Bài giảng Toán cao cấp về tích phân bất định

Chia sẻ: Hoang Xuan Hai | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

677
lượt xem 59
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp về tích phân bất định trình bày kiến thức lý thuyết, định nghĩa, công thức, các bài tập và ví dụ minh họa về tích phân bất định. Bài giảng này nhằm hỗ trợ kiến thức giúp các bạn học toán cao cấp về phần tích phân được tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp về tích phân bất định

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
ĐỊNH NGHĨA F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b) ⇔ F’(x) = f(x) ∫ f(x)dx = F(x) + C : tích phân bất định
BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM dx dx 1 x 1 / � 2 = arctan x + C 2/� 2 2 = arctan + C 1+ x a +x a a dx dx x 3/ � = arcsin x + C 4/ � = arcsin + C 1− x 2 2 a −x 2 a dx 5/ = ln x + x 2 + k + C x2 + k 2 2 x 2 2 a2 x 6 / a − x dx = a − x + arcsin + C 2 2 a 2 x 2 k 7 / x + kdx = x + k + ln x + x 2 + k + C 2 2
BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM 8 / chx dx = shx + C 9 / shx dx = chx + C dx 10 / 2 = thx + C ch x dx 11 / 2 = −cothx + C sh x dx x 12 / = ln tan + C sin x 2 13 / dx � +π � C = ln tan � x + � cos x � 4� 2
Ví dụ dx x = arcsin + C 2 2 4−x dx 1 x 2 = arctan + C x +4 2 2 x x x 1 x 3 e dx = (3e ) dx = (3e ) + C ln 3 + 1
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Đổi biến: Đổi biến 1: x = u(t) ⇒ dx = u’(t) dt ∫ f(x) dx = ∫ f(u(t))u’(t) dt Đổi biến 2: u(x) = t⇒ u’(x) dx = dt ∫ f(u(x))u’(x) dx = ∫ f(t) dt 2. Tích phân từng phần: ∫ u(x)v’(x) dx = u(x)v(x) ∫ u’(x)v(x) dx
Ví dụ 2 x3 1 x3 3 1 x3 x e dx = e d(x ) = e +C 3 3 x arctan 1 x � x� 2 dx = arctan d � arctan � 2 2 2 � 2� 4+x
Một số lưu ý khi dùng tp từng phần Pn ( x ) là đa thức bậc n. Pn .ln(α x )dx Pn .arctan xdx dv = Pndx, u là phần còn lại Pn .arcsin xdx αx Pn .e dx u = Pn ( x ), dv là phần còn lại Pn .sin xdx
Ví dụ dx u = arcsin x � du = I = arcsin xdx 2 1− x dv =dx , chon v = x & 2 xdx 1 d (1 − x ) I = x arcsin x − = x arcsin x + 1− x2 2 2 1− x2 1 = x arcsin x + 1 − x 2 + C 2
TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Nguyên tắc: chuyển về các tích phân cơ bản dx ( Ax + B )dx � − a)m , �2 + px + q (x x Trong đó: * m là các số tự nhiên, * Các tam thức bậc 2 có ∆ = p2 4q< 0
Tích phân các phân thức cơ bản dx = ln x − a + C x −a dx 1 1 = m −1 + C (m > 1) ( x − a) m 1 − m ( x − a)
Tích phân các phân thức cơ bản ( Ax + B )dx Đạo hàm của MS (lấy hết Ax) 2 x + px + q A 2x + p � − Ap � dx = 2 dx + �B � 2 2 x + px + q � 2 � x + px + q 2x + p du 2 dx = = ln u + C x + px + q u
Tích phân các phân thức cơ bản dx dx 2 = 2 x + px + q � + p �+ q − p 2 �x � � 2� 4 dv 1 v = 2 2 = arctan + C v +a a a
Ví dụ x- 1 ￲ dx 2 x - x +1 1 2x - 1 �1 � dx = ￲ dx + ￲ - ￲￲ 1￲ 2 x2 - x +1 ￲2 � ￲ � x2 - x +1 1 2 1 dx = ln( x - x + 1) - ￲ 2 2 2 � 1� 3 ￲x - ￲ + ￲ ￲ � 2� 4￲ 1 1 1 2 x- 2 = ln( x - x + 1) - . arctan2. 2 +C 2 2 3 3
Tích phân các phân thức cơ bản ( Ax + B) dx A (2 x + p)dx Ap dx �2 + px + q)n = 2 �2 + px + q)n + (B − 2 )�2 + px + q)n (x (x (x (2 x + p)dx du �2 + px + q)n = � (x un dx dv �2 + px + q)n = �2 + a2 )n = I n (x (v 1 � v � I n+1 = 2� 2 2 n + (2n − 1) I n � 2na � + a ) (v �
Chứng minh quy nạp In dx u = ( x 2 + a 2 ) − n � du = −2nx ( x 2 + a 2 ) − n−1 dx In = ( x 2 + a 2 ) n dv = dx , chon v = x � I n = x ( x 2 + a 2 ) − n + 2n x 2 ( x 2 + a 2 ) − n−1 dx I n = x ( x 2 + a 2 ) − n + 2n ( x 2 + a 2 − a 2 )( x 2 + a 2 ) − n−1 dx = x ( x 2 + a 2 )− n + 2n �2 + a 2 ) − n dx − 2na 2 �2 + a 2 ) − n−1 dx (x (x I n = x ( x 2 + a 2 ) − n + 2nI n − 2na 2 I n+1 1 � x � � I n+1 = 2� 2 2 2 + (2n − 1) I n � 2na �x + a ) ( �
ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH p( x ) Hàm hữu tỷ: f ( x ) = m n 2 r ( x − a) ( x − b) ( x + px + q ) Với đa thức ở tử có bậc nhỏ hơn mẫu và tam thức ở mẫu có ∆ < 0, sẽ được phân tích ở dạng A1 A2 Am B1 Bn f (x) = + + ... + + + ... + x − a ( x − a) 2 ( x − a) m x −b ( x − b) n C1x + D1 C2 x + D2 Cr x + Dr + 2 + 2 + ... + 2 x + px + q ( x + px + q ) 2 ( x + px + q )r
MỘT SỐ VÍ DỤ PHÂN TÍCH 2x − 1 2x − 1 A B f (x) = 2 = = + x + 2 x − 3 ( x − 1)( x + 3) x − 1 x + 3 Tính A: nhân 2 vế với (x1), sau đó thay x bởi 1 x =1 2x − 1 B 1 = A+ ( x − 1) � A = x +3 x +3 4 Để tính nhanh, trong biểu thức 2x − 1 ( x − 1)( x + 3) Che (x1) rồi cho x = 1 ta tìm được A Tính B: nhân 2 vế với (x+3), sau đó thay x bởi -3 (hoặc che x+3 trong phân thức ban đầu)⇒ B = 7/4
2x − 1 A B C f (x) = = + + ( x − 1) ( x + 3) x − 1 ( x − 1) x + 3 2 2 Tính B: vế trái che (x1)2, sau đó thay x bởi 1
2x − 1 A 1/ 4 C f (x) = = + + ( x − 1) ( x + 3) x − 1 ( x − 1) x + 3 2 2 Tính B: vế trái che (x1)2, sau đó thay x bởi 1 Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi 3