 

      (cid:0) 

      

BÀI 1

 §1: Ma Trận

Định nghĩa: Ma trận cỡ mxn là một bảng gồm m.n số thực (phức) được viết thành m hàng và n cột như sau:

... ...

A

... ...

a 11 a 21 ... a m 1

a 12 a 22 ... a m

2

a 1 n a 2 n ... a m n

      

      

Kí hiệu: A = [aij]mxn Tập hợp tất cả các ma trận cỡ mxn được ký hiệu Mmxn

§1: Ma Trận

Hàng thứ nhất

...

...

j

a11 a22 a33 … gọi là đường chéo chính

a 11 a 21 ...

a 12 a 22 ...

... ...

a 1 a j 2 ...

... ...

a 1 n a n 2 ...

Hàng thứ i

a i 1 ...

a i 2 ...

... ...

a aij ij ...

... ...

a in ...

mn: gọi là cấp của ma trận

...

...

a mj

a m n

a m 1

a m

2

         

         

aij: Phần tử nằm ở hàng i cột j

Cột thứ 2 Cột thứ j

 §1: Ma Trận

0

2

B

A

3 1.5

5

 1   

  

2x3

2 8     2 9   7 0 

 6   0   2  

3x3

Ví dụ:

21a

đường chéo chính

 §1: Ma Trận

* Khi m = n (số hàng = số cột) ta nói A là ma trận

;

1 3     2 7  

0 7 8      2 0 4     5 0 2  

vuông cấp n. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký hiệu Mn. Ma trận vuông cấp 3 Ví dụ:

Ma trận vuông cấp 2

 §1: Ma Trận

i j , .

  a ij 0,

Các ma trận đặc biệt: 1. Ma trận không:

(tất cả các phần tử đều = 0)

O

0 0 0      0 0 0  

Ví dụ:

§1: Ma Trận

  

0,

i

j

.

a ij

Các ma trận đặc biệt: 2. Ma trận chéo: là ma trận vuông có:

0

...

0

2 0 0

a 11 0 ...

a 22 ...

... ...

0 ...

0 4 0 0 0 9

(các phần tử ngoài đường chéo chính = 0)

    

0

0

...

a nn

     

     

Ví dụ:     

 §1: Ma Trận

1, 2,...,

n .

1,

iia

Các ma trận đặc biệt: 3. Ma trận đơn vị: là ma trận chéo có:    i

1 0 ... 0

1 0 0

1 0

0 1 ... 0

I

,

I

I

2

3

n

0 1

..

..

...

..

  

  

0 0 1

    

  0 1 0 ,   

0 0 ... 1

     

     

Ký hiệu: I, In. Ví dụ:

 §1: Ma Trận

  

0,

i

j

.

j

.

(tam giác trên) Các ma trận đặc biệt: 4. Ma trận tam giác: là ma trận vuông có ija

2 0 0 0

5

4

7 1 0 0

1 0

0 8 2 0

0 0

2

6

0 0

0

9

2 9 1 5

(tam giác dưới)

   i ija 0, Ví dụ: 1 2   0 3    

     

     

     

MT tam giác trên MT tam giác dưới

 §1: Ma Trận

Các ma trận đặc biệt: 5. Ma trận cột:là ma trận có n=1.

 a i m

a 11 a 21 ..

a

m 1

     

    :   

Ma trận cột có dạng:

§1: Ma Trận

Các ma trận đặc biệt: 6. Ma trận hàng: là ma trận có m=1.

...

a a 11

12

a 1

n

Ma trận hàng có dạng:

§1: Ma Trận

A

  

B

,

i 

,

j

.

a ij

b ij

a ij

b ij

 

 

 

 

m n 

m n 

Các ma trận đặc biệt: 7. Ma trận bằng nhau:

8. Ma trận chuyển vị: cho ma trận A=[aij]mxn, ma trận chuyển vị của ma trận A ký hiệu AT và xác định AT=[bij]nxm với bij=aji với mọi i,j.

(chuyển hàng thành cột)

§1: Ma Trận

2

A

T A  

... ... ... ...

... ... ... ...

a m 1 a m .. a

a 11 a 21 .. a m 1

a 12 a 22 .. a m

m n

2

a 11 a 12 .. a 1 n

a 21 a 22 .. a 2

n

n m

      

      

m n 

n m 

1 2 5

A

T A  

1 6 2 7

6 7 9

Dạng của ma trận chuyển vị: a   1 n   a   n 2   ..   a    

  

 2 3

5 9

    

    

 3 2

Ví dụ:   

 §1: Ma Trận * Khi A = AT thì A được gọi là ma trận đối xứng.

T A A 

2 1 2 0

3 5

     

3   5   1 

Ví dụ:

 §1: Ma Trận * Khi A = -AT thì A được gọi là ma trận phản đối

A

T A

0 1

 1 0

 4 3

4 3

0

4

 3

0

4   3      

    

    

1 0     1 0     

T A

A

xứng. Ví dụ:

§1: Ma Trận

n

n

 1

  ...

Các ma trận đặc biệt: 11. Đa thức của ma trận: Cho đa thức a x 0

P x ( ) n

a x 1

a n

và ma trân vuông

A

a [

]ij n

n

n

 1

  ...

Khi đó:

P A ) ( n

a A 0

a A 1

a I n n

(trong đó là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trân A)

nI

§1: Ma Trận

2

Ví dụ:

x

3

x

5

P x 2 ( )

1

Cho

A

0

   

2   3 

2

A

3

A

5

I

và ma trận

P A ) ( 2

2

2

1

2

1

2

1 0

3

5

0

 3

0

 3

0 1

  

  

  

  

  

  

Khi đó:

 §1: Ma Trận

a ij

b ij

b ij

 

 

 

 

m n 

m n 

   m n (cộng theo từng vị trí tương ứng)

Các phép toán trên ma trận: 1. Phép cộng hai ma trận:  a   ij

Ví dụ: 1+ 0=1 2+3=55 1

1 1 2 2 0 0 3 3

 3 4

5  2

2 1

 4 5

    

    

    

    

    -1 1      

5 3

§1: Ma Trận

Các tính chất: Giả sử A,B,C,O là các ma

iii A )

(

B C 

)

(

A B C )

trận cùng cấp, khi đó: ) i A B B A    ii A O A O A    )

 §1: Ma Trận

 R. 

,

a ij

  

 

m n 

m n 

  (các phần tử của ma trận đều được nhân cho )

Các phép toán trên ma trận: 2. Phép nhân một số với một ma trận:   a .  ij

-4 2.(-2)=-4 Ví dụ: 2.3=66

2 0  -2 5 4  2 1

2.0=0

    

3 3   2 2 7 2   0  0     8 10 14   0 -4 2    

§1: Ma Trận

R A B

,

  , cùng cấp, khi đó

i

)

 (

 A B

)

   A B

ii

) (

    

A

A

)

A

iii

)

  (

A )

 ( )

A

iv A A

) 1

Các tính chất: là hai ma trận   ,

Sinh viên tự kiểm tra.

 Chú ý:

1 3

1 3

6 5

 

( 1)

1 3

4 5

4 5

1 3

 §1: Ma Trận     A B A ( 1) 6 5            

  

  

B   

  

1 3 4 5

 6  1

 5  3

 5 3

 2 2

  

  

  

  

  

  

 Nhận xét: trừ 2 ma trận là trừ theo vị trí tương ứng

 §1: Ma Trận

A

;

,

m p 

p n 

[

A B  m p

  ...

,

  i

1,

m j ;

1,

n .

c ij

a b 1 1 i

j

a b i 2 2

j

a b ip pj

Hàng thứ i của ma trận A.

ipa

1ia

2ia

2 jb

1 jb

i jc

pjb Cột thứ j của ma trận B. Như vậy = hàng thứ i của ma trận A nhân tương ứng với cột thứ j của ma trận B rồi cộng lại.

Các phép toán trên ma trận: 3. Phép nhân hai ma trận: Cho hai ma trận B Khi đó ma trận gọi là tích của c ] p n  ij m n hai ma trận A, B. Trong đó:

§1: Ma Trận

2

=3.2+2.0+1.(-1)=55 3 2

Ví dụ: Nhân hai ma trận sau: 01 =1313 -1

2

0

1 4

0

 2

3

0

    

3. 3

    1 

    

    

 3 3

 3 2

 3 2

+2 +1 2 1      1 1   .3 3  .4  4 

= số cột của A= số hàng của B

Chú ý: hàng 1 nhân cột 2 viết vào vị trí 12c

§1: Ma Trận

Cột 1

Hàng 2

Ví dụ: Nhân hai ma trận sau:

3 0

1 2  1 4

1 3

2 0

 2

3

0

4

13 =0.1+(-1).3+4.4=13

    

    

    

    1 

13 5     

    -4 

 3 3

 3 2

 3 2

Hàng 2

7

Cột 2

=0.2+1.0+4.(-1)=-4-4

§1: Ma Trận

 Chú ý: Phép nhân 2 ma trận không giao hoán

 Ví dụ:

AB

3 4

1 4   5 2 

  

  

1    0 

1 9   3 2 

 1    5 

BA

3 4

1 4 5 2

  

1    0 

  

  

 2 10  1 6 4 

  

§1: Ma Trận

 Ví dụ:

AI

1 0 0 0 1 0

A

3 1 0

0 0 1

3 1 0

1 5 7   8 4 2   

         

    

1 5 7   8 4 2   

    

IA

A

3 1 0

0 0 1

3 1 0

    

1 0 0 1 5 7     0 1 0 8 4 2      

    

1 5 7   8 4 2   

    

§1: Ma Trận

Các tính chất: Ta giả sử các ma trận có cấp

i A BC ) (

)

(

AB C )

ii A B C (

)

)

AB AC 

(cid:0)

iii A B C AC BC iv

 ) ( k   )

 k AB (

 

) ,

)

(

kA B A kB 

(

)

)

v AI A IA A ) )

(

phù hợp để tồn tại ma trận tích

§1: Ma Trận

T

i

) (

A B 

T )

T A

B

T

(cid:0)

ii

) (

kA )

T kA

,

k  

T

iii AB ) (

)

T T B A

Các tính chất:

Sinh viên tự kiểm tra.

 §1: Ma Trận

3 5

2

A

5

3

x

x

   1 4 

  

2

f A ( )

A

3

A

5

I

2

 Ta có:

2

5

3

1 0 0 1

    5 0

  

3

7

7

3 5 3 5       1 4 1 4    3 5 3 5       1 4 1 4    14 35   

      0 9 15          5 3 12      18 50 4 15   10 28 

  21 

  

  

  

Ví dụ: Cho và f x ( ) Tính f(A)?

AA

 §1: Ma Trận

 Bài tập: Cho

2

0

0

2

0

A

3

B

1

3

4

2 5

4

5

    

  1 0 ;   

    

    

2

T

AB A A A AB

;

;

;

B 3 .

 Tính

 §1: Ma Trận

2

f x ( )

x

3

x

4

 Bài tập: Cho

1 2 3

A

0 3 4 0 0 2

     

    

và ma trận

Tính f(A) =?