Bài tập ví dụ củng cố kiến thức chương Đạo hàm và Vi tích phân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Bài tập ví dụ củng cố kiến thức chương Đạo hàm và Vi tích phân" bao gồm các bài tập về: Quy tắc Lopitan, chuỗi lũy thừa, tìm miền hội tụ và bán kính hội tụ, tính tích phân suy rộng. Tài liệu nhằm giúp các bạn sinh viên củng cố và tóm tắt các kiến thức trọng tâm về đạo hàm và vi tích phân. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập ví dụ củng cố kiến thức chương Đạo hàm và Vi tích phân

BÀI TẬP VÍ DỤ CŨNG CỐ KIẾN THỨC CHƯƠNG ĐẠO HÀM VÀ VI TÍCH PHÂN *Các bạn theo dõi phân tóm tắt lý thuyết để nắm lý thuyết trọng tâm nhé Dạng bài ôm sát đề thi Chương: Đạo hàm *Quy tắc Lopitan ln(1  x)  x Bài 1: Tính lim x 0 tan 2 x x ln(1  x)  x [ ln(1  x)  x]' 1 x lim  lim  lim x 0 2 tan x x 0 (tan 2 x) ' x 0 1 2 tan x cos 2 x  x cos3 x ( x cos3 x) ' 3cos 2 x.sin x  cos3 x  lim  lim  lim x 0 2(1  x)sin x x 0 (2(1  x)sin x) ' x 0 2sin x  2cos x.(1  x) 1  2 ln(tan x) Bài 2: Tính lim x  4 cot 2x 1 1 . 2 ln(tan x) [ln(tan x)]' lim  lim  lim tan x cos x x  cot 2x x  (cot 2x) ' x  1 1 4 4 4 . sin 2 2x 2  sin x  lim 2 3  1 x  2sin 2x.cos x  4 1 1  Bài 3: Tính lim     x 0 x arcsin x  Ta tìm (arcsin x)’.   arcsin x là hàm ngược của sinx x  ( , ) nên theo lý thuyết ta tìm đạo hàm của nó như 2 2 sau Đặt y = sin x y  sin x  y '  cos x  1  sin 2 x  1  y 2 Hay arcsin x '  1 1 1 1 x2 arcsin(sin x) '  arcsin y '   y' 1  y2 1 1  arcsin x  x (arcsin x  x) ' lim     lim  lim  x 0 x arcsin x  x 0 x.arcsin x x 0 (x.arcsin x) ' 1  1  1   1 '  1 x 2  lim 1 x2  lim  x 0 x x 0  x   arcsin x   arcsin x  ' 1 x 2  1 x 2 
2x 3  lim 2 1  x 2 0 x 0 2x 1  x  x. 2 2 1 x2  1 1 x2 1 x2 *Chuỗi lũy thừa x 2n  Bài 4: Tìm miền hội tụ và bán kính hội tụ của  n n 1 n.9 Đặt t  x 2  1 1 Chuỗi trở thành  n.9 n 1 n (t  0) n với c n  9n n c n 1 9n n n 1 lim  lim  lim  0 n  c n  9.9 n.(n  1) n  9(n  1) 9 n 1 1 Vậy bán kính hội tụ R   9 L 1 9 Xét sự hội tụ tại hai đầu mút x  a  3  3  1 Tại x  a  3  3 chuỗi trở thành  là chuỗi điều hòa nên phân kỳ. n 1 n Vậy miền hội tụ là (-3,3) n (1) n  1  x   Bài 5: Tìm miền hội tụ và bán kính hội tụ của  .  n 1 2n  1  1  x  1 x  Đặt t    1 x   (1) n (1) n  2n  1 .  t  0  với c n  n Chuỗi trở thành n 1 2n  1 c n 1 2n  1 2n  1 lim  lim .(1)  lim 1 0 n  cn n  2(n  1)  1 n  2n  3 1 1 Vậy bán kính hội tụ R   1 L 1 1 x  Miền hội tụ của chuỗi là a  1  t  a  1  1  t  1  1    1 x  0 1 x  Xét sự hội tụ của chuỗi tại đầu mút x = 0
 (1) n  (1) n Chuỗi trở thành  2n  1 là chuỗi Lebnizt hội tụ do n 1  2n  1 là chuỗi đan dấu và dãy n 1 1 an  là dãy dương giảm 2n  1 Vậy miền hội tụ là [0, ) 41 2n  Bài 6: Tìm miền hội tụ và bán kính hội tụ của  n 1 .  x  3 n n 1 4 41 2n Chuỗi là chuỗi lũy thừa với c n  , a  3 4n 1 c n 1 42n  2 4n lim  lim 2n . n 1  4 n  cn n  4 4 1 1 Vậy bán kính hội tụ R   L 4 1 Ta xét sự hội tụ tại 2 đầu mút x  a  R  3  4 1  Tại x  3  , chuỗi trở thành  (1) n không hội tụ do với n lẻ, chuỗi hội tụ về -1, với n 4 n 1 chẵn, chuỗi hội tụ về 0. Điểm hội tụ không có định nên chuỗi không hội tụ. 1  Tại x  3  , chuỗi trở thành 1 là chuỗi phân kỳ 4 n 1 1 1 Vậy miền hội tụ là (3  , 3  ) 4 4 Chương: TÍCH PHÂN  1 Bài 7: Tính tích phân suy rộng sau 3 3 dx x2 Đây là tích phân suy rộng loại 1. t  1 t 1  2  3 3 dx  lim 3 t  3 dx  lim  t    x2 3 x2 x2  2 2   lim    t   t2 3 2  2  2  khi t     0  lim  0 t2 t   t2   2 2  lim   2 t   t2 3 2  Vậy tích phân hội tụ về 2  x.arctanx Bài 8: Tính tích phân suy rộng sau 0 (1  x 2 ) 2 dx Dễ thấy đây là tích phân suy rộng loại 1
 x.arctanx t x.arctanx 0 (1  x ) 2 2 dx  lim 0 t  (1  x 2 ) 2 dx Ta tìm (arctan x)’, đặt y  tan x  y '  1  tan 2 x  1  y 2   Theo cách tìm đạo hàm hàm ngược (arctan x là hàm ngược của tanx x  ( , ) ) 2 2 1 1 arctan(tan x) '  arctan(y) '   y ' 1  y2 1 Hay arctan(x) '  . 1 x2 dx Đặt u  arctan x  du  và x  tan u 1 x2 arctan t u.tan u 1  du  lim   sin(2x)  2x cos(2x)   arctan t Tích phân trở thành lim arctan 0 t  1  tan u 2  t  8  arctan 0 1  lim t  8 sin(2arctan t)  2.arctan t.cos(2arctan t)  sin 0  2.0.cos 0  Do khi t    arctan t  2 1  lim  sin(2arctan t)  2.arctan t.cos(2arctan t)  sin 0  2.0.cos 0  t  8 8  Vậy tích phân hội tụ về 8 14 dx Bài 9: Tính tích phân suy rộng sau 2 4 x2 Ta thấy đây là tích phân suy rộng loại 2 14 dx 14 dx 2 4  lim t 4 x  2 t 2 x2    32 14 4 3 4 3 3  lim  4 x  2   lim 4 14  2  4 t  2  t 2  3 t t 2  3 3 5 xdx Bài 10: Xác định tích phân suy rộng sau hội tụ hay phân kỳ  0 x2 x Ta thấy hàm số f (x)  không xác định tại x=2 x2 Vậy đây là tích phân suy rộng loại 2 5 xdx 2 xdx 5 xdx t xdx 5 xdx 0 x  2  0 x  2  2 x  2  lim 0 x  2  lim t x  2 t 2 t 2  lim  x  2ln (x  2)   lim  x  2 ln(x  2)  t 5 t 2 0 t 2 t  lim  t  2ln t  2  2ln 2   lim  5  2ln 3  t  2ln t  2  t 2 t 2
t  2   lim t  2    Ta có khi   t  2  0   t  2  *xem thêm đồ thị hàm số y = lnx t  2   lim t  2    t 2 Vậy tích phân suy rộng phân kỳ 1 0 ex Bài 11: Tính tích phân suy rộng sau   x2 dx 1 ex Ta thấy tích phân vừa có cận từ  vừa có cận tại 0 mà tại đó hàm số f (x)  2 không xác x định, vậy đây là sự kết hợp của tích phân loại 1 và tích phân loại 2 Tích phân trở thành 1  1   k    lim  lim  e x   1 0 ex k ex  lim  x 2 dx  tlim  k0 t x 2 dx  t   k0        t       1 1   lim  lim  e  e   t k t  k 0     1 1 Khi t     0  e t  e0  1 t 1 1 Khi k  0     e  e   0 *xem thêm đồ thị y  e x k k Vậy tích phân hội tụ về 1