Tiểu luận: Hệ tọa độ cực

ƯỜ

Ố Ồ

NG Đ I H C S PH M THÀNH PH H CHÍ

Ạ Ọ Ư Ạ MINH

Ậ

KHOA V T LÝ

Đ tàiề

Ộ Ự

Ệ Ọ

H T A Đ C C

ả

ụ

ễ

Gi ng viên:

Nguy n Vũ Th Nhân

ự Nhóm th c hi n:

ễ ệ Nguy n Bình An

ầ

ị Tr n Th Vĩnh Đào

ầ

Tr n Gia Linh

Tp. HCM, 2016

Ỏ

L I NGỜ

ộ ủ

ủ

ể

ọ ặ

ộ ủ ẳ

ị ộ ệ ọ

ề

ắ

ọ

ớ

ộ

ị

ộ ộ ố ặ ộ ụ ọ

ố ọ

ồ

T a đ c a m t c a đi m là m t b s đ c tr ng cho v trí c a đi m đó trong m t ph ng, không gian. T a đ này luôn g n li n v i m t h t a đ xác đ nh ộ ộ bao g m g c t a đ và các tr c t a đ .

ế

ứ

ị

ộ

ừ ướ ị

c đ n nay, ta th ủ

ặ ự ế

ớ ệ ọ ẳ ự , trong m t s tr

ộ ố ườ ệ ọ

ế

ụ ộ

ữ

ệ

ả

ộ ớ ấ ệ ớ ố ọ

ư ệ ặ

ộ ườ ộ ệ ọ ng quen v i h t a đ Decartes t c là h t a đ T tr ặ ướ ộ ể ố ọ c d a vào c p s t a đ xác đ nh v trí c a m t đi m trên m t ph ng cho tr ợ ử ầ ng h p, ta c n s (x;y) hay (x;y;z).Tuy nhiên, trên th c t ộ ự ồ ệ ọ ộ ố ệ ọ d ng đ n m t s h t a đ khác, trong đó bao g m h t a đ c c. H t a ố ấ ườ đ này có u đi m l n nh t khi kh o sát nh ng đ ng cong xu t hi n m i quan h đ c bi

ể ộ t v i g c t a đ .

ộ ệ ọ

ộ ủ

ị ặ

ệ ọ

ệ

ấ t là trong v n

ộ ự ố ể

ườ

ề

ả

ớ

Ngoài ra, h t a đ c c cũng là m t h t a đ đ thú v , đ c bi đ kh o sát hàm s đ nhi u ng

i ph i say mê v i nó.

ữ

ộ ự

ế

ụ

ặ ổ ả

ươ

ể

ậ

i đáp m t s bài t p m t cách d dàng h n so v i nhi u ph ự

ớ ự

ể ứ

ượ

ụ

ị ạ i cho chúng ta khá thú v ứ ể ậ c v n d ng đ nghiên c u, ề ng pháp ư ế t th c nh hàng

c trong m t s lĩnh v c thi

ả

ứ ệ ọ M c khác, nh ng tri th c mà h t a đ c c đem l ể ượ ữ ầ ứ ,b ích và c n thi t. Nh ng tri th c đó có th đ ơ ộ ộ ố gi ộ ố khác hay có th ng d ng đ h i, thiên văn,....

ế ị

ữ

ả

ọ

ố

ộ ự

ệ ọ

ề

ể

Chính vì nh ng lý do trên mà nhóm đã quy t đ nh ch n “ Kh o sát hàm s ậ trong h t a đ c c” làm đ tài ti u lu n.

ự

ệ

ề

ế

ậ

ượ

c s

ự

ừ ầ

ẫ Trong quá trình th c hi n, nhóm v n còn nhi u thi u sót. Mong nh n đ góp ý t

th y.

Ộ Ự

Ệ Ọ

H T A Đ C C

ườ ng g p trong ch ng trình h c ph thông thì h

ọ ộ ự ươ ụ ộ

ặ ữ ể ả ọ ả ệ ọ ế ượ ệ

i quy t đ ệ ữ ườ ượ ữ ợ ể ng h p trong đó quan h gi a hai đi m đ ệ ổ ộ ố ế i quy t m t s bài ữ ộ ự c. H t a đ c c h u ích ế ướ ạ i d ng c vi t d

ả ộ Ngoài t a đ Descartes th ọ t a đ c c cũng là m t trong nh ng công c giúp ta gi toán mà h Descartes khó có th gi trong nh ng tr góc và kho ng cách.

Ị I.Đ NH NGHĨA

ộ ự ộ ệ ọ ề ể ấ ộ ỗ ượ ể ễ c bi u di n

ệ ọ ẳ ầ H t a đ c c là m t h t a đ 2 chi u, trong đó m i đi m b t kì đ b ng 2 thành ph n:

ả ừ ể ố ố

ế ừ ế đi m đó đ n g c O ẳ ng th ng t ể O đ n đi m ự ọ (g c c c) g i là bán kính. ố ớ ướ ng g c cho đó v i h

ướ ụ Kho ng cách t ở ườ ạ Góc t o b i đ ự c (tr c c c). tr

ụ ể ộ ự ư ự ể ọ

ộ ủ ướ ữ ứ ị ệ ọ C th : Khi xét t a đ c a đi m M trên h t a đ c c nh hình ta d a vào bán kính véct ụ ng gi a OM và tr c Ox t c là góc . ơ và góc đ nh h

ướ 1. Bán kính và h ng:

ượ ằ ể ợ c tính b ng các t l dài, t p h p các đi m có cùng bán kính đ ượ c

ỉ ệ ằ ự ể ễ ặ ẳ ậ ườ ạ ố ọ ộ Bán kính đ bi u di n trên m t ph ng c c b ng các đ ồ ng tròn đ ng tâm t i g c t a đ .

Ví dụ:

ượ ộ c đo b ng đ ho c radian, chi u tăng c a h

ằ ợ ướ ng là chi u ng ẳ ượ ố ọ ề ề c chi u ộ ng th ng đi qua g c t a đ và

ồ ớ ụ ằ ề ướ ố ng là đ ướ ướ ặ H ng đ ể ồ ậ kim đ ng h , t p h p các đi m có cùng h Ở ộ ạ t o v i tr c m t góc b ng . đây ta xét s đo h ủ ườ ng là radian.

Ví dụ:

ư +L u ý:

ớ ệ ọ ể ấ ỗ ở ị

ộ ệ ọ ộ ự ứ ỗ ớ ị ị

ể ầ ả ặ ớ ị ộ ặ ỉ ượ c xác đ nh b i duy nh t m t c p Khác v i h t a đ Descartes m i đi m ch đ ị ề giá tr , trong h t a đ c c m i đi m có nhi u cách xác đ nh ng v i các giá tr tăng ho c gi m so v i giá tr ban đ u:

ọ ể ề ươ ằ ng b ng

ổ ấ ộ ự ồ ạ Trong t a đ c c t n t ả ặ cách tăng ho c gi m đi t ể i bán kính âm, ta có th chuy n v bán kính d ừ ướ h ng cũ và đ i d u :

ấ ả ể ọ +Ví dụ: Tìm t ộ ự t c các t a đ c c cho đi m

ộ ự ớ ư ủ ể ễ ộ ọ V i l u ý 2, m t cách bi u di n khác t a đ c c c a là

ử ụ ư ượ ộ ự ị ọ ủ ọ S d ng l u ý 1 ta tìm đ c 2 h giá tr t a đ c c c a là:

hay

ệ ớ ệ ọ ộ ố 2. M i liên h v i h t a đ Descartes:

ệ ữ ể ố ị Ta có th rút ra m i liên h gi a các giá tr và :

+Ví dụ:

ể ừ ọ ộ ự ộ ọ 1.Chuy n t t a đ c c thành t a đ Descartes

Ta có:

ể ừ ọ ộ ự ọ ộ 2.Chuy n t t a đ Descartes sang t a đ c c.

Ta có:

ộ ự ủ ộ ị ọ là m t giá tr t a đ c c c a

ể ươ ộ ự ọ 3.Chuy n ph ng trình sang t a đ c c.

Ta có:

ể ươ ộ ự ọ 4.Chuy n ph ng trình sang t a đ c c.

Ta có:

Ụ Ề Ồ Ị Ộ Ự Ộ Ọ Ố II.M T VÀI VÍ D V Đ TH HÀM S TRONG T A Đ C C

ườ ẳ 1.Đ ng th ng

ố ọ ẳ ộ ặ +Đ c bi ệ ườ t đ ng th ng qua g c t a đ :

ườ 2.Đ ng tròn

ố ọ ộ ặ +Đ c bi ệ ườ t đ ng tròn có tâm là g c t a đ :

ươ ủ ắ ệ

ữ ứ ạ ng cong l ở ệ ọ m t có ph ộ ự ạ ng trình c a chúng trong h ơ ả ườ Ngoài ra còn có nh ng đ ư ấ Descartes r t ph c t p nh ng ạ h t a đ c c l ư i khá đ n gi n nh :

ườ ườ ố 3.Đ ng xoáy c – Đ ng Archimede

ườ ặ 4.Đ ng LEMNISCAT : ho c

ườ ườ 5.Đ ng hình tim – Đ ng Cardioide:

ườ 6.Các đ ng hình hoa:

ho c , ặ

ườ ướ 7.Đ ng hình b m:

Ộ Ự Ọ Ả Ố III. KH O SÁT HÀM S TRONG T A Đ C C

ấ ố ứ 1.Các tính ch t đ i x ng :

ố ứ ồ ị ế ẵ ố ộ ộ ồ ị a.Đ i x ng qua Ox: N u hàm s ch n: thu c đ th thì cũng thu c đ th .

ồ ị ố ứ Đ th đ i x ng qua Ox

Ví d :ụ

ố ứ ố ẻ ế ồ ị ộ ộ b.Đ i x ng qua Oy: N u hàm s l thu c đ th thì ồ ị cũng thu c đ th

ồ ị ố ứ Đ th đ i x ng qua Oy.

Ví d : ụ

ố ứ ồ ị ế ậ ộ c.Đ i x ng tâm: N u thu c đ th thì cũng v y.

Ví d :ụ

ướ 2.Các b ả c kh o sát

ị ề + Tìm mi n xác đ nh.

ệ ọ ườ ợ ố ượ ả ầ c kh o sát tu n hoàn.

ng h p các hàm s đ ầ ư ề ậ ả ộ ự Trong h t a đ c c hay x y ra tr ộ ố Do đó ta có m t s nh n xét v tính tu n hoàn nh sau:

ố ồ ị ỗ ầ ặ ầ ộ

ồ ị ườ ả ớ ế ớ Hàm s tu n hoàn v i chu kì kh o sát trong ho c , qua đ th m i l n m t góc cho đ n khi không sinh ra nhánh m i đ th đ ng cong .

ố ẻ ế ồ ị ố ứ N u hàm s l : đ th đ i x ng qua Oy.

ồ ị ố ứ ế ẵ ố N u hàm s ch n : đ th đ i x ng qua Ox.

ẽ ả ế ạ + Tính đ o hàm r’, v b ng bi n thiên.

ụ ẽ ồ ị ụ ệ ế ạ ữ ế ớ ể i đi m

ể ả Đ ph c v vi c v đ th , tính , v i là góc gi a tia bán kính và ti p tuy n t kh o sát.

ế ế : ti p tuy n trùng bán kính.

ế ế : ti p tuy n vuông góc bán kính.

BBT

Ví d :ụ

ả ố a.Kh o sát hàm s

ố ẻ ồ ị ố ứ ả đ th đ i x ng qua Oy.Và có chu kì kh o sát trên

MXĐ:. Ta có là hàm s l Có: , . BBT

Do là ,ẻ hàm l ố ấ l y đ i x ngứ qua Oy c:ượ ta đ

ả ố b.Kh o sát hàm s

MXĐ:.

ẵ ố ả ồ ị ố ứ Ta có là hàm s ch n đ th đ i x ng qua Ox.Và có chu kì kh o sát trên

Có:

BBT

ố ứ ấ ượ L y đ i x ng qua Ox ta đ c:

Ộ Ự Ệ Ọ Ứ Ủ Ụ IV. NG D NG C A H T A Đ C C

1.Trong toán h cọ

ộ ố ườ ộ ự ọ ợ ng h p, khi chuy n sang t a đ c c thì phép tính tích phân s

ể ứ ộ ứ ụ ể ả ơ ơ

ệ ẳ ẽ Trong m t s tr ả ề ậ ẫ đ n gi n h n c v c n l n công th c tính tích phân. M t ng d ng đi n hình là ể dùng tích phân đ tính di n tích hình ph ng.

ứ ệ ẳ ớ ạ ở ườ Công th c tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ ng cong và các tia là:

ệ ớ ạ ở ườ +Ví d :ụ tính di n tích gi i h n b i đ ng Cardioide:

ổ ấ ạ ạ Đ o hàm đ i d u t ệ i nên di n tích

ự ả 2.Trong lĩnh v c hàng h i và thiên văn

ả ả ặ ẳ ọ

ọ ượ ạ

ơ ượ ắ ườ ươ ượ

ướ ị ượ ữ ạ ộ ư ự ị ự ế ọ c g i là góc ng đ ề ng B c theo chi u ượ c

ư ng đ ươ ng v , v trí, hay ph ng h ươ ồ ng v đ ượ ể ủ ặ ị ộ ử ụ +Trong hàng h i:Các nhà hàng h i và quân đ i s d ng m t ph ng t a đ nh s ủ ọ c g i là ph m vi, và các đ n v th c t yêu thích c a các nhà toán h c. Bán kính đ ượ ướ c ghi rõ, nh mét (m) hay kilômét (km). Góc hay h th ộ ừ ướ ị ị ằ c đo b ng đ t ng, và đ ph h ổ ạ ệ ? (ch cái Hy L p c ), và ph m vi đ ồ c ký hi u kim đ ng h . Góc ph ằ ị ký hi u ệ ?. V trí c a đi m đ c xác đ nh b ng c p s ( ố ?, ?)

ậ ọ

ộ ằ ề ệ ỗ

ộ ự ể ọ ị ả +Trong thiên văn: Nhà thiên văn h c Hipparchus (190120 TCN) đã l p m t b ng ế t chi u dài dây cung cho m i góc. Có tài li u cho r ng ông hàm các dây cung cho bi ế ậ ử ụ s d ng t a đ c c đ thi t l p v trí các thiên hà.