Luận án Tiến sĩ: Một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động

Luận án tiến sĩ Toán học của Nguyễn Đức Trường, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tập trung vào các phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động. Bất đẳng thức biến phân được giới thiệu lần đầu vào năm 1966 bởi Hartman và Stampacchia và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực kinh tế, giao thông, truyền thông và xử lý ảnh. Luận án này nghiên cứu các thuật toán mới để giải quyết bài toán, mở rộng các phương pháp tối ưu và kỹ thuật lặp điểm bất động.

Luận án này hướng đến việc phát triển các thuật toán hiệu quả để giải quyết bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động, một vấn đề quan trọng trong nhiều lĩnh vực ứng dụng khác nhau. Các kết quả nghiên cứu đóng góp vào việc mở rộng lý thuyết và cung cấp các công cụ thực tế để giải quyết các bài toán tối ưu hóa phức tạp.

Luận án này tập trung vào việc phát triển và phân tích các thuật toán mới để giải quyết bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động (Variational Inequality on Fixed Point set - VIF). Các phương pháp chính được nghiên cứu bao gồm:

1. **Kỹ thuật lai ghép co quán tính (Hybrid Inertial Contraction Algorithm - HICA):** Kết hợp kỹ thuật lai ghép của Yamada và kỹ thuật quán tính để giải bài toán VIF. Tính hội tụ mạnh của thuật toán được chứng minh trong không gian Hilbert thực.

2. **Kỹ thuật xấp xỉ song song quán tính (Parallel Inertial Proximal Algorithm - PIPA):** Kết hợp tính toán song song và kỹ thuật quán tính để giải bài toán VIF, trong đó tập điểm bất động là giao của hữu hạn các ánh xạ nửa co.

3. **Phương pháp ánh xạ nghiệm nội (Relaxed Projection Algorithm - RLPA):** Sử dụng ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân để xây dựng thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ nghiệm.

4. **Thuật toán chiếu co (Projection Contraction Algorithm - PCA):** Phát triển thuật toán chiếu co để giải bài toán bất đẳng thức biến phân song mức (Bilevel Variational Inequality - BVI) trong không gian R^n.

5. **Ứng dụng và thử nghiệm tính toán:** Các thuật toán được minh họa bằng các ví dụ số và ứng dụng trong mô hình xử lý ảnh. So sánh hiệu quả của các thuật toán mới với các thuật toán hiện có.