91
Baøi 4:
HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP
I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ
1. Daïng: f(x,y) a
g(x,y) b
=
⎧
⎨=
⎩ vôùi
2
2
f(tx,ty) t f(x,y)
g(tx,ty) t g(x,y)
⎧=
⎪
⎨=
⎪
⎩
2. Caùch giaûi:
* Tìm nghieäm thoûa x = 0 (hay y = 0)
* vôùi x0≠ ( hay y0≠), ñaët ytx= (hay xty=)
* Ñoái vôùi heä
22
22
1111
ax bxy cy d 0
ax bxy cy d 0
⎧+++=
⎪
⎨+++=
⎪
⎩
Ta coù theå khöû y2 (hay x2) roài tính y theo x ( hay x theo y) roài thay vaøo
moät trong 2 phöông trình cuûa heä.
II. CAÙC VÍ DUÏ:
Ví duï 1:
Cho heä phöông trình:
22
22
3x 2xy y 11
x 2xy 3y 17 m
⎧++=
⎪
⎨++=+
⎪
⎩
1. Giaûi heä phöông trình vôùi m = 0
2. Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa m thì heä coù nghieäm ?
(ÑH Kinh Teá TPHCM naêm 1998, Khoái A)
Giaûi
1. m = 0 : Heä
22
22
3x 2xy y 11
(I) x 2xy 3y 17
⎧++=
⎪
⇔⎨++=
⎪
⎩
Nhaän xeùt x = 0 khoâng laø nghieäm cuûa heä .
Ñaët y = tx
Heä
2222
2222
3x 2tx t x 11
(I) x2tx3tx17
⎧++=
⎪
⇔⎨++ =
⎪
⎩
22
22
x(3 2t t) 11 (1)
x(1 2t 3t) 17 (2)
⎧++ =
⎪
⇔⎨++ =
⎪
⎩
92
(1) chia (2):
2
2
32tt 11
17
12tt
++=
++
25
16t 12t 40 0 t 2 t 4
⇔
−−=⇔=∨=−
. 22
t 2 : (2) x .11 11 x 1 x 1
=
⇔=⇔=⇔=±y2x 2⇒= =±
. 2
543
t:(2)3x16x
43
=− ⇔ = ⇔ =± 553
yx
43
⇒=− =∓
Toùm laïi coù 4 nghieäm: (1, 2), (-1, -2), 43 53 4353
,,,
33 33
⎛⎞⎛⎞
−−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
2. Ñaët 17 + m = k. Heä
22
22
3x 2xy y 11
x2xy3yk
⎧
+
+=
⎪
⇔⎨
+
+=
⎪
⎩
Ñaët y = tx ⇒Heä:
22
22
x(3 2t t) 11 (4)
x(1 2t 2t) k (5)
⎧++ =
⎪
⎨++ =
⎪
⎩
22
2
(4) 3 2t t 11
: (k 33)t 2(k 11)t 3k 11
(5) k
12t3t
++ =⇔− + − +−=
++
* k = 33: m16,⇒= phöông trình (6) coù nghieäm t = - 2
* k33:(6)
≠
coù nghieäm:
2
' (k 11) (k 33)(3k 11) 0
⇔
∆= − − − − ≥ 2
k44k1210
=
−+≤
22 11 3 k 22 11 3⇔− ≤≤+
vôùi k = m + 17.
22 11 3 m 17 22 11 3
5113 m 5113
⇔− ≤+≤+
⇔− ≤ ≤+
Ví duï 2:
Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä phöông trình sau coù nghieäm.
2
2
xy y 12
xxym26
⎧−=
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
Giaûi
Heä y(x y) 12 (1)
x(x y) m 26 (2)
−=
⎧
⇔⎨−=+
⎩
93
(2) chia (1)
2
(m 26)y
(m 26)y x
x12
12
y(x y) 12 y(m 14) 144
+
⎧
+
⎧=
=
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪
−= +=
⎩⎩
Vaäy heä coù nghieäm khi m140 m 14+>⇔>−
.
III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ
4.1. Ñònh m ñeå phöông trình sau coù nghieäm:
22
22
xmxyym
x(m1)xymym
⎧++=
⎪
⎨
+
−+ =
⎪
⎩
4.2. Ñònh m ñeå heä phöông trình:
33 2
32 2
1
xmy (m1)
2
xmxyxy1
⎧−= +
⎪
⎨
⎪++=
⎩
Coù nghieäm vaø moïi nghieäm ñeàu thoûa: x + y = 0
4.3. Cho heä phöông trình:
22
2
x4xyym
y3xy4
⎧−+=
⎪
⎨−=
⎪
⎩
a. Giaûi heä khi m = 1
b. chöùng minh heä luoân coù nghieäm.
94
Höôùng Daãn Vaø Giaûi Toùm Taét
4.1.
22
22
x mxy y m (1)
x (m 1)xy my m (2)
⎧++=
⎪
⎨+− + =
⎪
⎩
(1) – (2) : 2
xy (1 m)y 0 y 0 x (m 1)y+− =⇔=∨= −
Heä phöông trình: 2222
y0 x(m1)y
xmxyymxmxyym
==−
⎧⎧
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
+
+= + +=
⎪⎪
⎩⎩
2
22
x(m1)y
y0 m
y (4)
xm(3) 2m 3m 2
=−
⎧
=
⎧
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
=
⎪⎪
⎩−+
⎩
Heä ñaõ cho coù nghieäm (3)co ù nghieä m m0
(4)co ù nghieäm
⎡
⇔
⇔≥
⎢
⎣
4.2. Giaû söû 00
(x ,y ) laø nghieäm. Töø x + y = 0 ta coù: 00
yx
=
−
Theá vaøo heä :
32
0
3
0
1
x(m1) (m1) (1)
2
x (2 m) 1 (2)
⎧+= +
⎪
⎨
⎪−=
⎩
Veá phaûi (2)khaùc 0 ⇒veá traùi cuûa (2) cuõng khaùc 0.
2
(1) m 1 1
:(m1)m0m1
(2) 2 m 2
+=+⇔=∨=±
−
Thöû laïi:
a/ Vôùi m = 0: heä cho x vaø y khoâng thoûa: x + y = 0 m0⇒=
(loaïi)
b/ Vôùi m = - 1: Heä ñaõ cho trôû thaønh:
33
32 2
xy0
xxyxy1
⎧+=
⎪
⎨
−
+=
⎪
⎩
32 2
1
x
yx 33
1
xxyxy1 y33
⎧=
⎪
=−
⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
−+=
⎪⎪
⎩=−
⎪
⎩
thoûa x + y = 0.
95
c/ Vôùi m = 1. Heä trôû thaønh:
33
32 2
xy2
xxyxy1
⎧−=
⎪
⎨++=
⎪
⎩
Ñaët y = tx
33
32
x(1 t) 2
x(t t 1) 1
⎧−=
⎪
⇒⎨++ =
⎪
⎩
t1 2 t 1 y x,⇒−=−⇔=−⇒ =−
3
x1x1⇒=⇔= xy0⇒+=
Vaäy m 1=± nhaän.
4.3. y = 0 khoâng thoûa phöông trình: 2
y 3xy 4−=. Ñaët x = ty
Heä
22
22 2
22
y(t 4t 1) m
y(t 4t 1) m 4
y(1 3t)
y(1 3t) 4 y(1 3t) 4
⎧−+
⎧
=
⎪
−+=
⎪
⇔⇔
−
⎨⎨
−=
⎪⎪
⎩−=
⎩
a. Vôùi m = 1: ta coù heä:
2
2
t4t11
(1)
13t 4
y(1 3t) 4 (2)
⎧−+
=
⎪−
⎨
⎪−=
⎩
(1) cho 1
t3t4
=∨=
. 2
t3:(2) 8y 4VN=⇔−=
. 2
11
t:(2) y4y4
44
=⇔=⇔=±
x = ty = 1±
b. Heä
22
2
42
x4xy 1 m y 4
x3y
y4
x3y 11y (49 9m)y 16 0 (*)
⎧⎧
+= −
=
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
−
⎪⎪
−− −=
⎩⎩
(*) luoân coù nghieäm ⇒ÑPCM.