1
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Lý thuyết ma trận thực sự ra đời từ đầu thế kỷ 19,mặc dù
nhiều loại bảng số có tính chất đặc biệt đã được biết đến từ
hàng trăm năm nay
Các ma trận vuông xuất hiện đầu tiên ởđầu thế kỷ 19 trong các
công trình về dạng toàn phương và về các phép thế tuyến tính
Phép nhân hai ma trận vuông cấp 3được Gauss (Gau-xơ)đưa
ra vào năm 1801
Tên gọi ma trận (Matrix) được nhà toán học Anh Sylvester
(Synvét) đưa ra năm 1850
Cayley (Kê-li) là người đầu tiên mô tả một cách tổng quát các
phép tính với các ma trận bất kỳ và ma trận nghịch đảo (1858)
Peano là người đầu tiên đưa ra cách biểu diễn một ánh xạ tuyến
tính qua các ma trận. Còn Gauss là người đầu tiên sử dụng ma
trận để nghiên cứu các dạng toàn phương
10/07/2017 1
3.1 MA TRẬN
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.1.1 KHÁI NIỆM MA TRẬN
Một bảng số có mhàng ncột
11 12 1
21 22 2
12
...
...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a






được gọi là một ma trận cỡ mn
Ma trận Ađược gọi là ma trận nguyên (thực, phức) nếu các
phần tử aij là các số nguyên (số thực, số phức)
Nếu không chỉ rõ cụ thể thì ta xem Alà ma trận thực
aij là phần tử ởhàng thứ ivà cột j
10/07/2017 2
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ma trận Acỡ mncó thể được viết tắt dạng
ij mn
Aa


Khi mnta nói Alà ma trận vuông cấp n
Tập hợp tất cả các ma trận cỡ mnđược ký hiệu Mmn
Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp nđược ký hiệu Mn
Ví dụ 3.1
523
10
là một ma trận cỡ 23
10/07/2017 3
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
''
'
'
, 1, ; 1,
ij ij
m n m n
ij ij
mm
a b n n
a b i m j n

Hai ma trận bằng nhau khi cùng cỡ và có các phần tử tương ứng
đều bằng nhau
3 3 4 6
3 3 1 2 3
x y x x y
z w z w w
Ví dụ 3.2
3 4 2 4 2
3 6 2 6 4
3 1 2 1 1
3 2 3 3 3
x x x x
y x y y x y
z z w z w z
w w w w
10/07/2017 4
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.1.2 CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN
3.1.2.1. Phép cộng ma trận
, ; 1, ; 1,
ij ij ij ij ij ij
m n m n m n
a b c c a b i m j n
Ví dụ 3.3
3.1.2.2. Phép nhân một số với ma trận
Ví dụ 3.4
5423
02141
1083
0121
2
1
656
552
713
580
149
032
10/07/2017 5
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ví dụ 3.5 Tìm x, y, zvà wthỏa mãn
64
31 2 3
x y x x y
z w w z w


Thực hiện phép cộng ma trận và nhân một số với ma trận ta được
3 3 4 6
3 3 1 2 3
x y x x y
z w z w w
3 4 2 4 2
3 6 2 6 4
3 1 2 1 1
3 2 3 3 3
x x x x
y x y y x y
z z w z w z
w w w w
10/07/2017 6
2
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Tính chất 3.1
Các tính chất sau đây đúng đối với các ma trận cùng cỡ mn
1)
CBACBA )()(
2) Ma trận có các phần tử đều bằng 0gọi là ma trận không và ký
hiệu 0thỏa mãn
AAA 00
0 )( AA
nm
ij
aA
3) , trong đó
4)
ABBA
10/07/2017 7
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ta cũng kiểm chứng được các tính chất sau đúng với mọi số thực
k,hvới mọi ma trận cỡ mn
5)
kBkABAk )(
6)
hAkAAhk )(
7)
AkhhAk)()(
8)
AA 1
Với 8 tính chất này tập Mmnlà một không gian véc tơ
Ký hiệu Eij là ma trận cỡ mncó các phần tử đều bằng 0ngoại
trừ phần tử ởhàng icột jbằng 1
Hệ các ma trận
1, ; 1,
ij
E i m j n
là một cơ sở của Mmn
10/07/2017 8
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ví dụ 3.6
Ma trận cỡ 23 bất kỳ có thể biểu diễn duy nhất thành tổ hợp tuyến
tính các ma trận Eij
11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23
a E a E a E a E a E a E
11 12 13 11 12 13
21 22 23
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
a a a a a a
a a a



23
21 22
0 0 0
0 0 0 0 0 0
00
0 0 0 0 a
aa



21 22 23
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0 1
a a a
11 12 13
11 12 13
21 22 23
1 0 0 0 1 0 0 0 1
000 000 000
a a a a a a
a a a



10/07/2017 9
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.1.2.3 Phép nhân ma trận
Tích hai ma trận
ij mp
Aa


và
ij pn
Bb


là ma trận cỡ mnđược ký hiệu và định nghĩa bởi
ij mn
AB c


Tồn tại ma trận tích AB khi số cột của ma trận Abằng số hàng
của ma trận B
1
1, ; 1,
p
ij ik kj
k
c a b i m j n
víi mäi
Phần tử ởhàng thứ icột thứ jcủa ma trận tích AB bằng tổng
của tích các phần tử hàng thứ icủa ma trận Avới các phần tử
tương ứng cột thứ jcủa ma trận B
10/07/2017 10
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Vậy phần tử ởhàng thứ icột thứ jcủa AB bằng tổng của tích
các phần tử hàng thứ icủa Avới các phần tử tương ứng cột
thứ jcủa B
j
i
pj
j
j
ipiiij
b
b
b
aaa
c
2
1
21
10/07/2017 11
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ví dụ 3.7
10/07/2017 12
13
10
24
xy
zw









177
159
42
01
31
521
321
21 4 2
3
 


2 8 4
3 12 6



33
2 4 2 4
x z y w
xy
x z y w








3
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ta thấy rằng tích của hai ma trận Avà Bđịnh nghĩa được khi số
cột của Abằng số hàng của B
Vì vậy có thể định nghĩa AB nhưng không định nghĩa được BA
nếu số cột của Bkhông bằng số hàng của A
Khi A,Blà hai ma trận vuông cùng cấp thì ta có đồng thời AB và
BA.Mặc dầu vậy chưa chắc có đẳng thức AB BA
Nói cách khác tích ma trận không có tính giao hoán
10/07/2017 13
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Chẳng hạn, xét
1 0 0 0 1 2 0 0
2 3 0 0 3 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
AB




1 2 0 0 3 6 0 0
11 4 0 0 3 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
AB BA




10/07/2017 14
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Tính chất 3.2
Giả sử A,B,Clà các ma trận với số cột số hàng thích hợp để
các phép toán sau xác định được, khi đó ta có các đẳng thức:
1) A(BC)(AB)Ctính kết hợp
2) A(BC)AB AC tính phân phối bên trái phép nhân ma
trận với phép cộng
3) (BC)ABA CA tính phân phối bên phải phép nhân
ma trận với phép cộng
4) Với mọi k, k(AB)(kA)BA(kB)
10/07/2017 15
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
5) Với mọi số tự nhiên dương nta xét ma trận Invuông cấp n
có các phần tử trên đường chéo bằng 1và các phần tử ởvị
trí khác đều bằng 0
Khi đó với mọi ma trận Acỡ mnta có
mn
I A A AI
Ma trận Inđược gọi là ma trận đơn vị cấp n
10/07/2017 16
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Xét ma trận Acỡ 23
Chẳng hạn
11 12 13
21 22 23
a a a
Aa a a



11 12 13 11 12 13
321 22 23 21 22 23
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a a a a a a
AI A
a a a a a a




11 12 13 11 12 13
221 22 23 21 22 23
10
01
a a a a a a
I A A
a a a a a a



10/07/2017 17
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Khác với phép nhân các số: tích hai số khác 0là một số khác 0.
Ta có thể tìm được hai ma trận khác 0có tích là ma trận 0
1 2 0 0 2 6 0 0
2 4 0 0 1 3 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
AB




Chẳng hạn
,AB0
nhưng
AB 0
10/07/2017 18
4
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.1.2.4 Đa thức ma trận
Giả sử p(t)a0a1t aktklà một đa thức bậc k
Với mọi ma trận Avuông cấp n,ta định nghĩa đa thức của ma
trận Anhư sau:
01
() k
k
p A a I a A a A
Ví dụ 3.8
12
43
A


3
( ) 5 4 2p t t t
Cho ma trận và đa thức
3
1 0 1 2 1 2 13 52
( ) 5 4 2
0 1 4 3 4 3 104 117
pA
10/07/2017 19
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.1.2.5 Ma trận chuyển vị
Cho ma trận Acỡ mn,nếu ta đổi các hàng của ma trận A
thành các cột (và do đó các cột thành các hàng) thì ta được ma
trận mới cỡ nm,gọi là ma trận chuyển vị của ma trận trên A,
ký hiệu At
, ; 1, 1,
t
ij ij ji
nm
A c c a i n j m


Ví dụ 3.9
41
20
59
A





4 2 5
1 0 9
t
A




10/07/2017 20
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Tính chất 3.3
1)
ttt BABA )(
2)
tt kAkA )(
3)
ttt ABAB )(
Nếu AAtthì Ađược gọi là ma trận đối xứng (Alà ma trận
vuông có các phần tử đối xứng nhau qua đường chéo thứ nhất)
A Atthì Ađược gọi là phản đối xứng (Alà ma trận vuông có
các phần tử đối xứng và trái dấu qua đường chéo thứ nhất, các
phần tử trên đường chéo thứ nhất bằng 0)
ij
ij
t
a
a
AA

10/07/2017 21
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.1.3 MA TRẬN CỦA MỘT HỆ VÉC TƠ
3.1.3.1 Định nghĩa ma trận của một hệ véc tơ
Giả sử Vlà không gian nchiều với một cơ sở B{e1, … , en}
{v1,…,vm}là một hệ véc tơ của Vcó tọa độ trong cơ sở B:
1
, 1,...,
n
j ij i
i
v a e j m

Khi đó ma trận
ij nm
Aa


có các cột là tọa độ của các véc tơ {v1,…,vm}trong cơ sở B
gọi là ma trận của hệ véc tơ {v1,…,vm}trong cơ sở B.
Ngược lại, với ma trận Acỡ nmcho trước thì ta có hệ mvéc tơ
mà toạ độ của nó trong cơ sở Blà các cột của A
10/07/2017 22
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Nói riêng, nếu
11 ... nn
u x e x e
ta ký hiệu
1
( ,..., )
n
u x x
B
1
n
x
u
x





B
Ví dụ 3.10
Xét hệ véc tơ
1 2 3
(4,1,3, 2), (1,2, 3,2), ( , , , )v v v x y z t
Có ma trận trong cơ sở chính tắc
41
12
33
22
x
y
z
t






10/07/2017 23
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.1.3.2 Ma trận chuyển cơ sở
Giả sử B{e1, … , en}, B{e1, … , en}là hai cơ sở của V
Ma trận của hệ véc tơ Btrong cơ sở Bđược gọi là ma trận
chuyển từ cơ sở Bsang cơ sở B
Nghĩa là nếu
1
' , 1,...,
n
j ij i
i
e t e j n

thì
'
ij
Tt


B
B
là ma trận chuyển từ cơ sở Bsang cơ sở B
11
'
i ij j
nn n n
x t x

'
'
ij
u t u


B
BB
B
Ta có công thức đổi tọa độ
1 1 1 1 1 1
: ' ' ' '
n n n n n n
i i j j j ij i ij j i
i j j i i j
u V u x e x e x t e t x e








10/07/2017 24
5
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Nếu A,Alần lượt là ma trận của {v1,…,vn}trong cơ sở Bvà
Bthì
'
'
ij
A t A


B
B
Ví dụ 3.11
là hai cơ sở của không gian véc tơ 2(Xem ví dụ 2.16 Chương 2)
1 2 1 2
( , ) (4 3 ) ' ( ) 'u x y xe ye y x e x y e
( , ); (4 3 , )
'
u x y u y x x y
BB
Hai hệ véc tơ Be1, e2, B’e’1,e’2
với e1(1,0) , e2(0,1) và e1(1,1) ,e2(4,3)
10/07/2017 25
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ma trận chuyển từ cơ sở Bsang cơ sở Blà
14
13
T


do đó
1 4 4 3
13
x y x
y x y
Ma trận chuyển từ cơ sở Bsang cơ sở Blà
34
'11
T



do đó
4 3 3 4
11
y x x
x y y


Be1(1,0), e2(0,1)B’e1(1,1),e2(4,3)}
10/07/2017 26
12
(4 3 , ) ( 3,1); (4, 1)
' ' '
u y x x y e e
B B B
(4 3 , )
'
u y x x y
B
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.1.4 HẠNG CỦA MA TRẬN
3.1.4.1 Tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp
Ta gọi hạng của hệ các véc tơ cột của Alà hạng của ma trận A
ký hiệu r(A)
Hạng r(S)của một hệ véc tơ Scủa không gian Vlà số véc tơ của
một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của Shay là chiều của spanS
(xem Định lý 2.16).
Vì vậy khi ta thực hiện liên tiếp các phép biến đổi sau, gọi là các
phép biến đổi sơ cấp, thì spanSkhông đổi do đó hạng của hệ
không thay đổi:
1) Đổi chỗ cho nhau hai véc tơ của hệ
2) Nhân vào một véc tơ của hệ một số khác 0
3) Cộng vào một véc tơ của hệ một tổ hợp tuyến tính các véc tơ
khác của hệ
10/07/2017 27
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Vì vậy để tìm hạng của một ma trận ta thực hiện các biến đổi sơ
cấp lên các cột hoặc các hàng để đưa ma trận về dạng hình bậc
thang, từ đó suy ra hạng của ma trận.Ví dụ về tính theo cột:
Ví dụ 3.12
Vậy r(A)2
1 3 4 2
2 1 1 4
1 2 1 2
A





31 2 2
41 3 3
21 4 4
c c c
c c c
c c c

1 0 0 0
2 7 7 0
1 5 5 0






1 0 0 0
2 7 0 0
1 5 0 0






cc
11
22
2 3 3
cc
c c c

10/07/2017 28
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ví dụ về biến đổi sơ cấp theo hàng:
Ví dụ 3.12
Vậy r(A)2
1 3 4 2
2 1 1 4
1 2 1 2
A





21 2 2
1 3 3
h h h
h h h

1 3 4 2
0 7 7 0
0 5 5 0





1 3 4 2
0 7 7 0
0 0 0 0





2 3 3
5
7h h h
10/07/2017 29
CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
14 11
5
21 2 2
31 1 3 3
1 4 4
42 255
1
53
1 2 1 1 1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 1 1 1
1 2 2 1 1 2 1 1 1 2
cc cc
cc c c c
cc c c c
c c c
cc c c c
cc
aa
Baa



11
23
32
( 3) ( 1) 2
2 3 4 4
(3 2 ) 3 2
2 3 5 5
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 2 1 3 1 2 0 0 0
0 1 1 1 0 1 1 0 0
2 1 1 3 2 2 1 1 2 2 2 2
cc
cc
cc
a c a c c c
a c c c c
a
a
aa

 


 
 


 
Vậy
13
14
)( a
a
Br
nÕu
nÕu
10/07/2017 30
1 0 0 0 0
1 2 0 0 0
0 1 1 0 0
2 1 1 2 2 0a






