CH Đ 11: C CHUNG VÀ B I CHUNGỦ Ề ƯỚ Ộ
C CHUNG L N NH T - B I CUNG NH NH TƯỚ Ớ Ấ Ộ Ỏ Ấ
A/ KI N TH C C N NH .Ế Ứ Ầ Ớ
I/ c chung, B i chung.Ướ ộ
1. c chungƯớ c a hai hay nhi u s là c c a t t c các s đó.ủ ề ố ướ ủ ấ ả ố
c chung c a các s a, b, c đc kí hi u là C(a, b, c).Ướ ủ ố ượ ệ Ư
2. B i chungộ c a hai hay nhi u s là b i c a t t c các s đó.ủ ề ố ộ ủ ấ ả ố
B i chung c a các s a, b, c đc kí hi u là: BC(a, b, c).ộ ủ ố ượ ệ
3. Giao c a hai t p h pủ ậ ợ là m t t p h p g m các ph n t chung c a hai t p h p đó.ộ ậ ợ ồ ầ ử ủ ậ ợ
Ta kí hi u giao c a hai t p h p A và B là A B.∩ệ ủ ậ ợ
II/ c chung l n nh t. B i chung nh nh tƯớ ớ ấ ộ ỏ ấ
1. Đnh nghĩa:ị
* c chung l n nh t c a hai hay nhi u s là s l n nh t trong t p h p các c Ướ ớ ấ ủ ề ố ố ớ ấ ậ ợ ướ
chung c a các s đó.ủ ố
* B i chung nh nh t c a hai hay nhi u s là s nh nh t khác không trong t p h p ộ ỏ ấ ủ ề ố ố ỏ ấ ậ ợ
các b i chung c a các s đó.ộ ủ ố
2. Cách tìm
a) Mu n tìm UCLN c a hai hay nhi u s l n h n 1, ta th c hi n ba b c:ố ủ ề ố ớ ơ ự ệ ướ
+) B c 1: Phân tích m i s ra th a s nguyên tướ ỗ ố ừ ố ố
+) B c 2: Ch n ra các th a s nguyên t chung.ướ ọ ừ ố ố
+) B c 3: l p tích các th a s đã ch n, m i th a s l y v i s mũ nh nh t. Tích đó làướ ậ ừ ố ọ ỗ ừ ố ấ ớ ố ỏ ấ
UCLN ph i tìm.ả
Chú ý:
+) UCLN(a,b,1)=1
+)
+) Đ tìm UC ta tìm c c a UCLN các s đó.ể ướ ủ ố
b) Mu n tìm BCNN c a hai hay nhi u s l n h n 1 ta th c hi n ba b cố ủ ề ố ớ ơ ự ệ ướ
+) B c 1: Phân tích m i s ra th a s nguyên tướ ỗ ố ừ ố ố
+) B c 2: Ch n ra các th a s nguyên t chung và riêng.ướ ọ ừ ố ố
+) B c 3: L p tích các th a s đã ch n, m i th a s l y v i sô mũ l n nh t. Tích đóướ ậ ừ ố ọ ỗ ừ ố ấ ớ ớ ấ
chính là BCNN c n tìm.ầ
Chú ý:
+) N u các s đã cho đôi m t nguyên t cùng nhau thì BCNN là tích c a các s đó.ế ố ộ ố ủ ố
+)
+) Đ tìm BC ta tìm b i c a BCNN các s đó.ể ộ ủ ố
3/ Ki n th c b sungế ứ ổ
+ N u và UCLN(a,c)=1 thì ế
+ N u ế
Đc bi t n u thì ặ ệ ế
+ N u ế
+ N u ế
+ UCLN(a;b).BCNN(a,b)=a.b
B/ CÁC D NG BÀI T P.Ạ Ậ
D NG 1: Tìm C, BC, CLN, BCNN.Ạ Ư Ư
Bài 1: Vi t các t p h pế ậ ợ
a/ (6), (12), (42) và C(6, 12, 42); Ư Ư Ư Ư
b/ B(6), B(12), B(42) và BC(6, 12, 42)
ĐS:
a/ (6) = ; (12) = ; (42) = Ư Ư Ư
C(6, 12, 42) = Ư
b/ B(6) = ; B(12) =
B(42) = ; BC =
Bài 2: Tìm CLL c a Ư ủ
a/ 12, 80 và 56 b/ 144, 120 và 135
c/ 150 và 50 d/ 1800 và 90
H ng d nướ ẫ
a/ 12 = 22.3 80 = 24. 5 56 = 33.7
V y CLN(12, 80, 56) = 2ậ Ư 2 = 4.
b/ 144 = 24. 32120 = 23. 3. 5; 135 = 33. 5
V y CLN (144, 120, 135) = 3.ậ Ư
c/ CLN(150,50) = 50 vì 150 chia h t cho 50.Ư ế
d/ CLN(1800,90) = 90 vì 1800 chia h t cho 90.Ư ế
Bài 3: Tìm
a/ BCNN (24, 10) b/ BCNN( 8, 12, 15)
H ng d n ướ ẫ
a/ 24 = 23. 3 ; 10 = 2. 5 => BCNN (24, 10) = 23. 3. 5 = 120
b/ 8 = 23; 12 = 22. 3 ; 15 = 3.5 => BCNN( 8, 12, 15) = 23. 3. 5 = 120
D NG 2: Dùng thu t toán clit đ tìm CLL (không c n phân tích chúng ra th a sẠ ậ Ơ ể Ư ầ ừ ố
nguyên tố)
Gi i thi u thu t toán clit: Đ tìm CLN(a, b) ta th c hi n nh sau:ớ ệ ậ Ơ ể Ư ự ệ ư
- Chia a cho b có s d là rố ư
+ N u r = 0 thì CLN(a, b) = b. Vi c tìm CLN d ng l i.ế Ư ệ Ư ừ ạ
+ N u r > 0, ta chia ti p b cho r, đc s d rế ế ượ ố ư 1
- N u rế1 = 0 thì r1 = CLN(a, b). D ng l i vi c tìm CLNƯ ừ ạ ệ Ư
- N u rế1 > 0 thì ta th c hi n phép chia r cho rự ệ 1 và l p l i quá trình nh trên. ậ ạ ư
CLN(a, b) là s d khác 0 nh nh t trong dãy phép chia nói trên.Ư ố ư ỏ ấ
Bài 1: Hãy tìm CLN (1575, 343)Ư
H ng d n:ướ ẫ
Ta có: 1575 = 343. 4 + 203
343 = 203. 1 + 140
203 = 140. 1 + 63
140 = 63. 2 + 14
63 = 14.4 + 7
14 = 7.2 + 0 (chia h t)ế
V y: Hãy tìm CLN (1575, 343) = 7ậ Ư
Trong th c hành ng i ta đt phép chia đó nh sau:ự ườ ặ ư
Suy ra CLN (1575, 343) = 7Ư
Bài 2: Tìm CLN(702, 306) b ng cách phân tích ra th a s nguyên t và b ng thu t toánƯ ằ ừ ố ố ằ ậ
clit. Ơ
ĐS: 18
Bài 2: Dùng thu t toán clit đ tìm ậ Ơ ể
a/ CLN(318, 214) Ư
b/ CLN(6756, 2463)Ư
ĐS: a/ 2 b/ 1 (nghĩa là 6756 và 2463 là hai s nguyên t cùng nhau).ố ố
D NG 3: Tìm s ch a bi t th a mãn đi u ki n v C, BC, CLN, BCNN Ạ ố ư ế ỏ ề ệ ề Ư Ư
* N u bi t s x th a mãn ế ế ố ỏ m x ⋮và n x⋮ => x là C(Ưm, n)
* N u bi t s x ế ế ố l n nh tớ ấ th a mãn ỏm x ⋮và n x⋮ => x là CLN(Ưm, n)
* N u bi t s x th a mãn ế ế ố ỏ x m ⋮và x n⋮ => x là BC(m, n)
* N u bi t s x ế ế ố nh nh tỏ ấ th a mãn ỏx m ⋮và x n⋮ => x là BCNN(m, n)
* N u s ế ố a chia cho x d ưk => s a – k x hay x là (a – k)⋮ố Ư
Bài 1/ Tìm s t nhiên a là l n nh t bi t r ng 480 a 600 a ố ự ớ ấ ế ằ
H ng d n : ướ ẫ
vì 480 a 600 a và a là l n nh t ớ ấ
Nên a C LN (480,600) Ư
Ta có 480= 25.3.5 ; 600 = 23.3.52 => CLN c a (480,600) =2Ư ủ 3.3.5= 120
V y a =120 ậ
Bài 2/ Tìm s t nhiên x bi t r ng 126 x 210 x và 15 < x < 30 ố ự ế ằ
H ng d n: ướ ẫ
Vì 126 x ; 210 x và 15 < x < 30 nên x C (126, 210) và 15 < x < 30Ư
Ta có 126= 2.32..7 ; 210 = 2.3.5.7
=> CLN(126, 210) = 2.3.7 = 42 Ư
Do đó C (126,210) = Ư
Vì 15 < x < 30 nên x =21
Bài 3/ Tìm s t nhiên a nh nh t khác 0 bi t r ng a 15 a 18 ố ự ỏ ấ ế ằ
H ng d nướ ẫ
Vì a 15 ; a 18 và a nh nh t khác 0 nên a BCNN(15,18) ỏ ấ
Ta có 15 =3.5 ; 18 = 2.32 => BCNN(15,18) = 2.32.5 = 90
V y a = 90ậ
Bài 4/ Tìm các b i chung c a 15 và 25 mà nh h n 400 ộ ủ ỏ ơ
H ng d n: ướ ẫ
Ta có : 15=3.5 ; 25= 52 => BCNN(15,25) = 3.52 =75
Nên BC(15,25) =
Các b i chung c a 15 và 25 mà nh h n 400 là 0, 75, 150, 225,300, 375ộ ủ ỏ ơ
Bài 5. Tìm s t nhiên a bi t r ng khi chia 39 cho a thì d 4, còn khi chia 48 cho a thì d 6.ố ự ế ằ ư ư
H ng d nướ ẫ
Chia 39 cho a thì d 4 , nên a là c c a 39 – 4 = 35 và a > 4 ư ướ ủ
Chia 48 cho a thì d 6 nên a là c c a 48 – 6 = 42 và a > 6 . ư ướ ủ