Đinh Ngọc Thanh
Bùi Lê Trọng Thanh
Huỳnh Quang Vũ
GIẢI
TÍCH
HÀM
|| f ||p
Bài giảng
Bài giảng Giải tích hàm
Đinh Ngọc Thanh, Bùi Lê Trọng Thanh, Huỳnh Quang Vũ
Bản ngày 31 tháng 12 năm 2022
ii
Đây là tóm tắt một số nội dung lí thuyết và danh sách bài tập dùng cho
môn MTH10403 Giải tích hàm tại Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.
Giải tích hàm là một trong những môn ở đó sinh viên có những hiểu biết
đầu tiên về các không gian vô hạn chiều. Các kiến thức này là cần thiết cho
nhiều chuyên ngành toán cả lí thuyết lẫn ứng dụng. Đây là nơi mà khả năng
tiếp thu và sử dụng các lí luận toán học trừu tượng và chính xác tiếp tục được
rèn luyện và kiểm tra. Phần đông sinh viên có thể học môn này từ học kì thứ
tư.
Tóm tắt nội dung học phần: không gian mêtríc (nhắc lại), không gian định
chuẩn, ánh xạ tuyến tính liên tục cùng các định lý cơ bản về chúng, không gian
Hilbert.
Dấu ✓ở một bài tập là để lưu ý người đọc đây là một bài tập đặc biệt có
ích hoặc quan trọng, nên làm. Những phần có đánh dấu * là tương đối khó
hơn, không bắt buộc.
Biên soạn: Đinh Ngọc Thanh, Bùi Lê Trọng Thanh, Huỳnh Quang Vũ
(người biên tập, email: hqvu@hcmus.edu.vn). Địa chỉ: Khoa Toán - Tin học,
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí
Minh.
Các góp ý vui lòng gởi về cho người biên tập.
Bản mới nhất của tài liệu này, cùng mã nguồn, có ở
https://sites.google.com/view/hqvu/teaching.
Tài liệu này dùng bản quyền Public Domain (CC0)
http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/,
nếu áp dụng được, nếu không thì dùng bản quyền Creative Commons Attribution
4.0 International License
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.
Mục lục
Giới thiệu 1
1 Không gian mêtríc 3
1.1 Mêtríc.............................. 3
1.2 Đóng, mở, hội tụ, liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Không gian mêtríc con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Không gian compắc và không gian đầy đủ . . . . . . . . . . . 8
1.5 Bàitập.............................. 12
2 Không gian định chuẩn 15
2.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Không gian ℓ𝑝.......................... 23
2.5 Không gian các hàm bị chặn và không gian các hàm liên tục . 25
2.6 Không gian 𝐿𝑝......................... 31
2.7 Các đề tài khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.8 Bàitập ............................. 38
3 Ánh xạ tuyến tính liên tục 47
3.1 Chuẩn của ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Tính chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Ánh xạ tuyến tính trên không gian hữu hạn chiều . . . . . . . 52
3.4 Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . 55
3.5 Một số ánh xạ tuyến tính liên tục đặc biệt . . . . . . . . . . . 56
3.6 Định lý Hahn–Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.7 Các đề tài khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.8 Bàitập ............................. 61
iii