SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
| 1
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
I. Lời giới thiệu
Hàm số bậc hai là một nội dung quen thuộc, cơ bản đối với học sinh lớp 10 khi học đại số,
tuy nhiên việc đọc đồ thị hàm số, khai thác đồ thị hàm số và đặc biệt là việc ứng dụng đồ thị của
hàm số bậc hai để biện luận phương trình đại số trong phạm vi kiến thức lớp 10 với đa số học sinh
vẫn còn lúng túng ngay từ những bài ở mức độ thông hiểu và vận dụng thấp và gây khá nhiều khó
khăn đối với hầu hết học sinh ở lớp bài tập vận dụng cao. Trong khi đó việc ứng dụng đồ thị hàm số
bậc hai để biện luận đặc biệt là biện luận số nghiệm của phương trình đại số lại là nội dung rất hay
được sử dụng trong các đề thi khảo sát chất lượng và cũng xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh
giỏi cấp tỉnh lớp 10. Đặc biệt trong những năm gần đây dạng toán đọc đồ thị, khai thác đồ thị là một
trong những dạng toán chiếm tỉ lệ lớn trong đề thi THPT Quốc Gia. Tuy nhiên các sách tham khảo,
sách bồi dưỡng về việc ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương
trình đại số trong phạm vi kiến thức lớp 10 chưa nhiều, các ví dụ và bài tập vẫn ở những dạng cơ
bản nhất chưa có nhiều bài toán mở rộng, bài toán đòi hỏi khai thác đồ thị ở mức vận dụng cao.
Với mong muốn sẽ đem đến thêm cho giáo viên và học sinh tài liệu “Ứng dụng đồ thị của
hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10”, giúp cho học sinh sẽ có cái
nhìn toàn diện hơn, dễ dàng giải quyết lớp bài toán này hơn và tạo điều kiện để học sinh được tiếp
cận dần với dạng toán đọc và khai thác đồ thị của đề thi THPT Quốc Gia nên bằng kinh nghiệm
giảng dạy của bản thân cùng với nguồn bài tập khá phong phú sáng tạo của tập thể giáo viên trên
các nhóm, các diễn đàn mà tôi đã tham gia, tôi đã nghiên cứu, sưu tầm, tập hợp viết sáng kiến kinh
nghiệm: “Ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để giải và biện luận phương trình đại số lớp 10”.
Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để giải và biện luận phương
trình đại số lớp 10” tôi viết đã cập nhật được mới, tính thực tế áp dụng trong giai đoạn hiện nay. Có
nhiều ví dụ và bài tập chưa được công khai chia sẻ và cũng có bài tập lần đầu được giới thiệu do
bản thân đã khai thác, phát triển từ bài toán gốc thành các bài toán mới.
Do thời gian và khả năng có hạn nên sáng kiến kinh nghiệm tôi viết vẫn còn nhiều tồn tại.
Kính mong đồng nghiệp và học sinh góp ý để sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn thiện hơn
và sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích và thú vị cho giáo viên và học sinh.
II. Tên sáng kiến: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình
đại số lớp 10
III. Tác giả sáng kiến:
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
| 2
- Họ và tên:Vũ Thị Thanh Nga.
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Tường - Vĩnh Phúc.
- Số điện thoại: 0982843827
E_mail: vuthithanhnga.gvnguyenvietxuan@vinhphuc.edu.n
IV. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Vũ Thị Thanh Nga.
V. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy cho học sinh lớp 10.
VI. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 11 năm 2019.
VII. Mô tả bản chất của sáng kiến:
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hàm số bậc hai
1.1. Định nghĩa
Hàm số bậc hai là hàm số có dạng
2
y ax bx c với
0a
.
Chú ý :
+ Hàm số bậc hai có tập xác định là
D
.
+ Khi
0a
,
0b
, hàm số trở thành hàm số bậc nhất
y bx c
.
+ Khi
0a b
, hàm số trở thành hàm hằng
y c
.
1.2. Bảng biến thiên
0a
0a
+ Khi
0a
, hàm số đồng biến trên khoảng
;
2
b
a

và nghịch biến trên khoảng
;2
b
a

.
+ Khi
0a
, hàm số đồng biến trên khoảng
;2
b
a

và nghịch biến trên khoảng
;
2
b
a

.
2.3. Đồ thị
Đồ thị hàm số
2
, 0bx cy x aa là một parabol có:
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
| 3
+ Đỉnh
;
2 4
b
Ia a
.
+ Trục đối xứng là đường thẳng
2
b
xa
.
+ Bề lõm hướng lên trên nếu
0a
, hướng xuống dưới nếu
0a
.
+ Giao điểm với trục tung là
0;M c
.
0a
0a
2. Đồ thị hàm số bậc hai chứa dấu giá trị tuyệt đối
2.1. Đồ thị hàm số
2
, 0bx cy x aa
Đặt
2
x cf x ax b
2
y bx c f xax
C
.
Ta có
; 0
; 0
f x f x
y f x f x f x
.
Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số
C
từ đồ thị hàm số
y f x
như sau:
Giữ nguyên đồ thị
y f x
phía trên trục hoành.
Lấy đối xứng phần đồ thị
y f x
phía dưới trục hoành qua trục hoành ( bỏ phần dưới ).
Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số
y f x .
Đồ thị
y f x
Đồ thị
y f x
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
| 4
2.2. Đồ thị hàm số 2
, 0
b x cy x aa
Đặt
2
x c
f x ax b
2b x cy x
f x
a
C
.
Do hàm số
y
f x
là hàm số chẵn nên đồ thị
C
nhận trục tung làm trục đối xứng.
Mặt khác, với
0
x
thì
y
f x f x
.
Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số
C
từ đồ thị hàm số
y f x
như sau:
Giữ nguyên đồ thị
y f x
phía bên phải trục tung ( bỏ phần đồ thị bên trái trục tung ).
Lấy đối xứng phần đồ thị
y f x
phía bên phải trục tung qua trục tung.
Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số
y
f x
.
Đồ thị
y f x
Đồ thị
y f x
3. Phép tịnh tiến đồ thị
Định lí: Trong mặt phẳng tọa độ
O
xy
, cho đồ thị
G
của hàm số
y f x
;
p
và
q
là hai số
dương bất kỳ. Khi đó:
1) Tịnh tiến
G
lên trên
q
đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số
y f x q
.
2) Tịnh tiến
G
xuống dưới
q
đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số
y f x q
.
3) Tịnh tiến
G
sang trái
p
đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số
y f x p
.
4) Tịnh tiến
G
sang phải
p
đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số
y f x p
.
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
| 5
B. PHƯƠNG PHÁP
1. Bài toán: Dựa vào đồ thị của hàm số
y f x
biện luận theo tham số
m
số nghiệm của phương
trình
f x g m
.
2. Phương pháp:
- Vẽ đồ thị
C
của hàm số
f x
( có thể phải sử dụng các phép biến đổi đồ thị đã trình bày ở mục
2 và 3 phần A ).
- Tùy vào giá trị của
g m
để chỉ ra số giao điểm của đường thẳng
:
d y g m
và
C
.
- Số giao điểm của
d
và
C
cũng chính là số nghiệm của phương trình
f x g m
.
*Lưu ý: Đường thẳng
:
d y g m
là đường thẳng có phương ngang và cắt trục tung tại điểm có
tung độ
g m
.
C. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số 2
4 2
y x x
có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Dựa vào đồ thị tìm các giá
trị của tham số
m
để phương trình 24 2
x x m
có 2 nghiệm phân biệt.
Phân tích: Đây là bài toán đã cho đúng dạng của bài toán gốc nêu trên nên học sinh dễ
dàng vận dụng để tìm lời giải.
Lời giải
Phương trình 24 2
x x m
(1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
P
của
hàm số 2
4 2
y x x
và đường thẳng :
d y m
.
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của
P
và
d
.
Dựa vào đồ thị ta thấy, yêu cầu bài toán
6
m
.
Vậy
6
m
.
Ví dụ 2. Biện luận theo tham số
m
số nghiệm phương trình sau: 2
4 3 0
x x m
.