BÀI 4

 §4: Hạng ma trận

 §4: Hạng ma trận

 Ví dụ:

12

12A 

A

24

12A 

1 2 3 4   1 2   2 4 2 3 4             2 4 2 4 6 8   4 8 4 6 8          5 7 9   3 5 7 9    

234

123A 

 §4: Hạng ma trận

 §4: Hạng ma trận

 §4: Hạng ma trận

  0

2 A  1

O

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

24 A 13

0 0

   

  

0 0 0 0

     

    

 §4: Hạng ma trận

A

a b y x

c d t z

   

  

 §4: Hạng ma trận

a b y x

A

c z

u

v w

     

    

A có duy nhất 1 định thức con cấp 3 và đó là định thức con có cấp lớn nhất

 §4: Hạng ma trận

Phương pháp tìm hạng của ma trận: a. Ma trận hình thang: là ma trận cấp mxn

i

0,

j

.

ija

0

a a a 11 22 33...

a  r r

có:

... ...

a 11 0

... ...

a 12 a 22 ..

a 1 r a 2 r ..

...

..

...

a 1 n a 2 n ..

...

0

0

...

a r r

a r n

Khi:

...

0

0

...

0

0

...

0

0

0

...

0

   có dạng như sau:          

         

Ta nói ma trận hình thang đã chuẩn hóa

§4: Hạng ma trận



b.Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận:

1.Nhân một số khác không với một hàng (cột)

A

 ih

B

h

h i

j

của ma trận. Ký hiệu:



A

h

h i

j

hiệu: 2.Đổi chỗ hai hàng (cột) của ma trận. Ký B



A

B

3. Cộng vào một hàng (cột) với một hàng (cột) khác đã nhân thêm một số khác không. Ký hiệu:

 §4: Hạng ma trận

 §4: Hạng ma trận

c. Qui tắc thực hành tìm hạng của ma trận

 §4: Hạng ma trận

biến đổi sơ cấp

A B (có dạng hình thang)

Khi đó:

r(A) = r(B)(số dòng khác không của B)

 §4: Hạng ma trận

1 3 0 3

 2 0 1 3 4 0

4 1

A

r A (

 ) 3

0 0 0 0 0 0

5 0 0

8 9 0 0 0 0

       

    1   0   0 

Ví dụ: Tìm hạng ma trận:

§4: Hạng ma trận



 Ví dụ: Tìm hạng ma trận

1

1

2

0

2

1

1

3

0

?-1

h 1

4 5

2

( 2)    h 14 h 11

h 2 h 3 h 4

0 0

1 7

3

2

      

     1  

     

1 1 2 0   -5 3   9 10 -1  5 2 8 

-5=-1+(-2)2

Ta làm cho phần dưới

đường chéo chính = 0. Ta lặp lại như trên cho ?=1+(-2)1=-1 phần ma trận này

 §4: Hạng ma trận

h 1

2  1 2

1 0 0

1  1 9

2  5 10

  h ( 2)  2  h h 4 3 1 1  h h 1 4

1 7

3

2

0

8

5

2

1 1   1 2    4 5  

0   3   1   

     

0   3   1   

1

1

2

0

1 0

1  1

0

1

 5

3

h 4

h 3

( 1)   

0

0

35 26

h h 29 3  h 28 h 4

0

0

0

0

0 0

0 0

     

     

     

0 2    5 3  -35 26   -35 26 

 §4: Hạng ma trận

 Bài tập: Tìm hạng của ma trận sau:

1 2

1 0

1 0

1

2

0

3 1

0 2

5 0

0

h h 12 2  h h 14 3 h 13 h 4

3 0

5

7

0

  2   4  

     

     

     

-1 2 5

 §4: Hạng ma trận

 Ví dụ: Biện luận theo m hạng của ma trận

sau:

0m 

1 5

6

A

 r(A) = 2

0m 

0 4 0 0

     

  7   m m

 r(A) = 3

 §4: Hạng ma trận

 Bài tập: Biện luận theo m hạng của ma trận

 2

2

 

h 2 c 2

h 3 c 3

A

5 1

4 m

 2 1 5

1     1  2 

    

1 2     m 2   1 4

    

sau:

 §4: Hạng ma trận

1

2

2

0

3

6

0

0

 42m 3

     ...  

    

m 3

42 0

  

m

14

 r(A) = 2

m 3

42

  

m

0

14

 r(A) = 3

 §4: Hạng ma trận

 Bài tập: Biện luận theo a, b hạng của ma

1 2 0

h 3

4

A

h

2 1 3 a 0 3

0 b

3 3 3

     

 1       1 

trận sau: