Ch
ng ba
ươ
ng d ng bi n đ i
ứ
ế ổ Fourier phân tích tín hi u s và h x lý s
ệ ố
ệ ử
ụ
ố
ổ Fourier c a tín hi u liên t c. Ch
ươ
ứ
ụ
ế
ạ
ng ba trình b y ầ ầ ố ủ ệ
ệ ệ ố
ủ ổ ủ
ế ể
ụ
ủ
ủ
ặ
ố
Giáo trình lý thuy t m ch đã nghiên c u bi n đ i ổ Fourier c a dãy s và ng d ng c a nó đ phân tích ph c a tín hi u s và đ c tính t n s c a h bi n đ i ứ ế x lý s . ố ử
3.1
bi n đ i
ế ổ Fourier c a dãy s
ủ
ố
3.1.1 Bi n đ i ế ổ Fourier thu nậ 3.1.1a Đ nh nghĩa : ị
N u dãy x(n) tho mãn đi u ki n : ả
ế
ề
ệ
[3.1-1]
¥=n
thì s t n t
i phép bi n đ i Fourier nh sau :
ẽ ồ ạ
ế
ổ
¥ ¥< )( nx (cid:229) -
w j
w j
.
n
( eX
)
)( enx
ư (cid:229)=
[3.1-2]
¥=
¥ -
n
), [3.1-2] là bi u th c bi n đ i
ể
ố x(n) thành hàm ph c ứ X(ejw
ổ Fourier
ứ
ể
ế
ổ Fourier đã chuy n dãy s c ký hi u nh sau :
Bi n đ i ế thu n và đ ượ
ư
ệ
ậ
-
X
je
[3.1-3]
¥ = nxFT ([ )] ( )
FT
j
X
[3.1-4]
hay :
(FT là ch vi
Fourier Transform).
¥ (cid:190) fi (cid:190) nx )( ( e )
X
je
ậ ) đ phân bi
ể
t c a thu t ng ti ng Anh t phép bi n đ i ế
ổ Fourier c a dãy s
ố x(n)
ủ
ế v i phép bi n
ớ
t t ữ ế ắ ủ Ký hi u ệ X(ejw đ i ổ Fourier c a hàm liên t c ủ
¥ = nxFT ([ )] ( )
w
j
t
ữ ế ệ ụ x(t) : • X
.
Bi u th c bi n đ i
ể
ế
ổ Fourier c a dãy s
ố x(n) [3.1-2] là su t phát t
ủ
ấ
ế
ứ
ổ Fourier c aủ
ứ hàm liên t c ụ x(t), vì khi hàm d
¥ - = = )] w ( ([ txFT ) ( etx ). dt (cid:242) ¥ -
ấ ổ v i chu kỳ 2
, nên X(ejw
ejw
:
Do tính ch t tu n hoàn c a hàm mũ
i d u tích phân là dãy r i r c thì ph i thay d u tích phân b ng d u t ng . ả ướ ấ ầ ủ
ờ ạ ế w ) là hàm tu n hoàn c a bi n
ằ ớ
bi u th c bi n đ i ừ ể ấ ủ
ấ
ầ
w
+
+
w
j
(
p )2.
k
w (
j
p 2.
k
n ).
w j
.
n
j
=
=
=
X
X
(
e
)
enx )(
enx )(
(
e
)
¥=
¥=
n
n
) c a các dãy r i r c
˛ (-p , p )
ề
ứ
ỉ ầ
ầ ố X(ejw
ờ ạ x(n) v i ớ w
ủ
ho c ặ w
ứ
ệ ố
ổ ủ
ặ
p ¥ ¥ - - (cid:229) (cid:229) - -
X
je
là ph c a tín hi u
ổ ủ
ặ
Đi u đó có nghĩa là ch c n nghiên c u hàm t n s ˛ ( 0 , 2p ). S d ng bi n đ i ế ử ụ ế x(n) là tín hi u s thì ệ ố = je
ố
ặ
ổ Fourier cho phép nghiên c u ph c a tín hi u s và đ c tính t n s c a h x lý ầ ố ủ ệ ử ủ ệ x(n), còn v i ớ h(n) là đ c tính xung c a là đ c tính t n s c a h x lý s . ố
ầ ố ủ ệ ử
i n u dãy
ế
ổ Fourier thu n [3.1-2] ch t n t
ề
ệ
ả
ậ ế
x(n) tho mãn đi u ki n kh ỗ
ệ
¥ = )] ) ( nxFT ([ ¥ )] (
s . N u ố h x lý s thì ệ ử nhFT ([ ) H 3.1.1b S t n t ế ổ Fourier i c a bi n đ i ự ồ ạ ủ Theo đ nh nghĩa, bi n đ i ị ệ ố X(ejw
), nên x(n) t n t
ổ Fourier. Ng
ồ ạ
ệ
t ng tuy t đ i [3.1-1]. Đi u đó có nghĩa là, n u dãy ề ổ i bi n đ i t ụ ề 1] thì chu i [3.1-2] s phân kỳ, vì th hàm ẽ
v hàm ỗ
ỉ ồ ạ ế ả ề c l ượ ạ ) không t n t ồ ạ
ả x(n) tho mãn đi u ki n [3.1-1] thì chu i [3.1-2] s h i ẽ ộ i, n u dãy x(n) không tho mãn đi u ki n [3.1- ề ả ế ổ Fourier. x(n) không có bi n đ i i và
ế
Các tín hi u s
ế ế ệ ố x(n) có năng l ượ
X(ejw ng h u h n : ữ ạ
2)( nx
[3.1-5]
x
¥=n
ổ Fourier.
ồ ạ
ế
ế
ề : Hãy xét s t n t )(nu
2
2
i bi n đ i ổ Fourier c a các dãy sau : ủ nun- )(
¥ ¥< E = (cid:229) -
luôn th a mãn đi u ki n [3.1-1] , do đó luôn t n t ệ ỏ Ví d 3.1ụ ự ồ ạ a.
i và tìm bi n đ i nun b. )(
c.
119
d.
f.
1
e. = (cid:229)
Gi
i : ả a.
¥=
=
n
0
n
Hàm u(n) không tho mãn [3.1-1] nên không t n t
i bi n đ i
ồ ạ
ả
ổ Fourier.
ế
d )(nd n - ( k ) )(n rect N ¥ ¥ ¥= nu )( (cid:229) -
n
n
2
2
b.
=
n
0
Hàm 2nu(n) không tho mãn [3.1-1] nên không t n t
i bi n đ i
¥= n ả
ồ ạ
ổ Fourier.
ế
¥ ¥ ¥= nu )( = (cid:229) (cid:229) -
1
n
n
2
2
2
c.
1
2
-=
0
n
i bi n đ i
1 Hàm 2-nu(n) tho mãn [3.1-1] nên t n t ồ ạ
¥= n ả
ổ Fourier :
ế
¥ ¥ - - = = = nu )( (cid:229) (cid:229) - - -
n
w
w
n
n
w j
.
n
n
j
.
n
j
(
)
=
=
=
FT
2[
2
2
2
nu (
)]
enu ). (
e
1 e .
¥=
=
=
n
0
n
0
n
¥ ¥ ¥ - - - - - - - (cid:229) (cid:229) (cid:229) -
1
n
FT
2[
w
[3.1-6]
V y :ậ
j
w j
1
2
1
1 1 . e
=
1
nd )(
d.
¥=n
Hàm d (n) tho mãn [3.1-1] nên t n t
i bi n đ i
ồ ạ
ả
ổ Fourier :
ế
- = = ( nu )] - - - - - e 5,0 ¥ (cid:229) -
w
w
j
.
n
j
0
1
[3.1-7]
¥=
n
e) Chu i [3.1-1] đ i v i
nên nó
ố ớ d (n - k) h i t
ộ ụ
ỗ
có bi n đ i ế
ổ Fourier :
¥ - - = d = = FT d ([ n )] ( en ). e .1 (cid:229) -
w nj
w jk
=
d
=
k
k
FT
d ([
n
)]
(
n
). e
e
[3.1-8]
¥=
n
N
1
=
¥<
N
1
rect
)( n
= (cid:229)
f.
N
¥=
=
n
0
n
ả
¥ - - - - (cid:229) - - ¥ (cid:229) -
N
ổ Fourier, : w j
n
w
w nj
j
Hàm rect N(n) tho mãn [3.1-1] nên t n t ồ ạ ( 1 N
i bi n đ i ế ) 1
[3.1-9]
N
N
w
j
=
n
i bi n đ i
0 ộ
ổ Fourier, còn các dãy có đ dài vô
ế
ộ
1 ữ ạ ủ
- - ¥ - - - e = = = FT [ rect ( n )] rect ( ). en e (cid:229) (cid:229) - - - e
Có th th y r ng, các dãy có đ dài h u h n luôn t n t ồ ạ ổ Fourier n u chu i [3.1-1] c a nó h i t . ộ ụ ỗ ế X(ejw
) là hàm ph c, nên có th bi u di n nó d
i các d ng, ph n th c và ph n o, mô đun và
ễ ủ ứ
) ể ể
ễ
ướ
ầ ả
ự
ạ
ầ
¥= n ể ấ ằ i bi n đ i h n s t n t ế ạ ẽ ồ ạ 3.1.1c Các d ng bi u di n c a hàm ể ạ Vì X(ejw argumen, đ l n và pha. ộ ớ ầ
ự
ạ
w
j
+
ầ ả = X
X
X
1. D ng ph n th c và ph n o w (
[3.1-10]
R
I
e Theo công th c ứ Euler có :
) ) ( j w ( )
w j
w j
.
n
=
=
[
X
(
e
)
enx )(
nx )(
w cos(
n ).
w sin(
j
]). n
[3.1-11]
¥=
¥=
n
n
w
j
X
[3.1-12]
Hàm ph n th c : ầ
ự
R
¥=
n
w
j
X
Hàm ph n o :
[3.1-13]
ầ ả
I
¥=
n
¥ ¥ - - (cid:229) (cid:229) - - ¥ = = w ( ) Re[ ( eX )] ( nx ). w cos( ). n (cid:229) - ¥ = -= w ( ) Im[ ( eX )] ( nx ). w sin( ). n (cid:229) -
2. D ng mô đun và argumen
ạ
w
w
j
j
j
j
w (
)
X
X
[3.1-14]
w
j
=
+
X
X e (
)
w (
)
w (
)
Mô đun :
[3.1-15]
2 R
2 I
= ( e ) ( e e .)
X
w
j
I
ø Ø
[
X ]
X
Argumen :
[3.1-16]
X
R
120
j = = w ( ) Arg ( e ) arctg œ Œ ) ) w ( w ( ß º
c g i là hàm biên đ t n s , nó là hàm ch n và đ i x ng qua tr c tung :
‰ X(ejw
)‰ =‰ X(e-
‰ X(ejw
)‰ đ
ượ
ộ ầ ố
ố ứ
ụ
ẵ
ọ
jw
)‰
c g i là hàm pha t n s , nó
là hàm l
và ph n đ i x ng qua g c to đ :
ượ ọ
ầ ố
ẻ
ố ứ
ả
ố
ạ ộ j (w ) = - j (-w ).
j (w ) đ ạ
w
w
q
w
j
j
j
j
w (
)
j
j
w (
)
[3.1-17]
Hàm đ l n
ng ho c âm, và :
ị ươ
ặ
w
w
j
j
X
) có th nh n các giá tr d ậ = )
ể ( e A
= = ) e ). ( A e e .)
e ) (
3. D ng đ l n và pha ộ ớ ( e e ( X A ộ ớ A(ejw
[3.1-18]
w
Còn :
[3.1-19]
je j
je
[3.1-20]
+ q = j w ( ) ) w ( w - ([ Arg A = q w ( ) )] w ( ) Arg A ([
wje
nh sau :
Hàm pha : V i ớ
ụ
ấ ủ
ộ
ư
w
ph thu c vào d u c a hàm j
Arg A ([ )] )] wjeA ( )
0
w j
w
j
0 p
0
M t cách t ng quát, có th vi
t :
ể ế
ộ
ổ
(cid:236) ‡ (cid:239) Khi ( A e ) = (cid:237) Arg ([ A e )] (cid:239) < Khi ( A e ) (cid:238)
p
p
w
=
=
1
1
Arg A ([
je
)]
2
2
Theo [3.1-20] , có th bi u di n hàm pha
q (w ) d
i d ng nh sau :
ể ể
ễ
ướ ạ
ư
(cid:252) (cid:236) w j (cid:239) (cid:239) w (cid:252) (cid:236) eA ( ) ø Ø j - - (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) Sign eA ( ) œ Œ ß º w (cid:254) (cid:238) j (cid:239) (cid:239) eA ( ) (cid:254) (cid:238)
p
1
[3.1-21]
2
ầ ả
ộ ớ
ầ ố
ự
ủ
ầ
ị
w
ø Ø w j œ Œ eA ( ) q = j - - œ Œ w ( ) w ( ) w j œ Œ eA ( ) œ Œ ß º
j
- w 2
Ví d 3.2ụ w = j ( eX
: Hãy xác đ nh các hàm ph n th c và ph n o, mô đun và argumen, đ l n và pha c a hàm t n s cos(
w
) ). e
- w 2 j cos( w sin( ). )
2
2
2
2
cos( cos( ) ) = = -= e j w ( w ( ) ) ) w 2 w 2 cos( w cos( ). w ). cos( w w sin( ). 2 ) ( X RX IX
i :ả Theo [3.1-11] có : Gi Hàm ph n th c : ầ ự Hàm ph n o : ầ ả w jeX (
Mô đun :
= + = w 2 w 2 w 2 cos ) ( ). cos w ( cos ( ) ). cos w ( ) cos( )
Argumen :
w
ø Ø j -= w w ( ) arctg -=œ Œ w 2 w 2 cos( cos( w sin( w cos( ). ). ) ) ß º
jeA (
Hàm đ l n :
ộ ớ
= ) cos( )
2w p
1
Hàm pha :
2
ø Ø q -= w - - œ Œ w ( ) . w 2 w 2 œ Œ cos( cos( ) ) ß º
ế ổ Z
Theo bi u th c đ nh nghĩa [2.1-1] c a bi n đ i Z có :
3.1.1d Quan h gi a bi n đ i ệ ữ ể
ế ổ Fourier và bi n đ i ổ
ứ ị
ủ
ế
=
=
<
<
X
X
R
R
ZT
[(
( nx
)]
)( z
nznx )(
RC
[
(
z
:)]
|
z
|
+
,
v i ớ
x
x
¥=
n
Bi u di n s ph c
ễ ố ứ z theo t a đ c c :
ọ ộ ự z = r.ejw
ể
v i |ớ z|= r và arg [z] = w
¥ - - (cid:229) -
w
w
w
j
j
n
n
j
.
n
X
X
V y :ậ
¥=
¥=
n
Khi |z|= r = 1 thì z = ejw
n , nên nh n đ
c :
ậ ượ
¥ ¥ - - - = = = )( z .( er ) ( ernx ).( . ) ( rnx .). e (cid:229) (cid:229) - -
w
w
j
j
.
n
w
X
X
j
[3.1-22]
¥=
n
Theo [3.1-22] thì bi n đ i
ế
ổ Z khi z n m trên vòng tròn đ n v
ằ
ơ
ị | z | = 1 , nghĩa
ế ổ Fourier là m t tr ộ ườ
ổ Fourier chính là bi n đ i ổ Z. ng h p riêng c a bi n đ i ủ
ế
ợ
là bi n đ i ế
121
¥ - = = ( e ) ( enx ). (cid:229) = )( zz e -
=
=
1
1
|
z
|
|
z
|
<-
a.
, t n t
b.
, không t n t
ồ ạ FT i
ồ ạ FT i
xR
xR
Hình 3.1 : Quan h gi a
ệ ữ bi n đ i
ổ Fourier và bi n đ i
ổ Z
ế
ế
X(z) h i t
ừ
ộ ụ
ắ
ắ
i bi n đ i
ơ X(z) không h i t
ế
ị | z | = 1 thì ch c ch n dãy trên vòng tròn đ n v ộ ụ
ơ
x(n) t nồ ị | z| = 1,
ế c l ượ ạ i bi n đ i ế
U=
1
RC U [
z )(
(
>z |
có
T hình 3.1a th y r ng, n u hàm ấ ằ ổ Fourier, và ng t ừ ạ thì dãy x(n) s không t n t ồ ạ ẽ ơ
i. T hình 3.1b, n u hàm i. ổ Fourier, và ng [( ị u(n) là m t ví d : Hàm
ộ
ậ
ụ
Hàm b c thang đ n v trên vòng tròn đ n v
trên vòng tròn đ n v ế c l ượ ạ ZT ế
|:)] ( nu )] z , do U(z) không ị | z | = 1 nên u(n) không có bi n đ i ề ổ Fourier, câu a ví d 3.1 đã ch ng minh đi u ứ ụ
ơ
h i t ộ ụ đó.
‡ -
3.1.2 Bi n đ i
X(ejw
hàm nh
ế ). Đ tìm bi u th c c a phép bi n
ứ ủ
ể
ể
ế
ừ
ế ổ Fourier ng Bi n đ i ổ Fourier ng ượ
đ i ổ Fourier ng
x(n) t ả ứ Fourier thu n [3.1-2] : ậ
w j
w j
n
.
)( enx
( eX
)
¥ -
cượ c cho phép tìm dãy ượ c, xu t phát t bi u th c ừ ể ấ (cid:229)=
[3.1-23]
¥=
n
(-p , p ) , nh n đ
c :
ả
ồ ấ
ả
ớ ejw
ậ ượ
Nhân c hai v c a [3.1-23] v i ế ủ p
.m r i l y tích phân trong kho ng p
p
-
w
w
w
j
w . mj
j
.
n
w . mj
j
.(
nm
)
w
=
w
=
X
(
e
). e
d
( enx ).
. e
d
)( nx
. e
w d
¥=
¥=
n
n
p
p
p
p
¥ ¥ - - (cid:229) (cid:229) (cid:242) (cid:242) (cid:242) - - - - -
w nmj (
)
Vì :
0
p
p
w
j
w nj
= (cid:236) p 2 nmkhi - w = (cid:237) d e (cid:242) „ nmkhi (cid:238) -
X
p 2
Nên :
T đó suy ra bi u th c c a phép bi n đ i
c :
p ứ ủ
ổ Fourier ng
ừ
ể
ế
ượ
p
w
w j
j
.
n
=
X
)( nx
(
e
). e
w d
[3.1-24]
w = ( e e ). d nx )(. (cid:242) -
1 p 2
c ký hi u nh sau :
Phép bi n đ i ế
ổ Fourier ng
ư
ệ
p c đ ượ ượ
w
(cid:242) -
IFT
[
X
[3.1-25]
w
IFT
j
= e j ( )] nx )(
X
[3.1-26]
Hay :
t c a thu t ng ti ng Anh
Inverse Fourier Transform).
(IFT là ch vi
ữ ế
c [3.1-24] h p thành
ổ Fourier thu n [3.1-23] và bi u th c bi n đ i
ổ Fourier ng
ứ
ể
ế
ậ
ượ
ợ
t t ữ ế ắ ủ ể ế ứ ổ Fourier c a dãy s
ủ
ố x(n).
w
(cid:190) (cid:190) fi (cid:190) ( e ) nx )(
j
w 2
j
: Hãy tìm tín hi u s
.
- = eX ( ) w cos( e ).
ậ Bi u th c bi n đ i c p bi n đ i ế ặ Ví d 3.3ụ
ệ ố x(n) có hàm ph là ổ
p
j
w j
.
n
w 2 . e
Gi
i :ả Theo [3.1-24] có :
1 p 2
p
p
p
w
w j
j
+
w
(
e
e
)
w 2
j
j
.
n
( nj
w )1
( nj
w )3
=
=
+
- = w )( nx w cos( ). e d (cid:242) - - - - -
]
[
)( nx
. e
. e
w d
e
w d
e
1 p 2
2
1 p 4
p
p
(cid:242) (cid:242) - -
nj (
w )1
nj (
w )3
+
=
nx )(
e
e
p | p
p | p
1 p 4
1 nj (
) 1
1 nj (
) 3
122
ø Ø - - œ Œ - - - - ß º
nj (
p )1
nj (
p )1
nj (
p )3
nj (
p )3
e
e
e
e
+
=
nx )(
1 p 4
nj (
) 3
nj (
nj (
p )3
nj (
p )3
) 1 p )1
nj (
nj (
p )1
1
1
[
e
]
[
e
]
=
+
.
nx )(
.
- - - - - - ø Ø - - œ Œ - - ß º - - - - - - - -
2
e 2
2
(
n
p ) 3
j
- -
1
1
n
=
+
nx )(
- -
2
2
p ) ( n 1 n sin[( n (
p ]) 1 p ) 1
p ]) 3 p ) 3
e j 2 sin[( n ( =
- -
1
k
p ])
n
p ])
n
=
d
=
k
(
n
)
Vì :
0
k
k
k
khi khi
n n
sin[( n (
k p )
sin[( n (
k p )
1
1
d
d
=
+
(cid:236) - - - (cid:222) (cid:237) „ - - (cid:238)
nx )(
(
n
) 1
(
n
) 3
Nên :
2
w
j
- -
w
X
X
j
Vì
, nên đ l p b ng bi n đ i ả
ể ậ
ổ Fourier ch c n s d ng b ng bi n đ i
ỉ ầ ử ụ
ổ z khi thay
ế
ế
ả
ể
ổ Fourier ng
ể ử ụ c, ngoài cách tính tr c ti p tích phân [3.1-24], cũng có th s d ng
ự
ế
z = ejw các ph
2 )( ezz = , và đ tìm bi n đ i ư ươ
ượ ổ Z ng ng pháp gi ng nh tìm bi n đ i
ế ố
ế
c.ượ
= ) ( e
3.1.3 Các tính ch t c a bi n đ i
ế ổ Fourier
ấ ủ ổ Fourier là m t tr
ườ
ủ
ng đ
ộ ướ
ổ Z. D i đây trình b y các tính ch t th
ổ Fourier cũng có các tính ổ Z nên, bi n đ i ng h p riêng c a bi n đ i ế c s d ng khi phân tích ph tín ượ ử ụ ườ
ợ ầ
ế ấ
ổ
Hàm t n s c a t
h p tuy n tính các dãy b ng t
h p tuy n tính các hàm
ầ ố ủ ổ ợ
ế
ằ
ổ ợ
ế
wj
X=
Do bi n đ i ế ch t gi ng nh bi n đ i ấ ư ế ố hi u s và đ c tính t n s c a h x lý s . ố ầ ố ủ ệ ử ặ ệ ố 3.1.3a Tính ch t tuy n tính : ế ấ t n s thành ph n. ầ ầ ố nxFT [
N u : ế
i
i
)] e ( ) (
w
w
j
j
Y
Thì :
[3.1-27]
i
i
i
ằ
Trong đó các h s Ch ng minh :
ứ
i ệ ố Ai là các h ng s . ố Theo bi u th c bi n đ i ứ
ế
ể
ổ Fourier thu n ậ [3.1-2] có :
ø Ø = = =œ Œ ( e ) nyFT )( . X ( e ) (cid:229) (cid:229) nxA . )( i A i ß º
w
w
w
j
j
.
n
j
.
n
i
i
¥=
¥=
i
n
i
i
n
w
w j
.
n
j
X=
, nên nh n đ
c [3.1-27].
Vì
ậ ượ
i
i
¥=
n
1
1
=
d
+
d
¥ ¥ ø Ø - - = = =œ Œ ( eY ) FT . (cid:229) (cid:229) (cid:229) (cid:229) (cid:229) . nxA )( i ( enxA ). i A i ( enx ). i - - ß º ¥ - = nxFT [ ( )] ( e ) (cid:229) enx ). ( i -
nx )(
(
n
) 1
(
n
) 3
- -
Ví d 3.4ụ
: Hãy tìm hàm ph c a tín hi u s ệ ố
ổ ủ
2
2
Gi
i :ả Theo tính ch t tuy n tính c a bi n đ i
ổ Fourier có :
ế
ế
ấ
w
w
w
w
1
1
1
ủ 1
j
j
.
n
j
.
n
j
w 3
j
2
2
2
2
¥=
¥=
n
n
w
j
w j
w
w 2
j
j
w 2
j
2
c nhau, v i k t qu là đ ng nh t.
ụ
ượ
ả
ồ
)‰ không thay đ i, ch có
ị
ớ ế m u thì hàm biên đ t n s ẫ
ấ ộ ầ ố‰ X(ejw
ổ
ỉ
w
w (
j j
)
j
X
¥ ¥ - - - - = d + d = + - - eX ( ) ( n e ). 1 ( n e ). 3 e e (cid:229) (cid:229) - - - + - - ( e e ) = = e . eX ( ) w cos( e ).
Các ví d 3.3 và 3.4 là hai bài toán ng ễ Khi d ch tr dãy x(n) đi k 3.1.3b Tính ch t tr : ễ ấ ầ ố j (w ) b d ch đi l w ng k hàm pha t n s ị ượ w = = j e )] ) (
. e .)
N u : ế
w
w
w
w
jk
j
j
j [
j
w (
)
k
]
ị X ]
k
X
X
Thì :
[3.1-28]
c đ y s m
ị ữ ễ k m u, ẫ n u ế k < 0 là x(n) đ
ượ ẩ ớ k m u.ẫ
tr Theo bi u th c bi n đ i ứ
ổ Fourier thu n ậ [3.1-2] có :
ế
ứ
e ( - - = = - ([ nxFT [ nxFT ( ) e ( e ) ( e e .)
w
w
w
j
.
n
j
.
k
w j
.(
kn
)
j
.
k
w j
]
X
N u ế k > 0 là x(n) b gi Ch ng minh : ể [ nxFT
¥=
¥=
n
w
j
n
X
2
Hãy tìm :
n FT n
n
2
2
2
Có
Gi
¥ ¥ - - - - - = = = - - - ( nx ( ek ). e nx ( ek ). e ( e ) k ) (cid:229) (cid:229) - - - = ( e [ ( n )] - - - rect n ) = - - nu )(
Ví d 3.5 : ụ i : ả
N
N
n
)
X
2
2
N
N FT
N Nnu ( ) n (2 .
Nên :
123
- - - - rect w j n )( = - - ( e ) [ nu ( )] FT [ nu ( )]
c :
Theo bi u th c [3 ể
ứ
.1-6] và tính ch t d ch c a bi n đ i ấ ị
ổ Fourier nh n đ
ậ ượ
ế
w
w
1
ủ 1
N
N
j
j
.
w
w
j
j
w
N
j
1
w
j
n
X
2
[3.1-29]
N
V y :ậ
w
j
1
n
w je 0
ằ w 0 , theo chi u ng
, trong đó w 0 là h ng s , ả
ố thì hàm t n sầ ố ượ ớ ấ c v i d u ề
ằ
- - = - ( eX ) . 2 e - - - - e 5,01 e 5,01 - - - ( e .5,0 ) = = ( e ) FT [ rect ( n )] - -
e 5,0 ầ ố Khi nhân dãy x(n) v i ớ ụ ầ ố ộ ỉ ị
ấ ị ế
ễ ủ ạ
w
w (
)
j
0
0
wje ( =
X
)
[3.1-30]
Ch ng minh :
) - )] n
3.1.3c Tính ch t tr c a hàm t n s : X(ejw ) không b bi n d ng mà ch t nh ti n trên tr c t n s m t kho ng b ng ế c a ủ w 0. N u : ế Thì : ứ
X= ([ nxFT ] [ w j eFT Theo bi u th c bi n đ i ứ
ổ Fourier thu n ậ [3.1-2] có :
w
w
w
w
w j
n
j
n
w (
j
).
n
w (
j
)
j
.
n
0
0
0
0
( e ế ]
X
nx )( ể ¥ ¥ - - - - = = = nx )( enx ( ). e . enx ( ). e
[ eFT
(
)
¥=
¥=
n
w
(cid:229) (cid:229) - -
X
n nxFT ([
, hãy tìm ph t n s c a tín hi u đi u biên
ổ ầ ố ủ
ệ
ề
ổ ầ ố
= e j ( ) )]
Ví d 3.6 : Tín hi u s ệ ố x(n) có ph t n s là ụ = w cos( ny nx ( 0n )( ). )
w
w
j
n
j
n
0
0
-+ e
Gi
Có :
i : ả
0
2
e = w cos( n )
w
1
1
w j
n
j
n
0
0
Do đó :
0
2
c :
ấ ị
w
+ w
ø Ø ø Ø - = ([ nxFT ). w cos( n )] FT ( enx ). FT ( enx ). +œ œ Œ Œ ß º ß º
2 Theo tính ch t d ch c a hàm t n s nh n đ ậ ượ ủ 1
1
ầ ố w (
)
j
w (
j
)
0
0
X
X
(
)
(
)
[3.1-31]
0
ể
ứ
2 ủ ị Bi n đ i Fourier ổ
ề ủ
- = + nxFT ([ ). w cos( n )] e e
ế
ả
ế
c a các dãy th c có bi n đ o x(n) và x(-n) là hai hàm liên ả
ự
ế
w
w
w (
j j
)
j
j
X
X
= e .) )] e e ( ) (
2 Bi u th c [3.1-31] chính là n i dung c a đ nh lý đi u biên. ộ 3.1.3d Tính ch t bi n đ o : ấ h p ph c. ứ ợ N u : ế
w
w
j
*
j
w j
j j
w (
)
X
X
X
Thì :
[3.1-32]
Ch ng minh :
ứ
Theo bi u th c bi n đ i ứ
ổ Fourier thu n ậ [3.1-2] có :
ể
ế
- - = ] = = = - ( e ) ( e ) ( e e .) nxFT ([ [ nxFT ( )
w
w
w
j
.
n
j
(
).(
n
)
j
]
X
[ nxFT (
(
)
¥=
¥=
n
n
w
w
*
j
j
X
X
, do đó nh n đ
c [3.1-32].
ự
ậ ượ Nh v y, các dãy th c nhân qu và ph n nhân qu t
ng ng có hàm biên đ t n s gi ng nhau, còn
¥ ¥ - - - - - = = = - - - ) enx ). ( enx ( ). e (cid:229) (cid:229) - - - = ( ) ) (
ả
ả ươ ứ
ộ ầ ố ố
n
=
e ự e ả
FT
2[
Vì x(-n) là dãy th c nên ư ậ c d u. ầ ố ượ ấ w j Hãy tìm e ( ) nu ( X ứ [3.1-6] và tính ch t bi n đ o có : Theo bi u th c ể
-
hàm pha t n s ng Ví d 3.7 : ụ i : ả Gi
ế
ả
)] ấ 1
n
FT
2[
wj
1
5,0
Hàm t n s c a tích ch p hai dãy b ng tích c a hai hàm t n s
= - ( nu )] - . e
ầ ố ủ
ậ
ầ ố ủ
ầ ố
ủ
ậ
ằ
X=
wje
và
2
w
j
X
Y
X
wje X= 1 [ nxFT *)(
2 (
) ( ( ( ( ) )] w j )] nxFT [ 1 w = j nxFT [ ] = e e ) ( ( e ) ).
3.1.3e Hàm t n s c a tích ch p hai dãy : thành ph n.ầ N u : ế Thì :
[3.1-33]
1
1
2
Ch ng minh :
ứ
Theo bi u th c bi n đ i ứ
ổ Fourier thu n ậ [3.1-2] có :
ể
nx )( 2
w
j
w j
.
n
ế ]
[ nxFT
1
2
¥=
¥=
n
k
w
w
w
w
j
j
.
n
j
.
k
j
.
k
2
¥=
¥=
n
k
124
¥ ¥ ø Ø - = = - œ Œ ( eY ) *)( ( ( k .) e (cid:229) (cid:229) )( nx 2 ). nxkx 1 - - ß º ¥ ¥ - - = - ( eY ) ( ( ) ek . e . e (cid:229) (cid:229) ). nxkx 1 - -
w
w
w
w
j
w j
.
k
j
.(
kn
)
j
j
Y
X
X
Hay :
1
2
¥=
¥=
n
w j
n
=
d
X
2[
)
nu
(*)(
n
)] 1
k Hãy tìm
c :
ứ [3.1-6] , [3.1-8] v i ớ k = 1 , và [3.1-33] , tìm đ
ượ
¥ ¥ - - - = - ( e ) ek ) ( e ). ( e ) = (cid:229) (cid:229) ekx ( ). 1 nx ( 2 - - - -
Ví d 3.8 : ụ i : ả Gi
ử ụ
e ( ể
FT S d ng các bi u th c 1
n
w
-=
FT
2[
FT
je
và
wj
w
j
w
w
1
j
j
V y :ậ
w
w
j
j
Hàm t n s c a tích hai dãy b ng tích ch p c a hai hàm t n s thành
ầ ố ủ
ậ ủ
ầ ố
ằ
- = - ( nu )] d [ ( n )] 1 - - e 5,01 - - e = = ( eX ) . e - - - - e 5,01
3.1.3f Hàm t n s c a tích hai dãy : ph n chia cho
X=
X=
wje
wje
ầ N u : ế
1
1
2
2
và p
e 5,0 1 ầ ố ủ 2p . nxFT [ )] ( ( ) nxFT [ ( )] ( )
w
w
j
w (
j
)
[
]
X
X
1
2
1
2
Thì :
[3.1-34]
1 p 2
p
w
w j
j
[
]
¢ ¢ - ¢ w = ( nxnxFT )( ). ( e ). ( e ) d (cid:242) -
X
X
Hay :
[3.1-35]
1
2
1
2
Ch ng minh :
1 p 2 ế
ứ
Theo bi u th c bi n đ i ứ
ổ Fourier thu n ậ [3.1-2] có :
ể
= nxnxFT ( )( ). ( e *) ( e )
w
.
n
[
]
[
] .)(
2
1
jenxnx 1 2
c c a nó :
Khi thay x1(n) b ng bi u th c bi n đ i
¥= n ế
ổ Fourier ng
ể
ằ
ượ ủ
p
¥ - = ( nxnxFT )( ). ). ( (cid:229) -
w
w
j
j
.
n
=
w
X
(
e
). e
d
)( nx 1
1
ứ 1 p 2
p
p
w
w j
'
j
'. n
w j
.
n
]
[
X
2
1
1
Thì :
[3.1-36]
1 p 2
¥=
n
p
p
w
w
j
'
w (
j
).'
n
[
]
¢ ¢ ¢ (cid:242) - ¥ ø Ø - = w œ Œ ( nxnxFT )( ). ( e ). e d .' (cid:229) ( enx ). 2 (cid:242) œ Œ - - ß º ¥ - -
[
X
= w nxnxFT ( )( ). ( e
] .
2
1
1
1 p 2
p
¥= p
d ' (cid:229) enx ). ( 2 (cid:242) - ). n -
w
w
w
j
w (
j
)
w j
j
[
]
X
X
X
X
2
1
1
2
1
2
1 p 2
1 p 2
¢ ¢ - = w ==¢ nxnxFT ( )( ). ( e ). ( e d ). ( e *) ( e ) (cid:242) -
3.1.3g Công th c ứ Parseval tính năng l
ủ
ệ
ng c a tín hi u theo hàm ph . ổ p
2
2
w
j
X
x
[3.1-37]
p ượ 1 p 2
¥=
Ch ng minh :
Vi
n i bi u th c
i d ng :
ứ
t l ế ạ
ể
ướ ạ
p ứ [3.1-36] d p
¥ = = w E )( nx ( e d ) (cid:229) (cid:242) - -
w
w
w j
.
n
w j
'
j
'. n
j
.
n
X
2
1 p 2
¥=
¥=
n
n
p
.w
n
Chia c hai v c a bi u th c trên cho
, nh n đ
c :
ế ủ
ể
ả
ậ ượ
je
ứ p
¥ ¥ ø Ø - - = w œ Œ ). ( ( ( e ). e d .' e ). (cid:229) (cid:229) ). enxnx 1 2 ( nx 1 (cid:242) œ Œ - - - ß º -
w
j
n '.
w j
'
¥ ¥
[
X
w = ( ( e ). d '
] .
2
2
1 p 2
¥=
¥=
n
n
p
p
w
w
j
'
j
'
X
X
2
1
2
Hay :
1 p 2
¥=
n
p
ng
ủ
ứ
ế
ể
ượ
ệ ố
ủ
xE c a tín hi u s
Khi cho x1(n) = x2(n) = x(n) thì theo [1.3-5], v trái c a bi u th c trên chính là năng l x(n) :
p
p
(cid:229) (cid:229) nxnx ). )( 1 enx ). ( 1 (cid:242) - - - ¥ - w = ( ( e ). ( e ). d ' (cid:229) nxnx ). )( 1 (cid:242) - -
2
2
w
w
w
j
j
j
X
X
X
x
1 p 2
1 p 2
¥=
n
p
p
p
2
S
x
x
Hay :
[3.1-38]
1 p 2
¥=
n
p
2
w
j
¥ - = = w = w E )( nx ( e ). ( e ). d ( e d ) (cid:229) (cid:242) (cid:242) - - - ¥ = = w E )( nx w ( ). d (cid:229) (cid:242) - -
S
Trong đó :
[3.1-39]
x
125
= w ( ) eX ( )
ậ ộ
ượ ọ
ượ
ẵ
xS
(w
chính là hàm phân b năng l
ng
ấ ậ
c g i là hàm m t đ ph năng l ổ
ổ ậ ộ
ệ ố x(n), nó là hàm ch n và đ i x ng qua (w ng c a tín ủ
ố ứ ượ
ủ ượ
ố
ng c a tín hi u s xS
ụ ệ
n-= 2
nx )(
nu )(
theo c hàm th i gian và hàm ph , so
ng c a tín hi u s ệ ố
ượ
ủ
ả
ờ
ổ
c.
ả
Theo hàm th i gian có :
)
i : ả
2
1
4
n
n
2
n
2
2(
4
x
1
3
4
¥=
=
n
n
n
0
= 0 ng theo hàm ph , tr
) đ tr c tung. V b n ch t v t lý, hàm m t đ ph năng l ề ả hi u trên tr c t n s . ụ ầ ố Hãy xác đ nh năng l Ví d 3.9 : ị ụ sánh hai k t qu nh n đ ậ ượ ế Gi ờ ¥ ¥ ¥ - - - = = = = = E nu )( ) (cid:229) (cid:229) (cid:229) - - - )
Đ xác đ nh năng l ị
ể
ượ
w
1
j
n
w nj
X
2
w
j
1 +
5,01
¥=
w
1
n 1
( 1 c h t tìm : ổ ướ ế ¥ - - = = = ( e ) enu ). ( (cid:229) - w w - - cos j . 5,0 sin - e 5,01
jeX (
V y :ậ
2
2
25,1
5,0
Tính năng l
= = ) w - cos w + w - ) (
ượ
p
p
1
2
w 2
| p
1 p 2
25,1
1 p 2
2
2
p
25,1
1
1
25,1 p
( 5,01 ng c a ) ủ x(n) b ng công th c sin ứ Parseval [3.1-38] : cos ằ ø Ø + ( 25,1 ). 1 tg ( ) œ Œ = w = d . . arctg E x (cid:242) œ Œ w - - cos - - - œ Œ ß º
p
p
4
1
1
.3
2
2
p 75,0
p 75,0
p 75,0
=
0
artg
0)(
0=
ng theo hai cách là gi ng nhau
. [
thì
3 đây, n u l y
ố
ở
, nên ph iả
ế ấ
ượ
xE
artg
ø Ø - (cid:246) (cid:230) = = = - (cid:247) (cid:231) arctg tg tg arctg )( 0 =œ Œ E x ł Ł ß º
w j
)]
K t qu tính năng l ả ế p=)(0 l y ấ ]. 3.1.3h Đ o hàm c a hàm t n s ầ ố ạ wje N u : ế ( ) d
X= ]
) =
ủ ([ nxFT [ )(. nxnFT
Thì :
[3.1-40]
Ch ng minh :
ứ
ể
w
j
j
w
w j
n
j
.
w j
.
n
X
n
¥= ớ j , nh n đ
ả
ế ủ
¥= n ứ [3.1-40].
ậ ượ nx )(
ổ Fourier thu n ậ [3.1-2] có : Theo bi u th c bi n đ i ứ e ( ] X w d c bi u th c ể n-= nun )(. 2
Hãy tìm bi n đ i
ứ ổ Fourier c a dãy
¥ ¥ - - d ) = = = - (cid:222) ( e X w d ế [ )( nxFT ( e ( enx ). ) (.. enxnj ). (cid:229) (cid:229) - -
Nhân c hai v c a bi u th c trên v i Ví d 3.10 : ụ
ể ế
ủ 1
n
FT
2[
Gi
i : ả a. Có :
wj
1
- = ( nu )] - - e 5,0
w j
1
w 5,0
e .
n
=
=
2
j
FT
[
nun (.
)]
Theo [3.1-40] có :
w j
w j
2
d w d
1
e 5,0
1
e 5,0
- ø Ø - œ Œ - (cid:246) (cid:230) - œ Œ - - (cid:247) (cid:231) ß º ł Ł
3.1.3i Ph t n s
Y=
)]
rxy(m) )]
N u : ế
X= =
) - nyFT ([ w j ( w j
ng quan và ] =
X
R
wje )
Thì :
[3.1-41]
). Y e e ( ( ) ( ) ( e
ổ ầ ố c a hàm t ươ ủ wje nxFT ([ ( ) [ w j mrFT xy
xy
Ch ng minh :
Hàm t
ng quan
đ
c xác đ nh theo [1.8-1]
ng m t :
ứ
ươ
ượ
ị
ch ở ươ
ộ
¥=
n ể
ế
ổ Fourier thu n ậ [3.1-2] có :
) (mrxy ¥ = - ) ( mnynx ( ). ) (cid:229) ( mr xy -
w mj .
w mj .
]
Theo bi u th c bi n đ i ứ [ mrFT xy
¥=
¥=
¥=
m
m
n
w
w mj .
j
.
n
w j
.
n
]
[ mrFT xy
¥=
¥=
m
n
126
¥ ¥ ¥ ø Ø - - = = - œ Œ ) ( ( emnynx .) ). ( (cid:229) (cid:229) (cid:229) ( emr ). xy - - - ß º ¥ ¥ ø Ø - - = - œ Œ ( ) ( emnynx .) ). ( . e . e (cid:229) (cid:229) - - ß º
w
w
w
w
j
.
n
j
(
).(
mn
)
j
j
]
X
[ mrFT xy
¥=
¥=
n
m
w
j
=
d
¥ ¥ - - - - - = = - ( ) enx ). ( emny ( ). ( e ). Y ( e ) (cid:229) (cid:229) - -
ny )(
(
n
1- )
])
n-= 2
nu )(
và
.
Cho các tín hi u s ệ ố
, hãy tìm hàm ph ổ
xyR
[ mrFT xy
S d ng
c :
= ( e ) (
Ví d 3.11 : ụ i : ả Gi
nx )( ử ụ [3.1-6] , [3.1-8] v i ớ k = 1 , và [3.1-41], tìm đ
ượ
w j
w
w
1
e
w j
w j
j
j
=
=
=
R
X
(
e
)
(
e
). Y
(
e
)
. e
xy
w
w
j
j
1
1
e 5,0
e 5,0
127
- - - - -
