đã nêu, các em tích cực học tập và hiệu suất giải bài nâng lên
rõ rệt. Số liệu thu được từ một điều tra như sau:
Điều tra 1:
Tôi cho học sinh giải bài tập sau:
Bài toán: “Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh
B(0;4). M và N lần lượt là trung điểm cạnh BC và CD. là giao của AM với
BN. Xác định các đỉnh của hình vuông biết A thuộc (d): ”.
Bài tập này được làm trước khi triển khai đề tài:
39
Lớp 12C1 (2013 – 2014):
Học sinh làm được: 5/38 tỉ lệ 13%
Lớp 12B1 (2014 – 2015):
Học sinh làm được: 3/36 tỉ lệ 8,3%
Bài tập này làm sau khi triển khai đề tài:
Lớp 12C1 (2013 – 2014):
Học sinh làm được: 30/38 tỉ lệ 79%
Lớp 12B1 (2014 – 2015):
Học sinh làm được: 25/36 tỉ lệ 69,5 %
Điều tra 2:
Tôi cho học sinh làm bài tập sau:
“ Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A. M là điểm trên AC sao cho
AB = 3.AM. Đường tròn tâm I(1;-1) đường kính CM cắt BM tại D. Xác định tọa độ
các đỉnh của tam giác ABC biết BC qua , phương trình CD: và
”.
Với khảo sát trên 50 học sinh ở lớp thêm khi chưa triển khai đề tài kết quả cho thấy có
2 học sinh làm được, tỉ lệ 4%. Sau khi triển khai có 20 học sinh làm được, tỉ lệ 40%.
Điều tra 3:
Tôi cho học sinh làm bài tập sau:
“ Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có D(2;-1) , E(2;2) , F(-2;2) lần lượt là
chân các đường cao hạ từ A , B , C . Xác định tọa độ các đỉnh A, B , C” . Với yêu cầu
a)Gọi tọa độ , , . Dùng tính chất vuông góc và ba điểm
thẳng hàng lập 6 phương trình cho 6 ẩn là các tọa độ A , B , C . Giải hệ phương trình
tìm tọa độ A , B , C .
b)Chứng minh : AD , BE , CF là các đường phân giác trong của tam giác DEF . Từ đó
viết phương trình AD , BE , CF , suy ra phương trình : BC , CA , AB . Từ đó tìm được
tọa độ A , B , C .
Kết quả khảo sát cho thấy :
40
+Ở câu (a) khả năng lập các phương trình tương đối tốt: 90% lập được phương trình.
Khả năng tính toán không tốt : 47% tính sai hoặc không giải được . Lượng thời gian
nhiều : 20’
+Ở câu (b) 70% chứng minh được và có kết quả đúng . Thời gian làm bài 15’.
Kết luận:
Mặc dù không phải mọi học sinh đều làm được bài tập sau khi đã học nhưng đề tài đã
xây dựng một hướng tìm tòi lời giải rõ rang. Bước đầu tỉ lệ học sinh làm bài được
nâng cao rõ rệt. Học sinh rất hứng thú khi tiếp thu đề tài.Trong kỳ thi đại học 2013 –
2014 nhiều em học sinh đã làm tốt bài hình học phằng.
Với cách tiếp cận bài toán dưới dạng tìm tòi lời giải dựa trên nền tảng của các tính
chất hình phẳng chúng tôi đã hình thành được một cách định hướng tìm tòi lời giải.
Với phương pháp trên chúng tôi giúp cho học sinh tiếp thu kiến thức dễ dàng hơn qua
đó phát triển tư duy học sinh và tạo sự hứng thú cho các em trong học môn Toán.
Đề tài này được tiếp tục phát triển bằng cách khai thác các tính chất về hình học phẳng
mà đề tài chưa khai thác hết. Từ đó phát triễn và xây dựng thành một hệ thống hoàn
chỉnh về giải tích trong mặt phẳng dùng cho học sinh khối 10, bồi dưỡng cho học sinh
thi HSG, luyện thi kỳ thi THPT Quốc Gia và giáo viên tham khảo trong giảng dạy.
Đề xuất:
Dựa vào các kết quả đã đạt được. Trong bối cảnh cải cách triệt để nền giáo dục nước
nhà. Dạy cho học sinh biết tìm tòi lời giải, tức là hướng vào người học, rèn luyện và
phát triển khả năng suy nghỉ, khả năng giải quyết vấn đề một cách năng động, độc lập,
sáng tạo, khả năng giải quyết vấn đề. Trước mắt là thực hiện tốt kì thi THPT Quốc Gia
mà bài toán “hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy” là bài toán khó đối với học sinh
và cả giáo viên, tôi xin kiến nghị đề tài được phổ biến rộng rãi trong ngành giáo dục
của tỉnh Đồng Nai để các em học sinh được tiếp cận rộng rãi hơn. Cũng là tài liệu để
giáo viên nghiên cứu giảng dạy.
III. Danh mục tài liệu tham khảo:
1. Toán nâng cao và phát triển lớp 8 của Vũ Hữu Bình.
2. Một số vấn đề phát triển hình học lớp 9 của Vũ Hữu Bình.
41
3. Hình học 10 của Bộ Giáo dục và Đào tạo . Nhóm tác giả : Đoàn Quỳnh (Tổng
chủ biên) - Văn Như Cương ( Chủ biên) –Phạm Vũ Khuê – Bùi Văn Nghị
4. Các đề thi tuyển sinh Đại học và các đề thi của các địa phương .
5. Báo Toán học Tuổi Trẻ.
6. Một số bài tập trên Internet.
Thị xã Long Khánh, ngày 20 tháng 04 năm 2015
Người thực hiện:
BM04-NXDDGSKKN
SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
HÀ LÊ ANH
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Đơn vị: Trường THPT Long Khánh
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Long khánh, ngày …tháng 5, năm 2015
42
–Phương pháp dạy học bộ môn: Toán
– Lĩnh vực khác: …………………………………..
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2014 – 2015 Tên sáng kiến kinh nghiệm: Phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh qua giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng tọa độ Oxy bằng cách khai thác một số tính chất của hình học phẳng. Họ và tên tác giả: Hà Lê Anh Chức vụ: Tổ trưởng tổ Toán Đơn vị: Trường THPT Long Khánh Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác). - Quản lý giáo dục - Phương pháp giáo dục Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị
Trong Ngành
1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô dưới đây) - Đề ra giải pháp thay thế hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn. - Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đảm bảo tính khoa học, đúng đắn. - Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình,
nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị. 2. Hiệu quả: (Đánh dấu X vào 1 trong 5 ô dưới đây) - Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao - Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu
quả cao.
- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao. - Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao.
- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình,
nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị.
3. Khả năng áp dụng: (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây) - Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Trong Tổ/Phòng/Ban Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT
Trong ngành
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT
sống: Trong Tổ/Phòng/Ban
Trong ngành
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi
rộng: Trong Tổ/Phòng/Ban
Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT
Trong ngành
Không xếp loại
Khá Đạt Xếp loại chung: Xuất sắc Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết và chịu trách nhiệm không sao chép tài liệu của
người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của mình.
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
Tổ trưởng và Thủ trưởng đơn vị xác nhận đã kiểm tra và ghi nhận sáng kiến kinh nghiệm này đã được tổ chức thực hiện tại đơn vị, được Hội đồng chuyên môn trường xem xét, đánh giá; tác giả không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của chính tác giả. NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN Hà Lê Anh
43
