Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
ỉ ọ ạ ụ ụ
ọ ớ ổ ạ ạ ộ ươ
ụ ỉ ạ ạ ng pháp d y h c và phong trào t ị ư ưở t ng nhân cách, kh năng t
ọ ạ ệ ự ả ự ệ ẽ ệ ọ đào t o''. '' Coi tr ng giáo d c chính tr , t ự
ạ ệ ủ ụ ộ ớ ợ ấ ướ
ệ ụ
ọ ệ ứ ọ ạ ng pháp d y h c toán ụ ng đ i m i ph
ậ ệ ự
ả ự
ọ ề ộ ậ ỏ i là ao
ạ
ọ ề ủ
ươ ộ ố
ả ế ượ ụ ấ ướ ầ hào c a các th y cô giáo trong m i mi n đ t n c . ề ố ọ ủ ng s h c c a THCS, các bài toán v phân tích m t s ra th a s ấ ế ứ ứ ơ ả ể ư ừ ố ạ ố và tính ch t chia h t c a s nguyên h t s c phong phú và đa d ng. Vì ọ ụ duy cho h c i toán và còn phát tri n t
ẽ ặ ặ ộ ọ
ứ ứ ơ ả ế ạ ữ ế ạ ắ ậ
ế ế t làm các bài toán chia h t và bi
ế ự ế ể ọ ạ ứ
ế ụ ể ả i các d ng toán khác và ng d ng nó trong th c t ? Và làm th ứ ự ả ấ ậ t cách v n ế i các bài toán nh t là
ố ư ề ấ
ụ ự ề
Ề Ặ Ấ A. Đ T V N Đ : ề Trong báo cáo v nhi m v năm h c, B giáo d c & Đào t o ch rõ: ự Ch đ o m nh m vi c đ i m i ph ư ọ ự h c, t ế ủ duy sáng t o và năng l c th c hành c a h c sinh''. '' Quy t tâm th c hi n 2 ữ ủ ươ ng đó hoàn toàn phù h p v i nh ng yêu không trong ngành giáo đ c''. Ch tr ầ ấ ư ướ ệ c u c p bách c a công cu c công nghi p hoá, hi n đ i hoá đ t n c c nh n ệ ta hi n nay. ạ ứ ủ ụ ứ Căn c vào nhi m v , m c tiêu c a ngành giáo d c, căn c vào th c tr ng ổ ươ ở ườ ớ ạ ướ ng d y h c toán hi n nay, h tr ệ ọ ậ ủ ọ ạ ộ THCS là tích c c hoá ho t đ ng h c t p c a h c sinh, t p trung vi c rèn luy n ạ ư kh năng t duy tích c c, đ c l p, sáng t o. ọ ậ ọ ọ ướ ủ ể ở c c a m i h c sinh , đó là đi u m i b c Đ tr thành h c sinh gi ề ố ề ph huynh đi u mong mu n cho con mình đ c thành đ t và đây cũng là ni m ư t Trong ch ế ủ ố nguyên t ậ nó v n d ng ki n th c c b n vào gi sinh. ế Khi g p m t bài toán ch ng minh chia h t, h c sinh s g p khó khăn n u không n m v ng ki n th c c b n và các d ng bài t p, cách làm các d ng bài ậ t p đó ậ V y làm th nào đ h c sinh bi ụ d ng nó đ gi ấ ả ể ọ nào đ h c sinh c m th y có s say mê, hào h ng khi gi ọ ỏ ố ớ ọ đ i v i h c sinh gi i h c toán? ươ Đó là v n đ tôi luôn quan tâm và luôn tìm ph ộ ố ạ ọ
i u, đ đ t đ ụ
Ề
ươ ươ ọ ọ
ươ ế
ạ ứ ậ ứ ộ ọ ọ
ạ ượ ạ
ằ ọ ế ề c di u ki n trên thì trong qu trình d y h c b i d ả ổ ệ ớ ả ạ ng pháp ứ ế ng pháp nghiên c u ki n th c ố ư ấ i u nh t. ọ ng h c sinh ế ạ t k bài d y , lên k
ố ỏ i ta cũng ph i đ i m i ph ạ ứ ể ạ ượ c ng pháp t "M t s d ng toán áp d ng tính m c đích đó tôi l a ch n đ tài ế ủ ố chia h t c a s nguyên'' . Ả Ế Ấ B. GI I QUY T V N Đ Ậ Ơ Ở I) C S LÝ LU N ụ ớ ổ ng pháp d y h c nh m m c đích cho h c sinh ph Đ i m i ph ứ suy nghĩ, chi m lĩnh các tri th c khoa h c và ph ộ ụ ằ m t cách khoa h c, nh m v n d ng ki n th c khoa h c m t cách t ồ ưỡ Mu n đ t đ gi ho ch b m n r rng , t c l ta ph i xc đ nh:
ị ị ủ ộ ổ ứ ầ ạ ọ ọ ế ế ươ ng pháp gi ng d y và thi ả ữ vai tr ch đ ng, sáng t o, t ch c cho h c sinh
1
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
ế ế ộ ơ ệ ủ ơ C ng vi c c a th y gi ứ chi m lĩnh ki n th c.
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
ủ ộ ố ớ ọ
ỏ ề ượ ả ự ề ủ c suy nghĩ nhi u, tr ẫ ướ i nhi u câu h i, đ c th c hành nhi u d ạ ướ ự ổ i s t ả ng d n c a giáo ả ượ Đ i v i h c sinh ph i ch đ ng, sáng t o, ph i đ ứ ề ch c h
Ễ
ọ ọ ặ ự ượ
ế ọ ặ ạ ạ ứ ơ ả
ẫ ệ ươ ướ ng pháp gi
ậ ế ư ị ặ ị ạ
ọ ầ ừ ướ ề ng ph ạ c gi ọ ế ậ t v n d ng ho c v n d ng ch a linh ho t, sáng t o các ki n th c c ụ ọ t v n d ng t ng b
ắ ế ượ ả ừ ng d n. Vì th không phát huy đ
ẩ ệ ỏ
ề ặ ố ớ ọ ườ ả ầ ỏ ỉ
i th y ph i ch ớ ự
ờ l viên. Ơ Ở Ự II) C S TH C TI N ệ ầ c h c đ y Th c tr ng d y và h c toán hi n nay, m c dù h c sinh đ d ộ ở ộ ầ ủ đ các ki n th c c b n, có ph n m r ng, nâng cao nhi u. Song khi g p m t ả i, bài toán, h c sinh v n c n lúng túng trong vi c đ nh h ứ ơ ụ ụ ư ch a bi ỉ ế ậ ủ ề ả b n đ h c. Nhi u h c sinh ch bi i, t ng ph n c a ộ ẫ ướ ầ ứ quy t c, công th c mà th y đ h c tính đ c ạ ủ ọ ậ l p, sáng t o c a h c sinh. ặ ấ ứ ị ế ầ ố ớ Đ i v i th y công vi c chu n b ki n th c, đ t v n đ , đ t câu h i sao ề ượ ệ ạ ọ ượ ề c suy nghĩ nhi u? Đ c làm vi c nhi u? Đ i v i h c sinh đ i cho h c sinh đ ậ ớ ủ ả ờ ọ i. Vì v y ng i trong l p tr l trà hay ch là h c sinh khá, gi ố ượ ủ ấ ả ạ ộ ộ ng trong l p. t c các đ i t đ ng tích c c hoá các ho t đ ng c a t ớ ấ ề ọ ễ ọ
ứ ơ ở ự ể ế ủ ư ệ ơ
ộ ớ ọ Trong th c ti n v n đ h c không đi đôi v i hành đ lm cho h c sinh ố ứ duy đ ti p nh n, c ng c tri th c cũ, ộ ậ ệ c làm vi c d c l p,
ượ
ề ạ ấ
ượ ố ọ c h c
ậ kh ng cĩ c s th c hi n các thao tác t ượ ứ làm n n t ng lĩnh h i tri th c m i. Do đó, h c sinh ít đ c phát huy tho đáng. năng l c cá nhân không đ ủ ậ ả ố ớ ố , tính chia h t đ i v i s nguyên, h c sinh đ ộ ừ ố ộ ố
ọ
ế ạ ờ
ệ ớ ọ ứ , h c sinh có th gi
ứ ạ c các bài toán nhanh h n và ph c t p h n ơ ở ự ễ ộ ố ả i
ấ ầ ự ễ ơ ở ươ ả ạ ớ ợ ề ả ự ả ộ Trong nhi u năm gi ng d y toán c a b c THCS tôi th y phân tích m t ọ ở ừ ố ố ế s ra th a s nguyên t ư ố ề ặ ớ , l p 6, nh ng khi g p m t bài toán v phân tích m t s ra th a s nguyên t ế ủ ố ả ẫ ị i , tính chia h t c a s nguyên, h c sinh v n c n lng tng trong vi c tìm ra cách gi ằ ế ể ỗ ợ ứ ở b i vì các ki n th c liên quan đ h tr còn h n ch . Lên l p 8 nh các h ng ử ể ả ứ ớ ẳ đ ng th c đáng nh và phân tích đa th c thành nhân t i ơ ở ớ ướ ơ ượ i đ l p d ố ậ ự i th y c n có m t s gi D a trên c s lý lu n và c s th c ti n trên t ệ ớ ổ pháp đ i m i ph ng pháp gi ng d y cho phù h p v i th c ti n hi n nay.
Ả III CÁC GI I PHÁP
ụ ữ ụ ồ ạ
ậ ộ ố ắ ế ể ọ i trên, đ h c sinh ố ụ c các bài t p liên quan đ n phân tích m t s ra th a s nguyên t
ộ ừ ố ầ ả ơ
ị ố ế ị ố ọ ể ư ọ ủ ộ ổ ứ ạ ch c d y h c. t ti n trình bi so n v t ề ể ấ ố t cc tình hu ng cĩ v n đ đ có th giúp h c sinh t duy suy
ộ ố ạ ườ ề ứ ể Đ đáp ng m c tiêu giáo d c và kh c ph c nh ng t n t ượ ể có th làm đ ế ủ ố ự và s chia h t c a s nguyên, m t cách ch đ ng h n giáo viên c n ph i: ạ ẩ Chu n b t ẩ Chu n b t ị nghĩ, đ nh hình cch lm Cung c p h c sinh m t s d ng toán th
ế ủ ố ặ ụ ố
ọ và tính chia h t c a s nguyên , áp d ng vào gi ủ ừ ố ậ ộ ố
2
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
ộ ố ế ể ứ ứ ụ ượ ọ ộ ố ấ ng g p v phân tích m t s ra ả i các bài toán th a s nguyên t ừ ố ụ có v n d ng m t s ki n th c nâng cao c a phân tích m t s ra th a s nguyên ố t mà h c sinh có th ng d ng đ c.
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
ọ ọ ế ế ữ ụ ứ t áp d ng nh ng ki n th c đ h c vo lm bi
ạ ậ t p m t cch linh ho t,cĩ sng t o.
ế ầ ư ậ
ể ư ệ ố ả ể ạ Qua các bài toán h c sinh bi ạ ộ ộ Thông qua n i dung lý thuy t c n l u ý v cc bi t p cĩ tính h th ng,nâng ọ duy toán: lôgic, sáng t o, phát tri n kh năng khái
ổ
ự ấ ể ạ ặ ố
ộ ố
ạ
ộ ố ạ
Ứ Ố Ọ Ệ Ữ Ế cao phát tri n cho h c sinh t quát,t ng quát hoá ộ ố ọ Đ t o cho h c sinh có s ph n khích khi g p cc bi t n : Phn tích m t s ụ ế ủ ố ố ừ ố hay tính chia h t c a s nguyn, tôi xin trình bày m t s ví d ra th a s nguyn t ụ ề '' M t s d ng tóan áp d ng ể ạ ề v các d ng tóan đ minh ho cho chuyên đ ế ủ ố tính chia h t c a s nguyn'' Ơ Ồ S Đ QUAN H GI A CC KI N TH C S H C 6
ệ ấ
ế ế ế ế ế ấ ạ ố C u t o s Chia h t cho 2 Chia h t cho 3 ế Cc d u hi u chia h t Chia h t cho 5 Chia h t cho 7 Chia h t cho 11
ừ ố ộ ố ố
Phn tích m t s ra th a s nguyn t
ộ ướ B i và c
Ư BCNN CLN
Ư Ư Tìm BC thông qua tìm BCNN Tìm C thông qua tìm CLN
Ư ề Các bài toán v BC và C
3
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
ế ủ ố ấ Tính ch t chia h t c a s nguyên
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
ế ư Chia h t Chia có d
ộ ướ ố ư ứ ế B i và c Ch ng minh chia h t cho Tìm s d trong php chia
ố ố ợ ố ố ươ S nguyên t H p s S chính ph ng Nguyên lý Drich le
ả ươ ệ Gi i ph ng trình nghi m nguyên
. . . . . . . . . .
Ộ IV. N I DUNG
ự ượ ệ ề
ế ưở ọ ở ớ c h c ớ
ơ ạ ế ủ ố ủ ớ ả
ớ ả ưở ở ớ ề ế ủ ố ế ể ấ l p 6 nh h
ộ ố ế ỏ ằ ứ Ch ng t ệ ủ r ng trong n +1 s nguyên liên ti p thì có m t hi u c a
ộ ớ ế
ố ố ư ầ ượ t là 1 . 2 ,
ố ư t là các s chia cho n có s d l n l n+1 chia cho n có s d là1.
ấ ỳ ố ư ượ ứ ẫ ta xét b t k s d khác ta v n ch ng minh đ ệ c . Hi u hai s ng t ố
ủ ằ ố t tích c a chúng b ng 21.
i :ả ọ ầ ố
4
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
l p 6 , 1/Ta phân tích s quan h v tính chia h t c a s nguyên đ ủ ọ ụ ứ ậ ả ng đ n các ki n th c v n d ng c a l p 6 vào h c các l p 8 , 9 c a nh h ế ủ ậ b c THCS . Tôi có th l y các bài toán đ n gi n khi d y v tính chia h t c a ế ố s nguyên ng l n đ n các bài toán chia h t c a s nguyên sau này : Ví d 1 :ụ ố hai s chia h t cho n . (v i n thu c N) i :ả Gi ầ ượ ọ G i a1 , a2 , a3 , . . . l n l ư 3 , . . . thi an chia cho n d 0 , a Do đó : an+1 – a1 = (n.k +1) – (n.l +1) = n.k – n.l = n(k – l ) = n.q ự ươ ....T ế chia h t cho n Đây chính là nguyên lý Dirich le . ế Ví d 2 ụ : Tìm hai s nguyên bi Gi G i hai s nguyên c n tìm : là x , y Ta có : x.y = 21 Vì : 21 = 21. 1 = 3 . 7 = 7 . 3 = 1 . 21 = (1)(21) = =(3)(7)= (7)(3)= (21)(1)
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
ủ ặ ả ượ i ra tìm đ
c nhi u nghi m c a các c p giá tr c a x và y . ừ ố ộ ố ị ủ ố ệ ừ ố và tính ướ ủ c c a
Ư ế ủ ủ ằ t BCNN c a chúng b ng 48 và CLN c a ố Tìm hai s x và y . Bi
ế ặ ượ ạ c l i)
i : ả ế ế ế ặ
ượ ạ c l i)
ặ ế i )
ưở ể ả ế ng đ n các bài toán
ả ượ ạ ự ồ ưỡ ư ở ớ ề Nên ta gi Đây chính là phân tích m t s ra th a s ra th a s nguyên t ố s nguyên . ụ Ví d 3 : ằ chúng b ng 8 . Gi + N u x chia h t cho y thì : x = 48 , y = 8 (ho c ng +N u x không chia h t cho y thì : (x> y ho c y>x) x = 8d1 , y = 8d2 ; (d1,d2)=1 Suy ra : d1.d2 = 48 : 8 = 6 ặ Nên : d1 = 3 ; d2 = 2 (ho c ng Do đó : x = 8.3 = 24 y = 8.2 = 16. (Ho c k t qu ng c l ệ ủ Ta có th xét s quan h c a các bài toán này nh h ở ươ ch các l p 8 , 9 nh : ng sau này ng trình b i d
ệ
ế
Ạ
ớ ế ọ ố ự nhiên n.
ạ ậ ể ứ ử ủ c a bi u th c A c h t cho hs nh n xét v các h ng t
ử
ả i: Ta có
ế ế ố
ồ ạ ồ ạ ồ ạ ồ ạ ộ ộ ố ủ
ộ
(cid:0) A chia h t cho 16 ế ế cùng nhau nên A chia h t
ư
ứ D NG 1.Ch ng minh quan h chia h t Ví d 1.ụ Ch ng minh r ng ằ ứ A = n3(n2 7)2 36n chia h t cho 5040 v i m i s t ướ H ng phân tích ề ướ ế + Tr ừ + T đó phân tích A thành nhân t Gi A =n[n2(n2 7)2 36]= n[(n3 7n2)36] = n(n3 7n2 6)( n3 7n2 +6) Mà n3 7n2 6 = (n+1) (n+2) (n3) n3 7n2 +6 = (n1)(n2)(n+3) Do đó A= (n3)(n2)(n1)(n+1)(n+2)(n+3) ủ ố Đây là tích c a 7 s nguyên liên ti p.Trong 7 s nguyên liên ti p (cid:0) A chia h t cho 5 ế ộ ủ ộ +T n t i m t b i c a 5 (cid:0) A chia h t cho 7 ế ộ ộ ủ +T n t i m t b i c a 7 (cid:0) A chia h t cho 9 ế ộ ủ i hai b i c a 3 +T n t ộ ố ủ i ba b i s c a 2,trong đó có m t b i s c a 4 +T n t ố ố ế A chia h t cho các s 5,7,9,16 đôi m t nguyên t cho 5.7.9.16 =5040. ụ + Qua ví d 1 rút ra cách làm nh sau: ụ
ứ ể ộ ộ G i A(n) là m t bi u th c ph thu c vào n (n
(cid:0) N ho c nặ (cid:0) Z).
5
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
ọ Chú ý 1:
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
ể ứ ể ứ
ừ ố
ứ
ế ố ố
ế ử ụ
ộ ố
ố ố ấ ố . ừ ố ừ ố ộ )
ờ ố ế ồ ạ cũng t n t ộ ộ ố ủ i m t b i s c a k.
ố ứ
ằ ế ế ế ế
i:ả
ế
ồ ạ ế ộ ộ i m t b i
Ở ầ ễ ờ ộ c nh các bài toán đã quen thu c
ph n a, b hs d dàng làm đ ể ứ ố ư ủ ượ ế
ợ ng h p a = 5k, a= 5k
(cid:0) 1, a=5k (cid:0) 2
ế ủ ố ố ư ề
ế
ứ ấ ế ế ố ố
ố ạ ứ ế
ế ế ủ ả
ậ ụ ụ ộ ổ ế i . ư
ể ứ ứ ọ ườ ể ế ợ ng h p
6
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
ộ ố ườ ế ng phân tích A(n) +Đ ch ng minh bi u th c A(n) chia h t cho m t s , ta th ế ừ ố ố ợ ộ thành th a s , trong đó có m t th a s là m.N u m là h p s , ta phân tích nó ồ ố ộ ừ thành môt tích các th a s đôi m t nguyên t cùng nhau, r i ch ng minh ấ ả t c các s đó. A(n)chia h t cho t ứ ủ ớ ứ +Trong quá trình ch ng minh bài toán trên ta đã s d ng các ki n th c c a l p 6 : Phân tích m t s ra th a s nguyên t ế ủ Tính ch t chia h t c a m t tích (th a s là s nguyên t Nguyên lý Dirich le L u ý:ư Trong k s nguyên liên ti p, bao gi Ví d 2ụ .Ch ng minh r ng v i moi s nguyên a thì ớ a) a2 a chia h t cho 2. b) a3 a chia h t cho 3. c) a5 a chia h t cho 5. d) a7 a chia h t cho 7. Gi a) a2 a =a(a1), chia h t cho 2. b)a3 a = a( a2 1) = a(a1)(a+1), tích này chia h t cho 3 vì t n t c a 3.ủ + + Đ ch ng minh a(a 1 ) chia h t cho 2, ta đã xét s d c a a khi chia cho 2 ặ ụ (ho c d ng nguyên lý Dirich le ) c) Cách 1 A = a5 1= a(a2+1)(a2 1) ườ Xét các tr ậ ụ +Ta v n d ng vào tính chia h t c a s nguyên v xét s d suy ra A chia h t cho 5 Cách 2. A = a5 1= a(a2+1)(a2 1) = a(a2+1)(a2 4+5) = a(a2+1)(a2 4)+ 5a( a2 1) = (a 2) (a1)a(a+1)(a+2) + 5a(a2 1) ủ S h ng th nh t là tích c a năm s nguyên liên ti p nên chia h t cho 5,s ạ h ng th hai cũng chia h t cho 5. Do đó A = a5 1 chia h t cho 5. +Ta v n d ng tính chia h t c a m t t ng vào gi + Qua ví d 2 đ ch ng minh chia h t ta đã làm nh sau: Chú ý 2: Khi ch ng minh A(n) chia h t cho m, ta có th xét m i tr ề ố ư v s d khi chia n cho m. Ví d 3.ụ
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
ỉ ể ế ươ ộ ố ố ư ng chia h t cho 3 ch có th có s d
ằ ể ươ ọ ố ố ư ỉ ng chia cho 4 ch có th có s d
ố ươ ứ ặ ứ ặ ố ng không?
ố ươ ồ ạ ố ng không? i s nào là s chính ph
2 (n(cid:0) N)
ươ ng A = n
i:ả G i A là s chính ph ườ ố ợ ng h p:
N) (cid:0) A = 9k2 chia h t cho 3
ỉ ậ ố ố ư ằ 1 (k(cid:0) N) (cid:0) A = 9k2 (cid:0) ươ ế 6k +1 chia cho 3 d 1ư ể ng chia cho 3 ch có th có s d b ng 0 ho c 1.
ế ố ư
ườ
ế
ư ư
ố ư ằ ỉ ng chia cho 4 ch có th có s d b ng 0 ho c 1.
ể ố ư ế
ố ố ư ư
ươ ế ng không chia h t cho 3 nên chia cho
ư
ươ
ế
ố ươ ươ ư ẻ
ng. ng ch n nên chia h t cho 4. ng l ố ươ
ươ ấ ố ư ử ng và xét s d c a
ẻ ố ế ủ ố ụ ố ng đó khi các s đó ch n hay l .
ư ặ ố
ươ ọ ố ủ ẻ ươ
ng l ậ ươ
ề ậ ư thì chia cho 4 d 1. ố ủ ứ ỹ ừ ấ ử
ng. ế ủ ơ ứ ậ ứ ằ ẳ
7
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
ằ a)Ch ng minh r ng m t s chính ph ằ b ng 0 ho c 1. b) Ch ng minh r ng m t s chính ph ằ b ng 0 ho c 1. c)Các s sau có là s chính ph M = 19922 + 19932 +19942 N = 19922 + 19932 +19942 +19952 P = 1+ 9100+ 94100 +1994100. d)Trong dãy sau có t n t 11, 111,1111,11111,....... ọ Gi a)Xét các tr n= 3k (k(cid:0) n= 3k (cid:0) ặ V y s chính ph ử +Ta đã s tính chia h t cho 3 và s d trong phép chia cho 3 . ợ b)Xét các tr ng h p n =2k (k(cid:0) N) (cid:0) A= 4k2, chia h t cho 4. n= 2k+1(k (cid:0) N) (cid:0) A = 4k2 +4k +1 = 4k(k+1)+1, chia cho 4 d 1(chia cho 8 cũng d 1) ặ ươ ậ ố v y s chính ph ử +Ta đã s tính chia h t cho 4 và s d trong phép chia cho 4 . ấ ừ Chú ý: T bài toán trên ta th y: ươ ế ẵ ng ch n chia h t cho 4 S chính ph ươ ẻ chia cho 4 d 1( chia cho 8 cũng d 1). S chính ph ng l 2,19942 là s chính ph ố ố c) Các s 1993 2 chia h t cho 3. ế 3 d 1,còn 1992 ư ậ V y M chia cho 3 d 2,không là s chính ph 2,19942 là s chính ph ố ẵ ố Các s 1992 2,19952 là s chính ph ố ố Các s 1993 nên chia cho 4 d 1. ư ậ ố V y s N chia cho 4 d 2,không là s chính ph ng. ậ +Ta đã v n d ng tính ch t chia h t c a s chính ph ẳ các s chính ph d) M i s c a dãy đ u t n cùng là 11 nên chia cho 4 d 3.M t khác s chính ph ố V y không có s nào c a dãy là s chính ph ề Chú ý 3:Khi ch ng minh v tính ch t chia h t c a các lu th a,ta còn s ụ d ng các h ng đ ng th c b c cao và công th c Niut n sau đây: +an bn =(ab)(an1+an2b+an3b2+...+abn2+bn1) (1) +an+bn=(a+b)(an1an2b+an3b2...abn2+bn1) (2)
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
ớ n.
ộ ế ứ ứ
ợ ử ố ớ ậ ị ỗ ử ậ ủ ,b c c a m i ượ c xác đ nh ạ ệ ố 1,c2,...cn1 đ
1 4 1 n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 ọ ố ẻ v i m i s l ơ ứ Công th c Niut n (a+b)n= an+c1an1b+c2an2b2+...+cn1abn1+bn ả Trong công th c trên, v ph i là m t đa th c có n+1 h ng t ế ạ h ng t đ i v i t p h p các bi n là a,b là n.Các h s c ở b i tam giác Pa xcan: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 4 6 1 5 10 10 5 1
ớ ế ụ ứ ọ ố ự
(cid:0) b)
ế
ặ ế
ỉ ứ ụ
ớ ấ ả ứ ơ ọ ố ự ọ ứ ể nhiên n, bi u th c 16
ỉ ằ ố ẵ
(cid:0) N) thì ế
2 1
n +1 2,
ứ ằ
ứ ế (cid:0) ậ ằ n ch n.ẵ
ứ ơ
ế ế ẵ thì A = B (17) 1 1 = B (17 )2
8
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
ế ............. c1 c2 c3 c4 ằ ẳ Áp d ng các h ng đ ng th c trên vào tính chia h t, ta có v i m i s t ố ự nhiên n : nhiên a,b và s t an bn chia h t cho ab (a ế (cid:0) b) a2n+1 +b2n+1 chia h t cho a+b ( a (a+b)n =Bs a+bn (Bs a là b i c a a). ộ ủ ệ Đ c bi t chú ý đ n: (a+1)n = Bs( a +1) ( a 1)n = Bs (a 1) (a1)2n+1= Bs( a – 1) ố *T t c các công th c Niu T n trên ch áp d ng cho h c sinh các kh i 8 , 9 . n 1 chia h t cho 17 ế Ví d 4ụ .Ch ng minh r ng v i m i s t khi và ch khi n là s ch n. i:ả Gi Cách 1: ẵ ế N u n ch n (n=2k, k A= 162k 1 = (162)k 1 chia h t cho 16 ẳ Theo h ng đ ng th c (1) Mà 162 1 =255 chia h t cho 17. ế ậ ế V y A chia h t cho 17 ẻ ế thì A = 16 N u n l mà 16n+1 chia h t cho 17 theo h ng đ ng th c (9),nên A không chia h t cho 17 ế ẳ ế v y A chia h t cho 17 Cách 2: A=16n 1 =(171)n 1 = B (17) +(1)n 1(theo công th c Niut n) N u n ch n thì A =B (17) +11 =B (17) ẻ N u n l Không chia h t cho 17.
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
ả ứ ươ ườ ng pháp ph n ch ng,nguyên lý Di ríchlet i ta còn dùng ph
ạ ệ ằ ộ ộ ố ủ i m t b i s c a 2003 có d ng
i:ả Xét 2004 s :ố
ặ
ọ ố
= . 104n Chú ý 4: Ng ế ể ứ đ ch ng minh quan h chia h t. Ví d 5ụ . Ch ng minh r ng t n t ồ ạ ứ 2004 2004 .......2004 Gi A1 =2004 A2 =2004 2004 ... ầ A2004=2004 2004....2004 (Nhóm 2004 có m t 2004 l n). ố ồ ạ ố ư Theo nguyên lý Dirich let, t n t i hai s có cùng s d khi chia cho 2003. m và an (1 (cid:0) n (cid:0) m (cid:0) 2004) G i hai s đó là a ế Thì am an chia h t cho 2003.Ta có am an = 2004 2004......2004000....000 20042004 m(cid:0) nnhoùm
..... 2004 2004
Do ( 104m, 2003) =1 nên
20042004 m(cid:0) nnhoùm
..... 2004 2004
ự ậ ươ :
6 + n4 2n2 chia h t cho 72 v i m i s nguyên n.
ọ ố ế ớ ằ ứ
i:ả
ườ ợ ng h p n= 2k, n=2k+1
ườ ợ ng h p n = 3a, n=3a
(cid:0) 1
6 + n4 2n2 72 v i m i s nguyên n ớ
ọ ố ế Chia h t cho 2003. ng t Bài t p t Bài 1. Ch ng minh r ng n Gi Ta có n6 + n4 2n2 = n2 ( n4 +n2 2) =n2 (n4 1 + n2 1 ) = n2 [ (n2 1)(n2 +1) +(n2 1)] = n2 (n1)(n+1)(n2 +2) +Xét các tr (cid:0) n6 + n4 2n2 8 +Xét các tr n6 + n4 2n2 9 v y nậ
2n 9 chia h t cho 72 v i m i s nguyên d
ươ ớ ằ ế ứ ọ ố ng n
i:ả
ặ ế 2n 9 = (3n 1)(3n +1) 8
ế ế
72
làm ằ ứ
9
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
ớ ớ ế ế Bài 2. Ch ng minh r ng 3 Gi Ta có B =32n 9= 9n 9,nên B chia h t cho 9 M t khác B = 3 Do 3n 1,3n +1 là hai s ch n liên ti p nên B chia h t cho 8 ố ẵ ậ V y B ậ ự * Bài t p t Ch ng minh r ng 1.n3+6n2+8n chia h t cho 48 v i m i n ch n ẵ ọ 2.n410n2+9 chia h t cho 384 v i m i s n l ọ ố ẻ
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
Ạ
ố ư
100
ố ư
i:ả
3 = 8 = 91
ớ ộ ộ ỹ ừ ủ ủ
100 cho 25 là 1. ơ
ớ ộ ố ủ
ứ
D NG 2.Tìm s d Ví d 6ụ : Tìm s d khi chia 2 a) cho 9; b) cho 25; c) cho 125. Gi a) Lu th a c a 2 sát v i m t b i so c a 9 là 2 Ta có 2100 =2( 23)33 = 2(91)33=2(B(91)) = B( 9) 2= B(9)+ 7 100 cho 9 là 7. ố ư S d khi chia 2 ỹ ừ ủ b) Lu th a c a 2 sát v i b i s c a 25 là 210 = 1024 =B(25) 1 Ta có 2100= (210)10 =(B(25) 1)10 =B(25) +1 ố ư S d khi chia 2 c) Dùng công th c Niut n: 2100 = (5 1)50
=55050.5049+....+ .52 50.5+1.
49.50 2
ơ ầ ầ
ặ ể ớ ể ằ ố ạ ế ệ ố ủ ơ ớ
100 chia cho 125 d 1.ư
ỹ ừ ủ ố
ộ ố ự ứ ơ ế c r ng n u m t s t nhiên n không
ố ư ế ượ ằ 100 chia cho 125 có s d là 1.
(cid:0) 1,5k (cid:0) 2.Ta có
99.
(5k)2 (cid:0) 100.5k+1
ứ Không k ph n h s c a khai tri n Niut n thì 48 s h ng đ u đã ch a ố ạ lu th a c a 5 v i sô mũ l n h n ho c b ng 3 nên chia h t cho 125, s h ng cu i là 1 . V y 2ậ ổ Chú ý: T ng quát h n,ta ch ng minh đ chia h t cho 5 thì n ạ ậ ậ Th t v y, n có d ng 5k (5k (cid:0) 1)100=(5k)100 (cid:0) 100 ...+ 2 = B(125) +1 (5k (cid:0) 2)100=(5k)100 (cid:0) (5k)2.298 (cid:0) 100.5k .299+ 2100 ...+
100 99. 2
100 chia cho 125 d 1ư
ạ
ế ủ 100 khi vi ệ ậ t trong h th p phân.
ụ ữ ố ậ i:ả Theo ví d trên ta có
ữ ố ậ ố ẵ ủ ỉ
ể
ặ ế ủ ế ả
ố
ậ
100 là
ữ ố ậ ủ ế ế ẵ
= B(125) +2100 i có 2 Ta l Do đó (5k (cid:0) 2)100 chia cho 125 d 1.ư Ví d 7ụ : Tìm ba ch s t n cùng c a 2 Gi 2100 = BS 125 +1,mà 2100 là s ch n, nên ba ch s t n cùng c a nó ch có th là 126, 376, 626 ho c 876. Mà 2100 chia h t cho8 nên ba ch s t n cùng c a nó ph i chia h t cho ữ ố ậ ả ỉ ệ ề 8.Trong 4 s trên ch có 376 tho mãn đi u ki n này. ủ 100 là 376. ữ ố ậ V y ba ch s t n cùng c a 2 ố Chú ý: N u n là s ch n không chia h t cho 5 thì 3 ch s t n cùng c a n 376. Ví d 8ụ : Tìm 4 ch s t n cùng c a 5
10
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
ữ ố ậ ế ệ ậ t trong h th p phân. ủ 1994 vi
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
i: ả
4k 1 chia hêt cho 54 1
ươ ỹ ừ ấ ố ậ ấ ng b t kì
ế
6( 5332 1) chia h t cho
4, còn 5332 1 chia h t cho 16 nên 5
ế ế ế
ủ 1994 là 5
ng t
ư nhiên n thì 7
ữ ố ậ ố
ặ ệ ủ ế
i:ả Xét hi u c a 7
ữ ố ậ ố
Do đó 7n+1 và 7n có ch s t n cùng gi ng nhau. ố ư ủ ố ư ủ
Ta có 2222 + 5555 =(B(7) +1)22 +(B(7) 1)55
22 + 5555 chia h t cho 7
ế Gi ằ Cách 1. Ta th y s t n cùng b ng 0625 nâng lên lu th a nguyên d ằ ẫ ậ v n t n cùng b ng 0625.Do đó 51994=54k+2 =25(54k)=25(0625)k = 25.(...0625) = .....5625 Cách 2. Ta th y 5ấ = (52 1)(52 +1) nên chia h t cho 16. Ta có: 51994 = 56( 5332 1) +56 Do 56 chia h t cho 5 10000 Và 56 = 15625. ữ ố ậ ậ V y 4 ch s t n cùng c a 5 ự ậ ươ Bài t p t n và 7n+4 có hai ch s t n cùng nh nhau. ọ ố ự ớ ữ ố ậ 1.CMR v i m i s t ố ỏ + Cho hs đ t câu h i: Khi nào hai s có hai ch s t n cùng gi ng nhau? Khi hi u c a chúng chia h t cho 100 ệ ủ n +4 7n = 7n( 74 1) Gi = 7n .2400 22+5555 cho 7. 2.Tìm s d c a 22 + Xét s d c a 22 và 55 cho 7? i:ả Gi = B(7) +1+ B(7) 1 = B(7) V y22ậ
Ạ
ệ ể ể
ề ố
ứ ế ị ủ ể Tìm s nguyên n đ giá tr c a bi u th c A chia h t cho giá tr c a
ể
ế D NG 3. Tìm đi u ki n đ chia h t Ví d 9: ụ ị ủ bi u th c B:
ứ A= n3 +2n2 3n+2 , B= n2 n
ặ i:ả Đ t tính chia:
Gi n3 +2n2 3n+2 n2 n n3 n2 n +3 3n2 3n +2 3n2 3n 2
ố ế ế ế ả
11
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
Mu n chia h t, ta ph i có 2 chia h t cho n(n1),do đó 2 chia h t cho n(vì n là ố s nguyên)
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
Ta có: n n1 n(n1) 1 2 2 2 1 2
2 3 6 lo iạ
1 0 0 loạ i
3 +1.
ế ươ ng n đ n ể 5 +1 chia h t cho n
3 +1
2 n +1) 2 n +1) 2 n +1 (vì n+1 (cid:0) 0)
ế
ượ n2 (n3+1) (n2 1) chia h t cho (n+1)(n (n1)(n+1) chia h t cho (n+1)(n n 1 chia h t cho n c 0 chia h t cho 1
2 n +1.
ế ể
ị ượ ấ ủ c là 1.
3+1.
ố ế ể 5 +1 chia h t cho n
2 n +1
2 n +1 2 n +1
ụ
2 n +1
2 n +1
ế
ế ế n(n1) chia h t cho n n2 n chia h t cho n ế (n2 n +1) 1 chia h t cho n ế 1 chia h t cho n ợ ng h p
ề ả
ượ n( n 1) =0 (cid:0) n2 n +2 =0 không tìm đ ị n=0; n=1. Các giá tr này tho mãn đ bài. ị ủ c giá tr c a n
ậ ả ố
n 1 chia h t cho 7.
ố ự ế nhiên n sao cho 2
ế
(cid:0) N) thì 2n 1 = 23k 1 = 8k 1
ế
ế
(cid:0) N) thì
ế
(cid:0) N) thì
12
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
(cid:0) ậ V y n= 1; n = 2 Ví d 10ụ ố Tìm s nguyên d i:ả Ta có Gi n5 +1 chia h t cho n (cid:0) ế (cid:0) ế (cid:0) ế ế ế N u n =1 thì ta đ 2 n +1, do đó không th chia h t cho n ế N u n>1 thì n 1< n(n1) +1=n ậ V y giá tr duy nh t c a n tìm đ Ví d 11ụ Tìm s nguyên n đ n i:ả Theo ví d trên ta có: Gi n 1 chia h t cho n (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ườ Có hai tr n2 n +1 =1 (cid:0) n2 n +1= 1 (cid:0) V y n= 0; n =1 là hai s ph i tìm. Ví d 12ụ Tìm s t i:ả Gi N u n = 3k (k Chia h t cho 7 N u n =3k +1(k 2n 1= 23k+1 1=2(23k 1) +1 = Bs 7 +1 N u n = 3k +2 ( k 2n 1= 23k+2 1 =4(23k 1)+3 =Bs 7 +3 n 1 chia h t cho 7 ế V y 2ậ n = 3k(k(cid:0) N).
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
ậ
ế ệ ủ ố ự nhiên a đ a ể 2+3a +2 chia h t cho 6.
i:ả
ủ ố ự ế ế nhiên liên ti p nên chia h t
(cid:0) ế ế a2 +2 chia h t cho 3
ế a không chia h t cho 3.
ế
ề ế ệ ủ ố ự nhiên a đ a ể 4 1 chia h t cho 240.
ố ố ể ươ ng. p đ 4p +1 là s chính ph
2 + b2 + c2 cũng là s nguyên t
ố ố ố ế
ả ườ ố liên ti p a,b,c sao cho a ợ ng h p
ộ ố ằ i: Xét hai tr ố
ợ ố
ố ạ .
ố ả ố ơ
ư ợ ố
ợ
2 +b2 = c2 + d2 .Ch ng minh
ứ ả ạ ươ ng a,b,c,d th o mãn a
ợ ố
i:ả
ỗ ấ ủ ể ẵ ặ ố
ế
ơ
ứ ố
ế ế
i:ả
13
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
ề ế ụ *Bài t p áp d ng ề Bài 1: Tìm đi u ki n c a s t Gi Ta có a2 +3a + 2 = (a+1)(a+2) là tích c a 2 s t cho 2 Do đó a2 +3a +2 chia h t cho 3 a2 : 3 d 1 ư (cid:0) (cid:0) ả ệ ề Đi u ki n ph i tìm là a không chia h t cho 3. Bài 2: Tìm đi u ki n c a s t Bài 3: ố Tìm s nguyên t Bài 4. Tìm ba s nguyên t Gi + Trong 3 s a,b,c có m t s b ng 3. Khi đó 22 + 32 + 52 =38 là h p s (lo i) Còn 32 + 52 + 72 =83 là s nguyên t ề ớ + C 3 s a,b,c đ u l n h n 3. Khi đó a2, b2, c2 đ u chia cho 3 d 1 nên ề a2 + b2 + c2 chia h t cho 3,là h p s (lo i) ạ ế ả ố Vây ba s ph i tìm là 3,5,7. ậ ổ * Các bài t p t ng h p các d ng toán trên ố ố Bài 1. : Cho b n s nguyên d ằ r ng a+ b+c+ d là h p s . Gi ứ ể Xét bi u th c A= (a2 a)+(b2 b)+( c2 c)+ (d2 d) ứ ố ễ ấ D th y A là s ch n (vì bi u th c trong m i d u ngo c là tích c a hai s nguyên liên ti p) nên (a2 + b2 + c2 +d2) (a+b + c+ d) là s ch n ố ẵ mà a2 +b2 = c2 + d2 nên a2 +b2 + c2 + d2 ố ẵ là s ch n. ớ ợ ố ố ẵ ổ ậ V y a + b+ c + d là s ch n,t ng này l n h n 2 nên là h p s . ề ằ ế Bài 2. : Cho các s nguyên a,b,c đ u chia h t cho 6. Ch ng minh r ng 3 + b3 + c3 N u a+ b+ c chia h t cho 6 thì a ế Chia h t cho 6 Gi Ta có A=a3 + b3 + c3 (a +b + c) = (a3 a) + (b3 b) + (c3 c) Do a3 a , (b3 b) , (c3 c) đ u chia h t cho 6
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
ế ế
ươ ủ ế ậ ổ ng c a ba sô nguyên liên ti p thì chia
Nên A 6 ặ M t khác a+ b +c chia h t cho 6 Do đó a3 + b3 + c3 chia h t cho 6 ằ ứ Bài 3: Ch ng minh r ng t ng các l p ph ế h t cho 9.
ậ ổ ươ ủ ế ố + H ng suy nghĩ: T ng các l p ph ng c a ba s nguyên liên ti p có
3 + a3 + ( a+ 1)3
ướ ư ế ạ d ng nh th nào?
ọ ổ ể ế ổ ượ ặ ộ c hãy ch n t ng mà ta có th bi n đ i m t
ẹ
ế ằ ớ
HS: a3 + ( a + 1)3 + ( a + 2)3 ho c ( a 1) ừ ậ ổ + Trong hai t ng v a l p đ ơ cách nh nhàng h n ứ Bài 4: Ch ng minh r ng A chia h t cho B v i A= 13 + 23 + 33 +...+ 99 3 + 1003 B= 1 + 2 + 3+...+ 99 + 100.
ướ ộ ạ
ổ ượ ổ
A chia h t cho 5050? ( 1
ằ ả ề ứ c t ng nào? ( B = 50. 101) 3 + 993 50. 101 ệ ng tho mãn đi u ki n ab = cd. Ch ng minh r ng
ươ i:ả ọ Ư
c ượ
1.m (m nguyên d
5 m5
5 m5 +k5 c1
5 m5 + c1
5 + a1
5 + c1
5 +c5) + m5 ( a5 + c5)
5 + c1
ặ ươ ượ ng), thay vào (1) đ c
5)( k5 + m5). ố ế
ươ
ố ự ứ ề ệ ằ ợ ố ng nên A là h p s . ả nhiên a,b,c tho mãn đi u ki n
ế
2, b2 ,c2 đ u chia cho 3 d 1.
ư ề ế ề ế
ậ ớ
14
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
ộ ố ế + H ng suy nghĩ cho hs: Bài toán trên thu c d ng nào? + Trong hai t ng A và B ta tính đ ế ỏ ứ + Ch ng t ươ ố ố Bài5. Cho b n s nguyên d a5 + b5 +c5 + d5 là h p s ợ ố Gi G i CLN (a,c) = k ( k nguyên d ng) Khi đó a = ka1 , c= k .c1 và ( a1, c1) =1 Thay vào a.b = c.d đ k.a1 .b = k .c1.d nên a1.b = c1. d ta có a1.b c1 mà ( a1 , c1)=1 nên b c1 .Đ t b = c a1.c1.m = c1.d nên a1 .m = d Do đó A = a5 + b5 +c5 + d5 = k5 a1 = k5 ( a1 = (a1 Do a1, c1 , k ,m là các s nguyên d Bài 6. : Ch ng minh r ng n u các s t a2 + b2 = c2 thì abc chia h t cho 60. i:ả Theo bài ra a2 + b2 = c2 (1) Gi Ta có 60 = 3. 4. 5 *N u a ,b ,c đ u không chia h t cho 3 thì a Khi đó a2 + b2 = Bs 3 + 2, còn c2 = Bs 3 + 1 trái v i (1).V y trong ba só a,b,c có m t s chia h t cho 3.
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
ế
2, b2, c2 chia cho 5 d 1 ho c 4. Khi ộ i m t
ư ậ ồ ạ ư ớ ặ 2 chia cho 5 d 1,4 trái v i (1).V y t n t
ố
ế ề ế ư
2, b2, c2 chia cho 8 d 1 ho c 4 2 chia cho 8 d 1, 4 trái v i (1).V y ậ ư
ư ặ ớ
ế
ộ ố ậ ố ự ị ủ ứ ể ố ố ế ề *N u a,b,c đ u không chia h t cho 5 thì a đó a2 +b2 chia cho 5 d 0,2,3 còn c ư ế trong ba s a,b,c chia h t cho 5. *N u a,b,c đ u không chia h t cho 4 thì a Khi đó a2 + b2 chia cho 8 d 0, 2 , 5, còn c ế ồ ạ t n t i m t s chia h t cho 4. ế K t lu n: abc chia h t cho 3.4.5 t c là chia h t cho 60. Bài 7. Tìm s t ứ nhiên n đ giá tr c a bi u th c là s nguyên t :
ế ể n (cid:0) 2
n 3
a) 12n2 5n 15 b)
4
i:ả
ố ố ươ nên 4n +5, 3n 5 là các s nguyên d ng .
ạ
ừ ố ố ả ằ ỏ thì th a s nh ph i b ng 1.
2
ố ố Gi a) Ta có 12n2 5n 15 = 12n2 + 15n 20n 15 = 3n( 4n +3) 5( 4n +3) = (4n +3) (3n 5) Do 12n2 5n 15 là s nguyên t ố i có 3n 5< 4n + 5 ( vì n >1) Ta l 2 5n 25 là s nguyên t ố Đ 12nể Nên 3n 5 =1 (cid:0) n = 2 Khi đó 12n2 5n 25 = 13 .1 =13 là s nguyên t .
)3
n (cid:0)
n 3
ố ự ế .Do B là s t ố nhiên nên n(n+3) chia h t cho 4.Hai s n b) B = =
4
(cid:0)nn ( 4 ể
ặ ặ ẵ ế
ố .
ủ ơ ừ ố ớ
(cid:0) N,k>1) thì B = k( 4k 3) là tích c a hai th a s l n h n 1 nên
ừ ố ớ ủ ơ
(cid:0) N,k>1) thì B = k( 4k 3) là tích c a hai th a s l n h n 1
70 + 370 chia h t cho 13.
ứ ế ằ
i:ả Ta có 270 + 370 = (22)35 + (32)35
ế ớ
2 + 1 là s nguyên t ố ạ thì p có d ng nh th nào? ( Th
ố . ư ế ườ ố ng xét s d ố ư
15
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
ậ và n + 3 không th cùng ch n.V y ho c n, ho c n+3 chia h t cho 4. ế ạ N u n =0 thì B= 0, lo i ế ố N u n =4 thì B =7, là s nguuyên t ế N u n = 4k (k ợ ố B là h p s . ế ạ N u n+ 3 =4 thì B =1 lo i ế N u n+3 = 4k (k ợ ố nên B là h p s . ậ V y n =4, khi đó B = 7 Bài 8. Ch ng minh r ng: 2 Gi = 435 + 9 35 . ế Do đó chia h t cho 4 + 9 =13 n + bn chia h t cho a+b v i n là s l ) ố ẻ (Áp d ng aụ 70 + 370 chia h t cho 13. V y 2ậ ế ố ố ể p đ 2p Bài 9.Tìm s nguyên t ố ớ + V i p là s nguyên t ặ ộ ố ủ c a m t s khi chia cho 2 ho c 3)
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
2 = 1 là số
ườ ợ + Xét p = 3k + 1; p = 3k + 2 và p =3k tr ng h p nào mà 2p
ố
19+ 1917 chia h t cho 18. + Xét s d c a 17 và 18 khi chia cho 18?
ế
ố ệ ộ ố ừ ố
ế ưở ệ ủ ạ
thì => p. nguyên t ứ Bài 10.Ch ng minh:17 ố ư ủ ố ấ ớ ạ ơ ư ả ở ứ ộ ẫ ươ i ph có ng r t l n đ n các d ng toán : CLN , BCNN , Qui đòng m u các phân ng trình
ộ Ư m c đ cao h n nh gi ụ
ố ừ ố : 720 . 630, 729 , ... Phân tích các s sau ra th a s nguyên t
ỗ ố ỉ ấ ố ố ướ ố ủ c s c a m i s ?
c s c a s 720 là (4+1)(2+1)(1+1) = 5.3.2 = 30 c s c a s 630 là (1+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 2.3.2.2 = 24 c s c a s 729 là (6+1) = 7
ể ả ượ i đ c .
ố ọ Rút g n phân s : ụ Ví d 2 : 2/Ta phân tích m i quan h c a vi c phân tích m t s ra th a s nguyên t ả nh h ố s , ... và các d ng toán có liên quan ệ nghi m nguyên . Tôi ch l y m t vài ví d . Ví d 1: ụ ị Xác đ nh s i :ả Ta có : 720 = 24.32.5 Gi 630 = 2.32.5.7 729 = 36 ố ướ ố ủ ố S ố ướ ố ủ ố S ố ướ ố ủ ố S ọ Đây là bài toán các h c sinh có th gi 2009200920 2010201020
09 10
i :ả
(cid:0) (cid:0) Nên : Gi Ta có : 200920092009 = 2009.100000000+2009.10000+2009 = 2009(100000000+10000+1) = 2009.100010001 Và : 201020102010 = 2010.100000000+2010.10000+2010 = 2010(100000000+10000+1) = 2010.100010001 09 10
2009 . 100010001 2010 . 100010001 ự ế ề v BCNN và CLN ạ ằ ễ
ờ
2009 2010 Ư i văn .
Ủ
Ạ
ụ ầ ố ọ ọ ng ph n s h c cho h c sinh khá gi ỏ ủ i c a
ồ ưỡ ọ
Ề ạ ấ ộ ọ ọ
ồ ưỡ ỏ
2009200920 2010201020 ụ Ví d 3 : Các bài toán th c t Các bài toán di n đ t b ng l C .PH M VI C A Đ TÀI : *Áp d ng cho vi c d y b i d ệ ố ọ ấ c p THCS , chú tr ng nh t là h c sinh kh i 6 . ụ ở *Áp d ng cho toàn b h c sinh kh i 6 ụ *Áp d ng b i d
ng h c sinh gi ậ ố các bài t p nâng cao . ố i các kh i 8, 9 .
Ế
Ả Ạ ƯỢ
C:
ọ ọ ỏ ỏ ố ọ ố ố
D.K T QU Đ T Đ ọ *Năm h c 2006 – 2007 có 40% h c sinh gi ọ *Năm h c 2007 – 2008 có 50% h c sinh gi
16
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
ọ i kh i 6 ham h c toán . ọ i kh i 6;8 ham h c toán s h c .
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
ọ ọ ỏ ủ ấ ọ i c a c p THCS ham h c toán s ố
ươ ề ạ
ầ ư ấ ả ọ ọ ố t môn toán trong ng trình ngo i khóa : Chuyên đ giúp em h c t ọ ố t c h c sinh kh i 6 ham thích h c
*Năm h c 2008 – 2009 có 55% h c sinh gi h c .ọ ằ *B ng ch ọ năm h c 2009 2010 đã thu hút g n nh t toán
ệ ự ượ ữ
Ế E. K T LU N Tôi vi ữ
Ậ ệ ơ ở ế t kinh nghi m này d a trên c s , nh ng kinh nghi m đã đ ự ọ ỏ ọ ậ ủ ả
ả ạ
ằ ế ệ ả
ả
ụ ệ ồ ưỡ ề ả ọ i l p 6 làm n n t ng cho vi c b i d ng h c sinh gi
c rút ra trong nh ng năm gi ng d y và h c t p c a b n thân . B ng s h c h i thông ế ủ qua các tài li u sách giáo khoa, sách tham kh o....và qua ti p thu các ý ki n c a ồ ưỡ ạ ệ ề ồ đ ng nghi p. Đã giúp tôi hoàn thành đ tài và áp d ng vào gi ng d y, b i d ng ớ ỏ ỏ ớ ọ i các l p 8 , 9 h c sinh gi sau này.
ế ự ệ ề ệ ọ Sau khi vi t và th c hi n đ tài , tôi đã rút ra bài h c kinh mghi m cho
ọ ạ ể ủ ặ ị ọ ầ
ộ ấ ề ư
ố ả ị ớ ọ ề ấ
ế ố ắ ứ ừ ơ ậ ả ợ
ầ ọ
ụ ể ể ọ ừ ậ ầ ạ
ầ ạ ớ ợ
ừ ụ ả
duy, kh năng sáng t o c a h c sinh.
ạ ủ ọ ả ờ ủ ọ ữ ế
ệ ự ủ ấ ủ ủ ộ ể
ả b n thân: ữ * Khi d y h c c n đ t v trí c a mình vào v trí h c sinh. Có th có nh ng ạ ấ ấ ạ ấ ễ ấ i r t khó, r t l v n đ mình th y là d , r t quen thu c, nh ng v i h c trò l . ệ ở ọ ấ ạ h c sinh * Ph i luôn c g ng t o ra tình hu ng có v n đ , làm xu t hi n ế ọ ứ nhu c u nghiên c u ki n th c. Ch n các bài t p h p lý t đ n gi n đ n khó, thu hút h c sinh tham gia. ể ư * Các bài t p đ a ra ban đ u có th theo t ng d ng c th , đ h c sinh làm ổ ạ ơ ư quen d n v i các d ng toán. Sau đó, đ a ra các d ng bài có tính t ng h p h n, ồ ỏ ọ ể ớ ế ậ đ i h i h c sinh bi i. T đó m i phát tri n t v n d ng, suy nghĩ tìm tòi cách gi ả ượ ư c t đ i c a h c sinh, khai thác nh ng phát hi n dù là * Nên quan tâm đ n câu tr l ọ ọ ỏ nh nh t c a h c sinh đ phát huy tính ch đ ng suy nghĩ, tích c c c a h c sinh.
ế ủ ộ ố ấ
ồ ọ ạ ự
ế ủ ố ừ ố ố ộ ố ạ và tính chia h t c a s nguyên'' ụ . Khi vi
ữ ậ
ế ể ấ ế ự ứ ủ
ề ể Trên đây là m t s ý ki n, quan đi m c a tôi xung quanh v n đ nâng cao ộ ậ ờ ấ ượ ng d y h c môn toán. Đ ng th i phát huy tính tích c c, đ c l p sáng ch t l ệ ề M t s d ng toán áp d ng vi c phân ọ ủ ạ t o c a h c sinh thông qua chuyên đ '' ế ề ộ ố tích m t s ra th a s nguyên t t đ tài ượ ỏ ậ ắ ẳ này ch c h n không tránh kh i nh ng thi u sót. Vì v y tôi r t mong nh n đ c ệ ồ ự s góp ý, phê bình c a các đ ng nghi p đ xây d ng cho ki n th c chuyên môn ủ c a mình. ố ơ Cu i cùng tôi xin chân thành cám n!
ạ
17
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
ườ ế Đ i an ngày 05/03/2010 Ng i vi t
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
ễ Nuy n Văn Minh
Ụ Ụ PH L C :
ặ ấ ả
ệ ế
ộ ạ ạ ạ ể ệ ế
18
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
ề A. Đ t v n đ ề ế ấ i quy t v n đ B. Gi ậ ơ ở I/ C s lý lu n ơ ở ự ể II/ C s th c ti n ả i pháp . III/ Các gi IV/ N i dung . ứ D ng 1 Ch ng minh quan h chia h t ố ư D ng 2 Tìm s d ề D ng 3 Tìm đi u ki n đ chia h t . ủ ề ạ C. Ph m vi c a đ tài .
Saùng kieán kinh nghieäm Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
c .
19
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
ả ạ ượ ậ ế ế D , K t qu đ t đ E , K t lu n .
