intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tài liệu ôn toán - Bài tập giải tích lớp 12 - phần 6

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST
Báo xấu
155
lượt xem 30
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tài liệu ôn toán - bài tập giải tích lớp 12 - phần 6', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn toán - Bài tập giải tích lớp 12 - phần 6

  1. Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng VII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ · Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ. é ìa > 1 ê í f ( x ) > g( x ) a f ( x ) > a g( x ) Û ê î ê ì0 < a < 1 ê í f ( x ) < g( x ) ëî · Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đố i với phương trình mũ: – Đưa về cùng cơ số. – Đặt ẩn phụ. – …. Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: a M > a N Û (a - 1)( M - N ) > 0 Baøi 1. Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số): x 6 -2 x 3 +1 x - x -1 1- x æ1ö æ1ö æ1ö x2 - 2 x a) 3 ³ç ÷ 5x + 1 - 5x + 2 x -1 x -2 x d) 3 +3 -3 < 11 2 2 -3 x + 2 -3 x + 2 e) 9 x - 6x x 2 .2 x + 8 x + 12 h) 6.x 2 + 3 x .x + 31+ < 2.3 x .x 2 + 3x + 9 x k) 7.3 x +1 + 5 x +3 £ 3 x + 4 + 5 x + 2 i) 9 x + 9 x +1 + 9 x + 2 < 4 x + 4 x +1 + 4 x + 2 l) 2 x +2 + 5 x +1 < 2 x + 5 x +2 m) 2 x -1 .3 x + 2 > 36 x -3 x +1 x x +1 n) ( 10 + 3 ) x -1 < ( 10 - 3 ) x +3 o) ( 2 + 1) ³( 2 - 1) x -1 1 1 1 x -1 2 x -1 ³ 2 3 x +1 £2 2 p) q) 2 2 x -2 x Baøi 2. Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ): 1 1 -1 -2 x x x x -2x 4 -3 £ 0 a) 2.14 + 3.49 - 4 ³ 0 b) 2 ( x - 2) x+4 x 4 2( x - 1) x + 91+ x x + 83 4 -2 > 52 d) 8.3 >9 c) f) 52 x + 1 + 6 x + 1 > 30 + 5 x .30 x e) 25.2 x - 10 x + 5 x > 25 g) 6 x - 2.3 x - 3.2 x + 6 ³ 0 h) 27 x + 12 x > 2.8 x x 1 1 1 x +1 2 x +1 2 k) 3 -2 - 12 0 x x ( 3 + 2) +( 3 - 2) £ 2 o) 4 x + x - 1 - 5.2 x + x - 1 + 1 + 16 ³ 0 p) 2 1 3x x -1 +1 æ1ö æ1ö æ 1 öx æ 1 öx r) ç ÷ + 3 ç ÷ > 12 - 128 ³ 0 -ç ÷ s) ç ÷ è3ø è3ø è4ø è8ø 1 +1 2-1 u) ( 22 x + 1 - 9.2 x + 4 ) . x 2 + 2 x - 3 ³ 0 x x
  2. Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Baøi 3. Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): x 21- x - 2 x + 1 x 2 a) 2 13 £1 c) 3x - 2 x 3x + x - 4 32 - x + 3 - 2 x ³0 >0 e) f) x2 - x - 6 4x - 2 2 -3x 2 - 5 x + 2 + 2x > 3 x .2x -3x 2 - 5 x + 2 + ( 2x ) 3x g) Baøi 4. Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm: a) 4 x - m.2 x + m + 3 £ 0 b) 9 x - m.3 x + m + 3 £ 0 2 2 x -1 x d) ( 2 + 1) + ( 2 - 1) 2x + 7 + 2x - 2 £ m +m=0 c) Baøi 5. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với: b) (m - 1)4 x + 2 x +1 + m + 1 > 0 , "x. a) (3m + 1).12 x + (2 - m).6 x + 3 x < 0 , "x > 0. c) m.9 x - ( 2m + 1) 6 x + m.4 x £ 0 , "x Î [0; 1]. d) m.9 x + (m - 1).3 x +2 + m - 1 > 0 , "x. e) 4 cos x + 2 ( 2m + 1) 2 cos x + 4 m 2 - 3 < 0 , "x. f) 4 x - 3.2 x +1 - m ³ 0 , "x. 3 x + 3 + 5 - 3 x £ m , "x. g) 4 x - 2 x - m ³ 0 , "x Î (0; 1) h) i) 2.25 x - (2m + 1).10 x + (m + 2).4 x ³ 0 , "x ³ 0. k) 4 x -1 - m.(2 x + 1) > 0 , "x. Baøi 6. Tìm m để mọ i nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2): ì 2 1 +1 ì2 1 ïæ 1 ö x ïç ÷ + 3 æ 1 ö x ï2 x - 2 x +1 > 8 > 12 (1) (1) ç÷ a) íè 3 ø b) í è3ø ï4 x 2 - 2 mx - (m - 1)2 < 0 ï (2) ( m - 2 )2 x 2 - 3 ( m - 6 ) x - m - 1 < 0 (2) î ï î ì 2 1 +2 ïæ 1 ö x æ 1 öx ì2 2 x +1 x - 9.2 + 4 £ 0 (1) ï ï d) íç 3 ÷ + 9. ç 3 ÷ > 12 (1) c) í 2 èø èø ï(m + 1) x + m( x + 3) + 1 > 0 (2) î ï2 î2 x + ( m + 2 ) x + 2 - 3m < 0 (2) ï Trang 71
  3. Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng VIII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT · Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit. é ìa > 1 ê í f ( x ) > g( x ) > 0 log a f ( x ) > log a g( x ) Û ê î ê ì0 < a < 1 ê í0 < f ( x ) < g( x ) ëî · Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit: – Đưa về cùng cơ số. – Đặt ẩn phụ. – …. Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: log a A log a B > 0 Û (a - 1)( B - 1) > 0 ; > 0 Û ( A - 1)( B - 1) > 0 log a B Baøi 1. Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số): b) log 2 (1 - 2 log 9 x ) < 1 a) log 5 (1 - 2 x) < 1 + log ( x + 1) 5 c) log 1 5 - x < log 1 ( 3 - x ) d) log 2 log 1 log5 x > 0 3 3 3 1 + 2x f) ( x 2 - 4 ) log 1 x > 0 )>0 e) log 1 (log 2 1+ x 3 2 g) log 1 é log4 ( x 2 - 5 )ù > 0 log2 + x log6 x £ 12 x h) 6 6 ë û 3 k) 2( 2 ) + x log2 x 2 i) log 2 ( x + 3 ) ³ 1 + log2 ( x - 1) log x 2 l) log3 æ log 1 x ö ³ 0 m) 2 log8 ( x - 2) + log 1 ( x - 3) > 3 ç ÷ è 2ø 8 ( ) ( ) é ù é ù n) log 1 ë log5 x 2 + 1 + x û > log3 ê log 1 x2 + 1 - x ú ê5 ú ë û 3 Baøi 2. Giải các bất phương trình sau: lg ( x 2 - 1) 2 3 log 2 ( x + 1) - log3 ( x + 1) 0 a) b) lg (1 - x ) x2 - 3x - 4 lg ( x 2 - 3 x + 2 ) d) x log2 x + x 5log x 2 - log 2 x - 18 < 0 >2 c) lg x + lg 2 x 3x - 1 f) log3 x .log2 x < log3 x 2 + log2 >0 e) log x 4 x2 +1 g) log x (log 4 (2 x - 4)) £ 1 h) log3 x - x 2 (3 - x ) > 1 i) log x ( x 2 - 8 x + 16 ) ³ 0 k) log 2 x ( x 2 - 5 x + 6 ) < 1 5 Trang 72
  4. Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit x -1 ö æ m) log x -1 ( x + 1) > log x 2 -1 ( x + 1) l) log x +6 ç log 2 ÷>0 x+2ø è 3 n) (4 x 2 - 16 x + 7).log3 ( x - 3) > 0 o) (4 x - 12.2 x + 32).log2 (2 x - 1) £ 0 Baøi 3. Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ): b) log 5 (1 - 2 x ) < 1 + log ( x + 1) a) log 2 x + 2 log x 4 - 3 £ 0 5 c) 2 log5 x - log x 125 < 1 d) log 2 x 64 + log x 2 16 ³ 3 f) log 2 x + log 1 x 2 < 0 e) log x 2.log2 x 2. log 2 4 x > 1 1 2 4 2 log 4 x log 2 x 1 2 + > + £1 g) h) 1 - log 2 x 1 + log 2 x 1 - log 2 x 4 + log 2 x 2 - log 2 x 2 2 log3 x - 4 log3 x + 9 ³ 2 log3 x - 3 i) log 2 x - 6 log 2 x + 8 £ 0 k) 1 2 1 2 log 3 (3 x 2 + 4 x + 2) m) + 5 - log5 x 1 + log5 x 1 1 - 9 log2 x > 1 - 4 log 1 x o) log x 100 - log100 x > 0 n) 1 2 8 8 1 + log2 x 1 3 >1 q) log x 2. log x 2 > p) 1 + log3 x log2 x - 6 16 Baøi 4. Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): a) ( x + 1)log2 x + (2 x + 5) log0,5 x + 6 ³ 0 b) log 2 (2 x + 1) + log 3 (4 x + 2) £ 2 0,5 5+ x lg 3 2 5- x < 0 > c) d) log 2 ( x + 1) log 3 ( x + 1) x 2 - 3x + 1 Baøi 5. Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm: 1 log1/ 2 ( x 2 - 2 x + m ) > -3 b) log x 100 - log m 100 > 0 a) 2 2 1 2 1 + log m x 1 5 - logm x 1 + log m x 1 + log m x f) log x -m ( x 2 - 1) > log x -m ( x 2 + x - 2) log2 x + m > log2 x e) Baøi 6. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với: a) log 2 ( 7 x 2 + 7 ) ³ log2 ( mx 2 + 4 x + m ) , "x ( ) ( ) x 2 - 2 x + m + 4 log 2 x 2 - 2 x + m £ 5 , "x Î[0; 2] b) log 2 c) 1 + log5 ( x 2 + 1) ³ log 5 (mx 2 + 4 x + m ) , "x. mö2 mö mö æ æ æ d) ç 2 - log 1 ÷ x - 2 ç 1 + log 1 ÷ x - 2 ç 1 + log 1 ÷ > 0 , "x 1+ m ÷ 1+ m ÷ 1+ m ÷ ç ç ç è ø è ø è ø 2 2 2 Baøi 7. Giải bất phương trình, biết x = a là một nghiệm của bất phương trình: a) log m ( x 2 - x - 2 ) > log m ( - x 2 + 2 x + 3 ) ; a = 9/ 4. b). log m (2 x 2 + x + 3) £ log m (3 x 2 - x ); a =1 Trang 73
  5. Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng Baøi 8. Tìm m để mọ i nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2): ìlog 2 x + log x 2 < 0 (1) ìlog (5 x 2 - 8 x + 3) > 2 (1) ï1 ï 1 b) í x a) í2 4 2 4 ïx - 2x + 1- m > 0 (2) ï x 2 + mx + m 2 + 6 m < 0 î (2) î Baøi 9. Giải các hệ bất phương trình sau: ( )( ) ì x2 + 4 ì( x - 1) lg 2 + lg 2 x +1 + 1 < lg 7.2 x + 12 >0 ï ï a) b) í í x 2 - 16 x + 64 ïlog x ( x + 2 ) > 2 ïlg x + 7 > lg( x - 5) - 2 lg 2 î î ìlog2 - x ( 2 - y ) > 0 ìlog ( y + 5) < 0 ï ï d) í x -1 c) í ïlog4 - y ( 2 x - 2 ) > 0 ïlog y +2 (4 - x ) < 0 î î Trang 74
  6. Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit IX. ÔN TẬP HÀM SỐ LUỸ THỪA – MŨ – LOGARIT Baøi 1. Giải các phương trình sau: 22 x -1.4 x +1 b) 9 3 x -1 = 38 x -2 = 64 a) x -1 8 x 2 +2 x -11 x +1 9 0, 2 x + 0 ,5 (0, 04) x æ5ö æ9ö æ5ö .ç ÷ =ç ÷ = c) d) ç ÷ è3ø è 25 ø è3ø 25 5 ( ) 1 2 e) 7 x +2 - .7 x +1 - 14.7 x -1 + 2.7 x = 48 -7,2 x +3,9 f) 3 x - 9 3 lg(7 - x ) = 0 7 2 æ ö 1 x -1 g) ç 2(2 ÷ x x +3 2 x h) 5 x. 8 x -1 = 500 ) =4 è ø 1 1- lg x 2 1 k) x lg x = 1000 x 2 x3 = i) 3 100 lg x +5 ( x )log x -1 = 105+lg x 3 x3 =3 l) m) Baøi 2. Giải các phương trình sau: x 2 -5 x 2 -5 2 2 - 12.2 x -1- b) 4 x - +2 +2 a) 4 x - 9.2 x +8 = 0 +8 = 0 1 3 3+ c) 64.9 x - 84.12 x + 27.16 x = 0 64 x -2 x + 12 = 0 d) 2 2 f) 34 x +8 - 4.32 x +5 + 28 = 2 log2 2 -1 -3 e) 9 x - 36.3 x +3 = 0 h) ( 24 ) + ( 24 ) x x 2 x +1 x +2 2( x +1) x g) 3 =3 + 1 - 6.3 + 3 5+ 5- = 10 2 i) 91+ log3 x - 31+ log 3 x - 210 = 0 k) 4lg x +1 - 6 lg x - 2.3lg x +2 =0 2 2 l) 2sin x + 4.2 cos x = 6 m) 3lg(tan x ) - 2.3lg(cot x )+1 = 1 Baøi 3. Giải các bất phương trình sau: 6 -5 x 2 x -1 - 1 æ 2 ö 2+ 5 x 25 1000 x 3 x -2 4x + 2 x - 4 æ2ö £2 f) 8. > 1+ ç ÷ e) x -1 è3ø 3x - 2 x log2 ( x 2 -1) æ1ö x +2 x +3 x+4 x +1 x +2 g) 2 -2 -2 >5 -5 >1 h) ç ÷ è2ø x +2 12 x+ - æ 1 ö 2- x æ1ö 1 2x >9 > i) ç ÷ k) ç ÷ è3ø è3ø 27 2 x +1 x x -3 æ1ö æ1ö æ 1 ö 1- x æ1ö m) 372. ç ÷ .ç ÷ >1 >ç ÷ l) ç ÷ è5ø è5ø è3ø è3ø Trang 75
  7. Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng Baøi 4. Giải các bất phương trình sau: a) 4 x - 2.52 x - 10 x > 0 b) 25- x - 5- x +1 ³ 50 1 1 1 - - - 2 d) 3lg x + 2 < 3lg x +5 -2 x x x c) 9.4 + 5.6 < 4.9 2 x +3 æ1ö e) 4 x +1 - 16 x < 2 log 4 8 f) 22 x +1 - 21. ç ÷ +2³ 0 è2ø 2( x -2) 2 -3 x æ1ö 2( x -1) 4 -3 x x +8 3 g) 4 - 2 > 52 h) 3 - 35. ç ÷ +6³ 0 è3ø 9 x - 3 x +2 > 3 x - 9 9x + 3x - 2 ³ 9 - 3x i) k) Baøi 5. Giải các phương trình sau: b) log 5- x ( x 2 - 2 x + 65) = 2 a) log3 (3 x - 8) = 2 - x c) log 7 (2 x - 1) + log7 (2 x - 7) = 1 d) log3 (1 + log3 (2 x - 7)) = 1 e) 3log3 lg x f) 9log3 (1-2 x ) = 5 x 2 - 5 - lg x + lg2 x - 3 = 0 ( x )log x -1 g) x1+ lg x = 10 x 5 =5 h) 2 2 lg x +lg x -2 lg x +7 æ lg x ö = 10 lg x +1 x4 = lg x i) ç k) ÷ è2ø 1 x -3 x -3 æ ö l) log3 ç log9 x + + 9 x ÷ = 2 x m) 2 log3 + 1 = log3 2 x -7 x -1 è ø Baøi 6. Giải các phương trình sau: ( ) 2 a) 2 log x 5 - 3 log x 5 + 1 = 0 b) log1/3 x - 3 log1/3 x + 2 = 0 c) log 2 x + 2 log2 x - 2 = 0 d) 3 + 2 log x +1 3 = 2 log3 ( x + 1) 2 ( ) e) log x ( 9 x 2 ) . log3 x = 4 2 2 f) log3 log1/ 2 x - 3 log1/ 2 x + 5 = 2 9 h) log 2 (2 x 2 ).log2 (16 x ) = log2 x g) lg2 (100 x ) - lg2 (10 x ) + lg 2 x = 6 2 2 k) log 2 (4 x + 4) = log2 2 x + log2 (2 x +1 - 3) i) log3 (9 x + 9) = x + log3 (28 - 2.3 x ) l) log 2 (25 x +3 - 1) = 2 + log2 (5 x +3 + 1) m) lg(6.5 x + 25.20 x ) = x + lg 25 Baøi 7. Giải các bất phương trình sau: 2x - 6 a) log 0,5 ( x 2 - 5 x + 6) > -1 b) log 7 >0 2x -1 2 - 3x c) log3 x - log3 x - 3 < 0 d) log1/3 ³ -1 x 2 f) log1/3 é log4 ( x 2 - 5)ù > 0 e) log1/4 (2 - x ) > log1/ 4 ë û x +1 x2 - 4 log 2 ( x + 1) 0 g) h) x -1 log1/2 ( x 2 - 1) k) log 2 x +3 x 2 < 1 i) log x é log9 (3 x - 9)ù < 1 ë û x +5 log1/3 log 2 - x ( x 2 +8 x +15) x 2 +3 l) 2 1 Trang 76
  8. Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Baøi 8. Giải các hệ phương trình sau: ì ( x - y )2 -1 = 1 ì 4 x + y = 128 ìx y ï ï a) í4 c) í2 + 2 = 12 b) í 3 x -2 y -3 î x+y=5 5 x + y = 125 ï5 =1 ï î î ì 3 x .2 y = 972 ì3.2 x + 2.3 x = 2,75 ì7 x - 16 y = 0 ï ï ï d) í e) í x f) í ïlog ( x - y) = 2 2 x - 3 y = -0, 75 ï4 - 49 y = 0 ï î î î 3 ìx 5y-x ( ) ì x2 + y 2y-x2 = 1 ì32 x - 2 y = 77 ïy ï ï g) í4 - 3.4 y = 16 h) i) í íx ( ) y /2 2 9 x2 + y = 6 x -y ï3 - 2 = 7 î ï ï î x - 2 y = 12 - 8 î Baøi 9. Giải các hệ phương trình sau: xy = 8 ì ìlog x - log2 y = 0 ì lg y ï c) í x = 2 a) í 42 ( ) b) í2 log x + log y = 5 2 î xy = 20 î x - 5y + 4 = 0 ï y x î ì1 1 2 ì3log x 2 = y log 5 y ìlog x + 2 log2 y = 3 ï-= ï d) í 2 e) í x y 15 f) í log 3 x 2 + y 4 = 16 log x ïlog x + log y = 1 + log 5 ï2 y = x 7 î î î3 3 3 y9 ìx ï 2+ 2 =8 ì 3 x.2 y = 576 ì lg( x 2 + y 2 ) - 1 = lg13 ï h) í y x g) í i) í ïlog 2 ( y - x ) = 4 îlg( x + y) - lg( x - y) = 3 lg 2 ïlog x + log î y =3 î2 2 ì xy ì y ï2 log x - 3 = 15 + ï 4 y x = 32 k) í y 2 l) í m) y +1 ï3 .log2 x = 2 log2 x + 3 ï îlog3 ( x - y ) = 1 - log3 ( x + y ) î Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này. transitung_tv@yahoo.com Trang 77
  9. Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I. NGUYÊN HÀM 1. Khái niệm nguyên hàm · Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu: F '( x ) = f ( x ) , "x Î K · Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là: ò f ( x )dx = F ( x ) + C , C Î R. · Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất · ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx · ò f '( x )dx = f ( x ) + C · ò kf ( x )dx = k ò f ( x )dx (k ¹ 0) 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp ax · ò 0dx = C · ò a x dx = + C (0 < a ¹ 1) ln a · ò dx = x + C · ò cos xdx = sin x + C xa +1 · ò xa dx = + C, (a ¹ -1) · ò sin xdx = - cos x + C a +1 1 1 ò x dx = ln x + C dx = tan x + C ò · · cos2 x · ò e x dx = e x + C 1 dx = - cot x + C ·ò sin 2 x 1 1 · ò e ax + b dx = e ax + b + C , (a ¹ 0) · ò cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ¹ 0) a a 1 1 1 · ò sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C (a ¹ 0) dx = ln ax + b + C ·ò a ax + b a 4. Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu ò f (u)du = F (u) + C và u = u( x ) có đạo hàm liên tục thì: ò f [u( x )] .u '( x )dx = F [u( x )] + C b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: ò udv = uv - ò vdu Trang 78
  10. Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm. – Nắm vững phép tính vi phân. Baøi 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2x4 + 3 1 x -1 a) f ( x ) = x 2 – 3 x + b) f ( x ) = c) f ( x ) = x2 x x2 ( x 2 - 1)2 1 2 e) f ( x ) = x + 3 x + 4 x d) f ( x ) = f) f ( x ) = - x2 3 x x x g) f ( x ) = 2sin 2 h) f ( x ) = tan 2 x i) f ( x ) = cos2 x 2 1 cos 2 x k) f ( x ) = l) f ( x ) = m) f ( x ) = 2sin 3 x cos 2 x 2 2 sin x.cos2 x 2 sin x.cos x æ e- x ö n) f ( x ) = e x ( e x – 1) p) f ( x ) = e3 x +1 o) f ( x ) = e x ç 2 + ÷ ç 2÷ cos x ø è Baøi 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) f ( x ) = x 3 - 4 x + 5; F (1) = 3 b) f ( x ) = 3 - 5 cos x; F (p ) = 2 2 2 3 - 5x x +1 3 c) f ( x ) = ; F (e ) = 1 d) f ( x ) = ; F(1) = 2 x x x3 - 1 1 e) f (x )= ; F(-2) = 0 f) f ( x ) = x x + ; F (1) = -2 x2 x 3x 4 - 2 x3 + 5 æp ö g) f ( x ) = sin 2 x.cos x; F 'ç ÷ = 0 h) f ( x ) = ; F (1) = 2 è3ø x2 x3 + 3 x2 + 3x - 7 x æp ö p k) f ( x ) = sin 2 ; F ç ÷ = i) f ( x ) = ; F(0) = 8 2 è2ø 4 ( x + 1)2 Baøi 3. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: æp ö a) g( x ) = x cos x + x 2 ; f ( x ) = x sin x; Fç ÷ =3 è2ø b) g( x ) = x sin x + x 2 ; f ( x ) = x cos x; F (p ) = 0 c) g( x ) = x ln x + x 2 ; f ( x ) = ln x; F(2) = -2 Baøi 4. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x): ìF ( x ) = (4 x - 5)e x ìF ( x ) = tan 4 x + 3 x - 5 ï ï a) í b) í 5 3 x ï f ( x ) = (4 x - 1)e ï f ( x ) = 4 tan x + 4 tan x + 3 î î ì ì x2 - x 2 + 1 æ x2 + 4 ö ïF ( x ) = ln 2 ïF ( x ) = ln ç ÷ ç2 ÷ ï ï x + x 2 +1 è x +3 ø c) í d) í 2 -2 x ï f ( x ) = 2 2( x - 1) ï f ( x) = ï ï ( x 2 + 4)( x 2 + 3) x4 +1 î î Trang 79
  11. Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng Baøi 5. Tìm điều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x): ìF ( x ) = ln x 2 - mx + 5 ìF ( x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 - 4 x + 3 ï ï . Tìm m. . Tìm m. 2x + 3 a) í b) í 2 ï f ( x) = 2 ï f ( x ) = 3 x + 10 x - 4 î x + 3x + 5 î ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 - 4 x ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c)e x ï ï . Tìm a, b, c. d) í . Tìm a, b, c. c) í x ï f ( x ) = ( x - 3)e 2 ï f ( x ) = ( x - 2) x - 4 x î î ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c)e-2 x ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c)e- x ï ï . Tìm a, b, c. . Tìm a, b, c. e) í f) í 2 -2 x 2 -x ï f ( x ) = -(2 x - 8 x + 7)e ï f ( x ) = ( x - 3 x + 2)e î î ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c) 2 x - 3 b c ì ïF ( x ) = (a + 1)sin x + sin 2 x + sin 3 x ï 2 h) í f ( x ) = 20 x - 30 x + 7 g) í 2 3 ï f ( x ) = cos x ï î 2x - 3 î Tìm a, b, c. Tìm a, b, c. ò f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến số VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm f(x) = g [u( x )] .u '( x ) thì ta đặt t = u( x ) Þ dt = u '( x )dx . · Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: ò f ( x )dx = ò g(t )dt , trong đó ò g(t )dt dễ dàng tìm được. Khi đó: Chú ý: Sau khi tính ò g(t )dt theo t, ta phải thay lại t = u(x). · Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến p p x = a sin t , £t£ - a2 - x 2 2 2 x = a cos t , 0£t £p hoặc a2 + x 2 p p x = a tan t ,
  12. Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân ln3 x e tan x dx r) ò ò x dx dx ò q) s) x cos2 x e +1 Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2): dx dx 1 - x 2 .dx a) ò b) ò ò c) (1 + x 2 )3 (1 - x 2 )3 dx dx e) ò x 2 1 - x 2 .dx ò ò d) f) 1 + x2 4 - x2 x 2 dx dx 3 x 2 + 1.dx ò òx ò g) h) i) 2 x + x +1 1 - x2 VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: ò P( x ).cos xdx ò P( x ).sin xdx ò P( x ). ln xdx x ò P( x ).e dx u P(x) P(x) P(x) lnx cos xdx sin xdx dv P(x)dx x e dx Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau: c) ò ( x 2 + 5)sin xdx a) ò x . sin xdx ò x cos xdx b) d) ò ( x 2 + 2 x + 3) cos xdx e) ò x sin 2 xdx ò x cos 2 xdx f) 2 3x g) ò x.e x dx i) ò ln xdx ò x e dx h) l) ò ln 2 xdx m) ò ln( x 2 + 1)dx k) ò x ln xdx 2 o) ò x 2 cos2 xdx p) ò x 2 cos 2 xdx ò x tan xdx n) 2 r) ò x.2 x dx ò x lg xdx ò x ln(1 + x )dx q) s) Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau: ln xdx x c) ò sin x dx a) ò e dx ò b) x f) ò sin 3 xdx d) ò cos x dx e) ò x . sin x dx ln(ln x ) h) ò sin(ln x )dx i) ò cos(ln x )dx ò dx g) x Baøi 3. Tính các nguyên hàm sau: b) ò e x (1 + tan x + tan2 x )dx a) ò e x . cos xdx c) ò e x . sin 2 xdx ln(cos x ) ln(1 + x ) x ò ò ò dx dx dx d) e) f) 2 2 cos2 x cos x x ( )dx 2 x ln x + x 2 + 1 x3 æ ln x ö ò i) ò ç dx ÷ dx ò g) h) èxø 2 2 x +1 1+ x Trang 81
  13. Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là: ìF ( x ) + G( x ) = A( x ) + C1 (*) í F ( x ) - G ( x ) = B( x ) + C î 2 1 [ A( x ) + B( x )] + C là nguyên hàm của f(x). Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x ) = 2 Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau: sin x cos x sin x ò sin x - cos x dx ò sin x - cos x dx ò sin x + cos x dx a) b) c) sin 4 x cos4 x cos x d) ò dx dx dx ò ò e) f) sin x + cos x sin 4 x + cos 4 x sin 4 x + cos 4 x ex g) ò 2 sin 2 x.sin 2 xdx h) ò 2 cos2 x.sin 2 xdx dx i) ò e x - e- x e- x ex e- x dx dx dx ò ò m) ò k) l) e x - e- x e x + e- x e x + e- x VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp P( x ) 1. f(x) là hàm hữu tỉ: f ( x ) = Q( x ) – Nếu bậc của P(x) ³ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định). 1 A B = + Chẳng hạn: ( x - a)( x - b) x - a x - b 1 A Bx + C , vôùi D = b2 - 4 ac < 0 = + x - m ax + bx + c 2 2 ( x - m )(ax + bx + c ) 1 A B C D = + + + x - a ( x - a) x - b ( x - b )2 2 2 2 ( x - a) ( x - b) 2. f(x) là hàm vô tỉ æ ax + b ö ax + b + f(x) = R ç x , m t=m ® đặt ÷ cx + d ø cx + d è 1 æ ö + f(x) = R ç t = x+a + x+b ® đặt ç ( x + a)( x + b) ÷ ÷ è ø · f(x) là hàm lượng giác Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn: Trang 82
  14. Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân sin [( x + a) - ( x + b)] 1 1 sin(a - b) ö æ . ç söû duïng 1 = = + , ÷ sin( x + a).sin( x + b) sin(a - b) sin( x + a).sin( x + b) sin(a - b) ø è sin [( x + a) - ( x + b)] æ 1 1 sin(a - b) ö . , ç söû duïng 1 = = + ÷ cos( x + a).cos( x + b) sin(a - b) cos( x + a).cos( x + b) è sin(a - b) ø cos [( x + a) - ( x + b)] æ 1 1 cos(a - b) ö . , ç söû duïng 1 = = + ÷ sin( x + a).cos( x + b) cos(a - b) sin( x + a).cos( x + b) è cos(a - b) ø + Nếu R(- sin x , cos x ) = - R(sin x , cos x ) thì đặt t = cosx + Nếu R(sin x , - cos x ) = - R(sin x , cos x ) thì đặt t = sinx + Nếu R(- sin x , - cos x ) = - R(sin x , cos x ) thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau: x2 + 1 dx dx a) ò b) ò dx c) ò x( x + 1) ( x + 1)(2 x - 3) x2 - 1 dx dx dx d) ò e) ò f) ò x 2 - 7 x + 10 x2 - 6x + 9 x2 - 4 x3 x x g) ò h) ò dx dx dx i) ò 2 ( x + 1)(2 x + 1) x2 - 3x + 2 2 x - 3x - 2 dx x dx l) ò m) ò dx k) ò 1 + x3 x3 - 1 x ( x 2 + 1) Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau: 1 x +1 1 a) ò ò ò dx dx dx b) c) 1+ 3 x +1 1+ x +1 x x -2 x 1 x ò x( x + 1)dx ò ò dx dx d) e) f) 4 3 x+ x x- x 1 - x dx 1 - x dx dx ò ò ò 3 1+ x g) h) i) 1+ x x x x + 3 x + 24 x dx dx dx ò3 ò ò k) l) m) (2 x + 1)2 - 2 x + 1 x2 - 5x + 6 x2 + 6x + 8 Baøi 3. Tính các nguyên hàm sau: c) ò (tan 2 x + tan 4 x )dx a) ò sin 2 x sin 5 xdx b) ò cos x sin 3 xdx cos 2 x dx dx ò 1 + sin x cos x dx ò 2 sin x + 1 ò cos x d) e) f) sin3 x 1 - sin x dx ò cos x dx ò ò cos x dx g) h) i) æ pö cos x cos ç x + ÷ 4ø è l) ò cos3 xdx m) ò sin 4 xdx k) ò cos x cos 2 x cos3 xdx Trang 83
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
4=>1