Luận văn Thạc sĩ Toán học: Thuật toán điểm gần kề đường dốc nhất giải một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian Bannach

(cid:30)(cid:132)I H¯C TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C KHOA H¯C (cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:21)o0o(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:21)

NGUY(cid:153)N V(cid:139)N H(cid:131)I

THU(cid:138)T TO(cid:129)N (cid:30)I(cid:154)M G(cid:134)N K(cid:151) (cid:30)(cid:215)˝NG D¨C NH(cid:135)T GI(cid:131)I M¸T L˛P B(cid:135)T (cid:30)(cid:143)NG TH(cid:217)C BI(cid:152)N PH(cid:133)N TRONG KH˘NG GIAN BANNACH

TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N, 10/2018

NGUY(cid:153)N V(cid:139)N H(cid:131)I

THU(cid:138)T TO(cid:129)N (cid:30)I(cid:154)M G(cid:134)N K(cid:151) (cid:30)(cid:215)˝NG D¨C NH(cid:135)T GI(cid:131)I M¸T L˛P B(cid:135)T (cid:30)(cid:143)NG TH(cid:217)C BI(cid:152)N PH(cid:133)N TRONG KH˘NG GIAN BANNACH

Chuy¶n ng(cid:160)nh: To¡n øng d(cid:246)ng M¢ sŁ: 8460112

LU(cid:138)N V(cid:139)N TH(cid:132)C S(cid:158) TO(cid:129)N H¯C

T(cid:138)P TH(cid:154) GI(cid:129)O VI(cid:150)N H(cid:215)˛NG D(cid:136)N GS.TS. NGUY(cid:153)N B(cid:215)˝NG TS. NGUY(cid:153)N TH(cid:192) TH(cid:211)Y HOA

TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N, 10/2018

iii

M(cid:246)c l(cid:246)c

B£ng k(cid:254) hi»u 1

M(cid:240) (cid:31)ƒu 2

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1. Gi(cid:238)i thi»u b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n

trong kh(cid:230)ng gian Banach 1.1 (cid:129)nh x⁄ j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Kh(cid:230)ng gian Banach l(cid:231)i (cid:31)•u . . . . . . . . . . . 1.1.2 (cid:129)nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c . . . . . . . . . . . 1.1.3 (cid:129)nh x⁄ j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 To¡n tß gi£i

4 4 5 6 7 9 1.2 B(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n trong kh(cid:230)ng gian Banach10 1.2.1 B(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p lai gh†p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng dŁc nh§t . . . . . . 1.2.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p lai gh†p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng dŁc nh§t v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)i”m gƒn k• t…m kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa ¡nh x⁄ j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2. Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)i”m gƒn k• (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng dŁc nh§t x§p x¿ nghi»m b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n 2.1 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p 'n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Gi(cid:238)i h⁄n Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p 'n v(cid:160) s(cid:252) hºi t(cid:246) . . . . . . . . 2.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p hi»n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 M(cid:230) t£ ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p . . . . . . . . . . . . . . . 17 17 17 18 24 24

2.2.2 2.2.3 V‰ d(cid:246) minh h(cid:229)a S(cid:252) hºi t(cid:246) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 35

K‚t lu“n 37

T(cid:160)i li»u tham kh£o 38

B£ng k(cid:254) hi»u

H E E∗ SE R R+

∅ ∀x D(A) R(A) A−1 I d(x, C) lim supn→∞ xn lim infn→∞ xn xn → x0 xn (cid:42) x0 J j Fix(T ) ∂f kh(cid:230)ng gian Hilbert th(cid:252)c kh(cid:230)ng gian Banach kh(cid:230)ng gian (cid:31)Łi ng¤u cıa E m(cid:176)t cƒu (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) cıa E t“p c¡c sŁ th(cid:252)c t“p c¡c sŁ th(cid:252)c kh(cid:230)ng ¥m t“p rØng v(cid:238)i m(cid:229)i x mi•n x¡c (cid:31)(cid:224)nh cıa to¡n tß A mi•n £nh cıa to¡n tß A to¡n tß ng(cid:247)æc cıa to¡n tß A to¡n tß (cid:31)(cid:231)ng nh§t kho£ng c¡ch tł phƒn tß x (cid:31)‚n t“p hæp C gi(cid:238)i h⁄n tr¶n cıa d¢y sŁ {xn} gi(cid:238)i h⁄n d(cid:247)(cid:238)i cıa d¢y sŁ {xn} d¢y {xn} hºi t(cid:246) m⁄nh v• x0 d¢y {xn} hºi t(cid:246) y‚u v• x0 ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224) t“p (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng cıa ¡nh x⁄ T d(cid:247)(cid:238)i vi ph¥n cıa h(cid:160)m l(cid:231)i f

M(cid:240) (cid:31)ƒu

Cho E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach th(cid:252)c. K(cid:254) hi»u E∗ l(cid:160) kh(cid:230)ng gian li¶n hæp cıa E, (cid:104)x∗, x(cid:105) l(cid:160) gi¡ tr(cid:224) cıa phi‚m h(cid:160)m tuy‚n t‰nh li¶n t(cid:246)c x∗ ∈ X ∗ t⁄i x ∈ E v(cid:160) chu'n cıa E v(cid:160) ∗ (cid:31)•u k(cid:254) hi»u l(cid:160) (cid:107) · (cid:107). B(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n trong kh(cid:230)ng gian Banach E (cid:31)(cid:247)æc ph¡t bi”u nh(cid:247) sau: Cho C l(cid:160) mºt t“p con l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng, kh¡c rØng cıa kh(cid:230)ng gian Banach th(cid:252)c E, F : E → E l(cid:160) mºt ¡nh x⁄ x¡c (cid:31)(cid:224)nh tr¶n E.

T…m phƒn tß x∗ ∈ C sao cho (cid:104)F (x∗), j(x − x∗)(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ C, (1)

(cid:240) (cid:31)¥y j l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224) cıa E, ¡nh x⁄ F l(cid:160) ¡nh x⁄ gi¡, C l(cid:160) t“p r(cid:160)ng buºc.

B(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n (cid:31)(cid:247)æc gi(cid:238)i thi»u lƒn (cid:31)ƒu ti¶n v(cid:160)o n«m 1966 khi P. Hartman v(cid:160) G. Stampacchia c(cid:230)ng bŁ nhœng nghi¶n cøu (cid:31)ƒu ti¶n cıa m…nh v• b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n li¶n quan t(cid:238)i vi»c gi£i c¡c b(cid:160)i to¡n bi‚n ph¥n, b(cid:160)i to¡n (cid:31)i•u khi”n tŁi (cid:247)u v(cid:160) c¡c b(cid:160)i to¡n bi¶n trong l(cid:254) thuy‚t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng. B(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n trong kh(cid:230)ng gian v(cid:230) h⁄n chi•u v(cid:160) c¡c øng d(cid:246)ng cıa n(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc gi(cid:238)i thi»u trong cuŁn s¡ch "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications" cıa D. Kinderlehrer v(cid:160) G. Stam- pacchia xu§t b£n n«m 1980 v(cid:160) trong cuŁn s¡ch "Variational and Qua- sivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems" cıa C. Baiocchi v(cid:160) A. Capelo xu§t b£n n«m 1984.

Lu“n v«n tr…nh b(cid:160)y ba ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p gi£i b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n (1) trong kh(cid:230)ng gian Banach l(cid:231)i (cid:31)•u, c(cid:226) chu'n kh£ vi G¥teaux

(cid:31)•u v(cid:238)i t“p r(cid:160)ng buºc C l(cid:160) t“p kh(cid:230)ng (cid:31)i”m chung cıa c¡c ¡nh x⁄ m- j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u. Nºi dung cıa lu“n v«n (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y trong hai ch(cid:247)(cid:236)ng. Ch(cid:247)(cid:236)ng 1 gi(cid:238)i thi»u mºt sŁ kh¡i ni»m v(cid:160) t‰nh ch§t cıa kh(cid:230)ng gian Banach l(cid:231)i (cid:31)•u, c(cid:226) chu'n kh£ vi G¥teaux (cid:31)•u, ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c, ¡nh x⁄ j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, to¡n tß gi£i trong kh(cid:230)ng gian Banach; (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i tr…nh b(cid:160)y ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng dŁc nh§t gi£i b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n tr¶n t“p (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng cıa ¡nh x⁄ kh(cid:230)ng gi¢n, ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p lai gh†p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng dŁc nh§t, ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)i”m gƒn k• t…m kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa ¡nh x⁄ m-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u trong kh(cid:230)ng gian Banach.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2 tr…nh b(cid:160)y ba ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)i”m gƒn k• k‚t hæp v(cid:238)i ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng dŁc nh§t (mºt ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p 'n v(cid:160) hai ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p hi»n) gi£i b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n v(cid:238)i ¡nh x⁄ gi¡ l(cid:160) ¡nh x⁄ j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh v(cid:160) gi£ co ch(cid:176)t, t“p r(cid:160)ng buºc l(cid:160) t“p kh(cid:230)ng (cid:31)i”m chung cıa c¡c ¡nh x⁄ m-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u trong kh(cid:230)ng gian Banach l(cid:231)i (cid:31)•u c(cid:226) chu'n kh£ vi G¥teaux (cid:31)•u.

Lu“n v«n (cid:31)(cid:247)æc ho(cid:160)n th(cid:160)nh t⁄i Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c Khoa h(cid:229)c (cid:21) (cid:30)⁄i h(cid:229)c Th¡i Nguy¶n. (cid:30)ƒu ti¶n, t(cid:230)i xin k‰nh gßi l(cid:237)i c£m (cid:236)n ch¥n th(cid:160)nh v(cid:160) s¥u s›c (cid:31)‚n thƒy GS.TS. Nguy„n B(cid:247)(cid:237)ng, ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)¢ t“n t…nh gi(cid:243)p (cid:31)(cid:239) t(cid:230)i trong suŁt qu¡ tr…nh l(cid:160)m lu“n v«n.

T(cid:230)i xin gßi c¡m (cid:236)n (cid:31)‚n c¡c qu(cid:254) Thƒy C(cid:230) trong khoa To¡n - Tin cıa tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c Khoa h(cid:229)c Th¡i Nguy¶n (cid:31)¢ t“n t…nh truy•n (cid:31)⁄t ki‚n thøc v(cid:160) kinh nghi»m qu(cid:254) b¡u cho t(cid:230)i trong suŁt qu¡ tr…nh t(cid:230)i h(cid:229)c t“p t⁄i tr(cid:247)(cid:237)ng.

T(cid:230)i xin gßi c¡m (cid:236)n (cid:31)‚n c¡c qu(cid:254) Thƒy C(cid:230) trong PhÆng (cid:30)(cid:160)o t⁄o cıa Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c Khoa h(cid:229)c Th¡i Nguy¶n (cid:31)¢ t⁄o (cid:31)i•u ki»n thu“n læi cho t(cid:230)i ho(cid:160)n th(cid:160)nh ch(cid:247)(cid:236)ng tr…nh h(cid:229)c t“p v(cid:160) th(cid:252)c hi»n lu“n v«n n(cid:160)y.

CuŁi c(cid:242)ng, t(cid:230)i xin gßi l(cid:237)i c¡m (cid:236)n (cid:31)‚n gia (cid:31)…nh v(cid:160) b⁄n b– (cid:31)¢ (cid:31)ºng

vi¶n, t⁄o (cid:31)i•u ki»n thu“n læi cho t(cid:230)i ho(cid:160)n th(cid:160)nh lu“n v«n n(cid:160)y.

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2018 T¡c gi£ lu“n v«n Nguy„n V«n H£i

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

Gi(cid:238)i thi»u b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc

bi‚n ph¥n trong kh(cid:230)ng gian Banach

Ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y tr…nh b(cid:160)y trong hai m(cid:246)c. M(cid:246)c 1.1 gi(cid:238)i thi»u kh¡i ni»m v(cid:160) tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ t‰nh ch§t cıa kh(cid:230)ng gian Banach l(cid:231)i (cid:31)•u c(cid:226) chu'n kh£ vi G¥teaux (cid:31)•u, ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c, ¡nh x⁄ j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160) to¡n tß gi£i trong kh(cid:230)ng gian Banach. M(cid:246)c thø hai cıa ch(cid:247)(cid:236)ng gi(cid:238)i thi»u v• b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u trong kh(cid:230)ng gian Banach, tr…nh b(cid:160)y ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p lai gh†p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng dŁc nh§t gi£i b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n tr¶n t“p (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng chung cıa c¡c ¡nh x⁄ kh(cid:230)ng gi¢n v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)i”m gƒn k• trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c bi»t t…m kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa ¡nh x⁄ j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u. Nºi dung cıa ch(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)æc vi‚t tr¶n c(cid:236) s(cid:240) c¡c t(cid:160)i li»u [1](cid:21)[3], [11](cid:21)[14] v(cid:160) c¡c t(cid:160)i li»u (cid:31)(cid:247)æc tham chi‚u trong (cid:31)(cid:226).

1.1 (cid:129)nh x⁄ j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u

Cho E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach v(cid:238)i kh(cid:230)ng gian (cid:31)Łi ng¤u k(cid:254) hi»u l(cid:160) E∗. Ta d(cid:242)ng k(cid:254) hi»u (cid:107).(cid:107) cho chu'n trong E v(cid:160) E∗ v(cid:160) vi‚t t‰ch (cid:31)Łi ng¤u (cid:104)x, x∗(cid:105) thay cho gi¡ tr(cid:224) cıa phi‚m h(cid:160)m tuy‚n t‰nh x∗ ∈ E∗ t⁄i (cid:31)i”m x ∈ E, tøc l(cid:160) (cid:104)x, x∗(cid:105) = x∗(x). V(cid:238)i mºt ¡nh x⁄ A : E → 2E, ta s‡ (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a mi•n x¡c (cid:31)(cid:224)nh, mi•n gi¡ tr(cid:224) v(cid:160) (cid:31)(cid:231) th(cid:224) cıa n(cid:226) t(cid:247)(cid:236)ng øng

nh(cid:247) sau:

D(A) = {x ∈ E : A(x) (cid:54)= ∅},

R(A) = ∪{Az : z ∈ D(A)},

v(cid:160)

G(A) = {(x, y) ∈ E × E : x ∈ D(A), y ∈ A(x)}.

(cid:129)nh x⁄ ng(cid:247)æc A−1 cıa ¡nh x⁄ A (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i:

1.1.1 Kh(cid:230)ng gian Banach l(cid:231)i (cid:31)•u

x ∈ A−1(y) n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u y ∈ A(x).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.1 Kh(cid:230)ng gian Banach E (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ph£n x⁄, n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i phƒn tß x∗∗ ∈ E∗∗, kh(cid:230)ng gian li¶n hæp thø hai cıa E, (cid:31)•u t(cid:231)n t⁄i phƒn tß x ∈ E sao cho

x∗(x) = x∗∗(x∗) ∀x∗ ∈ E∗.

N‚u E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach ph£n x⁄ th… m(cid:229)i d¢y b(cid:224) ch(cid:176)n trong E

(cid:31)•u c(cid:226) d¢y con hºi t(cid:246) y‚u. (cid:30)(cid:226) l(cid:160) nºi dung cıa (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) sau (cid:31)¥y.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.2 (xem [3]) Cho E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach. Khi (cid:31)(cid:226), c¡c khﬂng (cid:31)(cid:224)nh sau l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng:

(i) E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian ph£n x⁄.

(ii) M(cid:229)i d¢y b(cid:224) ch(cid:176)n trong E (cid:31)•u c(cid:226) mºt d¢y con hºi t(cid:246) y‚u.

K(cid:254) hi»u SE := {x ∈ E : (cid:107)x(cid:107) = 1} l(cid:160) m(cid:176)t cƒu (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) cıa kh(cid:230)ng gian Banach E. Sau (cid:31)¥y l(cid:160) (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a kh(cid:230)ng gian Banach l(cid:231)i ch(cid:176)t v(cid:160) l(cid:231)i (cid:31)•u.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.3 (i) Kh(cid:230)ng gian Banach E (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) l(cid:231)i ch(cid:176)t

n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i (cid:31)i”m x, y ∈ SE, x (cid:54)= y, suy ra

(cid:107)(1 − λ)x + λy(cid:107) < 1 ∀λ ∈ (0, 1).

(ii) Kh(cid:230)ng gian Banach E (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) l(cid:231)i (cid:31)•u n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i ε ∈ (0, 2] v(cid:160) c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc (cid:107)x(cid:107) ≤ 1, (cid:107)y(cid:107) ≤ 1, (cid:107)x − y(cid:107) ≥ ε th(cid:228)a m¢n th… t(cid:231)n t⁄i δ = δ(ε) > 0 sao cho (cid:107)(x + y)/2(cid:107) ≤ 1 − δ.

MŁi li¶n h» giœa kh(cid:230)ng gian Banach l(cid:231)i (cid:31)•u, l(cid:231)i ch(cid:176)t v(cid:160) ph£n x⁄

(cid:31)(cid:247)æc cho b(cid:240)i (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.4 (xem [3]) M(cid:229)i kh(cid:230)ng gian Banach l(cid:231)i (cid:31)•u (cid:31)•u l(cid:160) l(cid:231)i ch(cid:176)t v(cid:160) ph£n x⁄.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.5 Kh(cid:230)ng gian Banach E (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) tr(cid:236)n n‚u v(cid:238)i mØi (cid:31)i”m x n‹m tr¶n m(cid:176)t cƒu (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) SE t(cid:231)n t⁄i duy nh§t mºt phi‚m h(cid:160)m gx ∈ E∗ sao cho (cid:104)x, gx(cid:105) = (cid:107)x(cid:107) v(cid:160) (cid:107)gx(cid:107) = 1.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.6

(i) Chu'n cıa kh(cid:230)ng gian Banach E (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) kh£ vi G¥teaux n‚u v(cid:238)i mØi y ∈ SE gi(cid:238)i h⁄n

(1.1) lim t→0 (cid:107)x + ty(cid:107) − (cid:107)x(cid:107) t

t(cid:231)n t⁄i v(cid:238)i x ∈ SE, k(cid:254) hi»u (cid:104)y, (cid:53)(cid:107)x(cid:107)(cid:105). Khi (cid:31)(cid:226) (cid:53)(cid:107)x(cid:107) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)⁄o h(cid:160)m G¥teaux cıa chu'n.

(ii) Chu'n cıa E (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) kh£ vi G¥teaux (cid:31)•u n‚u v(cid:238)i mØi y ∈ SE, gi(cid:238)i h⁄n (1.1) (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)•u v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ SE.

MŁi li¶n h» giœa kh(cid:230)ng gian Banach tr(cid:236)n v(cid:160) t‰nh kh£ vi G¥teaux

cıa chu'n (cid:31)(cid:247)æc c(cid:230)ng bŁ trong (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) sau.

1.1.2 (cid:129)nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.7 (xem [3]) Kh(cid:230)ng gian Banach E l(cid:160) tr(cid:236)n khi v(cid:160) ch¿ khi chu'n cıa E kh£ vi G¥teaux tr¶n E \ {0}.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.8 (cid:129)nh x⁄ Js : E → 2E∗, s > 1 (n(cid:226)i chung l(cid:160) (cid:31)a tr(cid:224)) x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

Jsx = {uq ∈ E∗ : (cid:104)x, us(cid:105) = (cid:107)x(cid:107)(cid:107)us(cid:107), (cid:107)us(cid:107) = (cid:107)x(cid:107)s−1},

(cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u tŒng qu¡t cıa kh(cid:230)ng gian Banach E. Khi s = 2, ¡nh x⁄ J2 (cid:31)(cid:247)æc k(cid:254) hi»u l(cid:160) J v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c cıa E. Tøc l(cid:160)

Jx = {u ∈ E∗ : (cid:104)x, u(cid:105) = (cid:107)x(cid:107)(cid:107)u(cid:107), (cid:107)u(cid:107) = (cid:107)x(cid:107)}.

Trong kh(cid:230)ng gian Hilbert H, ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c l(cid:160) ¡nh x⁄

(cid:31)(cid:236)n v(cid:224) I. K(cid:254) hi»u j ch¿ ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.9 (cid:129)nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c J : E → E∗ cıa kh(cid:230)ng gian Banach E (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)

(i) Li¶n t(cid:246)c y‚u theo d¢y n‚u J (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224) v(cid:160) v(cid:238)i m(cid:229)i d¢y {xn} hºi t(cid:246) y‚u v• (cid:31)i”m x th… Jxn hºi t(cid:246) y‚u v• Jx theo t(cid:230)p(cid:230) y‚u∗ trong E∗.

(ii) Li¶n t(cid:246)c m⁄nh-y‚u∗ n‚u J (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224) v(cid:160) v(cid:238)i m(cid:229)i d¢y {xn} hºi t(cid:246) m⁄nh v• (cid:31)i”m x th… Jxn hºi t(cid:246) y‚u v• Jx theo t(cid:230)p(cid:230) y‚u∗ trong E∗.

T‰nh (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224) cıa ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c c(cid:226) mŁi li¶n h» v(cid:238)i t‰nh

kh£ vi G¥teaux cıa chu'n cıa kh(cid:230)ng gian Banach.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.10 (xem [3]) Cho E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach v(cid:238)i ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c J : E → 2E∗. Khi (cid:31)(cid:226) c¡c khﬂng (cid:31)(cid:224)nh sau l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng:

(i) E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian tr(cid:236)n.

(ii) J l(cid:160) (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224). (iii) Chu'n cıa E l(cid:160) kh£ vi G¥teaux v(cid:238)i (cid:53)(cid:107)x(cid:107) = (cid:107)x(cid:107)−1Jx.

1.1.3 (cid:129)nh x⁄ j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.11 (xem [3]) Cho E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach c(cid:226) chu'n kh£ vi G¥teaux (cid:31)•u. Khi (cid:31)(cid:226) ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c j : E → E∗ l(cid:160) li¶n t(cid:246)c (cid:31)•u m⁄nh-y‚u∗ tr¶n m(cid:229)i t“p con b(cid:224) ch(cid:176)n trong E.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.12 (cid:129)nh x⁄ A : E → E (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)

(i) η-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh n‚u t(cid:231)n t⁄i h‹ng sŁ η > 0 sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i

x, y ∈ D(A), mi•n x¡c (cid:31)(cid:224)nh cıa ¡nh x⁄ A, ta c(cid:226)

(cid:104)Ax − Ay, j(x − y)(cid:105) ≥ η(cid:107)x − y(cid:107)2, j(x − y) ∈ J(x − y);

(ii) α-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc (hay α-(cid:31)(cid:231)ng bøc j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u) n‚u t(cid:231)n

t⁄i h‹ng sŁ α > 0 sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ D(A), ta c(cid:226)

(cid:104)Ax − Ay, j(x − y)(cid:105) ≥ α(cid:107)Ax − Ay(cid:107)2, j(x − y) ∈ J(x − y);

(iii) j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ D(A), ta c(cid:226)

(cid:104)Ax − Ay, j(x − y)(cid:105) ≥ 0, j(x − y) ∈ J(x − y);

(vi) j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i n‚u A l(cid:160) ¡nh x⁄ j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160) (cid:31)(cid:231) th(cid:224) G(A) cıa ¡nh x⁄ A kh(cid:230)ng th(cid:252)c s(cid:252) b(cid:224) chøa trong b§t k… mºt (cid:31)(cid:231) th(cid:224) cıa mºt ¡nh x⁄ j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u kh¡c;

(v) m-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u n‚u A l(cid:160) ¡nh x⁄ j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160) R(A + I) = E, (cid:240) (cid:31)¥y

R(A) l(cid:160) k(cid:254) hi»u mi•n gi¡ tr(cid:224) cıa ¡nh x⁄ A.

BŒ (cid:31)• 1.1.13 (xem [7]) Cho E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Bannach th(cid:252)c v(cid:160) tr(cid:236)n. Khi (cid:31)(cid:226),

(cid:107)x + y(cid:107)2 ≤ (cid:107)x(cid:107)2 + 2(cid:104)y, j(x + y)(cid:105) ∀x, y ∈ E.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.14 Cho C l(cid:160) t“p con kh¡c rØng cıa kh(cid:230)ng gian Banach E.

(i) (cid:129)nh x⁄ T : C → E (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ¡nh x⁄ L-li¶n t(cid:246)c Lipschitz n‚u

t(cid:231)n t⁄i h‹ng sŁ L ≥ 0 sao cho

(cid:107)T x − T y(cid:107) ≤ L(cid:107)x − y(cid:107) ∀x, y ∈ C. (1.2)

(ii) Trong (1.2), n‚u L ∈ [0, 1) th… T (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ¡nh x⁄ co; n‚u L = 1

th… T (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ¡nh x⁄ kh(cid:230)ng gi¢n.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.15 (cid:129)nh x⁄ T : C → E (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ¡nh x⁄ γ-gi£ co ch(cid:176)t n‚u t(cid:231)n t⁄i h‹ng sŁ γ ∈ (0, 1) v(cid:160) j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho

(cid:104)T x − T y, j(x − y)(cid:105) ≤ (cid:107)x−y(cid:107)2−γ(cid:107)(I−T )x−(I−T )y(cid:107)2 ∀x, y ∈ C, (1.3) v(cid:238)i γ l(cid:160) h‹ng sŁ kh(cid:230)ng ¥m cŁ (cid:31)(cid:224)nh. Trong (1.3), n‚u γ = 0 th… T (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ¡nh x⁄ gi£ co.

Nh“n x†t 1.1.16 (xem [3])

(i) N‚u F : E → E l(cid:160) ¡nh x⁄ γ-gi£ co ch(cid:176)t th… F l(cid:160) ¡nh x⁄ L-li¶n

t(cid:246)c Lipschitz v(cid:238)i L = 1 + 1/γ.

(ii) M(cid:229)i ¡nh x⁄ kh(cid:230)ng gi¢n (cid:31)•u l(cid:160) ¡nh x⁄ gi£ co li¶n t(cid:246)c.

1.1.4 To¡n tß gi£i

BŒ (cid:31)• 1.1.17 (xem [7]) Cho E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Bannach th(cid:252)c v(cid:160) tr(cid:236)n, ¡nh x⁄ F : E → E l(cid:160) ¡nh x⁄ η-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh v(cid:160) γ-gi£ co ch(cid:176)t, v(cid:238)i η + γ > 1. Khi (cid:31)(cid:226) λ ∈ (0, 1), I − λF l(cid:160) ¡nh x⁄ co v(cid:238)i h‹ng sŁ co 1 − λτ, trong (cid:31)(cid:226) τ = 1 − (cid:112)(1 − η)/γ.

Thu“t ngœ "resolvent" l(cid:160) mºt thu“t ngœ (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t ra b(cid:240)i Fredholm v(cid:160)o cuŁi th‚ k(cid:27) 19 khi (cid:230)ng b›t (cid:31)ƒu mºt nghi¶n cøu v• ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh t‰ch ph¥n ph¡t sinh tł vi»c nghi¶n cøu c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh vi ph¥n (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng. Tham sŁ λ l(cid:160) mºt phƒn cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh t‰ch ph¥n, v(cid:160) tham sŁ n(cid:160)y ban (cid:31)ƒu (cid:31)¢ t¡ch ra kh(cid:228)i c¡c bi‚n, k(cid:255) thu“t (cid:31)(cid:247)æc t⁄o ra b(cid:240)i Fourier v(cid:160)o (cid:31)ƒu th‚ k(cid:27) 19 (cid:31)” gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh vi ph¥n (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng.

Mºt ¡nh x⁄ A (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n mi•n n‚u

D(A) ⊂ R(I + λA) ∀λ > 0, (1.4)

(cid:240) (cid:31)¥y D(A) l(cid:160) bao (cid:31)(cid:226)ng cıa mi•n x¡c (cid:31)(cid:224)nh cıa ¡nh x⁄ A.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.18 Cho E l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian Banach, A : D(A) ⊂ E → 2E l(cid:160) mºt ¡nh x⁄ j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n mi•n (1.4). Khi (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i mØi λ > 0 ¡nh x⁄ J A

λ : R(I + λA) → D(A) x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i λ = (I + λA)−1 J A

(1.5)

(cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) to¡n tß gi£i cıa A.

To¡n tß gi£i cıa A c(cid:226) t‰nh ch§t sau (cid:31)¥y.

BŒ (cid:31)• 1.1.19 (xem [15]) N‚u c2 ≥ c1 > 0 th…

x(cid:107) v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ E. (cid:107)x − J A c1 x(cid:107) ≤ 2(cid:107)x − J A c2

BŒ (cid:31)• 1.1.20 (xem [15]) V(cid:238)i b§t k(cid:253) hai sŁ d(cid:247)(cid:236)ng λ v(cid:160) µ ta lu(cid:230)n c(cid:226) (cid:18) (cid:19) (cid:19)

∀x ∈ E. x + 1 − J A λ x J A λ x = J A µ (cid:18)µ λ µ λ

t x(cid:107) v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ R(I + tA) v(cid:160) r, t > 0.

t x − J A

t x(cid:107) ≤

r J A

(cid:107)x − J A (cid:107)J A M»nh (cid:31)• 1.1.21 (xem [11]) Cho E l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian Bannach v(cid:160) cho A l(cid:160) mºt ¡nh x⁄ j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u trong E sao cho D(A) ⊂ R(I +tA) v(cid:238)i m(cid:229)i t > 0. Khi (cid:31)(cid:226), 1 1 t r

1.2 B(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n trong kh(cid:230)ng gian

1.2.1 B(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p

lai gh†p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng dŁc nh§t

Banach

Cho E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach th(cid:252)c, C l(cid:160) t“p con l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng kh¡c rØng cıa E v(cid:160) j : E → E∗ l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224) cıa E. Trong phƒn n(cid:160)y ta lu(cid:230)n gi£ thi‚t ¡nh x⁄ F : E → E l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224). B(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:238)i ¡nh x⁄ gi¡ F v(cid:160) t“p r(cid:160)ng buºc C, k(cid:254) hi»u l(cid:160) VI∗(F, C), (cid:31)(cid:247)æc ph¡t bi”u nh(cid:247) sau:

(1.6) T…m x∗ ∈ C th(cid:228)a m¢n: (cid:104)F x∗, j(x − x∗)(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ C.

K(cid:254) hi»u t“p nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n (1.6) l(cid:160)

S∗.

C = QC;

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.1 (cid:129)nh x⁄ QC : E → C (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ph†p co r(cid:243)t kh(cid:230)ng gi¢n theo tia tł E l¶n C n‚u QC th(cid:228)a m¢n: (i) QC l(cid:160) ph†p co r(cid:243)t tr¶n C, tøc l(cid:160) Q2

(ii) QC l(cid:160) ¡nh x⁄ kh(cid:230)ng gi¢n;

(iii) QC l(cid:160) ¡nh x⁄ theo tia, tøc l(cid:160) v(cid:238)i m(cid:229)i 0 < t < ∞

QC(QC(x) + t(x − QC(x))) = QC(x).

T“p C (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) t“p co r(cid:243)t kh(cid:230)ng gi¢n theo tia n‚u t(cid:231)n t⁄i ph†p co r(cid:243)t kh(cid:230)ng gi¢n theo tia QC tł E l¶n C.

S(cid:252) t(cid:231)n t⁄i cıa ph†p co r(cid:243)t tł kh(cid:230)ng gian Banach E l¶n t“p l(cid:231)i C

(cid:31)(cid:247)æc cho trong bŒ (cid:31)• d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y.

BŒ (cid:31)• 1.2.2 (xem [3]) M(cid:229)i t“p con C l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng cıa kh(cid:230)ng gian Banach l(cid:231)i (cid:31)•u E (cid:31)•u l(cid:160) t“p co r(cid:243)t cıa E, tøc l(cid:160) t(cid:231)n t⁄i ph†p co r(cid:243)t tł E l¶n C.

BŒ (cid:31)• 1.2.3 (xem [10]) Cho C l(cid:160) t“p con kh¡c rØng, l(cid:231)i, (cid:31)(cid:226)ng cıa kh(cid:230)ng gian Banach tr(cid:236)n E v(cid:160) QC : E → C l(cid:160) ph†p co r(cid:243)t tł E l¶n C. Khi (cid:31)(cid:226), c¡c ph¡t bi”u sau l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng:

(i) QC l(cid:160) ¡nh x⁄ kh(cid:230)ng gi¢n theo tia.

(ii) (cid:104)x − QC(x), j(y − QC(x))(cid:105) ≤ 0 ∀x ∈ E, y ∈ C.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.4 Cho C l(cid:160) t“p l(cid:231)i, (cid:31)(cid:226)ng, kh¡c rØng trong kh(cid:230)ng gian Banach th(cid:252)c E v(cid:160) T : C → C l(cid:160) ¡nh x⁄. B(cid:160)i to¡n (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng (cid:31)(cid:247)æc ph¡t bi”u nh(cid:247) sau:

(1.7) T…m x∗ ∈ C th(cid:228)a m¢n x∗ = T x∗.

K(cid:254) hi»u t“p (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng cıa ¡nh x⁄ T l(cid:160) Fix(T ). MŁi quan h» giœa b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n (1.6) v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng trong kh(cid:230)ng gian Banach tr(cid:236)n (cid:31)(cid:247)æc cho trong m»nh (cid:31)• d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y.

M»nh (cid:31)• 1.2.5 (xem [4]) Cho C l(cid:160) t“p con kh¡c rØng, l(cid:231)i, (cid:31)(cid:226)ng cıa kh(cid:230)ng gian Banach tr(cid:236)n E. Khi (cid:31)(cid:226) b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n (1.6) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng:

λ > 0, (1.8) x∗ = QC(I − λF )x∗,

tøc l(cid:160) S∗ = Fix(QC(I − λF )).

Chøng minh. Theo BŒ (cid:31)• 1.2.3, ta c(cid:226) p∗ ∈ Fix(QC(I − λF )) khi v(cid:160) ch¿ khi

(cid:104)(p∗ − λF p∗) − p∗, j(x − p∗)(cid:105) ≤ 0 ⇔ (cid:104)−λF p∗, j(x − p∗)(cid:105) ≤ 0

v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ C v(cid:160) λ > 0. Do λ > 0 n¶n ta suy ra x∗ ∈ S∗. M»nh (cid:31)• (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

(cid:50)

Do s(cid:252) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng cıa b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n trong kh(cid:230)ng gian Banach tr(cid:236)n v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng m(cid:160) nhi•u ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p gi£i b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n trong kh(cid:230)ng gian Banach c(cid:244)ng (cid:31)(cid:247)æc x¥y d(cid:252)ng d(cid:252)a v(cid:160)o c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p x§p x¿ (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng. Khi F : E → E l(cid:160) ¡nh x⁄ L-li¶n t(cid:246)c Lipschitz v(cid:160) η-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh th… ¡nh x⁄ QC(I − λF ), v(cid:238)i λ ∈ (0, 2η/L2) l(cid:160) ¡nh x⁄ co. Khi (cid:31)(cid:226), theo Nguy¶n l(cid:254) ¡nh x⁄ co Banach, d¢y l(cid:176)p Picard x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

(1.9) xn+1 = QC(I − λnF )xn

hºi t(cid:246) m⁄nh v• (cid:31)i”m x∗ l(cid:160) nghi»m b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n (1.6).

i=1Fix(Ti) b‹ng d¢y l(cid:176)p xoay vÆng d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng:

N«m 2001, Yamada [17] (cid:31)¢ (cid:31)• xu§t ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p lai gh†p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng dŁc (cid:31)” gi£i b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n tr¶n t“p r(cid:160)ng buºc C l(cid:160) t“p (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng chung cıa mºt h(cid:229) hœu h⁄n c¡c ¡nh x⁄ kh(cid:230)ng gi¢n Ti, i = 1, . . . , N trong kh(cid:230)ng gian Hilbert th(cid:252)c H, ngh(cid:190)a l(cid:160) C := ∩N

(1.10) un+1 = T[n+1]un − λn+1µF (T[n+1]un),

(cid:240) (cid:31)¥y [n] := n mod N l(cid:160) h(cid:160)m modulo l§y gi¡ tr(cid:224) trong t“p {1, 2, . . . , N }, u0 l(cid:160) (cid:31)i”m ban (cid:31)ƒu b§t k(cid:253) trong H, µ ∈ (0, 2η/L2). Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p

n=1 |λn − λn+N | < ∞.

do Yamada (2001) [17] (cid:31)• xu§t (cid:31)(cid:247)æc chøng minh l(cid:160) hºi t(cid:246) m⁄nh v• nghi»m duy nh§t cıa b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n trong kh(cid:230)ng gian Hilbert H khi C := ∩N i=1Fix(Ti) v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n (cid:31)(cid:176)t l¶n d¢y tham sŁ {λn} nh(cid:247) sau: (L1) limn→∞ λn = 0, (L2) (cid:80)∞ n=1 λn = ∞, v(cid:160) (L3) (cid:80)∞

Khi N = 1, ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p lai gh†p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng dŁc cıa Yamada tr(cid:240) v•

d⁄ng

un+1 = T (un) − λn+1µF (T un).

1.2.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p lai gh†p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng dŁc nh§t v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)i”m gƒn

k• t…m kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa ¡nh x⁄ j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u

Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp F = (cid:53)ϕ th… d¢y l(cid:176)p (1.10) hºi t(cid:246) m⁄nh v• (cid:31)i”m x∗ l(cid:160) (cid:31)i”m c(cid:252)c ti”u cıa h(cid:160)m ϕ(x) tr¶n t“p r(cid:160)ng buºc ∩N i=1Fix(Ti). K‚t qu£ n(cid:160)y (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc Deutsch v(cid:160) Yamada [8] c(cid:230)ng bŁ n«m 1998. (cid:215)u (cid:31)i”m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p lai gh†p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng dŁc l(cid:160) kh(cid:230)ng cƒn th(cid:252)c hi»n ph†p chi‚u l¶n t“p r(cid:160)ng buºc C cıa b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n m(cid:160) thay v(cid:160)o (cid:31)(cid:226) l(cid:160) d⁄ng (cid:31)(cid:226)ng cıa h(cid:229) c¡c ¡nh x⁄ m(cid:160) t“p (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng chung cıa h(cid:229) ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:226) l(cid:160) t“p ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc cıa b(cid:160)i to¡n.

Trong m(cid:246)c n(cid:160)y ta x†t b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n (1.6) trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp ¡nh x⁄ gi¡ F l(cid:160) η-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh v(cid:160) γ-gi£ co ch(cid:176)t tr¶n E, t“p r(cid:160)ng buºc C l(cid:160) t“p kh(cid:230)ng (cid:31)i”m chung cıa c¡c ¡nh x⁄ Ai : E → E c(cid:226) t‰nh ch§t m-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u trong kh(cid:230)ng gian Banach E l(cid:231)i (cid:31)•u c(cid:226) chu'n kh£ vi G¥teaux (cid:31)•u, ngh(cid:190)a l(cid:160)

i=1ZerAi N ≥ 1,

C = ∩N (1.11)

(cid:240) (cid:31)¥y ZerAi := {p ∈ D(Ai) : 0 = Aip}.

Khi C ≡ E, (Ai ≡ I) th… (1.6) tr(cid:240) th(cid:160)nh ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß F x = 0. Khi (cid:31)(cid:226), (cid:31)” t…m mºt nghi»m cıa ¡nh x⁄ η-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh v(cid:160) L-li¶n t(cid:246)c Lipschitz F v(cid:238)i mi•n x¡c (cid:31)(cid:224)nh D(F ) = E ta sß d(cid:246)ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p lai gh†p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng dŁc nh§t: l§y z1 ∈ E l(cid:160) (cid:31)i”m b§t k(cid:253) v(cid:160)

d¢y l(cid:176)p {zk} (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i:

k ≥ 1, (1.12) zk+1 = (I − tkF )zk,

k=1 tk = ∞.

trong (cid:31)(cid:226) tk th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n sau: (C1) tk ∈ (0, 1), limk→∞ tk = 0, (cid:80)∞

V(cid:238)i c¡c t‰nh ch§t tr¶n th… F l(cid:160) mºt ¡nh x⁄ m-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u trong kh(cid:230)ng gian Bannach ph£n x⁄. Mºt trong nhœng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p cŒ (cid:31)i”n t…m kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa ¡nh x⁄ m-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u A l(cid:160)

xk, k ≥ 1, (1.13) x1 ∈ E, xk+1 = J A rk

= (I + rkA)−1 l(cid:160) to¡n tß gi£i cıa A v(cid:160) {rk} l(cid:160) d¢y sŁ trong (cid:31)(cid:226) J A rk th(cid:252)c d(cid:247)(cid:236)ng. S(cid:252) hºi t(cid:246) cıa d¢y l(cid:176)p (1.13) (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc nghi¶n cøu trong kh(cid:230)ng gian Hilbert th(cid:252)c H, r(cid:231)i ph¡t tri”n sang kh(cid:230)ng gian Banach tr(cid:236)n (cid:31)•u E.

Trong [9], Kaminrura v(cid:160) Takahashi (cid:31)¢ (cid:31)• xu§t hai thu“t to¡n. Thu“t

to¡n (cid:31)ƒu ti¶n cıa h(cid:229) x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i:

(1.14) xk + ek, xk+1 = tku + (1 − tk)yk, yk = J A rk

(cid:240) (cid:31)¥y {ek} l(cid:160) d¢y sai sŁ. H(cid:229) (cid:31)¢ chøng minh r‹ng c¡c d¢y {xk} sinh ra b(cid:240)i (1.14) hºi t(cid:246) m⁄nh t(cid:238)i PZerAu, ph†p co r(cid:243)t kh(cid:230)ng gi¢n theo tia chi‚u u l¶n ZerA, d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n (C1) v(cid:160)

k≥1 (cid:107)ek(cid:107) < ∞.

(C2) rk ∈ (0, ∞) v(cid:238)i m(cid:229)i k ≥ 1 v(cid:160) limk→∞ rk = ∞; v(cid:160) (C3) (cid:80)

H(cid:229) c(cid:244)ng ch¿ ra thu“t to¡n thø 2

(1.15) xk + ek, xk+1 = tkxk + (1 − tk)yk, yk = J A rk

hºi t(cid:246) y‚u (cid:31)‚n v ∈ ZerA v(cid:238)i c¡c (cid:31)i•u ki»n (C1), (C2) v(cid:160) (C3), (cid:240) (cid:31)¥y v = limk→∞ PZerAxk.

Thu“t to¡n (1.14) v(cid:160) (1.15) (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc nghi¶n cøu khi A l(cid:160) mºt ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i trong kh(cid:230)ng gian Hilbert th(cid:252)c H. C¡c thu“t to¡n

n(cid:160)y l(cid:160) c¡c c£i bi¶n cıa thu“t to¡n (cid:31)i”m gƒn k•, mºt thu“t to¡n ch¿ cho s(cid:252) hºi t(cid:246) y‚u trong kh(cid:230)ng gian Hilbert v(cid:230) h⁄n chi•u. Mºt c£i bi¶n kh¡c cho s(cid:252) hºi t(cid:246) m⁄nh cıa thu“t to¡n (cid:31)i”m gƒn k• (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a ra b(cid:240)i Xu [16] v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i:

k ≥ 1. (1.16) ((1 − tk)xk + tku + ek), xk+1 = J A rk

Xu [16] (cid:31)¢ chøng minh r‹ng d¢y {xk} (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i (1.16) hºi t(cid:246) m⁄nh t(cid:238)i PZerAu d(cid:247)(cid:238)i gi£ thi‚t X1:

1 tk

rk+1tk rktk+1

k=1

− 1(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)= 0 ho(cid:176)c (cid:80)∞ v(cid:238)i m(cid:229)i k ≥ 1 v(cid:160) limk→∞ − 1(cid:12) (cid:12)< ∞; (cid:12) (cid:12) (i) tk th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n (C1); (ii) tk+1 ≤ rk+1 rk rk+1tk rktk+1

(iii) {rk} l(cid:160) d¢y sŁ th(cid:252)c d(cid:247)(cid:236)ng; v(cid:160)

k=1 |tk+1 − tk| < ∞; − 1(cid:12) (cid:12) (cid:12)

(vi) (C3).

rk+1tk rktk+1

1 tk

k=1

(cid:12)= 0 ho(cid:176)c (cid:80)∞ v(cid:238)i m(cid:229)i k ≥ 1 v(cid:160) limk→∞ − 1(cid:12) (cid:12)< ∞; (cid:12) (cid:12) Ho(cid:176)c gi£ thi‚t X2: (i) tk th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n (C1) v(cid:238)i (cid:80)∞ (ii) tk+1 ≤ rk+1 rk rk+1tk rktk+1

(iii) {rk} l(cid:160) d¢y sŁ th(cid:252)c sao cho 0 < r ≤ rk ≤ r v(cid:238)i m(cid:229)i k ≥ 1 v(cid:238)i

k=1 |rk+1 − rk| < ∞; v(cid:160) (C3).

0 < r ≤ r v(cid:160) (cid:80)∞

Trong [5], Boikanyo v(cid:160) Morosanu ch¿ ra r‹ng (1.16) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i

(1.17) yk + tk+1u + ek+1, yk+1 = (1 − tk+1)J A rk

v(cid:160) (cid:31)¢ chøng minh s(cid:252) hºi t(cid:246) m⁄nh cıa d¢y {yk} t(cid:238)i PZerAu, n‚u c¡c (cid:31)i•u ki»n sau (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n

(i) tk th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n (C1);

(ii) rk th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n (C2); v(cid:160)

(iii) ho(cid:176)c (C3) ho(cid:176)c (cid:107)ek(cid:107)/tk → 0.

Trong [13], Tian v(cid:160) Song (cid:31)¢ chøng minh hºi t(cid:246) m⁄nh cıa (1.17) d(cid:247)(cid:238)i gi£ thi‚t X1 trł (cid:31)i•u ki»n (ii). Gƒn (cid:31)¥y Sahu v(cid:160) Yao [11] (cid:31)(cid:247)a ra thu“t to¡n Prox-Tikhonov:

k ≥ 1, (1.18) ((1 − tk)xk + tkf xk + ek), xk+1 = J A rk

i≥1 ai = 1 ho(cid:176)c S = (cid:80)

i≥1 aiAi v(cid:238)i ai > 0 v(cid:160) (cid:80) i≥1 βk,i = 1, 0 < βk,i < 1 v(cid:160) J Ai

v(cid:238)i ¡nh x⁄ co f v(cid:160) (cid:31)¢ chøng minh s(cid:252) hºi t(cid:246) m⁄nh v(cid:238)i gi£ thi‚t t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) gi£ thi‚t X1.

B(cid:160)i to¡n x§p x¿ kh(cid:230)ng (cid:31)i”m chung cho mºt h(cid:229) ¡nh x⁄ Ai c(cid:226) t‰nh ch§t m-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh trong kh(cid:230)ng gian Bannach E v(cid:238)i i ≥ 1 (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc nhi•u t¡c gi£ quan t¥m nghi¶n cøu tr¶n c(cid:236) s(cid:240) sß d(cid:246)ng c¡c ¡nh x⁄ A = (cid:80) i≥1 βk,iJ Ai ri , trong (cid:31)(cid:226) (cid:80) ri = (I + riAi)−1 v(cid:238)i c¡c sŁ cŁ (cid:31)(cid:224)nh ri > 0.

Trong [7], (cid:31)” gi£i b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n (1.6) khi C =

xk(cid:1), k ≥ 1, (1.19) ZerA, Ceng v(cid:160) cºng s(cid:252) (cid:31)¢ (cid:31)• xu§t thu“t to¡n sau xk+1 = (I − λkF )(cid:0)tkxk + (1 − tk)J A rk

v(cid:160) (cid:31)¢ chøng minh s(cid:252) hºi t(cid:246) m⁄nh cıa (1.19) trong kh(cid:230)ng gian Bannach tr(cid:236)n (cid:31)•u d(cid:247)(cid:238)i nhœng gi£ thi‚t t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) X1.

Trong Ch(cid:247)(cid:236)ng 2, ta s‡ tr…nh b(cid:160)y ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p gi£i b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n (1.6) v(cid:238)i t“p r(cid:160)ng buºc l(cid:160) t“p kh(cid:230)ng (cid:31)i”m chung cıa c¡c ¡nh x⁄ m-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh trong kh(cid:230)ng gian Banach tr(cid:236)n.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)i”m gƒn k• (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng

dŁc nh§t x§p x¿ nghi»m b(cid:160)i to¡n b§t

(cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n

Ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y tr…nh b(cid:160)y mºt c¡ch ti‚p c“n m(cid:238)i cho b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n (1.6) trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp t“p r(cid:160)ng buºc C l(cid:160) t“p kh(cid:230)ng (cid:31)i”m chung cıa c¡c ¡nh x⁄ m-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u Ai, i = 1, 2, . . . , N , ngh(cid:190)a l(cid:160) C = ∩N i=1ZerAi, kh(cid:230)ng sß d(cid:246)ng c¡c ¡nh x⁄ A v(cid:160) S (cid:31)¢ n¶u (cid:240) M(cid:246)c 1.2.2 (cid:240) Ch(cid:247)(cid:236)ng 1. Nºi dung cıa ch(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y trong hai m(cid:246)c. M(cid:246)c 2.1 tr…nh b(cid:160)y mºt ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p 'n v(cid:160) tr…nh b(cid:160)y chøng minh s(cid:252) hºi t(cid:246) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p. M(cid:246)c 2.2 tr…nh b(cid:160)y hai ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p hi»n v(cid:160) c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) hºi t(cid:246) m⁄nh, (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i tr…nh b(cid:160)y hai v‰ d(cid:246) sŁ trong kh(cid:230)ng gian hai chi•u. K‚t qu£ cıa Ch(cid:247)(cid:236)ng 2 (cid:31)(cid:247)æc vi‚t tr¶n c(cid:236) s(cid:240) b(cid:160)i b¡o [6] c(cid:230)ng bŁ n«m 2018 v(cid:160) mºt sŁ t(cid:160)i li»u (cid:31)(cid:247)æc tr‰ch d¤n trong (cid:31)(cid:226).

2.1.1 Gi(cid:238)i h⁄n Banach

2.1 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p 'n

X†t kh(cid:230)ng gian c¡c d¢y sŁ b(cid:224) ch(cid:176)n (cid:96)∞ = {x = (x1, x2, . . .) :

supn |xn| < ∞}.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.1 Phi‚m h(cid:160)m µ : (cid:96)∞ → R (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) gi(cid:238)i h⁄n Banach n‚u

(i) µ l(cid:160) tuy‚n t‰nh, tøc l(cid:160): µ(x + y) = µ(x) + µ(y) v(cid:160) µ(cx) = cµ(x)

v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ (cid:96)∞ v(cid:160) c l(cid:160) h‹ng sŁ.

(ii) µ l(cid:160) ¡nh x⁄ d(cid:247)(cid:236)ng, tøc l(cid:160): µ(x) ≥ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ (cid:96)∞ sao cho

xn ≥ 0 ∀n ∈ N.

(iii) (cid:107)µ(cid:107) = µ(1, 1, . . .) = 1.

(vi) µ(x1, x2, . . .) = µ(x2, x3, . . .) v(cid:238)i mØi x = (x1, x2, . . .) ∈ (cid:96)∞.

Ta vi‚t µ(xn) thay cho µ(x1, x2, . . . , xn, . . .). S(cid:252) t(cid:231)n t⁄i cıa gi(cid:238)i h⁄n

Banach (cid:31)(cid:247)æc b£o (cid:31)£m nh(cid:237) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) Hahn(cid:21)Banach.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.2 (xem [3]) Lu(cid:230)n t(cid:231)n t⁄i phi‚m h(cid:160)m tuy‚n t‰nh li¶n t(cid:246)c µ tr¶n (cid:96)∞ sao cho (cid:107)µ(cid:107) = µ(1) = 1 v(cid:160) µ(xn) = µ(xn+1) v(cid:238)i mØi x = (x1, x2, . . .) ∈ (cid:96)∞.

Mºt sŁ t‰nh ch§t cıa gi(cid:238)i h⁄n Banach µ (cid:31)(cid:247)æc cho trong c¡c m»nh

(cid:31)• d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y.

M»nh (cid:31)• 2.1.3 (xem [3]) Cho µ l(cid:160) gi(cid:238)i h⁄n Banach. Khi (cid:31)(cid:226)

xn lim inf n→∞ xn ≤ µ(xn) ≤ lim sup n→∞

v(cid:238)i mØi x = (x1, x2, . . .) ∈ (cid:96)∞. H(cid:236)n nœa, n‚u xn → a, th… µ(xn) = a.

BŒ (cid:31)• 2.1.4 (xem [3]) Cho C l(cid:160) t“p con l(cid:231)i trong kh(cid:230)ng gian Ba- nach E c(cid:226) chu'n kh£ vi G¥teaux (cid:31)•u. Gi£ sß {xn} l(cid:160) d¢y b(cid:224) ch(cid:176)n trong E, z l(cid:160) mºt (cid:31)i”m trong C v(cid:160) µ l(cid:160) gi(cid:238)i h⁄n Banach. Khi (cid:31)(cid:226),

µ(cid:107)xn − u(cid:107)2 µ(cid:107)xn − z(cid:107)2 = min u∈C

khi v(cid:160) ch¿ khi µ(cid:104)u − z, j(xn − z)(cid:105) ≤ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ C.

2.1.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p 'n v(cid:160) s(cid:252) hºi t(cid:246)

Gi(cid:238)i h⁄n Banach l(cid:160) mºt m(cid:240) rºng cıa kh¡i ni»m gi(cid:238)i h⁄n th(cid:230)ng th(cid:247)(cid:237)ng.

Ta x†t ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p 'n sau (cid:31)¥y (xem [6]):

(2.1) (I − λtF )yt, · · · J A1 r1 t yt = J AN rN t J AN −1 rN −1 t

tAi)−1 v(cid:238)i ri

t > ε > 0 v(cid:160) sŁ λt ∈ (0, 1) (cid:31)(cid:247)æc

= (I + ri

trong (cid:31)(cid:226) J Ai ri t ch(cid:229)n sao cho λt → 0 khi t → 0.

k=1 bk = ∞;

BŒ (cid:31)• 2.1.5 (xem [14]) Cho {ak} l(cid:160) d¢y th(cid:252)c kh(cid:230)ng ¥m th(cid:228)a m¢n theo (cid:31)i•u ki»n sau ak+1 ≤ (1 − bk)ak + bkck, trong (cid:31)(cid:226) {bk} v(cid:160) {ck} l(cid:160) c¡c d¢y th(cid:252)c sao cho: (i) bk ∈ (0, 1), bk → 0 khi k → ∞ v(cid:160) (cid:80)∞

(ii) lim supk→∞ ck ≤ 0.

tAi)−1 trong (cid:31)(cid:226) ri

Khi (cid:31)(cid:226), limk→∞ ak = 0.

M»nh (cid:31)• 2.1.6 (xem [6]) Cho E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Bannach l(cid:231)i (cid:31)•u c(cid:226) chu'n kh£ vi G¥teaux (cid:31)•u, F : E → E l(cid:160) mºt ¡nh x⁄ η-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh v(cid:160) γ-gi£ co ch(cid:176)t v(cid:238)i η + γ > 1. Cho Ai l(cid:160) c¡c ¡nh x⁄ m-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i¶u tr¶n E v(cid:160) J Ai = (I + ri t > ε > 0 v(cid:238)i ri t m(cid:229)i t > 0 v(cid:160) i = 1, 2, . . . , N . V(cid:238)i mØi t, ta ch(cid:229)n mºt sŁ λt ∈ (0, 1) t(cid:242)y (cid:254) v(cid:160) sao cho λt → 0 khi t → 0. Khi (cid:31)(cid:226) d¢y {yt} (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i (2.1) hºi t(cid:246) m⁄nh t(cid:238)i p∗, nghi»m duy nh§t cıa b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n (1.6) khi t → 0 v(cid:238)i C = ∩N i=1ZerAi (cid:31)(cid:247)æc gi£ thi‚t l(cid:160) kh¡c rØng.

(I − λtF ). Tł t‰nh · · · J A1 r1 t J AN −1 rN −1 t

Chøng minh. X†t ¡nh x⁄ Ut = J AN rN t ch§t kh(cid:230)ng gi¢n cıa J Ai v(cid:160) BŒ (cid:31)• 1.1.17 suy ra ri t

(I − λtF )x J AN −1 rN −1 t

(I − λtF )y(cid:107) · · · J A1 r1 t · · · J A1 r1 t (cid:107)Utx − Uty(cid:107) = (cid:107)J AN rN t − J AN rN t

J AN −1 rN −1 t ≤ (cid:107)(I − λtF )x − (I − λtF )y(cid:107) ≤ (1 − λtτ )(cid:107)x − y(cid:107) ∀x, y ∈ E.

Do (cid:31)(cid:226), Ut l(cid:160) ¡nh x⁄ co trong E. Theo nguy¶n l(cid:254) ¡nh x⁄ co Banach, t(cid:231)n t⁄i phƒn tß duy nh§t yt ∈ E th(cid:228)a m¢n (2.1).

i=1ZerAi, ta c(cid:226) p = J Ai ri t

p ∈ ∩N Ti‚p theo ta ch¿ ra d¢y {yt} b(cid:224) ch(cid:176)n. Th“t v“y, l§y b§t k… (cid:31)i”m p, i = 1, 2, . . . , N . Sß d(cid:246)ng t‰nh ch§t

v(cid:160) BŒ (cid:31)• 1.1.17, kh(cid:230)ng gi¢n cıa J Ai ri t

(I − λtF )yt · · · J A1 r1 t

J AN −1 rN −1 t p(cid:107) (cid:107)yt − p(cid:107) = (cid:107)Utyt − p(cid:107) = (cid:107)J AN rN t − J AN · · · J A1 r1 rN t t J AN −1 rN −1 t

i} c(cid:244)ng b(cid:224) ch(cid:176)n, (cid:240) (cid:31)¥y yt

i = J Ai ri t

≤ (cid:107)(I − λtF )yt − (I − λtF )p − λtF p(cid:107) ≤ (1 − λtτ )(cid:107)yt − p(cid:107) + λt(cid:107)F (p)(cid:107).

p(cid:107)2 (cid:107)yt − p(cid:107)2 = (cid:107)yt

Suy ra, (cid:107)yt − p(cid:107) ≤ (cid:107)F p(cid:107)/τ , ngh(cid:190)a l(cid:160) d¢y {yt} b(cid:224) ch(cid:176)n, v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) c¡c d¢y {F yt} v(cid:160) {yt yt i−1, i = 1, 2, . . . , N, 0 = (I − λtF )yt. Kh(cid:230)ng m§t t‰nh tŒng qu¡t ta gi£ sß c¡c d¢y n(cid:160)y v(cid:160) yt b(cid:224) ch(cid:176)n b(cid:240)i mºt h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng M1. Tł (2.1) t‰nh ch§t cıa J Ai v(cid:160) BŒ ri t (cid:31)• 1.1.13 ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc yt = yt N v(cid:160) N −1 − J AN N − p(cid:107)2 = (cid:107)J AN yt rN rN t t i − p(cid:107)2 N −1 − p(cid:107)2 ≤ · · · ≤ (cid:107)yt

(2.2)

≤ (cid:107)yt 0 − p(cid:107)2 = (cid:107)(I − λtF )yt − p(cid:107)2 ≤ · · · ≤ (cid:107)yt = (cid:107)(I − λtF )yt − (I − λtF )p − λtF p(cid:107)2 ≤ (1 − λtτ )(cid:107)yt − p(cid:107)2 − 2λt(cid:104)F p, j(yt − p − λtF yt(cid:105)

suy ra

i−1 −J Ai ri t

tm, λm = λtm v(cid:160) ym

(cid:107)yt − p(cid:107)2 ≤ (2.3) (cid:104)F p, j(yt − p − λtF yt)(cid:105) ∀p ∈ C.

i−1 − J Ai ri m

yt(cid:107) → 0 khi t → 0 v(cid:238)i b§t t > ε > 0 v(cid:160) i = 1, 2, . . . , N . (cid:30)” l(cid:160)m vi»c n(cid:160)y, tr(cid:247)(cid:238)c h‚t ta ch¿ ra yt i−1(cid:107) → 0. Gi£ sß {tm} ⊂ (0, t0) v(cid:238)i t0 > 0 cŁ (cid:31)(cid:224)nh, l(cid:160) mºt i = ytm m = ri . ym i−1(cid:107) → 0 khi

−2 τ Ti‚p theo ta chøng minh r‹ng (cid:107)yt − J Ai ri t k(cid:253) ri (cid:107)yt d¢y hºi t(cid:246) v• 0 khi m → ∞. Ta (cid:31)(cid:176)t ri Rª r(cid:160)ng (cid:31)i•u (cid:31)(cid:226) l(cid:160) (cid:31)ı (cid:31)” chøng minh r‹ng (cid:107)ym m → ∞.

(cid:30)ƒu ti¶n, sß d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 1.1.20 v(cid:238)i A, λ, µ v(cid:160) x thay th‚ t(cid:247)(cid:236)ng øng

m, ri

b(cid:240)i Ai, ri

i−1/2(cid:1). ym

m/2 v(cid:160) ym J Ai ri m

i−1, ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc i−1 = J Ai ym ri m/2

i−1/2 + J Ai ri m

(cid:0)ym

V… E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Bannach l(cid:231)i (cid:31)•u, n¶n t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c, t«ng ng(cid:176)t v(cid:160) l(cid:231)i g : [0, +∞) → [0, +∞) v(cid:238)i g(0) = 0 sao cho

(cid:107)tx + (1 − t)y(cid:107)q ≤ t(cid:107)x(cid:107)q + (1 − t)(cid:107)y(cid:107)q − ωq(t)g((cid:107)x − y(cid:107)),

v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ BM (0) := {x ∈ E : (cid:107)x(cid:107) ≤ M } v(cid:160) t ∈ [0, 1], trong (cid:31)(cid:226) M > 0, q > 1 l(cid:160) hai sŁ cŁ (cid:31)(cid:224)nh v(cid:160) ωq(t) = tq(1 − t) + t(1 − t)q. L§y t = 1/2 v(cid:238)i q = 2 v(cid:160) sß d(cid:246)ng (2.2) ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc N −1 − p(cid:107)2 ≤ · · · ≤ (cid:107)J Ai ym ri m (cid:0)ym

0 − p(cid:107)2 − g(cid:0)(cid:107)ym

i−1(cid:107)(cid:1)/4 ym i−1(cid:107)(cid:1)/4 i−1 − J Ai ym ri m

(cid:107)ym − p(cid:107)2 = (cid:107)J AN i−1 − p(cid:107)2 ym rN m i−1/2(cid:1)−J Ai i−1/2 + J Ai = (cid:107)J Ai m/2p(cid:107)2 ym ri ri m/2 m i−1 − p)/2(cid:13) ≤ (cid:13) 2 i−1 − p)/2 + (J Ai ym (cid:13)(ym (cid:13) ri m i−1 − p(cid:107)2/2 + (cid:107)J Ai ≤ (cid:107)ym i−1 − p(cid:107)2/2 ym ri m − g(cid:0)(cid:107)ym i−1(cid:107)(cid:1)/4 i−1 − J Ai ym ri m i−1 − p(cid:107)2 − g(cid:0)(cid:107)ym i−1 − J Ai ri m

i−1 − J Ai ri m

− g(cid:0)(cid:107)ym ≤ (cid:107)ym ≤ · · · = (cid:107)ym ≤ (cid:107)ym − p(cid:107)2 − 2λm(cid:104)F ym, j(ym − p − λmF ym)(cid:105) i−1(cid:107)(cid:1)/4. ym

Do (cid:31)(cid:226)

i−1(cid:107)(cid:1)/4 ≤ −2λm(cid:104)F ym, j(ym − p − λmF ym)(cid:105). ym

i−1 − J Ai ri m

g(cid:0)(cid:107)ym

K‚t hæp v(cid:238)i λm → 0, (cid:107)ym(cid:107) ≤ M1 v(cid:160) (cid:107)F ym(cid:107) ≤ M1 suy ra

i−1 − J Ai ri m

i−1 − J Ai ri t

g((cid:107)ym i = 1, 2, . . . , N. ym i−1(cid:107)) = 0, lim m→∞

ym Tł t‰nh ch§t cıa g suy ra (cid:107)ym i−1(cid:107) → 0 khi m → ∞. V… d¢y {tm} l(cid:160) mºt d¢y hºi t(cid:246) v• 0 khi m → ∞, (cid:107)yt yt i−1(cid:107) → 0 khi t → 0, i = 1, 2, . . . , N. B¥y gi(cid:237) ta ch¿ ra r‹ng (cid:107)yt − J Ai yt(cid:107) → 0 khi ri t t → 0 v(cid:238)i i = 1, 2, . . . , N. Th“t v“y, tr(cid:247)(cid:237)ng hæp i = 1 ta c(cid:226)

0(cid:107) → 0, (cid:107)yt − yt yt

(cid:107)yt

0 − J A1 r1 t (cid:107)yt − J A1 r1 t

yt(cid:107) ≤ (cid:107)yt − yt yt(cid:107)

0(cid:107) + (cid:107)yt 0(cid:107) + (cid:107)yt

0(cid:107) = λt(cid:107)F yt(cid:107) ≤ λtM1 → 0, v(cid:160) 0 − J A1 0(cid:107) + (cid:107)J A1 0 − J A1 yt yt r1 r1 r1 t t t 0 − J A1 yt 0(cid:107). r1 t

≤ 2(cid:107)yt − yt

2 −yt(cid:107) → 0

yt(cid:107) → 0 khi t → 0. H(cid:236)n nœa ta c(cid:244)ng c(cid:226) (cid:107)yt

Do (cid:31)(cid:226), (cid:107)yt −J A1 r1 t v…

0 − yt yt

0(cid:107) + (cid:107)yt

0 − yt(cid:107) → 0,

1 − yt(cid:107) ≤ (cid:107)J A1 r1 t

t (cid:107) → 0.

1(cid:107) → 0 v(cid:160) (cid:107)yt − y1 yt

1 − J A2 r1 t

(cid:107)yt t → 0. khi

Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp i = 2, ta c(cid:226) (cid:107)yt Do v“y tł

1 − J A2 yt r2 t

yt(cid:107) ≤ (cid:107)yt − yt yt(cid:107) (cid:107)yt − J A2 r2 t

1(cid:107) + (cid:107)yt 1(cid:107) + (cid:107)yt

1 − J A2 1(cid:107) + (cid:107)J A2 yt r2 r2 t t 1 − J A2 yt 1(cid:107) r2 t

≤ 2(cid:107)yt − yt

2 − yt(cid:107) → 0 b(cid:240)i v…:

yt(cid:107) → 0. H(cid:236)n nœa ta c(cid:244)ng c(cid:226) (cid:107)yt suy ra (cid:107)yt − J A2 r2 t

1 − yt yt

1(cid:107) + (cid:107)yt

1 − yt(cid:107),

2 − yt(cid:107) ≤ (cid:107)J A2 r2 t

1 − J A2 r2 t

1 − yt(cid:107) → 0. T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) cho i = 1, 2, . . . , N , yt(cid:107) → 0 v(cid:160) (cid:107)yt

i − yt(cid:107) → 0 khi t → 0.

(cid:107)yt

(cid:107)yt 1(cid:107) → 0 v(cid:160) (cid:107)yt yt ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc (cid:107)yt − J Ai ri t

Ti‚p theo, cho ym = ytm v(cid:160) ϕ(x) = µm(cid:107)ym − x(cid:107)2 v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ E, trong (cid:31)(cid:226) {tm} (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a (cid:240) tr¶n. Ta th§y r‹ng ϕ(x) → ∞ khi (cid:107)x(cid:107) → ∞ v(cid:160) ϕ l(cid:160) l(cid:231)i, li¶n t(cid:246)c do E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach ph£n x⁄, do (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i phƒn tß ˜y ∈ E sao cho ϕ(˜y) = minx∈E ϕ(x), ngh(cid:190)a l(cid:160)

ϕ(x)} (cid:54)= ∅. C ∗ = {u ∈ E : ϕ(u) = min x∈E

Ta th§y C ∗ l(cid:160) mºt t“p b(cid:224) ch(cid:176)n, (cid:31)(cid:226)ng, l(cid:231)i trong E. H(cid:236)n nœa tł BŒ (cid:31)• 1.1.19, (cid:107)ym − J Ai ym(cid:107), v(cid:160) v… th‚,

ε ym(cid:107) ≤ 2(cid:107)ym − J Ai ri m ε ym(cid:107) = 0.

(cid:107)ym − J Ai lim m→∞

Do (cid:31)(cid:226) tł t‰nh ch§t cıa gi(cid:238)i h⁄n Bannach suy ra

ε ˜y) = µm(cid:107)ym − J Ai

ε ˜y(cid:107)2 = µm(cid:107)J Ai

ε ym − J Ai

ε ˜y(cid:107)2

ϕ(J Ai

ε C ∗ ⊆ C ∗. V… kh(cid:230)ng gian Bannach E l(cid:231)i (cid:31)•u, suy ra C(cid:226) ngh(cid:190)a l(cid:160) J Ai n(cid:226) ph£n x⁄ v(cid:160) l(cid:231)i ch(cid:176)t, n¶n b§t cø t“p (cid:31)(cid:226)ng v(cid:160) l(cid:231)i trong E l(cid:160) mºt t“p

≤ µm(cid:107)ym − ˜y(cid:107)2 = ϕ(˜y).

ε ) khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i duy nh§t

Chebyshev. L§y b§t k… (cid:31)i”m y ∈ F ix(J Ai ˜y ∈ C ∗ sao cho

(cid:107)y − x(cid:107). (cid:107)y − ˜y(cid:107) = inf x∈C ∗

ε y v(cid:160) J Ai

V… y = J Ai

ε ˜y ∈ C ∗, ta c(cid:226) ε ˜y(cid:107) = (cid:107)J Ai

ε y − J Ai

ε ˜y(cid:107) ≤ (cid:107)y − ˜y(cid:107),

ε ˜y = ˜y. V… th‚ t(cid:231)n mºt (cid:31)i”m ˜p ∈ ∩N

i=1ZerAi ∩ C ∗. B¥y v(cid:160) do (cid:31)(cid:226), J Ai gi(cid:237) tł BŒ (cid:31)• 2.1.4, suy ra ˜p l(cid:160) mºt c(cid:252)c ti”u cıa ϕ(x) tr¶n E, n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u

(cid:107)y − J Ai

(2.4) µm(cid:104)x − ˜p, j(ym − ˜p)(cid:105) ≤ 0 ∀x ∈ E.

(cid:30)(cid:176)t x = −F ˜p+ ˜p trong (2.4), thay th‚ yt v(cid:238)i p trong (2.3) b(cid:240)i ym v(cid:238)i ˜p, t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:160) sß d(cid:246)ng c¡c t‰nh ch§t cıa j, ta c(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc µm(cid:107)ym− ˜p(cid:107)2 = 0. Do v“y t(cid:231)n t⁄i d¢y con {yml} cıa d¢y {ym} hºi t(cid:246) m⁄nh v• ˜p khi l → ∞. Tł (2.3) v(cid:160) t‰nh ch§t cıa ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u j tr¶n c¡c t“p con b(cid:224) ch(cid:176)n trong E, ta (cid:31)(cid:247)æc

i=1ZerAi.

(cid:104)F p, j(˜p − p)(cid:105) ≤ 0 ∀p ∈ ∩N (2.5)

V… p v(cid:160) ˜p n‹m trong ∩N i=1ZerAi, l(cid:160) t“p con l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng, thay th‚ p trong (2.5) b(cid:240)i sp + (1 − s)˜p v(cid:238)i s ∈ (0, 1), v(cid:160) sß d(cid:246)ng c¡c t‰nh ch§t (cid:31)¢ bi‚t j(s(˜p − p)) = sj(˜p − p) v(cid:238)i s > 0, chia cho s v(cid:160) cho s → 0, ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc

i=1ZerAi.

(cid:104)F ˜p, j(˜p − p)(cid:105) ≤ 0 ∀p ∈ ∩N

T‰nh duy nh§t cıa p∗, th(cid:228)a m¢n (1.6), v(cid:238)i C = ∩N i=1ZerAi, b£o (cid:31)£m r‹ng ˜p = p∗ v(cid:160) t§t c£ c¡c d¢y {yt} hºi t(cid:246) m⁄nh t(cid:238)i p∗ khi t → ∞. (cid:30)(cid:226) l(cid:160) (cid:31)i•u ph£i chøng minh.

(cid:3)

BŒ (cid:31)• 2.1.7 (xem [6]) Cho E, F , A, rt v(cid:160) λt nh(cid:247) trong M»nh (cid:31)• 2.1.6. Khi (cid:31)(cid:226) m(cid:229)i d¢y {xk} ⊂ E th(cid:228)a m¢n

r1 xk − xk(cid:107) = 0

rN J AN −1

rN −1 · · · J A1

(cid:107)J AN (2.6) lim k→∞

v(cid:238)i b§t k… ri > ε, i = 1, 2, . . . , N , ta c(cid:226)

(2.7) (cid:104)F p∗, j(p∗ − xk)(cid:105) ≤ 0. lim sup k→∞

xk · · · J A1 r1 m J AN −1 rN −1 m

(I − λmF )ym − J AN rN m · · · J A1 xk(cid:107)2 r1 m · · · J A1 r1 m J AN −1 rN −1 m Chøng minh. (cid:30)(cid:176)t ym = ytm nh(cid:247) trong chøng minh M»nh (cid:31)• 2.1.6. Sß d(cid:246)ng t‰nh kh(cid:230)ng gi¢n cıa J Ai , BŒ (cid:31)• 1.1.17 v(cid:160) BŒ (cid:31)• 1.1.13 v(cid:238)i ri m (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa j, ta c(cid:226) J AN −1 (cid:107)ym − xk(cid:107)2 = (cid:107)J AN rN −1 rN m m − xk + J AN rN m

xk − xk, j(ym − xk)(cid:105) + 2(cid:104)J AN rN m J AN −1 rN −1 m

≤ (cid:107)(I − λmF )ym − xk(cid:107)2 · · · J A1 r1 m ≤ (cid:107)ym − xk(cid:107)2 − 2λm(cid:104)F ym, j(ym − xk − λmF ym)(cid:105)

xk − xk, j(ym − xk)(cid:105). · · · J A1 r1 m + 2(cid:104)J AN rN m J AN −1 rN −1 m

Do (cid:31)(cid:226),

xk − xk(cid:107), (cid:104)F ym, j(ym − xk − λmF ym)(cid:105) ≤ · · · J A1 r1 m (cid:107)J AN rN m J AN −1 rN −1 m ˜M λm

trong (cid:31)(cid:226) ˜M ≥ (cid:107)ym − xk(cid:107). Suy ra

(cid:104)F ym, j(ym − xk − λmF ym)(cid:105) ≤ 0, lim sup k→∞

k‚t hæp v(cid:238)i M»nh (cid:31)• 2.1.6, t‰nh ch§t cıa F v(cid:160) tham sŁ λm suy ra (2.7). (cid:3)

2.2.1 M(cid:230) t£ ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p

2.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p hi»n

0 = xk, (cid:1), i = 1, 2, · · · , N − 1,

Trong m(cid:246)c n(cid:160)y ta x†t hai ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p hi»n sau (cid:31)¥y (xem [6]).

(2.8)

(cid:1), (cid:0)(I − tkF )yk  x1 ∈ E, l(cid:160) phƒn tß t(cid:242)y (cid:254), yk  (cid:0)(I − tkF )yk i = J Ai i−1 + ek yk i ri k  xk+1 = J AN N −1 + ek N rN k

0 = (I − tkF )xk,

(cid:240) (cid:31)¥y {ek

(cid:1), i = 1, 2, · · · , N − 1, (2.9)

i } l(cid:160) d¢y sai sŁ, i = 1, 2, . . . , N v(cid:160)  x1 ∈ E, l(cid:160) phƒn tß t(cid:242)y (cid:254), yk  (cid:0)yk i = J Ai i−1 + ek yk i ri k  (cid:0)yk xk+1 = J AN N −1 + ek N rN k

(cid:1).

C¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc x¥y d(cid:252)ng d(cid:252)a tr¶n vi»c k‚t hæp ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng dŁc nh§t v(cid:238)i thu“t to¡n (cid:31)i”m gƒn k•, b(cid:240)i v“y ta g(cid:229)i l(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)i”m gƒn k• (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng dŁc nh§t. Ta s‡ tr…nh b(cid:160)y s(cid:252) hºi t(cid:246) m⁄nh cıa c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (2.8) v(cid:160) (2.9) d(cid:247)(cid:238)i c¡c (cid:31)i•u ki»n sau:

(a) tk th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n (C1);

k ≥ ε > 0 v(cid:238)i m(cid:229)i k ≥ 1 , i = 1, 2, . . . , N ; v(cid:160)

(b) ri

i (cid:107)/tk = 0 v(cid:238)i i = 1, 2, . . . , N .

2.2.2 S(cid:252) hºi t(cid:246)

S(cid:252) hºi t(cid:246) cıa c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (2.8) v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (2.9) (cid:31)(cid:247)æc cho

k v(cid:160) d¢y sai sŁ {ek

trong c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.1 (xem [6]) Cho E, F v(cid:160) Ai nh(cid:247) trong M»nh (cid:31)• 2.1.6. Gi£ sß r‹ng c¡c tham sŁ tk, ri i } th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n (a), (b) v(cid:160) (c). Khi (cid:31)(cid:226) d¢y {xk}, (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i (2.8) hºi t(cid:246) m⁄nh t(cid:238)i phƒn tß p∗, nghi»m duy nh§t cıa b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n (1.6).

i=1ZerAi, tł t‰nh

p = p v(cid:238)i (cid:31)i”m b§t k… p ∈ ∩N Chøng minh. Tł J Ai ri k

, (2.8) v(cid:160) BŒ (cid:31)• 1.1.17 ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc

N (cid:107)

p(cid:107) ch§t kh(cid:230)ng gi¢n cıa J Ai ri k (cid:0)(1 − tkF )yk (cid:107)xk+1 − p(cid:107) = (cid:107)J AN rN k (cid:1)−J AN rN k

N −1 + ek N N −1 − (1 − tkF )p − tkF p + ek N −1 − p(cid:107) + tk(cid:107)F p(cid:107) + (cid:107)ek N (cid:107) N (cid:107) + (cid:107)ek N −2 − p(cid:107) + 2tk(cid:107)F p(cid:107) + (cid:107)ek

N −1(cid:107)

N (cid:88)

≤ (cid:107)(1 − tkF )yk ≤ (1 − tkτ )(cid:107)yk ≤ (1 − tkτ )(cid:107)yk

i=1

≤ (1 − tkτ )(cid:107)xk − p(cid:107) + N tk(cid:107)F p(cid:107) + (cid:107)ek i (cid:107)

i−1 − p} c(cid:244)ng b(cid:224) ch(cid:176)n v(cid:238)i p ∈ ∩N i−1 + ek

≤ max {(cid:107)x1 − p(cid:107), N ((cid:107)F p(cid:107) + ˜c)/τ },

trong (cid:31)(cid:226) ˜c l(cid:160) mºt h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng sao cho (cid:107)ek i (cid:107)/tk ≤ ˜c v(cid:238)i m(cid:229)i k ≥ 1 v(cid:160) i = 1, 2, . . . , N . Do v“y, d¢y {xk} b(cid:224) ch(cid:176)n. V… th‚ c¡c d¢y {F yk i−1 − ek i=1ZerAi, (cid:240) (cid:31)¥y zk i /tk} v(cid:160) {zk i−1 = (I − tkF )yk i v(cid:238)i i = 1, 2, . . . , N . Kh(cid:230)ng m§t t‰nh tŒng qu¡t, ch(cid:243)ng ta gi£ sß r‹ng ch(cid:243)ng b(cid:224) ch(cid:176)n b(cid:240)i h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng M2. Theo chøng minh cıa M»nh (cid:31)• 2.1.6 ta suy ra

i−1 − p(cid:107)2 ≤ (cid:13) (cid:13)(zk zk ≤ (cid:107)zk

i−1 − J Ai ri k

(cid:107)J Ai ri k

i−1(cid:107)(cid:1)/4. zk

i−1 − p)/2(cid:13) 2 i−1 − p)/2 + (J Ai zk (cid:13) ri k i−1 − p(cid:107)2/2 + (cid:107)J Ai i−1 − p(cid:107)2/2 zk ri k i−1(cid:107)(cid:1)/4 − g(cid:0)(cid:107)zk zk i−1 − p(cid:107)2 − g(cid:0)(cid:107)zk i−1 − J Ai ri k

≤ (cid:107)zk

Ta (cid:31)¡nh gi¡ gi¡ tr(cid:224) (cid:107)xk+1 − p(cid:107)2 nh(cid:247) sau:

(cid:107)xk+1 − p(cid:107)2 = (cid:107)J AN N −1 − p(cid:107)2 N −1 − p(cid:107)2 ≤ (cid:107)zk zk rN k − g(cid:0)(cid:107)zk N −1(cid:107)(cid:1)/4 N −1 − J AN zk rN k N − p(cid:107)2 N −1 + ek = (cid:107)(I − tkF )yk − g(cid:0)(cid:107)zk N −1(cid:107)(cid:1)/4 N −1 − J AN zk rN k

hay

N −1 − ek

N , j(zk

N −1 − p)(cid:105)

(cid:107)xk+1 − p(cid:107)2 ≤ (cid:107)yk

N −1(cid:107)(cid:1)/4 zk

− g(cid:0)(cid:107)zk

N −1 − p(cid:107)2 − 2(cid:104)tkF yk N −1 − J AN rN k N −1 − p(cid:107)2 + 2tkM 2

2 − g(cid:0)(cid:107)zk

N −1(cid:107)(cid:1)/4 zk

N −1 − J AN rN k

≤ (cid:107)yk

2 − g(cid:0)(cid:107)zk

i−1(cid:107)(cid:1)/4, zk

i−1 − J Ai ri k

≤ · · · ≤ (cid:107)xk − p(cid:107)2 + 2N tkM 2

2 ≤ (cid:107)xk − p(cid:107)2 − (cid:107)xk+1 − p(cid:107)2.

i−1 − J Ai ri k

2 v(cid:238)i m(cid:229)i k ≥ 1, tł (cid:31)i•u

g(cid:0)(cid:107)zk v(cid:238)i mØi i ∈ {1, 2, . . . , N }. Do (cid:31)(cid:226), i−1(cid:107)(cid:1)/4 − 2N tkM 2 zk

i−1 − J Ai ri k

Ch(cid:243)ng ta ch¿ cƒn ph¥n t‰ch trong hai tr(cid:247)(cid:237)ng hæp. i−1(cid:107))/4 ≤ 2tkN M 2 zk

(a) Khi g((cid:107)zk ki»n cıa tk, ta c(cid:226)

i−1 − J Ai ri k

g((cid:107)zk zk i−1(cid:107)) = 0. lim k→∞

2 , ta (cid:31)(cid:247)æc

i−1(cid:107))/4 > 2N tkM 2 zk

i−1 − J Ai ri k

M (cid:88)

(b) Khi g((cid:107)zk

i−1(cid:107)(cid:1)/4 − 2N tkM 2 zk

i−1 − J Ai ri k

k=1

(cid:2)g(cid:0)(cid:107)zk (cid:3) ≤ (cid:107)x1 − p(cid:107)2 − (cid:107)xM +1 − p(cid:107)2

≤ (cid:107)x1 − p(cid:107)2.

∞ (cid:88)

V… v“y,

i−1(cid:107)(cid:1)/4 − 2N tkM 2 zk

i−1 − J Ai ri k

k=1

(cid:2)g(cid:0)(cid:107)zk (cid:3)< +∞.

Do (cid:31)(cid:226),

i−1(cid:107)(cid:1)/4 − 2N tkM 2 zk

i−1 − J Ai ri k

(cid:2)g(cid:0)(cid:107)zk (cid:3)= 0, lim k→∞

k‚t hæp v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n cıa tk suy ra

i−1(cid:107)(cid:1)= 0. zk

i−1 − J Ai ri k

g(cid:0)(cid:107)zk

lim k→∞ v… th‚ tł c¡c t‰nh ch§t cıa h(cid:160)m g, c(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc

i−1 − J Ai ri k

(cid:107)zk (2.10) zk i−1(cid:107) = 0. lim k→∞

i−1(cid:107) ≤ tkM2,

i−1 − yk (cid:107)zk

Cƒn l(cid:247)u (cid:254) r‹ng (cid:107)zk

i−1 − yk

i−1(cid:107) = 0, ∀i = 1, 2, · · · , N.

(2.11) lim k→∞

V… d¢y {zk

i − J Ai ri k

i−1} b(cid:224) ch(cid:176)n n¶n d¢y {yk i−1(cid:107) = (cid:107)J Ai yk ri k

(cid:107)yk (cid:0)(I − tkµF )yk yk i−1(cid:107) (cid:1)−J Ai ri k

i } c(cid:244)ng b(cid:224) ch(cid:176)n. Suy ra i−1 + ek i i − yk

i−1 + ek

i−1(cid:107) ≤ tkM2 → 0

≤ (cid:107)(I − tkµF )yk

(2.12)

khi k → ∞ v(cid:238)i i = 1, 2, . . . , N . K‚t hæp v(cid:238)i (2.10) v(cid:160) (2.11) suy ra

i − yk

i−1(cid:107) = 0 ∀i = 1, 2, · · · , N.

i−1, ta c(cid:226)

k, A = Ai v(cid:160) x = zk

(cid:107)yk (2.13) lim k→∞

i−1 −J Ai zk

ri J Ai ri k

i−1 −J Ai ri k

(cid:107)zk (cid:107)zk zk i−1(cid:107) ≤ zk i−1(cid:107). zk i−1(cid:107) ≤ 1 ε 1 rk

Sß d(cid:246)ng M»nh (cid:31)• 1.1.21 v(cid:238)i r = ri, t = ri (cid:31)(cid:247)æc 1 ri (cid:107)J Ai Tł b§t (cid:31)ﬂng thøc n(cid:160)y, (2.10) v(cid:160) (2.11) ta suy ra

i−1 − yk

i−1(cid:107) = 0, ∀i = 1, 2, · · · , N.

ri yk

(cid:107)J Ai (2.14) lim k→∞

Ti‚p theo, l§y i = 1 trong (2.14) v(cid:160) l(cid:247)u (cid:254) r‹ng

r1 xk − xk(cid:107) = 0.

(cid:107)J A1 yk 0 = xk, lim k→∞

B¥y gi(cid:237) l§y i = 2 trong (2.14) ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc

1 − yk

1 (cid:107) = 0.

r2 yk

(cid:107)J A2 lim k→∞

0 = xk, (2.12), (2.13) suy ra (cid:107)J A2 r2 J A1 r1 xk − xk(cid:107) = 0.

Gi(cid:238)i h⁄n n(cid:160)y k‚t hæp v(cid:238)i yk

lim k→∞

B‹ng (cid:31)¡nh gi¡ t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc (2.6). Ngh(cid:190)a l(cid:160) d¢y {xk}, (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i (2.14), th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n trong BŒ (cid:31)• 2.1.7.

N −1 + ek N N − p∗(cid:107)2

N (cid:107)2

p∗(cid:107)2 (cid:107)xk+1 − p∗(cid:107)2 = (cid:107)J AN rN k B¥y gi(cid:237), ta (cid:31)¡nh gi¡ gi¡ tr(cid:224) (cid:107)xk+1 − p∗(cid:107)2 nh(cid:247) sau: (cid:0)(I − tkF )yk (cid:1)−J AN rN k

N −1 + ek N −1 − (I − tkF )p∗ − tkF p∗ + ek N −1 − p∗(cid:107)2

≤ (cid:107)(I − tkF )yk = (cid:107)(I − tkF )yk ≤ (1 − tkτ )(cid:107)yk

N /tk, j(p∗ − yk

N −1 + tkF yk

N −1 − ek

N )(cid:105)

N −1/tk,

N −2 + tkF yk

+ 2tk(cid:104)F p∗ − ek

N −2 − p∗(cid:107)2 + 2tk(cid:104)F p∗ − ek N −2 − ek N /tk, j(p∗ − yk

N −1)(cid:105) N −1 + tkF yk

N −1 − ek

N )(cid:105)

≤ (1 − tkτ )(cid:107)yk j(p∗ − yk + 2tk(cid:104)F p∗ − ek

≤ (1 − bk)(cid:107)xk − p∗(cid:107)2 + bkck,

(2.15)

N (cid:88)

trong (cid:31)(cid:226) bk = tkτ v(cid:160)

i=1

N (cid:88)

(cid:2)(cid:104)F p∗, j(p∗ − xk)(cid:105) ck = (2/τ )

i /tk, j(p∗ − yk

i−1)(cid:105)

i−1) − j(p∗ − xk)(cid:105) +

(cid:104)−ek + (cid:104)F p∗, j(p∗ − yk

i /tk, j(p∗ − yk

i−1 + tkF yk

i=1 i−1 − ek

i ) − j(p∗ − xk)(cid:105)(cid:3).

+ (cid:104)F p∗ − ek

i − xk(cid:107) → 0 khi k → ∞.

Tł (2.8) v(cid:160) (2.11) suy ra (cid:107)yk

k=1 tk = ∞, (cid:80)∞

k=1 bk = ∞, n¶n tł (2.13), (2.15), (cid:31)i•u ki»n (c), t‰nh ch§t cıa j, (cid:31)i•u ki»n cıa tk, BŒ (cid:31)• 2.1.5 v(cid:160) BŒ (cid:31)• 2.1.7 ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc limk→∞ (cid:107)xk+1 − p∗(cid:107)2 = 0, suy ra (cid:31)i•u ph£i chøng minh.

V… (cid:80)∞

k} v(cid:160) {ek

(cid:3)

i=1ZerAi, tł t‰nh

p = p v(cid:238)i (cid:31)i”m b§t k(cid:253) p ∈ ∩N (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.2 (xem [6]) Cho E, F v(cid:160) Ai nh(cid:247) trong M»nh (cid:31)• 2.1.6. Gi£ sß d¢y {tk}, {ri i } nh(cid:247) trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.1. Khi (cid:31)(cid:226) d¢y {xk}, (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i (2.9), hºi t(cid:246) m⁄nh t(cid:238)i phƒn tß p∗ l(cid:160) nghi»m duy nh§t cıa b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n (1.6). Chøng minh. Tł J Ai ri k

, ta c(cid:226) ch§t kh(cid:230)ng gi¢n cıa J Ai ri k

(cid:0)yk p(cid:107) (cid:1)−J AN rN k

N (cid:107) N (cid:107) + (cid:107)ek

N −1(cid:107) ≤ · · ·

N (cid:88)

(cid:107)xk+1 − p(cid:107) = (cid:107)J AN N −1 + ek N rN k N −1 − p(cid:107) + (cid:107)ek ≤ (cid:107)yk N −2 − p(cid:107) + (cid:107)ek ≤ (cid:107)yk

0 − p(cid:107) +

i=1

N (cid:88)

≤ (cid:107)yk (cid:107)ek i (cid:107)

i=1

N (cid:88)

= (cid:107)(I − tkF )xk − p(cid:107) + (cid:107)ek i (cid:107)

i=1 ≤ max {(cid:107)x1 − p(cid:107), ((cid:107)F p(cid:107) + N c)/τ }.

i=1ZerAi, trong (cid:31)(cid:226) zk

i−1 = yk

≤ (1 − tkτ )(cid:107)xk − p(cid:107) + tk(cid:107)F p(cid:107) + (cid:107)ek i (cid:107)

Do (cid:31)(cid:226), d¢y {xk} b(cid:224) ch(cid:176)n, v… th‚ c¡c d¢y {xk −p−tkF xk} v(cid:160) {zk i−1 −p} i−1 + ek c(cid:244)ng b(cid:224) ch(cid:176)n v(cid:238)i p ∈ ∩N i , i = 2, . . . , N . Ta gi£ thi‚t r‹ng ch(cid:243)ng b(cid:224) ch(cid:176)n b(cid:240)i h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng M3. Ti‚p theo nh(cid:247) trong chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.1 ta (cid:31)(cid:247)æc (cid:107)xk+1 − p(cid:107)2 = (cid:107)J AN zk N −1 − p(cid:107)2 N −1 − p(cid:107)2 ≤ (cid:107)zk rN k − g(cid:0)(cid:107)zk N −1 − J AN rN k

N −1(cid:107)(cid:1)/4 zk

= (cid:107)yk

N −1 − J AN rN k N −1 − p)(cid:105)

≤ (cid:107)yk

− g(cid:0)(cid:107)zk

N −1(cid:107)(cid:1)/4 zk N − p(cid:107)2 − g(cid:0)(cid:107)zk N −1 + ek N , j(zk N −1 − p(cid:107)2 + 2(cid:104)ek N −1(cid:107)(cid:1)/4 N −1 − J AN zk rN k N −1 − p(cid:107)2 + 2˜ctkM3 − g(cid:0)(cid:107)zk

N −1(cid:107)(cid:1)/4 zk

N −1 − J AN rN k

≤ (cid:107)yk

i−1(cid:107)(cid:1)/4 zk

i−1 − J Ai ri k

0 − p(cid:107)2 + 2˜cN tkM3 − g(cid:0)(cid:107)zk = (cid:107)(I − tkF )xk − p(cid:107)2 + 2˜cN tkM3

≤ · · · ≤ (cid:107)yk

i−1(cid:107)(cid:1)/4 zk

i−1 − J Ai ri k

− g(cid:0)(cid:107)zk

hay

(cid:107)xk+1 − p(cid:107)2 ≤ (1 − tkτ )(cid:107)xk − p(cid:107)2 − 2tk(cid:104)F p, j(xk − p − tkF xk)(cid:105)

i−1(cid:107)(cid:1)/4 zk

+ 2˜cN tkM3 − g(cid:0)(cid:107)zk

i−1 − J Ai ri k (cid:0)(cid:107)F p(cid:107) + ˜cN (cid:1)M3 i−1(cid:107)(cid:1)/4 zk

− g(cid:0)(cid:107)zk ≤ (cid:107)xk − p(cid:107)2 + 2tk i−1 − J Ai ri k

i−1(cid:107)(cid:1)/4−2tk zk

i−1−J Ai ri k

v(cid:238)i mØi i ∈ {1, 2, . . . , N }. Do (cid:31)(cid:226), g(cid:0)(cid:107)zk (cid:0)(cid:107)F p(cid:107)+cN (cid:1)M3 ≤ (cid:107)xk−p(cid:107)2−(cid:107)xk+1−p(cid:107)2.

i−1(cid:107)(cid:1)= 0. zk

i−1 − J Ai ri k

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.1 ta thu (cid:31)(cid:247)æc g(cid:0)(cid:107)zk lim k→∞

Sß d(cid:246)ng t‰nh ch§t cıa h(cid:160)m g suy ra

i−1 − J Ai ri k

(cid:107)zk (2.16) zk i−1(cid:107) = 0. lim k→∞

i−1 − yk (cid:107)zk

(cid:30)” (cid:254) r‹ng (cid:107)zk

i−1(cid:107) ≤ ˜ctk, i−1 − yk

i−1(cid:107) = 0, ∀i = 1, 2, . . . , N.

(2.17) lim k→∞

i } c(cid:244)ng b(cid:224) ch(cid:176)n. Khi (cid:31)(cid:226),

V… d¢y {zk

i−1 + ek i

i−1} b(cid:224) ch(cid:176)n n¶n d¢y {yk i−1(cid:107) = (cid:107)J Ai i − J Ai yk ri ri k k

(cid:0)yk (cid:107)yk yk i−1(cid:107) ≤ ˜ctk → 0 (cid:1)−J Ai ri k

khi k → ∞ v(cid:238)i i = 1, 2, . . . , N . K‚t hæp v(cid:238)i (2.16), (2.17) suy ra (2.13) v(cid:160) (2.14). H(cid:236)n nœa, b(cid:31)¡nh gi¡ t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.1 ta (cid:31)(cid:247)æc d¢y {xk}, (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i (2.9), th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n trong BŒ (cid:31)• 2.1.7.

N −1 − ek

N )(cid:105) N −2 − ek

N −1)(cid:105)

p∗(cid:107)2 (cid:1)−J AN rN k

N , j(p∗ − yk N −1, j(p∗ − yk N )(cid:105)

− 2(cid:104)ek

0 − p∗(cid:107)2 − 2

i , j(p∗ − yk

i−1 − ek

i )(cid:105)

i=1

B¥y gi(cid:237) gi¡ tr(cid:224) (cid:107)xk+1 − p∗(cid:107)2 (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)¡nh gi¡ nh(cid:247) sau: (cid:0)yk (cid:107)xk+1 − p∗(cid:107)2 = (cid:107)J AN N −1 + ek N rN k N −1 + ek ≤ (cid:107)yk N − p∗(cid:107)2 N −1 − p∗(cid:107)2 − 2(cid:104)ek ≤ (cid:107)yk N −2 − p∗(cid:107)2 − 2(cid:104)ek ≤ (cid:107)yk N −1 − ek N , j(p∗ − yk N (cid:88) ≤ (cid:107)yk (cid:104)ek

N (cid:88)

≤ (1 − tkτ )(cid:107)xk − p∗(cid:107)2 + 2tk(cid:104)F p∗, j(p∗ − xk + tkF xk)(cid:105)

i /tk, j(p∗ − yk

i−1 − ek

i )(cid:105)

i=1

(cid:104)ek − 2tk

= (1 − bk)(cid:107)xk − p∗(cid:107)2 + bkck,

(2.18)

trong (cid:31)(cid:226) bk = tkτ v(cid:160)

N (cid:88)

ck = (2/τ )(cid:2)(cid:104)F p∗, j(p∗ − xk)(cid:105) + (cid:104)F p∗, j(p∗ − xk + tkF xk)

i /tk, j(p∗ − yk

i−1 − ek

i )(cid:105)(cid:3).

i=1

i −xk(cid:107) → 0 khi k → ∞. V… (cid:80)∞

(cid:104)ek − j(p∗ − xk)(cid:105) −

k=1 tk = ∞, k=1 bk = ∞, n¶n tł (2.17), (2.18), t‰nh ch§t cıa j v(cid:238)i tk v(cid:160) BŒ (cid:31)• 2.1.5, BŒ (cid:31)• 2.1.7 ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc limk→∞ (cid:107)xk+1 − p∗(cid:107)2 = 0. Suy ra (cid:31)i•u ph£i chøng minh.

Tł (2.9) v(cid:160) (2.17) suy ra (cid:107)yk (cid:80)∞

(cid:3)

Nh“n x†t 2.2.3 Khi N = 1 th… ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (2.8) c(cid:226) d⁄ng (cid:31)(cid:236)n gi£n h(cid:236)n

(2.19) (cid:0)(I − tkF )xk + ek(cid:1), xk+1 = J A rk

trong (cid:31)(cid:226) A l(cid:160) mºt ¡nh x⁄ c(cid:226) m-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u trong E. (cid:30)(cid:176)t yk = (I −

tkF )xk + ek, tł (2.19) ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc

yk + ek+1. (2.20) yk+1 = (I − tk+1F )J A rk

H(cid:236)n nœa n‚u tk → 0 th… d¢y {xk} hºi t(cid:246) khi v(cid:160) ch¿ d¢y {yk} hºi t(cid:246) v(cid:160) gi(cid:238)i h⁄n cıa ch(cid:243)ng l(cid:160) tr(cid:242)ng nhau. Th“t v“y, tł (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa yk, suy ra (cid:107)yk − xk(cid:107) ≤ tk((cid:107)F xk(cid:107) + ˜c). Do (cid:31)(cid:226) khi d¢y {xk} hºi t(cid:246) th… d¢y {F xk} b(cid:224) ch(cid:176)n. V… tk → 0 khi k → ∞, tł b§t (cid:31)ﬂng thøc cuŁi v(cid:160) s(cid:252) hºi t(cid:246) cıa d¢y {xk} k†o theo s(cid:252) hºi t(cid:246) cıa d¢y {yk} v(cid:160) c(cid:226) gi(cid:238)i h⁄n tr(cid:242)ng nhau. Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp khi {yk} hºi t(cid:246) ta c(cid:226) k‚t lu“n t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252). B¥y gi(cid:237) ta vi‚t l⁄i xk := yk, tk := tk+1 v(cid:160) ek := ek+1 trong (2.20), ta (cid:31)(cid:247)æc ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p

xk + ek, (2.21) xk+1 = (I − tkF )J A rk

(cid:31)¥y l(cid:160) mºt d⁄ng (cid:31)(cid:236)n gi£n h(cid:236)n cıa (1.19).

Ti‚p theo, cho mºt cŁ (cid:31)(cid:224)nh a ∈ (0, 1), l§y f x = ax v(cid:160) F = I − f . Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i hai sŁ d(cid:247)(cid:236)ng η v(cid:160) γ sao cho η + γ > 1 v(cid:160) v(cid:160) gi£ thi‚t F l(cid:160) ¡nh x⁄ η-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh v(cid:160) γ-gi£ co ch(cid:176)t. Thay F b(cid:240)i I − f trong (2.21) ta c(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p sau (cid:31)¥y:

(2.22) xk + ek, tk := tk(1 − a), xk+1 = (1 − tk)J A rk

(cid:31)¥y l(cid:160) mºt c£i bi¶n m(cid:238)i cıa (1.13). Ta c(cid:226) k‚t qu£ sau.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.4 (xem [6]) Cho E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Bannach l(cid:231)i (cid:31)•u c(cid:226) chu'n kh£ vi G¥teaux (cid:31)•u, A : E → E l(cid:160) ¡nh x⁄ c(cid:226) m-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u trong E sao cho ZerA (cid:54)= ∅. Gi£ sß c¡c d¢y tham sŁ tk, rk v(cid:238)i d¢y sai sŁ {ek} th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n (a), (b) v(cid:160) (c). Khi (cid:31)(cid:226) d¢y {xk}, (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i (2.22) hºi t(cid:246) m⁄nh t(cid:238)i phƒn tß p∗ trong ZerA, l(cid:160) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n (cid:104)p∗, j(p∗ − p) ≤ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i p ∈ ZerA.

N‚u ta thay F b(cid:240)i I − f v(cid:238)i f = aI + (1 − a)u trong (2.19), trong

(cid:31)(cid:226) u l(cid:160) (cid:31)i”m b§t k(cid:253) trong E, ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc

(2.23) (cid:0)(1 − tk)xk + tku + ek(cid:1), tk := tk(1 − a). xk+1 = J A rk

V… v“y, ta c(cid:226) mºt s(cid:252) m(cid:240) rºng cıa (1.16) tł kh(cid:230)ng gian Hilbert l¶n kh(cid:230)ng gian Bannach l(cid:231)i (cid:31)•u c(cid:226) chu'n kh£ vi G¥teaux (cid:31)•u v(cid:160) s(cid:252) hºi t(cid:246) m⁄nh (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n (cid:31)(cid:236)n gi£n h(cid:236)n so v(cid:238)i (1.16) v(cid:160) (1.18).

1 v(cid:160) ˜ek = ek

k, ek = ek

Nh“n x†t 2.2.5 Khi N = 2, (cid:31)(cid:176)t A := A1 v(cid:160) B = A2 v(cid:238)i βk = r1 k, γk = r2

2, tł (2.8) ta c(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:0)(I − tkF )xk + ek(cid:1),

  (2.24)

(cid:0)(I − tkF )yk + ˜ek(cid:1),  yk = J A βk xk+1 = J B γk

(cid:30)(cid:226) l(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)i”m gƒn k• (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng dŁc nh§t. Thay F b(cid:240)i I − f v(cid:238)i f = aI + (1 − a)u, trong (cid:31)(cid:226) a ∈ (0, 1) v(cid:160) u ∈ E, u l(cid:160) cŁ (cid:31)(cid:224)nh, vi‚t l⁄i k := k − 1 trong (2.24), ta (cid:31)(cid:247)æc

  (2.25)



(cid:0)tku + (1 − tk)x2k + ek(cid:1), k = 0, 1, · · · , x2k+1 = J A βk (cid:0)tku + (1 − tk)x2k−1 + ˜ek(cid:1), k = 1, 2, · · · , x2k = J B γk v(cid:238)i tß x0 ∈ E. Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (2.25) (cid:31)(cid:247)æc nghi¶n cøu v(cid:238)i c¡c (cid:31)i•u ki»n (cid:31)(cid:176)t l¶n c¡c tham sŁ βk v(cid:160) γk khi A v(cid:160) B l(cid:160) c¡c ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i trong kh(cid:230)ng gian Hilbert th(cid:252)c H. C¡c (cid:31)i•u ki»n bŒ sung (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc gi£m nh(cid:181) cho ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (2.25) v(cid:160) d⁄ng t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng cıa n(cid:226) nh(cid:247) sau

  (2.26)

 z2k + ek, k = 0, 1, · · · , z2k+1 = tku + (1 − tk)J A rk z2k−1 + ˜ek, k = 1, 2, . . . , z2k = tku + (1 − tk)J B rk

V… th‚, (2.25) v(cid:160) (2.26) c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc coi l(cid:160) m(cid:240) rºng cıa c¡c k‚t qu£ tł kh(cid:230)ng gian Hilbert l¶n kh(cid:230)ng gian Banach tr(cid:236)n (cid:31)•u v(cid:160) l(cid:231)i (cid:31)•u.

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252), ta c(cid:226) c£i ti‚n cıa ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p tr¶n nh(cid:247) sau:

  (2.27)

 x2k + ek, k = 0, 1, · · · , x2k+1 = (1 − tk)J A βk x2k−1 + ˜ek, k = 1, 2, . . . , x2k = (1 − tk)J B γk

v(cid:160) nh“n (cid:31)(cid:247)æc k‚t qu£ sau (cid:31)¥y.

2.2.3 V‰ d(cid:246) minh h(cid:229)a

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.6 (xem [6]) Cho E l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian Bannach l(cid:231)i (cid:31)•u, c(cid:226) chu'n kh£ vi G¥teaux (cid:31)•u, A : E → E v(cid:160) B : E → E l(cid:160) hai ¡nh x⁄ m-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u trong E sao cho t“p kh(cid:230)ng (cid:31)i”m chung C := ZerA ∩ ZerB (cid:54)= ∅. Gi£ sß r‹ng c¡c tham sŁ tk, βk v(cid:160) γk v(cid:238)i c¡c sai sŁ {ek} v(cid:160) {˜ek} th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n (a), (b) v(cid:160) (c). Khi (cid:31)(cid:226) d¢y {xk}, (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i (2.27), hºi t(cid:246) m⁄nh t(cid:238)i p∗ ∈ C, v(cid:160) th(cid:228)a m¢n (cid:104)p∗, j(p∗ − p) ≤ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i p ∈ C.

1 + x2

K(cid:254) hi»u E2 l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Euclid c(cid:226) t‰ch v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng v(cid:160) chu'n t(cid:247)(cid:236)ng 2)1/2, v(cid:238)i

øng cho b(cid:240)i c(cid:230)ng thøc (cid:104)x, y(cid:105) = x1y1 + x2y2 v(cid:160) (cid:107)x(cid:107) = (x2 x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ E2.

V‰ d(cid:246) 2.2.7 X†t b(cid:160)i to¡n c(cid:252)c tr(cid:224) kh(cid:230)ng r(cid:160)ng buºc: t…m mºt (cid:31)i”m p∗ ∈ E2 sao cho

(2.28) f1(x),

1(x) =

x ∈ C, (0; 0), f1(p∗) = inf x∈E2 trong (cid:31)(cid:226) f1(x) = (cid:107)x − PCx(cid:107)2/2 v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ E2 v(cid:160) C = {x = (x1, x2) ∈ E2 : (cid:107)x(cid:107) ≤ 1}. Ta th§y t“p nghi»m cıa (2.28) l(cid:160) C v(cid:160) d(cid:247)(cid:238)i vi ph¥n cıa f t⁄i (cid:31)i”m x ∈ E2 (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a nh(cid:247) sau:   ∂f1(x) = f (cid:48) [(λ − 1)/λ](x1, x2), x /∈ C, 

1 + x2

2)1/2. Do (cid:31)(cid:226),

(cid:240) (cid:31)¥y λ = (x2

x ∈ C,   (x1, x2), (I + r∂f1)−1(x) = [λ/(λ + r(λ − 1))](x1, x2), x /∈ C. 

L§y u = (0; 2), ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc l(cid:237)i gi£i p∗ = (0; 1) = PC(0, 2). C¡c k‚t qu£ t‰nh to¡n cıa cho d¢y l(cid:176)p (2.22) v(cid:238)i tk = 0.5/(k + 1); rk = 0.02 + 1/k,

ek = 0 v(cid:160) mºt (cid:31)i”m xu§t ph¡t x1 = (1.0; 2.0) (cid:31)(cid:247)æc m(cid:230) t£ trong B£ng 2.1.

B£ng 2.1

k xk+1 1 xk+1 2 xk+1 1 xk+1 2

k 10 0.0768178289 1.0447540908 100 0.0083688944 1.0049401777 20 0.0402463551 1.0235900613 200 0.0042052814 1.0022484932 30 0.0272651465 1.0160245415 300 0.0028081780 1.0016599532 40 0.0206155466 1.0121343405 400 0.0021078862 1.0012462190 50 0.0165734532 1.0097642404 500 0.0016871507 1.0009975783

V‰ d(cid:246) 2.2.8 X†t b(cid:160)i to¡n gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh: t…m mºt (cid:31)i”m p∗ ∈ E2 sao cho

(2.29) fi(x), i = 1, 2, fi(p∗) = inf x∈E2

trong (cid:31)(cid:226) f1(x) (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a nh(cid:247) trong V‰ d(cid:246) 2.2.7 v(cid:160) f2(x) = 0 v(cid:238)i x ∈ E2 n‚u x2 ≤ 0.5 v(cid:160) f2(x) = x2 − 0.5, n‚u x2 > 0.5. Tł (cid:31)(cid:226),

  (x1, x2), x2 ≤ 0.5, (I + r∂f2)−1(x) = (x1, x2/(1 + r)), x2 > 0.5. 

V(cid:238)i u = (0; 2), nghi»m p∗ = (0; 0.5) cıa (2.29) th(cid:228)a m¢n p∗ = PCu. Ta sß d(cid:246)ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p (2.26) v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) tk nh(cid:247) trong V‰ d(cid:246) 2.2.7, rk = 0.02 + 1/(k + 1), ek = ˜ek = t2 k(1; 1) v(cid:160) c(cid:242)ng (cid:31)i”m kh(cid:240)i (cid:31)ƒu z0 = x1 = (1; 2). C¡c k‚t qu£ b‹ng sŁ (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y trong B£ng 2.2.

B£ng 2.2

k zk 2 zk 1 zk 1 zk 2

k 10 0.1197558898 0.9824193784 100 0.0240614251 0.5748747839 20 0.0781255697 0.9151239566 200 0.0138091319 0.4997581927 30 0.0592370569 0.8527140487 300 0.0098940376 0.5023883644 40 0.0482187004 0.7987767382 400 0.0078516605 0.4955400174 50 0.0409165134 0.7512574786 500 0.0064538575 0.4923530177

K‚t lu“n

Lu“n v«n (cid:31)¢ tr…nh b(cid:160)y c¡c nºi dung sau (cid:31)¥y:

(1) Tr…nh b(cid:160)y c¡c kh¡i ni»m v(cid:160) t‰nh ch§t cıa kh(cid:230)ng gian Banach l(cid:231)i (cid:31)•u, c(cid:226) chu'n kh£ vi G¥teaux (cid:31)•u; n¶u c¡c kh¡i ni»m v• ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c, ¡nh x⁄ j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u; to¡n tß gi£i trong kh(cid:230)ng gian Banach v(cid:160) mºt sŁ t‰nh ch§t cıa ch(cid:243)ng.

(2) Gi(cid:238)i thi»u b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u trong kh(cid:230)ng gian Banach, tr…nh b(cid:160)y mŁi quan h» giœa b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n v(cid:160) b(cid:160)i to¡n (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng trong kh(cid:230)ng gian Ba- nach; tr…nh b(cid:160)y ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng dŁc nh§t gi£i b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u tr¶n t“p (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng cıa ¡nh x⁄ kh(cid:230)ng gi¢n.

(3) Tr…nh b(cid:160)y ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p lai gh†p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng dŁc nh§t, ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)i”m gƒn k• t…m kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa ¡nh x⁄ j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u trong kh(cid:230)ng gian Banach.

(4) Tr…nh b(cid:160)y ba ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)i”m gƒn k• k‚t hæp v(cid:238)i ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng dŁc nh§t (mºt ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p 'n v(cid:160) hai ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p hi»n) gi£i b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n tr¶n t“p r(cid:160)ng buºc l(cid:160) t“p kh(cid:230)ng (cid:31)i”m chung cıa c¡c ¡nh x⁄ m-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u trong kh(cid:230)ng gian Banach.

(5) Tr…nh b(cid:160)y hai v‰ d(cid:246) sŁ gi£i b(cid:160)i to¡n c(cid:252)c tr(cid:224) trong kh(cid:230)ng gian hai

chi•u.

T(cid:160)i li»u tham kh£o

Ti‚ng Vi»t

[1] Trƒn V(cid:244) Thi»u, Nguy„n Th(cid:224) Thu Thıy (2011), Gi¡o tr…nh TŁi

(cid:247)u phi tuy‚n, NXB (cid:30)⁄i h(cid:229)c QuŁc gia H(cid:160) Nºi.

[2] Ho(cid:160)ng T(cid:246)y (2005), Gi£i t‰ch h(cid:160)m, NXB (cid:30)⁄i h(cid:229)c QuŁc gia H(cid:160)

Ti‚ng Anh

Nºi.

[3] R.P. Agarwal, D. O’Regan, D.R. Sahu (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.

[4] K. Aoyama, H. Iiduka, W. Takahashi (2006), "Weak convergence of an iterative sequence for accretive operators in Banach spaces", Fixed Point Theory Appl., 2006, Art. no. 35390.

[5] O.A. Boikanyo and G. Morosanu (2010), "A proximal point al- gorithm converging strongly for general errors", Optim. Lett., 4, 635(cid:21)641.

[6] Ng. Buong (2018), "Steepest-descent proximal point algorithms for a class of variational inequalities in Banach spaces", Mathe- matische Nachrichten, 291(8-9), 1191(cid:21)1270.

[7] L.C. Ceng, Q.H. Ansari, and J.Ch. Yao (2008), "Mann-type steepest-descent and modified hybrid steepest descent methods for variational inequalities in Banach spaces", Numer. Funct. Anal. Optim., 29(9-10), 987(cid:21)1033.

[8] F. Deutsch, I. Yamada (1998), "Minimizing certain convex func- tions over the intersection of the fixed point sets of nonexpansive mappings", Numer. Funct. Anal. Optim., 19, 33(cid:21)56.

[9] Sh. Kakimura and W. Takahashi (2000), "Weak and strong con- vergence of solutions to accretive operator inclusions and applica- tions", Set-Valued Anal., 8, 361(cid:21)374.

[10] S. Reich (1973), "Asymptotic behavior of contractions in Banach

spaces", J. Math. Anal. Appl., 44(1), 57(cid:21)70.

[11] D.R. Sahu and J.Ch. Yao (2011), "The prox-Tikhonov regulariza- tion method for proximal point algorithm in Banach spaces", J. Global Optim., 51, 641(cid:21)655.

[12] G. Stampacchia (1964), "Formes bilin†aires coercitives sur les en- sembles convexes", C. R. Acad. Sci. Paris, 258, 4413(cid:21)4416.

[13] Ch.A. Tian and Y. Song (2013), "Strong convergence of a regu- larization method for Rockafellar’s proximal point algorithm", J. Global Optim., 55, 831(cid:21)837.

[14] H.K. Xu (2003), "An iterative approach to quadratic optimiza-

tion", J. Optim. Theory Appl., 116, 659(cid:21)678.

[15] H.K. Xu (2006), "Strong convergence of an iterative method for nonexpansive and accretive operators", J. Math. Anal. Appl., 314, 631(cid:21)643.

[16] H.K. Xu (2006), "A regularization method for the proximal point

algorithm", J. Global Optim., 36, 115(cid:21)125.

[17] I. Yamada (2001), "The hybrid steepest-descent method for varia- tional inequalities problems over the intersection of the fixed point sets of nonexpansive mappings", Inherently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and Their Applications, Chap- ter 8, 473(cid:21)504.