Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 3

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Cơ học môi trường liên tục

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

3.1 ĐỊNH NGHĨA Là độ tăng liên kết giữa các phần tử vật chất của vật thể khi có NNộội li lựực: c: Là độ tăng liên kết giữa các phần tử vật chất của vật thể khi có ngoại lực tác dụng. ngoại lực tác dụng.

(Hình 3-1)

ptb

P A

Ứng suất trung bình tại K: D (3-1)

lim

P A

D Ứng suất tại điểm K: (3-2) ﬁ D D

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Cơ học môi trường liên tục

ep . v 1 1 ) (

ep . v 2 2 (

Ta có thể phân ứng suất toàn phần theo 3 phương của hệ trục tọa độ xi. Ta có thể phân ứng suất toàn phần theo 3 phương của hệ trục tọa độ xi.

)

ep . v 3 3 (

) 2

v 1

(3-3)

p (

p )

Thông thường tai lấy 1 trục tọa độ trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt thì Thông thường tai lấy 1 trục tọa độ trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt thì ứng suất toàn phần là: ứng suất toàn phần là:

(

) 2

(3-4)

Ứng suất tại 1 điểm phụ thuộc vào: Ứng suất tại 1 điểm phụ thuộc vào: + Tọa độ tại điểm. + Tọa độ tại điểm. + Phương pháp tuyến của mặt cắt. + Phương pháp tuyến của mặt cắt.

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

x , s

y , s

Cơ học môi trường liên tục

Như vậy trên 3 mặt vuông góc với các trục tọa độ tại điểm M bất kì ta có 9 thành phần ứng suất : 3 thành phần ứng suất pháp s z và 6 thành phần ứng suất tiếp τyz , τzy ,τxy , τyx , τxz ,τzx  Qui ước chiều dương của ứng suất khi: Qui ước chiều dương của ứng suất khi: - Đối với ứng suất pháp : Quy ước là dương nếu hướng theo pháp tuyến ngoài

của mặt cắt

- Đối với ứng suất tiếp : Quy ước là dương nếu pháp tuyến của mặt cắt ( chỉ số

y , Zz = s

x , Xx = s kèm 2 chỉ số tương ứng với hệ trục (xi) như sau : s

z , Yz = τyz ,….(bảng B) và hệ thống kí hiệu 22 ,

11, s

thứ 2) hướng theo chiều dương hay chiều âm của trục tương ứng. Ngược lại thì quy ước là âm.

൩

൞

൞ ൞

൞

21 11 12 22 13

31 32 23 33

Hệ thống kí hiêu ứng suât Ngoài cách kí hiệu nêu trên (Bảng A) , người ta cũng dùng kí hiệu trong hệ trục x,y,z như sau: Xx = s ứng suất với 1 kí tự s 33 , s 12 ,…(bảng C )

Bảng A Bảng B Bảng C

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Cơ học môi trường liên tục

3.2 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG

: f*ii ( ( f f **11 , , f f **22 , , f f **33 ). ).

là ff11, , ff22 , , ff33..

Cho vật thể có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng 3.2.1. ĐặĐặt vt vấấn n đề: đề: Cho vật thể có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng 3.2.1. của ngoại lực gồm: của ngoại lực gồm: Lực bề mặt (là lực phân bố trên diện tích) có cường độ f * với hình chiếu lên Lực bề mặt (là lực phân bố trên diện tích) có cường độ f * với hình chiếu lên 3 trục toạ độ xx11 , , xx22 , , xx33 : f* 3 trục toạ độ Lực thể tích là những lực phân bố trong thể tích vật thể, có cường độ f với Lực thể tích là những lực phân bố trong thể tích vật thể, có cường độ f với hình chiếu lên 3 trục tọa độ xx11, , xx22, , xx33 là hình chiếu lên 3 trục tọa độ - Chia nhỏ vật thể thành các phân tố bởi các mặt song song mặt phẳng toạ độ, - Chia nhỏ vật thể thành các phân tố bởi các mặt song song mặt phẳng toạ độ, nhận được các phân tố hình hộp chữ nhật (phân tố loại 1 - nằm bên trong S) nhận được các phân tố hình hộp chữ nhật (phân tố loại 1 - nằm bên trong S) và các phân tố hình tứ diện (phân tố loại 2 - nằm sát mặt ngoài S) và các phân tố hình tứ diện (phân tố loại 2 - nằm sát mặt ngoài S)

(Hình 3-2)

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Cơ học môi trường liên tục

dx , τyx + ∂τyx ∂x

s x + ∂s x ∂x

Tại điểm M(x,y,z) ta lấy 1 phân tố hình hộp có các cạnh là dx,dy,dz. Lực tác dụng lên phân tố gồm: Ngoại lực thể tích có hình chiếu trên các trục tọa độ là : X.dτ, Y.dτ ; Z.dτ Nội lực là ứng suất trên 6 mặt của phân tố . Các ứng suất này là các hàm số liên tục của tọa độ điểm M(x,y,z) và được biểu diễn trên hình. Ở mặt của phân tố vuông góc với trục x đi qua điểm (x+dx; y,z) ta có các ứng suất : dx ; τzx + ∂τzx ∂x

dy ; τzy + ∂τzy

τxy + ∂τxy ∂y

dy ; s y + ∂s y ∂y

∂y dy

Ở mặt của phân tố vuông góc với trục y đi qua điểm (x; y+ dy,z) ta có các ứng suất

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Cơ học môi trường liên tục

τxz + ∂τxz

∂z dz ; τzy + ∂τzy

∂z dz ; s z + ∂s z

∂z

Ở mặt của phân tố vuông góc với trục z đi qua điểm (x; y,z+ dz) ta có các ứng suất :

(Hình 3-3)

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Cơ học môi trường liên tục

dx )dydz - s x dydz+(τxy + ∂τxy ∂y

dy )dxdz-τxy dxdz +(τxz + ∂τxz ∂z

dz )dxdy-τxzdxdy + Xdxdydz =0 Sau khi rút gọn và chia cho dτ = dxdydz ta được :

+ = 0(=

)

Xét cân bằng phân tố. Chẳng hạn phương trình chiếu lên trục x là: S X = (s x + ∂s x ∂x

+ = 0(=

)

+ = 0(=

)

ەەەەەۓ ۖۖ ەە۔ ۖۖ ەەە

2 2

Trong trường hợp cân bằng tĩnh : vế phải các phương trình sẽ bằng không Trong trường hợp cân bằng động ; vế phải các phương trình sẽ bằng các lượng trong ngoặc . trong đó u,v,w là các thành phần chuyển vị của điểm M theo 3 phương ,y,z,. các phương trình này gọi là phương trình cân bằng Navier-Cauchy

(3-5)

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Cơ học môi trường liên tục

ng suấất tit tiếếpp

= = ൞ =

(3-6)

3.2.3. ĐịĐịnh lunh luậật t đốđối i ứứng cng củủa a ứứng su 3.2.3. Ta viết 3 phương trình cân bằng mô men của phân tố, chẳng hạn phương trình S mx =0 ta được : S mx = (τyz dydz)dx -(τzy dxdy)dz =0 Suy ra là : τyz = τzy Tương tự ta có: Hệ thức trên biểu thị định luật đối ứng của các ứng suất tiếp 3.2.4. ĐĐiiềều kiu kiệện biên theo 3.2.4. (điều kiện cân bằng của phân tố loại 2) ng suấất t (điều kiện cân bằng của phân tố loại 2) n biên theo ứứng su

(Hình 3-4)

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Cơ học môi trường liên tục

với các cosin chỉ phương lii = cos(

= cos(νν, x, xii).). Mặt nghiêng ABC có pháp tuyến ngoài ν ν với các cosin chỉ phương l Mặt nghiêng ABC có pháp tuyến ngoài Xét cân bằng phân tố tứ diện, phương trình tổng hình chiếu các lực tác dụng lên Xét cân bằng phân tố tứ diện, phương trình tổng hình chiếu các lực tác dụng lên các trục tọa độ. các trục tọa độ.

(cid:236)

(cid:239)

2 l

* f 1 f

(cid:237) (3-7)

l 111 l 121 l 131

l 313 l 323 l 333

* 2 * 3

(cid:239)

(cid:238)

Cơ học: Hệ phương trình (3.5) và (3.7) là điều kiện cân bằng của toàn thể môi Cơ học: Hệ phương trình (3.5) và (3.7) là điều kiện cân bằng của toàn thể môi trường trường Toán học: Hệ (3.5) là hệ phương trình vi phân với các ẩn số ứng suất, (3.7) là điều Toán học: Hệ (3.5) là hệ phương trình vi phân với các ẩn số ứng suất, (3.7) là điều kiện biên để xác định các hằng số tích phân của phương trình vi phân. kiện biên để xác định các hằng số tích phân của phương trình vi phân.

3.3 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG 3.3 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG Cân bằng phân tố tứ diện như ở hình 3-4, chỉ khác là trên mặt cắt nghiêng có các Cân bằng phân tố tứ diện như ở hình 3-4, chỉ khác là trên mặt cắt nghiêng có các . Pháp tuyến ν của mặt cắt nghiêng có các thành phần ứng suất là pν1ν1 , p , pν2ν2 , p , pν3ν3 . Pháp tuyến ν của mặt cắt nghiêng có các thành phần ứng suất là p cosin chỉ phương là lili.. cosin chỉ phương là

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Cơ học môi trường liên tục

3.3.1.Ứng suất toàn phần

v 1

(cid:236)

(cid:239)

2 l

l 111 l 121 l 131

l 13 13 l 323 l 333

(cid:237) (3-8) (cid:239)

(cid:238)

Hay viết dưới dạng ma trận: Hay viết dưới dạng ma trận:

(Hình 3-5)

v 1

l 1

ø Ø ø Ø ø Ø

œ Œ œ Œ œ Œ

(3-9) œ Œ œ Œ œ Œ

v p

2 l 3

s (

œ Œ œ Œ œ Œ ß º ß º ß º

)

(

)

(

) 2

v 1

(3-10)

Ứng suất toàn phần: Ứng suất toàn phần:

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Cơ học môi trường liên tục

3.3.2. Ứng suất pháp và ứng suất tiếp 3.3.2. Ứng suất pháp và ứng suất tiếp Ứng suất pháp là tổng hình chiếu của các thành phần pν1 , pν2 , pν3 lên pháp Ứng suất pháp là tổng hình chiếu của các thành phần pν1 , pν2 , pν3 lên pháp tuyến ν: tuyến ν:

lp . v 11

lp . v 22

lp . v 33

(3-9)

(

lp . 22

lp . 3 33

llp .. 21 12

lp . 23

l . 32

llp . . 31 13

(3-10) ) Thay (3-8) vào (3-9) ta có: Thay (3-8) vào (3-9) ta có: lp . 1 11

p -

2 v

2 vv

Ứng suất tiếp: Ứng suất tiếp: (3-11)

3.4 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ TEN XƠ ỨNG SUẤT. 3.4 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ TEN XƠ ỨNG SUẤT. 3.4.1. Trạng thái ứng suất 3.4.1. Trạng thái ứng suất - Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả những thành phần ứng suất - Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả những thành phần ứng suất trên tất cả các mặt cắt đi qua điểm đó. trên tất cả các mặt cắt đi qua điểm đó. - Ứng suất phụ thuộc vào: vị trí điểm đang xét và phương pháp tuyến của mặt cắt. - Ứng suất phụ thuộc vào: vị trí điểm đang xét và phương pháp tuyến của mặt cắt. - Trạng thái ứng suất chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đang xét. Như vậy trạng thái ứng - Trạng thái ứng suất chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đang xét. Như vậy trạng thái ứng suất đặc trưng cho tình trạng chịu lực tại các điểm khác nhau của môi trường. suất đặc trưng cho tình trạng chịu lực tại các điểm khác nhau của môi trường.

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Cơ học môi trường liên tục

t khi biếến n đổđổi hi hệ ệ trtrụục toc toạ độạ độ..

ng suấất khi bi ’, các cosin chỉ phương của xoay quanh gốc tọa độ trở thành hệ trục xii’, các cosin chỉ phương của

’’ijij trong hệ tọa độ mới là x

s trong hệ tọa độ mới là xii’ :’ : , ứng suất s là cijij, ứng suất

s s

3.4.2. ỨỨng su 3.4.2. Hệ trục xii xoay quanh gốc tọa độ trở thành hệ trục x Hệ trục x ’ và trục cũ xii là c góc giữ trục mới xii’ và trục cũ x góc giữ trục mới x s ’’ijij== c cikik c cjljl s (3-12) kl (3-12) kl ng suấấtt 3.4.3. Tenxơ ứơ ứng su 3.4.3. Tenx trên các mặt cắt vuông Trạng thái ứng suất đặc trưng bởi 9 thành phần ứng suất σσijij trên các mặt cắt vuông Trạng thái ứng suất đặc trưng bởi 9 thành phần ứng suất góc với các trục toạ độ là một ten xơ hạng hai và gọi là ten xơ ứng suất. góc với các trục toạ độ là một ten xơ hạng hai và gọi là ten xơ ứng suất.

ø Ø

s s

œ Œ

(3-13) œ Œ

œ Œ ß º

3.4.4. Tenxơ ơ llệệch ch ứứng su 3.4.4. Tenx ng suấất và tenx t và tenxơ ơ ccầầu u ứứng su ng suấất.t.

(3-14)

TTσσ== D Dσσ++ TTσ0σ0 Với: Dσ làσ là tenxơ lệch ứng suất và Với: D tenxơ cầu ứng suất. tenxơ lệch ứng suất và TTσ0σ0 tenxơ cầu ứng suất.

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Cơ học môi trường liên tục

(

)

- Tenxơ lệch ứng suất và tenxơ cầu ứng suất. - Tenxơ lệch ứng suất và tenxơ cầu ứng suất.

- ø Ø

(

)

11 s

12 s

s s

D s

œ Œ - (3-15) œ Œ

(

)œ

22 s

23 s

Œ - ß º

ø Ø

tb 0

0 0

T sq

œ Œ

(3-16) œ Œ

tb 0

œ Œ ß º

σσtbtb = (= (σσ1111++σσ2222++σσ3333 ) ) /3 gọi là ứng suất pháp trung bình . /3 gọi là ứng suất pháp trung bình . Tenxơ cầu ứng suất chỉ gây nên biến dạng thể tích, trong khi ten xơ lệch ứng Tenxơ cầu ứng suất chỉ gây nên biến dạng thể tích, trong khi ten xơ lệch ứng suất chỉ gây nên biến đổi hình dáng. suất chỉ gây nên biến đổi hình dáng.

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Cơ học môi trường liên tục

3.5 PHƯƠNG CHÍNH, MẶT CHÍNH, ỨNG SUẤT CHÍNH - Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng 0. - Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng 0. - Phương chính: phương pháp tuyến của mặt chính - Phương chính: phương pháp tuyến của mặt chính - Ứng suất chính: ứng suất pháp trên mặt chính - Ứng suất chính: ứng suất pháp trên mặt chính Giả sử phương chính ν có các cosin chỉ phương trong hệ toạ độ xi là li, ứng suất Giả sử phương chính ν có các cosin chỉ phương trong hệ toạ độ xi là li, ứng suất chính là σ. Vì mặt chính có ứng suất tiếp bằng 0, nên ứng suất toàn phần pνcó chính là σ. Vì mặt chính có ứng suất tiếp bằng 0, nên ứng suất toàn phần pνcó trên các phương trùng với pháp tuyến ν và có giá trị bằng σ , do đó hình chiếu pνiνi trên các phương trùng với pháp tuyến ν và có giá trị bằng σ , do đó hình chiếu p trục của ứng suất toàn phần sẽ là: trục của ứng suất toàn phần sẽ là: Pxv = s l; pyv = s m ; pzv =s n

Thay vào hệ phương trình ứng suất trên mặt cắt nghiêng. Thay vào hệ phương trình ứng suất trên mặt cắt nghiêng.

൫

−

൯ ൞ − ൞. + . + . = 0 . + . = 0 . + ൞ . + . + ൞ − ൞. = 0

(3-17)

(3-18)

Mặt khác: l2+ m2+n2 =1

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Cơ học môi trường liên tục

อ

Điều kiện để (3.18) không có nghiệm tầm thường là: Điều kiện để (3.18) không có nghiệm tầm thường là:

= 0

อ −

−

(3-19)

khai triển (2.19) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính s là :

s s 3 - I1 s 2 +I2 -I3=0 (3-20)

I1 = (s x + s y + s

z )

Trong đó :

൞+ ൞

൞

อ

3 =

2 = ൞ อ

൞+ ൞

(3-21)

Cơ học môi trường liên tục

Phương trình (3.20) luôn có ba nghiệm là 3 ứng suất chính, theo qui ước σσ1 1 > > σ σ 22 Phương trình (3.20) luôn có ba nghiệm là 3 ứng suất chính, theo qui ước > > σσ33 . Lần lượt thay các ứng suất chính này vào hai trong ba phương trình (3.17), . Lần lượt thay các ứng suất chính này vào hai trong ba phương trình (3.17), kết hợp với phương trình (3.18) ta nhận được các cosin chỉ phương của các ứng kết hợp với phương trình (3.18) ta nhận được các cosin chỉ phương của các ứng suất chính tương ứng. Chẳng hạn để tìm phương chính tương ứng với ứng suất suất chính tương ứng. Chẳng hạn để tìm phương chính tương ứng với ứng suất chính σσ11 ta phải giải hệ 3 trong 4 phương trình sau: ta phải giải hệ 3 trong 4 phương trình sau: chính

൫

൯ ൞ − 1൞. + . + . = 0 . + . = 0 . + ൞ +

= 1

− 1 2 2 Giải hệ (3-22) đối với l,m,n ta được các giá trị : l1 , m1 , n1 . đây là cô sin chỉ + phương của phương chính thứ 1 tương ứng với ứng suất chinh s Chú ý : *Người ta đã chứng minh được rằng 3 mặt chính tại điêm đang xét là vuông góc với nhau. * Ba hàm (S,H,A) không phụ thuộc vào việc lựa chọn trục tọa độ. Người ta gọi 3 hàm này là 3 bất biến của ten xơ ứng suất.

(3-22)

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

VD 3-1- Tìm các ứng suất chính và phương chính của trạng thái ứng suất cho bởi tenxo

(KN/cm2)

൭

൞

= Bài giải:

4 2 1 2 0 2 1 2 4

Tính các hệ số I1, I2 , I3

ەەەەەۓ ۖ

1= + +

2 = ൞

൞

อ

ەە۔ ۖ ەەە

൞+ ൞ Xác định các ứng suất chính

൞+ ൞ อ

Phương trình xác địn ứng suất chính là:

s 3 - 8s 2 + 7s

+ 24 = 0

(a)

Cơ học môi trường liên tục

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Nghiệm của (a) là :

s 1 = 6,275 kN/cm2 ; s 2 = 3,0kN/cm2 ; s 3 = 1,275 kN/cm2

Xác định các phương của ứng suất chính

Phương trình thứ nhất ( tương ứng với s 1 = 6,275 kN/cm2)

Thay s 1 vào hai phương trình đầu của (3-17) và kết hợp với (3-18) ta có :

൞4 − 6,275൞. + 2. + 1. = 0 ൞ 2. + ൞0 − 6,275൞. + 2. = 0 hay

= 1

−2,275. + 2. + 1. = 0 ൞ 2. − 6,275. + 2. = 0

= 1

Cơ học môi trường liên tục

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Giải hệ phương trình (b) ta được :

l1 = ± 0,645 ; m1 = ± 0,411 ; n1 = ± 0,645

Phương chính thứ hai ( tương ứng với s 2 = 3,0 kN/cm2)

Thay s 2 vào hai phương trình đầu của (3-17) và kết hợp với (3-18) ta có :

൞4 − 3൞. + 2. + 1. = 0 ൞ 2. + ൞0 − 3൞. + 2. = 0 hay

= 1

1. + 2. + 1. = 0 ൞ 2. − 3. + 2. = 0 Giải hệ phương trình (b) ta được :

= 1

l2 = ± 0,707 ; m2 = ± 0,000 ; n2 = ± 0,707

Cơ học môi trường liên tục

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Phương chính thứ 3 tương ứng với s 3 = -1,275 kN/cm2

Thay s 3 vào hai phương trình đầu của (2.11) và kết hợp với (2.12) ta có :

hay

(b)

5,275. + 2. + 1. = 0 ൞ 2. + 1,275. + 2. = 0

൞4 + 1,275 ൞. + 2. + 1. = 0 2. + ൞0 + 1,275 ൞. + 2. = 0 ൞ Giải hệ phương trình (b) ta được : l3= ± 0,291 ; m3 = ± 0,911 ; n3 =± 0,291

= 1

Ví dụ 2-2: Cho ten xơ ứng suất

(kN /cm2)

= ൞

2 ൞

2 2 3 Hãy tính ứng suất tại điểm P(2,2,1) trên mặt cắt cho bởi phương trình: 2x-y+2z =4

−2

2 0 −2

Bài giải :

Tại điểm P ten xơ ứng suất sẽ là :

(kN /cm2)

൭

൞

1 8 0 −2 4

8 8 Các cô sin chỉ phương của pháp tuyến v tại điểm P trên mặt phẳng cho bởi phương 1 −2 trình 2x-y+2z =4 sẽ là

Cơ học môi trường liên tục

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

-1

l =

; m =

; n=

2 3

2 22+(-1)2+22 = 3

22+(-1)2+22 =

1 22+(-1)2+22 = - 3 Các thành phần ứng suất của ứng suất toàn phần pv viết dưới dạng ma trận là

(kN/cm2)

൭

ەەۇ ەەۈ

ەەۊ ەەۋ 1

൞

൞ =

= ൞

൞ ەەۉ

− 3 ەەەەەەی 2

8 8 1 −2

8 1 0 −2 4

4 4

Ứng suất toàn phần sẽ là:

2+p2

(10/3)2+42+42 = 6,566 kN/cm2

pv = pxv

yv+p2

zv =

Ứng suất pháp sẽ là:

s v = pxvl + pyv m + pzvn= (10/3).(2/3) + 4.(-1/3) + 4 (2/3) = 32/9 = 3,556 kN/cm2

Ứng suất tiếp sẽ là

(6,566)2-(3,566)2 = 5,52 kN/cm2

τv = p2

v-s 2

v =

Cơ học môi trường liên tục

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Ví dụ 3-3

Cho ten xơ ứng suất

(kN /cm2)

൭

൱

= Viết ten xơ lệch của ứng suất và tìm các giá trị chính ,phương chính của ten xơ lệch

4 2 1 2 0 2 1 2 4

Bài giải

Ứng suất trung bình là : s

(4+0+4) =

1 tb = 3

8 = 2,67 (kN/cm2) 3

Ten xơ lệch ứng suất là

൭

൱

൱ =

4 − 2,67 2 1

2 0 − 2,67 2

1 2 4 − 2,67

1,33 2 1

2 −2,67 2

1 2 1,33

ەەەەەۓ ۖ

2 = ൱

ەە۔ ۖ ەەە

= −4,513

1= + + = 0 ൱ = −14,33 ൱+ ൱ อ

൱+ ൱ อ

Cơ học môi trường liên tục

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Phương trình xác định các giá trị chính là: s 3 -S.s 2 +H.s

-A =0

Hay là: s 3 - 14,33.s

+4,513 =0

Giải phương trình nhận được ta có 3 giá trị chính là:

3,933 kN/cm2 ; 0,315 kN/cm2 ; -3,618 kN/cm2

Xác định các phương chính của ten xơ độ lệch

Phương chính tương ứng với giá trị 3,933 tìm được từ phương trình

൱1,33 − 3,933 ൱. + 2. + 1. = 0 2. + ൱−2,67 − 3,933 ൱. + 2. = 0 ൱

= 1

hay

−2,603. + 2. + 1. = 0 ൱ 2. − 6,603. + 2. = 0

= 1

Cơ học môi trường liên tục

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Nghiệm của phương trình này là : ±0,577; ± 0,392; ± 0,717

Phương chính tương ứng với giá trị 0,315 tìm được từ phương trình :

൱1,33 − 0,315 ൱. + 2. + 1. = 0 ൱ 2. + ൱−2,67 − 0,315 ൱. + 2. = 0 hay

= 1

1,015. + 2. + 1. = 0 ൱ 2. − 2,985. + 2. = 0 2 Nghiệm của hệ phương trình này là:

-0,705; ±0,003; ±0,709;

= 1

Phương chính tương ứng với giá trị -3,618 tìm được từ phương trình

൱1,33 + 3,618 ൱. + 2. + 1. = 0 2. + ൱−2,67 + 3,618 ൱. + 2. = 0 ൱

= 1

Cơ học môi trường liên tục

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

hay

4,948. + 2. + 1. = 0 ൱ 2. + 0,948. + 2. = 0

Nghiệm của hệ phương trình này là: -0,399; 0,900; -0,171;

= 1

Cơ học môi trường liên tục

3.6 Ứng suất tiếp cực trị Vị trí mặt có ứng suất tiếp cực trị là những mặt có pháp tuyến nghiêng góc 45 Vị trí mặt có ứng suất tiếp cực trị là những mặt có pháp tuyến nghiêng góc 45 so với các trục ứng suất chính. so với các trục ứng suất chính.

;

1 max

2 max

3 max

- - -

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Cơ học môi trường liên tục

Bài tập chương III

Bài 3.1 Tìm các ứng suất chính và phương chính của trạng thái ứng suất Bài 3.1 Tìm các ứng suất chính và phương chính của trạng thái ứng suất cho bởi tenxơ: cho bởi tenxơ:

124

ø Ø

202

(

2cm

)

œ Œ

421

œ Œ ß º

Bài 3.2 Cho tenxơ ứng suất Bài 3.2 Cho tenxơ ứng suất

ø Ø

(

)

œ Œ - œ Œ

x 2 xy 2 3 z

xy 0 2

z 2 2 y

œ Œ - ß º

Hãy tính ứng suất tại điểm P(2,2,1) trên mặt cắt cho bởi phương trình: Hãy tính ứng suất tại điểm P(2,2,1) trên mặt cắt cho bởi phương trình: 2x-y+2z=4 2x-y+2z=4

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Cơ học môi trường liên tục

(

2cm

)

ø Ø Bài 3.3 Cho tenxơ ứng suất: Bài 3.3 Cho tenxơ ứng suất: œ Œ

œ Œ

124 202 421

œ Œ ß º

1- Viết tenxơ lệch của ứng suất và tìm các giá trị chính, phương chính của 1- Viết tenxơ lệch của ứng suất và tìm các giá trị chính, phương chính của

tenxơ lệch tenxơ lệch

2- Tìm ứng suất tiếp lớn nhất. 2- Tìm ứng suất tiếp lớn nhất.

Bài 3.4 Cho tenxơ ứng suất tại điểm O của vật thể đàn hồi: Bài 3.4 Cho tenxơ ứng suất tại điểm O của vật thể đàn hồi:

(

2cm

)

2 3

ø Ø - œ Œ - - œ Œ œ Œ - ß º

Hãy xác định ứng suất tiếp cực trị và ứng suất trên mặt nghiêng đều Hãy xác định ứng suất tiếp cực trị và ứng suất trên mặt nghiêng đều với các phương chính tại điểm O với các phương chính tại điểm O

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Cơ học môi trường liên tục

Bài 3.5 Bài 3.5 Trên hình vẽ biểu diễn mặt cắt ngang Trên hình vẽ biểu diễn mặt cắt ngang của thân đê (AOB) chịu tác dụng của áp của thân đê (AOB) chịu tác dụng của áp lực nước trên bờ OB lực nước trên bờ OB

q=g y

B

1- Hãy viết các điều kiện biên biết: 1- Hãy viết các điều kiện biên biết:

2- Giả sử tính được ứng suất trong thân đề là: 2- Giả sử tính được ứng suất trong thân đề là: -= (cid:236)

p b tg

x g 2 b 3 tg

+(cid:247) x g

(cid:239) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:239) - - (cid:247) (cid:231) (cid:231) (cid:239) ł Ł ł Ł (cid:237)

-== yx

(cid:239)

=====

(cid:239) (cid:238)

Hãy thử xem với điều kiện nào thì hệ ứng suất trên thỏa mãn các phương trình Hãy thử xem với điều kiện nào thì hệ ứng suất trên thỏa mãn các phương trình cân bằng. Tìm tải trọng tác dụng nên các bờ OA, OB. cân bằng. Tìm tải trọng tác dụng nên các bờ OA, OB.