Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần hình thành và phát triển một số năng lực Toán học thông qua dạy học chủ đề Đại số tổ hợp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

SÁNG KIẾN KHOA HỌC GIÁO DỤC Tên đề tài: GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC

TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC

CHỦ ĐỀ ĐỒ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Năm học 2020- 2021

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 3

SÁNG KIẾN KHOA HỌC GIÁO DỤC Tên đề tài: GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC

TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC

CHỦ ĐỀ ĐỒ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Giáo viên: Đào Thị Hồng Thủy Môn: Toán Lĩnh vực: Toán Điện thoại: 0915218239

Năm học 2020- 2021

2

MỤC LỤC

PHẦN I - MỞ ĐẦU ...................................................................................................... 1

1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................ 1

2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................... 1

3. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................................... 2

4. Giả thuyết khoa học .......................................................................................... 2

5. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu ...................................................... 2

6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................... 2

7. Đóng góp của đề tài ............................................................................................ 2

PHẦN II. NỘI DUNG .................................................................................................. 3

A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ LUẬN VỀ NĂNG LỰC TOÁN HỌC ............................. 3

I. MỤC TIÊU CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN THPT ....................................... 3

II. YÊU CẦU CẦN ĐẠT VỀ NĂNG LỰC ........................................................... 3

1. Năng lực tư duy và lập luận toán học ........................................................................ 4

2. Năng lực mô hình hoá toán học .................................................................................. 4

3. Năng lực giải quyết vấn đề toán học .......................................................................... 4

4. Năng lực giao tiếp toán học ......................................................................................... 4

5. Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán ..................................................... 5

III. MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐIỀU TRA KHẢO SÁT THỰC TRẠNG DẠY VÀ HỌC ĐẠI SỐ TỔ HỢP Ở TRƯỜNG THPT ........................................................ 5

B. MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ NĂNG LỰC TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP ............................................................................................................................... 6

I. THIẾT KẾ MỘT SỐ TÌNH HUỐNG GỢI VẤN ĐỀ (THGVĐ) ..................... 6

1. Mục đích của biện pháp .............................................................................................. 6

2. Cách thức thực hiện biện pháp ................................................................................... 6

3. Ví dụ minh họa ............................................................................................................. 8

II. TĂNG CƯỜNG HUY ĐỘNG CÁC KIẾN THỨC KHÁC NHAU CHO HS ĐỂ HS BIẾT GIẢI BÀI TẬP TOÁN BẰNG NHIỀU CÁCH KHÁC NHAU ... 23

1. Cơ sở xây dựng biện pháp ............................................................................... 23

2. Nội dung và thực hiện biện pháp .............................................................................. 23

3

3. Ví dụ minh họa ........................................................................................................... 24

III. GIÚP CHO HS THẤY ĐƯỢC ỨNG DỤNG THỰC TIỄN CỦA ĐẠI SỐ TỔ HỢP XÁC SUẤT TỪ ĐÓ TẠO HỨNG THÚ CHO HS TRONG QUÁ TRÌNH HỌC TẬP ............................................................................................... 35

1. Cơ sở xây dựng biện pháp ......................................................................................... 35

2. Nội dung và thực hiện biện pháp .............................................................................. 36

3. Một số ví dụ ................................................................................................................ 36

3.1 Xây dựng bài toán có tính thực tiễn từ bài toán đã có ......................................... 36

3.2 Xây dựng bài toán có tính thực tiễn từ bài toán thực tiễn đã có ......................... 37

3.3 Xây dựng các bài toán có nội dung thực tiễn xuất phát từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tiễn của môn học khác ........................................................................... 37

3.4 Xây dựng các bài toán có nội dung thực tiễn có tính giáo dục cao nhằm giải thích các vấn đề thực tiễn bằng cơ sở khoa học .......................................................... 38

IV. KHẮC PHỤC SAI LẦM TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP ............ 43

1. Học sinh mắc sai lầm do không nắm vững khái niệm ............................................ 43

2. Học sinh mắc sai lầm do không nắm vững “thứ tự ưu tiên” trong khi giải toán tổ hợp, chưa biết cách phân chia các trường hợp hoặc có phân chia trường hợp nhưng các trường hợp lại có phần tử chung ............................................................... 45

3. Học sinh chưa nắm vững mối quan hệ giữa ngữ nghĩa và cú pháp của ngôn ngữ Đại số tổ hợp ................................................................................................................... 46

4. Sai lầm liên quan đến suy luận, phân chia bài toán thành các trường hợp riêng 47

C. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI ........ 48

1. Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm ..................................................... 48

2. Thực nghiệm sư phạm ............................................................................................... 49

PHẦN III - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ............................................................... 50

1. Kết luận trong quá trình nghiên cứu, triển khai SKKN ............................... 50

2. Kiến nghị và đề xuất ........................................................................................ 51

4

TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 52

PHẦN I - MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển. Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển phẩm chất, nhân cách học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn; tạo dựng sự kết nối giữa các tư tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học khác. Nội dung môn Toán thường mang tính trừu tượng, khái quát. Do đó, để hiểu và học được Toán, chương trình Toán ở trường phổ thông cần bảo đảm sự cân đối giữa “học” kiến thức và “áp dụng” kiến thức vào giải quyết vấn đề cụ thể. Ở cấp THPT môn Toán giúp học sinh có cái nhìn tương đối tổng quát về Toán học, hiểu được vai trò và những ứng dụng của Toán học trong đời sống thực tế, những ngành nghề có liên quan đến toán học để học sinh có cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề có liên quan đến toán học trong cuộc đời. Chủ đề Đại số tổ hợp là mảng kiến thức quan trọng trong môn Toán, có nhiều ứng dụng trong các môn khoa học khác cũng như trong thực tiễn cuộc sống. Do đó, cần trang bị cho người học hệ thống kiến thức vững chắc và các năng lực tương ứng để có thể vận dụng các kiến thức giải quyết các vấn đề nảy sinh trong thực tiễn. Mặc dù các kiến thức cơ bản của chủ đề Đại số tổ hợp tương đối ít so với các chủ đề khác, nhưng khó và có ứng dụng đa dạng trong thưc tiễn. Chúng tôi nhận thấy HS gặp rất nhiều khó khăn trong quá trình vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán có tính thực tiễn. Để tất cả các em học sinh có thể học tốt chủ đề Đại số tổ hợp, làm chủ được kiến thức, kĩ năng, phát triển năng lực thì các em cần được rèn luyện các kỹ năng giải toán Đại số tổ hợp theo định hướng phát triển năng lực, góp phần hình thành và phát triển một số năng lực Toán học cũng như các năng lực chung cốt lõi. Đó chính là lý do mà chúng tôi chọn viết đề tài:

“ Góp phần hình thành và phát triển một số năng lực Toán học thông qua dạy

học chủ đề Đại số tổ hợp”. 2. Mục đích nghiên cứu

1

Mục đích của đề tài là đề xuất một số biện pháp dạy học kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán trong chủ đề Đại số tổ hợp cho học sinh theo định hướng hình thành và phát triển một số năng lực Toán học. Cụ thể:

- Thiết kế một số tình huống gợi vấn đề để tạo cơ hội cho học sinh hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực sáng tạo, năng lực mô hình hóa Toán học, năng lực giao tiếp và năng lực sử dụng công cụ và phương tiện toán học.

- Tăng cường huy động cho học sinh các kiến thức khác nhau để giải bài toán

bằng nhiều cách khác nhau. - Giúp học sinh thấy được ứng dụng thực tiễn của Đại số tổ hợp từ đó tạo hứng thú cho học sinh trong học tập chủ đề. - Khắc phục một số sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán Đại số tổ hợp. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận về kỹ năng, năng lực toán học. Kĩ năng thiết kế các hoạt động học tập theo định hướng phát triển năng lực. - Nghiên cứu các kỹ năng, năng lực chủ yếu khi giải toán về Đại số tổ hợp. - Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài. 4. Giả thuyết khoa học Với cơ sở lý luận trên, nếu thiết kế được các hoạt động học tập phù hợp, hệ thống được các kỹ năng giải toán Đại số tổ hợp, lựa chọn được các ví dụ, phân tích, tìm ra phương pháp giải và xây dựng được hệ thống câu hỏi bài tập theo hướng phát triển năng lực thì sẽ giúp học sinh học tốt chủ đề Đại số tổ hợp, góp phần phát triển năng lực cho học sinh, nâng cao chất lượng dạy học ở trường phổ thông. 5. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu - Dạy học theo định hướng phát triển năng lực. - Học sinh lớp 11 và giáo viên giảng dạy toán THPT. 6. Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp nghiên cứu được sử dụng bao gồm: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát và thực nghiệm sư phạm tại các trường THPT Nghi Lộc 3, trường THPT Cửa Lò 2, trường THPT Hà Huy Tập, trường THPT Huỳnh Thúc Kháng, trường THPT Phạm Hồng Thái. 7. Đóng góp của đề tài

- Về mặt lý luận: Đưa ra được các căn cứ và một số kỹ năng cần rèn luyện cho học

2

sinh trong giải toán Đại số tổ hợp. - Về mặt thực tiễn: Sử dụng sáng kiến để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh khi dạy học chủ đề Đại số tổ hợp nhằm nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT.

PHẦN II. NỘI DUNG

3

A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ LUẬN VỀ NĂNG LỰC TOÁN HỌC I. MỤC TIÊU CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN THPT Chương trình môn Toán giúp học sinh đạt các mục tiêu chủ yếu sau: – Hình thành và phát triển năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán. Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán, góp phần hình thành và phát triển năng lực chung cốt lõi. – Có những kiến thức, kĩ năng toán học phổ thông, cơ bản, thiết yếu; phát triển khả năng giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và các môn học khác như Vật lí, Hoá học, Sinh học, Địa lí, Tin học, Công nghệ,...; tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tế. – Hình thành và phát triển các đức tính kỷ luật, kiên trì, chủ động, linh hoạt, độc lập, sáng tạo, hợp tác, thói quen tự học, hứng thú và niềm tin trong học Toán. – Có hiểu biết tương đối tổng quát về những ngành nghề liên quan đến toán học làm cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề liên quan đến toán học trong suốt cuộc đời. Môn Toán cấp trung học phổ thông nhằm giúp học sinh đạt các mục tiêu chủ yếu sau: a) Góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt: sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau nhằm giải quyết vấn đề; sử dụng được các mô hình toán học để mô tả các tình huống, từ đó đưa ra các cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập; thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề và đánh giá được giải pháp đã thực hiện, phản ánh được giá trị của giải pháp, khái quát hoá cho vấn đề tương tự; sử dụng thành thạo công cụ, phương tiện học toán, biết đề xuất ý tưởng để thiết kế, tạo dựng phương tiện, học liệu mới phục vụ việc tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học. b) Hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chung và những phẩm chất đặc thù mà giáo dục toán học đem lại: tính kỉ luật, kiên trì, chủ động, linh hoạt; độc lập, hợp tác; thói quen tự học, hứng thú và niềm tin trong học toán. c) Góp phần giúp học sinh có những hiểu biết làm cơ sở cho định hướng nghề nghiệp sau Trung học phổ thông. II. YÊU CẦU CẦN ĐẠT VỀ NĂNG LỰC Thông qua chương trình môn Toán, học sinh cần hình thành và phát triển các đức tính kiên trì, kỉ luật, trung thực, hứng thú và niềm tin trong học Toán; đồng thời hình thành và phát triển được các năng lực tự chủ và tự học, giao tiếp và hợp tác, giải quyết vấn đề và sáng tạo. Đặc biệt, học sinh cần hình thành và phát triển được năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán.

4

Biểu hiện cụ thể của các thành tố cốt lõi của năng lực toán học và yêu cầu cần đạt về năng lực toán học cho cấp THPT được thể hiện dưới đây. 1. Năng lực tư duy và lập luận toán học Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: – So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hoá, khái quát hoá; tương tự; quy nạp... – Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận. – Thực hiện thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt biết quan sát, tìm kiếm sự tương đồng và khác biệt trong nhiều tình huống và biết khẳng định kết quả của việc quan sát. – Biết lập luận hợp lí khi giải quyết vấn đề. Biết rút ra kết luận từ giả thiết đã cho. – Chứng minh được mệnh đề toán học không quá phức tạp. – Biết sử dụng các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau để giải quyết vấn đề. – Biết giải thích, chứng minh hoặc điều chỉnh giải pháp về phương diện toán. 2. Năng lực mô hình hoá toán học Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: – Sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,...) để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế. – Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập. – Biết đánh giá các kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tế hay không. Đặc biệt, biết cách đơn giản hoá những yêu cầu thực tế (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hoá,...) để thiết lập những bài toán giải được, và hiểu rằng cần phải điều chỉnh để phù hợp với thực tế hơn. 3. Năng lực giải quyết vấn đề toán học Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: – Nhận biết được tình huống có vấn đề; xác định, thu thập, sắp xếp, giải thích và đánh giá độ tin cậy của thông tin; chia sẻ sự am hiểu vấn đề với người khác. – Đề xuất, lựa chọn được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề. – Thực hiện và trình bày giải pháp cho vấn đề. – Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra. – Đánh giá giải pháp đã thực hiện; phản ánh giá trị của giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự. 4. Năng lực giao tiếp toán học Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: – Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép thành thạo, tóm tắt các thông tin cơ bản, trọng tâm trong nội dung, yêu cầu toán học được nói và viết ra.

– Biết làm việc thành thạo với văn bản toán học (phân tích, lựa chọn, trích xuất các thông tin cần thiết). – Thể hiện một cách chính xác và hiệu quả suy nghĩ, lập luận, chứng minh, các khẳng định toán học bằng ngôn ngữ thông thường hoặc ngôn ngữ toán học. – Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ, chính xác). 5. Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: – Biết tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản các đồ dùng, phương tiện trực quan thông thường (bảng tổng kết về các dạng hàm số, mô hình góc và cung lượng giác, mô hình các hình khối, bộ dụng cụ tạo mặt tròn xoay,...) và phương tiện khoa học công nghệ (đặc biệt là phương tiện sử dụng công nghệ thông tin) phục vụ cho việc học Toán. – Sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ, phương tiện học toán, đặc biệt là phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học (phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi). – Sử dụng được máy tính cầm tay, phần mềm, phương tiện công nghệ, nguồn tài nguyên trên mạng Internet để giải quyết vấn đề toán học. – Biết đánh giá cách thức sử dụng các công cụ, phương tiện học toán trong tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học. – Biết đề xuất ý tưởng để thiết kế, tạo dựng phương tiện học liệu mới phục vụ việc tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học. III. MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐIỀU TRA KHẢO SÁT THỰC TRẠNG DẠY VÀ HỌC ĐẠI SỐ TỔ HỢP Ở TRƯỜNG THPT

Để có tìm hiểu vần đề này, chúng tôi đã tiến hành khảo sát tìm hiểu về phía học sinh. Chúng tôi đã phát phiếu khảo sát cho 400 học sinh 11 của nhiều trường THPT trên địa bàn để các em phát biểu những ý kiến của bản thân sau khi các em đã học xong chương 2, Đại số tổ hợp xác suất, Toán 11. Nội dung khảo sát như sau:

Phiếu khảo sát

Họ và tên học sinh............................................................................................ Lớp..................................................................................................................

Hãy trả lời câu hỏi dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ô trống trong bảng có câu trả lời phù hợp với em

Nội dung Có Không/ chưa

5

(1) Em có yêu thích học môn Toán không?

(2) Khi giải toán Đại số Tổ hợp, em có thường xuyên bị hiểu nhầm bài, giải sai bài không ?

(3) Em có gặp khó khăn khi học chủ đề Đại số tổ hợp không?

(4) Em có biết học Đại số tổ hợp xác suất để làm gì không?

(5) Em đã bao giờ áp dụng kiến thức Đại số tổ hợp vào trong cuộc sống chưa?

(6) Em có thể dùng kiến thức đại số tổ hợp để giải quyết một số vấn đề trong thực tiễn chưa ?

Qua thăm dò ý kiến HS, GV ở một số trường THPT trên địa bàn, chúng tôi thu

được một số kết quả chung như sau: - 80,3% HS được hỏi gặp khó khăn khi học chủ đề Đại số tổ hợp, nhiều HS thường hiểu nhầm đề bài, giải sai bài toán Đại số tổ hợp. - 73% HS được hỏi chưa biết học Đại số tổ hợp để làm gì, chưa biết được ý nghĩa của Đại số tổ hợp. - Nhiều GV đã chuyển dần từ việc dạy học truyền thống sang dạy học hình thành và phát triển năng lực, nhưng có đến 52% GV gặp khó khăn vì thiếu tài liệu, chưa biết cách thiết kế bài giảng để dạy học theo định hướng phát triển năng lực. Một số GV chậm thay đổi, đang dạy học theo phương pháp cũ.

B. MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ NĂNG LỰC TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP I. THIẾT KẾ MỘT SỐ TÌNH HUỐNG GỢI VẤN ĐỀ (THGVĐ) 1. Mục đích của biện pháp

Dạy học PH&GQVĐ đặt HS vào những tình huống gợi vấn đề, đòi hỏi HS phải phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để GQVĐ và thông qua đó chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những mục đích học tập khác. Sử dụng các THGVĐ tạo cơ hội cho HS phát triển khả năng phát hiện vấn đề; khả năng tìm tòi, xem xét vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau để đề xuất được các giải pháp mới cũng như thực hiện, đánh giá và nghiên cứu sâu giải pháp; khả năng đánh giá kết quả học tập của bản thân và người khác, qua đó hình thành và phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh. 2. Cách thức thực hiện biện pháp

6

Tổ chức dạy học dựa theo quy trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, thể hiện trong một hoặc một vài bước có định hướng hình thành và phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh: Bước 1. Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

Bắt đầu

Phân tích vấn đề

Hình thành giải pháp

Giải pháp đúng

Kết thúc - Phát hiện vấn đề từ một THGVĐ: GV đưa ra THGVĐ, yêu cầu HS thực hiện các hoạt động cần thiết để phát hiện vấn đề có trong tình huống bằng những đề xuất câu hỏi/vấn đề cần giải quyết. - Giải thích và chính xác hóa tình huống (khi cần thiết) để xác định và hiểu đúng câu hỏi/vấn đề đã đề xuất. - Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó. Bước 2: Tìm giải pháp Tìm cách GQVĐ theo sơ đồ bên: Khi dạy học các THGVĐ đã thiết kế theo hướng hình thành và phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh cần chú ý tới những chủ định trong thiết kế để tạo điều kiện cho HS thể hiện những biểu hiện của năng lực GQVĐ. Cụ thể: - Phân tích vấn đề: làm rõ mối liên hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm (dựa vào những tri thức đã học, liên tưởng tới kiến thức thích hợp). GV cần chú ý cho HS phát biểu cái đã biết và cái cần tìm theo những cách khác nhau đề làm tiền đề cho tưởng về giải pháp những ý GQVĐ.

- Tổ chức cho HS tìm chiến lược GQVĐ thông qua việc HS tự đề xuất các phương hướng giải quyết và thực hiện các hướng GQVĐ đã đề xuất trên cơ sở thu thập, tổ chức dữ liệu, huy động tri thức; sử dụng những PP, kĩ thuật nhận thức, tìm đoán suy luận như hướng đích, quy lạ về quen, đặc biệt hóa, chuyển qua những trường hợp suy biến, tương tự hóa, khái quát hóa, xem xét những mối liên hệ phụ thuộc, suy xuôi, suy ngược tiến, suy ngược lùi,... Phương hướng đề xuất có thể được điều chỉnh khi cần thiết. Kết quả của việc đề xuất và thực hiện các hướng GQVĐ là hình thành được một hoặc một vài giải pháp.

- Kiểm tra tính đúng đắn của các giải pháp đã đề xuất. Sau khi đã xác định được một giải pháp đúng, cần khuyến khích HS tiếp tục xác định tính đúng đắn của những giải pháp khác đã đề xuất, so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lí nhất.

Bước 3. Trình bày giải pháp.

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.

7

- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng sáng tạo kết quả.

- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hóa, lật ngược vấn đề, ... và giải quyết nếu có thể (để tạo ra vấn đề mới). 3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho đa giác có 16 đỉnh. Có bao nhiêu cách chọn 3 đỉnh của đa giác đó để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho.

- Tri giác vấn đề: Bài toán yêu cầu tính số cách chọn 3 trong 16 đỉnh của đa giác tạo thành 1 tam giác không có cạnh chung với đa giác. Để tính số cách chọn trong bài toán này chúng ta cần hiểu rõ bản chất bài toán này dùng khái niệm nào của đại số tổ hợp: Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp ?

Việc chọn 3 trong 16 đỉnh của đa giác là bài toán tổ hợp. Vấn đề là tính số phần tử của tam giác tạo thành không có cạnh nào chung với đa giác.

- Tìm giải pháp: GV yêu cầu học sinh hoạt động theo nhóm để tìm ra giải pháp. Khi cần thiết có thể hỗ trợ cho HS tự đưa ra các câu hỏi kiểu như sau: Có những cách nào để tính được số trường hợp tam giác tạo thành không có cạnh chung với đa giác ?

Với mỗi tam giác tạo thành có bao nhiêu trường hợp xảy ra liên quan đến cạnh chung với đa giác ? Với câu hỏi này HS sẽ trả lời được ngay có 3 trường hợp xảy ra đó là có 2 cạnh chung, có 1 cạnh chung và không có cạnh chung với đa giác.

Đến đây bằng HĐ nhóm học sinh sẽ thảo luận, trao đổi và nghĩ tới phương pháp loại trừ để tính số phần tử của biến cố “tam giác tạo thành không có cạnh nào chung với đa giác”.

Có bao nhiêu tam giác tạo thành có 2 cạnh chung với đa giác? Điều kiện nào để

một tam giác tạo thành có 2 cạnh chung với đa giác?

Có bao nhiêu tam giác tạo thành có đúng 1 cạnh chung với đa giác? Điều kiện nào

để một tam giác tạo thành có đúng 1 cạnh chung với đa giác?

- Trình bày giải pháp: GV yêu cầu đại diện của 1 nhóm lên trình bày lời giải và cho các nhóm HS khác nhận xét về lời giải của nhóm bạn.

Lời giải

Số cách lấy 3 đỉnh trong 16 đỉnh của đa giác là .

+) Số tam giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác là 16 tam giác.

+) Số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là tam giác.

+) Suy ra số tam giác có đỉnh là đỉnh đa giác, nhưng không có cạnh nào chung là

.

- Nghiên cứu sâu giải pháp:

Với hướng giải như trên GV yêu cầu HS tự xây dựng một bài toán tương tự, học

8

sinh có thể thay đa giác 16 đỉnh bằng 1 đa giác có số đỉnh khác.

GV đặt vấn đề nếu thay việc chọn 3 đỉnh thành việc chọn 4 đỉnh và yêu cầu tính

số tứ giác tạo thành không có cạnh nào chung với đa giác ?

đỉnh . Tính

Có thể tổng quát hóa bài toán: “Cho đa giác đỉnh được chọn tạo thành giác không có cạnh nào chung với

số cách chọn giác ban đầu ?”

Với cách giải như trên thì trường hợp

cũng đã rất khó khăn để giải. Để tính số phần tử của biến cố 4 đỉnh được chọn tạo thành 1 tứ giác không có cạnh nào chung với đa giác cần loại trừ các trường hợp: 3 cạnh chung, có 2 cạnh chung liên tiếp, 2 cạnh chung không liên tiếp và 1 cạnh chung. Do đó cần tìm một cách giải khác có thể giải quyết được trường hợp tổng quát.

Nhận xét.

Với cách làm như trên, rõ ràng người GV vừa thiết kế được 1 tình huống có vấn để cho HS và với các HĐ để GQVĐ đã giúp người học hình thành và phát triển một số năng lực Toán học như: năng lực GQVĐ, năng lực tư duy và lập luận, năng lực giao tiếp, hợp tác (thể hiện qua hoạt động nhóm, hoạt động trình bày lời giải, hoạt động nhận xét, đánh giá, thảo luận).

Đối với HS có năng lực yếu hoặc trung bình, GV yêu cầu giải bài toán tương tự trên nhằm củng cố cho HS về kiến thức cũng như rèn luyện kĩ năng giải toán Đại số tổ hợp. Thông qua đó giúp HS yếu và trung bình thêm tự tin vào bản thân trong việc giải toán Đại số tổ hợp nói riêng cũng như thêm tự tin khi học môn toán nói chung.

Đối với HS có năng lực khá thì GV yêu cầu giải bài toán cho trường hợp thay việc chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bởi 4 đỉnh tạo thành 1 tứ giác không có cạnh nào chung với đa giác.

Đối với HS giỏi thì GV yêu cầu HS tìm tòi lời giải cho bài toán tổng quát nói trên.

Như vậy, sau khi giải xong ví dụ 1, bằng các con đường tương tự hóa, tổng quát hóa đã giúp HS tạo ra được nhiều bài toán mới, mỗi bài toán mới đó lại là vấn đề mới nảy sinh, lại là một THCVĐ cho mỗi đối tượng HS khác nhau mà các em có nhu cầu nhận thức để giải quyết.

Bài toán tương tự hóa: Cho đa giác có 100 đỉnh, có bao nhiêu cách chọn 3 đỉnh của đa giác để tam giác tạo thành từ 3 đỉnh đó không có cạnh nào chung với đa giác ?

Bài toán tổng quát hóa: Cho đa giác có n đỉnh, có bao nhiêu cách chọn k đỉnh của đa giác để k_giác tạo thành từ k đỉnh được chọn không có cạnh nào chung với n_giác ban đầu ?

Bài toán lật ngược vấn đề: Cho đa giác có n đỉnh , biết rằng có

9

cách chọn 3 đỉnh của đa giác để tam giác tạo thành từ 3 đỉnh đó không có cạnh nào chung với n_giác bạn đầu. Hỏi giá trị của n là bao nhiêu ?

Nhờ HĐ ngôn ngữ ta có thể phát biểu bài toán ở các dạng khác nhau, chẳng hạn: Có 20 HS đứng thành 1 vòng tròn tổ chức 1 trò chơi. Người ta chọn ra 3 HS từ vòng tròn đó để lập 1 đội chơi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 HS mà không có bất kì 2 HS nào đứng cạnh nhau ?

Với HĐ ngôn ngữ Toán học, GV nên khuyến khích HS mạnh dạn phát biểu các bài toán có nội dung thực tiễn có hình thức khác nhau, nhưng vẫn giữ nguyên bản chất của Toán học, các nội dung thực tiễn đó nhiều khi đem lại sự kích thích và hứng thú cho người học, mang lại cho người học mong muốn giải quyết nó. Chẳng hạn bài toán sau: Đội cận vệ tổng thống Mỹ có 20 xe bọc thép luôn chạy theo đội hình thành 1 hàng dài, đội trưởng đội cận vệ cần chọn ra 3 xe để chở tổng thống và các thành viên gia đình tổng thống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn xe để không có bất kì 2 xe được chọn nào chạy liên tiếp nhau ?

Để dẫn dắt HS giải quyết bài toán tổng quát, GV không vội vàng đưa ra lời giải, mà nên khéo léo đưa ra các bài toán khác, gần tương tự với ví dụ 1 trên, nhưng có thể giải quyết được bằng nhiều cách giải khác nhau. Chẳng hạn GV đưa ra ví dụ sau:

Ví dụ 2. (Trích đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm học 2015 – 2016)

. Tính

Chọn ngẫu nhiên 3 số tự nhiên đôi một khác nhau từ tập hợp xác suất để trong ba số được chọn không có hai số tự nhiên nào liên tiếp.

- Tri giác vấn đề: Ở ví dụ 2 này, đặt cho HS 1 THCVĐ đó là tìm số cách chọn 3 trong 20 số tự nhiên từ 1 đến 20 sao cho không có 2 số tự nhiên nào liên tiếp. Nó cũng gần là các đỉnh của đa giác tương tự như ví dụ 1, thật vậy nếu chúng ta giả sử thì mỗi cạnh của đa giác có thể được hiểu là “tạo” ra từ hai đỉnh liên tiếp hay là 2 số tự nhiên liên tiếp. Như vậy, Ví dụ 2 là một THCVĐ đối với HS.

Để giải quyết Ví dụ 2, HS có cơ hội tự đặt ra các câu hỏi cần tìm hiểu, chẳng hạn: Làm thế nào để tính được số cách chọn 3 trong 20 số tự nhiên nói trên sao cho không có bất kì 2 số tự nhiên nào liên tiếp? Có thể sử dụng phương pháp loại trừ như trong ví dụ 1 để giải quyết không? Nếu giải được bài toán ở ví dụ 2 thì có thể giải được bài toán tổng quát của nó không? Có phương pháp chung để giải cả bài toán tổng quát ví dụ 2 và ví dụ 1 không?...

- Tìm giải pháp: GV yêu cầu HS làm việc theo nhóm để tìm lời giải cho ví dụ 2. Khi cần thiết có thể gợi ý cho HS tự đưa ra được các câu hỏi kiểu như: Nếu áp dụng phương pháp loại trừ như ví dụ 1 thì có thể giải được ví dụ 2 không?

Nếu áp dụng phương pháp loại trừ thì ta thấy:

Trường hợp 3 số tự nhiên liên tiếp có 18 trường hợp.

10

Trường hợp có đúng 2 số tự nhiên liên tiếp, chẳng hạn 1; 2 thì số tự nhiên thứ 3 có 17 cách chọn. Tương tự cho trường hợp bộ hai số19, 20.

Tuy nhiên, nếu 2 số tự nhiên liên tiếp khác, chẳng hạn 9; 10 thì số tự nhiên thứ 3 không thể là 8; 11 nên nó có 16 cách chọn. Từ đây HS có thể đưa ra giải pháp cho ví dụ 2.

- Trình bày giải pháp: GV cho đại diện HS lên trình bày lời giải.

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu là: .

Gọi là biến cố 3 số được chọn không có 2 số tự nhiên nào liên tiếp.

Số cách chọn 3 số tự nhiên liên tiếp là 18.

Số cách chọn 3 số tự nhiên trong đó có đúng 2 số tự nhiên liên tiếp là

.

Do đó số phần tử của biến cố là .

Vậy xác suất để 3 số được chọn không có 2 số tự nhiên liên tiếp là

.

- Nghiên cứu sâu giải pháp: Từ phương pháp giải ở 2 ví dụ trên GV gợi ý để HS đề xuất các bài toán khác, phát biểu ở một dạng khác nhưng cùng phương pháp giải tương tự, chẳng hạn:

Bài toán 1. Có 17 HS nam và 3 HS nữ được sắp xếp thành 1 hàng dọc. Tính cách sắp xếp để không có bất kì 2 HS nữ nào đứng cạnh nhau.

Rõ ràng bài toán 1 được phát biểu ở 1 dạng khác, nhưng vẫn có thể giải bằng cách phân chia trường hợp và loại trừ như ở 2 ví dụ trên. Chú ý rằng ở bài toán 1 có kể thứ tự sắp xếp.

- Để giúp HS tìm được cách giải mới cho các ví dụ nêu trên, GV có thể đặt vấn đề tìm lời giải khác ở bài toán 1. Liệu bài toán 1 có thể giải bằng cách khác hay không? Nếu 17 HS nam đã đứng thành 1 hàng dọc rồi thì việc sắp xếp 3 HS nữ để không có bất kì hai HS nữ nào đứng cạnh nhau thì các HS nữ này phải được sắp xếp như thế nào? Với câu hỏi này, gợi cho HS xếp 3 HS nữ vào các vị trí xen giữa 17 HS nam hoặc 2 vị trí ở hai đầu mút. Từ đó HS sẽ tìm được lời giải khác cho bài toán 1. Với cách đặt vấn đề như trên chính là đang bồi dưỡng cho HS tư duy lật ngược vấn đề để tìm ra giải pháp.

Lời giải 2 cho bài toán 1

Số cách sắp xếp 17 HS nam thành 1 hàng dọc là .

11

Để trong 3 HS nữ được sắp xếp không có bất kì 2 HS nữ nào đứng cạnh nhau thì chúng ta chỉ việc sắp xếp 3 HS nữ đó vào các vị trí xen giữa 17 HS nam và 2 vị trí ở 2 đầu. Có tất cả 18 vị trí.

cách sắp xếp 3 HS nữ vào hàng đã sắp xếp 17 HS nam để không có 2 HS

Vậy có nữ đứng cạnh nhau.

Số phần tử của biến cố là .

Từ đây GV đặt vấn đề cho HS liệu có thể áp dụng phương pháp của lời giải 2

của Bài toán 1 cho các ví dụ 1, ví dụ 2 nói trên không?

- GV nên cho HS làm việc theo nhóm để tìm hiểu kĩ lời giải 2 cho bài toán 1 và áp dụng giải 2 ví dụ trên.

Lời giải 2 cho ví dụ 2

Số phần tử của không gian mẫu là: .

Gọi là biến cố 3 số được chọn không có 2 số tự nhiên nào liên tiếp.

Số cách lấy ra 3 số tự nhiên sao cho không có 2 số tự nhiên nào liên tiếp tương ứng với số cách chèn 3 số tự nhiên vào các vị trí xen giữa 17 số tự nhiên và 2 vị trí ở hai đầu.

Do đó số phần tử của biến cố là .

Vậy xác suất để 3 số được chọn không có 2 số tự nhiên liên tiếp là

.

Lời giải 2 cho ví dụ 1

Trước hết ta kí hiệu đa giác đó là .

Trước hết ta tính số tam giác tạo thành không có cạnh nào là cạnh của đa giác, . Lúc đó 2 đỉnh còn lại sẽ được chọn trong các đỉnh trong đó có chứa đỉnh

(loại trừ 2 đỉnh liền kề với ) sao cho đỉnh được chọn đó không

đứng cạnh nhau.

Số cách chọn này đúng bằng số cách chèn 2 đỉnh mới xen kẽ giữa 11 đỉnh hoặc

2 vị trí đầu mút. Có tất cả 12 vị trí do đó có cách chọn.

Tương tự cho việc thay đỉnh bằng các đỉnh khác còn lại. Tuy nhiên mỗi tam

giác tạo thành có 3 lần lặp lại.

Do đó số cách chọn 3 đỉnh của đa giác mà không có bất kì 2 đỉnh nào liên tiếp là

.

GV tiếp tục gợi ý dẫn dắt để HS tìm ra lời giải khác cho ví dụ 1 bằng cách nghiên

cứu sâu lời giải 2 nói trên.

Lời giải 3 cho ví dụ 1 12

Xét đa giác . Việc chọn ra 3 đỉnh trong 16 đỉnh sao cho không có 2 đỉnh

nào liên tiếp cũng tương tự như việc chọn ra 3 số trong 16 số trong đó không có 2 số tự

nhiên nào liên tiếp, ở đây chúng ta để ý 2 số là 1 và 16 không cùng được chọn.

Giả sử 3 số được chọn là .

Vì chúng là 3 số tự nhiên không liên tiếp nên ta có

1 đến 14, nên có . Bài toán trở thành chọn ra 3 số tự nhiên phân biệt từ cách chọn. Tuy nhiên, chúng ta cần loại trừ trường hợp

. Với thì , do đó được chọn 1 trong 12 số còn lại,

nên có cách chọn.

Vậy số cách chọn 3 trong 16 đỉnh của đa giác để không có 2 đỉnh nào liên tiếp là

.

Ví dụ 3. Trong công viên có 1 hàng cây gồm 20 cây xanh, người ta muốn di dời bớt đi 4 cây xanh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn cây cần di dời sao cho không có bất kì 2 cây di dời nào đứng cạnh nhau.

- Tri giác vấn đề: Ở ví dụ 3 này, đặt cho HS 1 THCVĐ đó là tìm số cách chọn 4 trong 20 cây sao cho không có 2 cây nào được chọn đứng liên tiếp. Nó cũng gần tương tự như ví dụ 1, ví dụ 2.

Để giải quyết bài toán thì trước hết học sinh cần có năng lực mô hình hóa toán học, tức là biết chuyển bài toán thực tế nói trên sang 1 bài toán toán học quen thuộc hơn.

HS cần tự đặt ra các câu hỏi, chẳng hạn như có thể liệt kê được không? Rõ ràng rất khó khăn để liệt kê.

Nếu không liệt kê được thì sử dụng phương pháp loại trừ được không? Ta có thể loại trừ với trường hợp chỉ di dời 2 cây hoặc 3 cây. Trường hợp di dời 4 cây như yêu cầu bài toán thì rất khó khăn để dùng phương án loại trừ. Như vậy, không thể sử dụng được cách giải như ví dụ 1.

- Tìm giải pháp: GV yêu cầu HS làm việc theo nhóm để tìm lời giải cho ví dụ 3. Khi cần thiết có thể gợi ý cho HS tự đưa ra được các câu hỏi kiểu như: Nếu áp dụng phương pháp loại trừ như ví dụ 1 thì có thể giải được không ? Có thể áp dụng phương pháp làm như trong lời giải 2 của ví dụ 2 nói trên không ?

13

Số cách di dời 4 cây xanh trong 20 cây sao cho không có bất kì 2 cây xanh nào đứng cạnh nhau liệu có bằng hay không số cách trồng mới 4 cây xanh xen vào hàng cây gồm 16 cây xanh sao cho không có bất kì 2 cây mới trồng nào đứng cạnh nhau ? Rõ ràng với cách đặt câu hỏi dưới dạng tư duy thuận nghịch như vậy giúp ích rất tốt trong việc bồi dưỡng tư duy và lập luận cho HS. Nếu có 1 hàng gồm 16 cây và chúng ta trồng thêm 4 cây thêm vào hàng đó sao cho không có bất kì 2 cây mới trồng nào

đứng cạnh nhau thì chúng ta chỉ việc trồng 4 cây mới vào các vị trí xen giữa 16 cây và 2 vị trí 2 đầu mút, có tất cả 17 vị trí.

- Trình bày giải pháp: GV cho đại diện HS lên trình bày lời giải.

Lời giải ví dụ 3

Số cách chọn 4 trong 20 cây để di dời sao cho không có 2 cây nào đứng liên tiếp nhau đúng bằng số cách trồng mới 4 cây thêm vào hàng gồm 16 cây sao cho không có 2 cây mới trồng nào đứng cạnh nhau.

Để trồng 4 cây xen vào hàng gồm 16 cây sao cho không có bất kì 2 cây nào mới trồng đứng cạnh nhau chúng ta chỉ việc trồng 4 cây mới vào 4 trong 17 vị trí gồm 2 vị trí hai đầu mút và 15 vị trí xen giữa 16 cây đó.

Vậy có cách di dời cây.

Với phương pháp giải trên GV yêu cầu HS phát biểu bài toán tương tự cho trường

hợp chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh, không cần trình bày lời giải hãy đưa ra kết quả ?

Bài toán 2. Cho đa giác có 16 đỉnh. Tính số tứ giác có đỉnh là đỉnh của đa giác đó sao cho tứ giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho. Kết quả: .

Bằng cách lật ngược vấn đề chúng ta có 1 số bài toán sau:

Bài toán lật ngược vấn đề: Biết rằng số tứ giác tạo thành từ

đỉnh sao cho tứ giác đó không có cạnh nào chung với n_giác ban đầu là đỉnh của 1 đa giác có .

Hãy tìm n ?

Việc giải quyết các bài toán lật ngược vấn đề như trên cũng tạo ra 1 tình huống có vấn đề cho HS, bởi việc giải 1 phương trình tổ hợp cũng không hề đơn giản, nhưng nó kích thích sự tò mò, mong muốn khám phá của người học.

Từ đây, GV đặt vấn đề để HS đưa ra bài toán tổng quát và kết quả của bài toán.

đỉnh . Tính số cách chọn

giác không có cạnh nào chung với đỉnh của đa giác ban đầu.

Bài toán 3. Cho đa giác giác sao cho chúng tạo thành Kết quả: .

GV cũng có thể yêu cầu học sinh xây dựng bài toán tương tự ví dụ 2 nhưng mở rộng cho việc lựa chọn nhiều số tự nhiên hơn, chẳng hạn:

Bài toán 4. Chọn ngẫu nhiên 10 số tự nhiên đôi một khác nhau từ tập hợp . Tính xác suất để trong 10 số được chọn không có hai số tự nhiên

nào liên tiếp.

Rõ ràng với bài toán 4 nói trên thì phương pháp loại trừ rất khó để thực hiện như

14

trong lời giải 1 của ví dụ 2.

Tuy nhiên, với phương pháp như trong lời giải 3 Ví dụ 1 thì bài toán 4 quá đơn

giản và HS có thể đưa ra ngay kết quả là .

Quay trở lại với ví dụ 1, GV khéo léo gợi ý bằng cách thêm giả thiết đa giác đã

cho là đa giác đều có 16 cạnh. Khi đó chúng ta có thể tạo ra 1 THCVĐ mới cho HS.

Ví dụ 4. Cho đa giác đều có 16 cạnh. Tính số cách chọn 4 đỉnh đa giác để 4 đỉnh được chọn tạo thành 1 hình chữ nhật.

- Tri giác vấn đề: HS thấy ngay ở ví dụ 3 này nảy sinh 1 vấn đề mới có liên quan đến các hình đặc biệt là đa giác đều và hình chữ nhật. HS sẽ tự đặt ra hệ thống các câu hỏi nhằm tìm hiểu vấn đề cũng như tìm phương án giải quyết vấn đề đó. Chẳng hạn, đa giác đều có những tính chất đặc biệt nào? Với điều kiện nào thì 4 đỉnh của đa giác đều tạo thành 1 hình chữ nhật? Hãy thử vẽ hình minh họa,…

- Tìm giải pháp: GV cho HS hoạt động theo nhóm để cùng nhau tìm ra lời giải cho ví dụ 4, các nhóm HS thảo luận và đưa ra một số câu hỏi có liên quan đến các tính chất về đa giác đều, về hình chữ nhật. HS sẽ để ý ngay tới tính đối xứng của hai hình đó. Tức là nếu 4 đỉnh của đa giác đều tạo thành 1 hình chữ nhật thì hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật đối xứng nhau qua tâm của đa giác đều đó. Nói cách khác, mỗi đường chéo của hình chữ nhật có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác chính là một đường chéo đi qua tâm của đa giác. Vì đa giác đều có 16 đỉnh nên nó có 8 đường chéo đi qua tâm.

Một hình chữ nhật được tạo thành từ 2 đường chéo đi qua tâm, do đó số hình chữ nhật tạo thành đúng bằng số cách chọn 2 trong số 8 đường chéo. Từ đây HS có thể trình bày lời giải.

- Trình bày giải pháp:

Lời giải

Mỗi hình chữ nhật tạo thành được xác định bởi hai đường chéo đi qua tâm.

Có 8 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 16 đỉnh.

Do đó có hình chữ nhật có đỉnh chung với đa giác.

- Nghiên cứu sâu giải pháp:

Bằng cách đặc biệt hóa ví dụ 4, thay hình chữ nhật bởi hình vuông cho ta bài toán sau:

Bài toán 5. Cho đa giác đều có 16 cạnh. Tính số cách chọn 4 đỉnh của đa giác đó để 4 đỉnh được chọn tạo thành 1 hình vuông.

15

Hiển nhiên đây cũng là một THCVĐ sau khi HS đã được tìm hiểu và giải quyết ví dụ 3. Việc giải quyết bài toán 5 cũng không quá khó khăn đối với HS, mỗi hình vuông tạo thành từ 4 đỉnh của đa giác đều 16 cạnh nói trên có 1 tính chất đặc biệt là hai đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau. Nói cách khác, 4 đỉnh của hình vuông cách

đều nhau. Đa giác đều có 16 đỉnh nên có thể tạo được hình vuông có chung

đỉnh với đa giác đều đó.

thì với điều kiện nào của

Từ bài toán 5, GV có thể gợi ý để học sinh có thể tự đưa ra các câu hỏi: nếu thay để bài toán có số 16 trong bài toán 5 bởi số tự nhiên kết quả khác 0? Hiển nhiên HS sẽ tự trả lời ngay được rằng điều kiện là . và Từ đó GV có thể yêu cầu HS đưa ra các bài toán tương tự bài toán 5. Hoạt động này góp phần bồi dưỡng cho HS năng lực tư duy tương tự hóa, đặc biết hóa.

Tiếp tục quay trở lại ví dụ 1, nếu chúng ta thêm vào giả thiết điều kiện đa giác đều và thay đổi yêu cầu bài toán bởi 3 điểm được chọn tạo thành một tam giác vuông, tam giác nhọn hay tam giác tù thì lời giải sẽ như thế nào? Hãy phát biểu bài toán và tìm cách giải.

Ví dụ 5. Cho đa giác đều có 16 cạnh. Tính số cách chọn 3 đỉnh của đa giác để 3 đỉnh được chọn tạo thành 1 tam giác vuông.

Sau khi HS đã giải quyết các ví dụ 1, 2, 3, 4 nói trên thì hiển nhiên ví dụ 5 này không quá khó đối với HS khi nhận ra rằng nếu 3 đỉnh được chọn tạo thành 1 tam giác vuông thì cạnh huyền của tam giác vuông đó chính là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác, nó là 1 trong 8 đường chéo đi qua tâm của đa giác.

Với mỗi cách chọn 1 đường chéo, có 14 cách chọn đỉnh thứ 3 để 3 đỉnh tạo thành 1 tam giác vuông. Do đó số tam giác vuông tạo thành là .

Ví dụ 6. Cho đa giác đều có 16 cạnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính số cách chọn 3 đỉnh của đa giác sao cho 3 đỉnh được chọn tạo thành 1 tam giác tù.

, nếu cố định đỉnh

- Tri giác vấn đề: Bài toán quy về việc số tam giác tù tạo thành từ 3 trong 16 đỉnh của đa giác đều 16 cạnh. HS cần huy động các kiến thức liên quan đến tam giác tù, cần tự đặt ra các câu hỏi có liên quan, chẳng hạn: Nếu 3 đỉnh của được chọn của đa giác tạo thành 1 tam giác tù thì tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác luôn nằm ngoài tam giác, làm thế nào để tính số tam giác tù có chung đỉnh với đa giác? Thử vẽ hình để quan sát? Giả sử , làm thế nào để tính số cách chọn 2 đỉnh là tam giác tù tại đỉnh ?...

là tam giác tù ở đỉnh

rồi đến qua

- Tìm giải pháp: GV cho HS làm việc theo nhóm cùng nhau thảo luận để tìm giải pháp giải quyết ví dụ 6. Nếu cần GV có thể gợi ý bằng các câu hỏi định hướng hoặc dẫn dắt để HS tự đưa ra các câu hỏi mang tính định hướng và cùng nhau giải quyết các câu hỏi đó, để từ đó xây dựng giải pháp, chẳng hạn: Giả sử 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác và khi vẽ đường tròn ngoại tiếp đa giác thì thứ tự đi cùng chiều kim đồng hồ, việc làm này nhằm tránh tính toán từ có bao nhiêu cách chọn nhầm một tam giác tù nhiều lần. Với mỗi cách chọn điểm cũng là một đỉnh của đa giác đều đó thì tam giác với

16

? Nếu vẽ đường kính nằm hẳn về một nửa đường tròn đường kính .

Từ đến có 7 đỉnh nằm giữa . Số cách chọn 2 đỉnh để tam giác

tù là . Từ đây HS có thể trình bày lời giải.

- Trình bày giải pháp: GV yêu cầu đại diện 1 nhóm nào đó trình bày lời giải.

Lời giải

Giả sử tam giác tù đó là với góc tù và khi vẽ đường tròn ngoại tiếp đa

giác thì thứ tự đi từ qua rồi đến cùng chiều kim đồng hồ.

với cũng là một đỉnh của đa giác đều đó thì tam giác

Nếu vẽ đường kính nằm hẳn về một nửa đường tròn đường kính .

Từ đến có 7 đỉnh nằm giữa . Số cách chọn 2 đỉnh để tam giác

tù là .

Có 16 cách chọn đỉnh .

Do đó số cách chọn ra 3 đỉnh của đa giác để chúng tạo thành 1 tam giác tù là .

- Nghiên cứu sâu giải pháp: Từ ví dụ 5 và ví dụ 6, HS có thể tự xây dựng được bài toán sau:

Bài toán 6. Cho đa giác đều có 16 cạnh. Chọn 3 đỉnh của đa giác. Tính số cách chọn để 3 đỉnh được chọn tạo thành 1 tam giác nhọn.

Bây giờ nếu thay giả thiết chọn 3 đỉnh bởi 4 đỉnh và dựa trên các ví dụ nói trên có thể xây dựng thành bài toán sau:

Ví dụ 6. Cho đa giác đều có 16 cạnh. Tính số cách chọn 4 đỉnh của đa giác để 4 đỉnh được chọn tạo thành 1 tứ giác có hai góc tù cùng chung 1 cạnh.

Nhận xét. Sau khi HS đã giải quyết các bài toán trong các ví dụ trước thì khi đưa ra ví dụ 6, nó lại nảy sinh 1 THCVĐ mà HS cần giải quyết.

-Tri giác vấn đề: Bài toán quy về yêu cầu tính số cách chọn 4 trong 16 đỉnh của đa giác

đều sao cho tứ giác tạo thành có 2 góc tù cùng chung 1 cạnh. Làm thế nào để tính được số cách chọn này? Có tính chất đặc biệt gì không?

17

- Tìm giải pháp: HS làm việc theo nhóm, cùng nhau thảo luận để tìm giải pháp. Số cách . Ngoài trường hợp 4 đỉnh được chọn tạo chọn 4 trong 16 đỉnh của đa giác đều là thành tứ giác theo yêu cầu thì còn những trường hợp nào nữa? HS sẽ chỉ ra được 1 trường hợp là 4 đỉnh tạo thành 1 hình chữ nhật. Ngoài trường hợp đó còn những trường hợp nào? Hãy thử vẽ hình minh họa để quan sát còn trường hợp nào nữa? HS sẽ thấy ngay còn 1 trường hợp nữa là tứ giác tạo thành có 2 góc đối là hai góc vuông, ngoài ra không còn có trường hợp nào nữa. Tại sao không còn trường hợp nào nữa? Có thể giải thích được không? HS có thể tự giải thích được, bởi đa giác đều nên nó có đường tròn

ngoại tiếp. Do đó tứ giác tạo thành là 1 tứ giác nội tiếp nên tổng 2 góc đối đỉnh của tứ

giác luôn bằng . Do đó, không có tứ giác nào tạo thành có 2 góc đối cùng tù.

Từ đây, HS sẽ nghĩ tới phương pháp loại trừ để tính số tứ giác tạo thành thỏa mãn yêu cầu bài toán.

- Trình bày giải pháp: GV yêu cầu đại diện 1 nhóm nào đó trình bày lời giải.

Lời giải

Vì đa giác đã cho là đa giác đều nên tứ giác tạo thành là một tứ giác nội tiếp nên

nó có tính chất tổng 2 góc đối luôn bằng

. Do đó để tính số phần tử của biến cố ta chỉ cần loại trừ số cách chọn mà 4 đỉnh tạo thành 1 hình chữ nhật hoặc 4 đỉnh tạo

thành 1 tứ giác có 2 góc đối là 2 góc vuông nhưng không phải là hình chữ nhật.

Số cách chọn 4 đỉnh của đa giác để chúng tạo thành 1 hình chữ nhật là .

Trường hợp 4 đỉnh tạo thành 1 tứ giác có hai góc đối là 2 góc vuông nhưng không phải là hình chữ nhật thì chúng ta thấy tứ giác đó đúng 1 đường chéo đi qua tâm của đa giác.

cách chọn 2 đỉnh còn Với mỗi cách chọn 1 đường chéo đi qua tâm của đa giác có lại của tứ giác có 2 góc đối là 2 góc vuông. Tuy nhiên cần loại trường hợp chúng tạo thành hình chữ nhật (mỗi hình chữ nhật được tính 2 lần).

cách chọn tứ giác có 2 góc đối là 2 góc vuông nhưng không phải

Do đó có là hình chữ nhật. Do đó số cách chọn ra 4 đỉnh thỏa mãn yêu cầu bài toán là

.

- Nghiên cứu sâu giải pháp: Trong ví dụ 6 nếu thay yêu cầu tứ giác có 2 góc tù kề nhau bởi điều kiện chúng tạo thành hình thang ta có bài toán sau:

đỉnh nội tiếp đường tròn tâm có . Tính số cách chọn

Ví dụ 7. Cho đa giác đều 4 đỉnh của đa giác đều đó sao cho 4 đỉnh được chọn tạo thành 1 hình thang.

- Tri giác vấn đề: Yêu cầu của bài toán quy về việc tính số hình thang tạo thành từ 12 đỉnh của đa giác đều.

- Tìm giải pháp: Nếu 4 đỉnh của đa giác đều tạo thành 1 hình thang thì nó phải là hình thang cân. Vì hình thang cân có trục đối xứng chính là 1 đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác. Có 2 trường hợp.

Trường hợp 1. Trục đối xứng là 1 đường chéo qua tâm của đa giác.

18

Lúc đó nó sẽ chia đa giác thành 2 nửa đối xứng qua đường kính đó. Mỗi bên có 5 đỉnh, nên có cách chọn 2 đỉnh để chúng tạo thành 1 hình thang. Có tất cả 6 trục đối xứng là đường chéo qua tâm.

Trường hợp 2. Trục đối xứng đó là một đường trung trực của 1 cạnh đa giác. Lúc này mỗi bên có 6 đỉnh nên có cách chọn 2 đỉnh để chúng tạo thành 1 hình thang.

hình chữ nhật tạo thành từ các đỉnh của đa

Có tất cả 6 trục đối xứng loại này. Có giác. Từ đây HS trình bày giải pháp.

- Trình bày giải pháp:

Lời giải

là trục đối xứng của hình thang cân có

Gọi đỉnh là đỉnh của .

Trường hợp 1: đi qua hai đỉnh của .

Có trục đối xứng.

Ứng với mỗi trục đối xứng có hình thang (lấy

trong đỉnh một bên rồi đối xứng qua ).

Trường hợp 2: đi qua hai cạnh của .

Có trục đối xứng.

hình thang (Lấy

Ứng với mỗi trục đối xứng có trong đỉnh một bên rồi đối xứng qua ).

hình chữ nhật được

Trong các hình thang trên có đếm hai lần.

Vậy đáp số của bài toán là: hình

thang.

Dựa vào lời giải trên GV có thể yêu cầu HS tổng quát hóa bài toán nói trên.

Tổng quát:

Nếu đa giác có đỉnh thì có hình thang cân có

đỉnh

là đỉnh của .

Nếu đa giác có đỉnh thì có hình thang cân có đỉnh

19

là đỉnh của .

Trong ví dụ 5, thay đổi yêu cầu thành 3 đỉnh được chọn tạo thành 1 tam giác cân nhưng không phải tam giác đều cho ta bài toán sau:

Ví dụ 8. Cho đa giác đều có đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm . Tính

số cách chọn 3 đỉnh của đa giác để 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều.

Lời giải

là trục đối xứng của tam giác cân có đỉnh là đỉnh

Gọi của .

Có trục đối xứng.

tam giác cân, trong đó có

Ứng với mỗi trục đối xứng có tam giác đều.

Do đó số cách chọn ra 3 đỉnh của đa giác nói trên để chúng tạo thành 1 tam giác cân nhưng không phải tam giác đều là .

Từ các ví dụ và các bài toán vừa trình bày, bằng cách phát biểu dưới các khác nhau chúng ta có thể xây dựng được nhiều bài toán mới, chẳng hạn một số bài toán sau:

Bài toán 7. Có 8 học sinh nam và 6 học sinh nữ được sắp xếp thành 1 hàng dọc. Tính số cách sắp xếp để không có bất kì 2 học sinh nữ nào đứng cạnh nhau.

Bài toán 8. Sân trường Đại học Vinh có 30 cây được trồng thành một hàng dọc. Nhà trường chặt bỏ 10 cây trong số đó. Tính số cách chặt cây để 10 cây được chặt không có bất kì 2 cây nào đứng cạnh nhau.

Bài toán 9. Có 12 quyển sách Toán và 8 quyển sách Văn được sắp lên 1 giá sách thành hàng dọc. Tính số cách sắp xếp để không có bất kì 2 quyển sách Văn nào được sắp cạnh nhau.

Bài toán 10. Có 10 quyển sách Toán, 9 quyển sách Văn và 8 quyển sách Lí được sắp lên 1 giá sách thành 1 hàng dọc. Tính số cách sắp xếp để không có bất kì 2 quyển sách Toán nào đứng cạnh nhau và cũng không có bất kì 2 quyển sách Văn nào đứng cạnh nhau.

Bài toán 11. Có 10 quyển sách Toán, 9 quyển sách Văn và 8 quyển sách Lí được sắp lên 1 giá sách thành 1 hàng dọc. Tính số cách sắp xếp để không có bất kì 2 quyển sách nào cùng môn đứng cạnh nhau.

Bằng cách thay đổi giả thiết, đối với bài toán sắp xếp người thành 1 hàng dọc,

20

chúng ta có thể tạo ra nhiều bài toán mới, các bài toán đó lại là 1 THCVĐ cho HS.

Ví dụ 10. Một nhóm học sinh gồm có 4 học sinh nam trong đó có Tuấn và 4 học sinh nữ trong đó có Hoa. Sắp xếp các học sinh đó thành 1 hàng dọc. Tính số cách sắp xếp để các học sinh nam và nữ ngồi xen kẽ và Tuấn và Hoa luôn ngồi cạnh nhau ?

- Tri giác vấn đề: Đây lại là 1 bài toán tổ hợp có liên quan đến sắp xếp người. Nếu chỉ dừng lại nam nữ xem kẽ thì không có gì khó khăn, tuy nhiên ngoài yêu cầu đó bài toán còn có yêu cầu Tuấn và Hoa luôn ngồi cạnh nhau.

- Tìm giải pháp: GV cho HS hoạt động nhóm, thảo luận để tìm giải pháp. Vì số lượng HS tương đối ít nên chắc chắn HS thường hướng tới việc liệt kê các trường hợp có thể xảy ra. Chẳng hạn, đánh số vị trí từ 1 đến 8, khi đó cần sắp xếp hai bạn Tuấn và Hoa vào 2 vị trí cạnh nhau trước, sau đó mới sắp xếp các bạn còn lại. Mỗi cách sắp xếp 2 bạn đó thì có 3! cách sắp xếp các bạn nam còn lại và 3! cách sắp xếp các bạn nữ. Từ đây HS có thể tìm ra được giải pháp và trình bày giải pháp.

- Trình bày giải pháp: Đại diện HS lên báo cáo và trình bày lời giải.

Lời giải

Trước hết ta đánh số thứ tự các vị trí là từ 1 đến 8.

Từ 1 đến 8 có 7 cặp số tự nhiên liên tiếp. Mỗi trường hợp như vậy có 2 cách sắp xếp cho Tuấn và Hoa.

cách sắp xếp cho 3 học sinh nam còn lại

Với mỗi cách sắp xếp cho Tuấn và Hoa có và cũng có có cách sắp xếp cho 3 học sinh nữ còn lại.

Do đó số cách sắp xếp cần tìm là .

- Nghiên cứu sâu giải pháp: Nếu thay việc sắp xếp thành 1 hàng dọc bởi sắp xếp thành 1 vòng tròn, chúng ta có bài toán mới sau:

Bài toán 12. Một nhóm học sinh gồm có 4 học sinh nam trong đó có Tuấn và 4 học sinh nữ trong đó có Hoa. Sắp xếp các học sinh đó thành 1 vòng tròn. Tính số cách sắp xếp để các học sinh nam và nữ ngồi xen kẽ và Tuấn và Hoa luôn ngồi cạnh nhau ?

Thay giả thiết 4 nam 4 nữ ở trên bằng 4 cặp vợ chồng chúng ta có bài toán sau:

Bài toán 13. Có 4 cặp vợ chồng được sắp xếp ngồi trên một chiếc ghế dài có 8 chỗ. Tính số cách sắp xếp để mỗi người vợ chỉ ngồi cạnh chồng của mình hoặc ngồi cạnh một người phụ nữ khác.

Trong bài toán 7 chỉ có hai đối tượng nam, nữ đứng xen kẽ, bằng cách thay đổi giả thiết ta có ví dụ sau:

21

Ví dụ 11. Xếp 8 học sinh gồm 1 học sinh lớp 11A, 3 học sinh lớp 11B và 4 học sinh lớp 11C thành một hàng ngang. Tính số cách sắp xếp để trong 8 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau.

- Tri giác vấn đề: Ở ví dụ 8 yêu cầu không có bất kì 2 HS cùng lớp nào đứng cạnh nhau, ở đây có 3 đối tượng HS, trong đó nhiều nhất là lớp 11C. Nhiều khả năng cần sắp xếp HS lớp 11C trước để giải quyết, sau đó có thể xem kẽ HS 2 lớp còn lại.

- Tìm giải pháp: Nếu sắp xếp 4 HS lớp 11C trước thì có cách sắp xếp. Giữa 4 HS 11C này cần xen thêm các HS của 2 lớp kia. Sẽ có 2 trường hợp chính xảy ra đó là, giữa 2 HS lớp 11 C chỉ có 1 HS lớp khác, HS còn lại sẽ đứng ở 1 trong 2 vị trí đầu mút, trường hợp thứ 2 là có 1 vị trí xen giữa 2 HS lớp 11 C có 2 HS của 2 lớp xen vào. Mỗi trường hợp đều có thể tính được số các sắp xếp từ đây có thể hình thành giải pháp.

- Trình bày giải pháp:

Lời giải

Sắp xếp 4 HS lớp 11C thành 1 hàng dọc có cách sắp xếp.

Trường hợp 1. Xen giữa 2 HS lớp 11C có duy nhất 1 HS lớp khác.

Lúc này cần sắp xếp 4 HS gồm 1 HS lớp 11A, 3 HS lớp 11B xen kẽ với 4 HS lớp 11C

Trường hợp này có cách sắp xếp.

Trường hợp 2. Có 1 vị trí xen giữa 2 HS lớp 11C có 2 HS khác lớp đứng vào.

Có cách sắp xếp 3 HS lớp 11B xen giữa các HS lớp 11C.

Có 6 cách sắp xếp 1HS lớp 11A vào 1 trong 6 vị trí xen giữa 7 HS đã sắp xếp.

Trường hợp này có cách sắp xếp.

Do đó số cách sắp xếp cần tìm là .

Nhận xét.

- Để tổ chức DH các THCVĐ đã thiết kế theo hướng hình thành và phát triển năng lực GQVĐ cho HS một cách có hiệu quả, cần linh hoạt trong tiến trình DH để dành thời lượng thích đáng cho hoạt động phát hiện, GQVĐ cũng như nghiên cứu sâu giải pháp. Trong quá trình dạy học, GV cần có năng lực tổ chức các HĐ sao cho thông qua các HĐ đó góp phần hình thành và phát triển các năng lực khác nhau, chẳng hạn như thông qua HĐ nhóm, ghép đôi, kĩ thuật khăn trải bàn, … nhằm giúp HS hình thành năng lực hợp tác, giao tiếp, thông qua việc thảo luận, báo cáo kết quả, nhận xét đánh giá, … giúp ích rất tốt trong việc hình thành và phát triển năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, loại năng lực hết sức quan trọng cần có ở người học, qua các HĐ như vậy còn làm cho HS có thêm tự tin, mạnh dạn hơn trong các HĐ khác.

- Với cách tổ chức dạy học bằng THCVĐ thì trong tất cả các HĐ phát hiện vấn đề, GQVĐ, nghiên cứu sâu giải pháp đều góp phần hình thành và phát triển năng lực tư duy và lập luận. Nếu không có năng lực tư duy và lập luận rõ ràng không thể phát hiện ra vấn đề, không thể GQVĐ và càng không thể nghiên cứu sâu giải pháp.

22

- Một số THCVĐ (đặc biệt là tình huống gắn với giải bài tập) có thể tổ chức

thực hiện trong các giờ DH tăng cường hoặc DH phân hóa.

- Sau khi HS đã được học thông qua các hoạt động giải quyết các ví dụ nói trên, GV cần khêu gợi năng lực sáng tạo ở HS. Tức là, GV sẽ đưa ra 1 số giả thiết hay một số vấn đề dạng mở và yêu cầu HS thảo luận để tự đặt ra các câu hỏi, từ đó xây dựng nên các bài toán mới, là các THCVĐ mới nảy sinh và tìm cách giải quyết các vấn đề đó.

Trong thực tiễn dạy học, chúng tôi đã tiến hành việc khuyến khích HS xây dựng bài toán mới có nội dung gắn với thực tế cuộc sống, thảo luận trao đổi và tìm lời giải hoặc dạng thách đấu lẫn nhau giữa các nhóm HS. Với việc làm này, HS tỏ ra rất hứng thú và đã xây dựng nhiều bài toán hay, bổ ích. Qua đó giúp các em hình thành và phát triển toàn diện năng lực, đặc biệt năng lực GQVĐ, năng lực sáng tạo; tạo cơ hội cho các em rèn luyện năng lực làm việc theo nhóm; phát triển năng lực giao tiếp… II. TĂNG CƯỜNG HUY ĐỘNG CÁC KIẾN THỨC KHÁC NHAU CHO HS ĐỂ HS BIẾT GIẢI BÀI TẬP TOÁN BẰNG NHIỀU CÁCH KHÁC NHAU 1. Cơ sở xây dựng biện pháp

Môn Toán là môn học có nhiều cơ hội phát triển trí tuệ cho học sinh, đặc biệt là quá trình giải bài tập toán. Một trong các biện pháp quan trọng là cần linh hoạt tổ chức cho HS giải các bài toán theo nhiều cách khác nhau vì mỗi cách giải đều có những ưu điểm và khuyết điểm riêng. Từ đó giúp HS rút ra được những kinh nghiệm để giải một bài toán nhanh hơn và chính xác hơn. 2. Nội dung và thực hiện biện pháp

a) Vai trò của huy động kiến thức: Năng lực huy động kiến thức không phải là bất biến, tùy từng bài toán mà HS phải biết rằng họ cần huy động những kiến thức nào cho phù hợp. Một bài toán khi đặt vào thời điểm này có thể không giải được hoặc giải được nhưng nó rất dài dòng, máy móc nhưng ở thời điểm khác nếu HS biết huy động kiến thức thích hợp thì việc giải bài toán sẽ dễ dàng và ngắn gọn hơn, độc đáo hơn. b) Ý nghĩa của huy động kiến thức: Việc huy động kiến thức có ý nghĩa là nhằm chuẩn bị đa dạng các thông tin, kiến thức đã biết, gần gũi với thông tin, kiến thức mới, tạo điều kiện thuận lợi cho việc chuyển thông tin mới vào vùng trí nhớ và trong vùng trí nhớ sẽ có những kiến thức cần thiết đủ để giải quyết vấn đề mới, nhằm giúp người học thu thập được kiến thức mới sau khi đã giải quyết được vấn đề. Ngoài ra thông qua việc huy động kiến thức, HS cũng có cơ hội để rà soát lại vốn kiến thức của mình xem những gì mình đã nắm chắc và những gì mình còn thiếu, cần phải tìm hiểu thêm, những kiến thức nào là quan trọng và khó cần được học trên lớp dưới sự hướng dẫn của GV, những kiến thức nào có thể tự học ở nhà thông qua SGK hoặc các tài liệu tham khảo khác.

23

c) Năng lực huy động kiến thức gồm một số đặc điểm sau:

- Nó là quá trình nhớ lại kiến thức một cách có chọn lọc để thích ứng với vấn đề mới đặt ra. Năng lực huy động kiến thức không phải là bất biến.

- Nó là tổ hợp các năng lực được biểu hiện dưới nhiều dạng khác nhau như: năng lực khái quát hóa, năng lực đặc biệt hóa, năng lực quy lạ về quen, năng lực chuyển đổi ngôn ngữ, năng lực giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau,...

d) Một số phương thức bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức cho HS THPT

- Rèn luyện cho HS biến đổi bài toán theo nhiều cách khác nhau để huy động kiến thức thích hợp cho từng cách giải. Khi đứng trước một bài toán HS cần biết xem xét mối liên hệ giữa các đại lượng, phán đoán các khả năng có thể xảy ra và các hướng biến đổi bài toán.

Sau khi HS đã học xong hai quy tắc đếm, GV có thể tiến hành cho HS giải ví dụ

- Rèn luyện cho HS năng lực huy động kiến thức thông qua dạy học chuỗi các bài toán. Mỗi một chuỗi bài toán HS sẽ được lĩnh hội những tri thức khác nhau. Chẳng hạn, chuỗi bài toán với mục đích củng cố khái niệm, định lí sẽ phát triển trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp,... Từ đó giúp cho các em có thể liên tưởng sáng tạo ra nhiều bài toán khác nhau từ một bài toán gốc. Một trong những phương pháp xây dựng chuỗi bài toán là dựa vào năng lực huy động kiến thức của HS thông qua các thao tác như khái quát hóa, tương tự hóa, đặc biệt hóa,... 3. Ví dụ minh họa sau, nhưng cần gợi ý để HS đưa ra nhiều phương án giải khác nhau.

Ví dụ 12. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau, trong đó luôn có mặt chữ số 1 ?

Lời giải

Cách 1.

Giả sử số cần lập là , .

Vì luôn có mặt chữ số 1 nên có 3 trường hợp sau: Trường hợp 1.

. nên nó có 5 cách chọn.

khác khác nên nó có 4 cách chọn.

số.

Trường hợp này có . Trường hợp 2.

nên nó có 5 cách chọn.

khác khác nên nó có 4 cách chọn.

số.

24

Trường hợp này có Trường hợp 3. . Tương tự 2 trường hợp trên nên trường hợp này có số.

Vậy có số tạo thành theo yêu cầu bài toán.

Lời giải trên sẽ rất phù hợp cho đại đa số HS khi mới được học hai quy tắc đếm cơ bản. Tuy nhiên chúng ta thấy cả 3 trường hợp trong lời giải trên đều giống nhau. Đến đây GV nên gợi ý để HS đưa ra lời giải thứ 2. Nhận thấy rằng số cần lập luôn có mặt chữ số 1 nên rõ ràng ta luôn ưu tiên sắp xếp chữ số 1 trước. Cụ thể ta có lời giải 2: Cách 2.

Giả sử số cần lập là , .

Trước hết chúng ta sắp xếp chữ số 1 vào 1 trong 3 vị trí , có 3 cách sắp xếp.

trong 5 chữ số còn lại xếp vào vị trí thứ 2, có 5 cách.

cách sắp xếp.

Tiếp theo cần chọn ra Cuối cùng cần chọn ra 1 trong 4 chữ số còn lại xếp vào vị trí cuối cùng, có 4 cách. Vậy có Ngoài 2 cách trên sẽ là thiếu sót nếu GV không gợi ý để HS tìm ra lời giải thứ 3 bằng phương pháp loại trừ, đây là 1 trong những phương pháp hay thường được áp dụng để giải các bài toán kiểu này. Cách 3.

Giả sử số cần lập là , .

Trước hết chúng ta tính số tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau tạo thành từ các chữ số đã cho.

có 6 cách chọn. có 5 cách chọn. có 4 cách chọn.

số có 3 chữ số đôi một khác nhau tạo thành từ các chữ số đã cho. Để tính số các chữ số tạo thành theo yêu cầu bài toán thì chúng ta chỉ cần loại trừ (không có mặt

Do đó có trường hợp số có 3 chữ số đôi một khác nhau tạo thành từ chữ số 1).

có 5 cách chọn. có 4 cách chọn. có 3 cách chọn.

số có 3 chữ số đôi một khác nhau tạo thành từ các chữ số đã cho

số có 3 chữ số đôi một khác nhau tạo thành từ các chữ số đã cho

25

Do đó có mà không có mặt chữ số 1. Vậy có và luôn có mặt chữ số 1. Đối với các HS có năng lực trung bình và yếu, sau khi đã học xong kiến thức chỉnh hợp, tổ hợp thì GV cũng nên gợi ý cho các em biết cách áp dụng các kiến thức đó vào giải quyết bài toán này. Cách 4.

Giả sử số cần lập là , .

Trước hết ta sắp xếp chữ số 1 vào 1 trong 3 vị trí, có 3 cách sắp xếp. Tiếp theo cần chọn ra 2 trong 5 chữ số còn lại sắp xếp vào 2 vị trí còn lại. Đây là 1 bài toán chỉnh hợp, nên có cách.

cách sắp xếp.

Để HS hiểu sâu sắc hơn về chỉnh hơp và tổ hợp, GV có thể gợi ý để HS đưa ra

Vậy có cách giải bài toán trên thông qua 2 hành động. Cách 5. Trước hết chúng ta cần chọn thêm 2 trong 5 chữ số đã cho (ngoại trừ chữ số 1), đây là 1 bài toán tổ hợp nên có cách.

, đây là 1 bài

cách.

Tiếp theo, với 2 chữ số vừa chọn và chữ số 1 sắp xếp vào 3 vị trí cách sắp xếp. toán hoán vị nên có Vậy có Trong quá trình dạy học, GV cần biết cách nâng dần mức độ khó khăn một cách hợp lí, vừa sức với HS. Sau khi đã trình bày rất nhiều cách giải cho ví dụ 12 nói trên, GV nên đưa ra 1 số bài toán phát triển dựa trên ví dụ 12 và lựa chọn các cách giải phù hợp. Bài toán 14. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau, trong đó luôn có mặt chữ số 0 ? Do có xuất hiện chữ số 0 nên hiển nhiên bài toán trên sẽ gây cho HS 1 số khó khăn nhất định. Tuy nhiên sẽ rất nhiều HS tìm ra được nhiều lời giải cho bài toán này dựa trên các cách giải đã trình bày trong ví dụ 12. Bài toán 15. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập ra được bao nhiêu chữ số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau, trong đó luôn có mặt chữ số 0 và chữ số 1 ? Rõ ràng mức độ khó khăn đã được tăng lên đáng kể ở bài toán 15, dựa trên 5 cách giải đã trình bày trong ví dụ 12, GV cần khéo léo gợi ý (nếu cần) để HS tìm ra lời giải và có thể giải được bằng nhiều cách khác nhau.

Lời giải

Cách 1.

.

).

Gọi số cần lập là Trước hết chúng ta sắp xếp chữ số 0, có 3 cách sắp xếp (không có trường hợp Tiếp theo sắp xếp chữ số 1, có 3 cách sắp xếp. Cuối cùng chọn 2 trong 5 chữ số còn lại sắp xếp vào 2 vị trí còn lại có cách.

số.

26

Vậy có Cách 2. Trước hết ta cần chọn thêm 2 chữ số trong 5 chữ số, có cách chọn.

cách.

Với 2 chữ số vừa chọn và chữ số 1, chữ số 0 sắp xếp vào 4 vị trí có Vậy có số.

HS có thể chọn lựa và trình bày một số cách giải sau:

Bài toán 16. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập ra được bao nhiêu chữ số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau, trong đó chữ số 0 và chữ số 1 không đồng thời có mặt ? Cách 1. Phân chia thành 3 trường hợp: Trường hợp 1. Có mặt chữ số 0 và không có mặt chữ số 1. Trường hợp 2. Có mặt chữ số 1 và không có mặt chữ số 0. Trường hợp 3. Không có mặt cả 2 chữ số 0, 1. Cách 2. Sử dụng phương pháp loại trừ. Trước hết tính số cách chọn số có 4 chữ số đôi một khác nhau tạo thành từ các chữ số đã cho. Sau đó loại trừ trường hợp số có 4 chữ số đôi một khác nhau tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó luôn có mặt chữ số 0 và chữ số 1. Nhận xét. Dựa trên trình bày trên chúng ta thấy cần linh hoạt và luôn tạo điều kiện để HS được trình bày nhiều cách giải khác nhau cho 1 bài toán. Trên cơ sở các cách giải khác nhau đó sẽ giúp ích cho HS được phát triển năng lực tư duy và lập luận. Sau khi đã tiếp thu các cách giải khác nhau đó, HS khéo léo biết vận dụng ngay vào các bài toán với mức độ khó lớn hơn, phức tạp hơn. Với cách làm như ví dụ 12 người GV có thể sáng tác ra rất nhiều bài toán khác liên quan đến việc tạo ra số tự nhiên như trên. Bên cạnh đó GV cũng nên khuyến khích HS tự sáng tác ra các bài toán loài này. Một trong những HĐ mà chúng tôi đã thành công đó là, ngay sau khi tổ chức cho HS tiếp thu được các cách giải khác nhau như trên, chia lớp thành 6 nhóm nhỏ. Các nhóm có nhiệm vụ là thảo luận tạo ra 1 bài toán mới, xây dựng lời giải. Sau khi các nhóm làm xong đổi bài của nhóm này và cho nhóm khác thảo luận tìm và trình bày lời giải. Cách làm này tỏ ra rất thành công khi các em rất tự tin, hăng say thảo luận và hứng thú trong học tập và đạt kết quả rất cao, chúng tôi thật sự rất hài lòng.

Ví dụ 13. Tính tổng .

Lời giải

Cách 1. (Sử dụng kiến thức về khai triển Nhị thức Newton)

Xét khai triển .

Hệ số trong khai triển trên là . (1)

27

Ta có .

ứng với .

Do đó hệ số trong cách khai triển thứ 2 là

. (2)

. Từ (1) và (2) ta có:

Bài toán trên có 2 cách giải, mà từ 2 cách giải đó cho chúng ta kết quả của ví dụ

Cách 2. (Sử dụng kiến thức quy tắc đếm, tính chất tổ hợp) Xét bài toán: Có 2 hộp, hộp 1 chứa 2021 quả cầu màu đỏ và 2021 quả cầu màu xanh, hộp 2 cũng chứa như hộp 1. Từ mỗi hộp lấy ra 2021 quả cầu. Tính số cách lấy ra sao cho tổng số quả cầu màu đỏ được lấy ra ở 2 hộp là 2021. 13 nói trên. Lời giải 1. Ta lập bảng thống kê và kết quả lấy ra ở 2 hộp sao cho tổng số quả cầu đỏ là 2021 như sau:

Kết quả cách chọn

Quả cầu đỏ H1 Quả cầu đỏ H2

0 2021

1 2020

2 2019

… … …

2021 0

Tổng số cách chọn để có 2021 quả cầu đỏ được lấy ra từ 2 hộp là

.

mỗi loại. Chúng ta

Lời giải 2. Tổng số quả cầu đỏ và quả cầu xanh ở 2 hộp là cần lấy ra 2021 quả cầu màu đỏ nên có cách chọn.

Từ 2 lời giải trên suy ra .

28

Nhận xét. Rõ ràng ở ví dụ trên chúng ta vừa trình bày lời giải 2 để giải quyết một bài toán tính tổng tổ hợp mà tưởng chừng như chỉ có thể giải được bằng cách áp dụng khai triển Nhị thức Newton, nhưng đã được trình bày dưới dạng sử dụng quy tắc nhân và tính chất của tổ hợp. Qua các HĐ như vậy, giúp cho HS có thêm nhiều cách để nhìn nhận các vấn đề, phát biểu các vấn đề dưới nhiều dạng khác nhau. Đây cũng chính là bồi dưỡng và hình thành có HS năng lực ngôn ngữ Toán học.

Ví dụ 14. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số chia hết cho 13 và có chữ số tận cùng bằng 2 ?

Lời giải

là: , số lớn nhất có

. là

, do đó số có 6 chữ số nhỏ nhất chia hết cho và có chữ

là số

chữ số cùng chia hết cho và đều có chữ số tận

và có chữ số tận cùng bằng .

thì hiệu của chúng cũng chia hết cho ) có chữ số tận cùng bằng chia hết cho là .

Cách 1. Ta nhận thấy rằng: Số nhỏ nhất có 6 chữ số chia hết cho 6 chữ số chia hết cho Ta có . số tận cùng bằng Nhận thấy nếu hai số tự nhiên có cùng bằng Số nhỏ nhất (lớn hơn Điều này chứng tỏ tất cả các số có chữ số chia hết cho

lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là và có chữ số tận cùng bằng , công sai .

Công thức số hạng tổng quát của dãy là: .

Vì số cần tìm là số có chữ số không vượt quá nên ta có:

.

là số tự nhiên nên số hạng lớn nhất trong dãy trên ứng với .

.

và có chữ số tận cùng bằng là Vì Vậy số các số cần tìm là Cách 2. Gọi số chia hết cho .

Ta có: .

Gọi là số dư của phép chia cho 13 .

Khi đó vì nên ta có:

.

Do đó tồn tại số tự nhiên sao cho: ,

. Ta có bảng:

Loại

Loại

29

Loại

Loại

Thỏa mãn

Loại

Loại

Loại

Loại

Loại

Loại

Loại

Loại

là số dư của phép chia cho 13. Như vậy, tồn tại

Từ bảng trên ta có số tự nhiên để:

. Vì nên ,

hay:

.

.

Số các số cần tìm là Cách 3. Gọi số chia hết cho và có chữ số tận cùng bằng là .

nên thương của phép chia đó phải có tận cùng bằng 4 (vì từ

Ta có: bảng nhân 3 ta thấy chỉ có 3.4 mới có tận cùng bằng 2).

30

Giả sử .

Nên ta có: .

Vì nên .

tương ứng với một số tự nhiên có 6 chữ số chia hết cho 13.

chữ số mà các chữ số đều khác và chỉ có

Mỗi cách chọn Số các số cần tìm là . Nhận xét. Ví dụ trên là 1 bài toán phù hợp với đối tượng HS khá giỏi, thường xuất hiện trong các kì thi HSG. Để giải quyết được bài toán này HS cần hội tụ nhiều kiến thức khác nhau, đặc biệt là tính chất chia hết. Với cách giải 1, HS lập được 1 dãy cấp số cộng và bài toán quy về tìm số hạng thứ n. Với cách giải 2, HS chỉ cần lập bảng và loại trừ các khả năng không xảy ra. Với cách giải 3, HS cần hiểu sâu sắc hơn về phép chia cho 13, mỗi cách giải có một vẻ đẹp riêng của nó. Dựa trên ví dụ này GV nên khuyến khích HS tìm hiểu thêm các bài toán về đại số tổ hợp có liên quan đến tính chất chia hết. Sau đây xin trình bày 1 thêm 1 số ví dụ khác có liên quan đến tính chất chia hết hoặc có sử dụng các kiến thức về hoán vị lặp, tổ hợp lặp, … Ví dụ 15. Có bao nhiêu số tự nhiên có mặt ba chữ số khác nhau.

Lời giải

Chọn 3 trong 9 chữ số có cách chọn.

TH1: 1 số xuất hiện lần, 2 số còn lại xuất hiện 1 lần có cách chọn.

TH2: 1 số xuất hiện 1 lần, 2 số còn lại xuất hiện 2 lần có cách chọn.

Suy ra, số các số tự nhiên cần tìm là .

Cách 2. Chọn các số tự nhiên có chữ số chỉ có mặt chữ số: .

Chọn các số tự nhiên có chữ số chỉ có mặt chữ số:

TH1: 1 số xuất hiện 4 lần, 1 số xuất hiện 1 lần có cách.

31

TH2: số xuất hiện lần, số xuất hiện 2 lần có cách.

Chọn các số tự nhiên có chữ số chỉ có mặt chữ số ( số xuất hiện lần, còn lại

xuất hiện lần) có cách. Chọn các số tự nhiên có chữ số khác nhau:

cách. Tổng số cách là cách.

.

. Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số được

Vậy Ví dụ 16. Cho tập hợp lập từ các chữ số của tập mà chia hết cho

. Lời giải

.

chữ số được lập từ các chữ số của tập hợp chữ số được lập từ các chữ số của tập hợp là mà các số đó

chữ số được lập từ các chữ số của tập hợp mà các số đó

chữ số được lập từ các chữ số của tập hợp mà các số đó

Cách 1. Số các số có là số các số có Gọi chia hết cho . là số các số có Gọi dư . chia là số các số có Gọi dư 2. chia Ta có: .

Ta cũng có: . Dó đó suy ra:

.

Mà nên .

chữ số ( ).

Cách 2. Xét số được lập theo yêu cầu bài toán có + Xếp chữ số cách. có

vị trí còn lại chọn từ tập có cách. +

tương ứng có một số thỏa mãn +

số. có

,

32

Ví dụ 17. Một chiếc hộp đựng màu đỏ được đánh số từ đến viên bi màu xanh được đánh số từ đến và viên bi màu vàng được đánh số từ đến viên bi .

viên bi trong hộp. Tính số cách chọn để viên bi được chọn có số đôi một

Chọn khác nhau.

Lời giải

viên bi được chọn.

Cách 1. Ta chia nhiều trường hợp theo số màu của TH 1: một màu. Trường hợp này có phần tử (ứng với màu xanh, đỏ, vàng).

TH 2: hai màu.

Trường hợp này có phần tử

(ứng với các cặp màu xanh-đỏ, đỏ-vàng, xanh-vàng). TH 3: ba màu. Trường hợp này có phần tử (ứng với màu xanh, đỏ, vàng).

.

đều là

viên bi mang số , . Vì vậy để đếm số phần

trong bài ta chia nhiều trường hợp theo

hoặc số hay không.

.

phần tử (chọn một số trong tập , chọn một viên bi

, viên bi còn lại là viên bi mang số ).

.

phần tử (chọn hai số trong tập

hoặc số ).

.

phần tử (chọn ba số trong tập , chọn lần lượt

.

bi xanh đánh số từ đến bi vàng đánh số từ đến ,

. Tính số cách chọn 3 bi để ba bi lấy được có bi đỏ đánh số từ đến số khác

Như vậy số cách chọn là Cách 2. Nhận thấy số viên bi mang cùng số thuộc tập hợp trong đó chỉ có và viên bi mang số tử của không gian thuận lợi cho biến cố việc ba viên bi có viên nào mang số TH 1: có đúng một viên bi mang số thuộc tập hợp Trường hợp này có mang số này, chọn một viên bi mang số TH 2: có đúng hai viên bi mang số thuộc tập hợp , chọn một viên bi Trường hợp này có mang số thứ nhất, chọn một viên bi mang số thứ hai, chọn một viên bi trong ba viên bi mang số TH 3: cả ba viên bi mang số thuộc tập hợp Trường hợp này có các viên bi mang các số này). Như vậy số cách chọn là Ví dụ 18. Một hộp đựng và nhau và khác màu.

Lời giải

. Khi đó có hai khả năng sau:

33

Cách 1. Ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1. Bi đỏ được chọn ghi số Khả năng 1. Bi vàng được chọn ghi số . Khi đó có cách chọn bi xanh.

. Khi đó bi vàng có cách chọn,

Khả năng 2. Bi vàng được chọn ghi số bé hơn bi xanh có cách chọn.

cách chọn.

. Khi đó bi vàng có cách chọn và bi xanh có

Trường hợp 1 có Trường hợp 2. Bi đỏ được chọn ghi số cách chọn . Trường hợp này có cách chọn.

cách chọn.

. Bi đỏ có . Khi đó bi xanh có cách chọn .

và khác số bi đỏ. Khi đó bi vàng

Trường hợp 3. Bi đỏ được chọn ghi số bé hơn Khả năng 1. Bi vàng được chọn ghi số Khả năng 2. Bi vàng được chọn ghi số bé hơn có cách chọn và bi xanh có

cách chọn. cách chọn. Trường hợp 3 này có

.

cách chọn bi xanh.

cách chọn bi vàng để bi vàng ghi số khác với bi xanh. cách chọn bi đỏ ghi số khác với bi vàng, bi

Vậy số cách chọn cần tìm là Cách 2. Có Với mỗi cách chọn bi xanh có Với mỗi cách chọn bi xanh và bi vàng có xanh.

.

quả cầu được đánh số từ đến

Vậy số cách chọn cần tìm là Ví dụ 19. (Dựa trên đề thi HSG cấp tỉnh Nghệ An, Toán 12, năm học 2020 – 2021) , có bao nhiêu cách chọn 3 quả cầu để các số Có ghi trên 3 quả cầu đó lập thành 1 cấp số cộng ? Lời giải

theo thứ tự là 3 số trên 3 quả cầu được chọn lập thành 1 cấp số cộng. Khi

.

là hai số tự nhiên cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Với mỗi cách chọn

có duy nhất 1 cách chọn . Cách 1. Giả sử đó ta có: Điều này chứng tỏ 2 số

cùng lẻ. Khi đó , có tất cả 15 số lẻ, nên có

Trường hợp 1. . cách chọn

Trường hợp 2. cùng chẵn. Khi đó , có tất cả 15 số chẵn, nên có

cách chọn .

Vậy số cách chọn cần tìm là cách chọn.

Nếu HS chưa được học về kiến thức cấp số cộng, có thể phát biểu bài toán dưới

quả cầu được đánh số từ đến

, có bao nhiêu cách chọn 3 quả cầu để các số số ghi trên các quả cầu bằng trong

34

dạng khác như sau: Có ghi trên 3 quả cầu đó thỏa mãn tổng của lần số còn lại ? Cách 2.

theo thứ tự là 3 số trên 3 quả cầu được chọn lập thành 1 cấp

Giả sử số cộng. Khi đó ta có: . Dễ thấy .

Ta chia thành 2 trường hợp. Trường hợp 1. .

Với mỗi giá trị cố định sẽ có cách chọn .

Do đó số cách chọn là .

Trường hợp 2. .

Với mỗi giá trị cố định sẽ có cách chọn .

Do đó số cách chọn trong trường hợp 2 là .

Vậy số cách chọn là .

Nhận xét. Để giúp học sinh huy động kiến thức, Theo G. Pôlya, chúng ta cần giúp học sinh có được các kĩ năng sau: - Khoanh vùng kiến thức tương ứng với điều mới mẻ hay bài tập đang quan tâm; - Nhận biết được điều mới mẻ ấy liên quan đến những khái niệm, tính chất hay định lí nào, bài toán ấy thuộc dạng nào hoặc có liên quan đến một bài tập nào đã biết; - Hồi tưởng lại những khái niệm, tính chất, định lí hay những dạng bài tập tương tự và phương pháp giải chúng. Sau khi đã hồi tưởng lại những khái niệm, tính chất hay định lí hay những dạng bài tập tương tự và cách giải chúng, trong nhiều trường hợp giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh thực hiện các thao tác sau: - Bổ sung thêm một vài yếu tố nào đó để hiểu rõ hơn con đường đi tới điều mới mẻ hoặc hiểu rõ hơn quy trình giải bài toán. - Đối với những vấn đề hoặc những bài toán phức tạp có những chi tiết mà ta có thể nghĩ rằng đó là điểm mấu chốt, ta có thể: + Cách li tạm thời yếu tố đó để tập trung nghiên cứu nó. + Liên kết nó với toàn bộ bài toán để tìm ra phương án giải quyết vấn đề. III. GIÚP CHO HS THẤY ĐƯỢC ỨNG DỤNG THỰC TIỄN CỦA ĐẠI SỐ TỔ HỢP XÁC SUẤT TỪ ĐÓ TẠO HỨNG THÚ CHO HS TRONG QUÁ TRÌNH HỌC TẬP 1. Cơ sở xây dựng biện pháp

35

Thực tiễn đóng vai trò quyết định quá trình nhận thức, là tiêu chuẩn chân lí của toán học cũng như các khoa học khác. Tính thực tiễn của Toán học thể hiện qua ứng

dụng của nó vào trong các tình huống cuộc sống. Ngoài ra, thực tiễn còn có vai trò quan trọng trong việc hình thành cho HS khả năng PH & GQVĐ vì nó là môi trường rất thuận lợi cho HS rèn luyện, phát triển kĩ năng, kĩ xảo. 2. Nội dung và thực hiện biện pháp

Vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn thực chất là sử dụng các kiến thức Toán học làm công cụ để giải quyết một tình huống thực tiễn. Những ứng dụng thực tế của toán học thường có cách tiếp cận và giải quyết vấn đề như sau : - Bước 1 : Toán học hóa tình huống thực tế; - Bước 2 : Dùng công cụ toán học để giải quyết bài toán trong mô hình toán học; - Bước 3 : Chuyển kết quả trong mô hình toán học sang lời giải của bài toán thực tế.

Việc vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn nói chung đều thực hiện theo quy trình : Tình huống thực tiễn → mô hình hóa toán học → sử dụng phương pháp toán học để giải quyết → điều chỉnh kết quả cho phù hợp với tình huống ban đầu. Việc làm cho HS thấy được ứng dụng thực tiễn của toán học nói chung và của chủ đề Đại số tổ hợp nói riêng phải được tiến hành ở tất cả các khâu cơ bản của quá trình dạy học như: đảm bảo trình độ xuất phát; hướng đích và gợi động cơ; làm việc với nội dung mới; củng cố; kiểm tra và đánh giá; hướng dẫn công việc ở nhà. Và việc tổ chức nên thực hiện dưới nhiều cách thức khác nhau như: thực hiện thông qua dạy học lý thuyết trên lớp, làm bài tập hay các bài thực hành…

Chủ đề Đại số tổ hợp thuộc mạch toán ứng dụng do đó nó có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống. Các bài toán trong chương này thường gắn liền với thực tiễn và thiết thực. Do đó GV cần khai thác, tìm tòi, đưa ra nhiều ứng dụng thực tiễn để giúp HS thấy được sự gần gũi của Toán học với cuộc sống. Qua đó cũng tạo nên sự hứng thú trong học tập cho HS. Trong quá trình giảng dạy nội dung này GV có thể đưa ra một số ví dụ dưới dạng các tình huống có vấn đề nhằm giúp HS thấy được ứng dụng thực tiễn của chủ đề Đại số tổ hợp. 3. Một số ví dụ 3.1 Xây dựng bài toán có tính thực tiễn từ bài toán đã có Ví dụ 20. Bài toán xuất phát: Từ các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số ?

Đây là 1 bài toán cơ bản của Đại số tổ hợp. Để xây dựng nên yếu tố thực tiễn, GV có thể yêu cầu HS dựa trên bài toán đó kết hợp với các vấn đề thực tiễn và xây dựng nên bài toán mới.

Bài toán 20.1. Có bao nhiêu số điện thoại của nhà mạng Viettel biết rằng số điện

thoại của mạng này là một dãy số gồm 10 chữ số và có 3 chữ số đầu là 098 ?

Bài toán 20.2 Số điện thoại của nhà mạng Viettel là một dãy số gồm 10 chữ số với đầu số 098. Có bao nhiêu số điện thoại của mạng này gồm 10 chữ số khác nhau ? Nếu gán thêm yếu tố kinh tế, để giáo dục cho các em về lòng nhân ái, có thể xây

36

dựng bài toán kiểu như sau:

Bài toán 20.3 Nhà mạng Viettel tổ chức bán sim điện thoại gồm

để làm từ thiện với các loại số sau: Loại gồm

chữ số cuối giống hệt nhau với giá bán triệu đồng/sim; loại có

chữ số cuối giống hệt nhau với giá bán

chữ số cho chữ số cuối giống hệt nhau triệu đồng/sim; triệu đồng/sim. Hỏi nếu bán hết chữ số cuối giống hệt nhau với giá bán

đầu số với giá bán triệu đồng/sim; loại gồm loại gồm tất cả các số của các loại nói trên thì số tiền thu về để làm từ thiện là bao nhiêu ?

Giáo dục luôn gắn liền với thực tiễn, phải giải quyết các vấn đề của thực tiễn, do đó GV cần khéo léo xây dựng nội dung các bài toán này một cách hợp lí, có tính kích thích người học có nhu cầu nhận thức và có nhu cầu giải quyết chúng.

Bài toán 20.4 Một chiếc điện thoại Iphone của 1 tên khủng bố được cài mật khẩu là 1 dãy kí tự gồm 10 kí tự tạo nên từ 26 chữ cái (có phân biệt in hoa và không in hoa) và 10 chữ số. Cảnh sát điều tra dùng 1 phần mềm dò mật khẩu với tốc độ 1 tỉ mật khẩu/giây. Hỏi phải mất thời gian tối đa bao lâu thì có thể mở được chiếc điện thoại đó ? 3.2 Xây dựng bài toán có tính thực tiễn từ bài toán thực tiễn đã có

Dựa trên các bài toán có nội dung thực tiễn trong sách giáo khoa, GV có thể yêu

cầu HS xây dựng nên các bài toán kiểu tương tự. Ví dụ 21. Bài toán xuất phát: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường; từ thành phố B đến thành phố C có 2 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C mà phải qua B ? Bài toán 21.1 Có 3 tuyến bay từ thành phố Hồ Chí Minh đi Hà Nội, có 5 tuyến bay từ Hà Nội đi Pari; Một người ở thành phố Hồ Chí Minh muốn ra Hà Nội công tác, rồi sau đó sang Pari. Hỏi có bao nhiêu cách chọn của người đó đi từ thành phố Hồ Chí Minh sang Pari ? Bài toán 21.2 Có 4 hòn đảo mà việc đi lại giữa các hòn đảo này như sau: Từ đảo A đến đảo B có 2 cây cầu; từ đảo B sang đảo C có 4 cây cầu; từ đảo C sang đảo D có 5 cây cầu và không có cây cầu nào nữa. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ đảo A đến đảo D ? Bài toán 21.3 Có 4 hòn đảo mà việc đi lại giữa các hòn đảo này như sau: Từ đảo A đến đảo B có 2 cây cầu; từ đảo B sang đảo C có 4 cây cầu; từ đảo C sang đảo D có 5 cây cầu và không có cây cầu nào nữa. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ đảo A đến đảo D sau đó quay trở về đảo A ? Bài toán 21.4 Có 4 hòn đảo mà việc đi lại giữa các hòn đảo này như sau: Từ đảo A đến đảo B có 2 cây cầu; từ đảo B sang đảo C có 4 cây cầu; từ đảo C sang đảo D có 5 cây cầu và không có cây cầu nào nữa. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ đảo A đến đảo D sau đó quay về đảo A, nhưng khi về không đi trên những cây cầu lúc đi đã đi qua ? 3.3 Xây dựng các bài toán có nội dung thực tiễn xuất phát từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tiễn của môn học khác

37

Chẳng hạn, trong môn Sinh học có bài toán sau:

Ví dụ 22. Ở người, bệnh mù màu đỏ - xanh lục do gen lặn nằm trên nhiễm sắc thể giới tính X quy định. Một phụ nữ bình thường có em trai bị bênh mù màu, người phụ nữ đó lấy một người chồng bình thường. Nếu cặp vợ chồng này sinh được một người con trai thì xác suất để người con trai đó bị mù màu là bao nhiêu ? Biết rằng bố mẹ của cặp vợ chồng này đều không bị bệnh. (SGK Sinh học 12 cơ bản) 3.4 Xây dựng các bài toán có nội dung thực tiễn có tính giáo dục cao nhằm giải thích các vấn đề thực tiễn bằng cơ sở khoa học

Hiện tượng đánh lô đề là một trong những vấn nạn của xã hội, vậy đánh đề được

hay mất mà nhiều người lại đam mê như vậy ? Chúng ta hãy thử dùng phương pháp của Đại số tổ hợp – Xác suất để tính toán về khả năng sinh lãi của trò chơi này. Ví dụ 23. (Có thể làm giàu từ số đề không?) Luật chơi: Người chơi đặt một số tiền, chẳng hạn x đồng để mua 1 con số từ 00 đến 99. Nếu số của người chơi trùng với hai con số cuối của xổ số đặc biệt do Nhà nước phát hành trong ngày hôm đó sẽ được số tiền gấp 70 lần tiền đầu tư, tức là 70x. Nếu không người chơi mất x đồng đầu tư ban đầu. Nhiều người tính toán là: Nếu bỏ ra số tiền là 100.000 đồng thì khi trúng thưởng sẽ được 7 triệu đồng tức là lãi được 6.9 triệu. Tuy nhiên nếu không trúng chỉ bị mất 100.000 đồng. Như vậy cơ hội kiếm tiền từ trò chơi may rủi này vẫn rất lớn.

Bằng thực tế quanh em hãy cho biết quan niệm đó có đúng không? Hãy sử dụng

các kiến thức của xác suất để làm sáng tỏ ý kiến đó?

Lời giải

Rõ ràng quan niệm đó là hết sức sai lầm. Chúng ta đều biết đến câu: “đánh đề ra đê mà ở”. Sai lầm đó thể hiện ở các tính toán như sau:

Vì chỉ có một số trúng trong 100 số nên xác suất trúng là .

Trong khi đó xác suất thua là: 1−0,01=0,99. Vậy trung bình người chơi lãi: (đồng).

chữ số

xe ôtô đã đăng kí biển số. Năm 2020 có

38

Hay cứ mỗi lần chơi 100.000 đồng, trung bình bạn lỗ khoảng 30.000 đồng. Sai lầm của người chơi là không tính đến xác suất trúng số. Vì xác suất này rất nhỏ nên càng đánh càng lỗ vốn! Ví dụ 24. (Bài toán biển số xe ôtô) Bài toán 1. Biển số xe ở tỉnh Nghệ An có dạng 37X-ab.cde. Trong đó X là 1 trong 26 chữ cái tiếng Anh. a, b, c, d, e là các chữ số. Hãy ước tính xem có tất cả bao nhiêu biển số xe được tạo thành biết rằng không có biển số xe nào gồm có . Tính đến xe hết năm 2020, Nghệ An có ôtô đăng kí mới. Nếu hàng năm lượng xe đăng kí mới đều giữ nguyên thì đến năm nào tỉnh Nghệ An sẽ cần mở thêm dạng biển số mới ?

Ý nghĩa thực tế của bài toán này cho HS thấy được số xe có thể đăng kí tối đa

của tỉnh Nghệ An.

Lời giải

X có 26 cách chọn. Chọn a, b, c, d, e có Vậy có cách chọn. biển số được tạo thành.

.

Số biển chưa đăng kí tính đến hết năm 2020 là Mỗi năm đăng kí mới 12000 xe ôtô. Do đó số năm ước tính còn lại đủ biển số để đăng

kí là năm. Xấp xỉ gần 206 năm nữa mới hết loại biển số dạng nói trên.

chữ số cuối giống nhau Bài toán 2. (Biển số đẹp) Một biển số được xem là đẹp nếu hoặc là chữ số tự nhiên liên tiếp. Hãy tính xem, với giả thiết như bài toán 1 thì tỉnh Nghệ An có bao nhiêu biển số đẹp ? Nếu mỗi biển số đẹp được mang ra đấu giá để bổ sung ngân sách nhà nước, trung bình mỗi biển số đẹp có giá triệu đồng. Hỏi nếu đem ra bán đấu giá tất cả các biển số đẹp thì tỉnh Nghệ An sẽ thu về được bao nhiêu tiền cho ngân sách ? Ý nghĩa thực tế của bài toán này, ngoài việc cung cấp cho HS biết sẽ có bao nhiêu biển số “đẹp” còn giáo dục cho HS hiểu được ý nghĩa của nó, mỗi biển số đẹp cũng là tài nguyên của đất nước, việc bán đấu giá biển số này đem lại ngân sách để xây dựng quê hương đất nước.

Lời giải.

Trường hợp 1. Ba chữ số cuối giống nhau. X có 26 cách chọn. Có 10 cách chọn cho 3 chữ số cuối. Có 102 cách chọn cho .

Vậy có biển số đẹp mà 3 chữ số cuối giống nhau.

Trường hợp 2. Ba chữ số cuối là 3 chữ số tự nhiên liên tiếp.

biển số.

Trường hợp này có Vậy có biển số đẹp.

(triệu đồng) –

39

Tổng số tiền ngân sách thu về nếu bán đấu giá là Gần 1000 tỉ đồng, một con số rất lớn cho ngân sách. Ví dụ 25. (Bài toán về phân chia giải thưởng) Hai đối thủ ngang tài nhau, cùng chơi 1 trận đấu đủ tranh chức vô địch. Luật chơi qui định người đầu tiên thắng được 6 ván đấu sẽ thắng cuộc và được nhận toàn bộ tiền thưởng. Tuy nhiên vì lý do bất khả kháng trò chơi không thể tiếp tục và phải dừng lại khi người I đã thắng 5 ván, còn người II chỉ mới thắng 3 ván. Bàn về việc chia giải có 2 ý kiến như sau

- Ý kiến 1: chia tỉ lệ 5:3 theo như tỉ lệ các ván thắng của người chơi. - Ý kiến2: chia tỉ lệ 2:1, vì người I thắng nhiều hơn người II 2 trận nên được nhận 1/3 giải ứng với 2 trận này, phần còn lại chia đôi (tức là người I và II nhận thêm 1/3 giải). Dựa theo qui định trao giải của trận đấu, em hãy đánh giá tính hợp lí của hai ý kiến trên và đưa ra ý kiến của mình? Lời giải Các ý kiến trên đều chưa thuyết phục vì dựa vào cách trao giải của trận đấu thì chúng ta cần phải chia giải thưởng theo khả năng thắng thua của 2 đấu thủ. Có nghĩa là khả năng thắng của người chơi càng cao càng được nhận nhiều giải thưởng. Vậy câu hỏi đặt ra là xác suất thắng của mỗi người chơi là bao nhiêu? Nghe có vẻ phức tạp, nhưng sẽ rất đơn giản nếu chúng ta tính Đại số tổ hợp người II thắng. - Để người II thắng chỉ có 1 khả năng là thắng liên tiếp 3 trận tiếp theo. Vì hai đấu thủ ngang tài nhau nên khả năng người II thắng ở mỗi ván đấu là 1/2. Do kết quả các ván đấu là độc lập với nhau nên suy ra

- Xác suất người II thắng là ;

- Xác suất người I thắng là .

Vậy nên chia phần thưởng theo tỉ lệ là 7:1 là hợp lý nhất.

Ngoài các ví dụ thể hiện ứng dụng thực tiễn mà GV đưa ra cho HS, GV có thể yêu cầu HS hoặc cho các em hoạt động nhóm tìm ra các ví dụ khác và trao đổi bàn bạc với các bạn để tìm ra cách giải quyết cho các bài toán đó. Điều này chính là tạo điều kiện để các em có các trải nghiệm sáng tạo các kiến thức đã được học, không những thế còn làm cho các em quen dần với việc tự học và cách làm việc theo nhóm từ đó mà hình thành và phát triển các năng lực chung cốt lõi. Ví dụ 26. (Bài toán chọn ngẫu nhiên phương án trả lời trắc nghiệm) Một đề thi THPTQG môn Toán gồm có 50 câu hỏi dạng trắc nghiệm khác quan. Mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó có 1 phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm, mỗi câu trả lời sai thì không có điểm. Một HS có năng lực trung bình đã làm chắc chắn đúng được 25 câu đầu tiên, nhưng HS đó không biết các làm 25 câu còn lại nên chọn phương án ngẫu nhiên cả 25 câu còn lại. Tính xác suất để điểm thi THPT môn Toán của HS đó đạt từ 6 điểm trở lên.

Lời giải

Xác suất để HS chọn ngẫu nhiên đúng đáp án của 1 câu là và chọn sai là .

40

Vì HS đó đã chắc chắn trả lời đúng 25 câu đầu tiên nên chắc chắn được 5 điểm. Để số điểm của HS đó đạt từ 6 điểm trở lên thì HS đó cần chọn đúng đáp án của tối thiểu 5 câu trên tổng số 25 câu còn lại.

Xác suất để HS chọn đúng câu trong 25 câu còn lại là .

Do đó xác suất để HS đạt từ 6 điểm trở lên là .

Ví dụ 22. (Thầy giáo dạy toán giỏi xem bói) Một GV Toán sau khi dạy xong chủ đề Đại số tổ hợp-xác suất cho lớp 11A, bèn tuyên bố vui với cả lớp rằng thầy biết cách xem bói. Thầy khẳng định rằng trong lớp có ít nhất 2 HS có cùng ngày sinh nhật. Học sinh lớp 11A khi kiểm chứng lời thầy đúng thì có em cho rằng thầy đã xem trước lí lịch HS của lớp. Nhưng thầy lại tuyên bố với các em điều thầy nói cũng đúng với các lớp khác trong trường, thậm chí cả các trường khác. Bằng các kiến thức đã học về Đại số tổ hợp – xác suất em hãy giải thích tại sao thầy dám khẳng định như thế?

Lời giải

Ta có thể coi mỗi lớp học có 45 học sinh, mỗi năm có ngày.

Xác suất để HS thứ 2 không cùng ngày sinh với HS đầu tiên là .

Xác suất để HS thứ 3 không cùng ngày sinh với 2 HS trên là .

không cùng ngày sinh với học sinh … Xác suất để HS thứ

trước đó là .

…

Xác suất để HS thứ 45 không cùng ngày sinh với 44 HS trước đó là .

Vậy xác suất để cả 45 HS không có bất kì 2 HS nào có cùng sinh nhật là

.

Do đó xác suất để có ít nhất 2 HS trong lớp cùng sinh nhật là

.

41

Như vậy xác suất có hai học sinh trong lớp trùng ngày sinh rất lớn, nên khả năng lời phát biểu của thầy giáo đúng là rất cao. Ví dụ 23. (Bài toán gieo 2 con súc sắc) Trò chơi dự đoán tổng số chấm xuất hiện khi gieo 2 con súc sắc với 3 trường hợp để dự đoán như sau: A. Tổng số chấm không vượt quá 4. B. Tổng số chấm từ 5 đến 9. C. Tổng số chấm lớn hơn 9.

An là một học sinh giỏi Toán, theo em An đặt cược ở phương án nào?

Lời giải

.

Để lựa chọn phương án đặt cược ta cần xem xét khả năng xảy ra của chúng. Số phần tử của không gian mẫu là Ta có thể lập bảng thống kê các trường hợp có thể xảy ra

Tổng số chấm Các kết quả

(1;1) 2

(1;2) (2;1) 3

(1;3) (3;1) (2;2) 4

(1;4) (4;1) (2;3) (3;2) 5

(1;5) (5;1) (2;4) (4;2) (3;3) 6

(1;6) (6;1) (2;5) (5;2) (3;4) (4;3) 7

(2;6) (6;2) (3;5) (5;3) (4;4) 8

(3;6) (6;3) (5;4) (4;5) 9

(4;6) (6;4) (5;5) 10

(5;6) (6;5) 11

(6;6) 12

Dựa vào bảng trên chúng ta thấy:

Xác suất để tổng số chấm xuất hiện không vượt quá 4 là .

Xác suất để tổng số chấm xuất hiện vượt quá 9 là .

Xác suất để tổng số chấm xuất hiện đạt từ 5 đến 9 là .

Vậy trong 3 phương án đưa ra thì phương án B có xác suất lớn nhất nên chắc chắn An lựa chọn B. Ví dụ 24. Trong một trò chơi, người chơi gieo cùng lúc 3 con súc sắc cân đối đồng chất; nếu được ít nhất hai con súc sắc xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 4 thì thắng. Tính xác suất để trong 3 lần chơi, người chơi thắng ít nhất 1 lần?

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu khi gieo 3 con súc sắc là .

là biến cố có ít nhất 2 con súc sắc có số chấm lớn hơn 4.

42

lần lượt là biến cố có đúng 2, 3 con súc sắc có số chấm lớn hơn 4. Gọi Gọi

Ta có .

xung khắc và nên .

Gọi là biến cố trong 3 lần chơi, người chơi thắng ít nhất 1 lần. Lúc đó là biến

. cố cả 3 lần chơi, người chơi đều thua, ta có

Do đó xác suất thắng cuộc ít nhất 1 lần chơi của người chơi trong 3 lần chơi là

.

Trên đây là một số bài toán Đại số tổ hợp – xác suất được thiết kế dưới dạng các trò chơi. Chúng có tác dụng lớn trong việc giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học giải quyết các tình huống thực tiễn, cho học sinh thấy một phần ứng dụng của Đại số tổ hợp – xác suất trong thực tế. Tuy nhiên trong toàn bộ quá trình dạy học chủ đề, cần tận dụng các cơ hội để làm cho học sinh hiểu rằng ứng dụng của Đại số tổ hợp không bó gọn trong một lĩnh vực mà có thể áp dụng ở nhiều lĩnh vực khác nhau. Chẳng hạn các bản dự báo thời tiết, kinh tế, nông nghiệp, xây dựng, thể thao, chứng khoán, giá vàng, giao thông… đều là kết quả của việc tính toán khả năng xảy ra của biến cố ngẫu nhiên, mà cơ sở khoa học là các kiến thức về Đại số tổ hợp – xác suất. IV. KHẮC PHỤC SAI LẦM TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP Với mỗi nội dung toán học, HS thường mắc phải một số sai lầm đặc trưng nào đó. Trong phạm vi của bài viết này, chúng tôi sẽ đưa ra một số dạng khó khăn, sai lầm mà học sinh thường mắc khi giải các bài toán Đại số tổ hợp, có kèm theo các ví dụ minh họa, và một số gợi ý để khắc phục các khó khăn, sai lầm đó. 1. Học sinh mắc sai lầm do không nắm vững khái niệm Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: ”Định nghĩa một khái niệm là một thao tác tư duy nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này và các đối tượng khác, thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó”. Trong quá trình học chủ đề Đại Số Tổ Hợp, nhiều học sinh vẫn chưa hiểu được bản chất của khái niệm tổ hợp nên thường nhầm lẫn giữa ký hiệu của đối tượng và đối tượng được định nghĩa. Theo A.A.Stôliar thì không ít học sinh còn yếu trong việc nắm vững cú pháp của ngôn ngữ toán học, học sinh hay nhầm giữa ký hiệu với khái niệm được định nghĩa...

43

Ví dụ 25. Lớp 11B1 có 40 HS, trong đó có 20 HS nam. Có bao nhiêu cách bầu ra 1 ban cán sự lớp gồm 2 bạn gồm 1 HS nam và 1 HS nữ. Lời giải có sai lầm của HS

Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm:

Học sinh đã không hiểu rõ khái niệm vì khi chọn ra hai bạn: 1 nam, 1 nữ là ta đã thực hiện hai hành động liên tiếp chọn 1 bạn nam và sau đó chọn 1 bạn nữ (hoặc ngược lại), hai hành động này phụ thuộc nhau (ứng với mỗi cách chọn 1 bạn nam có 20 cách chọn ra bạn nữ). Ở bài toán này đòi hỏi HS phải nắm vững khái niệm và phân biệt rõ ràng hai quy tắc đếm. Như vậy chứng tỏ HS chưa biết lúc nào thì sử dụng quy tắc cộng và lúc nào thì sử dụng quy tắc nhân. Biện pháp khắc phục: GV cần dành thời gian thích đáng hướng dẫn HS phân biệt hai khái niệm quy tắc cộng và quy tắc nhân. Để dễ hình dung GV có thể yêu cầu HS tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi để phân biệt giữa hai quy tắc này dạng như sau: Giả sử bài toán có hai hành động. Nếu chỉ thực hiện 1 hành động và không thực hiện hành động còn lại thì bài toán đã giải quyết được chưa? Nếu chỉ cần 1 hành động mà đã giải quyết được bài toán thì chúng ta dùng quy tắc cộng. Trong trường hợp ngược lại, chúng ta dùng quy tắc nhân. Rõ ràng với bài toán nói trên, nếu chỉ mới dừng lại ở hành động chọn 1 HS nam thì chưa thể giải quyết được bài toán, vì yêu cầu của bài toán là có 2 HS gồm 1 nam và 1 nữ, như vậy không thể thiếu hành động thứ 2 là chọn thêm 1 HS nữ. Do đó đây là bài toán sử dụng quy tắc nhân.

Lời giải đúng

cách chọn.

Công đoạn 1. Chọn 1 HS nam trong 20 HS nam: có 20 cách chọn Công đoạn 2. Chọn 1 HS nữ trong 20 HS nữ: có 20 cách chọn Vậy có Ví dụ 26. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 bạn trong 4 bạn An, Bình, Chiến, Đức để làm cán sự lớp (gồm các chức vụ lớp trưởng, lớp phó, bí thư)? Lời giải có sai lầm của HS Mỗi cách chọn 3 trong 4 HS vào ban cán sự lớp là 1 tổ hợp chập 3 của 4 phần tử. Do đó số cách chọn 3 trong 4 bạn vào ban cán sự lớp là .

44

Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm:

Nguyên nhân của sai lầm là do HS chưa nắm vững những kiến thức về tổ hợp và chỉnh hợp nên nhận dạng sai khái niệm toán học trong bài.. Đây là bài toán chọn có sự sắp xếp giữa các chức vụ (lớp trưởng, lớp phó, bí thư) nên HS cần dùng công thức chỉnh hợp để tính. Biện pháp khắc phục: GV cần sử dụng các câu hỏi vấn đáp gợi mở để học sinh nhận dạng lại hai khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp. Chẳng hạn: + Để có đội ngũ cán bộ lớp sau khi chọn ra 3 trong 4 bạn ta cần phải làm gì nữa không? + Hoặc: Nếu thay đổi chức vụ (lớp trưởng, lớp phó, bí thư) của từng bạn được chọn thì kết quả ta thu được có khác kết quả ban đầu không? + Nếu “thay đổi thứ tự mà thay đổi kết quả” thì cần sử dụng khái niệm gì? Tùy trình độ HS, trong trường hợp cần thiết thậm chí ta cần phải đưa ra một số kết quả giúp HS trực quan thấy được tình huống của bài toán là có tính đến thứ tự, từ đó các em phát hiện ra sai lầm và sửa chữa. Ví dụ: Bảng phân công cán sự lớp

Lớp trưởng Lớp phó Bí thư

An An Bình ……….. Bình Đức Chiến …………. Đức Bình An ………….

Lời giải đúng Mỗi cách chọn 3 trong 4 HS vào ban cán sự lớp (gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 bí thư) là 1 chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử. Do đó số cách chọn ban cán sự lớp là .

2. Học sinh mắc sai lầm do không nắm vững “thứ tự ưu tiên” trong khi giải toán tổ hợp, chưa biết cách phân chia các trường hợp hoặc có phân chia trường hợp nhưng các trường hợp lại có phần tử chung Ví dụ 27. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ? Lời giải có sai lầm của HS 1.

.

Gọi số cần lập là Vì nên nó có 5 cách chọn.

có 5 cách chọn. có 4 cách chọn. có 3 cách chọn.

số.

45

Vậy có Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm:

Ở sai lầm trên, HS chưa nắm vững thứ tự ưu tiên, giả thiết bài toán ở đây là số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau. Như vậy quyền ưu tiên chọn trước phải là d. Sai lầm này GV có thể lấy phản ví dụ cho HS thấy mình đã sai, chẳng hạn ta chọn lúc đó sẽ không còn cách nào để chọn được d. Lời giải có sai lầm của HS 2.

Gọi số cần lập là .

có 3 cách chọn.

Vì nên nó có 5 cách chọn.

có 4 cách chọn. có 3 cách chọn.

số.

và khi

. Tức là HS này chưa thấy được sự khác biệt khi hoàn toàn khác nhau.

Vậy có Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Lời giải của HS 2 trên đã biết cách ưu tiên, nhưng vẫn mắc sai lầm do tính chất đặc biệt của số thì số cách chọn Biện pháp khắc phục: GV cần dành thời gian thích đáng hướng dẫn HS thấy được nguyên tắc ưu tiên khi giải toán tổ hợp. Khi phân chia các trường hợp thì các trường hợp phải tách rời nhau, không có phần tử chung và tất cả các trường hợp phải vét hết các khả năng có thể xảy ra. Ở mỗi sai lầm của HS, Gv cần đưa ra phản ví dụ để HS thấy được cách làm của mình đã sai, chỉ rõ sai ở đâu, sai do đâu. 3. Học sinh chưa nắm vững mối quan hệ giữa ngữ nghĩa và cú pháp của ngôn ngữ Đại số tổ hợp Ví dụ 28. Gọi S là tập tất cả các số có 7 chữ số tạo thành từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5. Chọn ngẫu nhiên 1 phần tử của S. Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn điều kiện chữ số 1 có mặt hai lần và các số khác chỉ xuất hiện một lần. Lời giải có sai lầm của HS Gọi số cần lập có dạng: với .

Số phần tử của không gian mẫu là .

là biến cố số được chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi Chọn có 5 cách.

Mỗi cách chọn là một hoán vị của 6 phần tử.

Vì khi ta hoán vị hai chữ số 1 thì kết quả không đổi nên số phần tử của biến cố là

46

.

Vậy xác suất cần tìm là .

Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Ở bài toán này chữ số 1 có mặt hai lần nên lúc này ta coi như hai số 1 này là khác nhau. phải có 6 cách chọn. Tuy Khi đó tập hợp số ban đầu là: {0;1;1;2;3;4;5}. Do vậy số nhiên, HS đã không để ý đến điều kiện chữ số 1 có mặt hai lần dẫn đến chọn số có 5 cách là sai. Biện pháp khắc phục: Với các sai lầm của HS, GV không nên ngay lập tức đưa ra lời giải đúng mà cần có những câu hỏi gợi ý giúp HS tự phát hiện và sữa chữa sai lầm. Chẳng hạn: Nếu như coi hai chữ số 1 là khác nhau thì tập hợp số ban đầu sẽ thay đổi như thế nào? Khi đó sẽ có bao nhiêu cách chọn? Từ đó, học sinh có thể tự sửa chữa sai lầm và trình bày lại lời giải.

Lời giải đúng

Gọi số cần tìm có dạng: với .

Số phần tử của không gian mẫu là .

là biến cố số được chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vì chữ số 1 xuất hiện 2 lần

Gọi nên ta coi tập số ban đầu là {0;1;1;2;3;4;5}. Chọn có 6 cách.

Mỗi cách chọn là một hoán vị của 6 phần tử.

Vì khi ta hoán vị hai chữ số 1 thì kết quả không đổi nên số phần tử của biến cố là

.

Vậy .

4. Sai lầm liên quan đến suy luận, phân chia bài toán thành các trường hợp riêng Ví dụ 29. Xếp ngẫu nhiên bốn bạn nam và bốn bạn nữ vào bốn ghế xếp theo hàng ngang. Tính xác suất để nam nữ ngồi xen kẽ nhau. Lời giải có sai lầm của HS: Số phần tử của không gian mẫu là

vì chỉ có thể sắp xen kẽ dạng nam đứng vị trí chẵn, nữ vị trí lẻ và

Gọi A là biến cố: “ nam nữ ngồi xen kẽ nhau”. Khi đó ngược lại .

47

Suy ra .

Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Trong lời giải trên dù HS đã biết chia bài toán thành hai trường hợp nhưng lại không suy luận được rằng trong mỗi trường hợp có thể hoán vị các bạn nam với nhau và các bạn nữ với nhau dẫn đến sai lầm. Biện pháp khắc phục: GV cần lưu ý HS phân tích đề bài, từ đó hướng dẫn để HS thấy được sau khi phân chia trường hợp dựa trên vị trí chỗ ngồi của các bạn nam và nữ thì cần có bước sắp xếp thứ tự các bạn nam và các bạn nữ. Từ đó HS sẽ tự tìm được lời giải đúng.

Lời giải đúng

Số phần tử của không gian mẫu là

Gọi A là biến cố: “ nam nữ ngồi xen kẽ nhau”. Ta đánh số ghế ngồi từ 1 đến 8. - Trường hợp 1: Nếu các bạn nam ngồi ghế số lẻ: 1; 3; 5; 7 thì có 4! cách chọn. Lúc đó các bạn nữ ngồi ghế số chẵn 2; 4; 6; 8 thì có 4! cách chọn. Suy ra trường hợp 1 có 4!.4!=576 cách chọn. - Trường hợp 2: Nếu các bạn nữ ngồi ghế số 1;3;5;7 thì có 4! cách chọn. Lúc đó các bạn nam ngồi ghế số 2;4;6;8 thì có 4! cách chọn. Suy ra trường hợp 2 có 4!.4!=576 cách chọn.

Vậy n(A) = 576 + 576 = 1152. Suy ra .

Nhận xét. Thông qua thực tiễn giảng dạy, chúng tôi đã nhận thấy rằng đa số các HS, kể cả các em khá giỏi ở môn toán, đều gặp phải một số khó khăn và sai lầm khi giải Toán Đại số tổ hợp – xác suất. Trong khuôn khổ đề tài này chúng tôi xin phép chỉ đưa ra một số trường hợp thường gặp và đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm giúp các em khắc phục những khó khăn và sai lầm đó như đã trình bày ở trên. Thực nghiệm sư phạm cho thấy những biện pháp này giúp HS có được cách nhìn đúng đắn hơn khi giải các bài toán về Đại số tổ hợp – xác suất, được rèn luyện kĩ năng giải toán, từ đó góp phần phát triển khả năng tư duy, năng lực giải quyết vấn đề.

C. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI 1. Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm

- Nhằm mục đích nâng cao hiệu quả dạy học nói chung và giúp học sinh học tập tốt phần kiến thức chủ đề Đại số tổ hợp –xác suất, theo chúng tôi sáng kiến kinh nghiệm này là một tài liệu bổ ích cho các thầy cô giáo và các em học sinh.

48

- Trong quá trình giảng dạy phần kiến thức về Đại số tổ hợp, các giáo viên cần nâng cao tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh, rèn luyện cho học sinh có khả năng phân tích, suy luận để giải quyết vấn đề và phát hiện những bài toán mới từ các bài toán đã có và tạo ra các bài toán mới từ phương pháp giải loại toán đó. Đặc biệt, người thầy

phải giảng dạy cho học sinh nắm chắc mối liên hệ giữa kiến thức đã học với bài toán thực tiễn. Từ đó giúp các em giải quyết các bài toán bằng cách mô hình hóa toán học thành các bài toán Đại số tổ hợp, hơn nữa cho các em sáng tạo ra các bài toán mới từ các phương pháp giải, các bài cơ bản đã có. Điều này sẽ nâng cao năng lực tự học của các em.

- Đề tài này thực sự có ích cho tất cả giáo viên dạy Toán, thông qua việc triển khai đề tài sẽ góp phần bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên, góp phần giúp giáo viên đổi mới phương pháp dạy học hiện nay nhằm định hướng tiếp cận dạy học phát triển năng lực cho học sinh.

- Trong quá trình giảng dạy chủ đề này, giáo viên rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo để từ đó có khả năng phát hiện bài toán mới từ bài toán cơ bản. Đặc biệt giáo viên nên rèn luyện để học sinh nắm chắc các khái niệm, phương pháp giải các bài toán cơ bản, vận dụng linh hoạt vào các bài toán mới, các bài toán có nội dung thực tế. Thông qua việc triển khai đề tài các em được rèn luyện các thao tác tư duy, các bước giải quyết vấn đề, được trải nghiệm cách xây dựng một bài toán mới, qua đó nắm vững kiến thức đã học về Đại số tổ hợp, có khả năng giải các bài toán lạ và khó trong chủ đề này.

- Thông qua việc triển khai sáng kiến kinh nghiệm này, góp phần hình thành ở các em phương pháp suy luận toán học, giúp các em có thể vận dụng vào học các chủ đề khác của Toán học, cũng như các môn học khác. Sáng kiến kinh nghiệm này có thể áp dụng giảng dạy cho hầu hết các đối tượng học sinh ở các mức độ khác nhau. Tuy nhiên, nhiều nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này hướng đến các học sinh có học lực khá, giỏi. 2. Thực nghiệm sư phạm

Trong các năm học 2018 – 2019, 2019 – 2020 chúng tôi đã tiến hành tìm hiểu và triển khai đề tài ở trường THPT Nghi Lộc 3, kết quả thu được hết sức khả quan. Do đó năm học 2019 – 2020, 2020 – 2021 chúng tôi đã tiếp tục tiến hành tìm hiểu và triển khai SKKN này trong việc giảng dạy chủ đề Đại số tổ hợp cho học sinh lớp 11, trường THPT Nghi Lộc 3, chúng tôi còn phối hợp với đồng nghiệp ở các trường lân cận triển khai và ứng dụng đề tài trong dạy học tại các trường THPT Cửa Lò 2, THPT Hà Huy Tập, trường THPT Huỳnh Thúc Kháng trên các đối tượng học sinh khác nhau. Ngoài ra nội dung của đề tài được lồng ghép ngay từ các tiết dạy lí thuyết, tiết luyện tập và tiết tự chọn từng mức độ khác nhau.

49

Năm học vừa qua, chúng tôi đã thực nghiệm đề tài này tại lớp 11A, 11C và chọn lớp 11A1, 11D1 có lực học tương đương làm nhóm đối chứng tại trường THPT Nghi Lộc 3, do các cô giáo Phạm Thanh Thủy, Võ Thủy Trinh THPT Nghi Lộc 3 trực tiếp thực nghiệm đề tài. Với sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong tổ, sau khi thực nghiệm đề tài chúng tôi đã tiến hành kiểm tra đánh giá hiệu quả của đề tài. Kết quả thu được

qua bài kiểm tra về năng lực phân tích bài toán, năng lực giải, năng lực phát triển bài toán của học sinh như sau:

Lớp Sĩ số Giải được

Phân tích được Phát triển bài toán

SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%)

11A(TN) 42 29 68% 27 65% 17 41%

42 19 45% 16 38% 8 20% 11A1

11C(TN) 41 24 58% 23 57% 16 39%

40 16 40% 15 38% 9 22% 11D1

Thông qua các phiếu điều tra thăm dò ý kiến của học sinh, chúng tôi thu được kết quả là hầu hết các em thích thú hơn khi được học mà có áp dụng đề tài và các em cảm thấy tự tin hơn khi giải toán.

Quá trình thực nghiệm cùng những kết quả rút ra sau thực nghiệm cho thấy: mục đích thực nghiệm đã được hoàn thành, tính khả thi và hiệu quả của các quan điểm đã được khẳng định. Sáng kiến kinh nghiệm góp phần quan trọng trong việc hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực suy luận, năng lực tính toán, năng lực tự học... cho học sinh, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập bộ môn Toán. Từ đó góp phần hình thành và phát triển các năng lực bộ môn cũng như các năng lực chung cốt lõi giúp các em sẵn sàng học tập ở các cấp tiếp theo hoặc đi vào cuộc sống.

PHẦN III - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. Kết luận trong quá trình nghiên cứu, triển khai SKKN

Sau một thời gian đưa vào áp dụng giảng dạy cho học sinh trường THPT Nghi Lộc 3, trường THPT Hà Huy Tập, trường THPT Cửa Lò 2, trường THPT Huỳnh Thúc Kháng chúng tôi thu được những kết quả tích cực sau: * Đề tài góp phần làm sáng tỏ một số vấn đề lý luận về kỹ năng, năng lực, một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán theo định hướng phát triển năng lực của học sinh THPT. Cụ thể:

- Thiết kế một số tình huống gợi vấn đề để tạo cơ hội cho học sinh hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực sáng tạo.

- Tăng cường huy động cho học sinh các kiến thức khác nhau để giải bài toán

50

bằng nhiều cách khác nhau.

- Giúp học sinh thấy được ứng dụng thực tiễn của Đại số tổ hợp từ đó tạo hứng thú cho học sinh trong học tập chủ đề. - Khắc phục một số sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán Đại số tổ hợp. * Bước đầu điều tra, đánh giá được thực trạng vấn đề dạy học theo định hướng phát triển năng lực nói chung và thông qua chủ đề Đại số tổ hợp nói riêng. Từ đó đề ra được nhiệm vụ của giáo viên trong dạy học cần rèn luyện một số năng lực cho học sinh để các em có thể có điều kiện nền tảng phát triển nó ngay từ khi còn là học sinh trung học. * Đề tài đã đề ra hệ thống, phân tích phương pháp giải toán Đại số tổ hợp và cách tạo ra bài toán mới từ phương pháp giải, đưa ra các ví dụ có tác dụng rèn luyện năng lực phân tích, suy luận, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực phân chia trường hợp, năng lực tính toán, năng lực sử dụng máy tính, công nghệ thông tin và năng lực giải các bài toán thực tiễn. * Đề tài đã giúp học sinh có cái nhìn tổng quát và có hệ thống về Đại số tổ hợp, từ đó có kỹ năng giải thành thạo các bài toán thuộc chủ đề này và hơn thế học sinh không còn cảm giác e sợ khi gặp dạng toán khó về Đại số tổ hợp. * Đề tài tạo cho học sinh có thói quen phân tích bài toán, tổng quát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát, biết được bài toán trong các đề thi do đâu mà có và người ta đã tạo ra chúng bằng cách nào. Với cáchlàm đó, các em dễ có cái nhìn tổng quan hơn trước một bài toán hay trước khi giải quyết một vấn đề, tránh tình trạng học sinh lao ngay vào bài toán mà không có sự dự liệu hay phân tích một cách khoa học từ trước. * Đề tài củng cố các phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, giúp các em không còn lúng túng trước một bài toán được đặt ra. * Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này, cho chúng ta cách thức tìm hiểu và nghiên cứu các mối liên hệ giữa các phần kiến thức khác nhau của Toán học, từ đó chúng ta có thể xây dựng, sáng tạo nên các bài toán mới. Với cách làm này, học sinh sẽ thấy được sự liên hệ giữa các phần kiến thức toán học với nhau, qua đó sẽ nắm vững các kiến thức mà các em được học, điều này sẽ tạo hứng thú và yêu thích môn toán hơn. Hơn nữa, nó cũng là phương pháp tốt cho các em phát huy năng lực tự học. * Trên cơ sở nghiên cứu lý luận, tổng kết kinh nghiệm và thông qua dạy thử nghiệm có thể khẳng định được tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất. 2. Kiến nghị và đề xuất * Sáng kiến kinh nghiệm này chỉ mới khai thác một phần chủ đề Đại số tổ hợp theo định hướng phát triển năng lực. Tuy nhiên, thông qua cách làm này, nếu chúng ta tiếp tục nghiên cứu, tìm hiểu các năng lực có thể rèn luyện cho học sinh qua học chủ đề Đại số tổ hợp sẽ đem lại hiệu quả tốt cho việc dạy học và giáo dục học sinh. * Từ một bài toán nếu có thể phân tích, dẫn dắt để giải được các bài toán và tạo bài mới từ phương pháp giải bài toán đó hay tích hợp các phương pháp luôn có tác dụng lớn đối 51

với học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi. Kinh nghiệm cho thấy học sinh hứng thú tìm hiểu các vấn đề đơn giản từ đó xây dựng lên mảng kiến thức lớn hơn nhiều so với việc giải quyết các bài toán khó. Vì thế trong quá trình giảng dạy giáo viên cần nâng cao tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh để các em phát huy tối đa năng lực tự học. Cần hướng dẫn cho học sinh cách thức sáng tạo ra các vấn đề mới từ các vấn đề đã biết. Quy lạ về quen, từ dễ đến khó sẽ hiệu quả hơn là cho các em “cày” những bài toán khó ngay từ đầu. Bởi vì hiện tượng học sinh giỏi không giải được bài toán cơ bản đã không còn là chuyện lạ. * Trong chương trình sách giáo khoa Toán THPT lượng bài tập Đại số tổ hợp đòi hỏi khả năng tư duy của học sinh còn ít, chủ yếu tập trung vào các bài tập cơ bản, chỉ áp dụng công thức nên chưa phát huy được khả năng tư duy của học sinh. Vì vậy tôi nghĩ rằng người giáo viên cần khai thác từ các bài tập cơ bản, khai thác từ phương pháp giải để tạo ra các dạng toán mới đòi hỏi khả năng tư duy của học sinh nhằm phát triển năng lực và gây hứng thú cho người học trong quá trình dạy và học toán sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy và học. * Mặc dù đã cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song đề tài này chắc chắn còn nhiều thiếu sót và hạn chế. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý chân thành từ các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (cơ bản và nâng cao), Bộ Giáo Dục.

2. Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 (cơ bản và nâng cao), Bộ Giáo Dục.

3. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn toán, NXB ĐHSP Hà Nội.

4. Tài liệu tập huấn dạy học và kiểm tra, đánh giá kết quả học tập theo định hướng phát

triển năng lực học sinh.

5. Tài liệu tập huấn phương pháp và kĩ thuật tổ chức hoạt động học theo nhóm và

hướng dẫn học sinh tự học, Bộ Giáo Dục, 2017.

52

6. Đề thi THTQG môn Toán 2017, Bộ Giáo Dục.

7. Đề minh họa đề thi THPTQG môn Toán 2017, 2018, 2019 Bộ Giáo Dục.

8. Đề thi thử THPTQG của các trường THPT trên cả nước.

9. Nguồn tài liệu internet.

53

10. Chương trình tổng thể môn Toán, Bộ Giáo Dục, 2018.