ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ………………………………………………………….Trang 2
I. Lí do chọn đề tài nghiên cứu…………………………………Trang 2
II. Mục đích nghiên cứu ………………………………………..Trang 2
III. Khách thể và đối tượng nghiên cứu…..……………………..Trang 2
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu…..…………………………………....Trang 5
V. Phương pháp nghiên cứu……………………………………..Trang 5
VI. Phạm vi nghiên cứu………………………….….………….Trang 5
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU……………………………….………...Trang 6
I. Bài toán xuất phát………………….……………..…………...Trang 6
II. Sai lầm trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình
nhân………………………………….……………………….Trang 6
III. Sai lầm trong đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình
cộng……………………………………………………….………….Trang 15
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…………………………………….…Trang 18
Các phụ lục………………………………………………..………Trang 19- 22.
1
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
TÊN ĐỀ TÀI: ÁP DỤNG KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TÌM GIÁ TRỊ
LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT
ĐẲNG THỨC. A. CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU.
I/ LÍ DO CHỌN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU, TRIỂN KHAI ỨNG DỤNG.
Bất đẳng thức là một nội dung khó đối với học sinh nhưng lại là một trong
những nội dung quan trọng trong các kiến thức thi Đại Học. Trong quá trình học
và ứng dụng lí thuyết để làm bài tập học sinh thường gặp nhiều khó khăn, lúng
túng, dễ mắc sai lầm. Có những bài toán tìm GTLN, GTNN nếu không nắm
được cách làm thì dễ dẫn đến sai lầm trong quá trình suy luận.
Để giúp các em hạn chế và giảm những sai sót này trong quá trình giải
những bài toán bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN chúng tôi áp dụng một kỹ
thuật nhỏ gọi là “ Kỹ thuật chọn điểm rơi”. Đó là lí do tôi chọn đề tài này.
II/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Thông thường đứng trước bài toán bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN
học sinh nghĩ ngay đến dạng mẫu đã học, áp dụng ngay các bất đẳng thức đã học
nhưng thực tế qua các bài toán bất đẳng thức dùng cho học sinh khá, giỏi hoặc
đề thi đại học, cao đẳng học sinh còn gặp những dạng phức tạp mà để giải nó đòi
hỏi phải có những nhận xét đặc biệt. Một trong những nhận xét đặc biệt đó là
dựa trên “ Kỹ thuật chọn điểm rơi” để giải bài toán.
III/KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
1/ Khách thể nghiên cứu:
+ Thực tế việc giải bất đẳng thức các em đã làm từ cấp 2, chủ yếu là dạng
có sẳn. Lên lớp10 các em được trang bị kiến thức về bất đẳng thức kĩ lưỡng hơn,
đa dạng hơn nhưng cách giải cũng chủ yếu là dùng phương pháp biến đổi, bất
đẳng thức Cô-Si.
2/ Đối tượng cần nghiên cứu:
2
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
Là học sinh lớp 10A8và 10D4, lớp 12 trong quá trình học chương bất đẳng
thức và học sinh luyện thi vào đại học, cao đẳng.
Tôi lựa chọn 2 lớp của trường THPT Phan Bội Châu có những điều kiện
thuận lợi cho việc nghiên cứu ứng dụng.
* Học sinh:
Chọn lớp 10A8 là nhóm thực nghiệm và 10D4 là nhóm đối chứng và tiến
hành kiểm tra các kiến thức cơ bản để đánh giá và so sánh mức độ của 2 lớp
trước tác động. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai lớp không có
sự khác nhau, do đó tôi dùng phép kiểm chứng T-Test để kiểm chứng sự chênh
lệch giữa điểm số trung bình của 2 lớp trước khi tác động.
Kết quả:
Bảng 1. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
Thực nghiệm (TN)
Đối chứng (ĐC)
TBC
5,5
5,5
p
0,44
, từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm
P
0,44 0,05
TN và ĐC là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương.
Bảng 2. Thiết kế nghiên cứu
Nhóm
Kiểm tra trước TĐ
Tác động (TĐ)
KT sau TĐ
Dạy học theo hệ thống
O3
Thực nghiệm
O1
bài tập liên quan
Dạy học theo hệ thống
O4
Đối chứng
O2
bài tập có nhiều loại
ở thiết kế này chúng tôi sử dụng phép kiểm chứng T-Test độc lập.
3/ Quy trình nghiên cứu
* Chuẩn bị bài của giáo viên:
Thiết kế bày dạy lớp thực nghiệm theo hệ thống bài tập liên quan
Thiết kế bày dạy lớp đối chứng theo hệ thống bài tập có nhiều loại.
3
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
Tiến hành dạy thực nghiệm:
Chọn 2 lớp để khảo sát với nội dung đánh giá điểm và kiểm chứng T-Test
để chọn đúng 2 lớp tương đương.
Thời gian tiến hành thực nghiệm: Tổ chức các tiết dạy học theo như kế
hoạch
4/ Đo lường
Đánh giá học sinh sau tác động thông qua bài kiểm tra sau đó dùng phép
kiểm chứng
t-test phụ thuộc và tính mức độ ảnh hưởng đối với nhóm thực nghiệm.
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ KẾT QUẢ
Bảng 3. So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động
Đối chứng
Thực nghiệm
ĐTB
6,1
7,4
Độ lệch chuẩn
0,97
1,45
Giá trị P của T- test
0,0001
Chênh lệch giá trị TB chuẩn
1,34
(SMD)
Như trên đã chứng minh rằng kết quả 2 nhóm trước tác động là tương
đương. Sau tác động kiểm chứng chênh lệch ĐTB bằng T-Test cho kết quả
p=0,0001, cho thấy sự chênh lệch giữa ĐTB nhóm thực nghiệm và nhóm đối
chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả ĐTB nhóm thực nghiệm cao hơn
ĐTB nhóm đối chứng là không ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động.
1,34
. Điều đó cho
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD =
7,4 6,1 0,97
thấy mức độ ảnh hưởng của nhóm thực nghiệm là lớn.
BÀN LUẬN
Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm là
,
TBC
7,4
kết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm đối chứng là
. Độ chênh lệch
TBC
6,1
điểm số giữa hai nhóm là 1,3; Điều đó cho thấy điểm TBC của hai lớp đối chứng và
4
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm TBC cao hơn lớp
đối chứng.
SMD
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là
.
1,34
Điều này có nghĩa mức độ ảnh hưởng của tác động là lớn.
Phép kiểm chứng T-test ĐTB sau
tác động của hai
lớp
là
. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch ĐTB của hai nhóm
p
0,0001 0,001
không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động.
IV/ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
1/ Cơ sở lý luận và thực tiễn:
1.1. Cơ sở lý luận: Sách giáo khoa lớp 10, các tài liệu ttham khảo.
2.1. Cơ sở thực tiễn: Học sinh lớp10 và 12 trường THPT Phan Bội
Châu trong các năm học vừa qua.
2/ Những định hướng đổi mới:
- Cho học sinh làm một số dạng toán liên quan đến đề tài này.
- Khuyến khích các em tìm tòi một số bài toán liên quan đến đề tài này.
3/ Đánh giá thực trạng: Học sinh nhiều em chưa biết ứng dụng “ Kỹ thuật
chọn điểm rơi” để giải một số bài toán bất đẳng thức.
4/ Đề xuất biện pháp: Trong tiết dạy tự chọn 10 và 12, Giáo viên nên cho
một vài bài toán dạng này để khích lệ sự tìm tòi, sáng tạo cho học sinh.
V/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Tham khảo tài liệu, sách giáo khoa. Báo Toán học và tuổi trẻ.
- Thực hành thông qua quá trình giảng dạy.
- Điều tra kết qủa học tập của học sinh từ đó thấy được mức độ và hiệu
quả đạt được của HS khi thực hiện đề tài. Qua đó rút kinh nghiệm và thực hiện
tốt hơn trong quá trình xây dựng đề tài.
VI/ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
1/ Phạm vi khoa học: Kiến thức Toán của chương trình phổ thông
2/ Địa bàn nghiên cứu: Trường THPT Phan Bội Châu, Cam Ranh, Khánh Hòa.
3/ Thời gian nghiên cứu: Từ năm học 2011 – 2013
5
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
B. CHƯƠNG 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.
I. BÀI TOÁN XUẤT PHÁT.
1. Bài toán xuất phát:
Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải.
P
2
Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:
. 2
a b
b a
a b . b a
MinA
a
b
2
P Cho a b , 0. a b b a
* Nhận xét: Từ bài toán này có thể thay đổi miền xác định để có các bài
toán sau:
II/ SAI LẦM TRONG ĐÁNH GIÁ TỪ TRUNG BÌNH CỘNG SANG
TRUNG BÌNH NHÂN.
Cho a a
;
;...;
A) Bất đẳng thức Cô si:
a là các số không âm.
n
1
2
n
a
a
a
n a a
...
a ...
Ta có
.
n
n
1
2
1 2
a
a
a
....
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
n
1
2
Bài 1: Cho
3a . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P a 1 . a
1. Nhận xét và lời giải:
1.1. Sai lầm mà học sinh thường gặp:
P a
MinP
2
a .
2
2
1 a
1 a
1.2. Nguyên nhân sai lầm:
3a )
MinP a a (mâu thuẫn với giả thiết 2 1 1 a
1.3. Phân tích và tìm lời giải:
và P để dự đoán MinP
Xét bảng biến thiên của
;a 1 a
6
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
a
3
4
5
6
7
8
9
10 …….
100
…….
1 a
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
1 10
1 100
P
……..
3
4
5
6
7
8
9
10
100
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
1 10
1 100
Ta thấy khi a tăng thì P càng lớn và từ đó dẫn đến dự đoán là khi
3a thì P
nhận giá trị nhỏ nhất.
MinP
Để dễ hiểu và tạo sự ấn tượng ta sẽ nói rằng
đạt tại « Điểm
10 3
rơi:
3a »
Do bất đẳng thức xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau,
nên tại « Điểm rơi:
3a » ta không thể sử dụng bất đẳng thức Cô si trực tiếp
cho 2 số a và
vì
. Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất đẳng thức Cô si
3
1 a
1 3
a
cho cặp số
sao cho tại « điểm rơi:
» thì
. Khi đó ta có sơ đồ
3
a 1 ; m a
a 1 m a
điểm rơi sau đây:
Sơ đồ:
. Vậy
a
m
9m là hệ số điểm rơi.
3
9
3 m
1 3
a 3 m m 1 1 a 3
Từ đó ta biến đổi P theo sơ đồ « Điểm rơi » như nêu ở trên.
1.4. Lời giải đúng:
P a
2
.
1 a
1 a
1 a
a 9
a 8 9
a 9
a 8 9
2 3
a 8 9
2 3
8.3 10 3 9
tại
3a
MinP 10 3
Bài 2: Cho
.
2a . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
P a 1 a
1. Nhận xét và lời giải:
7
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
1.1. Sai lầm mà học sinh thường gặp:
P a
2
.
1 2 a
1 2 a
1 2 a
a 8
a 7 8
a 8
a 7 8
a 7 8
7.2 8
9 4
2 a 8
2 8.2
2a
MinP khi 9 4
1.2. Nguyên nhân sai lầm.
Mặc dù ta đã biến đổi P theo điểm rơi
là đáp số đúng nhưng
2a và
cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: ‘nếu
2a thì
là đánh giá sai’
2 4
2 a 8
2 8.2
Để điều chỉnh lời giải sai thành lời giải đúng ta cần phải biến đổi P sao cho khi
sử dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ khử hết biến số a ở mẫu số.
MinP 9 4
1.3. Sơ đồ điểm rơi:
. Vậy
8m là hệ số điểm rơi.
m
a
2
8
2 m
1 4
a 2 m m 1 1 2 a 4
1.4. Lời giải đúng:
3
2
2
2
P a 3 . 1 a 1 a 1 a a 8 a 8 a 6 8 a a . 8 8 a 6 8 3 4 6.2 8 9 4
Vậy
2a .
a
MinP khi 9 4
Bài 3: Cho
a . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
0
2P
1 2 a
1 2
1. Nhận xét và lời giải:
3
1.1. Sai lầm mà học sinh thường gặp:
P
a
a a
2
3
a a . .
3
2
2
2
1 a
1 a
1 a
MinP
3
1.2. Nguyên nhân sai lầm:
a
mâu thuẫn với giả thiết
2
MinP a a 0 3 1 2 1 a
8
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
1.3. Phân tích và tìm lời giải: Xét bảng biến thiên của
và P để dự đoán
a a ; 2 ;
1 2 a
MinP
a
1 9
1 8
1 7
1 6
1 5
1 4
1 10
1 3
1 2
2.a
1
2 9
1 4
2 7
1 3
2 5
1 2
1 5
2 3
100
81
64
49
36
25
16
9
4
1 2 a
P
5
100
81
64
49
36
25
16
9
1 5
2 9
1 4
2 7
1 3
2 5
1 2
2 3
Từ bảng biến thiên ta thấy khi a càng tăng thì P càng nhỏ và từ đó dẫn đến dự
đoán là khi
a thì P nhận giá trị nhỏ nhất.
1 2
1.3.1. Sơ đồ điểm rơi 1:
1 2
. Vậy
m
a
8m là hệ số điểm rơi.
8
4 m
1 2
1 2
2
4 m
a 1 ma
1.3.2 Lời giải đúng 1:
3
P
a
a a
2
3
a a . .
5
2
2
2
2
2
1 2 a
1 a 8
7 a 8
1 a 8
7 a 8
3 2
7 a 8
3 2
7.4 8
Vậy
MinP khi
5
1 a . 2
1.4.1. Sơ đồ điểm rơi 2:
ma
m 2
. Vậy
a
m
8m là hệ số điểm rơi.
8
4 m
1 2
1 2
4
1 2 a
1.4.2 Lời giải đúng 2:
3
P
a
a
a
a
2
a 8
a 8
14
a a 3 8 .8 .
14
12 14
12 14.
5
1 2 a
1 2 a
1 2 a
1 2
9
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
Vậy
MinP khi
5
1 a . 2
1
Bài 4: Cho
và
a b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a b ;
0
P ab
.
1 ab
1. Nhận xét và lời giải:
1.1. Sai lầm mà học sinh thường gặp:
MinP
P ab
2
ab .
2
2
1 ab
1 ab
1.2. Nguyên nhân sai lầm:
MinP ab ab ab (Vô lý) 2 1 1 1 1 ab a b 2 1 2 1 2
1.3. Phân tích và tìm lời giải: Biểu thức của P chứa 2 biến số a, b nhưng nếu đặt
t
ab
hoặc
thì
biến số ta cần phải tìm miền xác định cho biến số mới, cụ thể là:
Đặt
t
t P t là biểu thức chứa một biến số. do đó khi đổi 1 t 1 ab
4
2
2
1 ab
1 1 2
1 a b 2
* khi đó bài toán trở thành
Cho t . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
P t
1 . t
Sơ đồ điểm rơi:
t và ab 1 ab 1 t
:Hệ số điểm rơi
16m
4t
1 4 t m
t 4 m m 1 1 t 4
* Lời giải tổng hợp:
2. . P t t 16 t 15 16 t 16 t 2 15 4 16 2 15.4 4 16 17 4 1 t 1 t 1 15 t 16 t
10
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
Với
a b
th
ì MinP =
t hay 4
1 2
17 4
* Lời giải thu gọn: Do
nên biến đổi trực tiếp P như sau:
t
4
a b 1 2
2
ab 2. ab . P ab 1 ab 15 ab 1 ab 16 16 1 ab 16 17 4 16 15 a b 2
a b th ì Min P =
Với
P
Bài 5. Cho
a b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ,
0
ab a b
a b ab
1 2 17 4
1. Nhận xét và lời giải:
1.1. Sai lầm thường gặp:
P
MinP
2.
.
2
2
ab a b
ab a b
a b ab
a b ab
1.2. Nguyên nhân sai lầm:
MinP
ab
ab
2
1 2
: Vô lý.
2
1
a b
ab a b
a b ab
1.3. Phân tích và tìm tòi lời giải: Do P là một biểu thức đối xứng với a,b nên dự
a
b
0
đoán MinP đạt tại
Sơ đồ điểm rơi:
a
2 2 ma m
a b m ab
:Hệ số điểm rơi.
a b
4m
1 2
2 m
1 2
a 2 a
ab a b
1.4. Lời giải đúng:
)
P
ab a b
ab a b
a b ab
a b ab 4
a b 3( ab 4
)
2
.
1
.
P
3 2
5 2
ab a b
a b 4 ab
a b 3( 4 ab
11
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
Với
MinP
a b thì
0
5 2
Bài 6. Cho
a b c , , 0; a b c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
3 2
P a b c . 1 a 1 b 1 c
1. Nhận xét và lời giải:
1.1. Sai lầm thường gặp:
6
P a b c
6
abc .
M
inP=6
.
6
1 a
1 b
1 c
1 1 1 . a b c
1.2. Nguyên nhân sai nhầm:
a b c 1 3
MinP = 6
trái với giả thiết.
1.3. Phân tích và tìm tòi lời giải:
a
b c
Do P là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán MinP đạt tại
1 2
1.4. Sơ đồ điểm rơi 1:
a b c
1 2
a b c 1 a 1 b 1 c 3 2
:Hệ số điểm rơi.
4m
a b c
1
1
2 m
1 2
1 2
1 2 ma mb mc m
1.4.1 Cách 1:
P a b c
a b c
1 a
1 b
1 c
1 a 4
1 b 4
1 c 4
1 b
1 c
3 1 a 4
6
3
6
abc .
.
3.
.
P
3
3
1 1 1 . a b c 4 4 4
3 4
1 1 1 . a b c
9 4
1 abc
3 3 9 4 15 2
1 a b c 3 27 1 . 3 4 2
Với
a b c
th
ì MinP =
.
1 2
15 2
1.4.2. Sơ đồ diểm rơi 2:
12
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
ma mb mc
2
2
:Hệ số điểm rơi.
a b c
4m
m 2
1 2
2
1 c
1 1 b a
1.4.3 Cách 2:
P a b c
4
a
b 4
4
c
3(
)
a b c
1 a
1 b
1 c
1 a
1 b
1 c
6
3(
) 12 3
.
6 4 .4 .4 . a b c
P
a b c
3 2
15 2
1 1 1 . a b c
Với
a b c
th
ì Min P=
.
15 2
1 2
2
2
2
a b c , , 0
Bài 7. Cho
b c .
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P a 1 a 1 b 1 c a b c 3 2
1. Nhận xét và lời giải:
1.2. Sai lầm thường gặp:
2
2
2
2
2
2
9
9.
a b c
.
.
.
.
3
1 a b c 2
1 1 1 . 2 2 2
1 1 . a b c 2 2
9 4
MinP
3
9 4
2
2
2
1.3. Nguyên nhân sai lầm:
MinP
a
b
c
1 a 2
1 b 2
1 c 2
9 3 4
1 3 4
a b c
a b c
b c P a 1 a 2 1 b 2 1 c 2 1 a 2 1 b 2 1 c 2
(trái với giả thiết)
3
3
3 2
1 2
3 2
1.4. Phân tích và tìm lời giải:
a
b c
Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại
1 2
1.4.1. Sơ đồ điểm rơi:
13
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
2
2
2
a
b
c
:Hệ số điểm rơi.
8m
1 4 1
1
1 4
2 m
1 2 ma mb mc m
1.4.2. Lời giải đúng:
2
2
2
a b c 1 2
2
2
2
b c P a 1 a 1 b
2
2
2
9
3
a b c 1 a 8 1 c 1 b 8 1 c 8 1 a 8 1 b 8 1 c 8 1 b 1 c 3 1 a 4
3
P 9 a b c . . . . . 3 . . 1 1 1 1 1 1 . a b c a b c 8 8 8 8 8 8 3 4 1 1 1 . a b c 9 4 9 4 1 abc
. .2 9 4 9 4 9 4 9 4 27 4
1 a b c 3
Với
.
thì MinP = 27 4
a b c , ,
0
a b c 1 2
Bài 8. Cho
P a b c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
2
2
2
1
a
b
c
1 abc
1. Nhận xét và lời giải:
1.1. Sai lầm thường gặp:
4
a b c
4
a b c . . .
MinP
4
4
1 abc
1 abc
1.2. Nguyên nhân sai lầm:
MinP = 4
mâu thuẫn với giả thiết.
1.3. Phân tích và tìm tòi lời giải:
a b c a b c 1 1 abc
a b c
Dự đoán điểm rơi của MinP là
, khi đó
1 3
1.4. Sơ đồ điểm rơi:
3 3 1 abc
14
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
a b c
1 3
a b c
: Hệ số điểm rơi.
9m
1 3
3 3 m
1 3
1 mabc
3 3 m
1.5. Lời giải đúng:
8
4
a b c
4.
a b c . . .
4 3
2
2
2
1 abc
8 abc
1 abc
9
9
9
4 3
8 3
a
c
9
b 3
III/ SAI LẦM TRONG ĐÁNH GIÁ TRUNG BÌNH NHÂN SANG TRUNG
BÌNH CỘNG:
0
a b c , ,
3
3
3
P
a b
b c
.
Bài 1. Cho
. Tìm GTLN của
c a
a b c
1
1. Nhận xét và lời giải:
1.1. Sai lầm thường gặp:
(
a b
3
3
a b
(
).1.1
a b
b c (
3
3
b c
).1.1
b c (
(
3
3
c a
(
).1.1
c a
) 1 1 3 ) 1 1 3 c a ) 1 1 3
2
6
3
3
3
ax S=
a b
b c
c a
M
P
a b c 3
8 3
8 3
1.2. Nguyên nhân sai lầm:
2 3
3
P
a b c
Max
Vô lý.
2
8 3
1 1 1
a b b c c a
1.3. Dự đoán điểm rơi của Max P: Do P là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên
MaxP thường xảy ra với điều kiện:
15
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
a b
a b c a b c a b c 1 1 3
1.4. Trình bày lời giải đúng:
c a 2 3 2 3 2 3 b c
3
3
3
3
( ) a b 2 3 2 3 a b . ( ). . a b 9 4 3 9 4 2 2 . 3 3
3
3
3
3
) ( b c 2 3 2 3 . ( ). . b c b c 9 4 3 9 4 2 2 . 3 3
3
3
3
3
( ) c a 2 3 2 3 . ( ). . c a c a 9 4 3 9 4 2 2 . 3 3
2
4
3
3
3
3
3
3
a b
b c
c a
.
18
P
9 4
a b c 3
9 6 . 4 3
3
a b b c a b c c a n ên MaxP= 18
Với
.
Bài 2. Cho a,b,c,d > 0 thỏa mãn
a b c d
. Tìm giá trị lớn nhất của:
1
3
3
3
3
P
2
a b
b c 2
c d 2
2
d
a
2 3 1 3
1. Nhận xét và lời giải:
1.1. Sai lầm thường gặp: Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
(2
3
3
a b
2
(2
).1.1
a b
(2
3
3
b c 2
(2
).1.1
b c
(2
3
3
c d
2
(2
).1.1
c d
d
(2
3
3
d
d
a
2
(2
).1.1
a
a b ) 1 1 3 b c ) 1 1 3 c d ) 1 1 3 a ) 1 1 3
16
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
3
3
3
3
1.2. Ngyên nhân sai lầm:
P
a b c d
3(
)
3 4
4
3( a b c d 2 2 2 ax P= a b 2 b c c d d M a ) 8 11 3 11 3 3
Max
: Vô lý.
11 3
a b 2 2 b c c d 2 d a 2
1 1 1 1
1.3. Phân tích và tìm tòi lời giải:
Do P là một biểu thức đối xứng với a,b,c,d nên dự đoán MaxP đạt tại điểm rơi.
2
b c 2
c d 2
2
d
a b
a
3 4
Trình bày lời giải đúng:
a b c d a b c d 1 a b c d 1 4
3
(2 ) a b 3 4 3 4 (2 ). a b 3 3 3 . 4 4
3
(2 ) b c 3 4 3 4 (2 ). b c 3 3 3 . 4 4
3
(2 ) c d 3 4 3 4 (2 ). c d 3 3 3 . 4 4
3
3(
a b c d
) 6
3
3
3
3
3
a b
c d
d
a
2
b c 2
2
2
3
.
3
9 16
3
3
3
P .
P
3
48
2. 6
9 16
3
(2 ) d a 3 4 3 4 (2 ). d a 3 3 3 . 4 4
Với
2
a b
b c 2
2
c d
2
d
a b c d
a
th
ì MaxP =2 6
3 4
1 4
17
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
* Kết luận:
Đây là một phương pháp giải toán vừa sức đối với học sinh, học sinh lĩnh
hội không khó khăn, cho nên các đề thi thỉnh thoảng ra với cách giải đơn giản là
áp dụng phương pháp này. Đối với học sinh tham gia các kỳ thi đại học cao
đẳng thì đây là một phương pháp giải cần phải biết.
Điều khó khăn khi thực hiện đề tài này là chương trình học sinh khối 10
học nội dung bất đẳng thức rơi vào các tuần chuẩn bị thi học kì I, các em phải
tập trung học nhiều môn, bất đẳng thức lại là một nội dung khó nên quá nữa số
học sinh không theo kịp. Đối với lớp 12 thì có nhiều thuận lợi hơn về thời gian
trong quá trình ôn tập để thi Đại học, Cao đẳng.
* Kiến nghị
Qua thực tế khảo sát học sinh đa số học sinh học học chưa tốt nội dung
bất đẳng thức nên rất ngại học phân môn này, nhiệm vụ giáo viên của chúng ta
là cần hệ thống các bài tập và lựa chọn sao cho phù hợp với từng đối tượng học
sinh để giúp các em nắm vững kiến thức cơ bản cũng như kỹ năng giải toán, có
như vậy các em mới yêu thích môn toán và ngày càng đạt nhiều kết quả cao hơn.
Trong quá trình hoàn thành đề tài chúng tôi rất biết ơn các đồng nghiệp đã nhiệt
tình giúp đỡ, chúng tôi luôn mong muốn nhận được ý kiến đóng góp để sáng
kiến nhỏ mang lại nhiều lợi ích lớn cho các em học sinh. Trân trọng cám ơn!
18
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
Phụ lục 1. KIỂM TRA TÌM HIỂU THỰC TRẠNG.
Đề bài. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a)
b)
x
0
3x
* Biểu điểm và đáp án:
a do x áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có
0
)
P x
x
…………………………......……….…...2đ
2
.
2
1 x
1 x
MinP
tại
2
1x …………………...…….....………….…..2đ
………………......……………1,5đ
b P x
)
1 x
1 x
x 9
x 8 9
2
.
…....................………1,5đ
1 x
x 9
x 8 9
.............................................................1đ
P x 1 . Biết x
..........1đ
2 3 x 8 9
tại
2 3 8.3 10 3 9
3x ………… ………...…………………. 1đ
MinP 10 3
19
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
Phụ lục 2. KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG.
Bài toán Cho x, y, z là 3 số dương thỏa điều kiện
x
y
z
. Tìm giá trị nhỏ
1
P x
z
y
2(
)
nhất của biểu thức:
1 x
1 y
1 z
* Biểu điểm và đáp án:
P x
z
x
y
z
x
y
y
..4đ z
2(
)
(18
)
(18
)
(18
) 17(
)
1 x
1 y
1 z
2 y
2 z
2 x
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
……………………………………………………………….1đ
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
x 18 12,(1). 2 x
Tương tự, ta cũng có:
và
………………2đ
z
y
18
12,(3).
18
12,(2).
2 y
2 z
…………………………………………………..1đ
x ………………………………………….1đ 1 3
mà 17(
P
Cộng (1), (2), (3), (4) ta có
.
19
Giá trị nhỏ nhất của P bằng 19 khi
x z y ) 17, (4)
x y z …………………………….1đ 1 3
20
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
KT trước taùc động
KT sau taùc động
Hoï vaø teân
4
7
6
6
5
7
6
9
5
7
6
8
6
7
4
8
6
7
7 6
9 8
4 7
5 6
7
6
4
6
5
6
6
10
2
5
4
7
2
5
8
8
6
7
8
9
7
7
6
8
2
5
8 7
9 8
4 8
9 9
4 7
8 10
3
5
4
10
7
9
4
6
6
7
6
6
6
8
7
8
5
8
6
8
Phụ lục 3. Bảng điểm LỚP THỰC NGHIỆM Stt 1 Trương Tô Vân 2 Nguyễn Hoàng Bảo 3 Nguyễn Hạ Lan 4 Nguyễn Ngọc 5 Nguyễn Thị Thùy 6 Phạm Thành 7 Nguyễn Thị Thu 8 Trần Thị Gia 9 Trịnh Thị Thu 10 Nguyễn Thị Mỹ 11 Trần Đức 12 Nguyễn Đức 13 Lê Hoài Bảo 14 Nguyễn Ngọc Đăng 15 Nguyễn Thị Thanh 16 Đặng Khánh 17 Trần Thi Mỹ 18 Hà Thị Kim 19 Nguyễn Hồng Hải 20 Lê Hoài Diễm 21 Nguyễn Trần 22 Dương Văn 23 Nguyễn Như 24 Nguyễn Văn 25 Phạm Thị Mỹ 26 Lê Đỗ 27 Nguyễn Thanh 28 Hà Thị Lệ 29 Trần Phú 30 Lý Thái 31 Lê Tấn 32 Đặng Việt Thi 33 Hoàng Nữ Giáng 34 Hoàng Thị Đoan 35 Lương Vũ Hà 36 Lê Thị Tuyết 37 Nguyễn Ngọc Tố 38 Trần Thị Đức 39 Phạm Kim 40 Nghiêm Anh 41 Nguyễn Thị Xuân 42 Trần Thị
Anh Châu Chi Diện Dung Đô Hà Hân Hạnh Hoa Huy Khánh Khiêm Khoa Kiều Linh Linh Luyến Mi My Ninh Phong Phúc Phúc Phước Quân Sang Sen Sĩ Tài Thành Thơ Tiên Trang Trang Trầm Trinh Trinh Tuyền Vũ Xanh Yên
21
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
LỚP ĐỐI CHỨNG
Stt
Hoï vaø teân
KT trước taùc động
KT sau taùc động
6
7
8
8
4 7
5 7
5 6
5 6
4
5
5
5
7
6
6
5
6
7
6
8
4
6
4
5
6
7
5
5
7
6
6
7
5
6
6 5
6 6
6 5
7 6
6 4
5 7
5
6
7
7
4
6
7
5
5
5
7
8
4
6
4
7
6
5
5
6
6
5
5
5
5
7
