zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Giải tích 2: Chuỗi lũy thừa - Tăng Lâm Tường Vinh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Báo xấu

6
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích 2: Chuỗi lũy thừa, cung cấp cho người học những kiến thức như Miền hội tụ; Bán kính hội tụ; Các bước khảo sát; Chuỗi lũy thừa; Chuỗi Taylor-Maclaurin; Phân tích một số hàm cơ bản. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chuỗi lũy thừa - Tăng Lâm Tường Vinh

Chuỗi lũy thừa Khoa Khoa học Ứng dụng Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tp. Hồ Chí Minh, 06/2020 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 1 / 26
Nội dung 1 Chuỗi lũy thừa 2 Các ví dụ TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 2 / 26
Miền hội tụ các ví dụ mục bài Định nghĩa 1 +∞ Chuỗi lũy thừa là chuỗi an (x − x0 )n . n=1 Định nghĩa 2 Tập hợp tất cả những giá trị x sao cho khi thay x vào chuỗi lũy thừa thì ta sẽ được một chuỗi số hội tụ, được gọi là miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 3 / 26
Bán kính hội tụ các ví dụ mục bài Định lý 1 +∞ Cho chuỗi an (x − x0 )n , an ∈ R. Khi đó có ba khả năng xảy ra n=1 chuỗi hội tụ với mọi x ∈ R, chuỗi hội tụ tại x = x0 , tồn tại duy nhất số R ∈ [0, +∞) được gọi là bán kính hội tụ thỏa chuỗi hội tụ ∀x, |x − x0 | < R chuỗi phân kỳ ∀x, |x − x0 | > R. Chú ý: Trong trường hợp chuỗi hội tụ ∀x ∈ R, ta đặt bán kính hội tụ là R = +∞. Trong trường hợp chuỗi chỉ hội tụ tại x = x0 , ta đặt bán kính hội tụ là R = 0. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 4 / 26
Các bước khảo sát các ví dụ mục bài Bước 1: Tìm bán kính hội tụ 1 an R = lim hay R = lim n→∞ n |an | n→∞ an+1 x − x0 = R Bước 2: Xét sự hội tụ của chuỗi số tại những điểm biên . x − x0 = −R Ở bước 2, chúng ta chỉ sử dụng tiêu chuẩn so sánh, điền kiện cần, chuỗi đan dấu, hội tụ tuyệt đối. Tiêu chuẩn D’Alembert và Cauchy không sử dụng được và C, D = 1. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 5 / 26
Chuỗi lũy thừa xem lời giải các ví dụ mục bài Ví dụ 1 +∞ (−1)n xn Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi . n=1 2n + 1 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 6 / 26
Giải Ví dụ 1 trở về các ví dụ mục bài Ví dụ 1 (−1)n an 2n + 3 Ta có an = ⇒ R = lim = lim = 1. Khoảng hội tụ (−1, 1). 2n + 1 n→∞ an+1 n→∞ 2n + 1  n 1 +∞ (−1) lim =0   Tại x = 1 ta có hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz vì n→∞ 2n + 1 n=1 2n + 1 và là dãy giảm.  +∞ 1 1 1 +∞ 1 n→∞ Tại x = −1 ta có phân kỳ vì ∼ và chuỗi phân kỳ n=1 2n + 1 2n + 1 2n n=1 2n (vì α = 1). Vậy bán kính hội tụ là R = 1 và miền hội tụ là D = (−1, 1]. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 7 / 26
Chuỗi lũy thừa xem lời giải các ví dụ mục bài Ví dụ 2 +∞ (x − 3)n Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi . n=1 n2 · 5n TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 8 / 26
Giải Ví dụ 2 trở về các ví dụ mục bài Ví dụ 2 1 1 √ n Ta có an = ⇒ R = lim = lim n2 · 5n = 5. n2 · 5n n→∞ n |an | n→∞ Khoảng hội tụ (3 − 5; 3 + 5) = (−2; 8). +∞ (−5)n +∞ (−1)n Tại x = −2: 2 n = hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz n=1 n · 5 n=1 n2 +∞ 5n +∞ 1 Tại x = 8: 2 n = 2 hội tụ vì α = 2 > 1. n=1 n · 5 n=1 n Vậy bán kính hội tụ là R = 5 và miền hội tụ là D = [−2, 8]. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 9 / 26
Chuỗi lũy thừa xem lời giải các ví dụ mục bài Ví dụ 3 +∞ (−1)n Tìm miền hội tụ của chuỗi √ xn n=1 2 n + 5 · 3n Ví dụ 4 n +∞ n+3 Tìm miền hội tụ của chuỗi (x − 1)n n=1 2n + 1 Ví dụ 5 +∞ 2n 3n Tìm miền hội tụ của chuỗi + xn n=1 3n n2 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 10 / 26
Chuỗi Taylor-Maclaurin (Bài đọc thêm) các ví dụ mục bài Định nghĩa 3 Cho hàm số f (x) xác định trong lân cận của điểm x0 và có đạo hàm cấp tùy ý tại điểm x0 . Khi đó, chuỗi lũy thừa ∞ f (n) (x0 ) f (x0 ) f (x0 ) (x − x0 )n = f (x0 ) + (x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · n=0 n! 1! 2! được gọi là chuỗi Taylor của hàm số f (x) tại điểm x0 . Khi x0 = 0 chuỗi Taylor được gọi là chuỗi Maclaurin ∞ f (n) (0) f (0) f (0) (x − x0 )n = f (0) + x+ x2 + · · · n=0 n! 1! 2! TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 11 / 26
Chuỗi Taylor-Maclaurin (Bài đọc thêm) các ví dụ mục bài Định lý 2 Cho hàm số f (x) khả vi vô hạn trong khoảng (x0 − ε, x0 + ε), ε > 0 và tồn tại M > 0 sao cho f (n) (x) ≤ M, ∀x ∈ (x0 − ε, x0 + ε), n = 0, 1, 2, . . . Khi đó, trong khoảng (x0 − ε, x0 + ε) hàm số có thể biểu diễn thành chuỗi Taylor tại điểm x0 ∞ f (n) (0) f (x0 ) f (x0 ) f (x) = (x − x0 )n = f (x0 ) + (x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · n=0 n! 1! 2! TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 12 / 26
Chuỗi lũy thừa xem lời giải các ví dụ mục bài Ví dụ 6 Tìm khai triển Maclaurin của hàm f (x) = ex và miền hội tụ của chuỗi Maclaurin thu được. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 13 / 26
Giải Ví dụ 6 trở về các ví dụ mục bài Ví dụ 6 Vì f (x) = ex nên f (n) (x) = ex ⇒ f (n) (0) = e0 = 1, ∀n ∈ N. Do đó chuỗi Maclaurin của hàm f (x) = ex là +∞ +∞ f (n) (0) xn x x2 x3 f (x) = ex = xn = =1+ + + + ... n=0 n! n=0 n! 1! 2! 3! 1 Với an = , theo dấu hiệu D’Alembert, ta có n! an+1 n! 1 1 ρ = lim = lim = lim =0⇒R= =∞ n→∞ an n→∞ (n + 1)! n→∞ n+1 ρ +∞ xn Vậy ex = với MHT R. n=0 n! TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 14 / 26
Phân tích một số hàm cơ bản các ví dụ mục bài +∞ xn ex = với MHT R. n=0 n! +∞ (−1)n+1 xn ln(1 + x) = với MHT (−1, 1]. n=1 n +∞ (−1)n x2n+1 sin x = với MHT R. (2n + 1)! n=0 +∞ (−1)n x2n cos x = với MHT R. n=0 (2n)! +∞ α α − 1) . . . (α − (n − 1) xn (1 + x)α = với MHT (−1, 1). n=0 n! TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 15 / 26
Phân tích một số hàm cơ bản các ví dụ mục bài 1 +∞ = xn với MHT (−1, 1). 1−x n=0 1 +∞ = (−1)n xn với MHT (−1, 1). 1+x n=0 +∞ (−1)n x2n+1 arctan x = với MHT R. n=0 2n + 1 +∞ x2n cosh x = với MHT R. (2n)! n=0 +∞ x2n+1 sinh x = với MHT R. n=1 (2n + 1)! TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 16 / 26
Chuỗi lũy thừa xem lời giải các ví dụ mục bài Ví dụ 7 +∞ 1 Tìm tổng của chuỗi . n=1 n(n + 1)(n + 2) TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 17 / 26
Giải Ví dụ 7 trở về các ví dụ mục bài Ví dụ 7 ∞ Dãy các tổng riêng của chuỗi đã cho là Sn với n=1 1 1 1 Sn = + + ··· + 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 2) Ta biến đổi 1 1 1 1 = − n(n + 1)(n + 2) 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 1 1 1 1 1 1 = − − − ,n ∈ N 2 n n+1 2 n+1 n+2 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 18 / 26
Giải Ví dụ 7 trở về các ví dụ mục bài Ví dụ 7 Do đó n n 1 1 1 1 1 1 Sn = − − − 2 n=1 n n+1 2 n=1 n+1 n+2 1 1 1 1 1 = 1− − − 2 n+1 2 2 n+2 Từ đó ta có 1 1 1 1 1 1 lim Sn = 1− − − = n→∞ 2 n+1 2 2 n+2 4 +∞ 1 1 Vậy tổng của chuỗi đã cho là = . n=1 n(n + 1)(n + 2) 4 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 19 / 26
Chuỗi lũy thừa xem lời giải các ví dụ mục bài Ví dụ 8 +∞ 2n 22 23 2n Tìm tổng =1+2+ + + ··· + + ··· n=0 n! 2! 3! n! TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 20 / 26

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.