LTÑH moân TOAÙN (Toå hôïp) Traàn Gia Huy
1
ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP
Hoaùn vò – Chænh hôïp – Toå hôïp
1) Quy taéc coäng :
Neáu coù m caùch choïn ñoái töôïng x, n caùch choïn ñoái töôïng y, vaø neáu caùch choïn ñoái töôïng x khoâng truøng
vôùi baát kyø caùch choïn ñoái töôïng y naøo, thì coù m + n caùch choïn moät trong caùc ñoái töôïng ñaõ cho.
VD: Coù 8 quyeån saùch khaùc nhau vaø 6 quyeån vôû khaùc nhau. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn moät trong caùc
quyeån ñoù?
Vì coù 8 caùch choïn 1 quyeån saùch vaø 6 caùch choïn 1 quyeån vôû, khi choïn saùch thì khoâng choïn vôû, hieån
nhieân coù 8+6=14 caùch choïn
2) Quy taéc nhaân :
Neáu coù m caùch choïn ñoái töôïng x, vaø sau ñoù, vôùi moãi caùch choïn x nhö theá, coù n caùch choïn ñoái töôïng y,
thì coù m x n caùch choïn ñoái töôïng (x ; y).
VD: Coù 18 ñoäi boùng ñaù tham gia thi ñaáu. Hoûi coù bao nhieâu caùch trao 3 loaïi huy chöông vaøng, baïc,
ñoàng cho ba ñoäi nhaát, nhì, ba, bieát raèng moãi ñoäi chæ coù theå nhaän nhieàu nhaát laø 1 huy chöông vaø ñoäi naøo
cuõng coù theå ñoaït huy chöông?
· Tröôùc tieân, coù 18 caùch trao huy chöông vaøng.
· Sau ñoù, coù 17 caùch trao huy chöông baïc
· Sau ñoù, coøn 16 ñoäi coù theå nhaän huy chöông ñoàng, vaäy coù 16 caùch trao
ð Theo quy taéc nhaân, coù 18 x 17 x 16 = 4896 caùch trao
Hoaùn vò Chænh hôïp Toå hôïp
Pn = n!
(n ³ 1) £ £
k
n
n!
A = (n - k)!
(1 k n) £ £
k
n
n!
C = k!(n - k)!
(0 k n)
k k
n n
A = k!C
n! = 1.2.3…n
n! = (n – 1)!n
0! = 1
1
n
n
n
A = 1
A = n!
n
n n
P = A
0 n
n n
n-k k
n n
k-1 k k
n-1 n-1 n
C = C = 1
C = C
C + C = C
Soá caùch xeáp n phaàn töû vaøo n vò
trí coù thöù töï
Soá caùch choïn k phaàn töû trong n
phaàn töû coù thöù töï
Soá caùch choïn ra taäp hôïp con k
phaàn töû trong taäp hôïp n phaàn töû
khoâng thöù töï
C
CA
AÙÙC
C D
DA
AÏÏN
NG
G T
TO
OA
AÙÙN
N :
:
Daïng 1: Söû duïng caùc coâng thöùc hoaùn vò, chænh hôïp, toå hôïp giaûi pt, bpt, hpt
LTÑH moân TOAÙN (Toå hôïp) Traàn Gia Huy
2
ì
í ³
î
Û Û Û
Û Û Û
2 2
4 6 5
x x x
x nguyeân döông
ÑK : x 6
x! x! 2x! 1 1 2 1 1 2
pt + = + = + =
4!(x - 4)! 6!(x -6)! 5!(x -5)! (x -5)(x - 4) 5.6 5(x -5) (x -5)(x -4) 30 5(x -5)
x =14 (nhaän)
30 + (x -9x + 20) =12(x -4) x -21x + 98 = 0 x = 7 (nha
1) Giaûi phöông trình :C +C = 2C
é
ê
ë än)
4
³
Û £ Û £
Û £ Û £ Û £
é
£ £ Þ ê =
ë
£
2 2 2
2 2 3
x x
2x
ÑK : x nguyeân vaø x 3
1 (2x)! x! 6 x! (2x -1)2x
bpt - +10 -x(x -1) (x -2)(x -1) +10
2 (2x -2)! (x -2)! x 3!(x -3)! 2
2x -x - x + x x -3x + 2 +10 3x 12 x 4
x = 3
So ñk : 3 x 4 x
2) Giaûi baát phöông trình :
1 6
A -A C +10
2 x
ì
ï
í
ï
î
³ ³
ì
ì ì ï
Û Û Û
í í í
î î ï
î
x x
y y
x
y
x
y
ÑK : y nguyeân döông,x nguyeân, x 0,y x
Ñaët u = A , v = C , hpt thaønh :
y! = 20 (
A = 20
2u + 5v = 90 u = 20 (y - x)!
5u -2v = 80 v = 10 C = 10
x x
2A + 5C = 90
y y
3) Giaûi he äphöông trình : x x
5A -2C = 80
y y
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
Û Û
é ì
Û Û Û í
ê
ë î
3)
y! = 10 (4)
x!(y - x)!
20
Theá (3) vaøo (4) : = 10 x! = 2 x = 2
x!
y = 5 (nhaän) x = 2
y!
(3) = 20 y(y -1) = 20 ÑS :
(y - 2)! y = -4 (loaïi) y = 5
Daïng 2 : Duøng hoaùn vò, chænh hôïp, toå hôïp ñeå ñeám soá phöông aùn
1) Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 7 chöõ soá khaùc nhau xeáp theo thöù töï taêng daàn?
Soá goàm 7 chöõ soá khaùc nhau xeáp theo thöù töï taêng daàn ñöôïc bieåu dieãn qua 7 oâ
¨¨¨¨¨¨¨
Ñeå taïo ra soá treân ta phaûi :
· Laáy ra 7 soá töø 9 soá (soá 1 ñeán 9), soá caùch laáy laø 7
9
C
· Xeáp 7 soá vöøa laáy vaøo 7 oâ theo thöù töï taêng daàn, chæ coù 1 caùch xeáp
ð Soá con soá taïo ñöôïc laø 7
9
C = 36 soá
LTÑH moân TOAÙN (Toå hôïp) Traàn Gia Huy
3
2) Moät ngöôøi coù 6 bi xanh, 5 bi ñoû, 4 bi ñen. Hoûi coù bao nhieâu caùch laáy ra 6 bi maø coù ít nhaát 2 bi xanh
Ta laøm 2 coâng vieäc :
· Coâng vieäc 1 : Laáy tuøy yù 6 bi töø 15 bi, soá caùch laáy laø 6
15
C = 5005 caùch
· Coâng vieäc 2 : Laáy vi phaïm
Ø Khoâng laáy bi xanh, soá caùch laáy 6
9
C
Ø Laáy 1 bi xanh, soá caùch laáy 1 5
6 9
C C
ð Soá caùch laáy vi phaïm laø 6
9
C + 1 5
6 9
C C = 840 caùch
Soá caùch laáy thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø 5005 – 840 = 4165 caùch
3) Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 8 chöõ soá khaùc nhau vaø coù toång 8 soá ñoù laø soá chaün?
Soá ñoù phaûi goàm 4 soá chaün, 4 soá leû, ñöôïc bieåu dieãn qua 8 oâ : ¨¨¨¨¨¨¨¨
· TH1 : Trong 8 soá ñoù coù maët soá 0
Ø Ñöa soá 0 vaøo oâ, coù 7 caùch ñöa
Ø Laáy theâm 3 soá chaün töø 4 soá chaün, soá caùch laáy laø 3
4
C
Ø Laáy theâm 4 soá leû töø 5 soá leû, soá caùch laáy laø 4
5
C
Ø Xeáp 7 soá vöøa laáy vaøo 7 oâ, soá caùch xeáp laø 7!
ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH1 laø 7. 3
4
C . 4
5
C .7! = 705600 soá
· TH2 : Trong 8 soá ñoù khoâng coù maët soá 0
Ø Laáy 4 soá chaün töø 4 soá chaün, coù 1 caùch laáy
Ø Laáy 4 soá leû töø 5 soá leû, soá caùch laáy laø 4
5
C
Ø Xeáp 8 soá vöøa laáy vaøo 8 oâ, soá caùch laáy laø 8!
ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH2 laø 4
5
C .8! = 201600 soá
Soá con soá thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø 705600 + 201600 = 907200 soá
4) Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 8 chöõ soá trong ñoù chöõ soá 9 coù maët 3 laàn vaø caùc soá coøn laïi khaùc nhau
Soá ñoù ñöôïc bieåu dieãn qua 8 oâ : ¨¨¨¨¨¨¨¨
· TH1 : Trong 8 soá ñoù coù maët soá 0
Ø Ñöa soá 0 vaøo oâ, coù 7 caùch ñöa
Ø Laáy 3 oâ töø 7 oâ, soá caùch laáy 3
7
C
Ø Ñöa soá 9 vaøo 3 oâ ñoù, chæ coù 1 caùch ñöa
Ø Laáy theâm 4 soá töø 8 soá, soá caùch laáy 4
8
C
Ø Xeáp 4 soá vöøa laáy vaøo 4 oâ, soá caùch xeáp laø 4!
ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH1 laø : 7. 3
7
C . 4
8
C .4! = 411600 soá
· TH2 : Trong 8 soá ñoù khoâng coù maët soá 0
Ø Laáy 3 oâ töø 8 oâ, soá caùch laáy 3
8
C
Ø Ñöa soá 9 vaøo 3 oâ ñoù, chæ coù 1 caùch ñöa
Ø Laáy theâm 5 soá töø 8 soá, soá caùch laáy 5
8
C
Ø Xeáp 5 soá vöøa laáy vaøo 5 oâ, soá caùch xeáp 5!
ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH2 laø : 3
8
C . 5
8
C .5! = 376320 soá
Soá con soá thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø 411600 + 376320 = 787920 soá
5) Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá khaùc nhau trong ñoù coù 3 soá chaün vaø 3 soá leû?
Ñöôïc bieåu dieãn qua 6 oâ : ¨¨¨¨¨¨
· TH1 : Trong 3 soá chaün coù maët soá 0
LTÑH moân TOAÙN (Toå hôïp) Traàn Gia Huy
4
Ø Ñöa soá 0 vaøo oâ: coù 5 caùch ñöa
Ø Laáy theâm 2 soá chaün töø 4 soá chaün, soá caùch laáy 2
4
C
Ø Laáy theâm 3 soá leû töø 5 soá leû, soá caùch laáy 3
5
C
Ø Xeáp 5 soá vöøa laáy vaøo 5 oâ, soá caùch xeáp 5!
ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH1 laø 5. 2
4
C . 3
5
C .5! = 36000 soá
· TH2 : Trong 3 soá chaün ñoù khoâng coù maët soá 0
Ø Laáy 3 soá chaün töø 4 soá chaün, soá caùch laáy 3
4
C
Ø Laáy theâm 3 soá leû töø 5 soá leû, soá caùch laáy 3
5
C
Ø Xeáp 6 soá vöøa laáy vaøo 6 oâ, soá caùch xeáp 6!
ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH2 laø 3
4
C . 3
5
C .6! = 28800 soá
Soá con soá thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø 36000 + 28800 = 64800 soá
6) Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 7 chöõ soá khaùc nhau trong ñoù nhaát thieát phaûi coù soá 1, 2, 3 vaø chuùng
ñöùng caïnh nhau?
Vì soá 1, 2, 3 ñöùng caïnh nhau neân ta coi ñoù laø 1 phaàn töû _ goïi laø a
Ñöôïc bieåu dieãn qua 5 oâ : ¨¨¨¨¨
· TH1 : Trong 5 oâ, coù maët soá 0
Ø Ñöa soá 0 vaøo oâ, coù 4 caùch ñöa
Ø Ñöa soá a vaøo oâ, coù 4 caùch ñöa
Ø Xeáp thöù töï cho 3 soá 1, 2, 3 coù 3! caùch xeáp
Ø Laáy theâm 3 soá töø 6 soá, soá caùch laáy 3
6
C
Ø Xeáp 3 soá vöøa laáy vaøo 3 oâ, soá caùch xeáp 3!
ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH1 laø 4.4.3!. 3
6
C .3! = 11520 soá
· TH2 : Trong 5 oâ, khoâng coù maët soá 0
Ø Ñöa soá a vaøo oâ, coù 5 caùch ñöa
Ø Xeáp thöù töï cho 3 soá 1, 2, 3 coù 3! caùch xeáp
Ø Laáy theâm 4 soá töø 6 soá, soá caùch laáy 4
6
C
Ø Xeáp 4 soá vöøa laáy vaøo 4 oâ, soá caùch xeáp 4!
ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH2 laø 5.3!. 4
6
C .4! = 10800 soá
Soá con soá thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø 11520 + 10800 = 22320 soá
7) Moät thaày giaùo coù 12 cuoán saùch ñoâi moät khaùc nhau trong ñoù coù 5 cuoán saùch Toaùn, 4 cuoán saùch Vaät
lyù, 3 cuoán saùch Hoùa. OÂng muoán laáy ra 6 cuoán vaø ñem taëng cho 6 hoïc sinh A, B, C, D, E, F moãi em
moät cuoán vaø sau khi taëng saùch xong, ba theå loaïi Toaùn, Lyù, Hoùa ñeàu coøn laïi ít nhaát moät cuoán. Hoûi coù
taát caû bao nhieâu caùch taëng?
· Coâng vieäc 1 : Laáy tuøy yù 6 quyeån töø 12 quyeån. Soá caùch laáy 6
12
C = 924
· Coâng vieäc 2 : Tìm soá caùch laáy vi phaïm
Ø Laáy heát 5 quyeån Toaùn, 1 quyeån Lyù, Hoùa. Soá caùch laáy 5 1
5 7
C C
Ø Laáy heát 4 quyeån Lyù, 2 quyeån Toaùn, Hoùa. Soá caùch laáy 4 2
4 8
C C
Ø Laáy heát 3 quyeån Hoùa, 3 quyeån Toaùn, Lyù. Soá caùch laáy 3 3
3 9
C C
ð Soá caùch laáy vi phaïm : 5 1
5 7
C C + 4 2
4 8
C C + 3 3
3 9
C C = 119
Soá caùch laáy thoûa ycbt laø 924 – 119 = 805 caùch
Sau ñoù phaùt 6 quyeån cho 6 hoïc sinh, coù 6! caùch phaùt
LTÑH moân TOAÙN (Toå hôïp) Traàn Gia Huy
5
Toùm laïi : Coù 805.6! = 579600 caùch laøm thoûa ycbt
8) Moät ngöôøi coù 7 bi xanh, 5 bi ñoû, 4 bi ñen. Yeâu caàu caàn laáy ra 7 bi ñuû 3 maøu. Hoûi soá caùch laáy
· Coâng vieäc 1 : Laáy tuøy yù 7 bi töø 16 bi, soá caùch laáy 7
16
C = 11440
· Coâng vieäc 2 : Tìm soá caùch laáy vi phaïm
Ø Khoâng laáy bi xanh, laáy 7 bi töø 9 bi ñoû, ñen, soá caùch laáy 7
9
C
Ø Khoâng laáy bi ñoû, laáy 7 bi töø 11 bi xanh, ñen, soá caùch laáy 7
11
C
Ø Khoâng laáy bi ñen, laáy 7 bi töø 12 bi xanh, ñoû, soá caùch laáy 7
12
C
Trong quaù trình ñeám, khi laáy 7 bi xanh ñöôïc ñeám caû ôû TH2 vaø TH3 ôû coâng vieäc 2 neân soá caùch laáy vi
phaïm laø 7
9
C + 7
11
C + 7
12
C - 1 = 1157 caùch
Toùm laïi: Soá caùch laáy thoûa ycbt laø 11440 – 1157 = 10283 caùch
9) Cho moät ña giaùc ñeàu coù 2n ñænh noäi tieáp trong ñöôøng troøn. Tìm n bieát soá hình chöõ nhaät veõ ñöôïc laø
36.
· Vì ña giaùc ñeàu coù 2n ñænh noäi tieáp trong ñöôøng troøn neân coù n ñöôøng kính
· Muoán coù 1 hình chöõ nhaät ta laáy 2 ñöôøng kính töø n ñöôøng kính, soá hình chöõ nhaät taïo ñöôïc laø 2
n
C
Ta coù é
Û Û Û ê
ë
2
n
n = 9 (nhaän)
n!
C = 36 = 36 n(n -1) = 72
2!(n - 2)! n = -8 (loaïi)
10) Cho moät ña giaùc ñeàu coù 20 caïnh. Hoûi
a) Coù bao nhieâu tam giaùc veõ ñöôïc töø caùc ñænh
Muoán coù 1 tam giaùc ta phaûi laáy 3 ñænh töø 20 ñænh. Vaäy soá tam giaùc coù ñöôïc laø 3
20
C = 1140
b) Coù bao nhieâu tam giaùc maø coù 2 caïnh laø caïnh cuûa ña giaùc
Laáy 1 caïnh cuûa ña giaùc veõ ñöôïc 2 Dthoûa yeâu caàu
Laáy 20 caïnh cuûa ña giaùc veõ ñöôïc 40 Dthoûa yeâu caàu
Tuy nhieân trong quaù trình ñeám, 1 tam giaùc bò ñeám ñeán 2 laàn neân soá tam giaùc thöïc söï coøn 20
c) Coù bao nhieâu tam giaùc maø chæ coù 1 caïnh laø caïnh ña giaùc
Laáy 1 caïnh cuûa ña giaùc veõ ñöôïc 16 Dthoûa yeâu caàu
Laáy 20 caïnh cuûa ña giaùc veõ ñöôïc 320 Dthoûa yeâu caàu
d) Coù bao nhieâu tam giaùc maø khoâng coù caïnh naøo laø caïnh ña giaùc
Soá D coù ñöôïc = 1140 – ( 20 + 320) = 800 tam giaùc
11) Coù bao nhieâu soá goàm 5 chöõ soá khaùc nhau vaø £ 46800
Soá ñoù ñöôïc bieåu dieãn qua 5 oâ : ¨¨¨¨¨
· TH1 : OÂ thöù 1 laáy soá 1, 2, 3
Ø OÂ thöù 1 coù 3 caùch choïn
Ø Laáy 4 soá töø 9 soá, soá caùch laáy 4
9
C
Ø Xeáp 4 soá vöøa laáy vaøo 4 oâ, coù 4! caùch xeáp
ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH1 laø 3. 4
9
C .4! = 9072 soá
· TH2 : OÂ thöù 1 laáy soá 4, oâ thöù 2 laáy soá < 6
Ø OÂ thöù 2 coù 5 caùch choïn soá
Ø Laáy theâm 3 soá töø 8 soá, soá caùch laáy 3
8
C
Ø Xeáp 3 soá vöøa laáy vaøo 3 oâ, soá caùch xeáp 3!
ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH2 laø 5. 3
8
C .3! = 1680 soá
· TH3 : OÂ thöù 1 laáy soá 4, oâ thöù 2 laáy soá 6, oâ thöù 3 laáy soá < 8