zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Luận Văn - Báo Cáo

» Khoa học tự nhiên

tiểu luận số học hiện đại

Chia sẻ: Hoang Thuy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Báo xấu

237
lượt xem 46
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

“Số học hiện đại” là một nghành khoa học tự nhiên ra đời cùng với sự ra đời của nghành toán học.Số Học ra đơi tư rất sớm trong lịch sử phát triên nghành toán và có vai trò quan trọng trong các nghành khoa học khác cũng như trong cuộc sống thực tế.Trong nền toán học hiện đại Số học có vai trò quan trọng,là nền tảng cho các nghanh toán đó.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: tiểu luận số học hiện đại

Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh L iM u “S h c hi n i” là m t nghành khoa h c t nhiên ra i cùng v i s ra i c a nghành toán h c.S H c ra ơi tư r t s m trong l ch s phát triên nghành toán và có vai trò quan tr ng trong các nghành khoa h c khác cũng như trong cu c s ng th c t .Trong n n toán h c hi n i S h c có vai trò quan tr ng,là n n t ng cho các nghanh toán ó. Tuy v y khi ti p c n v i S h c hi n i ngư i h c s g p r t nhi u khó khăn vì tính tr u tương và tư duy r t cao c a nghành h c. kh c ph c v n ó tôi ưa ra m t s ít nh ng gì mình ã h c trong chương I và III c a giáo trình “S h c hi n i” c a th y Nguy n Thành Quang.Thông qua m t s k t qu và m t s ví d minh h a cho s quan tr ng ó và s tương t trong các nghiên c u ó. T nh lý Mason, ngư i ta d dàng thu ưc nh lý cu i cùng Fermat i v i a th c trên h th c gi a các a th c. Ch ng h n m t trong nh ng h qu ó là nh lý Davenport mà kh ng nh tương t c a nó i v i s nguyên là gi thuy t Hall ho c Gi thuy t “ABC” v n còn chưa ư c ch ng minh.S nguyên t và s gi nguyên t cùng nh ng ng d ng c a nó trong khoa h c và trong th c ti n c a cu c s ng. Cu i cùng tôi xin cám ơn Th y giáo Nguy n Thành Quang ã t n tình d y b o va giúp tôi trong quá trình h c t p.Vì kh năng còn nhiêu h n ch ch c ch n s còn r t nhi u h n ch và thi u sót,vì v y r t mong ư c s góp ý ch d n c a các th y,cô và các b n Tôi Xin Chân Thành Cám Ơn! Vinh,tháng 5 năm 2010 H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 1
Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh I.Trư ng nh chu n I.1 nh nghĩa: Môt trư ng nh chu n n u trên K ã xác nh m t ánh x : ϕ : K → R , th a mãn các i u ki n sau: i. ϕ (a ) là s th c , ∀a ∈ K , ii. ϕ (0) = 0; ϕ (a ) > 0; v i 0 ≠ a ∈ K , iii. ϕ (ab) = ϕ (a ) ϕ (b) , iv. ϕ (a + b ) ≤ max(ϕ (a ), ϕ (b )) ; ∀a, b ∈ K . I.2 Ví d : V trư ng nh chu n (K , ϕ ) Gi s Q là trư ng các s h u t , p là m t s nguyên t c nh nào ó. Khi ó s v i m i 0 ≠ a ∈ Q , ta có th vi t m t cách duy nh t a = p n , (n ∈ Ζ ) t Trong ó các s nguyên s,t không chia h t cho p.Ta t ϕ p (0 ) = 0; ϕ p (a ) = p − n .Khi ó trên Q s xác nh cho ta m t s nh chu n.Chu n này ư c g i là chu n p_adic . s s V i a = p n ⇒ a p = p n = p − n .(a ∈ Q; n ∈ Z ). t t p 1 11 1 = ⋅ 7 −1 = 7. C h ng h n: =⋅ 35 7 5 7 7 5 7 1 1 10 ⋅ 2 = 2 0 = 1. ⋅1 = = 35 2 35 2 35 Nh n xét: V i p,q là hai s nguyên t phân bi t thì chu n p_adic va chu n q_adic không tương ương nhau trên trư ng các s h u t Q. I.3 nh chu n không Ácsimet. M t chu n ϕ trên trư ng K là m t nh chu n không Ácsimet n u ϕ (a + b ) ≤ Max(ϕ (a ), ϕ (b )); ∀a, b ∈ K . II. nh lý Mason. II.1 nh lý: Cho K la m t trư ng óng i s c s không.Gi s a(t),b(t),c(t) là các a th c khác h ng s v i h s trong K, nguyên t cùng nhau sao cho a + b = c .Khi ó n u kí hi u n0 ( f ) là s nghi m phân bi t c a a th c f thì ta có: Max(deg(a) ,deg(b), deg(c)) ≤ n0 (abc ) − 1 . II.2 nh lý Fermat T nh lí trên ta suy ra ư c h qu sau: (Tương t c a nh lí cu i cùng c a Fermat trên a th c) : Không t n t i các a th c a,b,c v i h t trong m t trư ng óng is c s không, khác h ng s , nguyên t cùng nhau và thõa mãn phương trình: a n + b n = c n , v i n ≥ 3. Ch ng minh: H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 2
Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh Gi s các a th c a, b, c tho mãn phương trình nói trên. Rõ ràng s nghi m phân bi t c a a th c anbncn không vư t quá deg(a) + deg(b) + deg(c). Áp d ng nh lý Mason, ta có: deg(an) = ndega ≤ no(anbncn) – 1 ≤ no(abc) – 1 ≤ deg(abc) – 1 = deg(a) + deg(b) + deg(c) - 1. Nên deg(an) = ndega ≤ deg(a) + deg(b) + deg(c) – 1 deg(bn) = ndegb ≤ deg(a) + deg(b) + deg(c) – 1 deg(cn) = ndegc ≤ deg(a) + deg(b) + deg(c) – 1 C ng t ng v các b t phương trìng trên, ta có n(dega + degb + degc) ≤ 3(dega + degb + degc) – 3. Ta có mâu thu n vì n ≥ 3. II.3 nh lý Davenport c bi t m t trong nh ng h qu c a nh lí Mason là nh lý sau ây. nh lý Davenport: Gi s f,g là các a th c trên trư ng K, nguyên t cùng nhau sao cho 1 f 3 ≠ g 2 .Khi ó ta có: deg ( f 3 − g 2 ) ≥ deg f + 1 . 2 Ch ng minh: Ta dùng nh lý Mason v i. a = g2, b = f3 – g2, c = g=f3. Khi ó a, b, c nguyên t cùng nhau và tho mãn phương trình a + b = c. Theo nh lý Mason ta có dega ≤ no(abc) – 1 ≤ no(g2(f3 – g2)f3) – 1 ≤ no(g(f3 - g4)f) – 1 = deg(g(f3 - g4)f) – 1 = degg + deg(f3 – g2) + degf – 1 ⇒ 2degg ≤ degg + deg(f3 – g2) +deg(f) – 1 (1) Tương t : ⇒ 3degf ≤ degg + deg(f3 – g2) +deg(f) – 1 (2) C ng t ng v các b t phương trìng (1) và (2) trên, ta có: H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 3
Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh 2degg + 3degf ≤ 2degg + 2deg(f3 – g2) + 2deg(f) – 2. ⇒ deg(f) ≤ 2deg(f3 – g2) - 2. 1 ⇒ deg(f3 – g2) ≥ deg(f) + 1. Suy ra pcm 2 II.4.H qu : II.4.1.H qu 1. (Tưong t nh lý Davenport) Gi s f, g là các a th c khác h ng s trên trư ng óng is , c s không K, 5 nguyên t cùng nhau, sao cho f3 ≠ g4. Khi ó ta có: deg(f3 – g4) ≥ degf + 1 (*) 4 Ch ng minh: +) N u 3deg(f) > 4deg(g) ⇒ deg(f3 - g4) = deg(f3) = 3deg(f). Khi ó hi n nhiên ta có (*),v i chú ý r ng deg(f) ≥ 1. +) N u 3deg(f) < 4deg(g) ⇒ deg(f3 - g4) = deg(g4) = 4deg(g) khi ó ta cũng có (*), vì: 5 deg(f3 - g4) = 4deg(g) > 3deg(f) > degf + 1 4 +) N u 3deg(f) = 4deg(g) nh lý Mason v i: a = f3, b = g4 - f3, c = g4. S d ng Khi ó a, b, c nguyên t cùng nhau và tho mãn phương trình a + b = c. Theo nh lý Mason ta có dega ≤ no(abc) – 1 Hay: 3deg(f) ≤ no(g4(f3 - g4)f3) – 1. Suy ra 3deg(f) ≤ no(g(f3 - g4)f) – 1. Do ó ta có 3deg(f) ≤ deg(g) + deg(f3 - g4) + deg(f) – 1. ⇒ deg(f3 - g4) ≥ 2deg(f) – deg(g) + 1 3 ⇒ deg(f3 - g4) ≥ 2deg(f) – deg(f) + 1 4 5 ⇒ deg(f3 - g4) ≥ deg(g) + 1 4 II.4.2. T ng quát c a nh ký Davenport Gi s f,g là các a th c khác h ng trên trư ng óng is c s không K, nguyên t cùng nhau , sao cho fn ≠ gm. Khi ó ta có nm − n − m deg(fn - gm) ≥ degf + 1 (**) m H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 4
Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh Ch ng minh: +) N u ndeg(f) > mdeg(g) ⇒ deg(fn - gm) = deg(fn)= ndeg(f). Khi ó hi n nhiên ta có (**),vơi chú ý r ng deg(f) ≥ 1. +) N u ndeg(f) < mdeg(g) ⇒ deg(fn - gm) = deg(gm)= mdeg(g). Khi ó hi n nhiên ta có nm − n − m (**),v i deg(fn - gm) = mdeg(g) > n deg(f) > deg(f) + 1. m +) N u ndeg(f) = mdeg(g) nh lý Mason v i: a = fn, b = gm – fn, c = gm. S d ng Khi ó a, b, c nguyên t cùng nhau và tho mãn phương trình a + b = c. Theo nh lý Mason ta có dega ≤ no(abc) – 1. Hay: ndeg(f) ≤ no(gm(fn – gm)fn) – 1. Suy ra ndeg(f) ≤ no(g(fn – gm)f) – 1. ndeg(f) ≤ deg(g) + deg(fn – gm) + deg(f) – 1. Do ó ta có ⇒ deg(fn – gm) ≥ (n-1)deg(f) – deg(g) + 1 n ⇒ deg(fn – gm) ≥ (n-1)deg(f) – deg(f) + 1 m nm − n − m ⇒ deg(fn – gm) ≥ degf + 1. m Ngoài nh lí Mason ta còn có các gi thuy t: Hall, ’abc’, Fermat suy r ng, Pilai, Erdos_Mollon_Walsh. Ta có s liên h gi a nh lí Mason v i các gi thuy t và các nh lí khác như sau: Fermat Theorem Hall Conjecture Mason Theorem Analog of Fermat Davenport Theorem (n ≥ 3) Theorem ? ‘abc Fermat Theorem (n ≥ n0 ) Conjecture H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 5
Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh III. S nguyên t . nh nghĩa: III.1. S nguyên t là s nguyên l n hơn 1.Không chia h t cho s nguyên dương nào ngoài 1 và chính nó (không có ư c th c s ).M t s nguyên l n hơn 1 không ph i là s nguyên t ư c g i là h p s . Vd: 3,5,7,11,13,...... là s nguyên t III.2.S hoàn ch nh (The perfect number) S hoàn ch nh là s nguyên dương mà t ng các ư c s dương th c s c a nó b ng chính nó. Ta có k t qu sau:”M t s nguyên dương ch n n là s hoàn ch nh n u và ch n u: ( ) n = 2 m −1 2 m − 1 . Trong ó m ≥ 2 là s nguyên dương sao cho 2 m − 1 là s nguyên t . Vd: ( ) ( ) 28 = 4.7 = 2 2. 2 3 − 1 = 2 3−1. 2 3 − 1 : ( ) ( ) 496 = 16.31 = 2 4. 2 5 − 1 = 2 5−1. 2 5 − 1 ; ( ) ( ) 6 7 7 −1 7 8128 = 64.127 = 2 . 2 − 1 = 2 . 2 − 1 , là các s hoàn ch nh. III.3. S nguyên t Mersenner: Như ta ã th y, ta có m t s hoàn ch nh ch n khi có m t s nguyên t d ng m 2 − 1 . Các s nguyên t như v y g i là s nguyên t Mersenner. Trong vd v s hoàn ch nh ta th y các s 7,31,127 là các s nguyên t Mersenner. S nguyên t Mersenner có vai tro quan tr ng trong c lý thuy t và ng d ng. Ch ng h n v n tìm ra các s nguyên t l n hơn xây d ng h m t mã công khai. III.4. S nguyên t Fermat n Fermat ã chi ra r ng,các s t nhiên Fn = 2 2 + 1 , n=0,1,2,... là s nguyên t . Các s nguyên t Fn ư c g i là s nguyên t Fermat. III.5. nh lý:( nh lý cơ b n c a s h c) M i s t nhiên lơn hơn 1 u phân tích ư c m t cách duy nh t thành tích các th a s nguyên t , trong ó các th a s ư c vi t v i th t không gi m.S nguyên t ư c coi như là “tích” ch g m m t th a s là chính nó. III.6. S nguyên t sánh ôi. nh nghĩa: N u 1 là ư c chung l n nh t (ƯCLN) c a các s nguyên a1 , a 2 ,...., a n thì các s a1 , a 2 ,...., a n ư c g i là nguyên t cùng nhau.N u ta còn có 1 là ƯCLN c a m i c p s phân bi t a i , a j ,1 ≤ i ≠ j ≤ n, thì các s nguyên a1 , a 2 ,...., a n ư c g i là nguyên t cùng nhau t ng ôi m t,hay nguyên t sánh ôi. Ch ng h n dãy s 3,5,17,257,65537,... là dãy s nguyên t Fermat thõa mãn i u ki n là dãy s nguyên t sánh ôi. III.7. S gi nguyên t . Gi s b là m t s nguyên dương cho trư c.N u n là h p s nguyên dương và n b ≡ b(mod n ) ,thì n ư c g i là s nguyên t cơ s b. Trong trư ng h p (n,b)=1, ta thương dùng nh nghĩa tương ương sau: b n−1 ≡ 1(mod n ) . Vd: S nguyên 561 là s gi nguyên t cơ s 2. H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 6
Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh Th t v y: Ta có 561=3.11.17 và (3,2)=(11,2)=(17,2)=1,do ó áp d ng nh lý Fermat, ta có: 280 () 2 260 = 2 2 ≡ 1(mod 3) 10 56 = (2 ) 2 560 ≡ 1(mod 11) 16 35 = (2 ) 2 560 ≡ 1(mod 17 ) ó suy ra 2 560 ≡ 1(mod 561) hay 2 561 ≡ 2(mod 561) .Do ó 561 là s gi T nguyên t cơ s 2. III.8. S Carmichael. H p s n th a mãn ng dư th c b n−1 ≡ 1(mod n ) v i m i s nguyên dương b sao cho (n,b)=1 ư c g i là s Carmichael. Vd: S nguyên 561 là m t s Carmichael. Th t v y: Do 561=3.11.17 nên 561 là h p s V i m i s nguyên dương n thõa mãn: (b,n)= 1,ta th y (b,3)= (b,11)= (b,17)= 1. b 560 = b 2 280 ≡ 1(mod 3) () b 2 ≡ 1(mod 3)   10  56 () b ≡ 1(mod 11) ⇔ b 560 ≡ b10 = 1(mod 11) Theo nh lý Fermat bé, ta có:  b16 ≡ 1(mod 17 )  560 16 35 () ≡ 1(mod 17) b = b   ⇒ b 560 ≡ 1(mod 561) ⇒ 561 là s carmichael. M t cách khác ta nh n bi t m t s có ph i là s Carmichael hay không nh vào nh lý sau:” S t nhiên n là s Carmichael khi và ch khi n = q1 q 2 ...q k , trong ó q j , ( j = 1,2,...k ) ,là các s nguyên t khác nhau th a mãn q j − 1 là ư c c a n-1. H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 7

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.11: Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Tài Chính Ngân Hàng

172 tài liệu

838 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.