ƯỚ Ộ Ủ Ề CH Đ 11: C CHUNG VÀ B I CHUNG
ƯỚ Ớ Ộ Ỏ Ấ Ấ C CHUNG L N NH T B I CUNG NH NH T
Ầ Ế Ớ Ứ A/ KI N TH C C N NH .
Ướ ộ I/ c chung, B i chung.
Ướ ề ố ướ ủ ấ ả ủ ố c a hai hay nhi u s là c c a t t c các s đó. 1. c chung
Ướ ủ ố ượ ệ c chung c a các s a, b, c đ Ư c kí hi u là C(a, b, c).
ộ ộ ủ ấ ả ề ố ủ ố c a hai hay nhi u s là b i c a t t c các s đó. 2. B i chung
ủ ộ ố ượ ệ B i chung c a các s a, b, c đ c kí hi u là: BC(a, b, c).
ộ ậ ầ ử ủ ợ ồ ủ ậ ợ ậ ợ là m t t p h p g m các ph n t chung c a hai t p h p đó. 3. Giao c a hai t p h p
ủ ệ ậ ợ Ta kí hi u giao c a hai t p h p A và B là A B.∩
Ướ ớ ộ ấ II/ ỏ ấ c chung l n nh t. B i chung nh nh t
ị 1. Đ nh nghĩa:
Ướ ấ ủ ố ớ ấ ậ ớ ợ ướ * ề ố c chung l n nh t c a hai hay nhi u s là s l n nh t trong t p h p các c
ủ ố chung c a các s đó.
ề ố ấ ủ ấ ậ ộ ỏ ố ỏ ợ * B i chung nh nh t c a hai hay nhi u s là s nh nh t khác không trong t p h p
ủ ộ ố các b i chung c a các s đó.
2. Cách tìm
ề ố ớ ự ủ ệ ố ơ ướ
a) Mu n tìm UCLN c a hai hay nhi u s l n h n 1, ta th c hi n ba b
c:
ừ ố ỗ ố ướ ố +) B c 1: Phân tích m i s ra th a s nguyên t
ừ ố ướ ọ ố +) B c 2: Ch n ra các th a s nguyên t chung.
ừ ố ấ ừ ố ớ ố ướ ậ ấ ọ ỏ ỗ +) B c 3: l p tích các th a s đã ch n, m i th a s l y v i s mũ nh nh t. Tích đó là
ả UCLN ph i tìm.
Chú ý:
+) UCLN(a,b,1)=1
+)
ể ướ ủ ố +) Đ tìm UC ta tìm c c a UCLN các s đó.
ề ố ớ ự ủ ệ ố ơ ướ
b) Mu n tìm BCNN c a hai hay nhi u s l n h n 1 ta th c hi n ba b
c
ừ ố ỗ ố ướ ố +) B c 1: Phân tích m i s ra th a s nguyên t
ừ ố ướ ọ ố +) B c 2: Ch n ra các th a s nguyên t chung và riêng.
ừ ố ấ ừ ố ướ ấ ậ ọ ỗ ớ ớ +) B c 3: L p tích các th a s đã ch n, m i th a s l y v i sô mũ l n nh t. Tích đó
ầ chính là BCNN c n tìm.
Chú ý:
ế ộ ố ố ủ ố +) N u các s đã cho đôi m t nguyên t cùng nhau thì BCNN là tích c a các s đó.
+)
ộ ủ ể ố +) Đ tìm BC ta tìm b i c a BCNN các s đó.
ứ ổ ế 3/ Ki n th c b sung
ế + N u và UCLN(a,c)=1 thì
+ N u ế
ệ ế ặ Đ c bi t n u thì
+ N u ế
+ N u ế
+ UCLN(a;b).BCNN(a,b)=a.b
Ạ Ậ B/ CÁC D NG BÀI T P.
Ư Ư Ạ D NG 1: Tìm C, BC, CLN, BCNN.
ế ợ ậ t các t p h p Bài 1: Vi
Ư Ư a/ Ư Ư (6), (12), (42) và C(6, 12, 42);
b/ B(6), B(12), B(42) và BC(6, 12, 42)
ĐS:
Ư Ư Ư a/ (6) = ; (12) = ; (42) =
Ư C(6, 12, 42) =
b/ B(6) = ; B(12) =
B(42) = ; BC =
ủ Ư Bài 2: Tìm CLL c a
a/ 12, 80 và 56 b/ 144, 120 và 135
d/ 1800 và 90 c/ 150 và 50
ướ ẫ H ng d n
a/ 12 = 22.3 80 = 24. 5 56 = 33.7
ậ Ư V y CLN(12, 80, 56) = 2
2 = 4.
b/ 144 = 24. 32 120 = 23. 3. 5; 135 = 33. 5
ậ Ư V y CLN (144, 120, 135) = 3.
Ư ế c/ CLN(150,50) = 50 vì 150 chia h t cho 50.
Ư ế d/ CLN(1800,90) = 90 vì 1800 chia h t cho 90.
Bài 3: Tìm
a/ BCNN (24, 10) b/ BCNN( 8, 12, 15)
ướ ẫ H ng d n
a/ 24 = 23. 3 ; 10 = 2. 5 => BCNN (24, 10) = 23. 3. 5 = 120
b/ 8 = 23; 12 = 22. 3 ; 15 = 3.5 => BCNN( 8, 12, 15) = 23. 3. 5 = 120
Ạ ậ Ơ Ư ể D NG 2: Dùng thu t toán ầ clit đ tìm CLL (không c n phân tích chúng ra th a s ừ ố
nguyên tố)
ớ ệ ậ Ơ Ư ư ự ệ ể Gi i thi u thu t toán clit: Đ tìm CLN(a, b) ta th c hi n nh sau:
ố ư Chia a cho b có s d là r
Ư Ư ừ ệ ế ạ + N u r = 0 thì CLN(a, b) = b. Vi c tìm CLN d ng l i.
ế ế + N u r > 0, ta chia ti p b cho r, đ ượ ố ư 1 c s d r
ừ ạ Ư ệ i vi c tìm CLN Ư N u rế 1 = 0 thì r1 = CLN(a, b). D ng l
ự ệ ậ ạ ư i quá trình nh trên. N u rế 1 > 0 thì ta th c hi n phép chia r cho r
1 và l p l
Ư ố ư ỏ ấ CLN(a, b) là s d khác 0 nh nh t trong dãy phép chia nói trên.
Ư Bài 1: Hãy tìm CLN (1575, 343)
ướ ẫ H ng d n:
Ta có: 1575 = 343. 4 + 203
343 = 203. 1 + 140
203 = 140. 1 + 63
140 = 63. 2 + 14
63 = 14.4 + 7
14 = 7.2 + 0 (chia h t)ế
Ư ậ V y: Hãy tìm CLN (1575, 343) = 7
ườ ư ặ ự Trong th c hành ng i ta đ t phép chia đó nh sau:
Ư Suy ra CLN (1575, 343) = 7
ừ ố Ư ằ ố ằ ậ và b ng thu t toán Bài 2: Tìm CLN(702, 306) b ng cách phân tích ra th a s nguyên t
Ơ clit.
ĐS: 18
ậ Ơ ể clit đ tìm Bài 2: Dùng thu t toán
Ư a/ CLN(318, 214)
Ư b/ CLN(6756, 2463)
ố ố ĐS: a/ 2 b/ 1 (nghĩa là 6756 và 2463 là hai s nguyên t cùng nhau).
ố ư Ạ ế ệ ề Ư Ư ỏ ề D NG 3: Tìm s ch a bi t th a mãn đi u ki n v C, BC, CLN, BCNN
ế ố ế * N u bi ỏ t s x th a mãn m x ⋮ và n x⋮ => x là C(Ư m, n)
Ư ế * N u bi t s x ỏ ấ th a mãn ớ ế ố l n nh t m x ⋮ và n x⋮ => x là CLN( m, n)
ế ố ế * N u bi ỏ t s x th a mãn x m ⋮ và x n⋮ => x là BC(m, n)
ỏ ế * N u bi ỏ ấ th a mãn t s x ế ố nh nh t x m ⋮ và x n⋮ => x là BCNN(m, n)
⋮ ố Ư * N u s x hay x là (a – k) ế ố a chia cho x d ư k => s a – k
ố ự ấ ế ằ ớ nhiên a là l n nh t bi t r ng 480 a 600 a Bài 1/ Tìm s t
ướ ẫ H ng d n :
ấ ớ vì 480 a 600 a và a là l n nh t
Ư Nên a C LN (480,600)
Ư ủ Ta có 480= 25.3.5 ; 600 = 23.3.52 => CLN c a (480,600) =2
3.3.5= 120
ậ V y a =120
ố ự ế ằ nhiên x bi t r ng 126 x 210 x và 15 < x < 30 Bài 2/ Tìm s t
ướ ẫ H ng d n:
Ư Vì 126 x ; 210 x và 15 < x < 30 nên x C (126, 210) và 15 < x < 30
Ta có 126= 2.32..7 ; 210 = 2.3.5.7
Ư => CLN(126, 210) = 2.3.7 = 42
Ư Do đó C (126,210) =
Vì 15 < x < 30 nên x =21
ố ự ấ ỏ ế ằ nhiên a nh nh t khác 0 bi t r ng a 15 a 18 Bài 3/ Tìm s t
ướ ẫ H ng d n
ấ ỏ Vì a 15 ; a 18 và a nh nh t khác 0 nên a BCNN(15,18)
Ta có 15 =3.5 ; 18 = 2.32 => BCNN(15,18) = 2.32.5 = 90
ậ V y a = 90
ỏ ơ ộ ủ Bài 4/ Tìm các b i chung c a 15 và 25 mà nh h n 400
ướ ẫ H ng d n:
Ta có : 15=3.5 ; 25= 52 => BCNN(15,25) = 3.52 =75
Nên BC(15,25) =
ủ ộ ỏ ơ Các b i chung c a 15 và 25 mà nh h n 400 là 0, 75, 150, 225,300, 375
ố ự ế ằ ư ư nhiên a bi t r ng khi chia 39 cho a thì d 4, còn khi chia 48 cho a thì d 6. Bài 5. Tìm s t
ướ ẫ H ng d n
ư ướ ủ Chia 39 cho a thì d 4 , nên a là c c a 39 – 4 = 35 và a > 4
ư ướ ủ Chia 48 cho a thì d 6 nên a là c c a 48 – 6 = 42 và a > 6 .
ướ ủ ồ ờ => a là c chung c a 35 và 42 đ ng th i a > 6.
Ư Ư (35) = { 1, 5, 7, 35} ; (42) = {1,2,3,6,7,14,21,42}.
Ư ậ C(35,42) = { 1,7}. V y a = 7 .
ố ự ế ằ ư ư nhiên a, bi t r ng khi chia 264 cho a thì d 24 ; khi chia 363 cho a thì d 43. Bài 6. Tìm s t
ướ ẫ : H ng d n
ư ố ướ ủ S 264 chia cho a d 24 nên a là c c a
ứ ủ ố ư S 363 chia cho a d 43 nên a là c c a
ướ ủ ờ ồ Do a là c chung c a 240 và 320, đ ng th i .
Ư ướ ơ ớ CLN c chung l n h n 43 là 80.
V y ậ
ố ị ươ ố ự ủ ộ ng c a m t phép chia s t nhiên bi ế t Bài 7. Xác đ nh s chia và th
ố ư ượ ố ị ế ằ r ng s b chia và các s d đ c vi ư t nh sau
ướ ẫ : H ng d n
ữ ố ủ ươ ớ ố ượ ủ ừ Tính các tích c a t ng ch s c a th ng v i s chia, ta đ c:
Phép chia có d ng:ạ
452610
ố S chia ươ Th ng 406
466
464
210
174
36
ố ướ ủ ớ ố ơ ươ S chia là c chung c a 406,464, 174 và l n h n => S chia là và th ng là
ố ự ấ ỏ ượ ố ư ứ ự nhiên nh nh t sao cho a chia cho , cho , cho đ c s d theo th t là Bài 8. Tìm s t
ướ ẫ H ng d n
chia cho 3 d 1ư
chia cho 5 d 1ư
chia cho 7 d 1ư
ể ấ ỏ Do đó: . Đ a nh nh t thì là
ự ế Ạ D NG 4: Các bài toán th c t
ộ ớ ữ ọ ổ ố sao cho s nam và Bài 1: M t l p h c có 24 HS nam và 18 HS n . Có bao nhiêu cách chia t
ề ố ữ ượ s n đ ổ c chia đ u vào các t ?
ướ ẫ H ng d n
S t ố ổ ướ là ủ c chung c a 24 và 18
ậ ướ ủ ợ T p h p các c c a 18 là A =
ậ ướ ủ ợ T p h p các c c a 24 là B =
ậ ướ ủ ợ T p h p các c chung c a 18 và 24 là C = A B =
ậ ổ ổ ổ ổ V y có 3 cách chia t là 2 t ặ ho c 3 t ặ ho c 6 t .
ị ộ ộ ộ ơ ế ỗ ườ ặ ườ i, ho c 25 ng ặ i, ho c 30 Bài 2: M t đ n v b đ i khi x p hàng, m i hàng có 20 ng
ườ ề ườ ế ế ườ ừ ủ ng ừ i đ u th a 15 ng ỗ i. N u x p m i hàng 41 ng ế i thì v a đ (không có hàng nào thi u,
ở ỏ ơ ị ườ ế ằ ố ườ ủ ơ không có ai ngoài hàng). H i đ n v có bao nhiêu ng i, bi t r ng s ng i c a đ n v ị
ư ế ch a đ n 1000?
ướ ẫ H ng d n
ọ ố ườ ủ ơ G i s ng ị ộ ộ i c a đ n v b đ i là x (xN)
ư x : 20 d 15 x – 15 20
ư x : 25 d 15 x – 15 25
ư x : 30 d 15 x – 15 30
Suy ra x – 15 là BC(20, 25, 35)
Ta có 20 = 22. 5; 25 = 52 ; 30 = 2. 3. 5 => BCNN(20, 25, 30) = 22. 52. 3 = 300
BC(20, 25, 35) = 300k (kN)
x – 15 = 300k x = 300k + 15 mà x < 1000 nên
300k + 15 < 1000 300k < 985 k < (kN) => k = 1; 2; 3
ỉ Ch có k = 2 thì x = 300k + 15 = 615 41
ậ ơ ườ ị ộ ộ V y đ n v b đ i có 615 ng i
Bài 3.Tìm số tự nhiên bé nhất khi chia cho 2; 5; 11 và 26 đều dư 1.
Bài 4. Tìm các số tự nhiên a, b biết ƯCLN(a,b) = 5 và BCNN(ab) = 105
Bài 5. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 8 dư 6, chia cho 12 dư 10, chia cho 15 dư 13 và
cxhia hết co 23.
Bài 6. Tìm hai số có 3 chữ số biết tổng của chúng là bội của 504 và thương của số lớn chia
cho số nhỏ là bội của 6.
Bài 7. Cho BCN(a,b) = 60 và a = 12. Tìm b?
Bài 8. Cho một số A chia hết cho 7 và khi chia A ho 4 hoặc hoặc 6 đều dư 1. Tìm A biết A <
400.
Bài 9. Tổng số học sinh khối 6 cua một trường có khoảng từ 235 đến 250 em, khi chia cho 3
dư 2, chia cho 4 thì dư 3, chia cho 5 dư 4, chia cho 6 dư 5, chia 10 dư 9. tìm số học sinh của
khối 6
ố ự Ạ ế ộ ố ế ố ữ ệ ề Ư D NG 5: Tìm hai s t nhiên khi bi t m t s y u t trong đó có các d ki n v CLN
và BCNN.
ể ể ệ ớ ế ố Ư ự ả ố ị ễ * D a vào đ nh nghĩa CLN đ bi u di n hai s ph i tìm, liên h v i các y u t đã
ể ố cho đ tìm hai s .
ệ ặ ệ ữ Ư ố ự ủ * Quan h đ c bi t gi a CLN, BCNN và tích c a hai s t nhiên a, b đó là:
ab = (a, b).[a, b] (**)
Ư ủ Trong đó (a, b) là CLN và [a, b] là BCNN c a a và b.
ứ ệ ứ h th c (**): * Ch ng minh
Ư ọ ị Theo đ nh nghĩa CLN, g i d = (a, b)
ớ ộ => a = md ; b = nd v i m, n thu c Z
+ ; (m, n) = 1 (*)
ừ T (*) => ab = mnd
2 ; [a, b] = mnd
=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab
=> ab = (a, b).[a, b] . (**)
ố ự ế nhiên a, b bi t [a, b] = 240 và (a, b) = 16. Bài 1 : Tìm hai s t
ướ ẫ H ng d n:
ủ ư ấ ổ ả ử Do vai trò c a a, b là nh nhau, không m t tính t ng quát, gi s a ≤ b.
ừ ộ ớ T (*), do (a, b) = 16 => a = 16m ; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) v i m, n thu c Z
+ ;(m, n) = 1
ị Theo đ nh nghĩa BCNN :
[a, b] = m.n.d = m.n.16 = 240 => m.n = 15
ặ ặ => m = 1 , n = 15 ho c m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 ho c a = 48, b = 80.
ể ả ứ ể i bài toán này : ụ Chú ý: Ta có th áp d ng công th c (**) đ gi
ab = (a, b).[a, b] => m.n.162 = 240.16 => m.n = 15.
ố ươ ế ng a, b bi t ab = 216 và (a, b) = 6. Bài 2: Tìm hai s nguyên d
ướ ẫ H ng d n :
ư ậ ậ ả ử L p lu n nh bài 1, gi s a ≤ b.
ớ ộ Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n v i m, n thu c Z
+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n.
ậ ặ Vì v y : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 mn = 6 => m = 1, n = 6 ho c m = 2, n = 3
ặ => a = 6, b = 36 ho c là a = 12, b = 18.
ố ươ ế ng a, b bi t ab = 180, [a, b] = 60. Bài 3: Tìm hai s nguyên d
ướ ẫ H ng d n:
ừ T (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3.
ượ ượ ư ề ạ Tìm đ c (a, b) = 3, bài toán đ c đ a v d ng bài toán 2.
ế ặ ả K t qu : a = 3, b = 60 ho c a = 12, b = 15.
ự ế ừ ị ể ộ Ư đ nh nghĩa CLN, BCNN : Chú ý: Ta có th tính (a, b) m t cách tr c ti p t
Theo (*) ta có ab = m.n.d2 = 180 ; [a, b] = m.n.d = 60 => d = (a, b) = 3.
ố ươ ế ng a, b bi t a/b = 2,6 và (a, b) = 5. Bài 4: Tìm hai s nguyên d
ướ ẫ H ng d n:
ớ ộ Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n v i m, n thu c Z
+ ; (m, n) = 1.
ậ Vì v y : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5
=> m = 13 và n = 5 hay a = 65 và b = 25.
ố ươ ứ ố ố ớ ọ ả ả ng ng v i 2,6 ph i ch n là phân s t i gi n do (m, n) = 1. Chú ý : phân s t
ế t a/b = 4/5 và [a, b] = 140. Bài 5: Tìm a, b bi
ướ ẫ H ng d n:
ặ ặ Đ t (a, b) = d. Vì , a/b = 4/5 , m t khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b = 5d.
ư L u ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35.
ố ươ ế ng a, b bi t a + b = 128 và (a, b) = 16. Bài 6: Tìm hai s nguyên d
ướ ẫ H ng d n:
ư ậ ậ ả ử L p lu n nh bài 1, gi s a ≤ b.
ớ ộ Ta có : a = 16m ; b = 16n v i m, n thu c Z
+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n.
ậ Vì v y : a + b = 128 => 16(m + n) = 128 => m + n = 8
ặ ặ => m = 1, n = 7 ho c m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 ho c a = 48, b = 80
ế t a + b = 42 và [a, b] = 72. Bài 7: Tìm a, b bi
ướ ẫ H ng d n:
ọ ớ ộ G i d = (a, b) => a = md ; b = nd v i m, n thu c Z
+ ; (m, n) = 1.
ấ ổ ả ử Không m t tính t ng quát, gi s a ≤ b => m ≤ n.
Do đó : a + b = d(m + n) = 42 (1)
[a, b] = mnd = 72 (2)
ướ ủ ộ => d là c chung c a 42 và 72 => d thu c {1 ; 2 ; 3 ; 6}.
ầ ượ ị ủ ể ấ ỉ ườ L n l t thay các giá tr c a d vào (1) và (2) đ tính m, n ta th y ch có tr ợ ng h p d =
6
ệ ủ ề ỏ => m + n = 7 và mn = 12 => m = 3 và n = 4 . (th a mãn các đi u ki n c a m, n).
ậ V y d = 6 và a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24
ế t a b = 7, [a, b] = 140. Bài 8: Tìm a, b bi
ướ ẫ : H ng d n
ọ ộ ớ G i d = (a, b) => a = md ; b = nd v i m, n thu c Z
+ ; (m, n) = 1.
Do đó : a b = d(m n) = 7 (1’)
[a, b] = mnd = 140 (2’)
ướ ủ ộ => d là c chung c a 7 và 140 => d thu c {1 ; 7}.
ầ ượ ị ủ ể ượ ế ấ ả Thay l n l t các giá tr c a d vào (1’) và (2’) đ tính m, n ta đ c k t qu duy nh t :
d = 7 => m n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4
ậ V y d = 7 và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 .
ố ế t 7a = 11b và (a, b) = 45. Bài 9: Tìm hai s a, b bi
ố ế ổ Ư ủ ủ ằ ằ t t ng c a chúng b ng 448, CLN c a chúng b ng 16 và chúng có các Bài 10: Tìm hai s bi
ị ố ữ ố ơ ch s hàng đ n v gi ng nhau.
ố ự ấ ả ố ự ố nhiên a và b. Tìm t t c các s t ủ nhiên c sao cho trong ba s , tích c a Bài 11: Cho hai s t
ế ố ố ạ hai s luôn chia h t cho s còn l i.
