Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
Chương 5: LÝ THUYẾT CHUỖI
1. KHÁI NIỆM VỀ CHUỖI SỐ
2. CHUỖI SỐ DƯƠNG
3. CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ
1
4. CHUỖI LŨY THỪA
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
1. KHÁI NIỆM VỀ CHUỖI SỐ
u
,...,
,...
n
u u , 1
2
+∞
1.1. Định nghĩa. Cho một dãy vô hạn các số thực
u
u
...
...
n
n
u 1
2
n
= 1
• Tổng được gọi là
+ + + + ≡ ∑ u nu
u
,...,
u u , 1
2
chuỗi số, đọc là “chuỗi ”.
nu
2
• Các phần tử là các số hạng của chuỗi ,... n số và được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi.
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
+∞
...
...
1 n
1 = + + + + + 3
1 2
1 1
1 ∑ n n = 1
+∞
=
+
+ + ...
+
...
1 1.2
1 2.3
) 1
1 n n ( +
) 1
1 ∑ n n n ( + = 1
+∞
1
...
∑
n ( ) − 1 n
1 = − + − + − + 3
1 2
1 4
1 5
n
= 1
3
VD 1.
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
S
u
...
,
n
n
u = + + + 2
u 1
u
u
=
= + +
,...
S tức là 1
u S , 1
2
u = + 1
u S , 2
3
u 1
2
3
n
nS• được gọi là tổng riêng thứ và dãy các phần tử { }nS được gọi là dãy tổng riêng phần của chuỗi số.
1.2. Sự hội tụ của chuỗi số n ∈ ℕ • Với mỗi , ta đặt:
S
{ }nS
• Nếu hội tụ về một giới hạn hữu hạn thì ta
4
nói chuỗi đã cho hội tụ. Ngược lại, ta nói chuỗi phân kỳ.
+∞
n
a <
1.
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
a
∑
n
= 1
VD 2. Khảo sát sự hội tụ của với
n ∈ ℕ Với mỗi , ta đặt
n
2
3
a
a
a
a
= + + + +
...
.
nS
= a
na − 1 − a 1
n
n
a
=
−
S
a
=
)
n
lim n →+∞
lim n →+∞
( lim 1 a →+∞ n
a −
1
− a 1 − a 1
n
a
=
−
=
.
5
Giải
( 1
)
lim n →+∞
a
a
a −
1
a −
1
+∞
n
n
a
a
a
=
,
<
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
(
) 1 .
∑
a
a −
1
n
n
= 1
+∞ ∑ Vậy chuỗi hội tụ và = 1
6
+∞
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
. ) 1
1 +∑ n n n ( = 1
VD 3. Khảo sát sự hội tụ của
n ∈ ℕ Với mỗi , ta đặt:
=
+
+
+ + ...
nS
1 1.2
1 2.3
1 3.4
1 n n ( +
) 1
...
= − + − + − + + −
1
1 n
n
1 2
1 3
1 3
1 4
1 + 1
.
= − 1
7
n
1 2 1 +
1
Giải
S
1.=
=
−
n
lim n →+∞
lim 1 n →+∞
n
1 + 1
+∞
+∞
=
1.
) 1
) 1
1 +∑ n n n ( = 1
1 +∑ Vậy chuỗi hội tụ và n n n ( = 1
8
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
+∞
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
∑
1 + ln 1 n
n
= 1
VD 4. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:
n ∈ ℕ Với mỗi , ta đặt:
=
+ + +
...
+
nS
ln 1
ln 1
ln 1
1 n
1 2
1 + + 1
n
=
ln
+
ln
+
ln
+ + ...
ln
+ 1 n
4 3
2 1
3 2
n
=
ln
+
n (
) 1 .
.
.
....
= ln
+ 1 n
2 3 4 1 2 3
9
Giải
S
⇒
=
+ = +∞ .
n
( n
) 1
lim n →+∞
lim ln n →+∞
+∞
∑
1 + ln 1 Vậy chuỗi phân kỳ. n
n
1 =
10
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
+∞
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
.
∑
1 n
n
= 1
VD 5. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:
n ∈ ℕ Với mỗi , ta đặt:
=
+
+
+ + ...
nS
1 n
1 1
1 2
1 3
>
+
+
+ + ...
1 n
1 n
1 n
1 n
n
n
=
.
=
.
11
1 n
Giải
S
n
⇒
≥
S
n
⇒
= +∞ .
n
lim n →+∞
lim n →+∞
n
= +∞ lim →+∞
+∞
∑
1 n
n
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
12
Vậy chuỗi phân kỳ. 1 =
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
+∞
u
1.3. Điều kiện cần cho sự hội tụ
u
=
0.
n
n
∑
lim n →+∞
n
1 =
+∞
u
u
(cid:1) Mệnh đề. Nếu chuỗi hội tụ thì
≠
n
n
∑
lim n →+∞
n
1 =
13
(cid:1) Hệ quả. Nếu thì chuỗi phân kỳ. 0
4
+∞
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
2
n
n +∑ 4 n 1 3 =
14
VD 6. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:
+∞
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
.
∑
n
= 1
n 1 + 1 n
15
VD 7. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
+∞
+∞
+∞
1.4. Các tính chất
v
v
)
n
n
n
±∑ ( u
∑ ∑ u ,n
n
= 1
n
n
= 1
= 1
+∞
+∞
+∞
v
u
v
±
=
.
( u
)
n
n
n
n
∑
∑ ∑ ±
n
n
n
= 1
= 1
= 1
+∞
+∞
• Nếu hội tụ thì hội tụ và
uλ
u
n
n
∑
∑
n
= 1
n
= 1
+∞
+∞
λ
λ
u
u
=
,
λ ∀ ∈
ℝ .
n
n
∑
∑
n
n
= 1
= 1
16
• Nếu chuỗi hội tụ thì hội tụ và
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
+∞
n
a
1.
a⇔ <
∑ hội tụ
n
= 1
17
(cid:1) Mệnh đề (chuỗi hình học)
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
2. CHUỖI SỐ DƯƠNG
+∞
u
≥ ∀ ∈ ℕ n
0,
n
nu 2.1. Định nghĩa. Nếu thì chuỗi
∑
n
1 =
được gọi là chuỗi số dương.
2.2. Các tiêu chuẩn hội tụ
a) Tiêu chuẩn tích phân của Cauchy
f
,k +∞ [
)
18
Cho là hàm liên tục, không âm và giảm trên
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
+∞
+∞
f x dx ( )
f n ( )
∑ hội tụ khi và chỉ khi hội tụ.
∫
k
n k =
+∞
Khi đó,
1 ∑ .p n n 1 =
VD 8. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
p ≤
0
≠
0.
lim n →+∞
1 • TH1: Nếu thì Do đó, chuỗi phân p n kỳ.
19
Giải
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
p >
0
• TH2:
f n ( )
=
k⇒ =
1;
⇒
f x ( )
=
1 p n
1 .p x
Từ chuỗi
f x ( )
=
[ 1, +∞
)
1 p x
+∞
+∞
dx
∫1
1 Suy ra và cùng bản chất hội tụ. p x
1 ∑ p n n = 1
+∞
Ta thấy liên tục, dương, giảm trên
p
dx
> 1.
∫1
1 p x
20
Mà hội tụ nếu và chỉ nếu
+∞
p
> 1.
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
1 ∑ p n n = 1
Do đó hội tụ nếu và chỉ nếu
+∞
p⇔ >
1.
1 ∑ hội tụ p n n = 1
21
(cid:1) Mệnh đề (chuỗi điều hòa)
+∞
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
.
n
1 3 ln
∑ n n = 2
VD 9. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
Giải
k⇒ =
2;
f n ( )
=
⇒
f x ( )
=
.
n
n
x
x
1 3 ln
1 3 ln
Từ chuỗi
f x ( )
=
[ 2,
) .+∞
x
x
1 3 ln
+∞
liên tục, dương, giảm trên
I
dx
.
= ∫
2
x
x
1 3 ln
22
Xét tích phân suy rộng:
t
x
=
ln
dt ⇒ =
.
dx x
)
x
t
x
t
= +∞ ⇒ =
ln
+∞ = +∞ . (
= ⇒ =
2
ln 2;
+∞
I
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
ln 2
dt = ∫ 3 t chuỗi đã cho hội tụ.
23
Khi đó: . Đây là tích phân hội tụ. Do vậy
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
+∞
+∞
b) Tiêu chuẩn so sánh 1
v
n
∑ ∑ u ,n
n
n
1 =
1 =
0
,
n ∀ ∈
ℕ .
u ≤ ≤ n
v n
+∞
+∞
Cho các chuỗi số dương thỏa mãn
u
v
n
n
∑
∑
n
= 1
n
= 1
+∞
+∞
• Nếu chuỗi hội tụ thì chuỗi hội tụ.
v
u
n
n
∑
∑
n
= 1
n
= 1
24
• Nếu chuỗi phân kỳ thì chuỗi phân kỳ.
+∞
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
.
1 ∑ 2n n n 1 =
25
VD 10. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:
+∞
n
ln
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
.
∑
n
=
3
n
VD 11. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
+∞
+∞
c) Tiêu chuẩn so sánh 2
v
n
∑ ∑ u ,n
n
= 1
u
n
k
=
n 1 = Khi đó
0, ∈ +∞
lim n →+∞
.
v
n
+∞
+∞
Cho các chuỗi số dương . Đặt
0
v
n
∑ ∑ u ,n
n
n
= 1
= 1
+∞
+∞
v
u
• k< < +∞ : cùng tính chất.
0 :
n
n
∑
∑
n
= 1
n
= 1
+∞
+∞
u
• hội tụ thì chuỗi hội tụ. k =
:
v
n
n
∑
27
∑
n
= 1
n
= 1
• hội tụ thì chuỗi hội tụ. k = +∞
+∞
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
.
n + 1 +∑ 2 n 2 3
n
= 1
VD 12. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
+∞
n
1
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
.
∑
+ 5
n
= 1
n 2
+
3
VD 13. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
+∞
) 1
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
n n ( +∑ 2 n n .3
n
= 1
VD 14. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi:
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
+∞
+ 1
d) Tiêu chuẩn tỷ số của D’Alembert
C
u
=
.
.n
∑
lim n →+∞
u n u
n
= 1
n
+∞
u
n
∑1C < • Nếu thì hội tụ.
n
= 1
+∞
u
Cho chuỗi số dương Đặt
n
∑1C >
n
= 1
• Nếu thì phân kỳ.
1C =
31
• Nếu thì ta chưa có kết luận.
3
+∞
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
∑
n .n e
n
= 1
VD 15. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
+∞
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
∑
. !
2 ( ) n ! n ( ) 2
n
= 1
VD 16. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
Giải
34
n
−
≥
1,
( n
) n 1 . ,
n
1)
!
n
=
0.
k
2)
!
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
( k
( k + = + ×
) 1
e .
n
1 n
+ 3) lim 1 →+∞
a
e
=
,
∈
.
( a
)ℝ
n
35
a n
+ 4) lim 1 →+∞
n = n
(cid:1) Ghi chú 1.2... = 1, ) 1 !
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
+∞
n
e) Tiêu chuẩn căn số của Cauchy
D
u
u
=
.
n
.n
∑
lim n →+∞
n
= 1
+∞
u
n
∑1D < • Nếu thì hội tụ.
n
= 1
+∞
u
Cho chuỗi số dương Đặt
n
∑1D >
n
= 1
• Nếu thì phân kỳ.
1D =
36
• Nếu thì ta chưa có kết luận.
+∞
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
.
∑
n
1 n 3
1 =
n 1 + 1 n
37
VD 17. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2
n
+∞
+
( n
) 1
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
.
2
∑
n
n
1 =
n
n 2
38
VD 18. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
3. CHUỖI CÓ DẤU TÙY Ý
+∞
ℝ
n
nu ∈
∑
n
u 3.1. Định nghĩa. Chuỗi với được gọi là = 1
+∞
sin
=
sin1
+
sin 4
+
sin 9
+
...
chuỗi có dấu tùy ý.
( n
)2
∑
n
= 1
+∞
= −
+
−
+
...
n ( ) − 1
∑
n
n +
1
1 2
2 3
3 4
n
= 1
39
VD 19.
+∞
+∞
u
u
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
n
∑
∑
n
= 1
n
= 1
+∞
+
1
( −
n ) 1
(cid:1) Mệnh đề. Nếu hội tụ thì hội tụ. n
∑
4
3
n
= 1
n
n
+
n 2 (
. ) 1
VD 20. Xét sự hội tụ của chuỗi
41
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
n
)
( n cos 2 n
n
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
+∞ ∑ VD 21. Chuỗi hội tụ. = 1
+∞
+∞
u
u
n
n
∑
∑
n
= 1
n
= 1
+∞
u
(cid:1) Lưu ý. Khi chuỗi có hội tụ thì ta nói
n
∑
n
= 1
42
chuỗi hội tụ tuyệt đối.
+∞
+ 1
α
=
n
∑
u lim n u n →+∞
n
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
n
α
(cid:1) Định lý. Cho chuỗi . Đặt u = 1
u
=
n
lim n n →+∞
1α <
. Khi đó hay
• Nếu thì chuỗi đã cho hội tụ.
1α >
43
• Nếu thì chuỗi đã cho phân kỳ.
+∞
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
.
n ) ( 3 −∑ 3 n
n
= 1
44
VD 22. Khảo sát tính hội tụ của chuỗi:
+∞
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
u
u
>
,
0.
( −
n ) 1
n
n
∑
n
= 1
(cid:2) Chuỗi đan dấu: Dạng
(cid:1) Tiêu chuẩn Leibnitz
{ }nu
u
1 n )
n
n
+∞ −∑ ( chuỗi đan dấu hội tụ. = 1
45
Nếu là dãy số dương, giảm và hội tụ về 0 thì
+∞
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
.
n ) ( 1 −∑ n
n
= 1
46
VD 23. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi:
n
+∞
∑
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
= 1
) 1 +
( − ( n ln
. ) 1
VD 24. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi: n
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
48
Vậy theo tiêu chuẩn Leibnitz, chuỗi đã cho hội tụ.
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
4. CHUỖI LŨY THỪA
( ),...
f x 1( ),...,
f x n cùng xác định trên tập hợp Ta gọi tổng
+∞
( ), (1)
...
+
+ + ...
f x ( ) n
f x n
f x ( ) 1
f x ( ) 2
+ ≡ ∑
n
1 =
4.1. Định nghĩa. Cho dãy hàm số D ⊂ ℝ .
+∞
n
n
2
là chuỗi hàm số (hay vắn tắt là chuỗi hàm).
x
x
x
x
...
...
3 x = + + + + +
∑
n 1 = +∞
nx
x
nx
−
x −
−
2 −
e
e
e
e
...
=
+
+ + ...
+
∑
49
n
1 =
VD 25.
+∞
D∈
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
( f x • Nếu tại , là một chuỗi số hội tụ n
)0
0x
∑
n
1 =
0x
(phân kỳ) thì ta nói là điểm hội tụ (điểm phân kỳ)
của chuỗi hàm (1).
• Tập hợp các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là
50
miền hội tụ của chuỗi hàm.
+∞
−
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
ne
.nx
∑
n
= 1
VD 26. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
+∞
−
ℝ
Giải
x
x = ∈0
∑ 0 .nx ne
n
1 =
nx
−
x −
x −
n
0
0
0
n
D
ne
ne
e
=
=
=
.
lim n →+∞
lim n →+∞
+∞
nx
−
Thay , ta được chuỗi số
D
x
< ⇒ >
1
0
0
∑ 0 ne
n
1 =
51
• Nếu . Khi đó, phân kỳ.
+∞
nx
−
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
D
x
> ⇒ <
1
0
0
∑ 0 ne
n
1 =
+∞
• Nếu . Khi đó, hội tụ.
n
x
0
=0
∑
1n =
• Nếu thì chuỗi có dạng . Đây là chuỗi
phân kỳ.
D
= +∞0,
.
(
)
52
Vậy, miền hội tụ của chuỗi là
n
2
+∞
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
.
∑
x n
!
n
= 1
VD 27. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
n
+∞
ℝ
Giải
x
x = ∈0
∑
2 x 0 n
!
n
1 =
Thay , ta được chuỗi số
x
0
=0
x
0
• Nếu thì chuỗi hội tụ.
n
1 )+
n ( 2 0
C
=
0 = <
1.
=
:
lim n →+∞
lim n →+∞
n
2 x 0 n
2 x 0 +
1
1)!
!
x n + (
53
• Nếu , ta có ≠0
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
Theo tiêu chuẩn tỷ số, ta suy ra chuỗi hội tụ.
D = ℝ .
54
Vậy miền hội tụ của chuỗi là:
+∞
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
1 ∑ .x n n = 1
VD 28. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
Giải
x >
1
x ≤
1
• Với , chuỗi đã cho hội tụ.
• Với , chuỗi đã cho phân kỳ.
.
D = +∞ ( 1;
)
55
Vậy miền hội tụ của chuỗi là:
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
4.2. Chuỗi lũy thừa
+∞
n
2
a
a
−
−
+
( c x n
)
) a − +
)
( ) ..., 2
c = + 0
( c x 1
( c x 2
∑
n
=
0
• Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm dạng
,
,
,...,
ℝ .
c ∈ n
a c c 1 2
a
với
• Điểm được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa (2).
,...,
,...
c n
c c 2, 1
56
• được gọi là các hệ số của chuỗi (2).
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
• Bằng phép biến đổi tuyến tính, chuỗi lũy thừa trên
+∞
n
n
2
+
+
... + +
c x n
c x n
( ) ... , 3
c ≡ + 0
c x 1
c x 2
∑
n
0
=
được viết lại dưới dạng:
(cid:1) Định lý
1x
x
x
x
;
.
1
1
Nếu chuỗi (3) hội tụ tại thì nó sẽ hội tụ tại mọi điểm
( ∈ −
)
57
2x Nếu chuỗi (3) phân kỳ tại thì nó sẽ phân kỳ tại mọi
x
x điểm mà
x>
2.
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
(cid:1) Định nghĩa
x
R R ,
( ∈ −
)
x
x
R
R> kỳ tại mọi điểm mà thì được gọi là bán
Nếu chuỗi (3) hội tụ tại mọi điểm và phân
58
kính hội tụ của chuỗi (3).
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
(cid:1) Hệ quả
R = +∞ .
x ∈ ℝ
• Nếu chuỗi (3) hội tụ với mọi thì
R =
0.
x =
0
59
• Nếu chuỗi (3) chỉ hội tụ tại thì
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
+∞
+ 1
n
r Cho Đặt hay
=
r
a
.n
=
.
a x n
n
∑
lim n →+∞
a lim n a n →+∞
n
=
0
n
(cid:1) Định lý
r
,
=
0,
R
r
0,
, = +∞
r
,
0
< < +∞ .
1 r
+ ∞ =
60
Khi đó, bán kính hội tụ được cho bởi:
+∞
n
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
x
.
n ) ( −∑ 1 n
n
= 1
61
VD 29. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi
+∞
.n Cho chuỗi lũy thừa Để tìm miền hội tụ, ta tiến
a x n
∑
=
0
n hành các bước sau:
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi (cid:1) Thuật toán tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
.R
Tìm bán kính hội tụ Bước 1.
0R =
D =
{ }0 .
• Nếu thì miền hội tụ là
R = +∞
D = ℝ .
• Nếu thì miền hội tụ là
0 R< < +∞
;R R− (
)
62
• Nếu thì ta có khoảng hội tụ là
Lúc này ta chuyển sang bước 2.
x
= −
R x R .
=
,
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
x
Bước 2. Xét tính hội tụ của chuỗi tại
D
R= ±
R R ;
.
[ = −
]
• Hội tụ tại thì miền hội tụ là
D
x R=
= − (
R R ;
].
D
x
= − [
R R ;
).
• Chỉ hội tụ tại thì miền hội tụ là
x
• Chỉ hội tụ tại thì miền hội tụ là R= −
.
R R− ( ;
)
63
• Không hội tụ tại thì miền hội tụ là R= ±
+∞
n
Chương 5 – Lý thuyết chuỗi
x
.
n ) ( −∑ 1 n
n
= 1
+∞
VD 30. Tìm miền hội tụ của chuỗi
.
n x ) ( −∑ 1 n n 2
n
= 1
+∞
n
n
x
2
.
VD 31. Tìm miền hội tụ của chuỗi
∑
n
= 1
VD 32. Tìm miền hội tụ của chuỗi
64
-------------------------Hết chương --------------------
