Bài giảng Giải tích B1: Chương 3 - Cao Nghi Thục

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích B1: Chương 3 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Tính chất chuỗi hội tụ; Tiêu chuẩn so sánh đối với chuỗi số dương; Tiêu chuẩn d’Alembert, Cauchy đối với chuỗi số dương; Chuỗi đan dấu. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích B1: Chương 3 - Cao Nghi Thục

GIẢI TÍCH B1 GV: CAO NGHI THỤC EMAIL: cnthuc@hcmus.edu.vn
Chương 3 Chuỗi số và chuỗi hàm I. Chuỗi số II. Chuỗi hàm
1. Chuỗi số Khái niệm ∞ ∑u n =1 n = u1 + u2 + ... + un + ...(1) được gọi là chuỗi số u1 , u2 ,... Trong đó gọi là các số hạng của chuỗi un số hạng tổng quát của chuỗi n S n = ∑ uk tổng riêng thứ n của chuỗi Page § 3 k =1
1. Chuỗi số Khái niệm lim Sn = S Nếu hữu hạn thì S là tổng của chuỗi và n→∞ chuỗi hội tụ . Ngược lại chuỗi phân kỳ. Rn = S − Sn = un+1 + un+2 + ... gọi là phần dư của chuỗi Page § 4
1. Chuỗi số VD1 ∞ n −1 2 n −1 Xét chuỗi ∑ aq n =1 = a + aq + aq + ... + aq + ... ( a ≠ 0, q ≠ 1) n n 1− q a aq Sn = a = − 1− q 1− q 1− q n n ⎛ a aq ⎞ a q < 1,lim q = 0 ⇒ lim Sn = lim ⎜ − ⎟ = n→∞ 1 − q 1 − q n→∞ n→∞ ⎝ ⎠ 1 − q Page § 5
1. Chuỗi số VD2 ∞ n −1 2 n −1 Xét chuỗi ∑ aq n =1 = a + aq + aq + ... + aq + ... ( a ≠ 0, q ≠ 1) a Khi đó chuỗi hội tụ và S = 1− q q ≥1 chuỗi phân kỳ Page § 6
1. Chuỗi số VD3 ∞ 1 ∑ Chuỗi phân n =1 n kỳ Page § 7
1. Chuỗi số Điều kiện cần của chuỗi hội tụ Nếu chuỗi (1) hội tụ thì lim un = 0 n →∞ Hệ quả Nếu số hạng tổng quát của chuỗi không tiến tới n→∞ 0 khi thì chuỗi phân kỳ VD4 Chuỗi ∞ n 1 2 n ∑ = + + ... + + ... n =1 n + 1 2 3 n +1 Phân kỳ vì n lim =1≠ 0 Page § 8 n →∞ n + 1
1. Chuỗi số Điều kiện cần và đủ chuỗi hội tụ Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ là với mọi ε >0 cho trước, tìm được số nguyên dương n0 sao cho khi p p > q ≥ n0 ta có S − S = p q ∑u k
1. Chuỗi số Tính chất chuỗi hội tụ ∞ ∞ cu n ∑ Nếu hội tụ và tổng là S thì hội tụ và ∑ un n =1 n =1 tổng cS ∞ ∞ ∞ ∑ un , ∑ vn Nếu hội tụ thì hội tụ và ∑ (un + vn ) n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∑ (u n =1 n + vn ) = ∑ un + ∑ vn n =1 n =1 Page § 10
1. Chuỗi số Tính chất chuỗi hội tụ Tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi không thay đổi khi ta bớt đi một số hữu hạng số hạng đầu tiên Page § 11
1. Chuỗi số Tiêu chuẩn so sánh đối với chuỗi số dương Tiêu chuẩn so sánh 1 ∞ ∞ un , vn un ≤ vn Cho 2 chuỗi số dương và ∑ ∑ (n = 1,2,3,...) n =1 n =1 ∞ ∞ vn un Nếu hội tụ thì hội tụ ∑ ∑ n =1 n =1 ∞ ∞ un Nếu phân kỳ thì phân kỳ ∑ ∑ vn n =1 n =1 Page § 12
1. Chuỗi số VD 5 ∞ 1 1 1 ∑ Chuỗi hội tụ vì n 2 n n < n , ∀n > 1 n =1 n2 2 ∞ 1 ∑ Mà hội tụ n =1 2 n Page § 13
1. Chuỗi số Tiêu chuẩn so sánh đối với chuỗi số dương Tiêu chuẩn so sánh 2 ∞ ∞ un , vn Cho 2 chuỗi số dương ∑ ∑ n =1 n =1 un lim =k Nếu tồn tại trong đó k hữu hạn và khác 0 n →∞ v n thì cả hai chuỗi cùng hội tụ hoặc phân kỳ Page § 14
1. Chuỗi số VD6 ∞ π sin ∑ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi n =1 n Page § 15
1. Chuỗi số Tiêu chuẩn d’Alembert, Cauchy đối với chuỗi số dương Tiêu chuẩn d’Alembert ∞ un +1 lim Cho chuỗi số dương với ∑ un =k n →∞ u n =1 n ∞ ∑ un Nếu k1 thì phân kỳ n =1 Nếu k=1 không có kết luận Page § 16
1. Chuỗi số Tiêu chuẩn d’Alembert, Cauchy đối với chuỗi số dương VD 7 10n ∞ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ∑ n =1 n ! un +1 10n +1 n ! 10 lim = lim . n = lim = 0
1. Chuỗi số Tiêu chuẩn d’Alembert, Cauchy đối với chuỗi số dương VD 8 ∞ 3n Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ∑ n =1 n Page § 18
1. Chuỗi số Tiêu chuẩn d’Alembert, Cauchy đối với chuỗi số dương Tiêu chuẩn Cauchy ∞ un ∑ lim n Cho chuỗi số dương với un = k n =1 n →∞ ∞ ∑ un Nếu k1 thì phân kỳ n =1 Page § 19
1. Chuỗi số Tiêu chuẩn d’Alembert, Cauchy đối với chuỗi số dương VD 9 n ⎛ n ⎞ ∞ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ∑ ⎜ ⎟ n =1 ⎝ 3n + 1 ⎠ n ⎛ n ⎞ n 1 lim un = lim n ⎜ n ⎟ = lim =