Bài giảng Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Chia sẻ: Đặng Quỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:64

Thêm vào BST

Báo xấu

103
lượt xem 21
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Chương 5: Lý thuyết chuỗi sau đây trang bị cho các bạn những kiến thức về khái niệm về chuỗi số; chuỗi số dương; chuỗi có dấu bất kỳ; chuỗi lũy thừa. Mời các bạn tham khảo bài giảng để bổ sung thêm kiến thức về lĩnh vực này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Chương 5 – Lý thuyết chuỗi Chương 5: LÝ THUYẾT CHUỖI 1. KHÁI NIỆM VỀ CHUỖI SỐ 2. CHUỖI SỐ DƯƠNG 3. CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ 4. CHUỖI LŨY THỪA 1
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi 1. KHÁI NIỆM VỀ CHUỖI SỐ 1.1. Định nghĩa. Cho một dãy vô hạn các số thực u1, u2 ,..., un ,... +∞ • Tổng u1 + u2 + ... + un + ... ≡ ∑u n =1 n được gọi là chuỗi số, đọc là “chuỗi un”. • Các phần tử u1, u2 ,..., un ,... là các số hạng của chuỗi số và un được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi. 2
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi VD 1. +∞ 1 1 1 1 1 ∑ n =1 n = + + + ... + + ... 1 2 3 n +∞ 1 1 1 1 ∑ n =1 n (n + 1) = + 1.2 2.3 + ... + n (n + 1) + ... +∞ (−1) n 1 1 1 1 ∑ n =1 n = −1 + − + − + ... 2 3 4 5 3
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi 1.2. Sự hội tụ của chuỗi số • Với mỗi n ∈ ℕ , ta đặt: Sn = u1 + u2 + ... + un , tức là S1 = u1, S 2 = u1 + u2 , S 3 = u1 + u2 + u 3 ,... • S n được gọi là tổng riêng thứ n và dãy các phần tử {Sn } được gọi là dãy tổng riêng phần của chuỗi số. • Nếu {S n } hội tụ về một giới hạn S hữu hạn thì ta nói chuỗi đã cho hội tụ. Ngược lại, ta nói chuỗi phân kỳ. 4
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi +∞ VD 2. Khảo sát sự hội tụ của ∑ với a < 1. a n n =1 Giải Với mỗi n ∈ ℕ , ta đặt  1 − a  n S n = a + a + a + ... + a = a  2 3 n  .  1−a   1 − a n  lim Sn = lim a   = a lim (1 − a n ) n →+∞ n →+∞  1 − a  1 − a n →+∞ = a 1 −a ( 1 − lim a = n →+∞ n a 1 −a ) . 5
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi +∞ +∞ Vậy chuỗi ∑ a hội tụ và ∑ a = n n =1 n n =1 a 1 −a ( ) , a
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi +∞ 1 VD 3. Khảo sát sự hội tụ của ∑ . n =1 n (n + 1) Giải Với mỗi n ∈ ℕ , ta đặt: 1 1 1 1 Sn = + + + ... + 1.2 2.3 3.4 n (n + 1)  1 1 1  1 1  1 1  = 1 −  +  −  +  −  + ... +  −   2 2 3  3 4   n n + 1 1 = 1− . n +1 7
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi  1  lim Sn = lim 1 −  = 1. n →+∞ n →+∞  n + 1 +∞ +∞ 1 1 Vậy chuỗi ∑ hội tụ và ∑ n =1 n (n + 1) = 1. n =1 n (n + 1) 8
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi +∞  1 VD 4. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số: ∑ ln 1 +  n =1  n Giải Với mỗi n ∈ ℕ , ta đặt:  1  1  1 S n = ln 1 +  + ln 1 +  + ... + ln 1 +   1  2  n 2 3 4  n + 1 = ln   + ln   + ln   + ... + ln   1 2 3  n   2 3 4 n + 1 = ln  . . ....  = ln (n + 1). 1 2 3 n  9
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi ⇒ lim S n = lim ln (n + 1) = +∞. n →+∞ n →+∞ +∞  1 Vậy chuỗi ∑ ln 1 +  phân kỳ. n =1  n 10
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi +∞ 1 VD 5. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số: ∑ n =1 n . Giải Với mỗi n ∈ ℕ , ta đặt: 1 1 1 1 Sn = + + + ... + 1 2 3 n 1 1 1 1 > + + + ... + n n n n 1 = n. = n. n 11
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi ⇒ lim S n ≥ lim n = +∞ ⇒ lim Sn = +∞. n →+∞ n →+∞ n →+∞ +∞ 1 Vậy chuỗi ∑ n =1 n phân kỳ. 12
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi 1.3. Điều kiện cần cho sự hội tụ +∞ Mệnh đề. Nếu chuỗi ∑u n =1 n hội tụ thì lim un = 0. n →+∞ +∞ Hệ quả. Nếu lim un ≠ 0 thì chuỗi n →+∞ ∑u n =1 n phân kỳ. 13
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi +∞ 4 n VD 6. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số: ∑ 3n n =1 4 +2 14
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi   n +∞ 1 VD 7. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số: ∑ 1 +  .  n =1  n  15
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi 1.4. Các tính chất +∞ +∞ +∞ • Nếu ∑u , ∑vn n hội tụ thì ∑ (u n =1 n ± vn ) hội tụ và n =1 n =1 +∞ +∞ +∞ ∑ (u n =1 n ± v n ) = ∑ un ± n =1 ∑v . n =1 n +∞ +∞ • Nếu chuỗi ∑u n hội tụ thì ∑ λu n =1 n hội tụ và n =1 +∞ +∞ ∑ λun =1 n = λ ∑ un , n =1 ∀λ ∈ ℝ. 16
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi Mệnh đề (chuỗi hình học) +∞ ∑a n =1 n hội tụ ⇔ a < 1. 17
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi 2. CHUỖI SỐ DƯƠNG +∞ 2.1. Định nghĩa. Nếu un ≥ 0, ∀n ∈ ℕ thì chuỗi ∑u n =1 n được gọi là chuỗi số dương. 2.2. Các tiêu chuẩn hội tụ a) Tiêu chuẩn tích phân của Cauchy Cho f là hàm liên tục, không âm và giảm trên [k, +∞) 18
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi Khi đó, +∞ +∞ ∑ f (n ) hội tụ khi và chỉ khi ∫ n =k k f (x )dx hội tụ. +∞ 1 VD 8. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ p . n =1 n Giải 1 • TH1: Nếu p ≤ 0 thì lim ≠ 0. Do đó, chuỗi phân n →+∞ n p kỳ. 19
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi • TH2: p > 0 1 1 Từ chuỗi ⇒ k = 1; f (n ) = p ⇒ f (x ) = p . n x 1 Ta thấy f (x ) = p liên tục, dương, giảm trên [1, +∞) x +∞ +∞ 1 1 Suy ra ∑ và ∫ p dx cùng bản chất hội tụ. p n =1 n 1 x +∞ 1 Mà ∫1 x p dx hội tụ nếu và chỉ nếu p > 1. 20