ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

MA TRẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Định nghĩa ma trận a

a

K

n

1

11

12

a

a

22

A

a

L

a

1

m

m

2

• Một ma trận A cấp mxn là một bảng số hình chữ nhật gồm mxn phần tử, gồm m hàng và n cột.

n

11

12

1

m n a a

K L

a a

22

hay A

L

a

a

m n

m

m

1

2

æ a ç ç ç L a ç ç 21 2 n = ç ç M M O M ç ç ç ç a çè é a ê ê a ê 21 2 n = ê M M O M ê ê a ê ë

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ù ú ú ú ú ú ú ú û

Định nghĩa ma trận

• Ký hiệu ma trận:

A

ij m n ´

é ù = ê úë û a

• Ví dụ:

-

A

2 5

7 7

-

0 1

2

8

9

æ 1 ç ç ç ç= 4 ç ç ç 0 çè

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ø

Ma trận vuông

• Nếu m=n ta nói A là ma trận vuông cấp n.

a

a

K

n

1

11

12

a

a

22

A

=

=

´ n n

é ù a ê ú ë û ij

a

a

n n

n

2

1

n

æ a ç ç ç L a ç ç 21 2 n ç ç M M O M ç ç ç ç L a çè

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

• Đường chéo chính gồm các phần tử:

a

,

a

, ...,

a

11

22

n n

Các dạng ma trận đặc biệt

1. Ma trận không: 2. Ma trận hàng 3. Ma trận cột 4. Ma trận tam giác trên 5. Ma trận tam giác dưới 6. Ma trận chéo 7. Ma trận đơn vị 8. Ma trận bậc thang

Ma trận không

0

L

0

0

=

=

0

m n´

0

ö÷ æ 0 0 ç ÷ ç ÷ ç ÷ L 0 0 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷÷ ç M MO M ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç L 0 0 ÷ çè ø

• Tất cả các phần tử đều bằng 0. • Ký hiệu: 0 hay 0mxn

Ma trận hàng, cột

A

=

-

4 5

B

( 1 2 3

)

æ ö÷ 1 ç ÷ ç ÷ ç ÷ 2 ç ÷ ç ÷ = ç ÷ ÷- ÷ ç 4 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 5 ÷ çè ø

• Ma trận hàng: chỉ có một hàng • Ma trận cột: chỉ có một cột

Ma trận tam giác trên

A

3 5

B

6

æ 1 2 ç ç ç ç= 0 4 ç ç ç 0 0 ç è

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

æ 1 2 3 4 ç ç ç 0 0 2 1 ç ç = ç ç 0 0 8 9 ç ç ç ç 0 0 0 4 çè

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

• Ma trận vuông • Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0

0 0

B

A

6

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

æ 1 0 ç ç ç ç= 3 4 ç ç ç 5 0 ç è

Ma trận tam giác dưới æ 1 0 0 0 ç ç ç 2 0 0 0 ç ç = ç ç 0 6 8 0 ç ç ç ç 9 3 1 4 çè

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

• Ma trận vuông • Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0

0

0

0

A

0

B

=

C

=

b

æ a ç ç ç 0 ç ç è

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

6

æ 1 ç ç ç ç= 0 4 ç ç ç 0 0 ç è

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

Ma trận chéo æ 1 0 0 0 ç ç ç 0 0 0 0 ç ç ç ç 0 0 8 0 ç ç ç ç 0 0 0 4 çè

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

• Ma trận vuông • Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0 • Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0

Ma trận đơn vị

0

0

I

=

I

=

0

I

2

3

4

ö æ 1 0 ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 0 1 ç ÷ ç ø è

1

æ 1 ç ç ç ç 0 1 ç ç ç 0 0 ç è

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

ö÷ æ 1 0 0 0 ç ÷ ç ÷ ç ÷ 0 1 0 0 ç ÷ ç ÷ = ç ÷ ÷ ç 0 0 1 0 ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 0 0 0 1 ÷ çè ø

• Ma trận chéo • Các phần tử chéo đều bằng 1. • Ký hiệu: In là ma trận đơn vị cấp n

Ma trận bậc thang

• Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng kể tử bên trái gọi là phần tử cơ sở của hàng đó.

– Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm

dưới cùng.

– Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải

(không cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên.

• Ma trận bậc thang:

-

A

Không là bậc thang

1 0 4

0 1 9

0 7 8

0

9

0

Ví dụ 1 ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

B

1 0

0 0

0 1

3 2

Không là bậc thang

0

0

9

-

1

æ 2 ç ç ç 0 ç ç = ç ç 0 ç ç ç ç 0 çè æ 3 ç ç ç ç= 0 ç ç ç 0 çè

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

bậc thang

C

1 4 0

0 9 1

-

0 8 7

0

0

0

Ví dụ 2 ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

D

1 0

0 3

0 1

3 2

bậc thang

0

0

9

-

1

æ 2 ç ç ç 0 ç ç = ç ç 0 ç ç ç ç 0 çè æ 3 ç ç ç ç= 0 ç ç ç 0 çè

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

Các dạng phép toán trên ma trận

1. Ma trận bằng nhau 2. Cộng hai ma trận cùng cấp 3. Nhân một số với ma trận 4. Nhân hai ma trận 5. Ma trận chuyển vị 6. Lũy thừa của một ma trận

Hai ma trận bằng nhau

d

2

A

=

=

B

5

4

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

æ a ç ç ç b c ç ç è

æ - ç ç ç ç ç è 2

ö 1 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ìï = - a 1 d

A

=

B

Û í

b c

4 5

ïïï =ïï ï =ïïï =ïïî

• Nếu các phần tử tương ứng bằng nhau.

Cộng hai ma trận

=

A

B

=

d 5

2 4

B

A

=

+

æ - ç ç ç ç ç è 1 c

- +

2 4

ö + ÷ d ÷ ÷ ÷ + 5 ÷ ø

• Cộng các phần tử tương ứng với nhau ö ö æ 1 a ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ÷ b c ç ÷ ÷ ç ø ø è æ a ç ç ç b ç çè

• Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp

Nhân một số với ma trận

A

=

B

=

2 4

d 5

6 f

æ - ç ç ç ç ç è

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

2

A

2 c 2

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

k 2

dk

k 6

kB

4

k

5

k

fk

ö æ 1 a ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ b c ç ÷ ç ø è æ a 2 ç ç= ç b 2 ç çè æ - ç ç= ç ç çè

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

• Nhân số đó vào tất cả các phần tử

Ví dụ

B

0 1

10 6

2 7

4 0

A

=

3

2

-

-

2

4

æ ç ç ç ç = - ç ç ç ç è

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

æ 1 2 3 4 ç ç ç ç 8 7 5 3 ç ç ç 2 3 0 1 ç è +

B

a A )

-

3

c

)

A

+

B

b A ) 2 1 3

B 2 7

Phép nhân hai ma trận

B´ ;

m n

´ n k

• Cho 2 ma trận: A

A

B .

=

C

m

´

n

n

´

k

m

´

k

• Khi này ma trận A nhân được với ma trận B

• Điều kiện: số cột ma trận trước bằng số dòng

ma trận sau.

Qui tắc nhân

=

i

cot

j

• Phần tử nằm ở vị trí ij của ma trận mới bằng hàng i của ma trận đầu nhân với cột j của ma trận sau.

( h a n g

)(

)

ijc C

A

B

Ví dụ

B

A

=

0 1 2

2 7 3

-

10 6 2

-

4 0 4

æ ç ç ç ç = - ç ç ç ç è

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

-

2 4

2

3

C

=

D

=

-

4

-

æ 1 ç ç ç 2 ç ç è

ö ÷ ÷ ÷ ÷ 1 ÷ ø

1 7

æ 1 2 3 4 ç ç ç ç 8 7 5 3 ç ç ç 2 3 0 1 ç è æ 1 ç ç ç 2 ç ç ç ç 0 ç ç ç ç 3 çè

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

• Các ma trận nào nhân được với nhau? ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

Định thức

d et A hay A

( )

• Cho ma trận A vuông, cấp n. • Định thức của ma trận A, ký hiệu:

d et

=

a

A

=

( ) A

11

11

´ 1 1

11

12

A

thì

d et

=

-

( ) A

a a . 11

22

a a . 21

12

a a

21

( ) a æ a ç ç= ç a ç çè

thì ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø 22 2 2 ´

• Đây là một số thực, được xác định như sau:

Định thức cấp n≥3

1

n

11

12

a a

a a

...... ......

21

2

A

......

a

a

n n

n

n

2

1

æ ö÷ a ç ÷ ç ÷ ç ÷ a ç ÷ ç ÷ n 22 = ç ÷ ÷÷ ç ............................. ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç a ÷ çè ø n n ´

• Dùng phần bù đại số

• Ma trận phụ hợp của phần tử aij, ký hiệu Mij là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j.

Ví dụ

-

-

A

M23=???

21 7 14 42

0 1 0 1

-

9 2 6 13

æ 3 ç ç ç 1 ç ç = ç ç 2 ç ç ç ç 6 çè

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø 4 4 ´

M

=

Þ

M

=

23

23

) ( boûhaøng 2 vaø coät 3

9 6 13

æ 3 21 ç ç ç ç 14 2 ç ç ç 6 42 çè

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ø

• Cho ma trận:

Phần bù đại số

• Phần bù đại số của phần tử aij ký hiệu và xác

+

j

i

A

1

d et

( = -

)

ij

ij

( M

)

+

j

i

A

1

M

( = -

)

ij

ij

định như sau:

Khai triển định thức

d et

=

+

+

...

+

( ) A

a A . 11

11

a A . 12

12

a A 1 n

1

n

• Định thức của ma trận vuông cấp n:

d et

=

+

+

...

+

( ) A

a A . 1 i

i

1

a A . i 2

i

2

a A in

in

• Đây là khai triển theo dòng 1. • Ta có thể khai triển dòng bất kỳ.

Ví dụ

3 7

2 5

1 0

A

B

1 0 1

2 5 2

3 4 7 6 8 5

2

1

8

æ ç ç ç ç= ç ç ç - ç è

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

0

0

0 2

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

• Tính định thức ma trận sau: æ ç ç ç ç ç = ç ç - ç ç ç ç çè

Định thức cấp 3

d et

=

+

a a a . .

+

a a a . .

( ) A

22

33

12

23

31

13

21

32

-

+

a a a . .

+

a a a . .

( a a a . . 11 ( a a a . .

) )

31

22

13

32

23

11

33

21

12

11

12

13

11

12

A

a a

a a

a a

a a

21

22

23

21

22

a

a

a

a

31

32

33

31

32

æ a ç ç ç ç= a ç ç ç a çè

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ø

• Ta dùng qui tắc sau:

Ví dụ

1 0

2 5

C

=

A

2 1

8

1

2

m

-

)

ö 1 ÷ ÷ ÷ ÷ 0 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

5

7

6

0

+

1

1

( 2 ( m

2 )

D

B

2

1 0

5 9

2 3

1 3

2 m

3

æ ç ç ç ç ç ç ç ç m ç è æ ç ç ç ç = - ç ç ç ç è

æ ç ç ç ç= ç ç ç - ç è æ ç ç ç ç = - ç ç ç ç è

2 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

• Tính lại định thức ma trận sau: ö 1 3 ÷ ÷ ÷ ÷ 0 7 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

Tính chất của định thức 1. Ta có thể khai triển theo dòng hay cột bất kỳ

để tính định thức.

2. det(A)=det(AT) 3. det(AB)=det(A). det(B) 4. det(kA)=kndet(A) 5. Đổi chỗ hai dòng(cột) của định thức thì định

thức đổi dấu.

6. Nhân một dòng, một cột với số k khác không

thì định thức tăng lên k lần.

Tính chất của định thức 7. Nếu thực hiện phép biến đổi sơ cấp thứ 3 thì

định thức không thay đổi.

8. Nếu định thức có một dòng, một cột bằng 0

thì định thức bằng 0.

9. Nếu 2 dòng (cột) tỷ lệ thì định thức bằng 0. 10.Định thức của ma trận tam giác bằng tích các

phần tử trên đường chéo chính.

11.Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai

số hạng thì tách tổng 2 định thức

Tính chất 11 Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số

1 0

2 5

+ +

6 4 1

3 7

=

1 0

2 5

3 7

+

1 0

6 14

3 7

-

1

2

+

16

8

-

1

2

8

-

1

16

8

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2

3

4

5

7

=

+

+ 10

+ 6 12

+ 5

4 2 10 12

5 5

6 3 0 12 1

7 5

hạng thì tách tổng 2 định thức

Ma trận nghịch đảo

n

A B . B A .

= =

I I

n

ìï ï í ï ïî

• Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho:

• Khi này B được gọi là ma trận nghịch đảo của

ma trận A. Ký hiệu: A-1

Tính chất

-

1

i)

toàn taïi ma traän nghòch ñaûo A

A

Û

khaûnghòch -

1

1

-

ii)

A A .

=

A

A .

=

I

1

-

1

-

A

=

n iii) M a traän nghòch ñaûo cuûa ma traän A (neáu coù) thì duy nhaát, vaø: ( A

)

Tính chất

iv) Cho A , B, C laø caùc ma traän khaû nghòch thì:

-

1

-

1

-

1

B

A .

;

= 1

-

-

1

-

-

1

=

( ) A B ( A B C

)

1 C B A T

T

1

-

T

1

-

=

v) Neáu A khaû nghòch thì A cuõng khaû nghòch: ( A

)

)

-

1

vi)

d et

=

( A

( A )

1 ( ) A d et

Điều kiện để ma trận khả nghịch

i)

khaûnghòch

A

Û

I

ii)

khaûnghòch

A

Û

n

iii)

khaûnghòch

A

Û

¹

iv)

khoâng khaûnghòch

: A n ( ) = r A ( ) A d et Û

A

d et

=

0

0 ( ) A

• Cho ma trận A vuông cấp n. Ta có:

Cách tìm ma trận nghịch đảo

• Phương pháp Gauss – Jordan • Phương pháp Định thức

Ma trận nghịch đảo_1

T

A

- = 1

C

1 d et

A

• Ta có:

• Với C là ma trận chứa các phần bù đại số của

+

j

i

d et

M

A

=

c

A.

( = -

ij

ij

ij

• Ma trận C gọi là ma trận phụ hợp của ma trận ) 1

A

Ví dụ 1

• Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu

3

4

6

A

0

1

1

2

3

-

-

4

æ - ç ç ç ç= ç ç ç çè

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

d et

???

( ) A =

có

Ví dụ 1

= -

=

c

c

=

c

= +

=

12

11

13

1 3

-

1 4

-

0 2

1 4

-

0 2

1 3

-

-

-

c

= -

=

c

= +

=

c

= -

=

21

22

23

4 3

-

6 4

-

3 2

6 4

-

3 2

4 3

-

4

6

-

3

6

-

3

4

=

c

= +

c

= -

=

c

= +

=

31

32

33

1

1

0

1

0

1

• Tìm ma trận phụ hợp của A: = +

Giải phương trình ma trận

a) Xét phương trình: A.X=B Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B b) Xét phương trình: X.A=B Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=B.A-1 c) Xét phương trình: A.X.C=B Giả sử A, C khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B.C-1

Nhân tương ứng từng phía theo thứ tự của phương trình.

Kiểm tra 30’

A

=

B

0 1 2

2 7 3

-

10 6 2

4 0 4

-

æ 1 2 3 4 ç ç ç ç 8 7 5 3 ç ç ç 2 3 0 1 ç è

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

æ ç ç ç ç = - ç ç ç ç è

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

a A )

+

B

b A ) 2

-

3

B

c

)

A

+

B

2 7

1 3

• 1) Thực hiện phép tính

Kiểm tra 30’

0

1

+

1

( m

)

D

2

1 3

2 m

3

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ø

• 2. Tính định thức æ ç ç ç ç= - ç ç ç çè

3

6

A

0

1

1

2

3

-

-

4

æ - ç ç ç ç= ç ç ç çè

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

• 3. Tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có): 4

Ví dụ

a

)

5 9

æ 2 1 ç ç ç 3 4 ç ç è

ö ÷ ÷ . X ÷ ÷ ÷ ø

æ 3 ç ç= ç 5 ç ç è

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

-

10

6

16

b

)

.

2

8

10

æ 3 ç ç ç 5 ç ç è

ö ÷ ÷ . X ÷ ÷ ÷ ø

æ 5 ç ç ç 7 ç ç è

ö æ 4 ÷ ç ÷ ç= ÷ ç ÷ 9 ç ÷ ç è ø

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

• Giải các phương trình sau:

Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 1. Đổi chỗ hai dòng với nhau

d

d«

i

j

2. Thay một dòng bởi dòng đó nhân với một số khác 0

d

k d® .

i

i

3. Thay một dòng bởi dòng đó cộng với dòng khác nhân

với một số.

d

®

d

+ l

d .

i

i

j

4. Tổng hợp:

d

®

k d .

+ l

d .

i

i

j

Ví dụ

«

d

d

1

2

3

2

A

¾ ¾ ¾ ¾® ¾ ¾ ¾ ¾ ¾® ?

??

d d

2 8

d d

3

® - d 2 ® - d 3

1

æ 1 2 3 4 ç ç ç ç= 8 7 5 3 ç ç ç 2 3 0 1 çè

+

d

® -

d 29

3

3

??

d ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ®

A

'

• Thực hiện phép biến đổi ma trận: ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ø

• Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương dòng với

ma trận A. Ký hiệu: A’ ~ A

Hạng của ma trận

• Hạng của ma trận A là số dòng khác 0 của ma

trận bậc thang của ma trận A.

• Ký hiệu: r(A) hay rank(A) • Ma trận bậc thang của A:

A→..bdsc theo dòng… →A’ (có dạng bậc thang)

Ví dụ

21

9

0

-

-

-

A

7 14

1 0

2 6

1 1

42

1

-

13

0

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

• Tìm hạng của ma trận æ 3 0 ç ç ç 1 ç ç = ç ç 2 ç ç ç ç 6 çè

Tính chất

T

i

)

=

ii

)

( ) r A :

A

iii A )

=

( ) r B £

m in

( m n ,

)

ij m n

´

) ( r A ( ) = B thì r A é ù ( ) a thì r A ê úë û

Hệ phương trình tuyến tính

+

+

...

+

=

2

n

+

+

...

+

=

a x 11 1 a x 21 1

a x 12 a x 22

2

a x 1 n a x 2 n

n

b 1 b 2

+

+

+

=

a

x

............................................... a x ... m 1 1

a x 2 m

b m

m n

2

n

ìï ïïï ïïí ïïïï ïïî

• Dạng tổng quát

Hệ phương trình tuyến tính

a

a

...

n

1

12

11

1

a

...

a

21

2

=

...

a

a

m n

m

m

1

2

n

æ a ç ç ç a ç ç n 22 ç ç ...................... ç ç ç ç a ç è

ö æ ö æ ö x b ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ 1 ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ x b ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ 2 2 ´ ç ç ÷ ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ... ... ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç b x ÷ ÷ ÷ ç ç ø è ø ø è m

A

´

X

=

B

• Dạng ma trận

Hệ phương trình tuyến tính

´

=

B

X

, ...,

, ...,

=

c

A • Ma trận A gọi là ma trận hệ số. • X: ma trận cột các ẩn số • B: ma trận cột các hệ số tự do • Nghiệm của phương trình là một bộ số: ) x

( x x , 1

( c c , 1

n

2

2

n

) Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình đều

• Dạng ma trận

thỏa mãn.

Cho phöông trình:

Định lý Cronecker – Capeli ´

B

X

A

=

Ñaët

:

ma traän boå sung cuûa ma traän A

=

A

:

( A B

) Tìm haïng cuûa ma traän

A A ;

Định lý Cronecker – Capeli

i) Heä pt coù nghieäm duy nhaát

=

n

ii) Heä pt coù voâ soá nghieäm

( ) r A < n

= ( ) r A

iii) Heä pt voâ nghieäm

¹

Û

iv) Heä pt coù nghieäm

Û

( ) Û r A ( ) = r A ( ) r A ( ) r A

Û ( ) r A ( ) = r A

Ví dụ

=

-

2

+ -

1

1

3

nghiệm

2 = - = 0

x 3 x 4 x

x 1 x 2 x 3

-

3

1 +

x

2 +

x 2

x 4

=

1

1

2

3

ìï ïïï ïïí ï ïïï ïïî

• Hệ phương trình sau có nghiệm hay vô x 2 + x 2 - x 4

Cách giải hpt tuyến tính

• Phương pháp Gauss – Jordan • Phương pháp Cramer • Phương pháp ma trận nghịch đảo

i) L aäp ma traän boå sung

Phương pháp Gauss – Jordan A

=

( A B

) .

ii) Ñöa ma traän boå sung veà daïng baäc thang baèng bieán ñoåi sô caáp treân doøng.

A

=

bdsc don g ¾ ¾ ¾ ¾®

A

=

r

( A B

)

( A B r

) ¢

iii) Nghieäm cuûa heä cuoái laø nghieäm cuûa heä ñaàu.

iv) Giaûi n

ghieäm töø döôùi leân treân.

Ví dụ

-

x

2

=

+

x 2

x 3

+

y 2

-

z 4

=

8

2

+

1 x 2

3 x 4

= -

1

x

-

x 2

+

y 4

-

z 5

=

11

1

3

b )

a

)

2 x 4

x 3

=

0

x

-

-

x 4

-

y 3

+

z 2

=

1

3

2 +

1 +

x 4

x 2

=

1

x

x 6

+

y 7

-

z

=

10

1

3

2

ì ï ï ï ï ï ï í ï ï ï ï ï ï î

• Giải hệ phương trình sau: ì ï x ï ï ï ï ï í ï ï ï ï ï ï î

Đề thi mẫu

+ -

( Î m R

)

3

= = =

y 3 y 2 + • a) Giải hpt với m=1 • b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

• Câu 5. Cho hệ phương trình: ìï + x 0 2 z ïïï + z x 3 7 í ïï - y mz m x ïïî

Phương pháp Cramer

a

...

12

11

n

1

1

...

a

a

21

2

=

...

a

a

n n

m

2

n

n

1

æ a ç ç ç a ç ç n 22 ç ç ...................... ç ç ç ç a ç è

• Điều kiện: số ẩn bằng số phương trình ö æ ö æ ö a x b ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ 1 ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ x b ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ 2 2 ´ ç ç ÷ ÷ ÷ ç ÷ ÷ ÷ ç ... ... ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç b x ÷ ÷ ÷ ç ç è ø ø ø è n

• Ma trận Ai là ma trận có được từ ma trận A

bằng cách thay cột thứ i bằng cột hệ số tự do.

Phương pháp Cramer a

a

...

n 1

11

a

...

12 a

2

21

A

=

B

=

...

a

a

1

2

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

æ ö b ÷ ç ÷ 1 ç ÷ ç ÷ b ç ÷ ç ÷ 2 ç ÷ ç ÷ ... ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç b ÷ ç è ø n

nn a

n a

...

n 1

12 a

a

2 2

n

2

A 1

æ a ç ç ç a ç ç n 22 ç ç ...................... ç ç ç ç a ç è n æ b 1 b ... 2 ......................

a

...

a

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷

b ç n

n

2

n

n

ø

ççççç= ççççççè

• Ví dụ: A1 • Thay cột 1 bằng cột hệ số tự do

Phương pháp Cramer

Ñaët:

D =

d et

d et

; ... ;

d et

( ) A

D = n

n

Neáu

( ) D = A 1 1 thì heä coù nghieäm duy nhaát:

i

)

D ¹

( ) A ; 0

i

x

=

i

Neáu

vaø toàn taïi

thì heä voâ nghieäm.

ii

)

D =

0

0

D D D ¹ i

Neáu

thì heä voâ nghieäm

)

D = D =

0

1

= D = n

ii ... hoaëc voâ soá nghieäm.

Ta giaûi tieáp

baèng phöông phaùp Gauss.

Ví dụ

mx

+

x

+

x

=

1

ax

+ + y

z

=

4

2

3

1 +

mx

+

x

=

m

by

+

z

=

8

1

3

2

by 2

+

z

=

4

x

+

2 +

x

mx

=

m

1

2

3

ì ï ï ï ï b x + ) í ï ï + x ï ïî

ì ï ï ï ï a x ) í ï ï ï ï î

• Giải và biện luận hệ phương trình sau

Đề thi mẫu

+ -

( Î m R

)

3

= = =

y 3 y 2 + • a) Giải hpt với m=1 • b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

• Câu 5. Cho hệ phương trình: ìï + x 0 2 z ïïï + z x 3 7 í ïï - y mz m x ïïî

Phương pháp ma trận nghịch đảo • Ma trận A vuông hay số phương trình bằng số

.A X

B=

ẩn.

A X .

=

B

Û

X

=

A B- 1 .

• Nếu ma trận A khả nghịch thì:

Ví dụ

x

+

x 2

+

x 2

=

1

1 x 2

2 x 3

3 x 6

+

+

=

1

x

1 -

2 +

x

7

x

3 =

m

1

2

3

ìï ïïï í ïï ïïî

• Giải phương trình sau

Hệ pt tuyến tính thuần nhất

+

+

...

+

=

0

2

n

+

+

...

+

=

0

a x 11 1 a x 21 1

a x 12 a x 22

2

a x 1 n a x 2 n

n

+

+

+

=

0

a

x

............................................... a x ... 1 1 m

a x m 2

m n

n

2

• Dạng: ìï ïïï ïïí ïïïï ïïî

Hệ pt tuyến tính thuần nhất

a

a

...

1

11

12

n

1

...

a

a

21

2

=

...

a

a

m n

m

m

1

2

m

ö æ ö æ ö x 0 ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ 0 x ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ 2 ´ ç ç ÷ ÷ ÷ ç ÷ ÷ ÷ ç ... ... ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç 0 x ÷ ÷ ÷ ç ç è ø ø ø è

A

X´

=

0

• Dạng: æ a ç ç ç a ç ç n 22 ç ç ...................... ç ç ç ç a ç è

Định lý

, ...,

x

• Hệ luôn có 1 nghiệm dạng: =

)

( ) 0, 0, ..., 0

( x x , 1

n

2

• Đây gọi là nghiệm tầm thường của hệ. • Nếu r(A)=n thì hệ chỉ có nghiệm tầm thường. • Nếu r(A)

Định lý

• Nếu m=n thì: • Nếu det(A)=0 thì hệ chỉ có nghiệm tầm

thường.

• Nếu det(A)≠0 thì hệ có vô số nghiệm.

Ôn thi

 1

2

5

2

 2

0

X

1  1

1 2

5 3

0 2

7  1

6 3

    

    

     

    

• Tìm ma trận X biết

Bài 1

 3

2

1

2

 1

A

B

 4 0

2  1

3 2

3 2

 1 1

0 1

    

    

    

• Cho hai ma trận: 1     

• Tìm ma trận nghịch đảo của A. • Tìm X biết: X.A=3B

Bài 2

  

0

  

5

  

10

x 2 x 2   x 2 x 2

3x 4

• Giải hệ phương trình sau x x x  3 4 1  x 2x 3x  3 4 1  x 4 5x  3 1  x 7x  3 1

Bài 2

 

x y z 6         b) 2x 3y 4z 21   7x y 3z 6    

4

2x 2

6

c)

12

6

  x 3   x 3 3x 3 11x 3

x 4 2x 4 4x 4 5x 4

2x y 3z 9          4 a) 3x 5y z   4x 7y z 5   2x  1  4x 3x   1 2  8x 5x   1 2  3x 3x   1 2

• Giải hệ phương trình sau

Bài 3

1

m

A

m 

m

1

1  m

1     1  1 

    1 

• Tìm m để ma trận sau khả nghịch

Bài 4

  

mx

z

1

  z  y mz

1 1

   x my     x 

• Tìm m để hệ là hệ Crammer • Giải nghiệm của hệ y

Bài 5

2

0

• Tìm điều kiện để các hệ sau có nghiệm không

 b) ax y z

 a x 3y 2z    0

0

0

      5x y az 

      8x y 4z 

tầm thường.    0 2x y z    0 a) x y 2z

Bài 6

   mx y z 1   a) x my z 1

   mx y z m  b) 2x (m 1)y (m 1)z m 1  

x y mz 1

 

x y mz 1

 

    

    

• Giải và biện luận theo m

Bài 7

x y mz 1

  

a 

b

   x my z    x (m 1)y (m 1)z 

• Tìm để hệ có nghiệm duy nhất  

• Tìm a để hệ trên có nghiệm với mọi m

Bài 2

 

 

m 2

 

m 4

x 2 x 2 2

 

2 m

m 3

3

x 1

x 2

mx 3  x 2 3 x 3 3

 x 1  mx  1  

• Giải và biện luận