Chương 5: Phương pháp tích phân kinh điển. Sau khi học xong chương này, người học có thể hiểu được một số kiến thức cơ bản về: Phương pháp tích phân kinh điển, đáp ứng mạch RC và RL bậc nhất, đáp ứng ‘natural’ mạch RC, Đáp ứng mạch RLC bậc hai.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Giải tích mạch - Chương 5: Phương pháp tích phân kinh điển
- Chương 5:Phương pháp tích phân kinh điển
➢ 5.1.Phương pháp tích phân kinh điển
➢ 5.2. Đáp ứng mạch RC và RL bậc nhất
➢ 1.Đáp ứng ‘natural’ mạch RC
➢ 2.Đáp ứng ‘natural’ mạch RL
➢ 3.Đáp ứng ‘step’ mạch RC
➢ 4.Đáp ứng ‘step’ mạch RL
➢ 5.Nghiệm tổng quát đáp ứng mạch RC và RL
➢ 5.3. Đáp ứng mạch RLC bậc hai
➢ 1.Đáp ứng ‘natural’ mach RLC song song
➢ 2.Đáp ứng ‘step’ mach RLC song song
➢ 3.Đáp ứng ‘natural’ mach RLC nối tiếp
➢ 4.Đáp ứng ‘step’ mach RLC nối tiếp
- 5.1.phương pháp tích phân kinh điển
Chúng ta sẽ phân tích mạch LTI (tuyến tính bất biến) và nguồn
độc lập
Quan hệ giữa các giá trị tức thời của dòng điện và điện áp trên
các phần tử ta đã xét ở các chương trước. Mạch bao gồm các
phần tử RLCM được mô tả bởi phương trình vi tích phân được
thành lập dựa trên các định luật Kirchhoff và Ohm. Để tiện việc
giải hệ phương trình , người ta thường đưa về một phương trình
vi phân cấp n (m):
*Trong đó y(t)(hoặc x(t)) là nghiệm cần tìm, còn x(t)(hoặc y(t)) là
hàm đã cho, các hằng số ak; bk biểu diễn các thông số của mạch.
- Ví dụ
e(t) i(t) i2 i1
C L1 II R
L2 I
➢ Áp dụng KVL để thành lập phương trình áp theo 2 vòng:
➢ Khử i1 từ 2 phương trình và lấy đạo hàm 2 vế ta được:
- 1.Nghiệm của phương trình vi phân hệ số hằng
*Từ ví dụ trên ta thấy rằng dòng điện i(t) hay điện áp e(t) trong
mạch là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng.
Giả sử rằng vế phải của phương trình đã xác định do nguồn e(t)
cho trước, ta ký hiệu là f(t) còn vế trái là nghiệm cần tìm (là điện
áp hay dòng điện) ta có:
Nghiệm phương trình vi phân có dạng:
Y(t) = yxl (t) + yqđ (t)
*yqđ (t): được gọi là thành phần quá độ (tự do) nó không phụ
thuộc vào hàm f(t)
* yxl (t): được gọi là thành phần cưỡng bức (xác lập)
- a.Nghiệm của phương trình thuần nhất
Thành phần yqđ chính là nghiệm của phương trình thuần nhất.
Xét phương trình đặc tính:
an pn + an-1 pn -1 +…+ a1 p + a0 = 0
Có 3 trường hợp:
1.Nếu tất cả các nghiệm p1; p2;…pn là thực và đơn thì:
yqđ = k1 ep1t + k2 ep2t +..+kn epnt
2.Nếu là nghiệm đơn phức thì luôn luôn là 1 cặp nghiệm phức liên
hiệp. Ví dư: p1 = -α +jβ và p2 = p1* = -α -jβ . Thì:
yqđ = y1 + y2 = e-αt (k1 ejβt + k2 e-jβt ) = ke-αt cos(βt + Φ)
với k = 2|k1| và Φ = arg k1 .
3.Nếu p1 là nghiệm bội h (có h nghiệm trùng nhau) và số còn
lại là đơn, thì:
yqđ = (k1 + k2 t+… +kh th-1)ep1t +…+ kn epnt .
- Ví dụ về tìm thành phần quá độ
i(t) +
C L u(t)
R
-
➢ Hãy tính thành phần quá độ của điện áp u(t) như hình trên
➢ Giải:
➢ Ta có:
➢ Với giả thuyết i(t) = 0. Lấy đạo hàm 2 vế ta được:
➢ Với: ω02 = 1/LC; α =1/2RC
- Ví dụ về tìm thành phần quá độ
Phương trình đặc tính của mạch:
p2 +2αp + ω02 = 0
Có các nghiệm:
*Nếu α2 > ω02 (2 nghiệm thực đơn), thành phần quá độ sẽ là:
*Nếu α2 = ω02 ( nghiệm thực kép = -α), thành phần quá độ sẽ là:
uqđ (t)= (k1 + k2 t)e-αt .
*Nếu α2 < ω02 (cặp nghiệm thực liên hiêp),thành phần quá độ là:
uqđ (t)= ke-αt cos(βt +Φ) ; với:
- b)Nghiệm của phương trình không thuần nhất
+
i(t) C R u(t)
-
➢ Để tìm thành phần yxl ta dùng phương pháp hệ số không xác
định. Vấn đề là phải đoán trước dạng của nghiệm ph.trình (5.2)
➢ Ta xét ví dụ: Hãy xác định điện áp u(t) của mạch như hình.Nếu
➢ 1. i(t)=1 A; 2. i(t) = cosωt A; 3. i(t) = e-t cost A; C =1F; R =1/3 Ω
➢ 4. i(t) = e-2t A; C =1F; R =1/2 Ω
➢ Giải:
➢ Điện áp u(t) là nghiệm của phương trình vi phân:
➢ Cdu/dt + u/R = i(t)
➢ Bao gồm 2 thành phần: uqđ là nghiệm của phương trình vi
phân thuần nhất và uxl là nghiệm của phương trình không
thuần nhất
- b)Nghiệm của phương trình không thuần nhất
Thành phần quá độ không phụ thuộc vào kích thích:
uqđ (t) = ke-t/RC
Thành phần cưỡng bức phụ thuộc vào nguồn kích thích nên cần
xét các trường hợp cụ thể:
1. i(t) = 1 A. Ta đoán nghiệm riêng của phương trình không thuần
nhất có dạng uxl = B và thay vào phương trình vi phân ta thấy nó
thỏa mãn với B = Ri(t) = R. Do đó điện áp u(t) là:
u(t) = uxl(t) + uqđ(t) = R.1+ ke-t/RC V
2. i(t) = cosωt. Ta giả sử uxl = Acosωt + Bsinωt và thay vào
phương trình mạch:
C(-Aωsinωt + Bωcosωt) + (Acosωt + Bsinωt)/R = cosωt. Hay
(A + ωRCB)cosωt + (B - ωRCA)sinωt = Rcosωt.
→A = R/[1+(ωRC)2] ; B = ωR2C/[1+(ωRC)2]. Ta lại có:
Acosωt + Bsinωt = cos(ωt-φ) ; Với :
- Vậy thành phần xác lập sẽ có dạng:
*Từ hai trường hợp trên ta thấy để tính thành phần xác lập ta có
thể tính theo phương pháp đã biết ở các chương khác (khi tính
không để ý đến việc phân tích quá trình quá độ) và sẽ thu được
kết quả nhanh chóng. Với mạch có nguồn kích thích 1 chiều (tụ
hở mạch) thì điện áp u = R.1 V. Với nguồn điều hòa , ở trạng thái
xác lập ta dùng phương pháp biên độ phức. Dẩn nạp tương
đương: Y = 1/R + jωC. Vậy biên độ phức sẽ là:
Vậy: u(t) = uxl(t) + uqđ(t) = ke-t/RC + cos(ωt-φ)
- 3. i(t) = e-t cost A; C =1F; R =1/3 Ω.
Nguồn kích thích có dạng suy giảm. Ta đặt uxl = e-t(Acost + Bsint)
và thay vào phương trình mạch ta sẽ được:
A = 2/5; B = 1/5
Vậy điện áp u(t) = uxl(t) + uqđ(t) = ke-1/RC + e-t(2/5cost + 1/5sint)
4. i(t) = e-2t A; C =1F; R =1/2 Ω
Chú ý trường hợp này thành phần quá độ có cùng hệ số suy giảm
giống nguồn kích thích. Ta giả sử uxl = Ae-2t và thế vào phương
trình mạch, ta có:
-2Ae-2t + 2Ae-2t = e-2t →không tìm được A nên không phải là
nghiệm.
Trường hợp này ta đặt: uxl = Ate-2t và thay vào phương trình:
Ae-2t - 2Ate-2t + 2Ate-2t = e-2t
→A = 1. Nghiệm đầy đủ:
u(t) = uxl(t) + uqđ(t) = ke-1/RC + te-2t .
- 2.Điều kiện đầu
Nghiệm của phương trình vi phân cho đến giờ vẫn được viết dưới
dạng tổng quát do các hằng số k1; k2;..kn vẫn chưa được xác
định. Do nghiệm y(t) được xét trong khoảng [0 ∞) phải thỏa điều
kiện đầu tại t = 0 là: y(0); y’(0); y’’(0);…yn-1 (0)
*Do năng lượng điện từ trường là liên tục nên tại t = 0 ta có thể
viết:
uC (0-) = uC(0+) = uo
iL (0-) = iL(0+) = io
Ở đây t = 0- là giới hạn bên trái của thời điểm thay đổi năng lượng
t = 0+ là giới hạn bên phải của thời điểm thay đổi năng lượng
*Chú ý rằng các đại lượng khác không nhất thiết phải liên tục tại
t = 0, ví dụ điện áp trên cuộn dây hay dòng qua tụ có thể không
liên tục ( có bước nhảy vọt). Từ nay khi nói điều kiện đầu thì hiểu
rằng đó là các giá trị ban đầu của điện áp trên tụ và dòng qua
cuộn dây nó sẽ xác định điều kiện đầu của phương trình.
- Ví dụ về điều kiện đầu
+
i(t) C R u(t)
-
➢ *Ta trở lại ví dụ trước. Hãy xác định điện áp u(t) của mạch như
hình. Giả thiết tại t =0 nguồn được nối vào mạch, còn t < 0 tụ
không được nạp điện. Ta xét trong 2 trường hợp:
➢ 1. i(t)=1 A; 2. i(t) = cosωt A
➢ Giải:
➢ 1. i(t)=1 A; Theo kết quả trước:
➢ u(t) = uxl(t) + uqđ(t) = R.1+ ke-t/RC V ; t ≥ 0
➢ Hằng số k được xác định dựa trên điều kiện đầu: Do giả thiết
uC (0-) = 0 → uC (0+ ) = 0. Nên:
➢ u(0+) = uC (0+ ) = R + k = 0 → k = - R. Vậy:
➢ u(t) = R(1 - e-t/RC ) V ; t ≥ 0
- Ví dụ về điều kiện đầu
+
i(t) C R u(t)
-
➢ Giải:
➢ 2. i(t) = cosωt A; Theo kết quả trước:
➢ u(t) = uxl(t) + uqđ(t) = ke-t/RC + cos(ωt-φ) V ; t ≥ 0
➢ Hằng số k được xác định dựa trên điều kiện đầu: Do giả thiết
uC (0-) = 0 → uC (0+ ) = 0. Nên:
➢ u(0+) = uC (0+ ) = k + cosφ = 0
➢ →k=- cosφ. Vậy:
➢ u(t) = (- cosφe-t/RC + cos(ωt-φ) ) V ; t ≥ 0
- Ví dụ 4
1 t=0
2 i(t) L 1H
E
e(t) R 10Ω
➢ Tại t= 0 khóa k chuyển từ 1 sang 2.Tính i(t)? Với t > 0. Biết
➢ E = 5 V; e(t) = 10cos(10t + 450 )
➢ Giải:
➢ ở t < 0, mạch xác lập 1 chiều, cuộn dây ngắn mạch, dòng qua
nó: iL (0-) = 5/10 = 0,5 A.
➢ Ở t > 0, dòng i(t) trong mạch là nghiệm của phương trình:
➢ Ri(t) +Ldi/dt = e(t)
➢ Thành phần quá độ là nghiệm của phương trình thuần nhất:
➢ iqđ (t)= ke-Rt/L = ke-10t
- Để tìm thành phần xác lập ta dùng phương pháp biên độ phức:
Z = 10 + j10 = 10√2ej45
Biên độ phức của nguồn kích thích: = 10ej45
Biên độ phức của thành phần xác lập:
= /Z = 10/450 /(10√2/450 ) =1/√2
Thành phần xác lập của dòng điện:
ixl (t) = (1/√2)cos10t
Dòng điện i(t) trong mạch khi t > 0 là:
i(t) = iqđ (t) + ixl (t) = ke-10t + (1/√2)cos10t
Dựa vào điều kiện ban đầu: iL (0+) = iL (0-) = 0,5 A
iL (0+) = k + 1/√2 = 0,5
→ k = -0,207
Vậy :
i(t) = (1/√2)cos10t – 0,207e-10t
- Ví dụ 5
+
K R
R
i(t) R iL(t) u(t)
iC(t)
C L
-
➢ Xét mạch RLC như hình.Biết điều kiện đầu bằng 0: iL(0-) =
➢ uC(0-) = 0. Tại t = 0 kích thích lên mạch nguồn dòng i(t) = 1 A.
Hãy tìm iL(t); ic(t); u(t) khi t ≥ 0? Biết R2 = L/C
➢ Giải:
➢ Ta viết phương trình áp cho mạch vòng có nhánh RLC
- Do i(t) = 1 A →di(t)/dt = 0 và thành phần xác lập của iL = 1
Để tìm thành phần quá độ của iL ta tìm nghiệm của phương trình
thuần nhất:
Phương trình đặc tính: p2 + (2R/L)p + 1/LC = 0
Theo giả thiết R2 = L/C →∆’ = (R/L)2 - 1/LC = 0. Ta có nghiệm kép
p1 = p2 = - R/L. Thành phần quá độ có dạng:
iLqđ (t) = (k1 + k2 t) e-(R/L)t
Dòng qua cuộn dây: iL (t) = 1 + (k1 + k2 t) e-(R/L)t
Theo điều kiện đầu: iL(0-) = iL(0+) = 0
uC(0-) = uC(0+) = 0. Ta lại có:
i(t) = iL(t) +iC (t) → i(0+) = iL(0+) +iC (0+) = 1
→iC (0+) = 1
- u(0+) = RiC (0+) + uC(0+) = iL(0+)R + L diL(0+)/dt
→ diL(0+)/dt = R/L
Các hệ số k1; k2 được xác định từ 2 phương trình sau:
iL(0+) = (k1+k2 .0)e-0 +1 = 0
diL(0+)/dt = -(R/L)(k1+ k2.0)e0 + k2 e-0 = R/L
→ k1 = -1; k2 = 0
Vậy dòng qua cuộn dây:
iL = 1 – e-Rt/L ; t ≥ 0
Dòng qua tụ:
iC = i(t) – iL = e-Rt/L ; t > 0
Điện áp u(t):
u(t) = LdiL/dt + RiL = R; t > 0
- 5.2. Đáp ứng mạch RC và RL bậc nhất
•Mạch bậc nhất : Mạch chỉ chứa 1 tụ điện hay 1 cuộn
dây và bao gồm các nguồn DC, điện trở và khóa điện.
•Cũng có thể phân tích mạch chứa nhiều tụ điện hay
cuộn dây nếu ta có thể biến đổi chúng thành 1 phần tử
tương đương tụ điện hay cuộn dây
•Ta phân tích mạch dùng KCL và KVL
•Ta có được phương trình vi phân bậc nhất
•Giải phương trình vi phân để tìm đáp ứng
•Cuối cùng ta bàn đến 1 cách dể hơn để tìm đáp ứng
•Nếu trong mạch không có nguồn thì gọi là đáp ứng
‘natural’ tức chỉ có thành phần tự do (quá độ)
•Nếu trong mạch có nguồn thì gọi là đáp ứng ‘step’ gồm
2 thành phần tự do và cưỡng bức (xác lập)
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
