Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phần phụ trong nhóm

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

45
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phần phụ trong nhóm tập trung tìm hiểu về định nghĩa, một số kết quả mở đầu của phần phụ trong nhóm, các đặc trưng của xS-nhóm, các đặc trưng của xPNS-nhóm, đặc trưng của xCS-nhóm, định lý về sự phân lớp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phần phụ trong nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lâm Thị Ánh Tuyết PHẦN PHỤ TRONG NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lâm Thị Ánh Tuyết PHẦN PHỤ TRONG NHÓM Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
3 MỤC LỤC MỤC LỤC ................................................................................................................. 3 Lời cảm ơn ................................................................................................................. 4 MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 5 BẢNG KÝ HIỆU ....................................................................................................... 7 Chương 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................................ 8 1.1.Một số định nghĩa ............................................................................................ 8 1.2. Một số định lý về cấp của một nhóm............................................................ 10 1.3. Một số định lý đẳng cấu ............................................................................... 11 1.4. Nhóm con Frattini, nFrattini và cFrattini...................................................... 13 Chương 2: PHẦN PHỤ TRONG NHÓM ........................................................... 16 2.1.Định nghĩa ..................................................................................................... 16 2.2. Một số kết quả mở đầu ................................................................................. 18 2.3. Các đặc trưng của xS-nhóm .......................................................................... 19 2.4. Các đặc trưng của xPNS-nhóm ..................................................................... 28 2.5. Các đặc trưng của xCS-nhóm ....................................................................... 37 2.6. Các định lý về sự phân lớp ........................................................................... 42 KẾT LUẬN ............................................................................................................. 46 ĐỀ XUẤT NGHIÊN CỨU ...................................................................................... 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 47
4 Lời cảm ơn Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn đến người thầy đáng kính, PSG.TS Mỵ Vinh Quang, người đã hết lòng hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập từ đại học cho đến suốt quá trình học cao học và làm luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tất cả các thầy cô trong khoa Toán – Tin trường đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, và thầy PGS. TS Bùi Xuân Hải, những người đã hết lòng giảng dạy tôi trong suốt quá trình học cao học tại trường. Xin cảm ơn các bạn học viên Cao học Đại Số khóa 21 trường ĐHSP Tp.HCM đã động viên giúp đỡ tôi rất nhiều trong thời gian làm luận văn. Cuối cùng xin gửi lời tri ân đến gia đình, bạn bè, người thân và đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và công tác. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 24 tháng 09 năm 2012 Tác giả luận văn Lâm Thị Ánh Tuyết
5 MỞ ĐẦU Ta gọi một nhóm con H của G là được gọi là cóphần phụ trong G nếu có một nhóm {1} thì ta nói K là phầnbù trong G của con K của G sao cho G = HK. Nếu H ∩ K = H. Một nhóm Gđược gọi là một xP nhóm nếu với mọi x nhóm con không tầm thường đều thỏa mãn điều kiện P trong đó, x và P là: x = a (nhóm con tùy ý) x = n (nhóm con chuẩn tắc) x = c (nhóm con đặc trưng) P = D có một hạng tử trực tiếp P = C có một phần bù P = S có một phần phụ P = PNS có một phần phụ chuẩn tắc P = CS có một phần phụ đặc trưng. Lớp tất cả các nhóm thỏa mãn tính chất nêu trên được kí hiệu là xP. Trong luận văn này, chúng tôi chủ yếu dựa trên ý tưởng của hai tác giả L.C Kappe và J.Kirtland trong bài báo “Supplementtation in groups” [14], nghiên cứu quan hệ bao hàm giữa chín lớp: aS, nS, cS, aPNS, nPNS, cPNS, aCS, nCS, cCs. Nội dung luận văn gồm có: Phần I: Các kiến thức mở đầu
6 Phần II: Phần phụ trong nhóm 1. Định nghĩa 2. Kết quả sơ bộ 3. Đặc trưng của xS-nhóm 4. Đặc trưng của xPNS-nhóm 5. Đặc trưng của xCS-nhóm 6. Lớp các quan hệ bao hàm.
7 BẢNG KÝ HIỆU a Nhóm con bất kỳ c Nhóm con đặc trưng n Nhóm con chuẩn tắc H ≤G, H
8 Chương 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Một số định nghĩa Định nghĩa 1.1.1.Cho nhóm G. Một nhóm con H của G được gọi là có phần phụthực sựtrong G nếu có một nhóm con thực sự K của G sao cho G = HK. Định nghĩa 1.1.2.Cho nhóm G. Một nhóm con H của G được gọi là có phần bù trong G nếu có một nhóm con K của G sao cho G = HK và H ∩ K={1}. Định nghĩa 1.1.3.Cho X là tập con khác rỗng của nhóm G. Ta định nghĩa nhóm con sinh bởi tập X, kí hiệu X , là giao của tất cả các nhóm con của G chứa X. Định nghĩa 1.1.4. Một nhóm G được gọi là nhóm cyclic nếu nó được sinh ra bởi một phần tử x nào đó của nhóm G, G  x . Khi đó x được gọi là phần tử sinh của nhóm G. Định nghĩa 1.1.5. Một phần tử g của nhóm giao hoán G được gọi là chia được nếu với mọi số nguyên m khác 0 luôn tồn tại phần tử g’ của G sao cho g’m = g. Một nhóm giao hoán G được gọi là nhóm chia được nếu mọi phần tử của nó đều chia được. Định nghĩa 1.1.6.H được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G, kí hiệu H  G nếu H là nhóm con của G (kí hiệu H ≤ G)và x −1 Hx= H , ∀x ∈ G . Trong trường hợp H là nhóm con chuẩn tắc thực sự của G, ta kí hiệu H  G .
9 Định nghĩa 1.1.7.X là tập con khác rỗng của nhóm G. Ta định nghĩa bao đóng chuẩn tắc của X trong G là giao của tất cả các nhóm con chuẩn tắc của G chứa X. Kí hiệu: XG. Định nghĩa 1.1.8.H được gọi là nhóm con đặc trưng của G, kí hiện H char G, nếu f ( H )= H , ∀f ∈ Aut ( G ) . Định nghĩa 1.1.9.Cho X là tập con khác rỗng của nhóm G. Nhóm con đặc trưng XA(G) = f ( x ) | x ∈ X , f ∈ Aut ( G ) được gọi là bao đóng đặc trưng của X trong G. Nhận xét: Bao đóng đặc trưng của X trong G là nhóm con đặc trưng nhỏ nhất trong tất cả các nhóm con đặc trưng của G chứa X. Mệnh đề 1.1.10.Ta có các mệnh đề sau: (i). Nếu j H   H , j  Aut G  thì H char G. (ii). Nếu H char G thì H  G. (iii). Nếu H char K và K char G thì H char G. (iv). Nếu H char K và K  G thì H  K. (v). Nếu H  K  G và H char G, K/H char G/H thì K char G. Định nghĩa 1.1.11.Cho G là nhóm hữu hạn và p là số nguyên tố.Khi đó nhóm G được gọi là p-nhóm nếu cấp của G là lũy thừa của p. G được gọi là p-nhóm sơ cấp nếu mọi phần tử của Gcó cấp bằng p. Nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con của G nếu H là một p-nhóm. p-nhóm con Sylow của G chính là phần tử tối đại trong tập các p-nhóm con của G theo quan hệ bao hàm.
10 Định nghĩa 1.1.12.Một nhóm không tầm thường G được gọi là nhóm đơn nếu nó không có nhóm con chuẩn tắc thực sự khác {1}. Định nghĩa 1.1.13.Một nhóm không tầm thường G được gọi là nhóm đơn đặc trưng nếu G không có nhóm con đặc trưng thực sự khác {1}. Mệnh đề 1.1.14.Một nhóm đơn đặc trưng hữu hạn là tích trực tiếp của các nhóm đơn hữu hạn. (theo 3.3.15 [17]). Định nghĩa 1.1.15.Cho {H i | i ∈S} là một họ các nhóm, một nhóm G, và T là đơn cấu từ G vào tích trực tiếp Π H i . Cho q i là phép chiếu từ Π H i vào H i , i ∈S. Khi i∈S i∈S đó G được gọi là tích trực tiếp con của Π H i nếu đồng cấu q i T là toàn cấu từ G vào i∈S Hi. Định nghĩa 1.1.16.Cho x là phần tử của G, x được gọi là phần tử xoắn của G nếu có một số tự nhiên nkhác 0 sao cho xn= 1. Tập hợp tất cả các phần tử xoắn của G được gọi là phần xoắn của G. Kí hiệu T(G) G được gọi là nhóm xoắn nếu mọi phần tử của nó đều xoắn. Định lý 1.1.17(Luật Dedekind + Modular). Cho H, K, L là nhóm con của một nhóm và giả sử rằng K  L thì H , K  L   H  L, K . Đặc biệt nếu H và K giao hoán được thì  HK   L   H  L K . 1.2. Một số định lý về cấp của một nhóm Định nghĩa 1.2.1. Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G. Khi đó số các lớp kề trái (hoặc kề phải) của G theo H được gọi là chỉ số của G trong H. Kí hiệu [G:H]. Định lý 1.2.2 (định lý Lagrange).Nếu G là một nhóm hữu hạn và H  G thì |H| là ước của |G| và [G:H] = H G .
11 Định lý 1.2.3. Cho H là nhóm con của nhóm G. Khi đó: HK . H  K  H K . Định lý Sylow 1.2.4Cho p là một số nguyên tố, G là một nhóm hữu hạn, G = p n m với (m, p) = 1. Khi đó: i) Với mọi 1 ≤ k ≤ n , tồn tại trong G một p-nhóm con có cấp p k . Nói riêng, tồn tại trong G các p-nhóm con Sylow. ii) Mọi p-nhóm con H của G đều nằm trong một p-nhóm con Sylow nào đó của G. iii) Tất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau. iv) Nếu r là số các p-nhóm con Sylow của g thì r m và r ≡ 1(mod p) . Hệ quả 1.2.5. Nếu G là nhóm đơn và H là nhóm con của G sao cho G : H   n thì cấp của G là ước của n!. 1.3. Một số định lý đẳng cấu Định lý 1.3.1.Cho H, K là các nhóm con của G với H  G . Khi đó (1) K ∩ H ≤ H , K ∩ H  K , KH ≤ G và HK H ≅ K ( H ∩ K ) . (2) Tồn tại một đơn cấu ϕ : G / ( K ∩ H ) → G / K × G / H . Chứng minh (1) Dễ dàng chứng minh được K ∩ H ≤ H , K ∩ H  K , KH ≤ G . Ta chứng minh HK H ≅ K ( H ∩ K ) . Xét ánh xạ ϕ : K  → KH H k  kH . ϕ là đồng cấu: ϕ = (k1.k2 ) k= 1.k 2 .H ( k1H ) .= ( k2 H ) ϕ (k1 ).ϕ (k2 ) . ϕ là toàn cấu: ∀k h H ∈ KH / H ta có ϕ (= = k ( hH= k ) kH ) khH (vì h ∈ H ). Theo định lý Nơte ta có K / Kerϕ ≅ KH / H .
12 Lấy k ∈ Kerϕ ⇒ kH = ϕ (k ) = H ⇒ k ∈ H ⇒ k ∈ K ∩ H ⇒ Kerϕ ⊆ K ∩ H . Lấy k ∈ K ∩ H ⇒ ϕ (k ) = H ⇒ k ∈ Kerϕ ⇒ K ∩ H ⊆ Kerϕ . Từ đó suy ra Kerϕ= K ∩ H . Vậy K / K ∩ H ≅ KH / H . → (G / K ) × (G / H ) Xét ánh xạ ϕ : G  g  ( gK , gH ) . ϕ là một đồng cấu vì với mọi g1 , g 2 ∈ G ta có: ϕ ( g1 g 2 ) (= = = g1 g 2 K , g1 g 2 H ) ( g1 Kg 2 K , g1 Hg 2 H ) H )( g 2 K , g 2 H ) ϕ ( g1 )ϕ ( g 2 ) ( g1 K , g1= g ∈ K Kerϕ= K ∩ H vì với mọi g ∈ K ∩ H ⇒  , nên gK=K, và gH=H, do đó  g ∈ H gK , gH ) ( K , H ) là phần tử đơn vị của G/K×G/H, suy ra K ∩ H ⊂ Kerϕ . ϕ ( g ) (= = Ngược lại với mọi g ∈ Kerϕ , ta g ∈ K có: ϕ= ( g ) ( K ,= H ) ( gK , gH ) ⇒  ⇒ g ∈ K ∩ H ⇒ Ker (ϕ ) ⊆ K ∩ H . g ∈ H Vậy có một đơn ánh ϕ : G / K ∩ H → ( G / K ) × ( G / H ) . ■ Định lý 1.3.2.Giả sử H, K là các nhóm con chuẩn tắc của G và H  K. Khi đó: K / H  G / H và G K ≅ (G H ) ( K H ) . Chứng minh Xét tương ứng: ϕ :G H  →G K gH  gK . Tương ứng trên là một ánh xạ vì nếu tồn tại x, y ∈ G : xH = yH thì x −1 y ∈ H ≤ K ⇒ x −1 y ∈ K ⇒ xK = yK. Hiển nhiên ϕ là một toàn ánh. ϕ là một đồng cấu, vì ϕ ( xH . yH = ) ϕ ( xy.= yK ϕ ( xH )ϕ ( yH ) . = xK .= H ) xyK
13 Mặt khác, ta có: Kerϕ = { gH ∈ G H | gK = K } = { gH ∈ G H | g ∈ K} = K H . Vậy: Kerϕ  G / H hay K / H  G / H . và ( G / H ) / Kerϕ ≅ G K hay (G H ) ( K H ) ≅ G / K . ■ Định lý 1.3.3.Giả sử H, K là các nhóm con chuẩn tắc của G và H∩K=1. Khi đó: HK ≅ H × K . Chứng minh Do H, K là các nhóm con chuẩn tắc của G, nên với mọi (h, k ) ∈ H × K ta có (h −1k −1h)k ∈ K và h −1 (k −1hk ) ∈ H từ đó suy ra h −1k −1hk ∈ H ∩ K = 1. Suy ra hk = kh với mọi h  H , k  K . Xét ánh xạ: ϕ : H × K  → HK (h, k )  hk . Dễ thấy ϕ là một toàn ánh. Hơn nữa với mọi (h, k ),(h ', k ') ∈ H × K ta có ϕ (hh= = ', kk ') hh = ' kk ' hkh ' k ' ϕ (h, k )ϕ (h ', k ') . Do đó: ϕ là một đồng cấu Mặt khác (h, k ) ∈ Ker ϕ ⇔ ϕ (h, k ) =1 ⇔ hk =1 ⇔ k =h −1 ∈ H ∩ K =1 ⇔ h =k =1 Suy ra ϕ là đơn cấu. Vậy ϕ là một đẳng cấu. ■ 1.4. Nhóm con Frattini, nFrattini và cFrattini Định nghĩa 1.4.1.Cho G là một nhóm. Ta định nghĩa: M= M  G : M  G , M  L  G  L  M  L  G  N= N  G : N  G , N  L  G  L  N  L  G  K = K charG : K  G , K char L char G  L  K  L  G  . Định nghĩa 1.4.2.
14 Cho một nhóm G, ta định nghĩa các nhóm con sau: Frat ( G ) =  M nếu M ≠ ∅ và Frat ( G ) = G nếu M =∅ M ∈M nFrat ( G ) =  N nếu N ≠ ∅ và nFrat ( G ) = G nếu N =∅ N ∈N cFrat ( G ) =  K nếu K ≠ ∅ và cFrat ( G ) = G nếu K =∅ . K ∈K Mệnh đề 1.4.3.Cho G là một nhóm. Khi đó Frat(G), nFrat(G), cFrat(G) là các nhóm con đặc trưng của G. Bổ đề 1.4.4.Cho nhóm G. Với mọi phần tử g ∈ G và mọi tập con X của G. Ta có: = = G g, X gG , X G gG X G . Định nghĩa 1.4.5. Một nhóm con H của G được gọi là n-hữu hạn sinh trên G nếu có các phần tử x1 , x2 ,..., xm thỏa mãn H = x1 , x2 ,..., xm G . Định lý 1.4.6.Cho G là một nhóm. Khi đó Frat(G) chính là tập tất cả các phần tử không sinh của G. Chứng minh: Giả sử x ∈G là phần tử không sinh của G, và M là một nhóm con tối đại bất kỳ của G. Khi đó nếu x ∉M = thì G M , x M (mâu thuẫn). Do đó x ∈M, với mọi nhóm = con tối đại M. Suy ra, x ∈Frat(G). Ngược lại, lấy z  Frat(G) và giả sử rằng G  z ,Y . Nếu Y  G thì tồn tại nhóm con tối đại M sao cho Y  M , nhưng z cũng thuộc M, do đó z ,Y  M (mâu thuẫn). Vậy z là phần tử không sinh của G. ∎
15 Mệnh đề 1.4.7.Cho nhóm G, H là nhóm con của G, Frat(G) hữu hạn sinh nếu G = Frat(G)H thì H = G. Chứng minh: Cho Frat(G) = x1 , x2 ,..., xn . Thì G = H , x1 ,..., xn vì thếtheo định lý 1.4.6 suy ra: G = H = H. ∎ Định lý 1.4.8.Cho nhóm G. nFrat(G) là tập các phần tử không n-sinh của G = = G G (x là phần tử không n-sinh của G nếu G x, x1 ,..., xn x1 ,..., xn ) Định lý này được chứng minh trong theorem 1 [22]. Bổ đề 1.4.9.Nếu nFrat(G) là n-hữu hạn sinh trên một nhóm không tầm thường G thì nFrat(G) là nhóm con thực sự của G. Chứng minh trong lemma 2 [22].
16 Chương 2: PHẦN PHỤ TRONG NHÓM 2.1.Định nghĩa Định nghĩa 2.1.1.Một nhóm G được gọi là một xP-nhóm nếu với mọi x-nhóm con không tầm thường đều thỏa mãn điều kiện P. Trong đó, x và P là: x = a (nhóm con tùy ý) x = n (nhóm con chuẩn tắc) x = c (nhóm con đặc trưng) P = D có một hạng tử trực tiếp P = C có một phần bù thực sự P = S có một phần phụ thực sự P = PNS có một phần phụ chuẩn tắc thực sự P = CS có một phần phụ đặc trưng thực sự Lớp tất cả các nhóm có tính chất nêu trên được kí hiệu xP. Trước tiên chúng ta xét quan hệ bao hàm giữa chín lớp khác nhau của xP-nhóm. Những kết quả này hết sức đơn giản nên chỉ được nêu ra mà không có chứng minh: Mệnh đề 2.1.2. aP  nP  cP trong đó P  S , PNS ,CS Mệnh đề 2.1.3. xCS  xPNS  xS trong đó x  a , n ,c Từ kết quả của hai mệnh đề trên ta có sơ đồ sau:
17 aS  nS  cS | | | aPNS  nPNS  cPNS | | | aCS  nCS  cCS (Sơ đồ 2.1.3) Câu hỏi đặt ra là quan hệ bao hàm trong sơ đồ trên có phải là quan hệ bao hàm thực sự không? Trong luận văn này, chúng tôi sẽ chỉ ra tất cả các quan hệ bao hàm ở trên trong trường hợp tổng quát là quan hệ bao hàm thực sự (sơ đồ 2.1.4), và khi hạn chế trên lớp các nhóm hữu hạn ta có kết quả như sơ đồ 2.1.5. Ta có các định lý sau (sẽ được chứng minh ở mục 2.6). Định lý 2.1.4.Trong trường hợp tổng quát quan hệ bao hàm trong sơ đồ 2.1.3 là thực sự. aS  nS  cS    aPNS  nPNS  cPNS    aCS  nCS  cCS (Sơ đồ 2.1.4) Định lý 2.1.5. Trong lớp các nhóm hữu hạn ta có sơ đồ sau: aS  nS = cS    aPNS  nPNS = cPNS   || (Sơ đồ 2.1.5). aCS  nCS  cCS
18 Các kết quả sau đây được sử dụng để chứng minh hai định lý 2.1.4 và 2.1.5. 2.2. Một số kết quả mở đầu Bổ đề 2.2.1.Một nhóm không tầm thường G là một aP-nhóm (P = S, PNS, CS) khi và chỉ khi với mọi phần tử không tầm thường x của G, x có một P-phần phụ thực sự trong G. Chứng minh: ⇒) hiển nhiên ⇐) Gọi H là một nhóm con không tầm thường của G, h là một phần tử không tầm thường của H. Khi đó h có một P-phần phụ trong G. Tức là G có một nhóm con thật sự K thỏa mãn: h K = G . Do đó: HK = G . Ta được điều phải chứng minh. ∎ Bổ đề 2.2.2.Một nhóm không tầm thường G là một nP-nhóm (P = S, PNS, CS) khi và chỉ khi với mọi phần tử không tầm thường x của G, bao đóng chuẩn tắc x G có một P-phần phụ thực sự trong G. Chứng minh: Tương tự 2.2.1. Bổ đề 2.2.3.Một nhóm không tầm thường G là một cP – nhóm (P = S, PNS, CS) khi AG  và chỉ khi với mọi phần tử không tầm thường x của G bao đóng đặc trưng x có một P-phần phụ trong G. Chứng minh: Tương tự 2.2.1.
19 2.3. Các đặc trưng của xS-nhóm Trong phần này chúng tôi đưa ra một số điều kiện để một nhóm G là xS-nhóm các điều kiện này chủ yếu dựa trên nhóm con Frattini của G. Trong lớp các nhóm hữu hạn ta cũng chỉ ra: lớp aS-nhóm và aC-nhóm trùng nhau;lớp nS-nhóm và cS-nhóm trùng nhau. Mệnh đề 2.3.1.Nếu Frat(G) ={1} thì G là một nS-nhóm. Chứng minh: Vì Frat(G)= {1} ⇒ G có nhóm con tối đại. Giả sử có một nhóm con chuẩn tắc không tầm thường N củaG sao cho N không có phần phụ thật sự. Khi đó với mọi M∈ M : NM ≠ G. Vì NM ≠ G và M tối đại trong G nên NM = M ⇒ N ⊂ M , ∀M ∈ M . Do đó, N ⊆ Frat(G). Suy ra: N = {1} (mâu thuẫn với giả thiết N không tầm thường) Vậy G là một nS-nhóm. ∎ Nhận xét 2.3.2. Tồn tại một nhóm T trong nS sao cho Frat(T) ≠{1}. Chứng minh: Theo [15] tồn tại một nhóm đơn vô hạn T thỏa Frat(T) = T. Vì T đơn nên là một nS-nhóm tầm thường và Frat(T) = T ≠{1}. ∎ Mệnh đề 2.3.3.Cho G là một nhóm với Frat(G) hữu hạn sinh thì G là một cS-nhóm khi và chỉ khi Frat(G)= {1}. Chứng minh:
20 ⇒) Phản chứng: Giả sử G là cS-nhóm với Frat(G)≠{1}. Vì Frat(G) char G (theo mệnh đề 1.4.3), nên có một nhóm con K sao cho: Frat(G)K = G. Mà Frat(G) hữu hạn sinh. Tức: Frat ( G ) = x1 , x2 ,..., xn . Suy ra: G = K , x1 , x2 ,..., xn = K (theo mệnh đề 1.3.7). Do đó: G = K (mâu thuẫn với K là nhóm con thực sự của G). Suy ra: Frat(G) ={1}. Vậy: G là nS-nhóm. ⇐) Vì aP ⊂ nP với P = S, PNS, CS (theo 2.1.2) và G là một nS-nhóm nên G cũng là một cS-nhóm. ∎ Nhận xét 2.3.4.Có một nhóm F là cS-nhóm thỏa mãn Frat(F) không hữu hạn sinh Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Bồ đề 2.3.5.Mọi nhóm cyclic không tầm thường đều không chia được. Chứng minh Gọi G là nhóm cyclic không tầm thường. = G a , a ≠ 1. Trường hợp G hữu hạn:Giả sử G có cấp m và chia được, khi đó tồn tại phần tử b của G sao cho b m = a , suy ra: 1 = a (mâu thuẫn). Trường hợp G vô hạn: Giả sử G chia được. Khi đó tồn tại phần tử b của G sao cho b2 = a . Mặt khác b ∈ a nên tồn tại số nguyên k sao cho b = a k .