BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Lâm Thị Ánh Tuyết
PHẦN PHỤ TRONG NHÓM
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Lâm Thị Ánh Tuyết
PHẦN PHỤ TRONG NHÓM
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. MỴ VINH QUANG
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
3
MỤC LỤC
MỤC LỤC ................................................................................................................. 3
Lời cảm ơn ................................................................................................................. 4
MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 5
BẢNG KÝ HIỆU ....................................................................................................... 7
Chương 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................................ 8
1.1.Một số định nghĩa ............................................................................................ 8
1.2. Một số định lý về cấp của một nhóm ............................................................ 10
1.3. Một số định lý đẳng cấu ............................................................................... 11
1.4. Nhóm con Frattini, nFrattini và cFrattini...................................................... 13
Chương 2: PHẦN PHỤ TRONG NHÓM ........................................................... 16
2.1.Định nghĩa ..................................................................................................... 16
2.2. Một số kết quả mở đầu ................................................................................. 18
2.3. Các đặc trưng của xS-nhóm .......................................................................... 19
2.4. Các đặc trưng của xPNS-nhóm ..................................................................... 28
2.5. Các đặc trưng của xCS-nhóm ....................................................................... 37
2.6. Các định lý về sự phân lớp ........................................................................... 42
KẾT LUẬN ............................................................................................................. 46
ĐỀ XUẤT NGHIÊN CỨU ...................................................................................... 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 47
4
Lời cảm ơn
Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn đến người thầy đáng kính, PSG.TS Mỵ
Vinh Quang, người đã hết lòng hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học
tập từ đại học cho đến suốt quá trình học cao học và làm luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tất cả các thầy cô trong khoa Toán
– Tin trường đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, và thầy PGS. TS Bùi Xuân
Hải, những người đã hết lòng giảng dạy tôi trong suốt quá trình học cao học tại
trường.
Xin cảm ơn các bạn học viên Cao học Đại Số khóa 21 trường ĐHSP Tp.HCM đã
động viên giúp đỡ tôi rất nhiều trong thời gian làm luận văn.
Cuối cùng xin gửi lời tri ân đến gia đình, bạn bè, người thân và đồng nghiệp
đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và công tác.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 24 tháng 09 năm 2012
Tác giả luận văn
Lâm Thị Ánh Tuyết
5
MỞ ĐẦU
∩ =
H K
Ta gọi một nhóm con H của G là được gọi là cóphần phụ trong G nếu có một nhóm
{ }1
con K của G sao cho G = HK. Nếu thì ta nói K là phầnbù trong G của
H.
Một nhóm Gđược gọi là một xP nhóm nếu với mọi x nhóm con không tầm thường
đều thỏa mãn điều kiện P trong đó, x và P là:
x = a (nhóm con tùy ý)
x = n (nhóm con chuẩn tắc)
x = c (nhóm con đặc trưng)
P = D có một hạng tử trực tiếp
P = C có một phần bù
P = S có một phần phụ
P = PNS có một phần phụ chuẩn tắc
P = CS có một phần phụ đặc trưng.
Lớp tất cả các nhóm thỏa mãn tính chất nêu trên được kí hiệu là xP.
Trong luận văn này, chúng tôi chủ yếu dựa trên ý tưởng của hai tác giả L.C Kappe
và J.Kirtland trong bài báo “Supplementtation in groups” [14], nghiên cứu quan hệ
bao hàm giữa chín lớp: aS, nS, cS, aPNS, nPNS, cPNS, aCS, nCS, cCs.
Nội dung luận văn gồm có:
Phần I: Các kiến thức mở đầu
6
Phần II: Phần phụ trong nhóm
1. Định nghĩa
2. Kết quả sơ bộ
3. Đặc trưng của xS-nhóm
4. Đặc trưng của xPNS-nhóm
5. Đặc trưng của xCS-nhóm
6. Lớp các quan hệ bao hàm.
7
BẢNG KÝ HIỆU
Nhóm con bất kỳ a
Nhóm con đặc trưng c
Nhóm con chuẩn tắc n
H G≤
H là nhóm con của nhóm con, nhóm con thực sự của G , H G<
H G
H G ,
H là nhóm con chuẩn tắc, nhóm con chuẩn tắc thực sự của
nhóm G
H charG H là nhóm con đặc trưng của nhóm G
X
Nhóm con sinh bởi X trong G
GX
Bao đóng chuẩn tắc của X trong G
A GX
Bao đóng đặc trưng của X trong G
Frat(
)G
Nhóm con Frattini của nhóm G
n
Frat(
G )
Nhóm con nFrattini của nhóm G
c Frat(
G )
Nhóm con c Frattini của nhóm G
T G ( )
Phần xoắn của nhómG
Aut G ( )
Nhóm các tự đẳng cấu của nhómG
S A ,n n
Nhóm đối xứng, nhóm thay phiên bậc n
[G:H] Chỉ số của H trong G
8
Chương 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.Một số định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1.Cho nhóm G. Một nhóm con H của G được gọi là có phần
phụthực sựtrong G nếu có một nhóm con thực sự K của G sao cho G = HK.
Định nghĩa 1.1.2.Cho nhóm G. Một nhóm con H của G được gọi là có phần bù
trong G nếu có một nhóm con K của G sao cho G = HK và H ∩ K={1}.
Định nghĩa 1.1.3.Cho X là tập con khác rỗng của nhóm G. Ta định nghĩa nhóm con
sinh bởi tập X, kí hiệu X , là giao của tất cả các nhóm con của G chứa X.
Định nghĩa 1.1.4. Một nhóm G được gọi là nhóm cyclic nếu nó được sinh ra bởi
x . Khi đó x được gọi là phần tử sinh của
một phần tử x nào đó của nhóm G, G
nhóm G.
Định nghĩa 1.1.5. Một phần tử g của nhóm giao hoán G được gọi là chia được nếu với mọi số nguyên m khác 0 luôn tồn tại phần tử g’ của G sao cho g’m = g.
Một nhóm giao hoán G được gọi là nhóm chia được nếu mọi phần tử của nó đều
chia được.
H G nếu H là
1
=
− x Hx H x G
,
Định nghĩa 1.1.6.H được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G, kí hiệu
∀ ∈ . Trong trường hợp H là nhóm
nhóm con của G (kí hiệu H ≤ G)và
H G
con chuẩn tắc thực sự của G, ta kí hiệu .
9
Định nghĩa 1.1.7.X là tập con khác rỗng của nhóm G. Ta định nghĩa bao đóng
chuẩn tắc của X trong G là giao của tất cả các nhóm con chuẩn tắc của G chứa X. Kí hiệu: XG.
=
∀ ∈
H f ,
Định nghĩa 1.1.8.H được gọi là nhóm con đặc trưng của G, kí hiện H char G, nếu
( f H
)
( Aut G
)
.
)
∈
∈
Định nghĩa 1.1.9.Cho X là tập con khác rỗng của nhóm G. Nhóm con đặc trưng
( ) f x
|
x X f
,
( Aut G
được gọi là bao đóng đặc trưng của X trong G. XA(G) =
Nhận xét: Bao đóng đặc trưng của X trong G là nhóm con đặc trưng nhỏ nhất trong
tất cả các nhóm con đặc trưng của G chứa X.
j
H
,
H
j
Aut G
Mệnh đề 1.1.10.Ta có các mệnh đề sau:
thì H char G. (i). Nếu
(ii). Nếu H char G thì H G.
(iii). Nếu H char K và K char G thì H char G.
và H char G, K/H char G/H thì K char G.
(iv). Nếu H char K và K G thì H K.
(v). Nếu H K G
Định nghĩa 1.1.11.Cho G là nhóm hữu hạn và p là số nguyên tố.Khi đó nhóm G
được gọi là p-nhóm nếu cấp của G là lũy thừa của p.
G được gọi là p-nhóm sơ cấp nếu mọi phần tử của Gcó cấp bằng p.
Nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con của G nếu H là một p-nhóm.
p-nhóm con Sylow của G chính là phần tử tối đại trong tập các p-nhóm con của G
theo quan hệ bao hàm.
10
Định nghĩa 1.1.12.Một nhóm không tầm thường G được gọi là nhóm đơn nếu nó
không có nhóm con chuẩn tắc thực sự khác {1}.
Định nghĩa 1.1.13.Một nhóm không tầm thường G được gọi là nhóm đơn đặc
trưng nếu G không có nhóm con đặc trưng thực sự khác {1}.
Mệnh đề 1.1.14.Một nhóm đơn đặc trưng hữu hạn là tích trực tiếp của các nhóm
đơn hữu hạn. (theo 3.3.15 [17]).
H
H
Định nghĩa 1.1.15.Cho {Hi| i∈S} là một họ các nhóm, một nhóm G, và T là đơn
i
i
Π . Cho qi là phép chiếu từ ∈ i S
Π vào Hi, i∈S. Khi ∈ i S
H
cấu từ G vào tích trực tiếp
i
Π nếu đồng cấu qiT là toàn cấu từ G vào ∈ i S
đó G được gọi là tích trực tiếp con của
Hi.
Định nghĩa 1.1.16.Cho x là phần tử của G, x được gọi là phần tử xoắn của G nếu có một số tự nhiên nkhác 0 sao cho xn= 1.
Tập hợp tất cả các phần tử xoắn của G được gọi là phần xoắn của G. Kí hiệu T(G)
G được gọi là nhóm xoắn nếu mọi phần tử của nó đều xoắn.
Định lý 1.1.17(Luật Dedekind + Modular). Cho H, K, L là nhóm con của một
H K ,
H L K
,
L
. Đặc biệt nếu H và K giao nhóm và giả sử rằng K L thì
HK
L
H L K
hoán được thì .
1.2. Một số định lý về cấp của một nhóm
Định nghĩa 1.2.1. Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G. Khi đó số các
lớp kề trái (hoặc kề phải) của G theo H được gọi là chỉ số của G trong H. Kí hiệu
[G:H].
Định lý 1.2.2 (định lý Lagrange).Nếu G là một nhóm hữu hạn và H G thì |H| là
ước của |G| và [G:H] = H G .
11
.HK H K
H K
n
G p m=
. Định lý 1.2.3. Cho H là nhóm con của nhóm G. Khi đó:
Định lý Sylow 1.2.4Cho p là một số nguyên tố, G là một nhóm hữu hạn,
n
≤ ≤ , tồn tại trong G một p-nhóm con có cấp
kp . Nói riêng, tồn
với (m, p) = 1. Khi đó:
Với mọi 1 k i)
tại trong G các p-nhóm con Sylow.
ii) Mọi p-nhóm con H của G đều nằm trong một p-nhóm con Sylow nào đó của
G.
≡
r
p 1(mod )
Tất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau. iii)
Nếu r là số các p-nhóm con Sylow của g thì r m và . iv)
:G H
n thì
Hệ quả 1.2.5. Nếu G là nhóm đơn và H là nhóm con của G sao cho
cấp của G là ước của n!.
1.3. Một số định lý đẳng cấu
H G . Khi đó
(
∩
≤
≅
Định lý 1.3.1.Cho H, K là các nhóm con của G với
(1)
∩ ≤ K H H
,
K H K KH G ,
HK H K H K
và
) ∩ . .
ϕ :
G K H
∩ → )
/ (
× G K G H
/
/
(2) Tồn tại một đơn cấu
Chứng minh
∩ ≤
≤
(1)
∩ K H H K H K KH G
,
,
)
(
≅
∩ .
Dễ dàng chứng minh được .
HK H K H K
→
Ta chứng minh
KH H
k
kH .
=
=
=
ϕlà đồng cấu:
Xét ánh xạ ϕ: K
ϕ (
)
.
.
(
k
)
(
)
k k . 1
2
k k H 1 2
) ( k H k H . 1
2
ϕ ϕ k ). ( 1
2
(
)
∀
=
ϕlà toàn cấu:
.
∈ k h H KH H
/
ϕ = ( )k
= kH k hH
khH
ϕ≅
ta có (vì h H∈ ).
K K /
er
KH H /
Theo định lý Nơte ta có .
ϕ
ϕ
= ⇒ ∈ ⇒ ∈ ∩ ⇒
ϕ
12
∈ k K
er
⇒ = kH
k ( )
k K H
k H
H
K
er
⊆ ∩ . K H
∈ ∩ ⇒
ϕ
= ⇒ ∈
ϕ
⇒ ∩ ⊆
Lấy
ϕ .
k K H
k ( )
k K
H
er
K H K
er
Lấy
Từ đó suy ra erK ϕ= ∩ . K H
∩ ≅ K K H KH H
/
/
(
)
(
)
→
×
. Vậy
G
G K /
G H /
Xét ánh xạ ϕ:
g
(
gK gH ,
)
ϕlà một đồng cấu vì với mọi
,g g G∈ ta có: 1
2
=
=
=
=
ϕ (
)
(
)
(
)
(
,
,
)
(
g
)
g g 1
2
g g K g g H , 1
1
2
2
g Kg K g Hg H , 1
2
1
2
g K g H g K g H )( 1
2
2
1
ϕ ϕ g ) ( 1
2
ϕ= ∩ vì với mọi
.
g K H
erK
K H
∈ ∩ ⇒
∈ g K ∈ g H
, nên gK=K, và gH=H, do đó
=
ϕ = ( ) g
(
gK gH ,
)
(
K H ,
)
∩ ⊂ là phần tử đơn vị của G/K×G/H, suy ra K H K ϕ . er
ϕ
=
=
⇒
⊆ ∩
( ) ϕ
Ngược lại với mọi , ta g K ϕ∈ er
g ( )
(
K H ,
)
(
gK gH ,
)
⇒ ∈ ∩ ⇒ g K H
Ker
K H
∈ g K ∈ g H
(
)
(
)
∩ →
×
có: .
ϕ :
G K H
/
G K /
G H /
■ Vậy có một đơn ánh .
≅
Định lý 1.3.2.Giả sử H, K là các nhóm con chuẩn tắc của G và H K.
G K
G H K H ( ) (
)
K H /
G H /
Khi đó: và .
ϕ
→
Chứng minh
:G H
G K
Xét tương ứng:
gH gK .
−
−
1
1
∈ ≤ ⇒
∈ ⇒ xK = yK.
Tương ứng trên là một ánh xạ vì nếu tồn tại ,x y G∈ : xH = yH
x y H K
x y K
thì
=
=
=
ϕlà một đồng cấu, vì
Hiển nhiên ϕ là một toàn ánh.
ϕ (
xH yH .
)
ϕ (
xy H .
)
= xyK xK yK
.
ϕ ϕ xH ) (
(
yH
)
.
ϕ=
∈
=
∈
∈
=
13
Ker
gH G H gK K
|
gH G H g K
|
K H
} { =
}
. Mặt khác, ta có: {
G H hay K H G H
/
/
/
ϕ
ϕ≅
≅
G H /
/ Ker
G K hay G H K H (
) (
)
G K /
. Vậy: Ker
)
. ■ và (
≅
×
Định lý 1.3.3.Giả sử H, K là các nhóm con chuẩn tắc của G và H∩K=1.
Khi đó: HK H K .
∈ ×
Chứng minh
−
−
−
−
1
1
− 1
− 1
1
1
∈ và
∈ từ đó suy ra
∈ ∩ = .
h k hk H K
1
(
h k h k K )
h
(
k hk H )
h H k K ,
ta có Do H, K là các nhóm con chuẩn tắc của G, nên với mọi ( , )h k H K
.
Suy ra hk = kh với mọi
ϕ
: H K
× → HK
( , )h k
hk .
∈ ×
Xét ánh xạ:
h k
h k
')
H K
=
=
=
ta có Dễ thấy ϕ là một toàn ánh. Hơn nữa với mọi ( , ),( ',
ϕ (
hh kk ',
')
hh kk '
'
hkh k
'
'
ϕ ϕ h k ( , ) ( ',
h k
')
−
1
⇔ ϕ ϕ
= ⇔ = ⇔ =
. Do đó:ϕ là một đồng cấu
∈ ( , ) Ker h k
h k ( , ) 1
hk
1
k
h
∈ ∩ = ⇔ = = 1 1
H K
h
k
Mặt khác
Suy ra ϕ là đơn cấu. Vậy ϕ là một đẳng cấu. ■
1.4. Nhóm con Frattini, nFrattini và cFrattini
:
,
M=
L M L G
M G M G M L G
:
,
N=
L G
L N L G
N G N G N
:
,
Định nghĩa 1.4.1.Cho G là một nhóm. Ta định nghĩa:
=
char
char
char
K
G K G K
L
G
L K L G
K
.
Định nghĩa 1.4.2.
14
Cho một nhóm G, ta định nghĩa các nhóm con sau:
Frat
G
M
≠ ∅M và
=∅M
(
)
) ( Frat G G=
=
∈
M
M
nếu nếu
n
Frat
G
N
n
Frat
≠ ∅N
(
)
(
) G G=
=
∈
N
N
nếu và nếu =∅N
c Frat
G
K
c Frat
≠ ∅K
(
)
(
) G G=
=
∈
K
K
nếu và . nếu =∅K
Mệnh đề 1.4.3.Cho G là một nhóm. Khi đó Frat(G), nFrat(G), cFrat(G) là các
nhóm con đặc trưng của G.
G
G
G
=
=
Bổ đề 1.4.4.Cho nhóm G. Với mọi phần tử g G∈ và mọi tập con X của G. Ta có:
g X ,
G g X ,
G g X
.
G
=
H
,...,
Định nghĩa 1.4.5. Một nhóm con H của G được gọi là n-hữu hạn sinh trên G nếu
x thỏa mãn
x x , 1 2
x m
,..., m
x x , 2
. có các phần tử 1
Định lý 1.4.6.Cho G là một nhóm. Khi đó Frat(G) chính là tập tất cả các phần tử
không sinh của G.
Chứng minh:
=
=
Giả sử x∈G là phần tử không sinh của G, và M là một nhóm con tối đại bất kỳ của
G M x M ,
(mâu thuẫn). Do đó x∈M, với mọi nhóm G. Khi đó nếu x∉M thì
,
G
z Y
con tối đại M. Suy ra, x∈Frat(G).
G thì tồn tại nhóm
,z Y M (mâu
Ngược lại, lấy z Frat(G) và giả sử rằng . Nếu Y
con tối đại M sao cho Y M , nhưng z cũng thuộc M, do đó
thuẫn). Vậy z là phần tử không sinh của G.
∎
15
Mệnh đề 1.4.7.Cho nhóm G, H là nhóm con của G, Frat(G) hữu hạn sinh nếu
G = Frat(G)H thì H = G.
,...,
,...,
, x x 1 2
1, H x
x n
x n
. Thì G = vì thếtheo định lý Chứng minh: Cho Frat(G) =
1.4.6 suy ra: G = H = H.
G
G
=
=
G
,...,
,...,
∎ Định lý 1.4.8.Cho nhóm G. nFrat(G) là tập các phần tử không n-sinh của G
x n
x n
x x , 1
x 1
(x là phần tử không n-sinh của G nếu )
Định lý này được chứng minh trong theorem 1 [22].
Bổ đề 1.4.9.Nếu nFrat(G) là n-hữu hạn sinh trên một nhóm không tầm thường G thì
nFrat(G) là nhóm con thực sự của G.
Chứng minh trong lemma 2 [22].
16
Chương 2: PHẦN PHỤ TRONG NHÓM
2.1.Định nghĩa
Định nghĩa 2.1.1.Một nhóm G được gọi là một xP-nhóm nếu với mọi x-nhóm con
không tầm thường đều thỏa mãn điều kiện P. Trong đó, x và P là:
x = a (nhóm con tùy ý)
x = n (nhóm con chuẩn tắc)
x = c (nhóm con đặc trưng)
P = D có một hạng tử trực tiếp
P = C có một phần bù thực sự
P = S có một phần phụ thực sự
P = PNS có một phần phụ chuẩn tắc thực sự
P = CS có một phần phụ đặc trưng thực sự
Lớp tất cả các nhóm có tính chất nêu trên được kí hiệu xP.
Trước tiên chúng ta xét quan hệ bao hàm giữa chín lớp khác nhau của xP-nhóm.
Những kết quả này hết sức đơn giản nên chỉ được nêu ra mà không có chứng minh:
trong đó
, , Mệnh đề 2.1.2.aP nP cP P S PNS CS
xPNS
trong đó
xS
x
, , a n c
Mệnh đề 2.1.3. xCS
Từ kết quả của hai mệnh đề trên ta có sơ đồ sau:
aS | aPNS | aCS
nS | nPNS | nCS
cS | cPNS | cCS
17
(Sơ đồ 2.1.3)
Câu hỏi đặt ra là quan hệ bao hàm trong sơ đồ trên có phải là quan hệ bao hàm thực
sự không?
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ chỉ ra tất cả các quan hệ bao hàm ở trên trong
trường hợp tổng quát là quan hệ bao hàm thực sự (sơ đồ 2.1.4), và khi hạn chế trên
lớp các nhóm hữu hạn ta có kết quả như sơ đồ 2.1.5. Ta có các định lý sau (sẽ được
chứng minh ở mục 2.6).
Định lý 2.1.4.Trong trường hợp tổng quát quan hệ bao hàm trong sơ đồ 2.1.3 là
nS
cS
aS
nPNS
cPNS
aPNS
cCS
aCS
nCS
thực sự.
(Sơ đồ 2.1.4)
nS
cS
aS
nPNS
cPNS ||
aPNS
Định lý 2.1.5. Trong lớp các nhóm hữu hạn ta có sơ đồ sau:
= =
aCS
nCS
cCS
(Sơ đồ 2.1.5).
18
Các kết quả sau đây được sử dụng để chứng minh hai định lý 2.1.4 và 2.1.5.
2.2. Một số kết quả mở đầu
Bổ đề 2.2.1.Một nhóm không tầm thường G là một aP-nhóm (P = S, PNS, CS) khi
và chỉ khi với mọi phần tử không tầm thường x của G, x có một P-phần phụ thực
sự trong G.
)⇒ hiển nhiên
)⇐ Gọi H là một nhóm con không tầm thường của G, h là một phần tử không tầm
Chứng minh:
thường của H.
Khi đó h có một P-phần phụ trong G. Tức là G có một nhóm con thật sự K thỏa
. mãn: h K G=
Do đó: HK G= .
Ta được điều phải chứng minh.
∎ Bổ đề 2.2.2.Một nhóm không tầm thường G là một nP-nhóm (P = S, PNS, CS) khi
và chỉ khi với mọi phần tử không tầm thường x của G, bao đóng chuẩn tắc Gx có
một P-phần phụ thực sự trong G.
Chứng minh: Tương tự 2.2.1.
Bổ đề 2.2.3.Một nhóm không tầm thường G là một cP – nhóm (P = S, PNS, CS) khi
A Gx
và chỉ khi với mọi phần tử không tầm thường x của G bao đóng đặc trưng có
một P-phần phụ trong G.
Chứng minh: Tương tự 2.2.1.
19
2.3. Các đặc trưng của xS-nhóm
Trong phần này chúng tôi đưa ra một số điều kiện để một nhóm G là xS-nhóm các
điều kiện này chủ yếu dựa trên nhóm con Frattini của G.
Trong lớp các nhóm hữu hạn ta cũng chỉ ra: lớp aS-nhóm và aC-nhóm trùng
nhau;lớp nS-nhóm và cS-nhóm trùng nhau.
Mệnh đề 2.3.1.Nếu Frat(G) ={1} thì G là một nS-nhóm.
Chứng minh:
Vì Frat(G)= {1} ⇒ G có nhóm con tối đại.
Giả sử có một nhóm con chuẩn tắc không tầm thường N củaG sao cho N không có
phần phụ thật sự.
M : NM ≠ G.
Khi đó với mọi M
= ⇒ ⊂ ∈ Vì NM ≠ G và M tối đại trong G nên NM M N M M , ∀ ∈ M .
Do đó, N ⊆ Frat(G). Suy ra: N = {1} (mâu thuẫn với giả thiết N không tầm thường)
Vậy G là một nS-nhóm.
∎ Nhận xét 2.3.2. Tồn tại một nhóm T trong nS sao cho Frat(T) ≠{1}.
Chứng minh:
Theo [15] tồn tại một nhóm đơn vô hạn T thỏa Frat(T) = T.
Vì T đơn nên là một nS-nhóm tầm thường và Frat(T) = T ≠{1}.
∎ Mệnh đề 2.3.3.Cho G là một nhóm với Frat(G) hữu hạn sinh thì G là một cS-nhóm
khi và chỉ khi Frat(G)= {1}.
Chứng minh:
)⇒ Phản chứng: Giả sử G là cS-nhóm với Frat(G)≠{1}.
20
Vì Frat(G) char G (theo mệnh đề 1.4.3), nên có một nhóm con K sao cho:
(
)
=
Frat
G
,...,
Frat(G)K = G.
x x , 1 2
x n
,
,...,
Mà Frat(G) hữu hạn sinh. Tức: .
, K x x 1 2
x = K (theo mệnh đề 1.3.7). n
Suy ra: G =
Do đó: G = K (mâu thuẫn với K là nhóm con thực sự của G).
Suy ra: Frat(G) ={1}.
Vậy: G là nS-nhóm.
)⇐ Vì aP nP⊂
với P = S, PNS, CS (theo 2.1.2) và G là một nS-nhóm nên G cũng
là một cS-nhóm.
Nhận xét 2.3.4.Có một nhóm F là cS-nhóm thỏa mãn Frat(F) không hữu hạn sinh ∎
Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:
Bồ đề 2.3.5.Mọi nhóm cyclic không tầm thường đều không chia được.
=
Chứng minh
G a a
,
≠ . 1
Gọi G là nhóm cyclic không tầm thường.
Trường hợp G hữu hạn:Giả sử G có cấp m và chia được, khi đó tồn tại phần tử b
a= , suy ra: 1 a= (mâu thuẫn).
của G sao cho mb
2b
a= .
k
Trường hợp G vô hạn: Giả sử G chia được. Khi đó tồn tại phần tử b của G sao cho
a∈
b
a=
nên tồn tại số nguyên k sao cho . Mặt khác b
k
2
2 k = ⇒
21
= (mâu thuẫn).
a
a
a −
1 1
Suy ra:
∎ Bây giờ ta chứng minh nhận xét 2.3.4.
Xét F = × A5, tích trực tiếp của nhóm cộng các số hữu tỉ và nhóm thay phiên A5.
+ Chứng minh F là cS-nhóm:
Ta sẽ chứng minh F là cS-nhóm bằng cách chứng minh F chỉ có bốn nhóm con đặc
trưng là {1}, F, và A5.
Hiển nhiên {1} và F là các nhóm con đặc trưng của F. Ta chứng minh và A5 là
nhóm con đặc trưng của F.
0,
b
b
0,
b
T
F
: 0,
60
0,1
A 5
k
a b ,
T
F
k
:
ka b ,
0
a
a b ,
0,1
). A 5
)
và Xét A5, ta có: T(F) = A5 (vì :
0,b
A∈ ta luôn có:
5
60
60
=
=
(
)
(
)
(
0,
b
f
f
0,
b
) 0;1
Với mỗi tự đẳng cấu f của F, với mỗi (
(
)
∈
≤
(
)
(vì |A5| = 60).
f
0,
b
T
F
)
= ⇒ A 5
( f A 5
A 5
Suy ra:
Vậy A5 là nhóm con đặc trưng của F.
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh là nhóm con đặc trưng của F. Thậy vậy:
),1a ∈ .
=
=
( f a
) ,1
,1
f
Gọi f là tự đẳng cấu của F, lấy (
(
)
(
)
, a b 2 2
a b , 1 1
a 60
Giả sử và .
60
60
=
=
=
22
f
( f a
) ,1
,1
)
(
)
a b , 2 2
a b , 1 1
a 60
. Khi đó (
1
= (vì |A5| = 60) .
b 1
60 b= 2
(
)
Suy ra:
f
⊂ . Suy ra là nhóm con đặc trưng của F.
Vậy
Bây giờ ta sẽ chứng minh F không có nhóm con đặc trưng nào khác bốn nhóm con
,
0 .
, a b M a
đặc trưng nêu trên:
x y ,
Giả sử Mchar F , M {1} và M A5. Khi đó tồn tại
:f F
F với
, f x y
c a
f
,
v
F
,
v
. \F 0 , ta xây dựng đồng cấu Với mỗi c
u v ,
u c
u c
u v ,
F
|
,
v
sao cho , suy ra: Im(f) = F Lấy (u,v) F, khi đó tồn tại
uc a
Ker(f) =
0,1
= {(0,1)}={1}.
;
Vậy f là đẳng cấu.
M (vì M char F).
f a b ;
c b
Ta có:
;c b M với mọi c
\ 0
. Như vậy
;c b M
1
. Do đó 2
c
1 c b b ,
c b ,
( , ) c 1
c b M , 2
2
Suy ra . Tức . M
M
F
A 5
Mà McharF, suy ra là nhóm đơn.
23
5A là nhóm đơn, đầu tiên ta chứng minh
5A được sinh ra bởi các 3-
Chứng minh
5A đều là tích của một số chẵn các chuyển
chu trình. Thật vậy, vì mỗi phần tử của
=
=
abc
vị. Vì:
(
)( ac ab
)
(
)
)( cd ab
)
(
)( adc abc
)
. và (
5A đều là tích của hữu hạn các 3-chu trình. Tiếp theo giả sử
N là nhóm con chuẩn tắc khác đơn vị của
5A .Khi đó, xảy ra các khả năng sau:
'
'
'
a b c là 3-chu trình khác và
N chứa 3-chu trình (
abc , nếu ( )
)
Do đó, mọi phần tử của
5Sπ∈ là phép
'c thì
1.
'b , c thành
abc
a b c ' '
'
( π
) π− = 1
(
)
,e f
f khác với a ',
b c . Ta '
',
. Nếu πlà thế biến a thành a ', b thành
)
a b c ' '
'
N∈ do tính chuẩn tắc của N trong
, trong đó, e và phép thế lẻ, ta thay π bởi(
)
5A và do đó
N A= 5
π =
N chứa 5-chu trình
. có(
(
)
a a a a a 1 2 3 4 5
− 1
=
=
π '
, do đó N chứa 2.
(
) ( π
)
(
)
a a a 1 2 3
a a a 1 2 3
a a a a a 2 3 1 4 5
1
π π− =
.
'
(
)
a a a 1 2 4
N A= 5
π =
'a b '
ab
, bởi vậy, theo chứng minh trên, . Do đó, N chứa
(
)(
)
− 1
=
=
≠
π '
acb
acb
a b '
'
ac
Cuối cùng, N chứa phép thế dạng , khi đó N chứa phép thế 3.
c
a b a b ,
',
,
'
(
) ( π
)
(
)(
)
π π = '
abc
( với ).
M
F
(
)
A 5
, bởi vậy theo chứng minh Từ . Suy ra: N chứa
N A= 5
. trên,
Như vậy, ta đã chứng minh được nếu N là nhóm con chuẩn tắc khác đơn vị của
5A thì
N A= 5
5A là nhóm đơn cấp 60.
. Do đó,
24
Do đó: M = 1 hoặc M = A5.
Suy ra M = hoặc M = F.
Như vậy rõ ràng F chỉ có bốn nhóm con đặc trưng là {1}, A5, , F. Hiển nhiên
phần bù của là A5, và ngược lại phần bù của A5 là . Nên F là cS-nhóm.
+ Chứng minh Frat(F) không hữu hạn sinh
Trước tiên ta chứng minh không chứa nhóm con tối đại.
là nhóm đơn. Phản chứng, giả sử có nhóm con tối đại M. Suy ra, M
:p
M
Xét đồng cấu .
là nhóm cyclic cấp nguyên tố. Giả sử ngược lại Ta chứng minh M
aM
M a ,
0
M
M
aM
M
Lấy phần tử . . Khi đó aM
2a M là nhóm con thực sự của M
Nếu aM vô hạn thì (mâu thuẫn với M
đơn).
k aM p m p m .
,
,
pa
1 thì
là nhóm con thực sự Nếu aM hữu hạn, giả sử
đơn). của M (mâu thuẫn với M
là Vậy M là nhóm cyclic cấp nguyên tố, mà M chia được. Suy ra M
nhóm tầm thường (theo bổ đề 2.3.5). Tức là không chứa nhóm con tối đại.
Tiếp theo ta chứng minh mọi nhóm con tối đại của F đều chứa .
Giả sử M là nhóm con tối đại của F và M không chứa .
Gọi K là nhóm con của Fthỏa M K .
25
K
char
F
,
. Suy ra: K là nhóm con chuẩn tắc của F. Ta có
.
Suy ra: M KM F
K M
K M
.
Nếu M = KM thì K M suy ra:
F
KM
K
K M
. Nếu M = Fthì
M là nhóm con tối đại của (mâu thuẫn).
Vậy
Như vậy, mọi nhóm con tối đại của F đều chứa .
,...,
Suy ra Frat(F) = .
m m 2 1 , n n
km n
. Giả sử hữu hạn sinh. Tức:
l
Gọi p là số nguyên tố thỏa p không là ước của m.
...
k
l 1
l 2
1 p
m 1 n
m 2 n
1 p
m k n
n
. Khi đó
...
l m k k
p l m l m 2 1
2
1
Suy ra .
Tức p là ước của n (mâu thuẫn).
Vậy Frat(F) = không hữu hạn sinh.
∎ Hệ quả 2.3.6.Trong lớp những nhóm mà trong đó Frat(G) là hữu hạn sinh tập hợp
các nS-nhóm và cS-nhóm là trùng nhau.
Mệnh đề 2.3.7.Nếu G là một aS-nhóm thì Frat(G) = {1}.
Chứng minh:
26
Giả sử Frat(G) ≠{1}.
=
G
x H .
Lấy xFrat(G), x≠1.
=
=
G
x H ,
H
. Vì G là aS-nhóm, nên tồn tại nhóm con thật sự H của G sao cho
Do đó: (mâu thuẫn).
Nhận xét 2.3.8. Có một nhóm hữu hạn G với Frat(G) = {1} nhưng G∉aS.
Chứng minh
Xét nhóm thay phiên A4.
Ta chứng minh A4 không có nhóm con cấp 6.
Để chứng minh, trước hết ta có vài nhận xét đơn giản sau: Mỗi phép thế đều phân
tích được thành tích các chu trình độc lập. Một chu trình độ dài k có cấp k do đó
nhóm A4 không có phần tử cấp 6. Các phần tử cấp 3 là các chu trình độ dài 3, có
,
,
. 14 23
12 34
13 24
phần tử cấp 2 là
Bây giờ, giả sử H là nhóm con cấp 6 của A4, có thể xảy ra các khả năng sau:
,
,
13 24
14 23 .
K 12 34
H có ít nhất 2 phần tử cấp 2, khi đó H chứa nhóm con 1.
Điều này không thể được vì K có cấp 4, còn H có cấp 6.
H có nhiều nhất là một phần tử cấp 2, khi đó H có ít nhất 4 2.
phần tử cấp 3, do đó H có ít nhất 2 nhóm con cấp 3. Không mất tính tổng
123 và
124 . Khi đó, H sẽ
quát, có thể giả sử H chứa các nhóm con
134 , do đó H chứa ít nhất 6 phần tử cấp
124 123 ¯„ =
chứa nhóm con
3. Điều này là không thể được.
27
Vậy A4 không có nhóm con cấp 6.
Suy ra mọi nhóm con cấp 3 và 4 của A4 đều là nhóm con tối đại của A4.
Mà giao của một nhóm con cấp 3 và một nhóm con cấp 4 bằng {1}.
Nên Frat(A4) = {1}.
Gọi H là nhóm con cấp 2 của A4. Giả sử H có có phần phụ thực sự K trong A4. Khi
= ⇒ ≥ ⇒ =
K
K
6
6
12
đó:
H K H K∩
K ∩ K H
, suy ra (vì K không có |A4| = |HK| =
nhóm con cấp 6).
Do đó: K = A4 (mâu thuẫn với giả thiết K là nhóm con thực sự).
Vậy A4∉aS.
∎ Mệnh đề 2.3.9.Mọi nhóm con của aS-nhóm là aS-nhóm.
Chứng minh:
Cho G là một nhóm và H ≤ G.
Nếu H={1} hoặc H = G mệnh đề hiển nhiên đúng.
Giả sử H là nhóm con thực sự và không tầm thường của G.
Lấy K là một nhóm con không tầm thường của H.
Khi đó: K là nhóm con không tầm thường của G nên có một nhóm con thực sự L
⇒ K(L ∩ H) = H.
của G sao cho: KL = G.
Nếu: L ∩ H thì H ⊂ L ⇒ K ⊂ L ⇒ L = G (mâu thuẫn).
28
⇒ H là một aS-nhóm.
Nên L ∩ H là nhóm con thực sự của H.
∎ Định lý 2.3.10.Nếu G là một aS-nhóm thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm trên tập
các nhóm con, thì G là một aC-nhóm.
Chứng minh
Lấy H ≤ G, K là nhóm con tối tiểu trong tập tất cả các phần phụ của H trong G.
Đặt H1 = H ∩ K, giả sử H1 ≠ {1}.
Vì: K là nhóm con của G, nên theo mệnh đề 2.3.9H1 có một phần phụ thực sự K1
⇒ H1K1 = K.
⇒ G = HK = H(H1K1) = (HH1)K1 = HK1 (mâu thuẫn với tính tối tiểu của K).
trong K.
Vậy H1={1}.
Tức H có phần bù trong G.
∎ Hệ quả 2.3.11.Lớp aS-nhóm hữu hạn bằng lớp aC-nhóm hữu hạn.
2.4. Các đặc trưng của xPNS-nhóm
Trong phần này chúng tôi sẽ tìm điều kiện để một nhóm là xPNS-nhóm.Đồng thời
chứng minh lớp nPNS-nhóm hữu hạn trùng với lớp các nD-nhóm hữu hạn và lớp
các cPNS-nhóm hữu hạn.
Định lý 2.4.1: Cho G là một nhóm. Các mệnh đề sau là tương đương.
(a) G là một nPNS – nhóm.
(b) G là tích trực tiếp con của các nhóm đơn.
29
nFrat(G)={1}. (c)
Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 2.4.2: Một nhóm G đẳng cấu với tích trực tiếp con của một họ các nhóm đơn
khi và chỉ khi mọi nhóm con chuẩn tắc không tầm thường N đều có phần phụ chuẩn
tắc thực sự trong G.
)⇒ Giả sử G là tích trực tiếp của các nhóm đơn
Π . H i ∈ i S
Chứng minh
N G '
Gọi N là nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G ⇒ ∃x∈N, x ≠ 1.
i
= ∩ Π . Khi H ≠ j
i
Suy ra, tồn tại Hj sao cho x∈Hj, hiển nhiên (G ∩ Hj) ⊆ N. Gọi
)⇐ Giả sử G là nhóm thỏa mãn mọi nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G
đó N’ là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G và không chứa x, hơn nữa: G = N.N’.
đều có phần phụ thực sự trong G.
⊇
Gọi x là phần tử khác đơn vị của G. Khi đó, tồn tại nhóm con thực sự Nx của G sao cho xG.Nx = G. Gọi Mx là nhóm con chuẩn tắc của G, sao cho Mx tối đại trong tập
∉ x M
N
x
x
tất cả các nhóm con chuẩn tắc của G thỏa (Mxtồn tại theo bổ đề Zorn).
Dễ thấy Mx là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G.
Như vậy với mỗi phần tử khác đơn vị của G luôn có một nhóm con chuẩn tắc tối
G M /
đại của G không chứa phần tử đó. Ta sẽ chứng minh G là tích trực tiếp con của
x
Π ∈ x G
G
G M /
trong đó G/Mx là các nhóm đơn (vì Mx là nhóm con tối đại của G).
x
→ Π ∈ x G
) ( a→
a
Xét đồng cấu T:
)1
ab− = suy ra 1
30
− ∈ 1
1
ab
T là đơn cấu vì nếu tồn tại a,b∈G, a ≠ b: ( a ) = ( b ) suy ra (
M − ab
G M /
(mâu thuẫn với cách đặt Mx ở trên).
x
Π ∈ x G
Gọi pi là phép chiếu từ vào G/Mx. hiển nhiên piT là toàn cấu.
Như vậy G là tích trực tiếp con của các nhóm đơn.
Chứng minh định lý 2.4.1:
Theo bổ đề trên ta có (a) ⇔ (b)
(b) ⇒ (c) Giả sử G là tích trực tiếp con của các nhóm đơn thì G có nhóm con chuẩn
⇒ nFrat(G) ≠ G.
tắc tối đại.
Giả sử nFrat(G) ≠ {1}.
Vì G∈nPNS-nhóm nên ∃N G: nFrat(G). N = G.
⇒ G = nFrat(G).M = M (mâu thuẫn).
⇒ nFrat(G) ={1}.
Gọi M là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G: N ≤ M.
(c) ⇒ (a): Giả sử nFrat(G) ={1} ⇒ G có nhóm con chuẩn tắc tối đại.
Giả sử N là nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G, sao cho N không có phần
⇒ G ≠ NM, ∀M∈ N
phụ chuẩn tắc thực sự.
⇒ N ≤ Frat(G) (mâu thuẫn với giả thiết N không tầm thường).
NM ∎ 31 Định lý 2.4.3.Trong lớp các nhóm mà nFrat(G) là n-hữu hạn sinh tập hợp nPNS- nhóm và tập hợp cPNS-nhóm bằng nhau. Chứng minh: Vì mọi nPNS-nhóm là một cPNS-nhóm nên chúng ta cần chứng minh cPNS- nhómlà một nPNS-nhóm. G ,.. Lấy G∈cPNS và nFrat(G) là hữu hạn sinh, nFrat(G) ≠G. ,
x x
1
2 x
n . Đặt nFrat(G) = Nếu G là đơn hay tầm thường hiển nhiên ta có điều cần chứng minh. ⇒ G có một nhóm con chuẩn tắc không tầm thường N sao cho N không có phần bù Trường hợp G không tầm thường, không đơn. Giả sử G không là một nPNS-nhóm. chuẩn tắc thực sự. ≠ ∀ ∈
M : NM G Vì nFrat(G) ≠ G nên G có nhóm con chuẩn tắc tối đại. N NM G ⇒ NM M= ⇒ N M⊆ , M∀ ∈ N . mà Khi đó Suy ra: N ⊆ nFrat(G) tức nFrat(G) không tầm thường trong G. Vì nFrat(G) char G nên có một nhóm con chuẩn tắc thực sự L trong G sao cho: G G ,.. ,.. , ⇒ G = G = nFrat(G).L. x x
,
1
2 x x
,
1
2 x
n x L (theo 1.3.8).
n ⇒ G = L (vô lý). .L = Vậy G là nPNS–nhóm. ∎ 32 Nhận xét 2.4.4. Tồn tại một nhóm F là cPNS-nhóm nhưng nFrat(F) không hữu hạn sinh và F ∉nPNS. = Chứng minh F × A
5 . Xét nhóm Theo chứng minh ở nhận xét 2.3.4 thì F có bốn nhóm con đặc trưng là {1}, A5, và F. Do đó: mỗi nhóm con đặc trưng không tầm thường của G đều có phần bù chuẩn tắc thực sự trong F. Suy ra: F là một cPNS–nhóm. Theo chứng minh ở nhận xét 2.3.4 thì không có nhóm con tối đại nên cũng không có nhóm con tối đại chuẩn tắc.Chứng minh tương tự nhận xét 2.3.4 ta cũng được mọi nhóm con chuẩn tắc tối đại của F đều chứa Suy ra: nFrat(F) ≅ . Do đó nFrat(F) không hữu hạn sinh. Ta cần chứng minh F không là nPNS-nhóm. Thật vậy, xét nhóm con chuẩn tắc của F. Trước tiên ta chứng minh không có phần bù thực sự trong . Giả sử có phần = K+ bù thực sự K trong . Tức là . K
K K K
. Khi đó 33 K
là K là nhóm chia được (vì là nhóm chia được)còn Trong đó K là nhóm tầm thường theo bổ đề 2.3.5. Suy ra: K = (mâu nhóm cyclic nên thuẫn). Bây giờ ta chứng minh không có phần bù thực sự trong F. M F Giả sử tồn tại nhóm con thực sự M của F sao cho . M M
. Khi đó . Theo chứng minh trên, suy ra M M M M F (mâu thuẫn). Do đó: ∎
Hệ quả 2.4.5.Lớp các nhóm hữu hạn nPNS-nhóm, nD-nhóm, cD-nhóm, và cPNS- nhóm hữu hạn là trùng nhau và bất kỳ nhóm nào trong lớp này đều là tích trực tiếp của các nhóm đơn. Chứng minh Hiển nhiên, một nD-nhóm hữu hạn là một nPNS-nhóm hữu hạn.Ngược lại, gọi G là một nPNS-hữu hạn. G
Ga
A a . Theo định lý 2.4.1 G là tích trực tiếp con của các nhóm đơn Na là nhóm con chuẩn tắc của G Aa hoặc . N G G N Ga .Khi đó: với mọi a a a
Na 1 hoặc G Gọi N là một nhóm con chuẩn tắc của G thì G Nb , H là tập con sinh bởi tập các nhóm Gọi: B là tập các chỉ số b thỏa mãn G H
Gb
B b
Gb B b , tức: . Khi đó: H = N. Vì thế G là một nD-nhóm hữu hạn. 34 Tiếp theo ta chứng minh lớp nD-nhóm hữu hạn và lớp cD-nhóm hữu hạn là trùng nhau. Vì một nD-nhóm hiển nhiên là cD-nhóm nên ta chỉ cần chứng minh một cD-nhóm hữu hạn là nD-nhóm hữu hạn. Giả sử G là một cD-nhóm hữu hạn. Gọi K1 là nhóm con đặc trưng tối đại của G. Khi đó tồn tại nhóm đơn đặc trưng N sao cho G = K1N. Gọi K2 là nhóm con đặc trưng tối đại của K1. Lặp lại quá trình như trên. Do G hữu hạn suy ra: G là tích trực tiếp của các nhóm đơn đặc trưng. Theo theo mệnh đề 1.1.14 các nhóm đơn đặc trưng hữu hạn là tích trực tiếp của các nhóm đơn hữu hạn. Suy ra G là tích trực tiếp của các nhóm đơn. Vậy G là nD-nhóm. Theo định lý 2.4.3 lớp các cPNS-nhóm và lớp nPNS-nhóm là giống nhau. Phần cuối của định lý là kết quả ở định lý 2.4.1. ∎
Định lý 2.4.6.Cho một nhóm không tầm thường G. Các mệnh đề sau tương đương: (a) G là một aPNS-nhóm. p = (b) G là một tích trực tiếp của một họ các nhóm cyclic có cấp nguyên tố. { }1 p Gπ∈ , trong đóπ là tập hợp tất cả các số (c) G là nhóm giao hoán với nguyên tố. a ( ) ( )
b⇒ : Chứng minh Cho G là một aPNS-nhóm, x là một phần tử khác đơn vị của G. 35 , thì G đẳng cấu với một nhóm cyclic vô hạn hoặc G đẳng cấu với một Nếu x G= nhóm cyclic hữu hạn có cấp không chính phương. Trường hợp G đẳng cấu với một nhóm cyclic hữu hạn có cấp không chính phương, G là aPNS-nhóm nên là nPNS-nhóm hữu hạn. Do đó theo hệ quả 2.4.3 G là tích trực tiếp của các nhóm cyclic có cấp nguyên tố. p / Trường hợp G đẳng cấu với một nhóm cyclic vô hạn thì G là tích trực tiếp con của / p là nhóm đơn cấp p). Π (với π là tập hợp các số nguyên tố, và
π∈
p m k nhóm k p y x= = Π
π∈
p p / với . Thật vậy, với mọi phần tử y của G tồn tại số nguyên k sao cho )m . Khi đó với mỗi Π như sau: f(y)= (
π∈
p / m p / Ta xây dựng đơn cấu f từ G vào ∈ ta luôn tìm / p , với mỗi phần tử Π vào
p
π∈
p mpx phép chiếu qp từ / p . ) = m . Do đó qpf là toàn cấu từ Gvào được phần tử m ∈ sao cho qpf( Như vậy, ta đã chứng minh được G là tích trực tiếp con của các nhóm cyclic có cấp nguyên tố trong trường hợp G đẳng cấu với một nhóm cyclic có cấp vô hạn. = x N . Vì G là nPNS-nhóm nên có một nhóm con chuẩn tắc thực sự N của G Nếu x G≠ sao cho G . Gọi M là một nhóm con chuẩn tắc của G, M cực đại trong tập tất cả các nhóm con chuẩn tắc chứa N và không chứa x (M tồn tại theo bổ đề Zorn). Chúng ta sẽ chỉ ra G/M là nhóm cyclic có cấp nguyên tố. ≅ ≅ G M x M M x / / / x M x M= Thật vậy: ∩ . Suy ra G/M là nhóm cyclic nên Vì G Nếu G/M không đơn, thì G/M có một nhóm con chuẩn tắc thực sự K/M của G/M. = ⊆ mâu thuẫn với K là nhóm con thực sự của G. Còn nếu x∉K thì mâu x M G K Do đó K là nhóm con chuẩn tắc thực sự của Gvới M K⊂ . Nếu x∈K thì 36 thuẫn với tính tối đại của M. Vậy G/M phải là nhóm đơn. Suy ra: G là nhóm cyclic có cấp nguyên tố. Như vậy, với mỗi phần tử không tầm thường x của G, có một nhóm con chuẩn tắc Mx của G sao cho x∉Mx và G/Mx là nhóm cyclic có cấp nguyên tố nên G là tích trực tiếp trong của một họ các nhóm cyclic có cấp nguyên tố (chứng minh tương tự ( )
b ( )
c⇒ bổ đề 1.4.2). Cho G là nhóm thỏa điều kiện (b). Khi đó G giao hoán. p Hơn nữa theo 2.4.1 thì G là một nPNS-nhóm với nFrat(G) = {1}. p Gπ∈ ( )
c (
)
a⇒ p = . Do G giao hoán, nên {1} = nFrat(G) = Frat(G) = { }1 p Gπ∈ Cho G là nhóm giao hoán thỏa g G g∈ , ≠ .
1 p Lấy g G∉ . p p / / / Chọn p là số nguyên tố sao cho G G là một p – nhóm giao hoán sơ cấp nên Frat( G G ) = nFrat( p
G G ) = p / p
G G giao Vì G G là nS-nhóm nên cũng là aPNS-nhóm (vì / {1}. Do đó theo 2.3.1 p p p = G G g G M G hoán nên mọi nhóm con của nó đều là nhóm con chuẩn tắc). Suy ra, tồn tại một pG sao cho ) ( ) (
. = . Suy ra: nhóm con M của G chứa G g M . Vậy G là một aPNS– nhóm. ∎ 37 Định lý 2.5.1.Một nhóm xoắn không tầm thường G là một aCS-nhóm khi và chỉ khi nó là tổng trực tiếp của các nhóm cyclic có cấp là các số nguyên tố p phân biệt. Giả sử G là một aCS-nhóm khi đó G là một aPNS-nhóm. Chứng minh Theo định lý 2.4.6, mỗi p-nhóm con Sylow của G là aben. Gọi Gp là một p-nhóm con Sylow của G và giả sử rằng |Gp| >p. Gọi a1 là một phần tử của Gp sao cho |a1| =p. + H ⊕ .
H Vì G là một aSC-nhóm nên có một nhóm con thực sự H của G, H char G, sao cho: =
G a
1 =
G a
1 . Mà |a1| =p ⇒ =
G a K ⊕ trong đó K là nhóm con đặc Vì |Gp| >p nên có a2∈H sao cho |a2| = p. 2 Lại do G là một aSC-nhóm nên ta có ( ) + ∩ . a H K a H K trưng thực sự của G. )
⊕ ∩ = 2 2 ( ) = ⊕ H H K ∉ ∩ nên ∩ . Ta có: H = G ∩ H= ( K H a
2 2a ( ) ⊕ ⊕ H K ∩ , trong đó ( Vì )
H K∩ char G. =
G a
1 a
2 = = Suy ra: = ∀ ∈ ∩ . a a φ
; ( )
l l H K l , ) (
φ
; ) a
1 2 2 a
1 ≠ (
φ )H H Ta định nghĩa ánh xạ φ → (
φ
: G G Khi đó φ là một tự đẳng cấu của G nhưng (mâu thuẫn). Do đó với mọi p-nhóm con Sylow Gp của G ta luôn có |Gp| = p. 38 G H= ∑ (Hi là nhóm cyclic có cấp là số nguyên tố). Giả sử, H1 và H2 là hai i ⊕ H H p > (mâu Giả sử 1 2 nhóm cyclic thỏa |H1| = |H2| = p (p là số nguyên tố). Khi đó thuẫn với mọi p-nhóm con Sylow của G đều có cấp p). Vậy: G phải là tổng trực tiếp của các nhóm cyclic có cấp là các số nguyên tố phân Ngược lại: biệt. G C p = ∑ là tổng trực tiếp của các nhóm con cyclic Cp của các số nguyên π∈
p ' 'π là tập hợp các số nguyên tố. Giả sử tố phân biệt p, trong đó 'π∈ , sao cho Gọi H là một nhóm con thực sự của G. khi đó có một số nguyên tố q K C q-nhóm con Sylow Gq của G chứa trong H. q = ∑ , khi đó G = Gp+K và K char G (theo 1.1.14). ' π∈
q
≠
q p Đặt Suy ra: G = H+K. Vậy H có phần phụ đặc trưng thực sự trong G. ∎ Định lý 2.5.2. Một nhóm hữu hạn G là một nCS-nhóm khi và chỉ khi nó là tích trực tiếp của những nhóm đơn phân biệt. Chứng minh × Cho G là một nCS-nhóm. S × ×
... S =
G S
1 2 n n ≤ ≤ . , trong đó Suy ra: G là một nPNS-nhóm, theo hệ quả 2.4.5 ta có: Si là các nhóm đơn, 1 i 39 S≅ S
1 2 Giả sử . Vì S1 là một nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G nên có ∩ = ∩ ⇒ ∩ = một nhóm con đặc trưng thực sự K của G sao cho G = S1K. K { }
1 S
1 K S
1 S
1 K S
1 S
1 thì K = G Ta có: (vì S1 là nhóm đơn và nếu ⇒ ≅ ≅ × mâu thuẫn với K là nhóm con thực sự của G). S S S / × ×
... n K G S
1 2 3 = ≅ . ≤ ≤ . ... T S , 2 n j K T T
2
3 × × × , trong đó
T
n j j = × ≅ ≅ Do đó ... S =
G S K S T T
3 × × × × , trong đó
T
n 1 1 2 S
1 2 T
2 . Vì = = = ≤ ≤ . n k ,3 (
φ ) (
φ
; ) (
φ
; ) T
k T
k S
1 T
2 T
2 S
1 Nên G có một tự đẳng cấu không tầm thường φ thỏa: ≠ Suy ra K không đặc trưng trong G. (mâu thuẫn). S S ,1 ≤ ≠ ≤ .
j n i i j Vậy × ≠ Ngược lại: S × ×
... S S S ≤ ≠ ≤ .
j n i ,1 =
G S
1 2 n i j Cho , trong đó Si là các nhóm đơn và Gọi H là nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G. Nếu H = G, hiển nhiên H có phần phụ đặc trưng thực sự. × S × ×
... S ,1 ≤ ≤ − .
n 1 t =
H S
1 2 t Nếu H là nhóm con thực sự của G, không mất tính tổng quát, ta có × ×
... S +=
K S t 1 n Khi đó: là một nhóm con đặc trưng của G. Hơn nữa: G = HK Vậy G là một nCS – nhóm. ∎ 40 Định lý 2.5.3.Một nhóm G là một cCS-nhóm nếu và chỉ nếu cFrat(G) ={1}. Chứng minh Cho G là một cCS-nhóm và giả sử rằng cFrat(G) ≠ {1}. ( Trước tiên ta chứng minh cFrat(G) ≠ G. Giả sử cFrat(G) = G. Thì G có một nhóm )A Gx H⊆ . ( con đặc trưng không tầm thường H. Lấy x∈H, x ≠ 1. Thì )A Gx Khi đó có một nhóm con đặc trưng K của G thỏa: G = K. ∉ ⊆ (M là Cho M là nhóm con đặc trưng của G, M tối đại với quan hệ x M K M
, tồn tại theo bổ đề Zorn). Ta sẽ chứng minh M là nhóm con đặc trưng tối đại của G. Phản chứng, giả sử M không là nhóm con đặc trưng tối đại của G. Khi đó có một nhóm con đặc trưng L của G thỏa mãn M )A G
( Nếu x∉L thì mâu thuẫn với tính cực đại của M. ⊂ (mâu thuẫn với cách đặt L). =
G x K L Nếu x∈L, thì Vậy M là nhóm con đặc trưng tối đại của G (mâu thuẫn với giả thiết cFrat (G) = G). Do cFrat(G) là nhóm con đặc trưng của G nên có một nhóm con đặc trưng tối đại M của G thỏa G = cFrat(G).M. Mà cFrat(G) ⊆ M, nên M = G (vô lý). Vậy cFrat(G) = {1}. Ngược lại, Cho cFrat(G) = {1}. Nếu G là nhóm đơn đặc trưng hoặc nhóm tầm thường, hiển nhiên G là một cCS-nhóm. Trong các trường hợp khác, giả sử G không là cCS-nhóm. Khi đó, có một nhóm con đặc trưng thực sự H của G sao cho HK ≠ G với mọi nhóm con đặc trưng K của G. Suy ra: HM ≠ G, M∀ ∈ K . ⇒ HM = M, M∀ ∈ K . ⇒ M∀ ∈ K ⇒ H ⊆ cFrat(G) ⇒ cFrat(G) ≠ {1}. (mâu thuẫn). H M⊆ , 41 ∎ Định lý 2.5.4.Nếu G là một cCS-nhóm, thì G là một tích trực tiếp con của các nhóm đơn đặc trưng. Chứng minh ( Nếu G là nhóm tầm thường, hiển nhiên mệnh đề trên đúng. )A Gx ( Giả sử G là nhóm không tầm thường, lấy x∈G, x ≠ 1. Xét )A Gx = G. Nếu G không có nhóm con đặc trưng thực Trước tiên, ta xét trường hợp sự nào trong G thì G là nhóm đơn đặc trưng nên mệnh đề trên hiển nhiên đúng. Giả )A G
( = sử G không là nhóm đơn đặc trưng. Theo định lý 2.5.3, thì cFrat(G) = {1} và G G x M ( chứa một nhóm con đặc trưng tối đại M sao cho và x M∉ . ≠ G. Lập luận tương tự chứng minh ở định lý 2.5.3, có một nhóm )A Gx )A G
( = Trường hợp G x M con đặc trưng tối đại M thỏa mãn: và x M∉ . )A G
( = Do đó, với mỗi phần tử không tầm thường x∈G luôn có một nhóm con đặc trưng x M∉ G x M x x và tối đại Mx của G thỏa mãn . Hiển nhiên G/Mx là nhóm đơn →∏ = đặc trưng. φ
: G G M g gM (
φ ) ( x ∈
x G )x ∈
x G )φ = {1}Suy ra φ là một đơn cấu từ G vào , trong đó: . Xét ánh xạ ∈∏ x G xG M . Vì cFrat(G) = {1} nên ker( G M
/ g G M∈ ∈∏ x G x x , luôn tồn tại phần Với mỗi phép chiếu qx từ vào G/Mx, lấy tử g G, sao cho qxφ(g) = g . Suy ra qxφ là toàn cấu từ G vào G/Mx. Vậy G là tích trực tiếp con của các nhóm đơn đặc trưng. ∎ 42 Nhận xét 2.5.5. Tồn tại nhóm W là tích trực tiếp con của các nhóm đơn đặc trưng nhưng không là một cCS-nhóm. Chứng minh p W = × , trong đó là tích trực tiếp con của π∈∏ ( p là tập 2 p Xét nhóm )0,1 = hợp các số nguyên tố) nên W là tích trực tiếp con của các nhón đơn đặc trưng. Ta 2 vì (0,1)2 = (0,0); và với mọi (a,b) W: (a,b)k = 0 suy ra a có: T(W) = ( 2 char W (vì qua phép đẳng cấu phần xoắn biến thành = 0 suy ra (a,b) 2 , nên 2 , thì M có phần xoắn). Lấy nhóm con chuẩn tắc M bất kỳ của G là phần bù của 2 có cấp 2, suy ra: M 2∩ = {1}. Do đó: G M= × suy ra M ≅ . 2 cấp vô hạn vì W có cấp vô hạn và :f W W xác định như sau: Xét tự đẳng cấu a , : , a , f(0,b) = (0,b), f(a,b) = (a,b+1) với a 0.
f a
0
0
1 . Ta thấy Tức không là nhóm con đặc trưng của W. 2 không có phần bù đặc trưng trong W. Suy ra Nên W không là cCS-nhóm. ∎ Chứng minh định lý 2.1.4 X • ét nhóm S3, nhóm đối xứng bậc 3. ) ) )( 43 (
) (
1 2 , 1 3 )12 , ( )13 , ( )(
12 13 12 S =
3 )( ) Ta có: . S3 có 3 nhóm con cấp 2 là ( 12 13 . Rõ ràng phần bù của ( )12 là ( )13 và ) )( )( )( ) và một nhóm con cấp 3 là ( 12 13 12 là ( 12 13 và ngược lại. Tức S3 là aS- ngược lại, phần bù của ( nhóm , nên cũng là nS-nhóm, cS-nhóm. )( ) Mặt khác, S3 chỉ có một nhóm con đặc trưng thực sự và không tầm thường 12 13 nên nó không có phần bù chuẩn tắc thực sự trong S3. Suy ra: S3 không là ( là cPNS-nhóm. Do đó: S3 cũng không là nPNS-nhóm và aNPS-nhóm. xS⊂ với x = a, n, và c. Vậy ta có thể kết luận rằng xPNS Ti • ếp theo, xét nhóm thay phiên A5. Ta có A5 là nhóm đơn (theo chứng minh ở nhận xét 2.3.4). Nên theo định lý 2.5.2 A5 là nCS-nhóm do đó cũng là nPNS và nS-nhóm. ] :G H n= thì cấp của A5 là ước của n!, nhưng |A5| = 60 không là ước của 4!, 3!, Mặt khác, A5 không có nhóm con cấp 15, 20, 30. Vì: nếu H là nhóm con A5 thỏa
[ 2!. = ≥ ⇒ = ⇒ = HK Gọi H là 2- nhóm con Sylow của A5, giả sử K là phần bù thực sự của H trong A5 . K 15 60 K K A
5 H K
∩
H K . Suy ra: (vô lý). Khi đó: Tức: A5 không là aS-nhóm. Do đó A5 cũng không là aPNS, aCS-nhóm. Vậy ta có thể kết luận rằng aP nP⊂ với P = S, PNS, và CS. p W = × vì là tích trực tiếp con của π∈∏ (πlà tập hợp các số 2 p Xét nhóm nguyên tố) nên W là một aPNS-nhóm do đó là một nPNS-nhóm, cPNS-nhóm. 44 ⊂ Nhưng W không là một cCS-nhóm, nên cũng không là một nSC-nhóm, aCS-nhóm. xPNS = với x = a, n, c. Vậy ta có thể kết luận: xCS F × A
5 Cuối cùng, xét nhóm , trong đó là nhóm cộng các số hữu tỉ. Theo chứng minh ở nhận xét 2.3.4 thì F chỉ có bốn nhóm con đặc trưng 1, F, A5,và Nên cFrat(F) = {1} Suy ra:F là một cCS-nhóm (theo mệnh đề 2.5.3) do đó cũng là một cPNS-nhóm, cS-nhóm. Nhưng F không là nS-nhóm nên cũng không là nPNS, cPNS-nhóm. Vậy định lý đã được chứng minh. ∎ Chứng minh định lý 2.1.5 Tất cả các nhóm được xét trong định lý này đều hữu hạn. Theo chứng minh ở định lý 2.1.4; hệ quả 2.3.6, và hệ quả 2.4.3, ta chỉ cần chứng minh các quan hệ bao hàm thực sự sau: nCS ⊂ cCS, aCS ⊂ aPNS, nCS ⊂ nPNS và chứng minh cCS = nPNS. Trước tiên ta chứng minh cCS = cPNS, bằng cách chứng minh cCS = nPNS. Cho G là một cCS-nhóm hữu hạn. Theo định lý 2.5.4 thì G là tích trực tiếp con của các nhóm đơn đặc trưng. Tuy nhiên một nhóm đơn đặc trưng hữu hạn là một nhóm đơn hoặc là tích trực tiếp của các nhóm đơn (theo mệnh đề 1.1.14). Do đó, G là tích trực tiếp của các nhóm đơn. Theo định lý 2.4.1 thì G là nPNS – nhóm. = × Ngược lại, cho G là một nPNS-nhóm hữu hạn.theohệ quả 2.4.5, G là tích trực tiếp × ×
... K G K K
1 2 n ≤ ≤ . Nếu n = 1, n của các nhóm đơn. Do đó, G có thể được viết dưới dạng , trong đó Ki là nhóm đơn đặc trưng hoặc là nhóm đơn trong G, 1 i × = thì nhóm con đặc trưng tối đại của G là {1}, và Frat(G) = {1}. Nếu n ≥ 2 thì × ×
... K K × ×
... 1,.., n =
M K
1
j j −
1 j +
1 K j
,
n ( ) = = là tất cả các đặc trưng tối đại của G. Do G Frat { }
1 n
j j M=
1 đó, . Vậy G là một cCS-nhóm. 45 Tiếp theo, để chứng minh cCS ⊂ xPNS trong đó x = a, n, xét nhóm Klien cấp bốn,K4, là tích trực tiếp của các nhóm cyclic cấp 2. Theo định lý 2.4.6 và mệnh đề 2.1.2, K4 là một aPNS và nPNS-nhóm. Theo định lý 2.5.2 và 2.1.2 thì K4 không là một aCS và nCS-nhóm. Vậy cCS ⊂ xPNS với x = a, n. Cuối cùng, vì nCS ⊂ nPNS và nPNS = cCS, nên: nCS ⊂ cCS. ∎ 46 Như vậy ta đã chứng minh được trong trường hợp tổng quát, quan hê bao hàm giữa chín lớp aS, nS, cS, aPNS, nPNS, cPNS, aCS, nCS, cCs là quan hệ bao hàm thực sự. Còn khi giới hạn trên lớp các nhóm hữu hạn thì nS = cS, nPNS = cPNS = cCS, các quan hệ bao hàm còn lại là quan hệ bao hàm thực sự. Đồng thời, trong quá trình chứng minh các kết quả trên chúng tôi cũng đưa ra được điều kiện để một nhóm là xP-nhóm và đặc trưng của các xP-nhóm này. Nhìn chung chúng ta chỉ mới xét quan hệ bao hàm giữa lớp các nhóm xP-nhóm. Do đó còn khá nhiều vấn đề về phần phụ trong nhóm chưa được tác giả tìm hiểu, nghiên cứu. Chúng tôi hy vọng sẽ được tiếp tục nghiên cứutheo hướng này trong thời gian tới. 47 Tiếng Việt: 1. Bùi Xuân Hải (2002), Đại số hiện đại, Nxb đại học quốc gia Tp. Hồ Chí Minh. 2. Mỵ Vinh Quang (1999), đại số đại cương, Nxb giáo dục. Tiếng Anh: 3. N. V. Baeva, “Completely factorizable groups” (1953), Dokl. Akad. Nauk SSSR 92,877-880. 4. H. Bechtell(1972), “On the structure of solvable nC-groups”, Rend. Sem. Mat. Univ.Padova,47, 13-22. 5. M. A. Brodie, R. F. Chamberlain and L.-C. Kappe (1988), “Finite coverings by normalsubgroups”, Proc. Amer. Math. Soc. 104, 669-674. 6. N. V. Chernikova (1956), “Groups with complemented subgroups”, Mat. Sb. 39, 237-292. 7. C. Christensen (1964), “Complementation in groups”, Math. Z. 84, 52-69. 8. C. Christensen (1967), “Groups with complemented normal subgroups”, J. London Math. Soc.42, 208-216. 9. N. T. Dinerstein (1968), “Finiteness conditions in groups with systems of complementedsubgroups”, Math. Z. 106, 321-326. 10. P. Hall, “Complemented groups”, J. London Math. Soc. 12 (1937), 201-204. 11. T. J. Head (1964), “Note on the occurrence of direct factors in groups”, Proc. Amer. Math.Soc. 15, 193-195. 48 12. M. C. Hofmann (1995), “The normal complemented formation”, Comm. Algebra 23, 5499-5501. 13. L.-C. Kappe and J. Kirtland, “Some analogues of the Frattini subgroup”, AlgebraColloq. 4 (1997), 419-426. 14. L.-C. Kappe and J. Kirtland(2000), “Supplementtation in groups”, Glasgow Math.J.42, 37-50 15. Kertesz(1952), “On groups every subgroup of which is a direct factor”, Publ. Math. Debrecen 2, 74-75. 16. Yu. Ol'shanskii (1991), Geometry of defining relations in groups, Kluwer, Boston. 17. D. J. S. Robinson (1996), A course in the theory of groups, 2nd Ed., (Springer-Verlag,. 18. W. R. Scott (1964), Group theory, (Dover, New York). 19. V. A. Sheriev (1967), “Groups with complemented noninvariant subgroups”, Sibirsk. Mat. Zh.8, 893-912. 20. J. Wiegold (1960), “On direct factors in groups”, J. London Math. Soc. 35, 310-319. 21. C. R. B. Wright (1972), “On complements to normal subgroups in finite solvable groups”, Arch. Math. (Basel) 23, 125-132. 22. Zhang Zhi-rang and Han Xue (2007), “On two types of Frattini-like subgroups”, Southwest University Vol.29 No.10 .2.5. Các đặc trưng của xCS-nhóm
2.6. Các định lý về sự phân lớp
KẾT LUẬN
ĐỀ XUẤT NGHIÊN CỨU
TÀI LIỆU THAM KHẢO
