MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Ts. Lê Xuân Trường

Khoa Toán Thống Kê

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

1 / 6

Định nghĩa

Cho A là một ma trận vuông cấp n. Ta nói A khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho

AB = BA = In.

B gọi là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu là A−1.

(cid:21) (cid:21) . Ta có Ví dụ: Cho A = và B = (cid:20) 1 3 2 4 (cid:20) −2 1 3 2 − 1 2

AB = BA = I2

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

2 / 6

nên A khả nghịch và A−1 = B

Nhận xét

Nếu A khả nghịch thì ta còn nói A không suy biến. Ngược lại, A là ma trận suy biến.

Ma trận nghịch đảo (nếu có) là duy nhất. Nếu A khả nghịch thì A−1 khả nghịch và (A−1)−1 = A. Nghịch đảo của tích hai ma trận

(AB)−1 = B −1.A−1

Nghịch đảo của ma trận chuyển vị

(AT )−1 = (A−1)T

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

3 / 6

Điều kiện khả nghịch

Cho A là ma trận vuông cấp n

A khả nghịch ⇐⇒ det(A) (cid:54)= 0

(cid:21) Ví dụ: ma trận A = khả nghịch vì det(A) = −2 (cid:54)= 0. 2 4 (cid:20)1 3

 

Ví dụ: ma trận C =   suy biến khi 2 −1 3 1 m −2 3 −1 4

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

4 / 6

det(C ) = 3 − m = 0 ⇐⇒ m = 3.

Tìm ma trận đảo bằng phép biến đổi sơ cấp

[ A In ]

[ In B ] =⇒ A−1 = B

phép b. đ. s. c −−−−−−−→ trên dòng

(cid:21) (nếu có) Ví dụ: Tìm nghịch đảo của ma trận A = (cid:20) 1 −3 5 4

→

(cid:21) (cid:21)

(cid:20) 1 −3 5 4 1 0 0 1 (cid:20) 1 −3 0 0 1 1 17 −4

→

(cid:21)

5 0 17 1 −4 17

3 17 1 17

(cid:20) 1 0

3 17 1 17

(cid:21) Vậy A−1 = (cid:20) 5 17 −4 17  

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

5 / 6

Ví dụ: Tìm nghịch đảo của B =   1 0 −1 0 1 0 −1 1 −1

Tìm ma trận đảo bằng định thức

Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu A khả nghịch thì

T

A−1 =

1 det(A)

  

  

C11 C12 C21 C22 · · · · · · Cn1 Cn2

· · · C1n · · · C2n · · · · · · · · · Cnn

(cid:124)

(cid:125)

(cid:123)(cid:122) PA

với Cij là phần bù đại số của phần tử aij , được xác định bởi

Cij = (−1)i +j det(Mij ).

Ta gọi PA là ma trận phụ hợp của A  

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

6 / 6

Ví dụ: Tìm nghịch đảo của ma trận A =   3 2 1 2 −1 1 −3 3 −2