Tiểu luận Lý thuyết nhóm: Nhóm điểm đối xứng C4v

Ti u lu n lý thuy t nhóm

ể

ế

ậ

NHÓM ĐI M Đ I X NG C

4v

Ố Ứ

Ể

ế ố ố ứ

4, C2, C4

-1 c a nhóm C

4 và các phép ph n xả

E, C ế ố ủ ạ

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 1. Các y u t đ i x ng Nhóm C4v g m các y u t ồ s g ng ng ch a tr c quay cũng ký ươ ố ạ ươ ứ ụ

s ¢ , , s ¢ , s

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ , , qua b n m t ph n x g ặ ả s ¢ tr c giao v i trong đó và thu đ hi u làệ ự

4C ,

s ớ v ¢ và thu đ

¢ ¢ ¢ ¢ th c hi n phép quay tr c giao v i ự ệ ự ớ c t sau khi ượ ừ v s ¢ sau khi th cự c t ượ ừ v

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ hi n phép quay ệ là hai m t phân giác c a hai góc vuông c a hai ủ ủ ặ

4C , và s ¢ (Hình 1).

m t ph ng và ẳ ặ

s

¢ ¢ ¢ ¢ ¢

s

o o

Hình 1

ng

1 HVTH: Tr n Th Ph ầ

ị ườ

Ti u lu n lý thuy t nhóm

ể

ế

ậ

2. Các phép đ i x ng

ố ứ

Nhóm ộ ố ứ ụ ẳ ủ ộ

ộ ộ

vC4 là m t phép các nhóm đ i x ng c a m t hình tr th ng đ ng ứ đáy là m t hình vuông. Hình 1 ta v m t đáy c a m t hình tr đó và các giao ụ ủ ẽ ặ ¢ v i m t ph ng đáy. Ta ch n s ¢ , ọ

¢ ¢ ¢ ¢ tuy n c a các m t ph ng g ng , , ươ ủ ế ặ ẳ ặ ẳ ớ

4C , m t ph ng t a đ xOy là m t ph ng đáy c a ủ s ¢ đi qua Oy . Nh v y các y u t

tr c Oz trùng v i tr c quay ụ ặ ẳ ặ ẳ ọ ộ

ớ ụ s đi qua tr c Ox và ụ ế ố ố đ i ư ậ hình tr , ch n ụ ọ

s ¢ ,

4 và b n m t ph ng g ặ

¢ ¢ , , x ng là tr c quay C ụ ứ ẳ ố ươ ng ch a tr c ứ ụ quay

¢ ¢ ¢ .

s ¢ v

¢ ¢

s ¢ v

Hình 2

ề ủ



Bi u di n 3 chi u c a nhóm: Ch n tr c quay trùng v i tr c Oz ể ọ ễ ụ

Trong phép quay ớ ụ 4C :

x ' y '

x y

4C :

0 01 001 0 10

ﬁ (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:236) (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:239) - = y -= ﬁ (cid:247) (cid:231) (cid:237) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) x x y nên = (1) (cid:247) (cid:231) (cid:239) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ' x y ' = ﬁ ł Ł z z ' z (cid:238) ł Ł ł Ł

ng

2 HVTH: Tr n Th Ph ầ

ị ườ

Ti u lu n lý thuy t nhóm

ể

ế

ậ

4C là:

(cid:222) Ma tr n bi n đ i c a phép quay ổ ủ ế ậ

]

)[ ( 3 CD

0 01 001 10 0



(cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) - (cid:247) (cid:231) = (cid:247) (cid:231) ł Ł

4C = 2C :

Trong phép quay

4C = 2C :

1 0 0

0 0 01 1 0

y ' ' z

y z

-= ﬁ (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:236) - (cid:246) (cid:230) x ' x x (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:239) - -= ﬁ (cid:247) (cid:231) (cid:237) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) y y y nên = (2) (cid:247) (cid:231) (cid:239) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ' = ﬁ ł Ł z ' z z (cid:238) ł Ł ł Ł

2C là:

(cid:222) Ma tr n bi n đ i c a phép quay ổ ủ ế ậ

]

)[ ( 3 CD

1 0 0

0 0 01 1 0



- (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) - (cid:247) (cid:231) = (cid:247) (cid:231) ł Ł

4C - 4C = 1

Trong phép quay :

x ' y '

x y

4C - 4C = 1

0 1 0

01 0 0 0 1

ﬁ (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:236) - (cid:246) (cid:230) y (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:239) -= = ﬁ (cid:247) (cid:231) (cid:237) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) x x y : nên = (3) (cid:247) (cid:231) (cid:239) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ' x y ' = ﬁ ł Ł z ' z z (cid:238) ł Ł ł Ł

4C - 4C = 1

(cid:222) Ma tr n bi n đ i c a phép quay là: ổ ủ ế ậ

- (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231)

]1

)[ ( -CD

0 1 0

01 0 0 0 1



= (cid:247) (cid:231) ł Ł

4C :

Trong phép quay

4C :

001 010 100

y ' ' z

y z

= ﬁ (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:236) (cid:246) (cid:230) x x ' x (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:239) = ﬁ (cid:247) (cid:231) (cid:237) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) y y y nên = (4) (cid:247) (cid:231) (cid:239) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ' = ﬁ ł Ł z z ' z (cid:238) ł Ł ł Ł

4C =E là:

(cid:222) Ma tr n bi n đ i c a phép quay ổ ủ ế ậ

ng

3 HVTH: Tr n Th Ph ầ

ị ườ

Ti u lu n lý thuy t nhóm

ế

ể

ậ

(cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231)

]4

)[ ( 3 CD

001 010 100



= (cid:247) (cid:231) ł Ł

ng : Phép ph n x g ả ạ ươ

1 0 0

0 0 01 1 0

y z

y ' ' z

= ﬁ (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:236) (cid:246) (cid:230) x x ' (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:239) - x -= ﬁ (cid:247) (cid:231) (cid:237) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) y y y : nên = (5) (cid:247) (cid:231) (cid:239) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ' = ﬁ ł Ł z z ' z (cid:238) ł Ł ł Ł

(cid:222) ng là: Ma tr n bi n đ i c a phép ph n x g ổ ủ ạ ươ ế ậ ả

]

)[ ( D s3

1 0 0

0 0 01 1 0



(cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) - (cid:247) (cid:231) = (cid:247) (cid:231) ł Ł

s ¢ :

Các phép ph n x g ng ạ ươ ả

x y

x ' y '

s ¢ :

001 01 0 0 10

ﬁ (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:236) - (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:239) -= = ﬁ (cid:247) (cid:231) (cid:237) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) x y x y nên = (6) (cid:247) (cid:231) (cid:239) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ' x y ' = ﬁ ł Ł z ' z z (cid:238) ł Ł ł Ł

s ¢ là:

(cid:222) ng Ma tr n bi n đ i c a phép ph n x g ổ ủ ạ ươ ế ậ ả

]

)[ ( D s

001 01 0 0 10



- (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) ¢ (cid:247) (cid:231) = (cid:247) (cid:231) ł Ł

¢ : s ¢ v

ng Phép ph n x g ả ạ ươ

¢ : s ¢ v

010 001 100

y ' ' z

y z

= ﬁ (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:236) (cid:246) (cid:230) x ' y x (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:239) = ﬁ (cid:247) (cid:231) (cid:237) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) y x y nên = (7) (cid:247) (cid:231) (cid:239) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ' = ﬁ ł Ł z ' z z (cid:238) ł Ł ł Ł

s ¢ v

¢ (cid:222) ng là: Ma tr n bi n đ i c a phép ph n x g ổ ủ ạ ươ ế ậ ả

]

)[ ( D s

010 001 100

(cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) ¢ ¢ (cid:247) (cid:231) = (cid:247) (cid:231) ł Ł



s ¢ v

¢ ¢ ng : Phép ph n x g ả ạ ươ

ng

4 HVTH: Tr n Th Ph ầ

ị ườ

Ti u lu n lý thuy t nhóm

ể

ế

ậ

0 1 0

01 0 0 0 1

y ' ' z

y z

-= ﬁ (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:236) - (cid:246) (cid:230) x y x ' (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:239) - -= ¢ ¢ ¢ ﬁ (cid:247) (cid:231) (cid:237) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) y x y : nên = (8) (cid:247) (cid:231) (cid:239) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ' = ﬁ ł Ł z z ' z (cid:238) ł Ł ł Ł

(cid:222) ¢ ¢ ¢ ng là: Ma tr n bi n đ i c a phép ph n x g ổ ủ ạ ươ ế ậ ả

]

)[ ( D s

0 1 0

01 0 0 0 1

- (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) - ¢ ¢ ¢ (cid:247) (cid:231) = (cid:247) (cid:231) ł Ł

s ¢ là m t ph ng yOz

ng ẳ ươ là m t ph ng xOz và ẳ ặ ặ ẳ

s ¢ v

¢ ¢ ¢ Trong đó m t ph ng g ặ s ¢ v và còn là hai m t ph ng phân giác tr c giao v i nhau (Hình 2). ặ ự ẳ ớ

3. B ng nhân nhóm S d ng quy t c nhân ma tr n v i các ma tr n bi n đ i trên t (1), (2), ả ử ụ ế ắ ậ ậ ớ ổ ừ

2C 2C = v

¢ ¢ ¢ ¢ EE = (9)

s ¢ v

¢ ¢ ¢ ¢ E 4C = 4C E = (10)

s ¢ s = v 4C - = 1 4C - 4C - =

¢ ¢ ¢ ¢ (3), (4), (5), (6), (7) và (8) ta có: s ¢ s ¢ = v s 2C = v s (11)

s ¢ =

¢ ¢ ¢ ¢ E 1 (12)

s = ¢ = s ¢ v 4C - s

¢ ¢ ¢ ¢ E v (13)

¢ ¢ ¢ ¢ (14)

¢ ¢ ¢ ¢ (15)

s ¢ = s ¢ ¢ = s ¢ v v s ¢ s = v s ¢ 4C - = v 4C = s ¢ s ¢ 4C - = v 4C = v s ¢ ¢ E = v s ¢ s ¢ 4C - = v 2C = v s ¢ ¢ E = v s ¢ s ¢ 2C = v 4C = v

¢ = E s ¢ s ¢ ¢ = v s ¢ v v ¢ = v s ¢ s ¢ ¢ = v s ¢ s ¢ 2C v v s ¢ s ¢ s ¢ = v s = v 4C - E 2C = 4C 4C = 1 2C E = v ¢ = v ¢ = v s ¢ s ¢ s ¢ s ¢ s 4C - E= v 4C - = 4C 2C = 2C 4C = 1 v v s ¢ s ¢ ¢ = v s ¢ s ¢ = 1 ¢ = 2C v s ¢ s E = 4C v s = v 4C - 2C = v v ¢ = v ¢ = 2C v s ¢ = 4C v s ¢ s ¢ E = s ¢ s ¢ s = 1 s 4C - 2C = v E v v v s ¢ ¢ = 1 s ¢ s ¢ = 2C v ¢ = 4C v s ¢ s s = v 4C - 4C = v E v s ¢ s ¢ = v ¢ = 1 s ¢ ¢ = 4C v s ¢ s s = 2C v 4C - = v 4C - E v ứ ừ

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ (16)

ả T các công th c (9), (10), (11), (12), (13), (14), (15) và (16) ta có b ng

nhân nhóm C4v nh sau: ư

ng

5 HVTH: Tr n Th Ph ầ

ị ườ

Ti u lu n lý thuy t nhóm

ể

ế

ậ

-1

: B ng nhân nhóm B ng1ả ả

-1

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ C4v E C4 C2 C4

s ¢ v s ¢ v

s v s ¢ v

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ E E C4 C4 C2 -1 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ C4 C4 C4 E C2 -1 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ C4 E C4 C2 -1 C2 -1 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ E

v E

v C2

-1 C4

s v s ¢ v C4 -1

C4 s C4 s ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ C2 s C4 s ¢ v

s ¢ v

s v s ¢ v

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ E C4 C4 C2 -1 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

s ¢ v

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ C4 C4 C4 -1 C4 E C2 C2 E

4C -

4. S phân l p ớ S d ng các quy t c nhân nhóm trình bày trong b ng nhân nhóm trên ta ự ử ụ ắ ả ở

4, C2,

vC4 có 8 y u t

i r ng nhóm đ i x ng {E, C , , ạ ằ ế ố ố ứ

¢ ¢ ¢ ¢ có th nghi m l s ¢ , } chia thành năm l p các y u t liên h p nh sau: ế ố ớ ư ợ

đ i x ng và xác đ nh l p các y u t ể ệ ¢ và s ¢ , Ta xét t ng y u t ừ ế ố ố ứ ế ố ớ ị ớ ế liên h p v i y u ợ

đã cho. t ố

-1 v iớ

gag

m i y u t

4v thì t ấ ả liên h p v i y u t ợ gag

ế ố t c các y u t ấ ả t c các y u t ế ố a. ớ ế ố -1 đ u trùng v i E. V y ậ ế ố ề ớ

chính y u t N u a là m t y u t ộ ế ố g c a C ủ ạ N u a là y u t ế ố ơ ị nào đó c a nhóm C ủ 4v t o thành l p các y u t ớ đ n v E thì t ị đ n v E là m t l p. ộ ớ

liên h p v i nó là: ợ ế ố ớ

4C 4C

2C 4C (

2C )-1 =

2C )-1 = 4C

4C -

= (

¢ )-1 = t ng t ươ ự ế ọ ế ố ế ế ố ơ L y a là C ấ 4C - s 4C ( v

s ¢ =

s ¢ v

4C v

s ¢ v

¢ ¢

s ¢ v

¢ ¢ =

¢ = v s ¢ s ¢ 4C v ¢ = s ¢ s 4C v

s ¢ v

4C -

4. Các y u t 4C - )-1 = 4C ; 4C - 4C ( 4C ; ¢ ( v s ¢ s ¢ )-1 = v s = 1 s 4C - v s ¢ = 4C - 4C - ¢ = 1 s ¢ 4C - v ế ố 4C và Nh v y, hai y u t

¢ ¢ ¢ ¢

ư ậ t o thành m t l p liên h p ợ ộ ớ ạ

ng

6 HVTH: Tr n Th Ph ầ

ị ườ

Ti u lu n lý thuy t nhóm

ể

ế

ậ

2C :

4C - (

2C (

4C 2C ( 4C - s

N u l y a là ế ấ

4C )-1= 4C - )-1 = )-1 =

s = 2C t

s 2C ( v

4C )-1 = 4C - )-1= 2C s ¢ )-1 = v

4C ( s ¢ ( v s s ¢ =

s ¢ =

s ¢ v

2C v

ng t ươ ự

s ¢ v

¢ ¢ ¢ ¢ =

s ¢ v

¢ = v s ¢ s ¢ 2C v s ¢ ¢ = s ¢ 2C v v

2C ¢ = 2C s ¢ v 2C là m t l p.

¢ ¢ ¢ ¢ ¢

Nh v y, ư ậ ộ ớ

. Các y u t liên h p v i nó là N u ch n a là ọ ế ế ố ợ ớ

s ¢ v

¢ ¢ (

4C - ¢ ( s ¢ v

4C )-1= 4C - )-1 =

s 4C v s 4C - s

s ¢ = v s ¢ 4C - )-1= v )-1 = v s

(

s ¢ v

)-1 = E( v s s ¢ = s

s ¢ v

¢ ¢ =

s ¢ v

s ( v s ¢ = 2C v s ¢ ¢ = 1 s ¢ 4C - v v s ¢ ¢ = v s ¢ ¢ = 4C v s ¢ v

¢ ¢ ¢ ¢

s và

s ¢ t o thành m t l p liên h p.

Nh v y, hai y u t ư ậ ộ ớ ạ ợ

ế ố v s . Các y u t liên h p v i nó là N u ch n a là ọ ế ế ố ợ ớ

¢ ¢ ( (

s ¢ (

¢ ¢ ¢ (

s ¢ 4C v s ¢ 4C - v s

4C )-1= 4C - )-1 = )-1 =

s ¢ v

s ( v

s ¢ 4C - )-1 = v s ¢ 4C - )-1= v s ¢ )-1 = v

¢ ¢ ¢

s ¢ v

s 4C ( v s ¢ s ¢ = v

¢ ¢ ¢

s ¢ v

¢ ¢ ¢ ¢ =

s ¢ v

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

s ¢ v

s ¢ = 1 4C - ¢ =E v s ¢ s ¢ v s ¢ ¢ = v s ¢ ¢ = 2C v s ¢ v ¢ và s ¢ Nh v y, hai y u t ế ố v

¢ ¢ ư ậ t o thành m t l p liên h p. ộ ớ ạ ợ

V y có năm l p các y u t ế ố ậ ớ liên h p là: ợ

-1}, C3 = {C2}, C4 = { v

¢ }

s ¢ } và C5 ={ v

¢ ¢ ¢ ¢ C1 = {E}, C2 = {C4, C4 , ,

ng

7 HVTH: Tr n Th Ph ầ

ị ườ

Ti u lu n lý thuy t nhóm

ể

ế

ậ

vC4 v i thí d là phân t

Nhóm ụ ớ ử 5. IF

ặ ả

(

c: ể ề ượ

]

(

ễ c

]

]E2 ) [ )[ 2 C

)[ 2 C

= 2; ] ( 5. B ng đ c bi u ể Trong bi u di n hai chi u ta tìm đ )[ c 2 C ] = -2 )[ ( 2 C = = = 0

4v th hi n trên b ng 2.

Khi đó b ng đ c bi u c a nhóm C ể ủ ả ặ ể ệ ả

B ng 2 ả

-1} C4 ={ v

¢ }

s ¢ } C5={ v

¢ ¢ ¢ ¢ C4v C1= {E} C2 = {C2} C3={C4,C4 , ,

A1 1 1 1 1 1

A2 1 a1 b1 c1 d1

A3 1 a2 b2 c2 d2

A4 1 a3 b3 c3 d3

(

)

) (

)

(

d h

A5 2 -2 0 0 0

) nC i i

(

A 1

(cid:229) ủ ặ ể

) nC i i

(

A 2

) (

)

) ( *2 A

Ta có h th c chu n hóa c a đ c bi u ẩ ) ( *2 A ệ ứ ) ) ( (cid:229) = 1 + a1 +2 b1 + 2c1 + 2d1 = 0

) nC i i

1a + 2 2

1b +2 2

1c +2 2

1d = 8

(cid:229) = 1 +

(cid:222) a1 = b1 =1; c1 = d1 = -1

4v vi

Khi đó b ng đ c bi u c a nhóm C i trên b ng 3. ể ủ ả ặ t l ế ạ ả

ng

8 HVTH: Tr n Th Ph ầ

ị ườ

Ti u lu n lý thuy t nhóm

ế

ể

ậ

B ng 3 ả

-1} C4 ={ v

¢ }

s ¢ } C5={ v

¢ ¢ ¢ ¢ C4v C1= {E} C2 = {C2} C3={C4,C4 , ,

1 1 1 1 A1 1

1 1 -1 -1 A2 1

b2 a2 c2 d2 A3 1

b3 a3 c3 d3 A4 1

0 -2 0 0 A5 2

(

A 1

)

) ( *3 A

) nC i i

(

A 2

) (

)

) ( *3 A

ng t ươ ự ) ( ( c (cid:229) = 1 + a2 +2 b2 + 2c2 + 2d2 = 0

) nC i i

(

A 3

) (

)

) ( *3 A

(cid:229) = 1 + a2 +2 b2 - 2c2 - 2d2 = 0

) nC i i

2a + 2 2

2b +2 2

2c +2 2

2d = 8

(cid:229) = 1 +

(cid:222) a2 = c2 =1; b2 = d2 = -1

4v vi B ng 4

Khi đó b ng đ c bi u c a nhóm C i trên b ng 4. ể ủ ặ ả t l ế ạ ả

ả

-1} C4 ={ v

¢ }

s ¢ } C5={ v

¢ ¢ ¢ ¢ C4v C1= {E} C2 = {C2} C3={C4,C4 , ,

1 1 1 1 A1 1

1 1 -1 -1 A2 1

-1 1 1 -1 A3 1

b3 a3 c3 d3 A4 1

(

A 1

) (

)

) ( *4 A

0 -2 0 0 A5 2

) nC i i

(

A 2

) (

)

) ( *4 A

(cid:229) = 1 + a3 + 2b3 + 2c3 + 2d3 = 0

) nC i i

(cid:229) = 1 + a3 + 2b3 - 2c3 -2d3 = 0

ng

9 HVTH: Tr n Th Ph ầ

ị ườ

Ti u lu n lý thuy t nhóm

ể

ế

ậ

(

A 3

) (

)

) ( *4 A

) nC i i

(

A 4

) (

)

) ( *4 A

(cid:229) = 1 + a3 - 2 b3 + 2c3 - 2d3 = 0

) nC i i

3a + 2 2

3b +2 2

3c +2 2

3d = 8

(cid:229) = 1 +

(cid:222) a3 = d3 =1; b3 = c3 =-1.

4v vi B ng 5

Khi đó b ng đ c bi u c a nhóm C i trên b ng 5. ể ủ ả ặ t l ế ạ ả

ả

-1} C4 ={ v

¢ }

s ¢ } C5={ v

¢ ¢ ¢ ¢ C4v C1= {E} C2 = {C2} C3={C4,C4 , ,

1 1 1 A1 1 1

1 -1 -1 A2 1 1

-1 1 -1 A3 1 1

-1 -1 1 A4 1 1

0 0 0 A5 2 -2

4v hoàn ch nh nh sau ỉ

Ta vi i b ng đ c bi u c a nhóm C t l ế ạ ả ặ ư

B ng 6: B ng đ c bi u c a nhóm C ể ủ ả ể ủ ả ặ

C4 = Hàm c b n ơ ả

-1}

s { v

¢ }

s { v

¢ ¢ ¢ ¢ C5 = s C1= {E} C2 = {C2} C3= {C4,C4

s ¢ } , 1 -1 1 -1 0

Bi uể di nễ (A1) (A2) (B1) (B2) (E) 1 1 1 1 2 1 1 1 1 -2 1 1 -1 -1 0 , 1 -1 -1 1 0 z; z2; x2+y2 Rz x2 - y2 xy (x,y); (xz,yz)

ﬂ ể ạ ả

6. Bi u di n h c m ễ

h có 10 l p ớ

h C T b ng đ c bi u c a nhóm O ể ủ 2, 6 4C , 6 2C , 8C3, I, 3IC4

ừ ả ặ ấ ằ

h (B ng 7) ta th y r ng nhóm O 2, 6I

2C , 8IC3}

{E, 3C4 ả 4C , 6I

h và nhóm C4v s t

V y khi h c m các l p c a nhóm O ng ng nh sau: ớ ủ ạ ả ậ ẽ ươ ứ ư

ng

10 HVTH: Tr n Th Ph ầ

ị ườ

Ti u lu n lý thuy t nhóm

ể

ế

ậ

B ngả 7

2 3IC4

s ¢ v

Oh E 3C4 8C3 I 8IC3 6 4C 6 2C 6I 6I ﬂ ﬂ ﬂ ﬂ ﬂ ¢ C4v E

h C

ﬂ M c dù T là bi u di n t , nói ễ ố ể ặ i gi n c a G, bi u di n h c m ể ạ ả ủ ễ ả

ễ chung là bi u di n kh quy. Do đó, bài toán đ t ra là tìm bi u th c khai tri n ứ ể ể ễ ả ặ

h C

ﬂ bi u di n h c m thành t ng tr c ti p c a các bi u di n t ạ ả ễ ể ễ ố ủ ự ể ế ổ ả i gi n

)

c a nhóm C ủ

( aT

ch a trong T c a nhóm G đ S l n bi u di n t ể ễ ố i gi n ả ủ ứ ượ ằ c tính b ng

(

)

(

)

(

)

(

)

(

ố ầ công th c:ứ

m a

1 N

” (cid:229) ˛

(

)

(

)

(

)

ho cặ

m a

h q

1 N

(cid:229)

h đ

B ng 8. B ng đ c bi u c a nhóm O c vi ng ng v i C t t ể ủ ặ ả ả ượ ế ươ ứ ơ 4v

Oh 6 4C

2 3C4 3C2

E (E

2C 6I ¢ ) s ¢ 6 v 1 -1 0 -1 1 -1 1 0 1 -1

A1g A2g Eg T1g T2g A1u A2u Eu T1u T2u 1 1 2 3 3 1 1 2 3 3 1 1 2 -1 -1 1 1 2 -1 -1 6 4C 1 -1 0 1 -1 1 -1 0 1 -1 3IC4 s 3 v 1 1 2 -1 -1 -1 -1 -2 1 1

ng

11 HVTH: Tr n Th Ph ầ

ị ườ

Ti u lu n lý thuy t nhóm

ế

ể

ậ

Ta vi i b ng đ c bi u c a C t l ế ạ ả ể ủ ặ

B ng 9 ả

1} C4={ v

¢ }

s ¢ } C5={ v

¢ ¢ ¢ ¢ C4v C1={E} C2={C2} C3={C4,C4 , ,

1 1 1 1 1 A1

1 1 1 -1 -1 A2

1 1 -1 1 -1 A3

1 1 -1 -1 1 A4



2 -2 0 0 0 A5

A1g = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

V i: ớ

1 8

m1 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.1.1 + 2.1.1] = 1

1 8

m2 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.(-1).1 + 2.(-1).1] = 0

1 8

m3 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1 + 2.1.1 + 2.(-1).1] = 0

1 8

m4 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1+ 2.(-1).1 + 2.1.1] = 0

1 8

m5 = [1.2.1.+ 1(-2).1 + 2.0.1.+ 2.0.1.+ 2.0.1] = 0

ng

12 HVTH: Tr n Th Ph ầ

ị ườ

Ti u lu n lý thuy t nhóm

ể

ế

ậ



1g = A1 A2g = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

V y Aậ

V i: ớ

1 8

m1 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.1 + 2.1.(-1)] = 0

1 8

m2 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.(-1).(-1)] = 0

1 8

m3 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).(-1)] = 1

1 8

m4 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).1 + 2.1.(-1)] = 0

[1.2.1.+ 1(-2).1] = 0 m5 = =



1 8 2g = A3 A1u = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

V y Aậ

V i: ớ

1 8

m1 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1)] = 0

1 8

m2 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).(-1)] = 1

1 8

m3 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1)] = 0

1 8

m4 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1+ 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1)] = 0

1 8 V y Aậ



1u = A2 A2u = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

[1.2.1.+ 1(-2).1] = 0 m5 =

V i: ớ

1 8

m1 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.1.1] = 0

1 8

m2 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).1] = 0

1 8

m3 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).1] = 0

ng

13 HVTH: Tr n Th Ph ầ

ị ườ

Ti u lu n lý thuy t nhóm

ể

ế

ậ

1 8

m4 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).(-1) + 2.1.1] = 1



1 8 2u = A4 V y Aậ Eg = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

m5 = [1.2.1.+ 1(-2).1] = 0

V i: ớ

1 8

m1 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.1.2 + 2.1.0] = 1

1 8

m2 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.(-1).2 + 2.(-1).0] = 0

1 8

m3 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.(-1).0 + 2.1.2 + 2.(-1).0] = 1

1 8

m4 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.(-1).0+ 2.(-1).2 + 2.1.0] = 0

1 8 g = A1 + A3 V y Eậ Eu = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

 V i: ớ

m5 = [1.2.2.+ 1(-2).2] = 0

1 8

m1 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.1.(-2) + 2.1.0] = 0

1 8

m2 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.(-1).(-2) + 2.(-1).0] = 1

m3 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.(-1).0 + 2.1.(-2) + 2.(-1).0] = 0

1 8 1 8

m4 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.(-1).0+ 2.(-1).(-2) + 2.1.0] = 1

1 8 u = A2 + A4 V y Eậ T1g = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

 V i: ớ

m5 = [1.2.2.+ 1(-2).2] = 0

1 8

m1 = [1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1)] = 0

ng

14 HVTH: Tr n Th Ph ầ

ị ườ

Ti u lu n lý thuy t nhóm

ể

ế

ậ

1 8

m2 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).(-1)] = 1

1 8

m3 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1)] = 0

1 8

m4 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1+ 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1)] = 0

1 8 1g = A2 + A5 V y Tậ T2g = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

 V i: ớ

m5 = [1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1

1 8

m1 = [1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.1.1] = 0

1 8

m2 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).1] = 0

1 8

m3 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).1] = 0

1 8

m4 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).(-1) + 2.1.1] = 1

1 8 2g = A4 + A5 V y Tậ T1u = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

 V i: ớ

m5 = [1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1

1 8

m1 = [1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.1 + 2.1.1 + 2.1.1] = 1

1 8

m2 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).1 + 2.(-1).1] = 0

1 8

m3 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.1.1 + 2.(-1).1] = 0

1 8

m4 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1+ 2.(-1).1 + 2.1.1] = 0



1 8 1u = A4 + A5 V y Tậ T2u = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

m5 = [1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1

ng

15 HVTH: Tr n Th Ph ầ

ị ườ

Ti u lu n lý thuy t nhóm

ể

ế

ậ

V i: ớ

1 8

m1 = [1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.(-1) + 2.1.1 + 2.1.(-1)] = 0

1 8

m2 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.(-1).(-1)] = 0

1 8

m3 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).(-1)] = 1

1 8

m4 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).1 + 2.1.(-1)] = 0

2u = A3 + A5

1 8 V y: Tậ

[1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1 m5 =

h C

ﬂ Tóm l ạ i bi u di n h c m ễ ạ ả ể nh sau: ư

B ng 10 ả

A1g = A1 A2g = A3 Eg = A1 + A3 T1g = A2 + A5 T2g = A4 + A5 T1u = A4 + A5 T2u = A3 + A5 Eu = A2 + A4 A1u = A2 A2u = A4

7. Bi u di n tích ể

ễ ả ặ ả ể ễ

A1 A1

B ng 11. B ng đ c bi u c a bi u di n tích tr c ti p ự ế -1 -1 -1 ể ủ 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 A2

1 1 1 1 1 A3

1 1 1 -1 -1 A3

1 2 1 -2 1 0 1 0 1 0

˜ A2 ˜ A3 ˜ A3 ˜ A3 ˜ A4 ˜ A4 ˜ A5 ˜ A5

˜ A2 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

 mi đ

4 4 0 0 0 A4 A5

A1 c tính t công th c: ựơ ừ ứ

ng

16 HVTH: Tr n Th Ph ầ

ị ườ

Ti u lu n lý thuy t nhóm

ế

ể

ậ

(

)

A k

A i

(

)

)(

m i

1 N

˜ (cid:229) khi đó:

1 8

m1 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1)] = 0

1 8

m2 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).(-1)] = 1

1 8

m3 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1)] = 0

1 8

m4 == [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1+ 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1)] = 0

1 8 V y Aậ T ươ

˜ A2 = A2 1 ng t ự ˜ A3 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5 A1

 m1 = m2 = m4= m5 = 0; m3 = 1 V y Aậ

˜ A3 = A3 1 ˜ A3 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5 A2

 m1 = m2 = m3 = m5 = 0; m4 = 1 V y Aậ

˜ A3 = A4 2 ˜ A3 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5 A3

 m4 = m2 = m3 = m5 = 0; m1 = 1 V y Aậ

˜ A3 = A1 3 ˜ A4 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5 A3

 m1 = m3 = m4 = m5 = 0; m2 = 1 V y Aậ

˜ A4 = A2 3 ˜ A4 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5 A4

 m2 = m3 = m4 = m5 = 0; m1 = 1 V y Aậ

˜ A4 = A1 4 ˜ A5 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5 A4

˜ A5 = A5

 m2 = m3 = m4 = m1 = 0; m5 = 1 V y Aậ

m5 = [1.1.2 + 1. 1(-2)] = 0

ng

17 HVTH: Tr n Th Ph ầ

ị ườ

Ti u lu n lý thuy t nhóm

ế

ể

ậ

˜ A5 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

 m2 = m3 = m4 = m1 = 1; m5 = 0 ˜ A5 = A1 + A2 +A3 + A4 V y Aậ 5 i bi u di n tích tr c ti p th hi n trên b ng 12 Tóm l ự ế ạ

ễ ể ả

˜ A2 = A2 ˜ A3 = A3 ˜ A3 = A4 ˜ A3 = A1

A1 A1 A2 A3 ể ệ B ng 12 ả ˜ A4 = A2 ˜ A4 = A1 ˜ A5 = A5 ˜ A5 = A1 + A2 +A3 + A4 A3 A4 A4 A5

Tiểu luận Lý thuyết nhóm: Nhóm điểm đối xứng C4v