intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài tập ví dụ Vi tích phân 1B - Chương: Đạo hàm (Phần: Các bài toán lý thuyết đạo hàm)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST
Báo xấu
1
lượt xem 0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập ví dụ vi tích phân 1B - Chương: Đạo hàm (Phần: Các bài toán lý thuyết đạo hàm) bao gồm các nội dung: Bài tập về định nghĩa đạo hàm, bài tập về đạo hàm hàm ẩn, bài tập về đạo hàm hàm ngược, bài tập về dùng quy tắc Lopital để tính giới hạn. Đây là tài liệu hữu ích giúp các bạn có thêm tài liệu ôn thi, kiểm tra hiệu quả. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm chi tiết!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập ví dụ Vi tích phân 1B - Chương: Đạo hàm (Phần: Các bài toán lý thuyết đạo hàm)

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BTC ÔN THI HỌC KỲ 1 KHÓA 2016 BÀI TẬP VÍ DỤ VI TÍCH PHÂN 1B CHƯƠNG: ĐẠO HÀM PHẦN: CÁC BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐẠO HÀM  Lâm Cương Đạt Cập nhật: 02/02/2017
  2. Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016 Bài tập về định nghĩa đạo hàm 1. Tìm phương trình của đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm có tọa độ cho trước bằng định nghĩa đạo hàm. a. y  4x  3x 2 ,(2, 4) c. y  x,(1,1) b. y  x 3  3x  1,(2,3) 2x  1 d. y  ,(1,1) x2 a. Theo định nghĩa đạo hàm, ta có đạo hàm của f(x) tại a là: f (x)  f (a) 4x  3x 2  (4a  3a 2 ) f (a)  lim  lim x a x a x a x a 4(x  a)  3(x  a)(x  a)  lim  lim  4  3(x  a)  x a (x  a) x a  4  6a Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (2,-4) là: f (2)  4  2.6  8 Phương trình tiếp tuyến tại điểm (2,-4) của đồ thị hàm số là: y  f (2)  (x  2)  f (2)  8(x  2)  ( 4)  8x  12 b. Theo định nghĩa đạo hàm, ta có đạo hàm của f(x) tại a là: f (x)  f (a) x 3  3x  1  (a 3  3a  1) f (a)  lim  lim x a x a x a x a (x  a)(x +ax+a )  3(x  a) 2 2  lim  lim  x 2 +ax+a 2  3 x a (x  a) x a    3a 2  3 Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (2,3) là: f (2)  3.22  3  9 Phương trình tiếp tuyến tại điểm (2,3) của đồ thị hàm số là:
  3. Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016 y  f (2)  (x  2)  f (2)  9(x  2)  3 c. Theo định nghĩa đạo hàm, ta có đạo hàm của f(x) tại a là: f (x)  f (a) x a f (a)  lim  lim x a x a x a x a (x  a) 1  lim  lim x a (x  a).( x  a ) x a x a 1  2 a 1 1 Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (1,1) là: f (1)   2 1 2 Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1,1) của đồ thị hàm số là: 1 1 1 y  f (1)  (x  1)  f (1)  (x  1)  1  x  2 2 2 d. Theo định nghĩa đạo hàm, ta có đạo hàm của f(x) tại a là: 2x  1 2a  1  f (x)  f (a) x2 a2 f (a)  lim  lim x a x a x a x a (2x  1)(a  2)  (2a  1)(x  2) (a  2)(x  2) 4(x  a)  (x  a)  lim  lim x a (x  a) x a (a  2)(x  2)(x  a) 3 3  lim  x a (a  2)(x  2) (a  2) 2 3 1 Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (1,1) là: f (1)   (1  2) 2 3 Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1,1) của đồ thị hàm số là: 1 1 2 y  f (1)  (x  1)  f (1)  (x  1)  1  x  3 3 3
  4. Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016 2. Nếu một phương trình tiếp tuyến với đường cong y  f (x) tại điểm a = 2 là y  4x  5 , tìm f (2), f (2) . Ta viết lại phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại a = 2 y  4(x  2)  3 Ta lại có, phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại một điểm a có dạng y  f (a)(x  a)  f (a) f (a)  f (2)  4 Vậy   f (a)  f (2)  3 Bài tập về đạo hàm hàm ẩn 3. Dùng vi phân ẩn để tìm công thức của đường tiếp tuyến của đường cong tại điểm cho trước   d. x 2  2xy  y2  x  2,(1,2) a. y.sin 2x  cos 2y,  ,  2 4 (đồ thị hyperbola) b. sin(x  y)  2x  2y,( , )  1 e. x 2  y2  (2x 2  2y 2  x) 2 ,  0,   2 (đồ thị cardioid) c. x 2  xy  y2  3,(1,1) (đồ thị elipse) a.   Xét một đoạn cong ngắn của đồ thị qua điểm  ,  , ta xem đó là đồ thị của hàm ẩn 2 4 y  f (x)
  5. Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016 Ta có: f (x).sin 2x  cos  2.f (x)  Lấy đạo hàm hai vế ta có: f (x).sin 2x  f (x).2.cos 2x  2.sin  2.f (x) .f (x) 2f (x) cos(2x)  f (x)  sin(2x)  2sin  2f (x)    2. .cos(2. )     Hệ số góc cua tiếp tuyến tại  ,  là f     4 2  2 4  2  sin(2.  )  2sin(2.  ) 4 2 4   Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại  ,  là: 2 4          y  f    x    f    (x  )   2  2 2 4 2 4 b. Xét một đường cong ngắn của đồ thị đi qua điểm ( , ) , ta xem đó là đồ thị của hàm ẩn y  f (x) Ta có: sin(x  f (x))  2x  2f (x) Lấy đạo hàm hai vế ta có: (1  f (x)).cos(x  f (x))  2  2f (x) 2  cos(x  f (x))  f (x)  2  cos(x  f (x)) 2  cos(  ) 1 Hệ số góc của tiếp tuyến tại ( , ) là f ()   2  cos(  ) 3 1 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại ( , ) là: y  f ()  (x  )  f ()  (x  )   3 c. Xét một đường cong ngắn của đồ thị đi qua điểm (1,1) , ta xem đó là đồ thị của hàm ẩn y  f (x)
  6. Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016 Ta có: x 2  x.f (x)  f (x)  3 2 Lấy đạo hàm hai vế ta có: 2x  f (x)  x.f (x)  2.f (x).f (x)  0 2x  f (x)  f (x)   2.f (x)  x 2.1  1 Hệ số góc của tiếp tuyến tại ( , ) là f ()    1 2.1  1 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại ( , ) là: y  f (1)  (x  1)  f (1)  (x  1)  1 d. Xét một đường cong ngắn của đồ thị đi qua điểm (1, 2) , ta xem đó là đồ thị của hàm ẩn y  f (x) Ta có: x 2  2x.f (x)  f (x)  x  2 2 Lấy đạo hàm hai vế ta có: 2x  2.f (x)  2x.f (x)  1  2.f (x).f (x)  0 2x  2.f (x)  1  f (x)   2x  2.f (x) 2.1  2.2  1 7 Hệ số góc của tiếp tuyến tại (1, 2) là f (1)    2.1  2.2 2 7 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại (1, 2) là: y  f (1)  (x  1)  f (1)  (x  1)  2 2 e.  1 Xét một đường cong ngắn của đồ thị đi qua điểm  0,  , ta xem đó là đồ thị của hàm ẩn  2 y  f (x)   2 Ta có: x 2   f (x)   2x 2  2 f  x    x 2 2   Lấy đạo hàm hai vế ta có:
  7. Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016    2  2x  2f  x  .f   x   2 2x 2  2 f  x    x .  4x  4.f  x  .f   x   1 2(4x  1) 2x  2 f  x    x  2x 2 2    f (x)   2.f  x   2.4.f  x  . 2x 2  2 f  x    x   2   2  1 2   2(4.0  1) 2.0  2.    x   2x  1   2   Hệ số góc của tiếp tuyến tại  0,  là f   0   1  2 1  2  2 1  1  2.  2.4. . 2x  2    x  2 2   2    1 1 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại  0,  là: y  f (0)  (x  0)  f (0)  x   2 2 Bài tập về đạo hàm hàm ngược 4. Tính đạo hàm f  x   arcsin x    Ta có x    ,  , hàm số g  x   sin x song ánh  2 2 Đặt y = sinx thì y  cos x  1  sin 2 x  1  y 2 Theo công thức đạo hàm hàm ngược ta có d 1 1  arcsin y     dy y 1  y2 1 hay f   x   1 x2 5. Tính đạo hàm f(x)=arctanx    Ta có x    ,  thì y= tanx song ánh.  2 2 y  1  tan 2 x  1  y2 Theo công thức tính đạo hàm hàm ngược thì
  8. Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016 d 1 1  arctan y     dy y 1  y2 hay  arctan x   1 1 x2 Bài tập về dùng quy tắc Lopital để tính giới hạn *Chú ý cách trình bày* Đối với các bài toán sử dụng quy tắc Lopital để tính giới hạn, các bạn nên xét xem đã thỏa các điều kiện để sử dụng quy tắc hay chưa. B1: Đặt f1  x   “đa thức tử số”, g1  x   “đa thức mẫu số”.  lim f1  x   lim g1  x   0 0  B2: Nếu  x a x a tức là lim ở dạng vô định , 0  , hay lim f1  x   lim g1  x     x a x a 0  B3: Tìm f1  x  , g1  x  f1  x  f  x B4: Áp dụng Lopital lim  lim 1 x a g1  x  x a g1  x  *Nếu lim vẫn ở dạng vô định* B5: Lặp lại B1 và B2 sau khi đã biến đổi f1  x  f  x  f  x  B6: Áp dụng Lopital (liên tiếp) lim  lim 1   ...  lim n  x a g1  x  x a g1  x   x a g n  x     (L) Ở các bài tập dưới, sử dụng ký hiệu “  ” tức là sử dụng biến đổi Lopital và đã xét đến các điều kiện. Khi trình bày vào bài thi, các bạn nên trình bày đầy đủ các bước để tránh mất điểm ln(1  x)  x 6. lim x 0 tan 2 x
  9. Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016 1 lim ln(1  x)  x (L)  lim  ln(1  x)  x   lim x  1  1 tan 2 x  tan 2 x  sin x x 0 x 0 x 0 2 cos3 x  x.cos3 x  lim x 0 2sin x(x  1) lim   x.cos3 x   1 x 0 lim  2sin x(x  1)   2 x 0 ln(1  x)  x 1  lim  x 0 tan 2 x 2 ln(tan x) 7. lim x 4 cos 2x 1 lim ln(tan x)  lim (L)  ln(tan x)  lim cos x.sin x  lim  1 x  4 cos 2x x 4  cos 2x    x  4 2sin 2x x  4 2 4sin x.cos 2 x lim  4sin 2 x.cos 2 x   1  x 4 ln(tan x)  lim  1 x 4 cos 2x x.arcsin  x 2  8. lim x 0 x.cos x  sin x *dựa vào kết quả bài tập 4 để tính đạo hàm hàm arcsin
  10. Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016 2x 2  x.arcsin  x    arcsin(x 2 )  x.arcsin  x 2  (L) 2 lim  lim    lim 1 x4 x 0 x.cos x  sin x  x.sinx  x.cos x  sin x  x 0 x 0 arcsin(x 2 ) 1  x 4  2x 2  arcsin(x 2 ) 1  x 4  2x 2 (L)  lim  lim    x.sinx. 1  x    x 0 4 x 0  x.sinx. 1  x 4 2x 3 arcsin(x 2 ) 6x  1 x4 6x 1  x 4  2x 3 arcsin(x 2 )  lim  lim x 0 2x 4 sin(x) x 0 2x 4 sin x  (1  x 4 )(sin x  x cos x)  1  x 4 .sin x  1  x 4 .x.cos x 1 x 4 6x 1  x 4  2x 3 arcsin(x 2 )  (L)  lim    2x 4 sin x  (1  x 4 )(sin x  x cos x)  x 0   16x 4  6 1  x 4  6x 2arcsin(x 2 )  lim 4 1 x 4  x 0 2x cos x  (1  x 4 )(2cos x  x sin x)  8x 3 sin x  4x 3 sin x  x cos x   16x 4  lim   6 1  x 4  6x 2arcsin(x 2 )   6 x 0  1 x  4 lim  2x 4 cos x  (1  x 4 )(2cos x  x sin x)  8x 3 sin x  4x 3  sin x  x cos x    2   x 0 x.arcsin  x 2  6  lim   3 x 0 x.cos x  sin x 2 arctan(x-1) 9. Tính lim x2  x  2  x 1 *dựa vào kết quả bài tập 5 để tính đạo hàm hàm arctan
  11. Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016 1 lim arctan(x-1) (L)  lim  arctan(x-1)  lim x  2x  2 2 2x  1 x2  x  2    x 1  x 1 x 1  x2  x  2 2 x2  x  2 2 x2  x  2  lim  x 1 (2x  1) x 2  2x  2    lim 2 x 2  x  2  0 x 1  lim (2x  1)  x 2  2x  2    3   x 1 arctan(x-1) 0  lim  0 x2  x  2  x 1 3 tan x  x 10. Tìm lim   x 0 arcsin x  ln 1  x *dựa vào kết quả bài tập 4 để tính đạo hàm hàm arcsin lim tan x  x (L)  lim  tan x  x   lim tan 2 x   x 0 arcsin x  ln 1  x   x 0 x 0 arcsin x  ln 1  x 1  1   x 1 1 x 2 x  x  1 tan 2 x 2  x  1 tan x. 1  x 2 tan 2 x. 1  x 2   tan 2 x. 1  x 2 .  x  1 (L) 1 x2 cos 2 x  lim  lim x 0 x 1 1 x2 x 0 x 1 1 x2  2 x  x  1 tan 2 x 2  x  1 tan x. 1  x 2  lim  tan x. 1  x  2  0 x 0   1 x2 cos 2 x    x  lim   1  1 x 0  1 x  2 tan x  x 0  lim  0   1 x 0 arcsin x  ln 1  x 11. Tìm lim  ar tan x  tan x  x 0
  12. Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016 *dựa vào kết quả bài tập 5 để tính đạo hàm hàm arctan lim  arc tan x  lim tan x.ln(arctan x )  lim e tan x.ln(arctan x )  e tan x x 0 x  0 x  0   1   ln    tan x.arctan x.ln(arctan x)  tan x  arctan x   lim  tan x.ln(arctan x)   lim    x 0 arctan x    x 0 lim lim    1      x 0 x 0 arctan x   arctan x   1  1    cos 2 x    lim arctan x(x  1)   lim 1  x    lim  arctan x   (L) 2 2  lim x 0 1   x 0 1  x 0 cos 2 x  x 0     1 x 2    x  1 arctan x  2 2  1 x2 lim 1 x 0 cos 2 x  lim  arctan x   0 x  0  lim  tan x.ln(arctan x)   0.1  0 x  0  lim  arc tan x  lim tan x.ln(arctan x )  lim e tan x.ln(arctan x )  e  e0  1 tan x x 0 x  0 x  0 1  1 x 12. Tìm lim  1  x  x  x 0  e    1  x 1 1 1 ln(1 x ) lim  1  x  x   lim 1  x   lim e x x 2 2 x 0  e  x 0 1 x 0 1   ex ex 1 1 lim ln(1 x )   x 0  x 2 e  x 1 1 1 1 ln(x  1)  x x 1 (L) lim  2 ln(1  x)    lim  lim  x 0 x x  x 0 x2 x 0 2x
  13. Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016 x 1 1  lim  lim  x 0 2x(x  1) x 0 2(x  1) 2 1  1 x  lim  1  x  x   e x lim 1  x 0 2 1 ln(1 x )   x  e 2 1 x 0  e   
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2