Chương 3. Không gian Rn

CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN Rn

1. Các khái niệm về không gian Rn

2. Độc lập tuyến tính- Phụ thuộc tuyến tính 3. Cơ sở của Rn

4. Tọa độ vector trong cơ sở

5. Ma trận chuyển cơ sở

----------------------------------------

1

Chương 3. Không gian Rn

1. Các khái niệm về không gian Rn

1.1. Định nghĩa

• Với ℝ là tập các số thực, ta định nghĩa

2

ℝ

ℝ

|

,

=

∈

)

}

{ ( , x x 1

2

, x x 1

2

3

,

)

}

{ ( , x x x 2 1

3

3

n

ℝ ℝ , | , = ∈ , x x x 2 1

.

)

}

{ ( , x x 1

2

2

2

ℝ ℝ ,..., | ,..., = ∈ , x x 1 x n x n

Chương 3. Không gian Rn

• Trên tập ℝn , ta định nghĩa 2 phép toán:

(cid:1) Phép cộng:

,...,

,...,

,...,

+

+

) .

( x 1

( y 1

( x = + 1

y 1

x n

y n

x n

y n

) ) (cid:1) Phép nhân vô hướng:

λ

,...,

,...,

,

ℝλ ∈ .

=

)

)

( x 1

λ ( x 1

x n

λ x n

3

Chương 3. Không gian Rn

,

x 1

y 1 ..........

,...,

,...,

=

)

)

( x 1

( y 1

x n

y n

.

⇔  x n

y n

• Trên tập ℝn , ta định nghĩa sự bằng nhau:  =  =

4

Chương 3. Không gian Rn 1.2. Mệnh đề. Tập hợp ℝn cùng với các phép toán

trên thỏa 8 tính chất sau:

y

x

+ = + . y

y

z

z

(cid:2) x (cid:2) ( x

) + + = + + . x

( y

)

n

n

ℝ

ℝ

θ

(cid:2)

,

:

x

x

θ ∃ ∈

x ∀ ∈

+ = .

n

n

ℝ

ℝ

θ

(cid:2)

,

:

x

x

x ∀ ∈

x ∃ ∈

+ = .

n

ℝ

ℝ

(cid:2)

,

:

, x y

ky

y

∀

∈

k ∀ ∈

+ = + . kx

( k x

)

5

Chương 3. Không gian Rn

n

ℝ

ℝ

(cid:2)

,

:

, k t

kx

tx

x ∀ ∈

∀

∈

+

= + .

( k

) t x

n

ℝ

ℝ

(cid:2)

,

:

.

, k t

x ∀ ∈

∀

∈

=

( ) kt x

( k tx

)

(cid:2)

n ℝ ,

.

x

x ∀ ∈

=1 . x

6

Chương 3. Không gian Rn

• Tập hợp ℝn cùng với các phép toán thỏa 8 tính chất

như trên được gọi là một không gian vector.

• Mỗi phần tử của ℝn được gọi là một vector. • θ được gọi là vector không, x được gọi là vector

đối của vector x .

7

Chương 3. Không gian Rn

1.3. Định nghĩa (Không gian con)

ℝn

• Cho

W∅ ≠ ⊂ . Ta nói W là không gian con của

ℝn nếu:

a)

∀

∈ ⇒ + ∈ ;

( ,x y W x

) y W

λ

,

x W

b)

∀ ∈

ℝ ∀ ∈ ⇒

∈ .

λ (

) x W

8

Chương 3. Không gian Rn

VD 1. Chứng minh các tập sau là không gian con của

ℝ3:

|

a)

W

a

.

=

∈

) 0 0 , ,

{ ( a

}ℝ

,

|

W

x

x

b)

=

+ + =

)

} 0 .

{ ( , x x x 2 1

3

x 1

3

2

9

Chương 3. Không gian Rn

|

W

a

VD 2. Chứng minh tập hợp

=

∈

) 1 1 1 , , ,

{ ( a

}ℝ

không phải là không gian con của ℝ4.

ℝn

Mệnh đề. Tập

W ⊂ là không gian vector con của

ℝn nếu và chỉ nếu x

y W

,x y W

λ + ∈ ,

∀

∈ ,

ℝλ∀ ∈ .

10

Chương 3. Không gian Rn

2. Độc lập tuyến tính- phụ thuộc tuyến tính

• Trong ℝn , cho các vector

. Vector

, u u 2 1

,..., m u λ

λ

λ

u

=

+

... + +

u 1 1

u 2 2

u m m

được gọi là một tổ hợp tuyến tính của

.

, u u 2 1

,..., m u

(cid:3) Bài toán: Trong ℝn , cho các vector

, u u 2 1

,..., m u

và vector u . Khi nào u là tổ hợp tuyến tính của

?

, u u 2 1

,..., m u

11

Chương 3. Không gian Rn

,

VD 3. Trong ℝ3 cho các vector: ( ) ) 1 2 3 , 3 3 , , , , u = −

( u = −2

(

) 0 1 3 . , , −

1

u = 2

Hỏi u có phải là tổ hợp tuyến tính của

,u u1

2 không ?

12

Chương 3. Không gian Rn

u

VD 4. Trong ℝ3 cho các vector: ( ) 2 1 1 , , ,

( ) 1 1 0 , , ,

( m= 1 , ,

) 1 ,

(

) 3 2 1 . , ,

u =2

u =1

u =3

,

Tìm m để u là tổ hợp tuyến tính của

, u u u 2

1

3 ?

Đáp số: m = 0.

13

Chương 3. Không gian Rn

• Trong ℝn , cho tập

S

. Ta nói S là

}

{ , u u = 1 2

,..., m u

tập độc lập tuyến tính nếu

λ

λ

θ

λ

...

0.

... + +

= ⇒ = = =

=

u 1 1

λ 2

λ 1

u m m

m

Ngược lại, ta nói S là tập phụ thuộc tuyến tính.

14

Chương 3. Không gian Rn

VD 5. Trong ℝ3, hãy xét tính độc lập tuyến tính của

u

a)

=

=

=

=

( ) 1 1 0 , , ,

( ) 1 0 1 , , ,

(

} ) 0 1 1 . , ,

hệ các vector sau: { u 1

S 1

u 2

3

,

b)

=

=

( ) 1 2 1 , , = −

( ) 2 1 1 , , , −

( 7 , = −

} ) 4 1 . ,

S 2

{ v 1

v 2

v 3

15

Chương 3. Không gian Rn

S

}

{ , u u = 1 2

,..., m u

Mệnh đề. Tập là phụ thuộc tuyến

n −1 vector còn lại.

tính khi và chỉ khi có một vector trong S là tổ hợp

)

tuyến tính của (

S∈ sao cho

ju

λ

λ

λ

Điều này có nghĩa là tồn tại một

u

=

... + +

+

... + +

λ u 1 1

j

j

j

j

j

u m m

u 1 1 − −

u 1 +

1 +

16

.

Chương 3. Không gian Rn

Hệ quả. (cid:2) Hệ vector S có chứa vector không thì bao giờ cũng

phụ thuộc tuyến tính.

(cid:2) Nếu S là tập phụ thuộc tuyến tính và F S⊂ thì F

cũng phụ thuộc tuyến tính.

17

Chương 3. Không gian Rn

S

• Trong ℝn , cho hệ vector

, với

}

{ , u u = 1 2

,..., m u

,...,

1 2 , ,...,

i

m

.

=

=

) ,

2

a in

u i

A

Ma trận

được gọi là ma trận dòng của

=

( , a a 1 i i )ij m n ( a

×

hệ các vector S.

18

Chương 3. Không gian Rn

VD 6. Ma trận dòng của hệ vector

S

u

=

=

=

=

( ) 1 1 0 , , ,

( ) 1 0 1 , , ,

(

} ) 0 1 1 , ,

{ u 1

u 2

3

là

A

.

  1 1 0       1 0 1  =       0 1 1  

19

Chương 3. Không gian Rn

Mệnh đề. Cho hệ vector

có ma

S

}

{ , u u = 1 2

,..., m u

trận dòng là A . Khi đó, (cid:2) S độc lập tuyến tính

⇔

= ;

( ) r A m

(cid:2) S phụ thuộc tuyến tính

⇔

< .

( ) r A m

n

,...,

Hệ quả. Cho hệ vector

có

S

=

} ℝ ⊂

{ , u u 2 1

u n

ma trận dòng là A. Khi đó,

S độc lập tuyến tính

det A⇔

≠ 0.

20

Chương 3. Không gian Rn

3 7 , ,

VD 7. Trong ℝ3, hãy xét tính độc lập tuyến tính của

=

=

=

−

( ) 1 2 3 , , ,

(

} ) 4 .

S 1

u 2

a) các hệ vector: { u 1

=

=

=

=

( ) 1 1 2 , , ,

( ) 1 2 5 , , ,

(

} ) 0 1 3 . , ,

S 2

{ v 1

v 2

v 3

21

b)

Chương 3. Không gian Rn

VD 8. Tìm m để hệ vector dưới đây là một tập con

độc lập tuyến tính của ℝ3:

S

, m

=

=

=

=

( ) 1 1 1 , , , −

( 2 3 , ,

) , m u

( 1 ,

} ) 3 .

{ u 1

u 2

3

22

Chương 3. Không gian Rn

3. Cơ sở của Rn

B

• Trong ℝn , cho hệ vector

. Ta nói

}

{ , u u = 1 2

,..., m u

B là một cơ sở của ℝn nếu nó thỏa 2 điều kiện: (cid:1) B là tập độc lập tuyến tính.

(cid:1) B là tập sinh của ℝn , nghĩa là mọi vector của ℝn

đều là tổ hợp tuyến tính của các vector trong B ,

λ

λ

λ

n ℝ ,

.

u

u ∀ ∈

=

+

... + +

u 1 1

u 2 2

u m m

23

Chương 3. Không gian Rn

VD 9. Chứng tỏ rằng hệ vector sau đây là một cơ sở

của ℝ2:

B

=

=

( ) 1 0 , ,

} ( ) 1 1 . ; = −

{ u 1

u 2

24

Chương 3. Không gian Rn

0 1 , ,...,

, ,...,

( 1 0 , ,...,

) 0 ,

(

) 0 , …

) 1 .

e =1

e =2

( ne = 0 0

VD 10. Trong ℝn , xét các vector

(nghĩa là vector ie có thành phần thứ i bằng 1,

các thành phần còn lại đều bằng 0)

E

}

,..., n e

E

Khi đó, hệ là một cơ sở của ℝn .

Lưu ý. Cơ sở

như trong ví dụ 10

}

{ , e e = 1 2 { , e e = 1 2

,..., n e

còn được gọi là cơ sở chính tắc của ℝn .

25

Chương 3. Không gian Rn

VD 11. Hệ vector dưới đây có là cơ sở của ℝ3 hay

không ?

B

=

=

=

( ) 1 0 0 , , ,

(

} ) 0 1 0 . , ,

{ u 1

u 2

26

Chương 3. Không gian Rn

n

,...,

B

Mệnh đề. Cho hệ vector

.

=

} ℝ ⊂

{ , u u 2 1

u n

Khi đó,

B là một cơ sở của ℝn

B⇔ là tập độc tuyến tính.

VD 12. Chứng minh hệ vector

B

u

u

=

=

=

=

2

3

( ) 1,1,1 ,

( ) 1,1, 0 ,

( 1, 0, 0

} )

{ u 1 là một cơ sở của ℝ3.

27

Chương 3. Không gian Rn

m

m

B

m m ,1,

2,

2,

.

−

−

=

+

) ( 5 ,

VD 13. Tìm m để hệ vector sau là cơ sở của ℝ3: } ) 1

{ ( ) ( 1,2,2 , −

28

Chương 3. Không gian Rn

Mệnh đề. Cho

là một cơ sở của

B

}

{ , u u = 1 2

,..., n u

B

ℝn , và cho hệ vector

. Khi đó

}

{ ′ = 1 , v v 2

,..., m v

(cid:2) Nếu m n> thì B ′ không độc lập tuyến tính.

(cid:2) Nếu m n< thì B ′ không là tập sinh của ℝn .

29

Chương 3. Không gian Rn

Hệ quả. Cho

là một cơ sở của ℝn

B

}

{ , u u = 1 2

,..., n u

. Khi đó, mọi cơ sở khác của ℝn cũng phải có đúng n

vector.

• Như vậy, số vector có trong một cơ sở bất kỳ của

của ℝn và ký hiệu là

ℝn luôn không đổi. Ta gọi đại lượng này là số chiều )ℝ ( dim n .

Vậy

n= .

)ℝ ( dim n

30

Chương 3. Không gian Rn

4. Tọa độ vector theo cơ sở

• Trong ℝn , cho cơ sở được sắp

.

B

}

{ , u u = 1 2

,..., n u

ℝn

Khi đó, với mọi vector

, tồn tại duy nhất

u ∈

ℝ

, sao cho

λ ∈

λ λ , 2 1

,..., n

λ

.

u

=

+

... + +

λ u 1 1

λ u 2 2

u n n

31

Chương 3. Không gian Rn

ℝ

• Các số thực

thỏa đẳng thức trên

λ ∈

λ λ , 2 1

,..., n

được gọi là các tọa độ của vector u trong cơ sở B . Ta

viết

 u 

 

B

λ     1    λ     2 . =    ...       λ     n

32

Chương 3. Không gian Rn

Vậy từ định nghĩa, ta có

λ

λ

λ

.

u ⇔ =

+

... + +

u 1 1

u 2 2

u n n

 u 

 

B

            

λ   1  λ   2 =  ...    λ   n

33

Chương 3. Không gian Rn

VD 14. Tìm tọa độ của các vector trong các cơ sở

tương ứng:

B

u

;

a)

=

=

( u = −3

) 5 ,

2

( ) 2; 1 , = −

{ u 1

B

;

b)

.

) u = −1 2 1 , ;

(

) ( = 1;2; 0 , 1; 3;2 , 0;1; 3

) (

} ( ) 1;1 . } )

B

; ;

c)

.

) ( u = 2 4 6 ,

) (

} ) ) ( = 1; 0; 0 , 0;1; 0 , 0; 0;1

{ ( { (

34

n

,...,

x

=

Mệnh đề. Nếu và E là cơ sở

Chương 3. Không gian Rn ) ℝ ∈

( , x x 1

2

x n

 x 

 

E

 x  1   x   2 .   ...     

     =       x n

35

chính tắc của ℝn thì

Chương 3. Không gian Rn

n

ℝ

Mệnh đề. Cho

,

ℝλ ∈ , B là cơ sở của ℝn .

, u v ∈

(cid:2)

.

B

B

B

= ±  u v ±     u     v   

(cid:2)

.

B

B

36

λ u = λ      u   

Chương 3. Không gian Rn

5. Ma trận chuyển cơ sở

B

, C

.

Mệnh đề. Trong ℝn , cho hai cơ sở được sắp }

}

{ , u u = 1 2

{ , v v = 1 2

,..., n u

,..., n v

ℝn

Khi đó, với mọi vector

, ta có

u ∈

,

=

 u 

 

 . P u 

B

  C

...

P

với

) .

(  v =  1

 

 v  2

 

 v  n

 

B

B

B

37

Chương 3. Không gian Rn

...

• Ma trận

) được gọi là

(  v =  1

B

B

B

P    v  2    v  n  

ma trận chuyển cơ sở từ B sang C . Ký hiệu: B CP → .

• Vậy ta có

...

B C →

) .

(  v =  1

B

B

B

38

P    v  2    v  n  

Chương 3. Không gian Rn

B

u

2

( ) 1; 0 ,

( = −

C

v

= =

2

( ) 2; 1 , = −

= =

VD 14. Trong ℝ2, cho hai cơ sở { u 1 { v 1

} ) 0; 1 , } ( ) 1;1 .

Tìm ma trận B CP → và C BP → .

39

Chương 3. Không gian Rn

,

,B C D là ba cơ sở của ℝn . Khi đó

Mệnh đề. Cho (cid:2) B B P

→ = . I n

1

(cid:2)

P

.

=

− )

( P C B →

B C →

(cid:2)

P

P

.

=

. P B D D C

B C →

→

→

Mệnh đề. Cho

,B C là các cơ sở của ℝn . Khi đó

n

ℝ

.

,

.

P

u ∀ ∈

B C →

B

40

=  u     u    C

Chương 3. Không gian Rn

VD 15. Trong ℝ3, cho cơ sở

B

u

u

.

=

=

=

=

2

3

( ) 1,1, 0 ,

( ) 1, 0,1 ,

(

{ u 1

} ) 0,1,1

a) Tìm B EP → .

C

v

v

.

=

=

=

=

2

3

b) Tìm B CP → , với cơ sở ( ) 1, 0, 0 ,

( ) 1,1, 0 ,

{ v 1

} ( ) 1,1,1

------------------- Hết chương ------------------

41