Chuỗi lũy thừa
Khoa Khoa học Ứng dụng
Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh
TĂNG LÂM TƯỜNG VINH
Tp. Hồ Chí Minh, 06/2020
TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 1 / 26
Nội dung
1Chuỗi lũy thừa
2Các ví dụ
TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 2 / 26
Miền hội tụ các ví dụ mục bài
Định nghĩa 1
Chuỗi lũy thừa là chuỗi +∞
P
n=1
an(x−x0)n.
Định nghĩa 2
Tập hợp tất cả những giá trị xsao cho khi thay xvào chuỗi lũy thừa thì ta sẽ được một
chuỗi số hội tụ, được gọi là miền hội tụ của chuỗi lũy thừa.
TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 3 / 26
Bán kính hội tụ các ví dụ mục bài
Định lý 1
Cho chuỗi +∞
P
n=1
an(x−x0)n, an∈R. Khi đó có ba khả năng xảy ra
◮chuỗi hội tụ với mọi x∈R,
◮chuỗi hội tụ tại x=x0,
◮tồn tại duy nhất số R∈[0,+∞)được gọi là bán kính hội tụ thỏa
chuỗi hội tụ ∀x, |x−x0|< R
chuỗi phân kỳ ∀x, |x−x0|> R.
Chú ý:
Trong trường hợp chuỗi hội tụ ∀x∈R, ta đặt bán kính hội tụ là R= +∞.
Trong trường hợp chuỗi chỉ hội tụ tại x=x0, ta đặt bán kính hội tụ là R= 0.
TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 4 / 26
Các bước khảo sát các ví dụ mục bài
◮Bước 1: Tìm bán kính hội tụ
R= lim
n→∞
1
n
p|an|hay R= lim
n→∞
an
an+1
◮Bước 2: Xét sự hội tụ của chuỗi số tại những điểm biên x−x0=R
x−x0=−R.
Ởbước 2, chúng ta chỉ sử dụng tiêu chuẩn so sánh, điền kiện cần, chuỗi đan dấu, hội
tụ tuyệt đối. Tiêu chuẩn D’Alembert và Cauchy không sử dụng được và C, D = 1.
TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 5 / 26