SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
I. Lời giới thiệu
Hàm số bậc hai là một nội dung quen thuộc, cơ bản đối với học sinh lớp 10 khi học đại số,
tuy nhiên việc đọc đồ thị hàm số, khai thác đồ thị hàm số và đặc biệt là việc ứng dụng đồ thị của
hàm số bậc hai để biện luận phương trình đại số trong phạm vi kiến thức lớp 10 với đa số học sinh
vẫn còn lúng túng ngay từ những bài ở mức độ thông hiểu và vận dụng thấp và gây khá nhiều khó
khăn đối với hầu hết học sinh ở lớp bài tập vận dụng cao. Trong khi đó việc ứng dụng đồ thị hàm số
bậc hai để biện luận đặc biệt là biện luận số nghiệm của phương trình đại số lại là nội dung rất hay
được sử dụng trong các đề thi khảo sát chất lượng và cũng xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh
giỏi cấp tỉnh lớp 10. Đặc biệt trong những năm gần đây dạng toán đọc đồ thị, khai thác đồ thị là một
trong những dạng toán chiếm tỉ lệ lớn trong đề thi THPT Quốc Gia. Tuy nhiên các sách tham khảo,
sách bồi dưỡng về việc ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương
trình đại số trong phạm vi kiến thức lớp 10 chưa nhiều, các ví dụ và bài tập vẫn ở những dạng cơ
bản nhất chưa có nhiều bài toán mở rộng, bài toán đòi hỏi khai thác đồ thị ở mức vận dụng cao.
Với mong muốn sẽ đem đến thêm cho giáo viên và học sinh tài liệu “Ứng dụng đồ thị của
hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10”, giúp cho học sinh sẽ có cái
nhìn toàn diện hơn, dễ dàng giải quyết lớp bài toán này hơn và tạo điều kiện để học sinh được tiếp
cận dần với dạng toán đọc và khai thác đồ thị của đề thi THPT Quốc Gia nên bằng kinh nghiệm
giảng dạy của bản thân cùng với nguồn bài tập khá phong phú sáng tạo của tập thể giáo viên trên
các nhóm, các diễn đàn mà tôi đã tham gia, tôi đã nghiên cứu, sưu tầm, tập hợp viết sáng kiến kinh
nghiệm: “Ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để giải và biện luận phương trình đại số lớp 10”.
Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để giải và biện luận phương
trình đại số lớp 10” tôi viết đã cập nhật được mới, tính thực tế áp dụng trong giai đoạn hiện nay. Có
nhiều ví dụ và bài tập chưa được công khai chia sẻ và cũng có bài tập lần đầu được giới thiệu do
bản thân đã khai thác, phát triển từ bài toán gốc thành các bài toán mới.
Do thời gian và khả năng có hạn nên sáng kiến kinh nghiệm tôi viết vẫn còn nhiều tồn tại. Kính mong đồng nghiệp và học sinh góp ý để sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn thiện hơn
và sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích và thú vị cho giáo viên và học sinh.
II. Tên sáng kiến: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
III. Tác giả sáng kiến:
| 1
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
- Họ và tên:Vũ Thị Thanh Nga.
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Tường - Vĩnh Phúc.
- Số điện thoại: 0982843827
E_mail: vuthithanhnga.gvnguyenvietxuan@vinhphuc.edu.n
IV. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Vũ Thị Thanh Nga.
V. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy cho học sinh lớp 10.
VI. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 11 năm 2019.
VII. Mô tả bản chất của sáng kiến:
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hàm số bậc hai
2
1.1. Định nghĩa Hàm số bậc hai là hàm số có dạng
y
ax
bx
c
với
0a .
Chú ý :
+ Hàm số bậc hai có tập xác định là D . + Khi
0a ,
0b , hàm số trở thành hàm số bậc nhất y
bx
. c
+ Khi
0
a b , hàm số trở thành hàm hằng y
c .
1.2. Bảng biến thiên
0a
0a
+ Khi
và nghịch biến trên khoảng
.
0a , hàm số đồng biến trên khoảng
;
;
b a 2
b a 2
+ Khi
và nghịch biến trên khoảng
.
0a , hàm số đồng biến trên khoảng
;
;
b a 2
b a 2
2.3. Đồ thị Đồ thị hàm số
là một parabol có:
y
bx
c
,
a
0
2 a x
| 2
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
+ Đỉnh
.
I
;
b a 2
4 a
+ Trục đối xứng là đường thẳng
.
x
b a 2
+ Bề lõm hướng lên trên nếu
0a , hướng xuống dưới nếu
0a .
+ Giao điểm với trục tung là
0;M c .
0a
0a
2. Đồ thị hàm số bậc hai chứa dấu giá trị tuyệt đối
2.1. Đồ thị hàm số
y
bx
c
,
a
0
2 a x
2
2
Đặt
ax
x
c
b
ax
bx
y
c
f x
f x
C .
0
Ta có
y
.
f x
;
0
f x f x
;
f x f x
như sau:
y
Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số C từ đồ thị hàm số
f x
y
phía trên trục hoành.
Giữ nguyên đồ thị
f x y
phía dưới trục hoành qua trục hoành ( bỏ phần dưới ).
Lấy đối xứng phần đồ thị
f x
Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số
.
y
f x
Đồ thị
y
y
Đồ thị
f x
f x
| 3
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
y
b x
c
,
a
0
2 a x
2
2.2. Đồ thị hàm số
ax
x
c
x
f
x
b
a y
2 b x
c
f x
C .
Đặt
y
f
x
C nhận trục tung làm trục đối xứng.
Do hàm số là hàm số chẵn nên đồ thị
y
f
x
f x
x thì 0
Mặt khác, với .
y
C từ đồ thị hàm số
f x
y
như sau: Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số
y
phía bên phải trục tung ( bỏ phần đồ thị bên trái trục tung ). Giữ nguyên đồ thị
f x Lấy đối xứng phần đồ thị
f x
phía bên phải trục tung qua trục tung.
y
f
x
Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số .
y
f
x
y
f x
Đồ thị Đồ thị
y
3. Phép tịnh tiến đồ thị
G của hàm số
f x ; p và q là hai số
Định lí: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đồ thị
y
q .
dương bất kỳ. Khi đó:
G lên trên q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số
f x
y
q .
1) Tịnh tiến
G xuống dưới q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số
f x
y
2) Tịnh tiến
G sang trái p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số
f x
p .
y
3) Tịnh tiến
G sang phải p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số
f x
p .
4) Tịnh tiến
| 4
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
B. PHƯƠNG PHÁP
y
f x
1. Bài toán: Dựa vào đồ thị của hàm số biện luận theo tham số m số nghiệm của phương
f x
g m
f x ( có thể phải sử dụng các phép biến đổi đồ thị đã trình bày ở mục
C của hàm số
g m để chỉ ra số giao điểm của đường thẳng
g m f x
C . và g m .
trình .
là đường thẳng có phương ngang và cắt trục tung tại điểm có
2
tung độ 2. Phương pháp: - Vẽ đồ thị 2 và 3 phần A ). :d y - Tùy vào giá trị của C cũng chính là số nghiệm của phương trình - Số giao điểm của d và g m :d y *Lưu ý: Đường thẳng g m .
2 4
x
m
x
C. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho hàm số y x 4 x 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Dựa vào đồ thị tìm các giá
2 có 2 nghiệm phân biệt.
trị của tham số m để phương trình
2
Phân tích: Đây là bài toán đã cho đúng dạng của bài toán gốc nêu trên nên học sinh dễ dàng vận dụng để tìm lời giải. Lời giải
x
4
x
m
2
P của
2
Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
:d y m
hàm số . y x 4 x 2 và đường thẳng
P và
d .
6m .
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của
Dựa vào đồ thị ta thấy, yêu cầu bài toán
6m .
2
x
4
x
m
3
Vậy
. 0
Ví dụ 2. Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình sau:
| 5
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
2
2
Lời giải
2
Xét phương trình: x 4 x m 0 x 4 x m (1) 3 3
y
, (
(
)
)
g m m d
Đặt và y f x ( ) x 4 x 3, ( P )
)P và đường thẳng (
)d .
Khi đó số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của Parabol (
Dựa vào đồ thị ta có:
)d không cắt (
m thì ( 1
)P phương trình (1) vô nghiệm.
+) Nếu
)d tiếp xúc với (
m thì ( 1
)P tại một điểm phương trình (1) có nghiệm kép.
+) Nếu
)d cắt (
)P tại hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
m thì ( 1
+) Nếu
2 6
Phân tích: Bài toán chưa có đúng dạng của bài toán gốc nên ta sẽ chuyển về bài toán gốc bằng cách chuyển tham số sang vế phải ( cô lập tham số ). Ví dụ 3. Cho hàm số y x x có đồ thị ( )P như nhình vẽ bên dưới. Dựa vào đồ thị, tìm các 5
22 x
12
1 0
x m 6
có 2 nghiệm phân biệt dương.
giá trị của tham số m để phương trình:
Phân tích: Ở Ví dụ 3 giống như Ví dụ 2 nhưng yêu cầu thêm về điều kiện của nghiệm là hai nghiệm phân biệt dương nên phải lưu ý số giao điểm của parabol và đường thẳng là hai điểm có hoành độ dương ( hai điểm nằm bên phải trục tung ).
| 6
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
2
Lời giải
22 x
12
x
6
m
1 0
6
x
m 3
x
5
11 2
Phương trình: (1).
2 6
P
y x x và 5 Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
m 3
d y
11 2
. đường thẳng
P và
d .
m 3
4
5
Số nghiệm của phương trình (1) chính bằng số giao điểm của
11 2
1 m 6
19 6
2
Dựa vào đồ thị ta thấy, yêu cầu bài toán .
x
2
x
2 2
m
0
trên đoạn
3;0
. Ví dụ 4. Biện luận theo m số nghiệm phương trình
3;0
Phân tích: Tương tự như ở Ví dụ 3, bài toán đưa về việc biện luận theo m số giao điểm của . Lưu ý các nghiệm tại các đầu
2
2
x
2 2
m
0
x
2
x
m 2 2 (2)
parabol và đường thẳng ứng với hoành độ thuộc đoạn mút . Lời giải
2 x
2
P y ( ) :
f x ( )
2
x
2
Ta có .
x
với
x
3;0
Xét parabol có
I
1;3
f
3
1,
f
2 .
và parabol có bề lõm quay xuống. Có đỉnh
d
y
m 2
Xét đường thẳng
0 :
.
P và
d .
3;0
là số giao điểm của Số nghiệm của phương trình (1) trên đoạn
Từ đồ thị ta có
| 7
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
2
m
1
thì m
d và
P không có điểm chung, tức là phương trình (1) vô
1 2
Nếu
nghiệm.
1 2
m
2
m
1
thì
d cắt
P tại 1 điểm, tức là phương trình (1) có 1
1 2
Nếu
nghiệm.
m
3
1
m
2 2
thì
d cắt
P tại 2 điểm phân biệt, tức là phương trình (1)
3 2
Nếu
có 2 nghiệm phân biệt.
2
m
3
thì m
d tiếp xúc
P , tức là phương trình (1) có 1 nghiệm kép.
3 2
Nếu
2
m
3
thì m
d và
P không có điểm chung, tức là phương trình (1) vô
3 2
Nếu
m
1 2
nghiệm. Kết luận:
3;0
3 2
m
1
. Với thì phương trình (1) không có nghiệm thuộc đoạn
3;0
m 1 2 m
. Với thì phương trình (1) có 1 nghiệm thuộc đoạn
1
m
3 2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn
3;0
3 2
Với
2 2
P .
a) Vẽ đồ thị
P .
P , tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
3 2
m
x
b) Dựa vào đồ thị x 3
2 2
có 3 nghiệm.
Phân tích: Đây vẫn là bài toán cơ bản nhưng muốn giải quyết tốt bài toán đòi hỏi học ( đã trình bày ở mục
Ví dụ 5. Cho hàm số y x x 3 . có đồ thị
bx
0
a
c
y
,
2 a x
sinh phải thành thạo cách vẽ đồ thị hàm số
Lời giải
2.1 )
2 2
a) Đồ thị
P của hàm số
y x x 3
| 8
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
2
2
b) Xét phương trình
.
x
2
x
m
3
x
2
x
3 2
3
m
3 2
1
2
.
2
x
3
x
: y
3 2
m
Đồ thị
và đường thẳng
(
P : y 1
md
md
Từ đồ thị
P vẽ
1P bằng cách :
+ Giữ nguyên phần đồ thị
P ở phía trên trục Ox
+ Lấy đối xứng phần đồ thị
P ở phía dưới trục Ox qua trục Ox .
+ Xóa bỏ phần đồ thị
P ở phía dưới trục Ox .
nên 1 có 3 nghiệm phân biệt khi
1P và
md
1P và
cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.
Vì số nghiệm của 1 bằng số giao điểm của md
m
4
Dựa vào đồ thị ta có
3 2
m .
1 2
Vậy,
m .
1 2
x
x
2
m
4 0
2 2
có bốn nghiệm phân biệt.
Ví dụ 6. Tìm tham số m để phương trình
| 9
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
f x
g m
y
b x
c
,
a
0
2 a x
Phân tích: Đưa về bài toán gốc , vận dụng cách vẽ đồ thị hàm số dạng:
2
2
x
2
x
2
m
4 0
x
2
x
3 2
m
để tìm lời giải.
(*).
y
x
x
3
2 2
Lời giải 1 Ta có :
với
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
y
m 2
. 1
y
x
x
3
2 2
đường thẳng
cắt đường
Vậy để phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số
y
1
m 2
tại bốn điểm phân biệt.
thẳng
4 2
m
1
m
3
2 .
5 2
m
Dựa vào đồ thị suy ra phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi :
2 .
5 2
0; 2019 để phương trình
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt
x
x
m
5
0
2 4
có hai nghiệm phân biệt?
Ví dụ 7. Có bao nhiêu giá trị m nguyên trong nửa khoảng
x
x
m
2 4
5
2
2
y
4 x
x
Phân tích: Dễ dàng đưa phương trình về dạng quen thuộc: . Lưu ý cách vẽ
5 ,
y
x
4
x
5
, bản chất là gồm hai bài toán là vẽ đồ thị
2
4
x
f
x
đồ thị hàm số
5 .
y
f x
2
2
sau đó vẽ đồ thị hàm số với
x
4
x
m
0
x
4
x
m
5
5
x Lời giải 1
2
Ta có: .
y
x
4
x
5
P của hàm số
và
. Số nghiệm phương trình 1 bằng số giao điểm của đồ thị đường thẳng y m
2 4
1P như hình sau đây:
Xét hàm số y x x 5 ta thấy nó có đồ thị
| 10
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
y
x
x
5
2 4
2P của nó nhận Oy
f x làm trục đối xứng.
2
2
y
x
4
x
x
4
x
5
5
Xét hàm số ta thấy đây là hàm số chẵn nên đồ thị
nếu
0x nên
2P gồm hai phần:
Mà
1P kể cả giao điểm của
1P và Oy .
1
-Phần 1: Là phần bên phải Oy của
qua trục Oy . -Phần 2 : Là phần đối xứng của phần
2P như hình sau đây:
Tức
2
y
x
4
x
5
f x
f x ; f x
f x f x
0 Xét hàm số , ta có: y . ; 0
P gồm hai phần:
Tức
2P kể cả các giao điểm của
2P và Ox .
-Phần 3 : Là phần phía trên Ox của
Ox
2P
P như hình sau đây
qua trục . -Phần 4: Là phần đối xứng của phần phía dưới Ox của
Tức
| 11
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
9
.
Quan sát
P ta thấy: yêu cầu bài toán
0
m m
Do
.
m
10;11;12;...; 2019
0; 2019
m m
2
bx
ax
c
y
Vây có 2010 giá trị của tham số m thỏa yêu cầu bài toán. có đồ thị f x Ví dụ 8. Cho hàm số
C như hình vẽ sau
2
f
x
m
2
f x m ) (
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
3 0 có
6 nghiệm phân biệt ?
2
3 0
m
2
t
3
t
Phân tích: Rõ ràng nhìn vào phương trình muốn đưa về dạng cơ bản bằng cách cô lập tham số m thì bài toán trở nên khá phức tạp, mặt khác dễ nhận ra ngay đây là phương trình bậc m hai ẩn
t m nhẩm được hai nghiệm
t và 1
là:
x
f
t
và bài toán được đưa về bài toán cơ bản đã biết cách giải.
y
f
x
:
Trước hết ta vẽ đồ thị
1C của hàm số
Lời giải
+ Giữ nguyên phần đồ thị
C nằm bên phải trục Oy .
| 12
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
+ Bỏ đi phần đồ thị
C nằm bên trái trục Oy .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị
C đã giữ lại qua trục Oy .
x
f
1
2
f
x
m
2
f x m )
3 0
(
Ta có
.
x
f
m
3
f
1
x
2,
x
. 2
Từ đồ thị
1C ta có phương trình
x có hai nghiệm là
Do đó phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt
f
x
m
phương trình
3 có bốn nghiệm phân biệt khác 2
đường thẳng
d y :
m
3
cắt đồ thị
1C tại bốn điểm phân biệt khác hai điểm A và B
1 3
m
0
3
m
. 4
m
.
1, 2,3
Do m nên
m
Vậy
là các giá trị của tham số m cần tìm.
1, 2,3
4
x
22 x
m
có bốn nghiệm
1
Ví dụ 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình phân biệt.
4
y
x
Phân tích: Hàm số trong dấu giá trị tuyệt đối
2
0
x
22 x dàng có thể chuyển về hàm bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ
khi đó bài toán
là hàm số trùng phương nên dễ
u u
được đưa về bài toán cơ bản.
Lời giải
2
x
0
Ta đặt
.
u u
| 13
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
u
2 2
u m
Khi đó, phương trình trở thành
*
Để phương trình 1 có bốn nghiệm phân biệt thì phương trình * phải có hai nghiệm dương phân biệt.
y
u
u
0
2 2 u
Ta vẽ đồ thị của hàm số
, số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ
.
thị với đường thằng y m
1m .
1m thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
2
2
2
. Tìm m để phương trình có
2
2
2
x
x
x
x
3 2
m
0 1
Từ đồ thị suy ra, phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi Vậy với Ví dụ 10. Cho phương trình: nghiệm.
t
x
t
0
2 2 , x
Phân tích: Bài toán rất dễ để tìm được ý tưởng giải quyết là đặt ẩn phụ
khi đó
2
phương trình trở thành phương trình bậc hai cô lập được tham số là
.
t
t 2
2
m
3
2
2
2
2
2
2
2
2
x
2
x
3 2
x
x
2
x
0
2
x
2
x
2
x
2
m
3
1
Lời giải
2
2
x
2
2
x
x
x
2
3,
x
Xét hàm số
P y :
m 2
t
x
t
2 2 , x
0 .
Đặt
t
3,
t
2 2 t
Khi đó hàm số:
0
g t
| 14
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
t
3,
t
0
2 2 t
Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị của hàm số
g t
, ta thấy phương trình 1 có
nghiệm
.
1
2
m
2 m
Ví dụ 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
2
3
6
x
x
3
x
18
x
m .
3
6
x
t
x
Phân tích: Về ý tưởng tìm lời giải rất rõ ràng: đặt
thì phương trình trở thành phương trình bậc hai cơ bản. Điều quan trọng trong bài này là phải tìm được miền giá trị của t một cách chính xác với điều kiện xác định của x .
Lời giải
Điều kiện 3
6
. x
Đặt
t
3
. x
Với mọi
ta có:
x x
6 3; 6
3
3
x
3
3
6
3
3
x
t
3
x
6
0
x
3
3
t khi 3
x 6
0 Với Suy ra
x ; .
t khi 3 3;3 t
2
9
t
2
Ta có
.
x
3
x
18
3
x
6
x
2
Phương trình đã cho trở thành
2
9
t
2
t
m
t
t 2
2
m
9
* .
2
y
f
t
9
2 2 t
, (với
Số nghiệm của phương trình * bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
t
3
3
t
) và đường thẳng
.
y
m 2
f
t
9
2 2 t
Xét hàm số
với 3
3
t
có đồ thị như sau
t
3
. t
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình * có nghiệm t thỏa 3
Dựa vào đồ thị ta có 10
2
m
6
5
m
. 3
| 15
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
3m
Vậy 5
là các giá trị của tham số m cần tìm
y
Ví dụ 12. Cho hàm số
f x
có đồ thị
C như hình sau
Tìm m để phương trình:
2
4
f x (
2
m
0
1) 2
có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn
f x
1
.
5;1
Phân tích:
Về ý tưởng: Đặt
phương trình đưa về phương trình bậc hai:
t
2
f x
1
.
t m 2
21 t 2
Tìm chính xác miền giá trị của t với
.
x
5;1
Xác định được với mỗi giá trị của t thỏa mãn điều kiện sẽ cho tương ứng với bao
nhiêu giá trị của
.
5;1
x Lời giải
y
Từ đồ thị hàm số
C ta vẽ đồ thị hàm số
y
f x C như sau:
f x
1 2
y
hàm số
Tịnh tiến đồ thị f x
C sang trái 1 đơn vị ta được đồ thị của 1 .
y
Tịnh tiến đồ thị hàm số
y
được đồ thị hàm số
f x
1 f x xuống dưới 2 đơn vị ta 1 2.
Lấy đối xứng phần phía dưới Ox của đồ thị hàm số
g x ( )
2
y
.
1 f x y qua Ox rồi bỏ phần phía dưới đó đi ta được đồ thị
2 'C của hàm số
f x
1
| 16
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
C
( 5)
g
f
3
4
g
(1)
2
9
và 2
f
.
2
Từ đồ thị
t
2 ,
t
(1)
t m 2
f x
1
0;3
21 t 2
t
Đặt phương trình biểu thị theo t là:
'C ứng với
x
5;1
0;3
ta được mỗi giá trị thì phương trình Qua phần đồ thị
t
2
f x
1
x
5;1 .
cho không quá 3 nghiệm
5;1
khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 Do đó phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thuộc
nghiệm phân biệt thuộc 3; 7
t 2
y t
21 t 2
Xét hàm số , ta có bảng biến thiên:
m
2 3
; 2
3 2
Qua bảng biến thiên ta được là giá trị cần tìm.
D. BÀI TẬP VẬN DỤNG
2
2 4
x
m
x
BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Cho hàm số y x 4 x 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Dựa vào đồ thị tìm các giá trị
2 có 2 nghiệm phân biệt.
2
x
4
x
m
3
của tham số m để phương trình
với 0
1;3 x
x
x
3 2
3
m
2 2
Bài 2. Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình sau: .
có 3 nghiệm. Bài 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
| 17
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
x
x
m
1
2
2 3
Bài 4. Tìm m để phương trình
.
có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn
1;3
x
x
m
2 6
5
Bài 5. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình sau:
.
x
x
2 2
m
2 3
Bài 6. Tìm m để phương trình
.
có 2 nghiệm phân biệt trong khoảng
1;1
4
Bài 7. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình
x
22 x
m
1
. 0
Bài 8. Cho hàm số
y
x
x
3
2 4
có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị của tham số m
4
2
x
m
để phương trình
có tám nghiệm phân biệt.
x 4
3 4
Bài 9. ( Đề chọn HSG trường THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa ) Biện luận theo m số nghiệm
2
phương trình
x
4
x
m
3
4
3
2
2
2
x
4
x
2
x
12
x
2
x
2
x
m
m 3
10 0
3
Bài 10. Cho phương trình
. Tìm m để phương
.
trình có nghiệm x thuộc
2;3
2
Câu 1. Cho hàm số
y
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ax
bx c
có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây
Tập hợp T các gái trị của m để phương trình
2ax
bx
T
A.
B.
T .
D.
C.
.
T . 1;
; 1
c m
1;3
có nghiệm là T . ; 1
| 18
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
Câu 2. Hàm số
y
x
x
1
2 2
có đồ thị như hình bên. Tìm các giá trị m để phương trình
2
x
2
0
x m
vô nghiệm.
y
2
1
1
-1
O
x
-2
2
-1
-2
2
1
A.
m .
B.
m .
D.
1m .
1m .
C.
Câu 3. Cho hàm số
f x xác định trên có đồ thị như hình vẽ
2
1 0
Phương trình
f x có bao nhiêu nghiệm?
B. 3 .
A. 1.
C. 2 .
D. 4 .
2
ax
Câu 4. Cho hàm số
f x
2020 0
m
nguyên của tham số
có hai nghiệm
để phương trình
có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tổng tất cả các giá trị f x m
bx c 1; 2020
phân biệt.
y
x
O
B. 2020 .
C. 4039 .
D. 6057 .
A. 2019 .
2
ax
bx
a
có đồ thị như hình bên. Số giá trị nguyên của m
Câu 5. Cho parabol
:P y
c
0
để phương trình
có bốn nghiệm phân biệt là
2ax
bx
c m
| 19
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
y
I
4 3
2
1
x
3
2
1
1 O
23
1
2
3
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2
ax
bx
c
Câu 6. Cho hàm số
đồ thị như hình. Hỏi với những giá trị nào của tham số
f x
thực m thì phương trình
f x
m có đúng 3 nghiệm phân biệt. 1
A.
B.
C.
D. 2
2m
3m .
3m .
2m .
.
y
Câu 7.
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị của tham số m
f x
y
để đồ thị hàm số
cắt đường
1
y m
trên cùng một hệ trục tọa độ tại 4 điểm
f x
phân biệt là?
A.
D.
3 m
B. 0
C. 1
1 m
. 0
3m
.
4m
.
. 2
x
x
2
1 0
2 2
x m
Câu 8. Cho phương trình
. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để
phương trình có 3 nghiệm thực?
| 20
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
C. 3 .
A. 4 .
B. 1.
D. 2 .
y
Câu 9. Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ.
f x
2
Phương trình
f
x
f
x
0
2
có bao nhiêu nghiệm?
A. 2 .
B. 6 .
C. 8 .
D. 7 .
2
y
ax
bx
c
Bài 10. Cho hàm số
f x
có đồ thị
C như hình vẽ sau
2
Số giá trị nguyên của m để phương trình
f
x
m
2
f
x
m
có 10 1 0
nghiệm phân biệt là A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
| 21
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A D B B B C D C B B
VIII. Những thông tin cần được bảo mật: Không.
IX. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Học sinh lớp 10 khi học Đại số chương II và chương III.
X. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến
của tác giả:
Học sinh được học theo nội dung trình bày trong sáng kiến sẽ tự tin hơn khi đối mặt với việc
đọc đồ thị hàm số, khai thác đồ thị hàm số và đặc biệt là việc ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để
biện luận số nghiệm của phương trình đại số trong phạm vi kiến thức lớp 10 và bước đầu đã trang bị
cho học sinh những kỹ năng và phương pháp giải quyết dạng toán về khai thác đồ thị hàm số sau
này học lớp 12 và ôn thi THPT Quốc Gia.
Bản thân giáo viên khi viết đề tài này đã phần nào đó rèn luyện cho mình khả năng nghiên
cứu khoa học, tìm tòi và phân tích và tổng hợp tài liệu, tăng cường khả năng sáng tác các bài toán
nói riêng và khả năng sáng tạo nói chung, tự học, tự bồi dưỡng chuyên môn.
Sáng kiến kinh nghiệm sẽ là tài liệu tham khảo về “Ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để
giải và biện luận phương trình đại số lớp 10” để trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp và truyền đạt
cho học sinh.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều trong quá trình viết sáng kiến kinh nghiệm này nhưng chắc
chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót. Kính mong quý thầy cô, đồng nghiệp và học sinh chân
thành góp ý để sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để biện luận số
nghiệm của phương trình đại số lớp 10” được hoàn thiện hơn và trở thành một tài liệu hay, hữu ích
trong việc dạy và học.
| 22
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10
XI. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu:
STT Tên tổ chức/cá nhân Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến
1 Giáo viên THPT Nguyễn Viết Xuân Bồi dưỡng kiến thức: Ứng
dụng đồ thị của hàm số bậc Vũ Thị Thanh Nga hai để giải và biện luận
phương trình đại số lớp 10.
2 Lớp 10A1, 10A3 THPT Nguyễn Viết Xuân Rèn luyện và nâng cao kiến
thức: Ứng dụng đồ thị của
hàm số bậc hai để giải và
biện luận phương trình đại
Vĩnh Tường, ngày 12 tháng 02 năm 2020
Vĩnh Tường, ngày 14 tháng 02 năm 2020
Vĩnh Tường, ngày 10 tháng 02 năm 2020
Thủ trưởng đơn vị/
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
Tác giả sáng kiến
Chính quyền địa phương
SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ
(Ký, ghi rõ họ tên)
(Ký tên, đóng dấu)
(Ký tên, đóng dấu)
Phạm Thị Hòa
Vũ Thị Thanh Nga
số lớp 10.
| 23
