HẠNG CỦA MA TRẬN
Ts. Lê Xuân Trường
Khoa Toán Thống Kê
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 1 / 10
Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính
Xét hệ phương trình tuyến tính
a11x1+a12x2+· · ·a1nxn=b1
a21x1+a22x2+· · ·a2nxn=b2
............................................
am1x1+am2x2+···amnxn=bm
(*)
Ta ký hiệu
A=
a11 a12 ··· a1n
a21 a22 ··· a2n
··· ··· ··· ···
am1am2··· amn
X=
x1
x2
.
.
.
xn
và B=
b1
b2
.
.
.
bm
Khi đó hệ phương trình (∗)có thể viết dươi dạng dạng AX =B
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 2 / 10
Định lý Kronecker-Capelli
Xét hệ phương trình AX =B. Ký hiệu
A=[A B]
|{z }
↓
ma trận hệ số mở rộng
Nếu rank(A)6=rank(A)thì hệ vô nghiệm
Nếu rank(A) = rank(A) = nthì hệ có nghiệm duy nhất
Nếu rank(A) = rank(A) = k<nthì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc
n−ktham số
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 3 / 10
Phương pháp khử (C. F. Gauss)
Xét hệ phương trình AX =B.
B1 Lập ma trận mở rộng A = [A B]
B2 Đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng
Ab. đ. s. c trên dòng
−−−−−−−−−−−−→ [A1B1]
Từ đó suy ra rank(A)và rankA. Ngoài ra, ta có
AX =B⇐⇒ A1X=B1
B3 Xét các trường hợp sau
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 4 / 10
Phương pháp khử (C. F. Gauss)
rank(A)6=rank(A) =⇒Hệ pt vô nghiệm
rank(A) = rank(A) = n=⇒Hệ pt có nghiệm duy nhất
Tìm nghiệm (bằng cách giải hệ tương đương)
A1X=B1⇔
α11x1+α12x2··· +α1nxn=β1
α22x2+··· +α2nxn=β2
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
··· αnnxn=βn
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 5 / 10