BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ----------------------- Dương Minh Hiển Tố CHUỖI FOURIER VÀ HAI BÀI TOÁN VẬT LÝ
Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG
Thành phố Hồ Chí Minh – 2007
LỜI CẢM ƠN
Qua thời gian học tập lớp cao học chuyên ngành toán giải tích (khóa 15), tôi xin chân thành gởi lời
cảm ơn đến các thầy, cô khoa toán hai trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh và Đại học Khoa
Học Tự Nhiên TP. Hồ Chí Minh đã hết lòng tham gia giảng dạyï những tri thức và kinh nghiệm quý
báu về toán học. Kiến thức toán học mà các thầy, cô truyền thụ đã cho chúng tôi sự hiểu biết sâu sắc,
đầy đủ hơn những gì đã được học ở bậc đại học. Hơn nữa, các thầy, cô đã cho chúng tôi sự tự tin, niềm
say mê nghiên cứu khoa học, dù chỉ là bước đầu chập chững.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến cô TS. Lê Thị Thiên Hương đã dành nhiều thời gian quý
báu, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình viết luận văn.
Sau cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn đến các bạn học viên khoá 15 đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt
khóa học.
MỞ ĐẦU
Chuỗi Fourier (Joseph Fourier, 1768-1830) của một hàm tuần hoàn biểu diễn hàm đó dưới dạng
f x ( )
a
cos
sin
nx (1)
n
nx b n
a o 2
n
1
tổng của các hàm tuần hoàn có dạng
inx
f x ( )
hay ở dạng phức
c n
e
n
(2)
Việc nghiên cứu chuỗi này bắt nguồn từ các ngành của vật lí như lí thuyết dao động và lí thuyết
truyền nhiệt. J. Fourier là người đầu tiên nghiên cứu chuỗi lượng giác theo các công trình trước đó của
Euler, d’Alembert và Daniel Bernoulli. J. Fourier đã áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình nhiệt,
các công trình đầu tiên của ông được công bố vào năm 1807 và 1811, cuốn Lí thuyết giải tích về nhiệt
học (Théorie analytique de la chaleur) của ông được công bố vào năm 1822. Nhiều nhà toán học nổi
tiếng, trong đó có Riemann, Cantor và Lebesgue gắn liền với ngành này. Hoàn toàn có thể nói rằng,
trong thời đại của chúng ta, với sức hấp dẫn và sự phát triển của mình, chuỗi Fourier đang chiếm một
vị trí quan trọng trong giải tích.
Luận văn nghiên cứu chuỗi Fourier và ứng dụng của nó trong hai bài toán vật lí là dao động của
dây và truyền nhiệt trong thanh. Nội dung của luận văn bao gồm các chương mục sau
Chương 1 trình bày lí thuyết chuỗi Fourier.
Chương 2 trình bày ứng dụng của chuỗi Fourier để giải phương trình truyền nhiệt trong thanh.
Chương 3 trình bày ứng dụng của chuỗi Fourier để giải phương trình
dao động của dây.
Sau cùng là kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng trong quá trình nghiên cứu và viết luận văn, tuy nhiên, do
kiến thức toán học của bản thân còn hạn chế và thời gian nghiên cứu không nhiều nên luận văn khó
tránh khỏi những sai sót. Rất mong được sự góp ý của quí thầy, cô và các bạn đồng nghiệp.
Tác giả
Chương 1. CHUỖI FOURIER
1.1.CHUỖI FOURIER CỦA HÀM TUẦN HOÀN CHU KÌ 2
1.1.1.Hàm tuần hoàn
Hàm f(x) xác định trên D được gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại một hằng số dương T sao cho với mọi
x thuộc D
i) x T D
ii)f(x+T)=f(x) (1.1)
Số T>0 nhỏ nhất có tính chất như vậy được gọi là chu kì tuần hoàn của hàm f(x).
Các hàm tuần hoàn quen biết nhất là các hàm sinx, cosx, tanx, cotx,…Ta thường gặp các hàm tuần
hoàn trong nhiều ứng dụng của toán học vào các bài toán vật lí và kĩ thuật.
Tổng, hiệu, tích, thương của các hàm tuần hoàn có cùng chu kì T cũng luôn luôn là hàm tuần hoàn có
chu kì T.
Nếu ta dựng đồ thị của hàm tuần hoàn y=f(x) đối với các giá trị của x thuộc một đoạn [a,a+T] nào đó,
thì đồ thị của toàn bộ hàm này sẽ nhận được bằng cách lặp lại tuần hoàn phần đã dựng được (hình 1.1)
f(x)
5
4
3
2
1
x
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-9 -8
-7 -6 -5 -4 -3
8
9
-1
-2
-3
-4
-5
Hình 1.1
1.1.2.Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn chu kì 2
kx
f x ( )
cos
sin
(1.2)
a k
kx b k
a o 2
k
1
Giả sử đối với hàm f(x) có chu kì 2 ta có khai triển sau
a o để cho các công thức này có tính đối xứng. Ta lập bài toán 2
Số hạng hằng số ở đây được kí hiệu
,oa a
,k
kb với k=1, 2,… khi biết hàm f(x). Muốn vậy ta giả thiết chuỗi (1.2) và các chuỗi
số tính các hệ
sẽ nhận được có tích phân của tổng bằng tổng các tích phân (ta giả thiết cả tính khả tích của f(x) ).
f x dx ( )
dx
cos
sin
kxdx
a k
kxdx b k
a o 2
k
1
Lấy tích phân đẳng thức (1.2) trên đoạn [-;], ta có
kx
cos
0
kxdx
sin k
kx
sin
0
kxdx
cos k
Do
f x dx ( )
(1.3)
a o
nên
f x ( )cos
nxdx
cos
nxdx
cos
kx
cos
sin
kx
cos
nxdx
a k
nxdx b k
a o 2
k
1
Nhân hai vế của đẳng thức (1.2) với cosnx và lấy tích phân trên đoạn [-;], ta được
cos
nxdx
0
sin nx n
cos
kx
cos
nxdx
[cos(
)
cos(
k n xdx )
k n x
k
n
Ta cũng có
0
1 2
1 cos 2
nx
2
cos
nxdx
dx
Khi :
2
f x
( ) cos
nxdx
Khi k = n:
.n a
f x
( ) sin
(1.4) Như vậy
.n nxdx b
(1.5) Tương tự ta tìm được
Từ (1.3), (1.4) và (1.5) suy ra
( ) cos
(
0,1, 2,...)
f x
nxdx
n
a n
1
1.6
( ) sin
(
1, 2,...)
f x
nxdx
n
1
b n
a b ,n n
Vậy, nếu hàm f(x) khả tích và có thể khai triển thành chuỗi lượng giác thì các hệ số được tính
theo các công thức (1.6).
Bây giờ cho trước một hàm khả tích có chu kì 2 nào đó, ta muốn biểu diễn hàm này dưới dạng chuỗi
lượng giác.
a b ,n n
Các hệ số tính theo các công thức (1.6) được gọi là các hệ số Fourier của hàm f(x), còn chuỗi
lượng giác với các hệ số này được gọi là chuỗi Fourier của nó. Ta chú ý rằng trong các công thức (1.6)
có tính tích phân các hàm có chu kì 2. Vì vậy đoạn tích phân [-;] có thể được thay bằng đoạn bất kì
a
2
( ) cos
(
0,1, 2,..)
f x
nxdx
n
a n
1
a
1.7
a
2
( ) sin
(
1, 2,..)
f x
nxdx
n
1
a
b n
có độ dài 2. Ngoài các công thức (1.6) ta còn có
f x ( )
cos
sin
kx
a k
kx b k
(cid:0)
a o 2
k
1
Khi lập chuỗi Fourier của hàm f(x) và chưa biết nó có hội tụ đến f(x) hay không, ta viết
Cách viết này có nghĩa là hàm f(x) tương ứng với chuỗi Fourier ở vế phải.
Khi ta chứng minh được tính hội tụ của chuỗi và tổng của nó bằng f(x) thì ta
f x ( )
cos
sin
kx
a k
kx b k
a o 2
k
1
viết
0 khi -
f x ( )
f x (
2 )
Ví dụ 1.1: Tìm chuỗi Fourier của hàm f xác định bởi
f x ( )
x<0
1 khi 0 x<
vaø
Giaûi
Ta coù haøm f tuaàn hoaøn chu kì 2 vaø coù ñoà thò (hình 1.2)
f(x)
1
x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Hình 1.2
0
0.
( ) f x dx
dx
1 dx
0
.
1
oa
1
1
1
1
0
( ) cos
f x
nxdx
0
dx
cos
nxdx
na
01
1
1
sin 0
0
n
0
. sin
nx 1 sin . n .
1 n
0
0
f x
nxdx
dx
nxdx
( ) sin
0
sin
nb
1
1
1
0
nx
cos 0
n
0
. cos
1 cos . n
1 n
0
n=2m
khi ,
n=2m+1
khi 0, 2 n
Töø coâng thöùc (1.6) ta coù
a
cos
sin
x k
k
kx b k
f x (cid:0)
a o 2
k
1
x
x
cos
cos 2
sin
sin 2
...
...
a 1
x a 2
b 1
x b 2
x
x
x
0 0 ..
sin
0.sin 2
.sin 3
...
2 3
x
x
sin
.sin 3
...
2 2 3
k
x
sin(2
1)
a o 2 1 2 1 2 1 2
1)
2 2 k (2
k
1
Chuoãi Fourier cuûa haøm f laø
Tổng riêng thứ n
x
x
n
sin
.sin 3
sin
...
x
S (x) n
1 2
2
2 3
2 n
trong đó n lẻ.
Đồ thị của hàm Sn(x) (hình 1.3)
f(x)
1.5
1
0.5
S1 S3
x
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.5
a)
b)
f(x)
f(x)
1.5
1.5
S9 S15
1
1
0.5
0.5
x
x
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.5
-0.5
c)
d)
Hình 1.3
Ta thấy rằng, khi n càng lớn, hàm Sn(x) càng xấp xỉ hàm f hơn. Đồ thị của Sn(x) tiến gần đến đồ thị
hàm f(x), ngoại trừ tại x=0 và các điểm k (kZ). Nói cách khác, f(x) bằng tổng của chuỗi Fourier của
nó, ngoại trừ tại các điểm mà f không liên tục.
1.1.3.Dấu hiệu hội tụ của chuỗi Fourier
chuỗi Fourier của hàm f hội tụ, tổng của chuỗi Fourier bằng f(x) tại mọi điểm x mà hàm f liên tục. Tại
những điểm xo mà hàm f không liên tục, tổng chuỗi fourier hội tụ về giá trị
)
)
( f x o
( f x o
1 2
trong đó
)
f x ( o
f x lim ( ) x
x o
)
( f x o
x lim ( ) f x
x o
Nếu áp dụng định lí về dấu hiệu hội tụ cho hàm f trong ví dụ 1.1, ta có
Định lí: Cho hàm f tuần hoàn với chu kì 2, bị chặn và đơn điệu từng khúc trên mỗi chu kì. Khi đó
f
(0 )
0
f x lim ( ) 1 x
f
(0 )
0
f x lim ( ) 0 x
và kết quả tương tự với các điểm khác mà hàm f không liên tục. Hơn nữa ta có
f
(0 )
f
(0 )
1 2
1 2
Vậy với mọi số nguyên n, ta có
sin(2
1)
( ) S x
k
x
(2
1)
1 2
k
2
x
n
,
x=n
khi
1 k ( ), f x khi 1 2
Giả sử hàm f(x) khả tích trên đoạn [-;]. Đối với hàm này ta lập chuỗi Fourier
cos
sin
f x ( )
(1.8)
nx
a n
nx b n
(cid:0)
a o 2
n
1
trong đó
f x
nxdx
n
( ) cos
(
0,1, 2,..)
a n
1
(1.9)
f x
nxdx
n
( )sin
(
1, 2,..)
1
b n
Ta sử dụng đẳng thức Euler liên hệ các hàm lượng giác với hàm mũ
ie
cos
i
sin
i
i
i
i
e
e
,sin
Suy ra cos
e 2
e 2 i
Vì vậy ta có thể viết
inx
inx
inx
inx
inx
inx
e
e
e
nx
i
cos
,sin
e 2
e i 2
e 2
Thay vào (1.8) ta được
a
inx
inx
n
ib n
a n
ib n
( ) f x
e
e
(1.10)
(cid:0)
a o 2
2
2
n
1
a n
ib n
a n
ib n
,
,
(
1, 2,..)
n
(1.11)
Nếu đặt
c o
c n
n
c
a o 2
2
2
thì tổng riêng thứ m của chuỗi (1.10), tức là của cả chuỗi (1.8), có thể được viết là
1.1.4.Dạng phức của chuỗi Fourier đối với hàm tuần hoàn chu kì 2
m
m
inx
inx
inx
(
)
S x ( ) m
c o
c e n
c e n
c e n
(1.12)
n
n
1
m
Vì vậy ta có cách viết
inx
f x ( )
(1.13)
c e n
(cid:0)
n
Đây là dạng phức của chuỗi Fourier của hàm f(x). Tính hội tụ của chuỗi (1.13) được hiểu như tính tồn
m
tại giới hạn khi
của các tổng đối xứng (1.12).
Các hệ số cn cho bởi công thức (1.11) được gọi là các hệ số Fourier phức của hàm f(x). Đối với các hệ
số này có các hệ thức sau
inx
(
( ) f x e
dx
n
0, 1, 2,..)
(1.14)
nc
1 2
Thật vậy, nhờ đẳng thức Euler và các công thức (1.11) ta có
inx
[
( ) cos
( ) sin
]
(
)
( ) f x e
dx
f x
f x
nxdx
nxdx i
a n
ib n
c n
1 2
1 2
1 2
inx
[
( )
( ) cos
( )sin
]
(
)
f x e dx
f x
f x
nxdx
nxdx i
a n
ib n
n
c
1 2
1 2
1 2
Đối với hàm thực f(x) có các hệ số cn và c-n là các số phức liên hợp. Điều này suy ra từ (1.11).
Ta nhận thấy các công thức (1.14) có thể nhận được bằng cách tính trực tiếp giống như các công thức
(1.9), nếu giả thiết rằng trong (1.13) thay dấu () bởi dấu (=) và phép tích phân từng phần của các
ikx
f x ( )
với
chuỗi là đúng. Thật vậy, khi nhân cả hai vế của đẳng thức
c n
e
k
e -inx và tích phân vế phải từng thành phần trên đoạn [-;] ta tìm được
inx
f x e ( )
dx
(1.15)
2 c n
Vì với k n ta có
)
i k n x (
e
dx
k n x dx
[cos(
sin(
) ]
k n x i )
0
c k
c k
1 2
tức là tất cả các tích phân ở vế phải sẽ bằng 0, trừ tích phân tương ứng khi k=n ta được 2
nc . Các
công thức (1.14) được suy ra từ (1.15).
1.2.CHUỖI FOURIER CỦA HÀM CHẴN, HÀM LẺ CHU KÌ 2
Giả sử hàm f(x) cho trước trên toàn trục Ox, hay trên một đoạn nào đó đối xứng qua gốc tọa độ.
1.2.1.Hàm chẵn, hàm lẻ
Ta nói f(x) là hàm chẵn nếu với mọi x ta có
f(-x) = f(x)
Từ định nghĩa này suy ra rằng đồ thị của mọi hàm chẵn y=f(x) đối xứng qua trục Oy. Đối với hàm chẵn
ta có
l
l
f x dx ( )
2
f x dx ( )
(1.16)
0
l
với mọi l ( chỉ cần f(x) xác định và khả tích trên đoạn [-l;l])
y
x
2 cos
x
là hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua Oy (hình 1.4)
Ví dụ 1.2: Hàm số
f(x)
0.5
x
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
-0.5
-1
-1.5
Hình 1.4
Ta gọi hàm số f(x) là hàm lẻ nếu với mọi x ta có
f(-x)=-f(x)
Đồ thị của hàm lẻ y=f(x) đối xứng qua gốc O(0;0). Đối với hàm lẻ ta có
l
f x dx ( )
0
(1.17)
l
với mọi l ( chỉ cần f(x) xác định và khả tích trên đoạn [-l;l]) Ví dụ 1.3: Hàm số y=x3-2x là hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc O (hình 1.5)
f(x)
2
1
x
-1
1
-1
-2
Hình 1.5
Từ định nghĩa hàm chẵn và hàm lẻ dễ dàng suy ra
1)Tích của hai hàm chẵn, hay hai hàm lẻ là một hàm chẵn
2)Tích của một hàm chẵn và một hàm lẻ là một hàm lẻ.
Thật vậy,
x ( ),
x ( )
f x ( )
x ( )
( ). x
Nếu
là các hàm chẵn thì đối với
ta có :
f
(
x
)
).
(
x
)
x ( )
f x ( )
( x
( ). x
x ( ),
x ( )
f x ( )
x ( )
( ). x
Nếu
là các hàm lẻ thì đối với
ta có :
f
(
x
)
).
(
x
)
x ( )].[
x ( )]
x ( )
f x ( )
( x
[
( ). x
Như vậy tính chất 1) đã được chứng minh.
f x ( )
x ( )
( ). x
( )x là hàm chẵn,
( )x là hàm lẻ thì đối với
ta có :
Nếu
f
(
x
)
).
(
x
)
x ( )]
x ( )
f x ( )
( x
( ).[ x
( ). x
Như vậy tính chất 2) đã được chứng minh.
Giả sử f(x) là hàm chẵn, tuần hoàn, có chu kì 2. Vì hàm cosnx (n=0,1,2,..) là hàm chẵn nên theo tính
chất 1) ở 1.2.1) ta có f(x).cosnx là hàm chẵn. Vì hàm sinnx (n=1,2,..) là hàm lẻ, nên theo tính chất 2) ở
(1.2.1) ta có f(x).sinnx là hàm lẻ.
Khi đó do (1.6), (1.16) và (1.17), đối với các hệ số Fourier của hàm chẵn f(x) ta có
f x
nxdx
f x
nxdx n
( ) cos
( ) cos
(
0,1, 2,..)
a n
1
2
0
(1.18)
f x
nxdx
n
( ) sin
0 (
1, 2,..)
b n
1
Do đó, chuỗi Fourier của hàm chẵn chỉ chứa hàm cosin, tức là
f x ( )
cos
nx (1.19)
a n
(cid:0)
a o 2
n
1
trong đó các hệ số an được tính theo các công thức (1.18).
Bây giờ giả sử f(x) là hàm lẻ, tuần hoàn có chu kì 2. Vì cosnx (n=0,1,2,..) là hàm chẵn nên theo tính
chất 2) ở (1.2.1) ta có f(x).cosnx là hàm lẻ, còn hàm sinnx (n=1,2,..) là hàm lẻ, nên f(x).sinnx là hàm
chẵn.
Khi đó do (1.6), (1.16) và (1.17), đối với các hệ số Fourier của hàm lẻ f(x) ta có
1.2.2. Chuỗi Fourier của hàm chẵn, hàm lẻ chu kì 2
( ) cos 0 ( 0,1, 2,..) f x nxdx n a n 1 (1.20)
( ) sin ( ) sin ( 1, 2,..) f x nxdx f x nxdx n b n 1 2
Do đó, chuỗi Fourier của hàm lẻ chỉ chứa hàm sin, tức là
f x ( )
nx (1.21)
b sinn
(cid:0)
n
1
, 0,
trong đó các hệ số bn được tính theo các công thức (1.20). Vì chuỗi Fourier của hàm lẻ chỉ chứa hàm
sin nên rõ ràng nó luôn luôn hội tụ đến 0 khi x dần tới (nói chung x dần tới k), bất kể giá trị
của f(x) tại các điểm này bằng bao nhiêu.
Ta thường gặp bài toán khai triển hàm f(x) trên đoạn [0,] theo hàm cosin hay hàm sin.
Để khai triển f(x) thành chuỗi theo hàm cosin ta có thể lí luận như sau: Ta thác triển f(x) một cách chẵn
f x
( ), 0
x
f x ( ) 1
f
(
x
),
0
x
từ đoạn [0,] ra đoạn [-,0] (hình 1.6)
1f được gọi là thác triển chẵn của hàm f.
Hàm
f(x)
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Hình 1.6
Khi đó với hàm chẵn vừa thác triển, thì tất cả các lí luận ở trên đều đúng, do đó các hệ số Fourier có
( ) cos
(
0,1, 2,..)
f x
nxdx n
a n
(1.22)
2
0 (
1, 2,..)
0 n
b n
thể được tính theo các công thức
Trong các công thức này chỉ có mặt các giá trị cho trước trên đoạn [0,] của f(x). Do đó, khi tính toán
thực tế có thể không cần làm phép thác triển chẵn như đã nêu.
Để khai triển f(x) thành chuỗi theo hàm sin ta có thể lí luận như sau: Ta thác triển f(x) một cách lẻ từ
f x
( ), 0
f x ( ) 2
x
x
x ),
0
f (
đoạn [0,] ra đoạn [-,0] (hình 1.7).
2f được gọi là thác triển lẻ của hàm f
Hàm
Khi đó các hệ số Fourier được tính theo công thức
0 (
n
0,1, 2,..)
a n
(1.23)
f x
( ) sin
nxdx n
(
1, 2,..)
b n
2
f(x)
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
Hình 1.7
Vì ở đây chỉ có giá trị f(x) trên đoạn [0,] nên cũng như trong trường hợp chuỗi theo hàm cosin, thực
tế không cần thực hiện phép thác triển hàm f(x) từ đoạn [0,] ra đoạn [-,0].
Tuy nhiên để khỏi mắc sai lầm khi sử dụng dấu hiệu hội tụ trong (1.1.3), ta cần phác vẽ đồ thị của hàm
f(x) với thác triển chẵn hay lẻ của nó trên đoạn [-,0] và với thác triển tuần hoàn (theo chu kì 2) trên
x
trục Ox.
0,
Ví dụ 1.4: Tìm chuỗi Fourier cosin của hàm f(x)=x với
Giải
a 0
( ) cos
cos
a
f x
nxdx
x
nxdx
n
2
2
0
0
n
n
cos
1, 2,..)
n
1
1
Theo (1.22) ta có
1 (
n
n
2 2
2 2
0 (
n
1, 2,..)
nb
cos
(cos
cos 3
cos 5
..)
( ) f x
a
nx
x
x
x
n
(cid:0)
a o 2
2
1 9
1 25
4
n
1
Do đó
n=3
n=1
f(x)
f(x)
3
3
2
2
1
1
x
x
1
2
3
1
2
3
x
Hình 1.8
0,
Ví dụ 1.5: Tìm chuỗi Fourier sin của hàm f(x)=1 với
Giải
0 (
n
0,1, 2,..)
a n
f x
nxdx
nxdx
( ) sin
sin
b n
2
2
0
n
nx
n
(1 ( 1) ) (
1, 2,..)
( cos
1)
0 2 n
2 n
Theo (1.23) ta có
sin
x
sin 3
x
sin 5
x
..
f x ( )
(cid:0)
1 3
1 5
4
Do đó
n=5
n=1
f(x)
f(x)
1
1
x
x
1
2
3
4
4
1
2
3
Hình 1.9
, f(x+2)=f(x) x
Ví dụ 1.6: Tìm chuỗi Fourier của hàm f(x)=x2 với
Giải
Ta có f là hàm chẵn, đồ thị của f được vẽ trên hình (1.10)
f(x)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
Hình 1.10
Vì f liên tục, trơn từng khúc nên theo dấu hiệu hội tụ ở (1.1.3), chuỗi Fourier sẽ hội tụ khắp nơi về hàm
3
2 x dx
a o
x 3
2 2 3
2
2
0
0
2
2
cos
sin
cos
sin
x
nxdx
x
nx
nx
nx
a n
x 2
2 n
2 3 n
2
2 1 n
0
0
cos
n ( 1) .
(
1, 2,..)
n
n
4 2 n
4 2 n 0 (
1, 2,..)
n
b n
f x ( )
4(cos
x
cos 2
x
cos 3
x
..)
f. Ta có
2 3
1 2 2
1 2 3
Vậy
f(x)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
f(x)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
Hình 1.11 (n=1,n=3)
, f(x+2)=f(x) x
Ví dụ 1.7: Tìm chuỗi Fourier của hàm f(x)=x với
Giải
Ta có f là hàm lẻ, đồ thị của f được cho trên hình (1.12)
f(x)
3
2
1
x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
-3
Hình 1.12
Theo (1.23) ta có:
0 (
n
0,1, 2,..)
a n
x
sin
nxdx
cos
nx
sin
x
b n
x n
1 2 n
2
0
n
1
cos
(
n
1, 2,..)
n
.( 1)
2 2 n
2 n
f x
x
sin 2
x
sin 3
x
( ) 2(sin
..)
1 3
1 2
Vậy
f(x)
3
2
1
x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
-3
f(x)
3
2
1
x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
-3
Hình 1.13 (n=1,n=3)
1.3.CHUỖI FOURIER CỦA HÀM TUẦN HOÀN CHU KÌ TÙY Ý
1.3.1.Chuỗi Fourier của hàm có chu kì tùy ý
Nếu một hàm f tuần hoàn có chu kì khác 2, ta tìm chuỗi Fourier của nó bằng phép đổi biến số. Giả sử
g t ( )
f x ( )
t
hàm f(x) có chu kì 2l , nghĩa là f(x+2l)=f(x) với mọi x. Đặt
lt
x l
f
và
a
nt
g t ( )
cos
sin
(1.24)
n
nt b n
(cid:0)
a o 2
n
1
thì ta xác định được hàm g có chu kì 2 và xl tương ứng với t . Chuỗi Fourier của hàm g là
g t
ntdt
n
( ) cos
(
0,1, 2,..)
a n
1
g t
ntdt
n
( ) sin
(
1, 2,..)
1
b n
trong đó
n x
f x ( )
cos
sin
Trở lại biến x ban đầu ta có chuỗi Fourier của hàm f(x) là
a n
b n
(cid:0)
n x ll
a o 2
n
1
(1.25)
l
f x
( ) cos
(
n
0,1, 2,..)
dx
a n
1 l
n x l
l
(1.26)
l
dx
f x
( ) sin
(
n
1, 2,..)
1 l
n x l
l
b n
trong đó
f x ( )
x
1x
với 1
và f(x+2)=f(x) với mọi x.
Ví dụ 1.8: Tìm chuỗi Fourier của hàm f xác định bởi:
Đồ thị của hàm f được biểu diễn ở hình (1.14), f có chu kì T=2l=2
Giaûi
f(x)
1
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
Hình 1.14
Từ (1.26) ta có các hệ số Fourier là
0
1
0
1
l
2
2
f x dx ( )
x dx
(
x dx )
xdx
1
a 0
x 2
x 2
1 1
0
l
1 l
1
1
1
0
1
Khi n≥1 ta có:
l
1
1
f x
( ) cos
dx
x
cos(
2
x
cos(
)
dx
n x dx )
n x
a n
1 l
n x l
l
0
1
1
2
2
x
cos(
sin(
)
cos(
)
n x dx )
n x
n x
n
x n
1 2 2
1
0
1
0,
khi n
2
k
cos
n
n
2 2 2
,
2
1
khi n
k
n
4 2 2
1
l
1
f x
( ) sin
dx
x
sin(
n x dx )
0
b n
1 l
n x l
l
1
x
cos(
)
x
sin(
)
(Do
n x là hàm chẵn,
n x là hàm lẻ)
Từ đó, chuỗi Fourier của hàm f là
f x ( )
cos(
)
cos(3
)
cos(5
x
x
x
) ..
(cid:0)
1 2
4 2
4 2 2 3
4 2 2 5
hay
4
n
f x ( )
cos[(2
1)
]
x
1 (cid:0) 2
n
1
2
n
2
2 1
n=1
f(x)
1
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
n=3
f(x)
1
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
Hình 1.15
1.3.2.Chuỗi Fourier của hàm chẵn, hàm lẻ chu kì tùy ý
Giaû söû f(x) laø haøm chaün, tuaàn hoaøn coù chu kì 2l. Tương tự trường hợp haøm coù chu kì 2, ta coù theå
ñònh nghóa chuoãi Fourier cuûa f trong caùc tröôøng hôïp f laø haøm chaün hay haøm leû.
g t ( )
f x ( )
t
và
lt
x l
f
x l
tương ứng với t
. Chuỗi Fourier của hàm g là
Töø keát quaû ôû (1.3.1), vôùi pheùp ñoåi bieán
cos
sin
(1.27)
( ) g t
a
nt
n
nt b n
(cid:0)
a o 2
n
1
trong đó
l
a
g t
( ) cos
ntdt
f x
( ) cos
(
n
0,1, 2,..)
dx
n
1 l
n x l
1
l
l
( ) sin
( ) sin
(
1, 2,..)
g t
ntdt
f x
n
dx
b n
1 l
n x l
1
l
f x
( ) sin
ta ñöôïc haøm g coù chu kì 2 và
n x l
laø haøm leû.
Neáu f(x) laø haøm chaün thì
Do ñoù
l
l
(n=0,1,2,..)
( )cos f x
dx
( )cos f x
dx
1 l
n x l
2 l
n x l
l
0
b =0 (n=1,2,..) n a n
(1.28)
cos
(1.29)
( ) f x
a
n
(cid:0)
a o 2
n x l
n
1
f x
( ) cos
Chuỗi Fourier của haøm f laø
n x l
laø haøm leû. Do ñoù
(
n
0,1, 2,..)
0
a n
l
l
(1.30)
f x
( ) sin
dx
f x
( ) sin
(
n
1, 2,..)
1 l
n x l
1 l 2
n x l
l
0
b n
Neáu f(x) laø haøm leû thì
sin
(1.31)
( ) f x
b n
(cid:0)
n x l
n
1
Chuoãi Fourier cuûa haøm f laø
Ví duï 1.9: Tìm chuoãi Fourier cuûa haøm f(x)= sin x
x
Giaûi
0,
sin
cos
.
xdx
x
f x dx ( )
sin
x dx
a 0
2
2
2
2
0
0
0
0
cos
cos 0
2
4
( ) cos
f x
nxdx
sin cos x
nxdx
na
2
2
0
0
sin(
)
sin(
) x nx dx
x nx
1
0
sin(1
sin(1
)
) n x
n x dx
1
0
cos(1 n x ) n 1
1 cos(1 n x ) n 1
0
n
n
n
n
1
1
1
1
1
1
n
n
n
1
1
n
1
1
1 1
1 1
1
1
, neân Ta coù f laø haøm chaün, chu kì vaø sin x =sinx vôùi
n
n
1
1
1
n
.
.
n
(
1)
1
n
1 n 2 1 n
1 2
1
2
Khi n=1, ta có
sin 2
sin cos x
xdx
xdx
a 1
2
1
0
0
x
cos 2
cos 0
0
cos 2 2
1
1 2
0
0
nb , với mọi n≥1
Vậy chuỗi Fourier của hàm f là
n
1
sin
cos
x
nx
f(x)
(cid:0)
1
1 2 n
2 2
n
2
n=2
f(x)
1
x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n=4
f(x)
1
x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Hình 1.16
f x ( )
2; 2
x x ,
và f(x+4)=f(x)
Ví dụ 1.10: Tìm chuỗi Fourier của hàm số
Ð? th? c?a hàm f du?c bi?u di?n ? hình (1.17)
Giải
f(x)
2
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
Hình 1.17
Ta có f là hàm lẻ, tuần hoàn, có chu kì T=2l=4.
Từ (1.30) ta có các hệ số Fourier
0
(
n
0,1, 2,.
.)
na
l
2
f x
( ) sin
dx
x
sin
b n
1 l
n x l
n x 2
dx
0
l
2
cos
sin
n x 2
n x 2
x 2 n
4 2 2
0
n
1
.4
cos
n
4 n
n 1 n
n
.4
sin
( ) f x
(cid:0)
n x 2
Chuỗi Fourier của hàm f 1 1 n
n
1
n=3
f(x)
2
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
n=7
f(x)
2
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
Hình 1.18
Gi? s? hàm f(x) cĩ chu kì 2l. Theo (1.25) ta cĩ chu?i Fourier c?a hàm f(x) là
a
f x ( )
cos
sin
(1.32)
n
b n
(cid:0)
n x l
n x l
a o 2
n
1
Dạng phức của chuỗi Fourier được xác định bằng công thức Euler
1.3.3.Dạng phức của chuỗi Fourier đối với hàm tuần hoàn chu kì tùy ý
in x l
cos
sin
e
i
; i2=-1
n x l
n x l
Suy ra
in x l
in x l
e
e
cos
2
n x l
in x l
in x l
e
sin
e 2
n x l
Từ đó ta có khai triển chuỗi Fourier dạng mũ
in x l
in x l
in x l
in x l
e
e
f x ( )
[
]
a n
ib n
e 2
e 2
a o 2
n
1
in x l
in x l
(
a n
ib e ) n
a ( n
ib e ) n
1 2
a o 2
1 2
n
n
1
1
Các hằng số được xác định như sau
l
f x dx ( )
c o
1 l 2
a o 2
l
l
a
f x
if x
d
(
)
( ) cos
( ) sin
x
c n
n
ib n
n x l
n x l
1 2
1 l 2
l
l
n x l
dx
f x e ( )
1 l 2
l
l
a
f x
if x
dx
(
)
( ) cos
( ) sin
n
n
ib n
c
n x l
n x l
1 2
1 l 2
l
l
n x l
dx
f x e ( )
1 l 2
l
Như vậy
in x l
in x l
f x ( )
c o
c e n
c e n
(1.33)
n
n
1
1
Thay n bằng –n trong (1.33) ta được
in x l
in x l
f x ( )
c o
c e n
c e n
1
n
n
1
Vậy chuỗi Fourier của hàm f có dạng phức là
in x l
f x ( )
c e n
(1.34)
n
trong đó
l
in x l
( ) f x e
c n
0, 1, 2,..
n
dx (
) (1.35)
1 2 l
l
hệ số Fourier phức của f.
Tìm dãy
nc
Ví dụ 1.11: Cho hàm f(x)=x, với x(-1;1) và f(x+2)=f(x).
1
xdx
0
oc
Ta có
1 2
1
1
in
in
in
in
in x l
xe
dx
c n
2
2
1 2
(
1 2
e in
e ( in
e in
e ) in
)
1
i
e
i e
1
Do
nên
1
nc
( 1)n in
Do đó
n
in x
in x
e
e
f x ( )
(cid:0)
in
1 1
n
1
Giải
1.4.KHAI TRIỂN FOURIER CỦA MỘT HÀM SỐ
Giả sử hàm f liên tục trên đoạn [-l;l]
Đặt
g t ( )
f x ( )
t
và
lt
x l
f
. Chu?i Fourier c?a hàm g là
thì g khả tích trên đoạn
;
a
nt
g t ( )
cos
sin
(1.36)
n
nt b n
(cid:0)
a o 2
n
1
trong đó
( ) cos
(
0,1, 2,..)
g t
ntdt
n
a n
1
( )sin
(
1, 2,..)
g t
ntdt
n
1
b n
1.4.1.Khai triển hàm số trên đoạn [-l;l]
Trở lại biến x ban đầu ta có chuỗi Fourier của hàm f(x) là
a
f x ( )
cos
sin
(1.37)
n
b n
(cid:0)
n x l
n x l
a o 2
n
1
trong đó
l
f x
( ) cos
(
n
0,1, 2,..)
dx
a n
1 l
n x l
l
(1.38)
l
dx
f x
( ) sin
(
n
1, 2,..)
1 l
n x l
l
b n
0
f x ( )
khi 0, x khi ,
x 1 x 0 1
Ví dụ 1.12: Tìm chuỗi Fourier của hàm
1l
Ta có
, các hệ số Fourier là
1
1
b
2
f x dx ( )
f x dx ( )
xdx
a o
x 2
1 2
1 l
0
1
a
1
0
1
b
f x
( ) cos
dx
x
cos(
)
n x
dx
a n
n x l
1 l
0
a
sin(
)
cos(
)
n x
n x
n
1 2 2
x n
1
0
[cos
1]
n
n
n
1]
[( 1)
n
1 2 2 1 2 2
b
1
f x
( ) sin
dx
x
sin(
)
dx
n x
b n
1 l
n x l
a
0
cos(
)
sin(
)
n x
n x
x n
1 2 2
1
0
n
1
cos
n
n 1 n
1 n
Vậy chuỗi Fourier của hàm f là
n
n
1
cos(
)
sin(
)
( ) f x
n x
n x
1 (cid:0) 4
( 1) 2 2 n
1 1 n
n
1
Giải
y
1
x
1
Hình 1.19 (n=5,n=12)
Nếu hàm f(x) xác định trên đoạn [a;b], thì chuỗi Fourier của nó được biểu diễn bởi công thức
n x
f x ( )
cos
sin
a n
b n
(1.39)
(cid:0)
n x ll
a o 2
n
1
l
trong đó
và các hệ số Fourier xác định bởi
b a 2
b
( ) f x dx
a o
1 l
a
b
f x
dx
( ) cos
a n
(n=1,2,3..)
(1.40)
1 l
n x l
a
b
f x
dx
( ) sin
b n
1 l
n x l
a
1.4.2.Khai triển hàm số trên đoạn [a;b]
x
f x ( )
khi khi
1 1 x 1 3
1, 0,
Ví dụ 1.13: Tìm chuỗi Fourier của hàm
l
2
Ta có
, các hệ số Fourier là
b a 2
b
1
3
1
( ) f x dx
( ) f x dx
dx
1
x
a o
1
1 2
1 2
1 2
1 l
a
1
1
b
1
f x
( ) cos
dx
cos
dx
a n
1 l
1 2
n x 2
n x l
a
1
Giải
sin
sin
n x 2
1 2 . n 2
n 2
2 n
1
1
2
sin
sin
k
Với n chẵn, n=2k, k=1,2,3,…
0
k 2
(2
k
sin
( 1)
Với n lẻ, n=2k+1, k=0,1,2,…
k 1) 2
Do đó
k
.
,
0,1, 2,...
k
1
ka 2
1
2 k 2
1
b
1
f x
( ) sin
dx
sin
dx
b n
1 l
n x l
n x 2
1 2
a
1
.
cos
0
n x 2
1 2 . n 2
1
1
Vậy chuỗi Fourier của hàm f là
k
2
cos
( ) f x
1 x
(cid:0)
1 2
1
k 2
2
( 1) 2 k
0
k
f(x)
1
x
1
2
Hình 1.20 (n=5,n=13)
Để khai triển f(x) thành chuỗi theo hàm cosin ta lí luận như sau: Ta thác triển f(x) một cách chẵn từ
đoạn [0,l] ra đoạn [-l,0] (hình 1.21)
f x ( ) 1
( ), 0 f x x f ), (
x l x l
0
Hàm
1f được gọi là thác triển chẵn của hàm f
1.4.3.Khai triển chuỗi Fourier trên đoạn [0,l]
f(x)
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Hình 1.21
Khi đó với hàm chẵn vừa thác triển, thì tất cả các lí luận ở trên vẫn đúng, do đó các hệ số Fourier được
tính theo các công thức
l
f x
( ) cos
dx n (
0,1, 2,..)
a n
(1.41)
n x l
2 l
0 (
1, 2,..)
0 n
b n
Để khai triển f(x) thành chuỗi theo hàm sin ta lí luận như sau: Ta thác triển f(x) một cách lẻ từ đoạn
[0,l] ra đoạn [-l,0] (hình 1.22).
f x ( ) 2
l x
0
( ), 0 f x ( x f
x ), l
Hàm
2f được gọi là thác triển lẻ của hàm f.
f(x)
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
Hình 1.22
Khi đó các hệ số Fourier được tính theo các công thức:
0 (
n
0,1, 2,..)
a n
l
(1.42)
f x
( ) sin
dx n (
1, 2,..)
b n
2 l
n x l
0
Ví dụ 1.14: Tìm chuỗi Fourier cosin của hàm f(x)=x trên đoạn [0,1]
Từ (1.41) ta có các hệ số fourier là
1
l
2
f x dx ( )
2
xdx
1
a o
x 2
2 l
0
0
2
1
0
1
l
f x
( ) cos
dx
2
x
cos
dx
n x
a n
n x l
2 l
0
0
1
2
sin
cos
n x
n x
2
x n
n
1
0
n
2
2
cos
n
1
1
2
2
Giải
1
n
n
Khi n chẵn, n=2k: a2k=0
Khi n lẻ, n=2k+1:
ka 2
1
4 2 2 n
và
0
nb
Vậy chuỗi Fourier của hàm f là
1
( ) ~
1)
f x
k
x
cos (2
2
1 2
4 2
k
0
2
k
1
(n=1,n=5)
f(x)
1
x
1
Hình 1.23
Ví dụ 1.15: Tìm chuỗi Fourier sin của hàm f(x)=x trên đoạn [0,1]
Từ (1.42) ta có các hệ số fourier là
0 (
n
0,1, 2,..)
na
l
1
f x
( )sin
dx
2
x
sin
n x
dx
b n
2 l
n x l
0
0
Giải
1
2
cos
sin
n x
n x
2
x n
n
1
0
n
1
cos
(
n
1, 2,..)
.
n
1
2 n
2 n
Vậy chuỗi Fourier của hàm f là
n
1
( ) ~
sin
f x
x n
1 n
2
n
1
(n=3,n=5,12)
f(x)
1
x
1
Hình 1.24
Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
Ta xét một vật rắn G và gọi u(x,y,z,t) là nhiệt độ của nó tại điểm (x,y,z) G ở thời điểm t. Nếu tại
những điểm khác nhau của vật G có nhiệt độ khác nhau thì nhiệt sẽ truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang
nơi có nhiệt độ thấp.
Giả sử s là một mảnh mặt bất kì khá bé trong vật G. Khi đó, theo định luật về sự truyền nhiệt, nhiệt
, với n là pháp tuyến
lượng Q truyền qua mảnh s trong khoảng thời gian t tỷ lệ với s, t và
u n
của s theo chiều truyền nhiệt (tức là theo chiều giảm của nhiệt độ)
k
Q
s
t (2.1)
u n
trong đó k>0 là hệ số truyền nhiệt trong.
Giả sử vật đang xét là đẳng hướng, tức là tại mọi điểm (x,y,z), nhiệt truyền theo hướng nào cũng như
nhau, thì hệ số k chỉ phụ thuộc (x,y,z) mà không phụ thuộc vào hướng của pháp tuyến với s .
Gọi q là dòng nhiệt, tức là nhiệt lượng đi qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian. Khi đó
từ (2.1) suy ra
q
k
(2.2)
u n
k>0 là hằng số nếu vật đẳng hướng và đồng chất.
Ta xét một thể tích V bất kì trong vật rắn G giới hạn bởi một mặt kín trơn S và tính sự thay đổi nhiệt
lượng trong thể tích V trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 bằng hai cách
Cách 1: Gọi C(x,y,z) là nhiệt dung và (x,y,z) là tỉ khối (mật độ khối) của vật thể tại điểm (x,y,z) thì
nhiệt lượng cần thiết để trong phần thể tích V của vật thể có sự thay đổi nhiệt độ từ u(x,y,z,t1) đến
u(x,y,z,t2) là
, )
( ,
C x y z
x y z V ( , , )
Q 1
u(x,y,z,t )- u(x,y,z,t ) 2
1
Do đó nhiệt lượng cần thiết để trong toàn bộ thể tích V có sự thay đổi nhiệt độ từ u(x,y,z,t1) đến
u(x,y,z,t2) là
C x y z ( , , )
x y z dV ( , , )
Q 1
u(x,y,z,t )-u(x,y,z,t ) 1
2
V
t
2
dt
C
dxdydz
(2.3)
Q 1
u t
V
t 1
t
2
dt
Vì
u(x,y,z,t2)-u(x,y,z,t1)=
u t
t 1
2.1.PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
Cách 2:
(2.4)
Q Q Q 3 2
1
trong đó
Q2 là nhiệt lượng từ ngoài truyền vào thể tích V qua mặt S trong khoảng thời gian từ t1 đến t2;
Q3 là nhiệt lượng sinh ra ở trong thể tích V cũng trong khoảng thời gian đó do các nguồn nhiệt
trong thể tích V.
Từ (2.1) suy ra
t
2
dt
d
k x y z ( , , )
S
(2.5)
Q 2
u t
S
t 1
n
với
là pháp tuyến trong với mặt S, hay
t
2
dt
k
d
S
(2.6)
Q 2
u t
S
t 1
n
với
là pháp tuyến ngoài với mặt S.
Gọi F(x,y,z,t) là mật độ nguồn nhiệt trong thể tích V tại điểm (x,y,z) ở thời điểm t, tức là nhiệt lượng
sinh ra hay mất đi trong một đơn vị thể tích, thì
t
2
dt
F x y z t dxdydz , )
( ,
,
(2.7)
Q 3
V
t 1
Từ đẳng thức (2.4), ta có
t
t
t
2
2
2
dt
k
C
dxdydz
dt
dS
dt
Fdxdydz
(2.8)
Q 1
u t
u t
V
S
V
t 1
t 1
t 1
Theo công thức Gauss-Ostrogradsky ta có
)
k
ds
( div k u
k undS
u n
S
S
V
k
k
k
dxdydz
x
u x
y
u y
z
u z
V
Do đó đẳng thức (2.8) có thể viết
t
2
dt
k
k
k
F dxdydz
0
(2.9)
u t
x
u x
y
u y
z
u z
V
t 1
C
Vì kho?ng th?i gian (t1,t2) và th? tích V ddđu?c l?y tùy ý nên từ đẳng thức (2.9) suy ra với mọi
(x,y,z)G và với mọi t, biểu thức dưới dấu tích phân phải bằng 0. Do đó
C
k
k
k
F
(2.10)
u t
x
u x
y
u y
z
u z
Phương trình (2.10) được gọi là phương trình truyền nhiệt trong vật thể đẳng hướng, không đồng chất.
Nếu vật thể đẳng hướng và đồng chất thì C, , k đều là những hằng số và phương trình (2.10) có dạng
2
2
2
2
,
a
f
( , , ) x y z t
(2.11)
u t
u 2 x
u 2 y
u 2 z
trong đó
2
a
k C
( ,
,
( ,
,
, ) f x y z t
, ) F x y z t
1 C
Nếu trong vật thể đang xét không có nguồn nhiệt, tức là F(x,y,z,t)=0, thì phương trình (2.11) trở thành
phương trình truyền nhiệt thuần nhất
2
2
2
2
a
(2.12)
u t
u 2 x
u 2 y
u 2 z
Ta xét hai trường hợp riêng
1)Nhiệt độ u chỉ phụ thuộc x,y,t, chẳng hạn, nếu ta xét sự truyền nhiệt trong một bản phẳng đẳng
hướng, đồng chất rất mỏng đặt trên mặt phẳng Oxy, thì nhiệt độ u(x,y,t) tại điểm (x,y) ở thời điểm t
thỏa mãn phương trình
2
2
2
a
f
( , , ) x y t
(2.13)
u t
u 2 x
u 2 y
2)Nhiệt độ u chỉ phụ thuộc x, t, chẳng hạn, nếu ta xét sự truyền nhiệt trong một thanh đồng chất, đẳng
hướng, rất mỏng đặt dọc theo trục Ox, thì nhiệt độ u(x,t) tại điểm x của thanh tại thời điểm t thỏa
mãn phương trình
2
2
f x
( , )
a
t
(2.14)
u t
u 2 x
Trong hai trường hợp trên, ta phải giả thiết không có sự trao đổi nhiệt giữa bản phẳng hay thanh với
môi trường xung quanh.
Cho vật thể V với mặt S bao xung quanh, các điều kiện biên khác nhau có thể đặt trên biên S như sau
1)Điều kiện Dirichlet (hay bài toán biên loại 1) đòi hỏi nhiệt độ được xác định trên biên của miền, mà
tại đó phương trình nhiệt giải được. Loại điều kiện biên này có dạng
u x y z t , )
( ,
,
( ,
,
(2.15)
x y z ( , , )
f x y z t , ) 1
S
trong đó f1 là nhiệt độ đã được xác định.
2)Điều kiện biên Neumann (hay bài toán biên loại 2) đòi hỏi dòng nhiệt đi qua biên được xác định rõ
trên biên của miền, mà tại đó phương trình truyền nhiệt giải được. Loại điều kiện biên này có dạng
2.2.CÁC ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU VÀ ĐIỀU KIỆN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT
( ,
,
(2.16)
x y z ( , , )
, ) f x y z t 2
x y z ( , , )
S
S
( , , ) , u x y z t n
trong đó f2 là dòng nhiệt đã được xác định.
3)Điều kiện biên Robin (hay bài toán biên loại 3) đòi hỏi dòng nhiệt đi qua biên và nhiệt độ trao đổi
với môi trường xung quanh được xác định rõ trên biên của miền, mà tại đó phương trình truyền nhiệt
giải được. Loại điều kiện biên này có dạng
h u x y z t . ( , , )
,
( ,
,
(2.17)
x y z ( , , )
f x y z t , ) 3
x y z ( , , )
S
S
u x y z t , ) , ( , n
trong đó h>0 là hằng số, f3 là dòng nhiệt đã được xác định.
Chú ý rằng, dòng nhiệt trao đổi với môi trường xung quanh phụ thuộc vào cả nhiệt độ của môi trường.
4)Điều kiện hỗn hợp là kết quả của các điều kiện loại 1 và loại 2.
Giả sử
3R là miền bị chặn. Trong không gian (x,y,z,t) xét hình trụ Q có đáy là miền và các
đường sinh song song Ot. QT là phần của hình trụ đó giới hạn phía dưới bởi mặt phẳng t=0 và phía
trên bởi mặt phẳng t=T>0. Phần biên của hình trụ QT cấu tạo từ đáy dưới của nó và mặt xung quanh, ta
Q
kí hiệu là . Kí hiệu
Q Q T
T
T
Xét bài toán: Tìm nghiệm trong QT
2
2
2
2
a
(2.18)
u 2 z
u 2 x
u 2 y
u t
u x y z ( ,
,
,0)
x y z ( ,
, ),( ,
x y z , )
(2
.19)
p t
, ),
t
0,
(
T
(2.20)
Su
S
p
,
,
với
, là các hàm liên tục cho trước.
0
t
S
S
2.3.NGUYÊN LÍ CỰC ĐẠI
Hàm u(x,y,z,t)
thỏa mãn phương trình (2.18) trong hình trụ QT đạt giá trị lớn nhất và nhỏ
TC Q
nhất trong
TQ trên
u
u
(2.21)
max
max TQ
u
u
(2.22)
min
min TQ
Chứng minh
Ta chứng minh (2.21), còn (2.22) được chứng minh tương tự bằng cách xét hàm –u(x,y,z,t).
u x y z t , )
,
(
,
,
)
,
,
)
, 0
T
Đặt M= max ( ,
, với (
t
u x y z t , o
o
o
o
x y z o o
o
o
Q T
Định lí (nguyên lí cực đại)
max ( ,
u x y z t , )
,
m=
Giả sử m < M. Xét hàm
2
2
2
,
( ,
,
(
)
(
)
(
)
( , , ) v x y z t
, ) u x y z t
x
y
z
z
x o
y o
o
6
M m 2 d
với d là đường kính .
Trên ta có
2
v
m
d .
M
m
M m M 6
m 5 6
,
,
M m 2 d )
(
,
,
M
6 v x y z t ( , o
o
o
o
6 u x y z t ) , o
o
o
o
Suy ra v nhận giá trị cực đại ngoài .
(
)
,
,
(
)
,
,
Giả sử v nhận giá trị cực đại trong
x y z t với , 1 1
1
1
TQ tại
x y z , 0 1 1 2 2 2 , , 0, 0 ( , ) tại Khi đó ta có x y z t
,
,
1
1
1 1 u
2
x
u
2
y
u
2
z
v
t
0 0 ). (nếu t1 , nếu t1=T thì v
t
v
t
( , ) thì Vậy tại x y z t
,
,
1
1
1 1 2 2 2 2 a 0 (2.23) v
2 v
t
v
2
x
v
2
y
z
Mặt khác từ (2.18) suy ra 2 2 2 2 a v
2 v
t
v
2
x
v
2
y
z
2 2 2 m 2 2 a a M
2
d u
t
u
2
x
u
2
y
u
2
z
2 0 a
M m
2
d Điều này mâu thuẫn với (2.23). Vậy (2.21) được chứng minh. Tương tự ta có (2.22). Xét bài toán 2 2 a l (2.24) x
0 u
t
t
u
(0, )
u x
( , 0) u
2 , 0
x
u l t
( , )
f x
( ) (2.25)
(2.26)
2.4.PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG THANH HỮU HẠN Đây là điều kiện Dirichlet xác định nhiệt độ tại các đầu mút của thanh và f(x) là nhiệt độ phân bố lúc
ban đầu, f là hàm liên tục, C1 từng khúc và f(0)=f(l)=0. Theo phương pháp tách biến Fourier, ta tìm nghiệm của phương trình (2.24) dưới dạng u u x t
( , ) X x T t
( ). ( ) 0
(2.27) Thay (2.27) vào (2.24) ta được ' 2 X x T t
( )
( ) "
a X x T t
( ) ( ) 2 a X x T t
( ) ( ) Chia hai vế cho , ta được (2.28) '
T t
( )
2
a T t
( ) "
X x
( )
X x
( ) Vế trái (2.28) chỉ phụ thuộc t, vế phải chỉ phụ thuộc x, nghĩa là cho dù các biến số thay đổi, nhưng tỉ số luôn bằng nhau. Nó chỉ có thể thỏa mãn nếu bằng một hằng số , do đó tồn tại hằng số thực thỏa
'
T t
( )
2
a T t
( ) "
X x
( )
X x
( ) Từ đó ta có hai phương trình vi phân sau '
T t
( ) T t
( ) 0 ( ) 0,
2
a T t
"
X x
( ) X x X x
( ) 0 2.30 ( ) 0,
(2.29)
Các điều kiện biên (2.25) cho ta X X l do T t (0) ( ) 0
( ) 0
t
u
(0, )
u l t
( , )
T t
X
(0) ( ) 0
X l T t
( ) ( ) 0
Vậy để xác định X(x) ta đi tới bài toán về giá trị riêng (bài toán Sturm-Liouville) "( )
X x X x
( ) 0 X (0) 0, X l
( ) 0
2.31 2.30
Sau khi biện luận các giá trị của , ta thấy rằng để (2.30) có nghiệm không tầm thường thì >0. Khi đó ta có cos sin (2.32) x
X x C
( )
1 x C
2 trong đó C1 và C2 được xác định từ điều kiện (2.31) X (0) 0 C
1 X l
( ) C sin 0 2.34 l (2.33)
2 Từ (2.34), do C2 0 (nếu C2 =0 thì X(x)0) suy ra sin n l (2.35) 0
l
n
l Do đó bài toán chỉ có nghiệm không tầm thường khi giá trị riêng 2 (2.36) Với mỗi trị riêng có một hàm riêng tương ứng được viết ở dạng sin (2.37) X x
( )
n (chọn C2 =1) n x
l , nghiệm của phương trình (2.29) theo biến t là Ứng với trị riêng n 2 n a
l
(2.38) ( )
T t
n A e
n với An là các hằng số tùy ý. Vậy các hàm 2 n a
l
.sin ( , )
u x t ( )
( )
X x T t (2.39) n n n A e
n n x
l là các nghiệm riêng của phương trình (2.24), thỏa mãn các điều kiện biên (2.25). Ta lập chuỗi 2 n a
l
.sin ( , )
u x t (2.40) A e
n n x
l n 1
Từ điều kiện đầu (2.26) ta có ( , 0) sin u x ( )
f x A
n
n x
l n 1
Do đó cần khai triển f(x) theo sin trong khoảng (0,l). Việc tính các hệ số Fourier sẽ cho ta l f x ( ) sin ( n 1, 2,..) dx (2.41) A
n 2
l n x
l 0 Vậy nghiệm của bài toán được cho bởi chuỗi (2.40) với các hệ số An xác định ở các công thức (2.41).
Vì f là hàm liên tục, C1 từng khúc và f(0)=f(l)=0 nên chuỗi (2.40), với các hệ số xác định theo công thức (2.41), hội tụ tuyệt đối và đều tới hàm f(x). n , 1, 2,3,. ..
n n
l
2 2 , 0 3 (2.42) x
u
t
t
u
(0, ) 0 (2.43) u
2
x
u l t
( , )
u x x ( , 0) (2.44) Gi?i Theo phương pháp tách biến Fourier, ta tìm nghiệm của phương trình (2.42) dưới dạng u u x t
( , ) X x T t
( ). ( ) 0 (2.45) Ví d? 2.1: Gi?i phuong trình Thay (2.45) vào (2.42) ta được: " ' X x T t
( ) X x T t
( ) ( ) ( ) 2
X x T t
2 ( ) ( ) Chia hai vế cho , ta được (2.46) '
( )
T t
T t
2 ( ) "
X x
( )
X x
( ) và không phụ thuộc x Vế trái (2.46) không phụ thuộc x, vế phải không phụ thuộc t, do đó cả ''X
X 'T
T và t, nghĩa là tồn tại hằng số thực thỏa mãn
'
T t
( )
T t
2 ( ) "
X x
( )
X x
( ) Từ các điều kiện biên (2.43) cho ta u x X ( , 0) X X (0) (3) 0
u t
(3, ) X T t
(3) ( ) 0 T t
(0) ( ) 0
Do đó ta cần giải bài toán về trị riêng: Tìm giá trị của tham số để có nghiệm không tầm thường của bài toán '' X 0, X (0) X X
(3) 0
(2.47) Sau khi biện luận các giá trị ta thấy rằng để (2.47) có nghiệm không tầm thường thì >0. Khi đó ta có cos sin x
(2.48) X x C
( )
1 x C
2 X (0) 0
(2.49) C
1 X (3) sin 3 0 C
(2.50) 2 Suy ra phương trình tìm trị riêng sin 3 3 n 0
(2.51) n
3 Do đó, bài toán chỉ có nghiệm không tầm thường khi giá trị riêng 2 Tương ứng ta có các hàm riêng sin (chọn C2 =1) (2.53) ( )
X x
n n x
3 Giải phương trình đối với T(t) ta được 2 t t 2
n 2 2
n
2
3 T t
( ) e e (2.54) T t
( )
n Ta tìm được vô hạn các nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng là n , 1, 2,3, .. (2.52)
n n
3
u x t
( , ) u x t
( , ) X x T t
( )
( ) n n n 2 t 2 2
n
2
3 e n .sin ( 1, 2,3,...) (2.55) n x
3 Theo nguyên lí chồng chất nghiệm, ta có nghiệm tổng quát 2 t 2 2
n
2
3 u x t
( , ) .sin (2.56) A e
n n x
3 n 1
Từ điều kiện đầu (2.44) ta có u x ( , 0) A
sinn
x n x
l n 1
Do đó cần khai triển chuỗi Fourier sin của hàm f(x)=x trong khoảng (0,3). Việc tính các hệ số Fourier cho ta 3 3 x dx sin cos sin A
n 2
3 n x
3 2
3 n x
3 n x
3 n 3
x
n
2
3
2
2
0
0 cos n (n=1,2,…) (2.57) 6
n
1 .6
n
Vậy nghiệm của bài toán được cho bởi chuỗi (2.56) với các hệ số An xác định ở các công thức (2.57). Xét bài toán 2 2 ( , ) , 0 (2.58) a f x t l x
( , ) 0 (2.59)
(2.60) u l t u
u
2
t
x
( , 0) 0
u x
(0, )
t
u
với f là hàm liên tục, liên tục từng khúc và với mọi t>0 thỏa mãn f(0,t)=f(l,t)=0. f
x
Ta tìm nghiệm của bài toán (2.58),(2.59), (2.60) dưới dạng u x t
( , ) ( ).sin (2.61) T t
n n x
l n 1
Như vậy điều kiện biên (2.60) được thỏa mãn. Xét f(x,t) như hàm của x và phân tích nó thành chuỗi Fourier theo sin trên (0,l) f f x t
( , ) t
( ) sin (2.62) n n x
l n 1
2.5.PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHÔNG THUẦN NHẤT l f ( )
t ( , ) sin
x t dx với (2.63) n 2
l n x
l 0 Thay (2.61) vào (2.58) ta được 2 f 0
( )
T t
n n n a
l n x
l n 1
'
( )
T t
n
( ) sin
t
Đặt , ta có mọi hệ số của chuỗi Fourier trên phải bằng 0, nghĩa là
n n a
l t
( ) (2.64) '
T t
( )
n 2
T t
( )
n f
n 0 ( , 0) (0).sin u x Từ (2.59) ta có T
n n x
l n 1
Từ đó ta nhận được các điều kiện ban đầu của Tn(t) là Tn(0)=0 (2.65) Nghiệm của bài toán (2.64),(2.65) được cho bởi công thức t ) t e ( ) d T t
( )
n 2 (
f
n
n 0 Thay vào chuỗi (2.61) ta nhận được nghiệm của bài toán (2.58), (2.59), (2.60) dưới dạng t 2 (
)
t
n e f u x t
( , ) .sin (2.66) n n x
l n 1
0
d
( )
( ) Thế biểu thức nf từ (2.63) vào (2.66), ta biến đổi nghiệm u(x,t) như sau t l 2 (
t
)
n u x t
( , ) e sin sin f d d ( , )
n x
l n 1
2
l
n
l
0 0 t l G x
( , ( , ) d d ) f t , 2.67 0 0 2 ( t )
n x
l
G x
( , , e sin sin (2.68) t
)
với 2
l n x
l n
l n 1
2 2 a x
2 , 0 l (2.69) x
t
(1, ) 0 (2.70)
(2.71) u
u
2
t
x
( , 0) 0
u x
u
t
(0, )
u
Ví dụ 2.2: Giải phương trình Khai triển nghiệm của bài toán (2.69),(2.70),(2.71) dưới dạng u x t
( , ) ( ).sin n x (2.72) T t
n n 1
Giải Khai triển hàm 2x thành chuỗi C n x sinn (2.73) n 1
với 1 C 4 cos sin n x dx
)
n x
n x
n
2 2 sin(
x n x
n
1
2
2
1
0 0 n 1
.4 cos (2.74) n
1
n
4
n
Thay (2.72) vào phương trình (2.69) và chú ý (2.73) , ta có 2
2
n n '
T t
( )
n n 1
n n T t C
.
( ) sin 0 n x
n C (2.75) '
T t
( )
n 2
T t
( )
n n n Đặt , ta có mọi hệ số của chuỗi Fourier trên phải bằng 0, nghĩa là 0 ( , 0) (0).sin u x T
n n x
l n 1
Từ (2.70) ta có Từ đó ta nhận được các điều kiện ban đầu của Tn(t) là Tn(0)=0 (2.76) t 2 (
t
)
n e T t
( )
n C d
n Nghiệm của bài toán (2.75),(2.76) được cho bởi công thức 0 (2.77) t (
)
t
2
n e u x t
( , ) .sin n x
C d
n n 1
0
t n 1
4 n 2 2
)
(
t
. .si e nn x
( 1)
n
n 1
0
d
Thay (2.77) vào chuỗi (2.72) ta nhận được nghiệm của bài toán (2.69), (2.70), (2.71) dưới dạng 3.1.PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY Xét một sợi dây có chiều dài l cố định ở hai đầu mút. Khi ở trạng thái tĩnh, dây có dạng đường thẳng. Ta chọn đường thẳng này làm trục Ox và xem các đầu dây trùng với các điểm x=0 và x=l. Mỗi điểm của sợi dây có thể biểu thị bằng hoành độ x của nó. Ta mô tả quá trình dao động của dây theo vị trí của mỗi điểm đã cho của sợi dây tại các thời điểm khác nhau, bằng cách đưa vectơ dịch chuyển của sợi dây
u ( ; ), ( ; ), u x t u x t u x t
( ; )
1 2 3 tại vị trí x và tại thời điểm t có dạng
u Để đơn giản, ta giả sử quá trình dao động của sợi dây chỉ nằm trong mặt phẳng (u,x) và vectơ dịch chuyển vuông góc với trục Ox tại thời điểm bất kì. Như vậy, việc mô tả quá trình dao động chỉ cần một hàm u(x;t) đặc trưng cho độ dịch chuyển vuông góc với sợi dây. tu x u A B 2 T2 tu x 1 x x x+ x O Hình 3.1. Dao động của dây Xét sợi dây như sợi chỉ đàn hồi dễ uốn, về mặt toán học, khái niệm dễ uốn thể hiện ở chỗ sức căng xuất hiện trong dây luôn luôn hướng theo tiếp tuyến với dạng đường cong tức thời của nó, điều đó biểu thị dây không bị cản trở khi uốn cong. -Sức căng dây t tại mỗi điểm không phụ thuộc thời gian. Thật vậy, độ lớn của sức căng xuất hiện trong dây do đàn hồi có thể được tính theo định luật Hooke. Xét dao động nhỏ của dây và bỏ qua bình
phương của ux so với 1 ( (ux)2 <<1 ). Khi sử dụng điều kiện này, ta tính được độ dài đường cong x
2 2 S ' 1 u dx x
2 x
1 x S x
1 của sợi dây khi dao động trên đoạn [x1,x2] Như vậy, trong giới hạn của bài toán lí tưởng này, ta có thể coi độ dài của sợi dây không đổi khi dao động. Do đó, theo định luật Hooke, độ lớn sức căng t tại mỗi điểm không thay đổi theo thời gian. -Sức căng T tại mỗi điểm không phụ thuộc vào tọa độ x, tức là
T x T
o (hằng số) T x ( ).cos T x
( ) T x
( )
x u 1 x T x
( )
( ).tan ( ).sin T x T x T x u
( ). 2
T x
( )
u x Thật vậy, hình chiếu sức căng T trên trục Ox và Ou kí hiệu là Tx và Tu. trong đó là góc giữa tiếp tuyến với đường cong u(x;t)và trục Ox. Trên đoạn [x1,x2] của sợi dây có ba lực tác động Lực căng hướng theo tiếp tuyến với sợi dây tại A và B; Ngoại lực vuông góc với Ox vì dây dao động ngang; Lực quán tính vuông góc với Ox vì dây dao động ngang. Ta sử dụng nguyeân lí D’Alembert: Trong chuyeån ñoäng cuûa ñoaïn daây, toång caùc löïc taùc ñoäng vaøo ñoaïn daây ñoù laø baèng 0. 0
T x
2
x
T x
1
x
T x
x
2
T x
1
x Ta chieáu tất cả các lực leân trục Ox seõ nhaän ñöôïc T x
( ) T
o
Để thuận tiện, ta đưa vào một số kí hiệu u u x t
( ; ) Do tính tùy ý của đoạn [x1,x2], suy ra sức căng không phụ thuộc x ( )x : độ dịch chuyển dao động ngang của dây : mật độ khối lượng chiều dài của dây T=T(x) : Sức căng của dây w=w(x) : ngoại lực tính trên một đơn vị độ dài. u
t u
t
2 : tốc độ dao động ngang của sợi dây. u
tt u
2
t
: gia tốc dao động ngang của sợi dây. : hệ số tắt dần tuyến tính, với giả thiết lực tắt dần tỉ lệ với vận tốc dao động của sợi dây. x t
; ) u x
(
, Xét đoạn dây với mật độ tính trên một đơn vị độ dài nằm trong khoảng giữa x và x . Trên hình ( ; )
u x t
x
x
x , tức là x t
;
u x
tan , tan
1
2
u x t
;
x
x
là độ dốc của tiếp tuyến với đường cong ở các đầu mút x, (3.1), các đạo hàm x bao gồm: ngo?i l?c w x và lực làm sóng yếu đi (lực tắt dần) Lực bên ngoài tác dụng lên đoạn ;x ut x , trong đó lực tắt dần tỉ lệ với vận tốc dao động của dây và bỏ qua trọng lực. Mọi chuyển động hầu hết theo phương thẳng đứng, do đó sức căng theo phương chuyển động ngang trong trạng thái cân T x
( ) cos T x ( ) cos x
T
2
1 bằng và như nhau tại mọi điểm Aùp dụng định luật Newton theo phương thẳng đứng của dao động, tức là khối lượng nhân với gia tốc 2 x
2
u x
x x
. 2 x
2 t
t ; x
2
u x
T x x T x
( ) sin ( ) sin x
x
2
1 x
2 t
w x
t ; x
2
u x
T x (tan tan ) x
.
2
1 x
2 t
w x
bằng tổng hợp lực tác dụng lên dây theo phương thẳng đứng Chia hai vế cho x, rồi lấy giới hạn khi x0 và chú ý rằng x t
; ) u x
(
T T
x
( ; )
u x t
x
lim
x
0
x ( ; )
u x t
x
T
x
2 T w x t
( ; ) ta thu được phương trình dao động của dây
x u
2
t
u
x
( ; )
u x t
x
u
t
0w
0, . (3.1) 2 a Trường hợp 1: Mật độ và sức căng T=To là hằng số với T
2 2 2 a Đặt , ta thu được phương trình sóng 1 chiều u
2
t
u
2
x 0w . (3.2) 2;
a k Trường hợp 2: Mật độ và sức căng T=To là hằng số với T
2 2 2 k a Đặt ta thu được phương trình điện báo u
2
t
u
t
u
2
x
(3.3) 0, wg , trong đó g là gia tốc trọng Trường hợp 3: Mật độ và sức căng T=To là hằng số với 2 a trường. T
2 2 2 a g
, ta thu được phương trình dao động của dây dưới tác dụng của trọng lực Đặt u
2
t
u
2
x
2 0w r x T a p x
( ),
( )
, ta (3.4) và Trường hợp 4: Mật độ và sức căng T phụ thuộc vào tọa độ 2 p x
( ) . (3.5) u
2 r x
( )
2
a
x
u
x
t
thu được 3.2.CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY Để tìm nghiệm dưới dạng tường minh, cần phải có các điều kiện biên cho phương trình dao động. Các dạng điều kiện biên cho phương trình dao động của dây thường có dạng sau u t
(0; ) u l t
( ; ) g t
( )
1
g t
( )
2 1)Điều kiện biên Dirichlet: Sự di chuyển của các đầu dây có dạng g t
( )
3 g t
( )
4 u
t
(0; )
x
u l t
( ; )
x
2)Điều kiện biên Neumann: Đạo hàm của các đầu dây có dạng 3)Điều kiện biên Robin: Còn được gọi là điều kiện biên hỗn hợp, là tổ hợp tuyến tính của hai điều kiện hu g t
5 ( ) x 0
u
n
hu 6 ( )
g t x l
u
n
n
.u n biên trên. Khi đó độ dịch chuyển và độ dốc của các đầu dây có dạng u
n
trong đó = grad là vectơ pháp tuyến đơn vị. , u x t
( ; ) f x ( ), g x
( ) u x
( ;0)
x
Điều kiện ban đầu cho bài toán dao động của dây là hình dạng ban đầu và vận tốc ban đầu 3.3.BÀI TOÁN THỨ NHẤT Ta xét bài toán dao động tự do của dây rung với hai đầu mút cố định, tức là tìm nghiệm u của phương 2 2 2 a (0 l t
, 0, a 0) x
trình: u
2
t
u
2
x
(3.6) u t
(0; ) u l t t ( ; ) 0,
0
thỏa mãn các điều kiện biên và điều kiện đầu như sau ( ;0) g x
( ) (3.7) tu x u(x;0)=f(x), (3.8) trong đó f và g là các hàm liên tục trên [0;l], triệt tiêu khi x=0 và x=l. Bài toán đã được chứng minh có nghiệm duy nhất trong lí thuyết phương trình đạo hàm riêng. Ở đây ta dùng phương pháp tách biến Fourier để tìm nghiệm. Trước hết ta tìm nghiệm riêng u không đồng nhất u x t
( ; ) X x T t
( ) ( ) 0, có dạng tách biến (3.9) '' 2 X x T t
( ).
( ) ''
a X x T t
( ). ( ) . Thay dạng này vào (3.6) , ta được: ''
X x
( )
X x
( ) ''
T t
( )
2
a T t
. ( ) Suy ra Vế phải phụ thuộc t, vế trái phụ thuộc x, nghĩa là cho dù các biến số có thay đổi, nhưng tỉ số luôn luôn ''
X x
( )
X x
( ) ''
T t
( )
2
a T t
. ( ) bằng nhau. Nó chỉ có thể thỏa mãn nếu bằng một hằng số được chọn là -, với là hằng số. Như vậy '' ( )
X x X x
( )
. Ta nhận được hai phương trình vi phân '' T 2.
a
T
. (3.10) , X(x)0 (3.11) , T(t)0 X (0) X l
( ) 0 ( do T t
( ) 0) t
(0; )
u
u l t
( ; ) (0)
T t
( )
X
X l T t
( )
( )
0
0
Các điều kiện biên (3.7) cho ta X (0) X l ( ) 0 Để điều kiện đầu được thỏa mãn thì (3.12) X 0, X (0) X l
( ) "
X
0
Giải bài toán đơn giản nhất về trị riêng: Tìm giá trị của tham số để phương trình (3.13) có nghiệm không tầm thường. Lí thuyết phương trình vi phân cho thấy để (3.13) có nghiệm không tầm thường thì phải dương. Khi X x
( ) cos sin x C
x
C
1 2 đó, nghiệm của bài toán (3.13) có dạng X (0) 0, X l
( ) C sin 0 x
C
1 2 (C1, C2 là các hằng số ) sin 0 l
Suy ra phương trình tìm trị riêng n
l (3.14) 2 n ( 1, 2,3,.. )
n n
l
Tương ứng ta có các hàm riêng sin (3.15) ( )
X x
n n x
l Với trị riêng đã cho, nghiệm của phương trình (3.11) theo biến t có dạng cos sin (3.16) T
n A
n B
n n at
l n at
l trong đó An, Bn là các hằng số tùy ý. Suy ra nghiệm riêng (3.9) có dạng cos sin sin ( )
( )
X x T t (3.17) ( ; )
u x t
n n n A
n B
n n at
l n at
l n x
l
Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát u dưới dạng chuỗi sau u x t
( ; ) ( cos sin ) sin (3.18) A
n B
n n at
l n x
l n at
l n 1
Khi đó điều kiện đầu (3.8) xác định cho ta các hệ số tùy ý An, Bn . Ta có: ( ;0) sin u x ( )
f x A
n n x
l n 1
( ;0) sin ( )
g x u x
t B
n n a
l n x
l n 1
Bằng cách khai triển f và g theo chuỗi sin ta được l f x dx ( ) sin A
n 2
l n x
l 0 (n=1,2,..) (3.19) l dx g x ( ) sin B
n n x
l 2
an
0 Vậy nghiệm của bài toán được cho bởi (3.18) với các hệ số An, Bn như trên. Do đó bài toán chỉ có nghiệm không tầm thường khi giá trị riêng Ta xét bài toán tìm nghiệm u của phương trình biểu diễn dao động của một sợi dây dài l có hai đầu mút cố định, hình dạng ban đầu của sợi dây là một tam giác có độ cao bằng h, chân đường cao tại l
x ,
0
2 vận tốc ban đầu bằng không (hình 3.2). u(x,t)
h
O l/2 l x
Hình 3.2 Phương trình dao động của dây là 2
a u (3.20) u
tt xx thỏa mãn các điều kiện biên và điều kiện ban đầu như sau u t
(0; ) u l t ( ; ) 0 (3.21) 2 , khi 0 x
hx
l l
2 u x ( ;0) f x
( ) ; ( ;0) 0 (3.22) u x
t l
( x khi
), l x
h
2
l l
2
Bài toán đã được chứng minh có nghiệm duy nhất trong lí thuyết phương trình đạo hàm riêng. Ở đây ta dùng phương pháp tách biến Fourier để tìm nghiệm. Trước hết ta tìm nghiệm riêng u không đồng nhất 0, có dạng tách biến u x t
( ; ) X x T t
( ) ( ) (3.23) 2 2
a u X x T t
"( ) ( ) a X x T t
( ) "( ) Ta có u
tt xx Suy ra '' 2 ''
X x
( )
( )
X x a T t
.
( )
( )
T t Vế phải phụ thuộc t, vế trái phụ thuộc x, nghĩa là cho dù các biến số có thay đổi, nhưng tỉ số luôn luôn bằng nhau. Nó chỉ có thể thỏa mãn nếu bằng một hằng số được chọn là -, với là hằng số. Như vậy
''
X x
( )
X x
( ) ''
T t
( )
2
a T t
. ( ) Ta nhận được hai phương trình vi phân ''( )
X x X x
.
( ) (3.24) , X(x)0 3.4.BÀI TOÁN THỨ HAI '' T a 2.
T
. (3.25) , T(t)0 Các điều kiện biên (3.21) cho ta X (0) X l
( ) 0 ( do T t
( ) 0) t
u
(0; )
u l t
( ; ) T t
X
( )
(0)
X l T t
( )
( )
0
0
Để điều kiện đầu được thỏa mãn thì X (0) X l ( ) 0 (3.26) Giải bài toán đơn giản nhất về trị riêng: Tìm giá trị của tham số để phương trình X 0, X (0) X l
( ) "
X
0
(3.27) có nghiệm không tầm thường. Lí thuyết phương trình vi phân cho thấy để (3.27) có nghiệm không tầm thường thì phải dương. Khi đó ta có cos sin x
X x C
( )
1 x C
2 (C1, C2 là các hằng số ) X (0) 0, X l
( ) sin 0 x
C
1 C
2 Suy ra phương trình tìm trị riêng sin 0 l
(3.28) n
l Do đó bài toán chỉ có nghiệm không tầm thường khi giá trị riêng 2 n , 1, 2,3, .. (3.29)
n n
l
Tương ứng ta có các hàm riêng sin (3.30) X x
( )
n n x
l Với trị riêng đã cho nghiệm của phương trình (3.25) theo biến t có dạng n at
cos sin (3.31) T
n A
n B
n n at
ll trong đó An, Bn là các hằng số tùy ý. Suy ra nghiệm riêng (3.23) có dạng cos sin sin ( ; )
u x t ( )
( )
X x T t (3.32) n n n A
n B
n n at
l n at
l n x
l
Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát u dưới dạng chuỗi sau ( cos sin ) sin ( ; )
u x t (3.33) A
n B
n n at
l n at
l n x
l n 1
Khi đó điều kiện đầu (3.22) xác định cho ta các hệ số tùy ý An, Bn . Ta có ( ;0) sin u x ( )
f x A
n n 1
sin ( ;0) g x ( ) 0
B
n u x
t n x
l
n a
l n x
l n 1
Bằng cách khai triển f và g theo chuỗi sin ta được l f x dx ( ) sin A
n 2
l n x
l 0 x ) sin dx sin dx l
2
2 2
l hx
l n x
l l
2 2 (
h l
l
l n x
l 0 l
2 l l
2 sin ( ) sin x dx l x dx h
4
2
l n x
l h
4
2
l n x
l 0 l
2 sin 2 (n=1,2,..) (3.34) n
2 8
h
2
n
l ( ) sin 0 g x dx B
n n x
l 2
an
0 Vậy nghiệm của bài toán được cho bởi (3.33) với các hệ số An, Bn như trên. Ta xét bài toán tìm nghiệm u của phương trình biểu diễn dao động cưỡng bức của một sợi dây có hai đầu mút cố định 2 2 (
x x 1, t 0) x
1) (0
(3.35) u
2
t
u
2
x
thỏa mãn các điều kiện biên và điều kiện đầu như sau u t
(0; ) u t t 0 (1; ) 0,
(3.36) (0 1) x u x ( , 0) ( ;0) 0 , (3.37) '
u x
t Bài toán đã được chứng minh có nghiệm duy nhất trong lí thuyết phương trình đạo hàm riêng. Ở đây ta dùng công cụ chuỗi Fourier để giải nghiệm bài toán. Ta khai triển hàm f(x;t)=x(x-1) thành chuỗi sin ( ) sin b t
k , với l=1 f(x;t)= k x
l k 1
Tích phân từng phần trong công thức hệ số Fourier bk(t), ta có 3.5.BÀI TOÁN THỨ BA l 2 f x t ( ; ) sin dx x x ) sin k xd x b
k 2
l k x
l 1
2 (
0 0 2 x x x cos( (2 1) sin( cos( 2 ) 2.
k x
)
k x
2 1
k
(
)
1
3
k
(
)
1
k
1
k x
)
0 )) (1 cos(
k
3 ( 1
k
)
k m 0, 2 ( ) m Z
k m , 2 1 m 8
1) (2 3
3
Ta s? tìm nghi?m bài toán dưới dạng ( ) sin k x ( ) sin ( ; )
u x t (3.38) c t
k c t
k k x
l k 1
k 1
Thay (3.38) vào (3.35) ta được 2 [ ( ( )]sin( )
k
k x
) 0
''
c t
( )
k c t
( )
k b t
k k 1
Nhân hai vế của đẳng thức trên với sin(kx) ta được 2 [ ( 2
( )]sin ( )
k
k x
) 0
''
c t
( )
k c t
( )
k b t
k k 1
Lấy tích phân theo x, ta được 2 0, k 1, 2,.. k
)
(
''
c t
( )
k c t
( )
k b t
( )
k Thay bk vào phương trình vi phân ở trên ta được 2 t
( ) t
( ) 0
(3.39) ''
c
2 (2
m c
)
2 m m [(2 1) 0 ( )
t m ( )
t 2
]
(3.40) ''
c
2 c
2 m m 1
1
(2 m 3
3
8
1)
Sử dụng các điều kiện đầu (3.37) ta có (0) sin 0 k x u(x;0) c
k k 1
( ; 0) (0) sin( k x ) 0
và '
u x
t '
c
k k 1
Ta suy ra (0) (0) 0, k 1, 2,.. (3.41) c
k '
c
k Theo lí thuyết phương trình vi phân, ta có nghiệm duy nhất của (3.39) là m 0, 1, 2,.. 2 ( )
t
mc và nghiệm tổng quát của (3.40) là .cos(2 1) .sin(2 1) ( )
t m m t
c
2 m
2 m t
2 m 1
1
1
(2 m 5
5
8
1)
Đối chiếu với điều kiện (3.41) , ta suy ra , 0
2 m
2 m 1
1
m (2 8
1)
5
5
Vậy t
u x t
( ; ) sin(2 m 1) x
1)
5
1) m
1 cos(2
m
(2
8
5
m 1
Luận văn trình bày một cách ngắn gọn nhưng tương đối đầy đủ lí thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng của nó trong việc giải phương trình dao động và phương trình truyền nhiệt. Ở chương 1, lí thuyết chuỗi Fourier được trình bày một cách chi tiết. Ta có thể khai triển chuỗi Fourier của một hàm tuần hoàn liên tục, trơn từng khúc có chu kì 2hoặc 2l (l tùy ý ). Trong mỗi trường hợp đều có ví dụ minh họa. Phần nội dung chính của luận văn là chương 2 và chương 3. Trong các chương này, chuỗi Fourier được ứng dụng để giải phương trình truyền nhiệt trong thanh và phương trình dao động của dây. Qua kết quả của luận văn, chúng ta thấy rằng chuỗi Fourier có những ứng dụng quan trọng trong việc giải quyết các bài toán phương trình đạo hàm riêng, nhất là trong lĩnh vực vật lí. 1. Đặng Đình Aùng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân (2001), Biến đổi tích phân, Nxb Giáo dục. 2. Đậu Thế Cấp (2003), Lý thuyết, Bài tập Hàm biến phức, NXB Giáo dục. 3. Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ (1998), Toán cao cấp Tập 1, Nxb Giáo dục. 4. Nguyễn Công Tâm (2001), Nhập môn phương trình vật lý – toán, Nxb Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh. 5. Phan Huy Thiện (2006), Phương trình toán lý, Nxb Giáo dục. Tiếng Việt 7. Evans G.A, Blackledge J.M, Yardley P.D (2004), Analytic methods for partial differential equations, Nxb Springer. 8. Matthew J.H (2005), Linear Partial Differential Equations, Nxb Fall. Tiếng Anh 9. Tolstov G.P (1960), Chuỗi Fourier, Nxb Mátxcơva. 10. Romannovski P.I (1980), Chuỗi Fourier, Lý thuyết trường, Hàm giải tích, Phép biến đổi Laplace. Nxb Khoa học Mátxcơva. Tiếng NgaChương 3. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY
l
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
6. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2001), Toán học cao cấp Tập 3, Nxb Giáo dục.
