BM 01-Bia SKKN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Người thực hiện: ĐẶNG THANH HÃN
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục
- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN
- Lĩnh vực khác: .......................................................
Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN Mô hình Đĩa CD (DVD) Phim ảnh Hiện vật khác (các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)
Năm học: 2014 - 2015
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BM02-LLKHSKKN
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC ––––––––––––––––––
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: ĐẶNG THANH HÃN
2. Ngày tháng năm sinh: 01 – 08 – 1976
3. Nam, nữ: NAM
4. Địa chỉ: KP 9, phường Tân Biên, TP Biên Hòa, Tỉnh Đồng Nai
5. Điện thoại: (CQ)/ (NR); ĐTDĐ: 0919302101
6. Fax: E-mail:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Nhiệm vụ được giao (quản lý, đoàn thể, công việc hành chính, công việc chuyên môn, giảng dạy môn, lớp, chủ nhiệm lớp,…): Giảng môn Toán lớp 10A2, 10A6, 12A4; Chủ nhiệm lớp 10A2.
9. Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trãi
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học
- Năm nhận bằng: 2000
- Chuyên ngành đào tạo: Toán học
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán
- Số năm có kinh nghiệm: 15 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 2
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tên SKKN : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BM03-TMSKKN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
- Trong chương trình Toán học phổ thông, phương trình và bất phương trình là một nội dung quan trọng xuyên suốt cấp học. Trong đó, phương trình có chứa căn
(còn gọi là phương trình vô tỉ) là một nội dung phong phú và đem lại nhiều thú vị.
Có thể nói, giải phương trình vô tỉ là đỉnh cao của kĩ năng giải phương trình, vì để
giải quyết tốt các phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến
thức và phép biến đổi cơ bản của căn thức , phải có tư duy ở mức độ cao và biết
cách nhận xét mối quan hệ của các biểu thức xuất hiện trong phương trình để từ
đó đề xuất cách giải phù hợp.
- Tuy vậy, trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các
em học sinh được tiếp cận với phương trình vô tỉ ở một vài cách giải thông
thường với những bài toán cơ bản đơn giản. Nhưng trong thực tế, các bài toán giải
phương trình vô tỉ xuất hiện rất nhiều trong các kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao
đẳng và các kì thi học sinh giỏi . Sự phong phú về các dạng toán và cách giải đã
gây không ít khó khăn cho các em học sinh, trong khi đó chỉ có số ít các em biết
phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủa
thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày. Tại sao lại
như vậy?
- Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hiện hành, phương trình vô tỉ được trình bày ở phần đầu chương III (Giữa học kỳ I) rất là ít và hạn chế. Chỉ có một tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược 1 ví dụ và đưa ra cách giải thích vắn tắt và dễ mắc sai lầm, phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế. Hơn nữa, do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh mặc dù cách giải nào cũng có chung một mục đích là làm mất căn thức và đơn giản hình thức bài toán.
- Trong những năm học qua, khi được phân công giảng dạy lớp 10. Qua nhận xét và đánh giá, tôi thấy đa số học sinh nhận thức còn chậm. Từ đó, giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm được bài tốt hơn.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 3
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - Tôi viết chuyên đề này nhằm mục đích tổng hợp một số phương pháp giải
phương trình vô tỉ thường gặp trong các kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao đẳng
trong những năm gần đây với bài tập được phân dạng tương ứng, nhằm giúp các
em học sinh lớp 10 có thể tự học để nâng cao kiến thức và các em học sinh lớp 12
tự ôn tập để giải tốt các đề thi Đại học - Cao đẳng.
- Tôi hy vọng chuyên đề này bổ túc cho các em học sinh một lượng kiến thức
nhất định. Rất mong được sự động viên và những ý kiến đóng góp của quý Thầy
Cô và các em học sinh.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 4
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.
1. Cơ sở lý luận:
- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của giáo viên và
hoạt động học của học sinh, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào
tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”, giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ
thông. Trong đó, bộ môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với
kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này.
- Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn
toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài
tập. Điều đó thể hiện ở việc “học đi đôi với hành”, đòi hỏi học sinh phải có tư
duy logic. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán
học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết
vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
- Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận
dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương trình chứa ẩn
dưới dấu căn.
- Trong giới hạn của SKKN tôi giới thiệu 4 phương pháp giải phương trình chứa
ẩn dưới dấu căn thường hay sử dụng:
Phương pháp biến đổi tương đương
Phương pháp nhân lượng liên hợp
Phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp hàm số
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:
- Đưa ra một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn, có ví dụ
cho học sinh tham khảo và bài tâp áp dụng.
- Đây là nội dung thường gặp trong các kỳ thi Tuyển sinh Cao đẳng và Đại học. Với phương châm “ Từ dễ đến khó” , học sinh cần phải rèn luyện nhiều thì mới đạt kết quả tốt.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 5
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP.
A. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG: 1. Biến đổi theo công thức:
(Ở đây ta chỉ thu được phương trình hệ quả, nên cần thử nghiệm). Chú ý. Khi bình phương hai vế của phương trình ta cần có điều kiện hai vế không âm để có được phương trình tương đương.
Bài 1. Giải các phương trình:
a)
b) d)
c) e) f)
Giải
a)
Vậy nghiệm của phương trình là:
b)
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x = 8.
(1)
c) Điều kiện: x – 2
(1) (x + 9) + (2x + 4) + 2 = 25
= 12 – 3x 2
x = 0
So điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 0 Chú ý: Ta chuyển vế trong bước biến đổi 1 để hai vế không âm. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 6
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- d)
(2)
Điều kiện: – 4 x
So điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 0
e/
(3)
Điều kiện:
Bình phương 2 vế không âm của phương trình (3) ta được phương trình tương
đương : , để giải phương trình này dĩ nhiên
là không khó nhưng hơi phức tạp một chút . Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu
ta chuyển vế phương trình :
Bình phương hai vế và thu gọn ta có : Thử lại x =1 là nghiệm.
Nhận xét : Nếu phương trình :
Mà có : , thì ta biến đổi phương trình về dạng :
sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả
f) (4)
Điều kiện :
Nếu ình phương 2 vế không âm của phương trình (4) thì việc giải có vấn đề gì? Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?
Nhận xét : , từ đó ta có lời giải như sau :
Bình phương 2 vế ta được:
Thử lại : là nghiệm .
Nhận xét : Nếu phương trình :
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 7
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- thì ta biến đổi phương trình về dạng : Mà có :
sau đó bình phương , giải phương trình hệ quả.
Bài 2. Giải các phương trình:
b)
a) Giải
a)
Thử lại:
+ Nếu x = 30 phương trình thỏa mãn. + Nếu x = 61 phương trình thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 30 hay x = – 61 .
b)
Thử lại: + Với x = 1 thì phương trình thỏa mãn. + Với x = 0 thì phương trình vô nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1.
Bài tập tự luyện Bài 3. Giải các phương trình:
1/ ĐS: x = 1, x = –
2/ = 3x + 1 ĐS: x =
3/ ĐS: x = 3
4/ ĐS: x = 4, x = 7
5/ ĐS: x = 1
6/ (ĐH 2005B–db1) ĐS: x = 2; x = 4.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 8
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. ĐS: x = 3 7/ (ĐH 2005D)
ĐS: x = 1 8/
ĐS: x = 1; x = – 6 9/
ĐS: x = – 1 10/
2. Biến đổi về phương trình tích:
Tổng quát :
Công thức biến đổi:
Bài 1. Giải các phương trình:
a)
b)
c)
d) 3(x2 – 1) + 4x = 4x
Giải a)
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.
(1)
b)
Điều kiện: x – 1
.
So điều kiện, phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 1.
(2)
(1)
c)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 9
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Điều kiện: x 5
(2)
So điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 8 hay x =
d) 3(x2 – 1) + 4x = 4x (3)
Điều kiện: x
(3) 3x2 + 4x – 3 = 4x 3x2 – 4x + 4x – 3 = 0
(x – )(3x – ) = 0
So điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = 3.
Bài tập tự luyện
Bài 2. Giải các phương trình:
1/ ĐS: x = 0, x = – 1
2/ (ĐH 2006D –db2) ĐS: x = 4 , x = 5
3/ ĐS: x = 2
5/ 4x2 + 3x + 3 =
4/ ĐS: x = 1, x = 2
ĐS: x = 1
6/ ĐS: x = 1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 10
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Biến đổi về tổng bình phương:
Tổng quát: hoặc
Chú ý: Học sinh cần ôn tập lại các hằng đẳng thức Bài 1. Giải các phương trình:
a)
b)
– x
c) x2 + 2x + 6 = 2 Giải
(1) a)
Điều kiện: x 0, chia hai vế của (1) cho
(1)
So điều kiện, phương trình có nghiệm x = 1
(2)
b) Điều kiện: x – 3
(2)
hay
So điều kiện, phương trình có nghiệm là x = 1 hay x =
– x (3)
c) x2 + 2x + 6 = 2 Điều kiện: x – 2 (3) 2(x2 + 2x + 6) = 2(2 – x )
(x2 + 2x + x +2) + (x2 + 2x + 1) + (x + 5 – 4 + 4) = 0
(x + )2 + (x +1)2 + (2 – )2 = 0 x = – 1
So điều kiện, phương trình có nghiệm là x = – 1 Bài tập tự luyện Bài 2. Giải các phương trình:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 11
ĐS: x = 1, x = 3
)2 = x2
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1/ 3(x2 – 1) + 4x = 4x HD: biến đổi về dạng: (2x – 2/ 4x2 + + 12 = 4(x HD: biến đổi về dạng: (
) ĐS: x = 1 – 2)2 + + – 2x)2 + ( = 0
3/ (TH&TT) ĐS: ,
HD: biến đổi về dạng:
+ 2x2 – 6x + 20 = 0 ĐS: x = 2
4/ x4 – 2x2 B. NHÂN VỚI DẠNG LIÊN HỢP : Tổng quát: Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy
phương trình luôn đưa về được dạng tích , trong đó ta có thể giải
phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm.
Chú ý: Điều kiện của phương trình để ta có thể đánh gía vô nghiệm.
= x2 + 2x – 2
+ 3x2 – 14x – 8 = 0 –
= 2x2 + 3x – 1
Bài 1. Giải các phương trình: a) b) (ĐH - 2010B) c) (HSG-K12 Hà Nội – 2012)
d)
e)
f) (Olympic 30/4)
g) Giải: a) = x2 + 2x – 2 (1)
Điều kiện: x
Bình phương 2 vế của phương trình (3) ta được phương trình hệ quả :
2x – 1 = (x2 + 2x – 2)2 , để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút. Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta nhẩm nghiệm của phương trình là 1 và từ đó biến đổi phương trình làm xuất hiện nhân tử (x –1).
(1) – 1 = x2 + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3)
)
(x – 1)(
) = 0 x = 1(Do
< 0, x
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 12
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Vậy phương trình có nghiệm x = 1 b)
+ 3x2 – 14x – 8 = 0 (2) –
Điều kiện: x 6
Phân tích: ta tìm một số x ( x 6) để 3x + 1 và 6 – x là một số chính phương
thỏa phương trình (2). Dễ thấy x = 5 thỏa (2), do đó ta đưa phương trình về dạng (x – 5).f(x) = 0. Vì thế ta làm xuất hiện nhân tử chung x – 5 bằng phương pháp liên thông qua việc chọn hai số a, b > 0 để hệ phương trình sau có nghiệm x = 5.
(2) ( – 4) + (1 – ) + 3x2 – 14x – 5 = 0
+ (x – 5)(3x + 1) = 0
(x – 5)( + 3x + 1) = 0
x = 5 ( Do + 3x + 1 > 0, x 6)
Vậy phương trình có nghiệm x = 5.
+ mx2 + nx + p = 0 ta có thể
Chú ý: Khi phương trình có dạng giải theo cách trên.
c) = 2x2 + 3x – 1 (3)
Điều kiện: x
Dễ thấy x = 1 là nghiệm, ngoài cách thực hiện như trên ta thấy khi thay x = 1 vào
và có cùng kết quả là 2 nên thực hiện phân tích như sau:
(3) = 2x2 + 3x – 5
= (x – 1)(2x + 5)
(x – 1) = 0
x = 1
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 13
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
d) (4)
Điều kiện: x
Dễ thấy phương trình có nghiệm x = 1, x = 2. Do đó phương trình sẽ có nhân tử là x2 – 3x + 2. Tuy nhiên ta không thể nhân và chia lượng liên hợp với hai căn này. Vậy làm sao để phân tích được nhân tử x2 – 3x + 2, ta thực hiện như sau:
Lập hệ phương trình và thay x = 1, x = 2 vào hệ thì ta
được (m, n) = (1; 1) và (p, q) = (3; – 1). Ta có lời giải như sau:
(4) + x2 – 3x + 2 = 0
(x2 – 3x + 2) = 0
x2 – 3x + 2 = 0
x = 1 hay x = 2
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 2.
(5) e)
Điều kiện: x hay x
và Ta thấy:
(5)
= 0
Dể dàng nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình .
(6)
f)
Để phương trình có nghiệm thì :
Ta nhận thấy x = 2 là nghiệm của phương trình, như vậy phương trình có thể biến -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 14
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- đổi về dạng
, Khi đó ta phải phân tích như sau :
(6)
) (Do :
Vậy phương trình có nghiệm x = 2
g)
(7)
,
Điều kiện: x
Ta nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình nên thực hiện biến đổi
(7)
Ta có :
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 3
Bài tập tự luyện
Bài 2. Giải các phương trình:
1/ (ĐH 2008B – db) ĐS: x = 3
2/ ĐS: x = 3
3/ ĐS: x = 2
4/ (HSG-K12 Hà Nội – 2010) = x + 3 ĐS: x = 6
5/ ĐS: x = 1
6/ ĐS: x = – 2
7/ x2 + 9x + 20 = 2 ĐS: x = – 3
8/ = 2x2 – x – 3 ĐS: x =
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 15
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- C. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ :
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường
- Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt t = f(x) và chú ý điều kiện của t. Nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t, quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “ hoàn toàn ” . Nói chung, những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn t = f(x) thường là những phương trình đơn giản.
Dạng 1: . Đặt , ta có phương trình G(t) = 0.
Dạng thường gặp:
Chú ý điều kiện của ẩn phụ.
Bài 1. Giải các phương trình: a) b)
c)
(1)
d) Giải a) Điều kiện: x – 3 hay 0 x (1) x2 + 3x – 3 + 2 = 0
Đặt t = , (t 0). Phương trình trở thành : t2 – 3t + 2 = 0
.
Với
Với
So với điều kiện, phương trình có 4 nghiệm x = 1, x = – 4, .
b) (2)
Đặt t = , (t 0). Phương trình (2) trở thành
Với t = 1 ta có x2 + x + 1 = 1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 16
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) (3)
Điều kiện: x 0 hay 4 x
Đặt . Suy ra
Phương trình (3) trở thành
(nhận)
.
.
Với t = 1 Vậy phương trình có nghiệm d) (4)
Điều kiện: x
. Phương trình (4) trở thành: Đặt
(nhận)
Với
. Với
So điều kiện , phương trình có 3 nghiệm x = 5,
Bài tập tự luyện Bài 2. Giải các phương trình:
ĐS: x = – 1; x = – 6 1/
ĐS: x = 1; x = – 2 2/
ĐS: x =1; x = 2 3/
ĐS: x = 3 4/
ĐS: x = 5/ 2(x2 – 2x) + – 9 = 0
ĐS: x = 6/
ĐS: 3 x 8 7/
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 17
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Dạng 2:
Với dạng này ta thường đặt Chú ý:
- Nếu bài toán có chứa , và (với k là hằng số) khi
đó có thể đặt : thì
- Nếu bài toán có chứa và khi đó có
thể đặt: thì
Bài 1. Giải các phương trình: a)
b) (ĐH 2011B)
(1)
c) Giải a) Điều kiện: Đặt , suy ra (*)
Phương trình (1) trở thành:
Với t = 4 , thay vào (*) ta có:
.
So điều kiện, phương trình có nghiệm x = 2.
(2)
b) Điều kiện:
Đặt
Phương trình (2) trở thành : hay t = 9.
Với t = 0 : .
Với t = 9 : = 9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 18
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
So điều kiện, phương trình có nghiệm x =
.
(3)
c) Điều kiện:
Nhận xét.
Đặt (*) , thì phương trình (3) trở thành:
Thay vào (*) tìm được x = 1 So điều kiện, phương trình có nghiệm x = 1. Bài tập tự luyện Bài 2. Giải các phương trình: 1/ ĐS: x = – 1 ; x = 8
ĐS: x = 3 2/
ĐS: x = 3/
, trong đó F(a,b) là một biểu thức đẳng cấp bậc k.
Dạng 3: Với dạng này ta xét hai trường hợp:
TH1: g(x) = 0 thay vào phương trình ta kiểm tra,
TH2: g(x) 0 chia hai vế phương trình cho và đặt ta
được phương trình G(t) = 0 là phương trình đa thức bậc k.
Ta thường gặp dạng: .
Đặt 0 , ta có phương trình : .
Đối với dạng này, ta cần chú ý đến các đẳng thức trong quá trình biến đổi:
Bài 1. Giải các phương trình:
a)
b)
c)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 19
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải
(1)
a) Điều kiện: x 0 x = 0 không là nghiệm của phương trình (1).
x > 0, chia hai vế phương trình (1) cho ta được (*)
Đặt , t 2. Suy ra
Thay vào phương trình (*) ta có được:
.
.
So điều kiện, phương trình có nghiệm x = 4, x =
(2)
b) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (2)
Với x 0, chia hai vế phương trình (2) cho x ta được: (*)
, phương trình (*) Đặt
Với .
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
.
(3)
c) Điều kiện: x 1
Phân tích Ta viết
Đồng nhất thức ta được (3) (*)
Ta thấy x = 1 không là nghiệm của phương trình (*) Với x > 1, chia hai vế phương trình (*) cho x – 1 ta được phương trình:
= 0 (**)
Đặt t = , t 0 phương trình (**) 2t2 – 7t + 3 = 0
Với t = 3, ta có x2 + x + 1 = 9(x – 1) x2 – 8x + 10 = 0 x =
(thỏa)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 20
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài tập tự luyện Bài 2. Giải các phương trình:
ĐS: x = 1/
ĐS: x = 2/
ĐS: x = 1 3/
ĐS: x = 8, x = 4/
ĐS: x = 0, x = 2
5/ 2. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Nhận xét: Từ phương trình tích ,
Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này.
Dạng 4: . Với phương trình dạng này ta có thể đặt
, khi đó ta được phương trình theo ẩn t: , ta giải
phương trình này theo t, xem x là tham số.
b) 3(x2 – 1) + 4x = 4x Bài 1. Giải các phương trình: a)
c) d)
e) Giải:
a) (1) . Đặt t = , t 1.
2t2 – (4x–1)t + 2x–1 = 0
Với t = 2x – 1 thì
.
Vậy phương trình có nghiệm x =
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 21
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b) 3(x2 – 1) + 4x = 4x
(2)
Điều kiện: x
(2) 4x – 3 – 4x + 3x2 = 0 (*)
Đặt t = , thì phương trình (*) trở thành t2 – 4x.t + 3x2 = 0
= x x2 = 4x – 3 x = 1 hay x = 3. = 3x 9x2 = 4x – 3 (vô nghiệm)
Với t = x thì Với t = 3x thì Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 , x = 3.
c) (3)
Đặt , (t
)
(3)
Với t = 3 thì = 3 x2 + 2 = 9 x =
Với t = x – 1 thì = x – 1 x
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
.
d) (4)
).
Đặt : , ( (4) (x + 1)t = x2 + 1 x2 + 1 – (x + 1)t = 0 Bây giờ ta thêm bớt, để được phương trình bậc 2 theo t có ở dạng bình phương :
Với t = 2 thì = 2 x2 – 2x + 3 = 4 x2 – 2x – 1 = 0 x =
Với t = x – 1 thì = x – 1 x
Vậy phương trình có nghiệm x =
(5)
e) Điều kiện: – 1 x 1
Đặt t = , (t 0)
(*)
(5) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 22
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ta rút x = 1 – t2 thay vào thì được:
Nhưng không có dạng bình phương .
Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo
Cụ thể như sau : thay vào pt (*) ta được:
Với t = thì = x = 0
Với t = thì = x = –
Thử lại: Phương trình có nghiệm x = 0, x = –
.
Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích Bài tập tự luyện Bài 2. Giải các phương trình: 1/ ĐS: x =
ĐS: x = –1, x = , x = 2/
ĐS: x = 3/
ĐS: x = 2, x = 4/
với y = x – 2 3y = – t 2 + 2(y + 1) – 1.
HD: Đặt t = 3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình: 3.1 Đặt ẩn phụ chuyển phương trình về hệ phương trình với 2 ẩn phụ:
Dạng 1. Phương trình
Đặt , ta có hệ phương trình .
Bài 1. Giải các phương trình: a)
c) d)
b) Giải a)
Điều kiện: – 3 x 6
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 23
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đặt 0, 0, ta có được hệ phương trình: .
Đây là hệ đối xứng loại I, giải hệ này ta được .
.
.
* Với * Với Vậy phương trình có hai nghiệm: .
.
b) Điều kiện : Đặt , ta có hệ phương trình:
thỏa mãn .
Phương trình (*) có ba nghiệm : Từ đây ta tìm được: . Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: .
c) Điều kiện:
Đặt thì ta đưa về hệ phương trình sau:
Vậy
d) Điều kiện : .
Đặt . Ta có hệ :
.
* Với .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 24
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
* Với hệ vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có hai ngiệm x =1, x = 16. Bài tập tự luyện Bài 2. Giải các phương trình: 1/ 2/ 3/ ĐS: x = ± 3 ĐS: x = 3 ĐS: x = 2, x = 6
4/ (ĐH-2009A) ĐS: x = – 2
ĐS: x = – 1, x = 0. ĐS: x = 1
5/ 6/ 3.1 Đặt ẩn phụ chuyển phương trình về hệ phương trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x ban đầu:
Dạng 2. Phương trình
Đặt ta có hệ:
Ta thường gặp dạng: Với d = ac +α và e = bc + β
Đặt 0 , ta có hệ phương trình : .
= 11 + x
Chú ý: - Các hệ thu được thông thường là các hệ đối xứng. - Đối với dạng này, ta cần chú ý đến các đẳng thức trong quá trình biến đổi. Bài 3. Giải các phương trình: a) 2x2 – 6x – 1 = b) c) x + Giải a) 2x2 – 6x – 1 =
Điều kiện Đặt 2y – 3 = ta được hệ phương trình sau:
Với
Với
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 25
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Vậy nghiệm của phương trình là , b)
. Vậy ta có hệ phương trình: . Đặt
Trừ hai phương trình của hệ:
(Do ) Thay vào hệ ta có:
.
Vậy phương trình có ba nghiệm: .
x + + x = 11
c) Điều kiện :
Đặt y = thỉ ta có hệ phương trình:
ĐS: x = 1, x = – 2
Hệ phương trình đối xứng loại I trên có nghiệm x = 2 và y = 3 . Bài tập tự luyện Bài 4. Giải các phương trình: 1/ x3 + 3x2 – 3 HD: Đặt y + 1= = 1 – 3x
2/ 4x2 – 13x + 5 + = 0 ĐS: x = , x =
HD: Đặt = – 2 y + 3 ( y )
D. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ : Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc. Ta có 3 hướng áp dụng sau đây: Hướng 1: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: (k là hằng số)
Bước 2: Xét hàm số Bước 3: Nhận xét:
do đó là nghiệm do đó phương trình vô nghiệm do đó phương trình vô nghiệm
Với Với Với Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình
Hướng 2: thực hiện theo các bước -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 26
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:
Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng và g(x) có những tính chất trái
ngược nhau và xác định sao cho
Bước 3: Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.
Hướng 3: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng
Bước 2: Xét hàm số , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu
Bước 3: Khi đó .
Nhận xét: Vấn đề quan trọng nhất trong phương pháp này là chúng ta nhận ra
luôn đơn điệu và nhẩm được nghiệm của phương trình .
được hàm 1) Để nhận ra hàm luôn đơn điệu chúng ta cần nắm được một số tính chất của hàm đơn điệu:
i) Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) thì:
(với điều kiện tồn tại) cũng đồng biến(nghịch biến) * Hàm
* Hàm (với f(x) > 0) nghịch biến (đồng biến).
* Hàm y = – f(x) nghịch biến (đồng biến).
ii) Tổng của hai hàm đồng biến (nghịch biến) là hàm đồng biến (nghịch biến). iii) Tích của hai hàm dương đồng biến (nghịch biến) là một hàm đồng biến (nghịch biến).
2) Khi nhẩm nghiệm của phương trình thì ta thường ưu tiên cho những giá trị của x mà biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là một số lũy thừa mũ n (với căn bậc n). Bài 1. Giải các phương trình: a)
b)
c)
d)
(1)
Giải a) Điều kiện: x 3
Xét hàm số
Ta thấy f là hàm liên tục trên và
Nên hàm số f đồng biến trên .
Mặt khác f(4) = 6 nên (1) f(x) = f(4) x = 4 Vậy x = 4 là nghiệm duy nhất của phương trình. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 27
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b)
(2)
Điều kiện: .
Xét hàm số
Ta có là hàm liên tục trên và
Nên hàm số nghịch biến trên .
Mặt khác f(– 3) = 0 nên (2) f(x) = f(– 3) x = – 3 Vậy x = – 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
c)
, ta có hệ : Đặt
Xét hàm số : , là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trình
d)
Xét hàm số là hàm đồng biến trên R, từ phương trình
2x + 1 = – 3x
Bài tập tự luyện Bài 2. Giải các phương trình:
– = 1 ĐS: x = 1/
HD: Đặt t = x2 – x , biến đổi phương trình về dạng:
ĐS: x = 1, 2/
và v =
HD: Đặt u =
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 28
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Để kết thúc cho chuyên đề , chúng ta tồng kết lại các phương pháp đã học thông qua một ví dụ sau:
Giải phương trình Để giải phương trình này ta tìm cách loại bỏ căn thức. Điều đầu tiên mà ta nghĩ tới đó là bình phương hai vế để loại bỏ căn, hơn nữa sau khi bình phương ta thu được phương trình bậc 4.
Cách 1. Phương trình
Khai triển và rút gọn (2) ta được phương trình :
.
là nghiệm của phương trình đã cho.
Kết hợp với (1) ta có Ở cách giải trên, ta thấy sau khi khử căn ta đưa về một phương trình tích. Điều này gợi ý cho chúng ta biến đổi phương trình ban đầu về phương trình tích. Do x = – 1 không là nghiệm của phương trình nên ta có:
(*)
Ta chọn a, b sao cho:
Ta chọn k = – 1 a = 2, b = – 1
Khi đó (*) trở thành: (**).
Tuy nhiên để có được (**) ta cần có thêm điều kiện Như vậy ta có cách giải thứ 2 như sau:
. Cách 2. Điều kiện:
Ta thấy x = – 1 không là nghiệm của phương trình nên ta có
Phương trình
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 29
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(3).
. Xét
Thay vào (3) ta thấy không thoả. Suy ra nên (3) tương
đương với:
.
là nghiệm của phương trình đã cho.
Kết hợp với điều kiện, ta có Vì trong phương trình xuất hiện căn thức nên điều tự nhiên ta nghĩ đến việc đặt
, khi đó nếu ta phân tích
Thì ta có phương trình: Ta xem x là tham số thì phương trình này có biệt thức
không đưa được về dạng nên việc đưa về phương trình như trên đi
Vì vào bế tắc. Ta tìm các phân tích:
Ta có phương trình :
.
Ta chọn sao cho:
Phương trình này có nghiệm a = – 1 . Vậy ta có cách giải thứ 3 như sau: Cách 3. Phương trình tương đương với:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 30
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đặt , ta có phương trình:
Phương trình có . Từ đó suy ra .
Giải các phương trình này ta tìm được nghiệm .
nên ta nghĩ đến việc đưa hai vế
Vì vế trái xuất hiện tích của x + 1 và về dạng bình phương. Cách 4. Phương trình tương đương với
.
.
Giải các phương trình này ta được Vì vế trái là tam thức bậc hai và vế phải chứa căn bậc hai, tức là hai vế chứa hai phép toán ngược nhau nên ta nghĩ đến cách chuyển về hệ đối xứng. Ta phân tích:
và
Do đó nếu đặt ta có hệ:
Đây là hệ đối xứng loại 1. Ta có cách giải thứ 5 như sau:
Cách 5: Phương trình
Đặt ta có hệ:
Suy ra
.
Giải các phương trình trên ta được Qua 5 lời giải trên, chúng ta thấy được nếu có sự nhận xét tinh tế về mối quan hệ giữa các biểu thức xuất hiện trong phương trình và có những suy luận hợp lí sẽ cho chúng ta nhiều lối đi khác nhau để đến mục đích.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang : 31
Giáo viên thực hiện : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
- Tài liệu phù hợp với mọi đối tượng học sinh, do đó học sinh tích cực, tự giác
học tập.
- Củng cố được nhiều kỹ năng như Phân tích, Tư duy. Tổng hợp... Giúp các
em học sinh tự tin hơn trong việc học môn Toán.
- Thống kê:
Năm học ĐTB < 6,5 6,5 < ĐTB < 8,0 8,0 < ĐTB
20% 60% 20% 2013 – 2014
10% 50% 40% 2014 – 2015
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ
Có thể đưa vào chương trình học và xem như là bài đọc thêm, trên cơ sở đó giáo viên và học sinh tham khảo và rèn luyện.
VI. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Phương (2002). Tuyển tập các chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán
Đại Số Sơ cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
2. Phan Huy Khải (2011). Bài tập cơ bản và nâng cao theo chuyên đề toán THPT– Tập 3: Phương trình – Bất phương trình – Bất đẳng thức, Nhà xuất bản giáo dục ,Việt Nam.
3. Nguyễn Tất Thu (2013). Cẩm nang luyện thi Đại học Đại Số Sơ cấp, Nhà
xuất bản Tổng hợp, Thành Phố Hồ Chí Minh.
4. Nguyễn Văn Cường (2014). Một số kỹ năng sử dụng lượng liên hợp để giải Phương trình – Bất phương trình vô tỉ, Toán học tuổi trẻ tháng 10 năm 2014.
5. Một số bài toán được tác giả tích lũy trong quá trình giảng dạy.
