Tài liệu ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 12 năm 2022-2023

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY 

TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 12 NĂM HỌC 2022

2023 (HỌC KÌ II)

-

Họ và tên: ....................................... Lớp: ...............................................

Tài liệu lưu hành nội bộ

PHẦN GẢI TÍCH .............................................................................................................................. 3 CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ................................................ 3 BÀI 1. NGUYÊN HÀM ................................................................................................................. 3 VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm ........................................ 3 bằng phương pháp đổi biến số ................................... 4 VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần ........................ 5 VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp .................................................. 5 BÀI 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................................... 7 VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm ............................................. 8 VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số ........................................................ 9 VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần ........................................ 10 VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối ............................................. 10 VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ ............................................................................ 11 VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác................................................................... 12 VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit .............................................................. 13 BÀI 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ............................................................................................. 13 VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng ..................................................................................... 14 VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể............................................................................................... 15 BÀI 4. ÔN TẬP TÍCH PHÂN .................................................................................................... 15 CHƯƠNG IV : SỐ PHỨC .......................................................................................................... 17 BÀI 5. SỐ PHỨC ......................................................................................................................... 17 VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia ............................................... 18 VẤN ĐỀ 2: Tập hợp điểm ........................................................................................................ 19 BÀI 6. ÔN TẬP SỐ PHỨC ......................................................................................................... 19 PHẦN HÌNH HỌC .......................................................................................................................... 20 CHƯƠNG III : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ...................................... 20 BÀI 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN ................................................................................. 20 BÀI 2. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ......................................................................... 20 VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm ................................................... 22 VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích. ............................................................................................................................................ 23 VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu ............................................................................................ 23 VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu mặt cầu............................................................. 25 BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ................................................................................. 25 VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng ................................................................................ 26 VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng ....................................................................... 28 VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng . Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng. ........................................................................................................................................ 29 VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng ........................................................................................ 29 VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ...................................................................................................................................... 30 Bài tập ôn: Phương trình mặt phẳng ......................................................................................... 31 BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ........................................................................... 31 VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng ............................................................................. 33 VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng .................................................................. 37 VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng .................................................. 38 VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu ...................................................... 39

VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách .......................................................................................................... 39 VẤN ĐỀ 6: Góc......................................................................................................................... 41 VẤN ĐỀ 7: Một số vấn đề khác ................................................................................................ 41 Bài tập ôn phương trình đường thẳng ........................................................................................ 43

PHẦN GẢI TÍCH CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 1. NGUYÊN HÀM

, x  K

1. Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu: • Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là: , C  R.

• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

2. Tính chất • •

•

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

• • • •

• •

4. Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu và có đạo hàm liên tục thì:

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm. – Nắm vững phép tính vi phân.

Câu 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) b) c)

d) e) f)

g) i) h)

k) m) l)

n) p) o)

Câu 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

Câu 3. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:

VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

• Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = thì ta đặt .

Khi đó: = , trong đó dễ dàng tìm được.

Chú ý: Sau khi tính theo t, ta phải thay lại t = u(x).

• Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:

f(x) có chứa Cách đổi biến

hoặc

Câu 1. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

m) l) k)

p) o) n)

s) r) q)

Câu 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):

b) a)

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

P(x) P(x) P(x)

lnx P(x) u dv

Câu 1. Tính các nguyên hàm sau:

c) b) a)

f) e) d)

i) h) g)

m) l) k)

Câu 2. Tính các nguyên hàm sau:

c) b) a)

f) e) d)

i) h) g)

Câu 3. Tính các nguyên hàm sau:

c) b) a)

VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

1. f(x) là hàm hữu tỉ:

– Nếu bậc của P(x)  bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).

Chẳng hạn:

2. f(x) là hàm vô tỉ

+ f(x) = → đặt

• f(x) là hàm lượng giác Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn:

, +

+ Nếu thì đặt t = cosx

+ Nếu thì đặt t = sinx

+ Nếu thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)

Câu 1. Tính các nguyên hàm sau:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

k) l) m)

Câu 2. Tính các nguyên hàm sau:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

k) l) m)

Câu 3. Tính các nguyên hàm sau:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

k) l) m)

BÀI 2. TÍCH PHÂN

1. Khái niệm tích phân • Cho hàm số f liên tục trên K và a, b  K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:

F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là .

• Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:

• Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:

2. Tính chất của tích phân

• • (k: const) •

• •

• Nếu f(x)  0 trên [a; b] thì

• Nếu f(x)  g(x) trên [a; b] thì

3. Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số

trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K,

a, b  K. b) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b  K thì:

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho dễ tính hơn .

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm. – Nắm vững phép tính vi phân.

Câu 1. Tính các tích phân sau:

a) b) c)

d) e) f)

Câu 2. Tính các tích phân sau:

a) b) c)

d) e) f)

Câu 3. Tính các tích phân sau:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

k) l) m)

Câu 4. Tính các tích phân sau:

c) a) b)

d) f) e)

g) i) h)

k) m) l)

VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Dạng 1: Giả sử ta cần tính .

Nếu viết được g(x) dưới dạng: thì

Dạng 2: Giả sử ta cần tính .

Đặt x = x(t) (t  K) và a, b  K thoả mãn  = x(a),  = x(b)

thì

Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:

f(x) có chứa Cách đổi biến

hoặc

Câu 1. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):

b) c) a)

e) f) d)

h) i) g)

l) m) k)

p) n) o)

Câu 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

k) l) m)

VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

P(x) P(x) P(x)

u dv lnx P(x)

Câu 1. Tính các tích phân sau:

a) b) c)

d) e) f)

h) g) i)

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.

Câu 1. Tính các tích phân sau:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

Câu 2. Tính các tích phân sau:

a) b) c)

d) e) f)

Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ. Câu 1. Tính các tích phân sau:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

Câu 2. Tính các tích phân sau:

a) b) c)

d) e) f)

VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ

Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ. Câu 1. Tính các tích phân sau:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

k) l) m)

n) o) p)

Câu 2. Tính các tích phân sau:

a) b) c)

d) e) f)

Câu 3. Tính các tích phân sau:

a) b) c)

d) e) f)

Câu 4. Tính các tích phân sau:

a) b) c)

d) e) f)

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác

Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.

Câu 1. Tính các tích phân sau:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

Câu 2. Tính các tích phân sau:

a) b) c)

d) e) f)

Câu 3. Tính các tích phân sau:

c) a) b)

f) d) e)

Câu 4. Tính các tích phân sau:

b) a) c)

e) d) f)

VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit

Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.

Câu 1. Tính các tích phân sau:

b) a) c)

e) d) f)

h) g) i)

l) k) m)

Câu 2. Tính các tích phân sau:

b) a) c)

e) d) f)

h) g) i)

l) k) m)

BÀI 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1. Diện tích hình phẳng • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Trục hoành. – Hai đường thẳng x = a, x = b.

là: (1)

• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Hai đường thẳng x = a, x = b.

là: (2)

Chú ý:

• Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:

• Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích

phân. Ta có thể làm như sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d). Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)

(g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của x = g(y), x = h(y) – Hai đường thẳng x = c, x = d.

2. Thể tích vật thể • Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b. S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a  x  b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Thể tích của B là:

• Thể tích của khối tròn xoay: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh trục Ox:

Tổng quát:

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục Oy: (C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d

là:

VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng Câu 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

Câu 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) b) c)

Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) b)

Câu 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) b)

c) d)

Câu 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2.

b) và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2.

VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Câu 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

Câu 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh: i) trục Ox ii) trục Oy

a) b)

c) d)

e) f)

BÀI 4. ÔN TẬP TÍCH PHÂN

Câu 1. Tính các tích phân sau:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

k) l) m)

Câu 2. Tính các tích phân sau:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

k) l) m)

o) p) q)

r) s) t)

Câu 3. Tính các tích phân sau:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

k) l) m)

o) p) q)

r) s) t)

Câu 4. Tính các tích phân sau:

a) b) c)

d) f) e)

g) h) i)

k) m) l)

o) p) q)

r) s) t)

Câu 5. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

m) , tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung.

n) , tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị có hoành độ x = .

Câu 6. Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục:

a) b)

c) d)

e) f)

CHƯƠNG IV : SỐ PHỨC

BÀI 5. SỐ PHỨC

, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1)

1. Khái niệm số phức • Tập hợp số phức: • Số phức (dạng đại số) : (a, b • z là số thực  phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là thuần ảo  phần thực của z bằng 0 (a = 0) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

• Hai số phức bằng nhau:

được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi

2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b trong mp(Oxy) (mp phức)

•

3. Cộng và trừ số phức: • • Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi

biểu diễn z + z’ và biểu diễn z – z’. • biểu diễn z, biểu diễn z' thì

• •

4. Nhân hai số phức : 5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là

; •

; z là số ảo  • z là số thực  6. Môđun của số phức : z = a + bi

•

• • •

7. Chia hai số phức:

(z  0) • • •

8. Căn bậc hai của số phức:

• là căn bậc hai của số phức  

• w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0 • w có đúng hai căn bậc hai đối nhau

• Hai căn bậc hai của a > 0 là

• Hai căn bậc hai của a < 0 là 9. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A ).

• : (*) có hai nghiệm phân biệt , ( là 1 căn bậc hai của )

• : (*) có 1 nghiệm kép:

cũng là một nghiệm của (*). Chú ý: Nếu z0  C là một nghiệm của (*) thì

VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia

Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức. Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân. Câu 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:

b) c) a)

e) f) d)

i) h) g)

m) l) k)

Câu 2. Thực hiện các phép toán sau:

b) c) a)

d) e) f)

g) h) i)

Câu 3. Cho số phức . Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:

a) b)

VẤN ĐỀ 2: Tập hợp điểm Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển điểm M(x; y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm hệ thức giữa x và y.

Câu 1. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: b) c) a)

d) e) f)

g) h) i)

k) l) m)

là số thuần ảo là số thực b) c) a) Câu 2. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau:

BÀI 6. ÔN TẬP SỐ PHỨC

Câu 1. Thực hiện các phép tính sau:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) k)

Câu 2. Cho các số phức . Tính:

a) b) c)

d) e) f)

Câu 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) b) c)

d) e) f)

Câu 4. Tìm tất cả các số phức z sao cho là số thực.

Câu 5. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

Câu 6. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức sau:

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân. b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.

PHẦN HÌNH HỌC CHƯƠNG III : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. Định nghĩa và các phép toán

• Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. • Lưu ý: + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:

Ta có: ;

Ta có:

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có: + Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý. + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:

+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý.

Ta có:

2. Sự đồng phẳng của ba vectơ • Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ , trong đó không cùng phương.

Khi đó: đồng phẳng  ! m, n  R:

• Cho ba vectơ không đồng phẳng, tuỳ ý.

Khi đó: ! m, n, p  R:

3. Tích vô hướng của hai vectơ • Góc giữa hai vectơ trong không gian:

• Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: + Cho . Khi đó:

. Qui ước:

+ Với +

BÀI 2. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:

Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.

Chú ý: và .

2. Tọa độ của vectơ:

a) Định nghĩa:

b) Tính chất: Cho

•

• cùng phương 

• •

• (với )

(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

• M  Ox  y = z = 0; M  Oy  x = z = 0; M  Oz  x = y = 0

3. Tọa độ của điểm: a) Định nghĩa: Chú ý: • M  (Oxy)  z = 0; M  (Oyz)  x = 0; M  (Oxz)  y = 0 b) Tính chất: Cho

• •

• Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1):

• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

4. Tích có hướng của hai vectơ: a) Định nghĩa: Cho , .

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số. b) Tính chất: • •

• • cùng phương

c) Ứng dụng của tích có hướng:

• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: và đồng phẳng 

• Diện tích hình bình hành ABCD:

• Diện tích tam giác ABC:

• Thể tích khối hộp ABCD.ABCD:

• Thể tích tứ diện ABCD:

– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc

Chú ý: giữa hai đường thẳng. – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

5. Phương trình mặt cầu: • Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:

• Phương trình với là phương trình mặt cầu

tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = .

VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm

– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian. – Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.

Câu 1. Viết tọa độ của các vectơ sau đây: ; ; ;

Câu 2. Viết dưới dạng mỗi vectơ sau đây:

; ; ;

Câu 3. Cho: . Tìm toạ độ của các vectơ với:

a) b) c)

d) e) f)

Câu 4. Tìm tọa độ của vectơ , biết rằng:

a) với b) với

c) với ,

Câu 5. Cho .

a) Tìm y và z để cùng phương với .

b) Tìm toạ độ của vectơ , biết rằng ngược hướng và .

. Tìm:

Câu 6. Cho ba vectơ

c) b) a)

e) d)

: Câu 7. Tính góc giữa hai vectơ

và b) a)

d) c)

f) e)

Câu 8. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ trong mỗi trường hợp sau đây:

b) a)

d) c)

f) e)

g) h)

VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích.

– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian. – Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian. – Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt. – Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:

• A, B, C thẳng hàng  cùng phương  

• ABCD là hình bình hành  • Cho ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ABC trên BC.

Ta có: ,

không đồng phẳng 

• Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz • Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz

a) e) c) g) b) f) d) h)

• Qua gốc toạ độ

• Qua mp(Oxy) b) f) • Qua trục Oy c) g) a) e) d) h)

b) d) a) c)

• A, B, C, D không đồng phẳng  Câu 1. Cho điểm M. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M: Câu 2. Cho điểm M. Tìm tọa độ của điểm M đối xứng với điểm M: Câu 3. Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau: Câu 4. Cho ba điểm • Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. • Tìm toạ độ trọng tâm G của ABC. • Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu

Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu. Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R:

Khi đó bán kính R = IA. (S): Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A: Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:

. – Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB:

– Bán kính R = IA = .

Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):

(*).

– Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: – Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình. – Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d  Phương trình mặt cầu (S).

Giải tương tự như dạng 4.

(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài) Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước: Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước: – Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu (T). – Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S). Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S):

với

thì (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R = .

Câu 1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

k) Câu 2. Xác định m, t, , … để phương trình sau xác định một mặt cầu, tìm tâm và bán kính của các mặt cầu đó:

Câu 3. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R:

a) c) d)

b) Câu 4. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A: c)

a) d) b) e)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 5. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với: b) e) a) d) c) f)

Câu 6. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với:

a) c) e)

b) d) f) Câu 7. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trong mặt phẳng (P) cho trước, với:

a) b)

Câu 8. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T), với:

a) b)

VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu mặt cầu

• • Cho hai mặt cầu S1(I1, R1) và S2(I2, R2).  (S1), (S2) trong nhau  (S1), (S2) ngoài nhau

•  (S1), (S2) tiếp xúc trong •  (S1), (S2) tiếp xúc ngoài

•  (S1), (S2) cắt nhau theo một đường tròn.

Câu 1. Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu:

a) b)

c) d)

e) f)

Câu 2. Biện luận theo m vị trí tương đối của hai mặt cầu:

a) b)

c) d)

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

vuông góc với ().

1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng là VTPT của () nếu giá của không cùng phương là cặp VTCP của () nếu các giá của chúng song song hoặc nằm

là một VTPT của () thì (k ≠ 0) cũng là VTPT của (). • Vectơ • Hai vectơ trên (). Chú ý: • Nếu

là một cặp VTCP của () thì • Nếu là một VTPT của ().

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

thì là một VTPT của (). • Nếu () có phương trình

• Phương trình mặt phẳng đi qua và có một VTPT là:

Các hệ số

Tính chất mặt phẳng ()

Phương trình mặt phẳng ()

D = 0 A = 0 B = 0 C = 0 A = B = 0

A = C = 0

() đi qua gốc toạ độ O () // Ox hoặc ()  Ox () // Oy hoặc ()  Oy () // Oz hoặc ()  Oz () // (Oxy) hoặc ()  (Oxy) () // (Oxz) hoặc ()  (Oxz) () // (Oyz) hoặc ()  (Oyz)

B = C = 0

3. Các trường hợp riêng

Chú ý: • Nếu trong phương trình của () không chứa ẩn nào thì () song song hoặc chứa trục tương ứng.

• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

() cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)

(): 4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình:

():

• (), () cắt nhau 

• ()  ()  • () // () 

• () ⊥ () 

5. Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0

VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng

Để lập phương trình mặt phẳng () ta cần xác định một điểm thuộc () và một VTPT của nó. Dạng 1: () đi qua điểm có VTPT :

():

Dạng 2: () đi qua điểm có cặp VTCP :

Khi đó một VTPT của () là .

Dạng 3: () đi qua điểm và song song với mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0:

():

Dạng 4: () đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:

Khi đó ta có thể xác định một VTPT của () là:

Dạng 5: () đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M: – Trên (d) lấy điểm A và VTCP .

– Một VTPT của () là:

của đường thẳng (d) là một VTPT của (). VTCP

Dạng 6: () đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d): Dạng 7: () đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2: – Xác định các VTCP của các đường thẳng d1, d2.

– Một VTPT của () là: – Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2  M  ().

Dạng 8: () chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau): – Xác định các VTCP của các đường thẳng d1, d2.

– Một VTPT của () là: – Lấy một điểm M thuộc d1  M  ().

Dạng 9: () đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2: – Xác định các VTCP của các đường thẳng d1, d2.

– Một VTPT của () là: .

Dạng 10: () đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng (): – Xác định VTCP của (d) và VTPT của ().

– Một VTPT của () là: .

– Lấy một điểm M thuộc d  M  ().

Dạng 11: () đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (), (): – Xác định các VTPT của () và ().

– Một VTPT của () là: .

Dạng 12: () đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước: – Giả sử () có phương trình: .

, ta được phương trình (3).

– Lấy 2 điểm A, B  (d)  A, B  () (ta được hai phương trình (1), (2)). – Từ điều kiện khoảng cách – Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).

Dạng 13: () là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H: – Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I và bán kính R. – Một VTPT của () là: Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học ở lớp 11.

cho trước:

Câu 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có VTPT c) b) a)

e) f) d)

Câu 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, với: b) c) a)

e) f) d)

Câu 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp VTCP cho trước, với:

b) a)

d) c)

Câu 4. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M và song song với mặt phẳng cho trước, với:

b) a)

c) e)

d) f) Câu 5. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ,

b) f) c) g) d) h) với: a) e)

Câu 6. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với:

a) c) e)

b) d) f) Câu 7. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm B, C

cho trước, với: a) c) e)

b) d) f) Câu 8. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng () cho trước, với:

a) b) c)

Câu 9. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (), () cho trước,

với: a)

Câu 10. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho

trước, với: a)

Câu 11. Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song

với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) b) c)

Câu 12. Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc

với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) b) c) d)

Câu 13. Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời cách điểm

M cho trước một khoảng bằng k, với: a)

VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Câu 1. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:

c) a) b)

f) d) e)

Câu 2. Xác định m, n để các cặp mặt phẳng sau: • song song • cắt nhau • trùng nhau

c) a) b)

f) d) e)

i) g) h)

Câu 3. Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc với nhau

a) b)

c) d)

e) f)

VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng . Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng.

• Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0

• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này

đến mặt phẳng kia. Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.

• Điểm H là hình chiếu của điểm M trên (P) 

• Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên (P). • Điểm M đối xứng với điểm M qua (P)  Câu 1. Cho mặt phẳng (P) và điểm M.

• Tính khoảng cách từ M đến (P). • Tìm toạ độ điểm M đối xứng với M qua (P). b) d) f) a) c) e)

Câu 2. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng:

a) b) c)

d) e) f)

Câu 3. Tìm tập hợp các điểm cách mặt phẳng một khoảng bằng k cho trước: a) c) b) d)

Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng ():

():

Góc giữa (), () bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT .

Chú ý: • . •

Câu 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng:

a) b) c)

d) e) f)

Câu 2. Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng sau bằng  cho trước:

a) b) c)

VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

và mặt cầu (S): Cho mặt phẳng ():

() là tiếp diện

– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc với (). – Tìm toạ độ giao điểm H của d và (). Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau: H là tiếp điểm của (S) với ().

– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc với (). – Tìm toạ độ giao điểm H của d và (). • () và (S) không có điểm chung  • () tiếp xúc với (S)  • () cắt (S) theo một đường tròn  Để xác định tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau: H là tâm của đường tròn giao tuyến của (S) với ().

Bán kính r của đường tròn giao tuyến:

Câu 1. Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):

a) b)

c) d)

e) f)

Câu 2. Biện luận theo m, vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):

Câu 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước: a) c) b) d)

Câu 4. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước:

a) tại

b) tại

c) tại

d) và song song với mặt phẳng .

e) và song song với mặt phẳng .

f) và song song với mặt phẳng .

và chứa đường thẳng g) h) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tại A với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0). i) Tiếp xúc với mặt cầu: và song song với 2 đường thẳng:

, .

Bài tập ôn: Phương trình mặt phẳng Câu 1. Cho tứ diện ABCD.

• Viết phương trình các mặt của tứ diện. • Viết phương trình mặt phẳng chứa một cạnh và song song với cạnh đối diện. • Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và song song với mặt đối diện. • Viết phương trình mặt phẳng đi qua cạnh AB và vuông góc với (BCD). • Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các cạnh tứ diện. • Tìm toạ độ các điểm A, B, C, D lần lượt là các điểm đối xứng với các điểm A, B, C, D qua các

• Tính khoảng cách từ một đỉnh của tứ diện đến mặt đối diện. • Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm I và bán kính R của (S). • Viết phương trình các tiếp diện của (S) tại các đỉnh A, B, C, D của tứ diện. • Viết phương trình các tiếp diện của (S) song song với các mặt của tứ diện.

mặt đối diện. a) b)

c) e) d) f)

Câu 2. Cho hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt cắt ba trục toạ độ tại các điểm: A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;–3) và

E(–2;0;0), F(0;1;0), G(0;0;1). a) Tìm phương trình tổng quát của (P) và (Q). b) Tính độ dài đường cao của hình chóp O.ABC. c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q).

BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Phương trình tham số của đường thẳng • Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm và có VTCP :

• Nếu thì đgl phương trình chính tắc của d.

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d, d có phương trình tham số lần lượt là:

và

• d // d 

  

• d  d 

 



• d, d cắt nhau  hệ (ẩn t, t) có đúng một nghiệm

 

• d, d chéo nhau 

 

 • d ⊥ d  3. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho mặt phẳng (): và đường thẳng d:

Xét phương trình: (ẩn t) (*)

• d // ()  (*) vô nghiệm • d cắt ()  (*) có đúng một nghiệm • d  ()  (*) có vô số nghiệm 4. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu

Cho đường thẳng d: (1) và mặt cầu (S): (2)

Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*). • d và (S) không có điểm chung  (*) vô nghiệm  d(I, d) > R  d(I, d) = R • d tiếp xúc với (S)  (*) có đúng một nghiệm • d cắt (S) tại hai điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt  d(I, d) < R 5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao) và điểm M. Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP

6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao) Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2. , d2 đi qua điểm M2 và có VTCP d1 đi qua điểm M1 và có VTCP

Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng cách giữa d1 với mặt phẳng () chứa d2 và song song với d1. 7. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng () song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng ().

8. Góc giữa hai đường thẳng . Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP

. Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa

9. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP và mặt phẳng () có VTPT .

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d của nó trên ().

VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng

Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó. Dạng 1: d đi qua điểm và có VTCP :

Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B: Một VTCP của d là Dạng 3: d đi qua điểm và song song với đường thẳng  cho trước:

Vì d //  nên VTCP của  cũng là VTCP của d.

Dạng 4: d đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước:

Vì d ⊥ (P) nên VTPT của (P) cũng là VTCP của d.

Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q): • Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.

– Tìm toạ độ một điểm A  d: bằng cách giải hệ phương trình (với việc chọn giá trị cho một

ẩn) – Tìm một VTCP của d:

• Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. Dạng 6: d đi qua điểm và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2:

Vì d ⊥ d1, d ⊥ d2 nên một VTCP của d là:

Dạng 7: d đi qua điểm , vuông góc và cắt đường thẳng .

• Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M0 trên đường thẳng .

Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M0, H. • Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d. Khi

đó d = (P)  (Q) Dạng 8: d đi qua điểm và cắt hai đường thẳng d1, d2:

• Cách 1: Gọi M1  d1, M2  d2. Từ điều kiện M, M1, M2 thẳng hàng ta tìm được M1, M2. Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d.

• Cách 2: Gọi (P) =

, (Q) = . Khi đó d = (P)  (Q). Do đó, một VTCP của d có thể

chọn là .

Tìm các giao điểm A = d1  (P), B = d2  (P). Khi đó d chính là đường thẳng AB.

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  và d1, mặt phẳng (Q) chứa  và d2. Khi đó d = (P)  (Q). Dạng 9: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2: Dạng 10: d song song với  và cắt cả hai đường thẳng d1, d2: Dạng 11: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau:

, ta tìm được M, N. • Cách 1: Gọi M  d1, N  d2. Từ điều kiện

Khi đó, d là đường thẳng MN.

• Cách 2: . – Vì d ⊥ d1 và d ⊥ d2 nên một VTCP của d có thể là:

– Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d1, bằng cách: + Lấy một điểm A trên d1. + Một VTPT của (P) có thể là: .

– Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và d2. Khi đó d = (P)  (Q).

Dạng 12: d là hình chiếu của đường thẳng  lên mặt phẳng (P): • Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa  và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách: – Lấy M  . – Vì (Q) chứa  và vuông góc với (P) nên .

Khi đó d = (P)  (Q).

Khi đó, d là đường thẳng MN.

– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d1. – Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d2. Khi đó d = (P)  (Q).

cho trước:

Dạng 13: d đi qua điểm M, vuông góc với d1 và cắt d2: • Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d2. Từ điều kiện MN ⊥ d1, ta tìm được N. • Cách 2: Câu 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP b) e) c) f) a) d)

Câu 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước: b) c) a)

d) e) f)

Câu 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng  cho

trước: a) b)

c) d)

e) f)

Câu 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) cho

b) trước: a)

c) d)

Câu 5. Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước:

b) c) a)

e) f) d)

Câu 6. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 cho trước:

a) b)

c) d)

e) f)

Câu 7. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng  cho trước:

a) b)

c) d)

e) f)

Câu 8. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 cho trước:

a) b)

c) d)

e) f)

Câu 9. Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 cho trước:

a) b)

c) d)

Câu 10. Viết phương trình tham số của đường thẳng song song với đường thẳng  và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 cho trước:

a) b)

c) d)

Câu 11. Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 cho trước:

a) b)

c) d)

Câu 12. Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng  trên mặt phẳng (P) cho trước:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

Câu 13. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 cho trước:

Câu 14. Cho tam giác ABC có . Viết phương trình tham số của các

b) Đường cao BH. d) Đường trung trực của BC trong ABC. đường thẳng sau: a) Trung tuyến AM. c) Đường phân giác trong BK. VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng. • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng. Câu 1. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d1, d2 cho trước:

Câu 2. Chứng tỏ rằng các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung

của chúng: a)

Câu 3. Tìm giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2: a)

Câu 4. Tìm m để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau. Khi đó tìm toạ độ giao điểm của chúng: a)

VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng. • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.

Câu 2. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm m, n để: i) d cắt (P). ii) d // (P). iii) d ⊥ (P). iv) d  (P).

Câu 3. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm m, n để:

cắt a) tại điểm có tung độ bằng 3.

tại điểm có cao độ bằng –1. cắt b)

cắt c)

VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính. • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu. Câu 1. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt cầu (S). Tìm giao điểm (nếu có) của chúng:

Câu 2. Biện luận theo m, vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt cầu (S):

Câu 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d: a)

Câu 4. Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 3. Viết phương trình tiếp tuyến d của (S), biết: a) d đi qua A(0; 0; 5)  (S) và có VTCP b) d đi qua A(0; 0; 5)  (S) và vuông góc với mặt phẳng:

VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách

. 1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d • Cách 1: Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP

– d(M,d) = MH.

• Cách 2: – Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d. • Cách 3: – Gọi N(x; y; z)  d. Tính MN2 theo t (t tham số trong phương trình đường thẳng d). – Tìm t để MN2 nhỏ nhất. – Khi đó N  H. Do đó d(M,d) = MH. 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2. , d2 đi qua điểm M2 và có VTCP d1 đi qua điểm M1 và có VTCP

Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng cách giữa d1 với mặt phẳng () chứa d2 và song song với d1. 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.

4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng () song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng ().

Câu 1. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d:

a) b)

c) d)

e) f)

Câu 2. Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau. Tính khoảng cách giữa chúng: a)

Câu 3. Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 song song với nhau. Tính khoảng cách giữa chúng: a)

VẤN ĐỀ 6: Góc

1. Góc giữa hai đường thẳng . Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP

. Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa

2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP và mặt phẳng () có VTPT .

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d của nó trên ().

Câu 1. Tính góc giữa hai đường thẳng: a)

f) và d2 là các trục toạ độ.

Câu 2. Chứng minh hai đường thẳng sau vuông góc với nhau:

VẤN ĐỀ 7: Một số vấn đề khác

1. Viết phương trình mặt phẳng • Dạng 1: Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d: – Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C.

– Một VTPT của (P) là: .

• Dạng 2: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song d1, d2: – Xác định VTCP của d1 (hoặc d2). – Trên d1 lấy điểm A, trên d2 lấy điểm B. Suy ra A, B  (P).

– Một VTPT của (P) là: .

• Dạng 3: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau d1, d2:

– Lấy điểm A  d1 (hoặc A  d2)  A  (P). – Xác định VTCP của d1,

của d2. . – Một VTPT của (P) là:

• Dạng 4: Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau): – Xác định các VTCP của các đường thẳng d1, d2.

– Một VTPT của (P) là: – Lấy một điểm M thuộc d1  M  (P).

– Xác định các VTCP • Dạng 5: Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2: của các đường thẳng d1, d2.

– Một VTPT của (P) là: .

2. Xác định hình chiếu H của một điểm M lên đường thẳng d • Cách 1: – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d. – Khi đó: H = d  (P)

• Cách 2: Điểm H được xác định bởi:

– Xác định điểm M sao cho H là trung điểm của đoạn MM. 3. Điểm đối xứng M' của một điểm M qua đường thẳng d • Cách 1: – Tìm điểm H là hình chiếu của M trên d. • Cách 2: – Gọi H là trung điểm của đoạn MM. Tính toạ độ điểm H theo toạ độ của M, M.

– Khi đó toạ độ của điểm M được xác định bởi: .

4. Xc định hình chiếu H của một điểm M lên mặt phẳng (P) • Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với (P). – Khi đó: H = d  (P)

• Cách 2: Điểm H được xác định bởi:

– Xác định điểm M sao cho H là trung điểm của đoạn MM. 5. Điểm đối xứng M' của một điểm M qua mặt phẳng (P) • Cách 1: – Tìm điểm H là hình chiếu của M trên (P). • Cách 2: – Gọi H là trung điểm của đoạn MM. Tính toạ độ điểm H theo toạ độ của M, M.

– Khi đó toạ độ của điểm M được xác định bởi: .

Câu 1. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d:

a) b)

c) d)

e) f)

Câu 2. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng song song d1, d2:

Câu 3. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng cắt nhau d1, d2: a)

Câu 4. Cho hai đường thẳng chéo nhau d1, d2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với

d2: a)

Câu 5. Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d và điểm M đối xứng với M qua đường thẳng d:

a) b)

c) d)