Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S
Myõ Hoøa
A. ĐT V N Đ:Ặ Ấ Ề
Trong báo cáo v nhi m v năm h c, B giáo d c & Đào t o ch rõ:ề ệ ụ ọ ộ ụ ạ ỉ
Ch đo m nh m vi c đi m i ph ng pháp d y h c và phong trào tỉ ạ ạ ẽ ệ ổ ớ ươ ạ ọ ự
h c, t đào t o''. '' Coi tr ng giáo d c chính tr , t t ng nhân cách, kh năng tọ ự ạ ọ ụ ị ư ưở ả ư
duy sáng t o và năng l c th c hành c a h c sinh''. '' Quy t tâm th c hi n 2ạ ự ự ủ ọ ế ự ệ
không trong ngành giáo đc''. Ch tr ng đó hoàn toàn phù h p v i nh ng yêuụ ủ ươ ợ ớ ữ
c u c p bách c a công cu c công nghi p hoá, hi n đi hoá đt n c nh n cầ ấ ủ ộ ệ ệ ạ ấ ướ ư ướ
ta hi n nay.ệ
Căn c vào nhi m v , m c tiêu c a ngành giáo d c, căn c vào th c tr ngứ ệ ụ ụ ủ ụ ứ ứ ạ
d y- h c toán hi n nay, h ng đi m i ph ng pháp d y h c toán tr ngạ ọ ệ ướ ổ ớ ươ ạ ọ ở ườ
THCS là tích c c hoá ho t đng h c t p c a h c sinh, t p trung vi c rèn luy nự ạ ộ ọ ậ ủ ọ ậ ệ ệ
kh năng t duy tích c c, đc l p, sáng t o.ả ư ự ộ ậ ạ
Đ tr thành h c sinh gi i là ao c c a m i h c sinh , đó là đi u m i b cể ở ọ ỏ ướ ủ ọ ọ ề ọ ậ
ph huynh đi u mong mu n cho con mình đc thành đt và đây cũng là ni mụ ề ố ượ ạ ề
t hào c a các th y cô giáo trong m i mi n đt n c .ư ủ ầ ọ ề ấ ướ
Trong ch ng s h c c a THCS, các bài toán v phân tích m t s ra th a sươ ố ọ ủ ề ộ ố ừ ố
nguyên t và tính ch t chia h t c a s nguyên h t s c phong phú và đa d ng. Vìố ấ ế ủ ố ế ứ ạ
nó v n d ng ki n th c c b n vào gi i toán và còn phát tri n t duy cho h cậ ụ ế ứ ơ ả ả ể ư ọ
sinh.
Khi g p m t bài toán ch ng minh chia h t, h c sinh s g p khó khăn n uặ ộ ứ ế ọ ẽ ặ ế
không n m v ng ki n th c c b n và các d ng bài t p, cách làm các d ng bàiắ ữ ế ứ ơ ả ạ ậ ạ
t p đóậ
V y làm th nào đ h c sinh bi t làm các bài toán chia h t và bi t cách v nậ ế ể ọ ế ế ế ậ
d ng nó đ gi i các d ng toán khác và ng d ng nó trong th c t ? Và làm thụ ể ả ạ ứ ụ ự ế ế
nào đ h c sinh c m th y có s say mê, hào h ng khi gi i các bài toán nh t làể ọ ả ấ ự ứ ả ấ
đi v i h c sinh gi i h c toán?ố ớ ọ ỏ ọ
Đó là v n đ tôi luôn quan tâm và luôn tìm ph ng pháp t i u, đ đt đcấ ề ươ ố ư ể ạ ượ
m c đích đó tôi l a ch n đ tài ụ ự ọ ề "M t s d ng toán áp d ng tínhộ ố ạ ụ
chia h t c a s nguyên''ế ủ ố .
B. GI I QUY T V N ĐẢ Ế Ấ Ề
I) C S LÝ LU NƠ Ở Ậ
Đi m i ph ng pháp d y h c nh m m c đích cho h c sinh ph ng phápổ ớ ươ ạ ọ ằ ụ ọ ươ
suy nghĩ, chi m lĩnh các tri th c khoa h c và ph ng pháp nghiên c u ki n th cế ứ ọ ươ ứ ế ứ
m t cách khoa h c, nh m v n d ng ki n th c khoa h c m t cách t i u nh t.ộ ọ ằ ậ ụ ế ứ ọ ộ ố ư ấ
Mu n đt đc di u ki n trên thì trong qu trình d y h c b i d ng h c sinhố ạ ượ ề ệ ạ ọ ồ ưỡ ọ
gi i ta cũng ph i đi m i ph ng pháp gi ng d y và thi t k bài d y , lên kỏ ả ổ ớ ươ ả ạ ế ế ạ ế
ho ch b m n r rng , t c l ta ph i xc đnh:ạ ộ ơ ứ ả ị
- C ng vi c c a th y gi vai tr ch đng, sáng t o, t ch c cho h c sinhơ ệ ủ ầ ữ ị ủ ộ ạ ổ ứ ọ
chi m lĩnh ki n th c.ế ế ứ
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
1
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S
Myõ Hoøa
- Đi v i h c sinh ph i ch đng, sáng t o, ph i đc suy nghĩ nhi u, trố ớ ọ ả ủ ộ ạ ả ượ ề ả
l i nhi u câu h i, đc th c hành nhi u d i s t ch c h ng d n c a giáoờ ề ỏ ượ ự ề ướ ự ổ ứ ướ ẫ ủ
viên.
II) C S TH C TI NƠ Ở Ự Ễ
Th c tr ng d y và h c toán hi n nay, m c dù h c sinh đ d c h c đyự ạ ạ ọ ệ ặ ọ ượ ọ ầ
đ các ki n th c c b n, có ph n m r ng, nâng cao nhi u. Song khi g p m tủ ế ứ ơ ả ầ ở ộ ề ặ ộ
bài toán, h c sinh v n c n lúng túng trong vi c đnh h ng ph ng pháp gi i,ọ ẫ ị ệ ị ướ ươ ả
ch a bi t v n d ng ho c v n d ng ch a linh ho t, sáng t o các ki n th c cư ế ậ ụ ặ ậ ụ ư ạ ạ ế ứ ơ
b n đ h c. Nhi u h c sinh ch bi t v n d ng t ng b c gi i, t ng ph n c aả ọ ề ọ ỉ ế ậ ụ ừ ướ ả ừ ầ ủ
quy t c, công th c mà th y đ h ng d n. Vì th không phát huy đc tính đcắ ứ ầ ướ ẫ ế ượ ộ
l p, sáng t o c a h c sinh.ậ ạ ủ ọ
- Đi v i th y công vi c chu n b ki n th c, đt v n đ, đt câu h i saoố ớ ầ ệ ẩ ị ế ứ ặ ấ ề ặ ỏ
cho h c sinh đc suy nghĩ nhi u? Đc làm vi c nhi u? Đi v i h c sinh điọ ượ ề ượ ệ ề ố ớ ọ ạ
trà hay ch là h c sinh khá, gi i trong l p tr l i. Vì v y ng i th y ph i chỉ ọ ỏ ớ ả ờ ậ ườ ầ ả ủ
đng tích c c hoá các ho t đng c a t t c các đi t ng trong l p.ộ ự ạ ộ ủ ấ ả ố ượ ớ
- Trong th c ti n v n đ h c không đi đôi v i hành đ lm cho h c sinhứ ễ ấ ề ọ ớ ọ
kh ng cĩ c s th c hi n các thao tác t duy đ ti p nh n, c ng c tri th c cũ,ơ ơ ở ự ệ ư ể ế ậ ủ ố ứ
làm n n t ng lĩnh h i tri th c m i. Do đó, h c sinh ít đc làm vi c d c l p,ề ả ộ ứ ớ ọ ượ ệ ộ ậ
năng l c cá nhân không đc phát huy tho đáng.ự ượ ả
- Trong nhi u năm gi ng d y toán c a b c THCS tôi th y phân tích m tề ả ạ ủ ậ ấ ộ
s ra th a s nguyên t , tính chia h t đi v i s nguyên, h c sinh đc h c ố ừ ố ố ế ố ớ ố ọ ượ ọ ở
l p 6, nh ng khi g p m t bài toán v phân tích m t s ra th a s nguyên t ,ớ ư ặ ộ ề ộ ố ừ ố ố
tính chia h t c a s nguyên, h c sinh v n c n lng tng trong vi c tìm ra cách gi i ,ế ủ ố ọ ẫ ị ệ ả
b i vì các ki n th c liên quan đ h tr còn h n ch . Lên l p 8 nh các h ngở ế ứ ể ỗ ợ ạ ế ớ ờ ằ
đng th c đáng nh và phân tích đa th c thành nhân t , h c sinh có th gi iẳ ứ ớ ứ ử ọ ể ả
đc các bài toán nhanh h n và ph c t p h n l p d iượ ơ ứ ạ ơ ở ớ ướ
D a trên c s lý lu n và c s th c ti n trên t i th y c n có m t s gi iự ơ ở ậ ơ ở ự ễ ố ấ ầ ộ ố ả
pháp đi m i ph ng pháp gi ng d y cho phù h p v i th c ti n hi n nay.ổ ớ ươ ả ạ ợ ớ ự ễ ệ
III CÁC GI I PHÁPẢ
Đ đáp ng m c tiêu giáo d c và kh c ph c nh ng t n t i trên, đ h c sinhể ứ ụ ụ ắ ụ ữ ồ ạ ể ọ
có th làm đc các bài t p liên quan đn phân tích m t s ra th a s nguyên tể ượ ậ ế ộ ố ừ ố ố
và s chia h t c a s nguyên, m t cách ch đng h n giáo viên c n ph i:ự ế ủ ố ộ ủ ộ ơ ầ ả
- Chu n b t t ti n trình bi so n v t ch c d y h c.ẩ ị ố ế ạ ổ ứ ạ ọ
- Chu n b t t cc tình hu ng cĩ v n đ đ có th giúp h c sinh t duy suyẩ ị ố ố ấ ề ể ể ọ ư
nghĩ, đnh hình cch lm ị
- Cung c p h c sinh m t s d ng toán th ng g p v phân tích m t s raấ ọ ộ ố ạ ườ ặ ề ộ ố
th a s nguyên t và tính chia h t c a s nguyên , áp d ng vào gi i các bài toánừ ố ố ế ủ ố ụ ả
có v n d ng m t s ki n th c nâng cao c a phân tích m t s ra th a s nguyênậ ụ ộ ố ế ứ ủ ộ ố ừ ố
t mà h c sinh có th ng d ng đc.ố ọ ể ứ ụ ượ
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
2
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S
Myõ Hoøa
- Qua các bài toán h c sinh bi t áp d ng nh ng ki n th c đ h c vo lm biọ ế ụ ữ ế ứ ọ
t p m t cch linh ho t,cĩ sng t o.ậ ộ ạ ạ
- Thông qua n i dung lý thuy t c n l u ý v cc bi t p cĩ tính h th ng,nângộ ế ầ ư ậ ệ ố
cao phát tri n cho h c sinh t duy toán: lôgic, sáng t o, phát tri n kh năng kháiể ọ ư ạ ể ả
quát,t ng quát hoáổ
Đ t o cho h c sinh có s ph n khích khi g p cc bi t n : Phn tích m t sể ạ ọ ự ấ ặ ố ộ ố
ra th a s nguyn t hay tính chia h t c a s nguyn, tôi xin trình bày m t s ví dừ ố ố ế ủ ố ộ ố ụ
v các d ng tóan đ minh ho cho chuyên đ ề ạ ể ạ ề '' M t s d ng tóan áp d ngộ ố ạ ụ
tính chia h t c a s nguyn''ế ủ ố
S Đ QUAN H GI A CC KI N TH C S H C 6Ơ Ồ Ệ Ữ Ế Ứ Ố Ọ
C u t o s ấạố
Chia h t cho 2 ế
Chia h t cho 3ế
Cc d u hi u chia h t Chia h t cho 5 ấ ệ ế ế
Chia h t cho 7ế
Chia h t cho 11ế
Phn tích m t s ra th a s nguyn t ộ ố ừ ố ố
B i và c ộ ướ
BCNN CLN Ư
Tìm BC thông qua tìm BCNN Tìm C thông qua tìm CLNƯ Ư
Các bài toán v BC và C ề Ư
Tính ch t chia h t c a s nguyên ấ ế ủ ố
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
3
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S
Myõ Hoøa
Chia h t Chia có d ế ư
B i và c Ch ng minh chia h t cho Tìm s d trong php chia ộ ướ ứ ế ố ư
S nguyên t H p s S chính ph ng Nguyên lý Drich le ố ố ợ ố ố ươ
Gi i ph ng trình nghi m nguyên ả ươ ệ
. . . . . . . . . .
IV. N I DUNGỘ
1/Ta phân tích s quan h v tính chia h t c a s nguyên đc h c l p 6 ,ự ệ ề ế ủ ố ượ ọ ở ớ
nh h ng đn các ki n th c v n d ng c a l p 6 vào h c các l p 8 , 9 c aả ưở ế ế ứ ậ ụ ủ ớ ọ ớ ủ
b c THCS . Tôi có th l y các bài toán đn gi n khi d y v tính chia h t c aậ ể ấ ơ ả ạ ề ế ủ
s nguyên l p 6 nh h ng l n đn các bài toán chia h t c a s nguyênố ở ớ ả ưở ớ ế ế ủ ố
sau này :
Ví d 1 :ụ Ch ng t r ng trong n +1 s nguyên liên ti p thì có m t hi u c aứ ỏ ằ ố ế ộ ệ ủ
hai s chia h t cho n . (v i n thu c N)ố ế ớ ộ
Gi i :ả
G i a1 , a2 , a3 , . . . l n l t là các s chia cho n có s d l n l t là 1 . 2 ,ọ ầ ượ ố ố ư ầ ượ
3 , . . . thi an chia cho n d 0 , aưn+1 chia cho n có s d là1.ố ư
Do đó : an+1 – a1 = (n.k +1) – (n.l +1)
= n.k – n.l = n(k – l )
= n.q
....T ng t ta xét b t k s d khác ta v n ch ng minh đc . Hi u hai sươ ự ấ ỳ ố ư ẫ ứ ượ ệ ố
chia h t cho n ế
Đây chính là nguyên lý Dirich- le .
Ví d 2 ụ: Tìm hai s nguyên bi t tích c a chúng b ng 21.ố ế ủ ằ
Gi i :ả
G i hai s nguyên c n tìm : là x , y ọ ố ầ
Ta có : x.y = 21
Vì : 21 = 21. 1 = 3 . 7 = 7 . 3 = 1 . 21 = (-1)(-21) =
=(-3)(-7)= (-7)(-3)= (-21)(-1)
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
4
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S
Myõ Hoøa
Nên ta gi i ra tìm đc nhi u nghi m c a các c p giá tr c a x và y .ả ượ ề ệ ủ ặ ị ủ
Đây chính là phân tích m t s ra th a s ra th a s nguyên t và tính c c aộ ố ừ ố ừ ố ố ướ ủ
s nguyên .ố
Ví d 3 : ụ Tìm hai s x và y . Bi t BCNN c a chúng b ng 48 và CLN c aố ế ủ ằ Ư ủ
chúng b ng 8 .ằ
Gi i : ả
+ N u x chia h t cho y thì : x = 48 , y = 8 (ho c ng c l i)ế ế ặ ượ ạ
+N u x không chia h t cho y thì : (x> y ho c y>x)ế ế ặ
x = 8d1 , y = 8d2 ; (d1,d2)=1
Suy ra : d1.d2 = 48 : 8 = 6
Nên : d1 = 3 ; d2 = 2 (ho c ng c l i)ặ ượ ạ
Do đó : x = 8.3 = 24
y = 8.2 = 16.
(Ho c k t qu ng c l i ) ặ ế ả ượ ạ
Ta có th xét s quan h c a các bài toán này nh h ng đn các bài toánể ự ệ ủ ả ưở ế
ch ng trình b i d ng sau này các l p 8 , 9 nh : ở ươ ồ ưỡ ở ớ ư
D NG 1.Ch ng minh quan h chia h t Ạ ứ ệ ế
Ví d 1.ụCh ng minh r ng ứ ằ
A = n3(n2 -7)2 - 36n chia h t cho 5040 v i m i s t nhiên n.ế ớ ọ ố ự
H ng phân tích ướ
+ Tr c h t cho hs nh n xét v các h ng t c a bi u th c A ướ ế ậ ề ạ ử ủ ể ứ
+ T đó phân tích A thành nhân từ ử
Gi i: Ta cóả
A =n[n2(n2 -7)2 -36]= n[(n3 -7n2)-36]
= n(n3 -7n2 -6)( n3 -7n2 +6)
Mà n3 -7n2 -6 = (n+1) (n+2) (n-3)
n3 -7n2 +6 = (n-1)(n-2)(n+3)
Do đó
A= (n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3)
Đây là tích c a 7 s nguyên liên ti p.Trong 7 s nguyên liên ti p ủ ố ế ố ế
+T n t i m t b i c a 5ồ ạ ộ ộ ủ
A chia h t cho 5ế
+T n t i m t b i c a 7ồ ạ ộ ộ ủ
A chia h t cho 7ế
+T n t i hai b i c a 3 ồ ạ ộ ủ
A chia h t cho 9ế
+T n t i ba b i s c a 2,trong đó có m t b i s c a 4ồ ạ ộ ố ủ ộ ộ ố ủ
A chia h t cho 16ế
A chia h t cho các s 5,7,9,16 đôi m t nguyên t cùng nhau nên A chia h tế ố ộ ố ế
cho
5.7.9.16 =5040.
+ Qua ví d 1 rút ra cách làm nh sau:ụ ư
G i A(n) là m t bi u th c ph thu c vào n (nọ ộ ể ứ ụ ộ
N ho c nặ
Z).
Chú ý 1:
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
5
