Bài giảng Giải tích phức: Chương 1 - Nguyễn Thị Huyền Nga

Tài liệu này giới thiệu về Giải tích phức, một môn học với 30 tiết học, bao gồm cả lý thuyết và bài tập. Mục tiêu của môn học là giúp sinh viên nắm vững kiến thức về giải tích phức, vận dụng thành thạo cách tính tích phân hàm biến phức và ứng dụng các phép biến đổi để giải phương trình vi phân.

Sinh viên ngành Vật lý hoặc Toán học ứng dụng muốn nắm vững kiến thức về giải tích phức để ứng dụng trong các bài toán liên quan đến vật lý và kỹ thuật.

Tài liệu trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích phức, bắt đầu từ việc mở rộng tập số từ số tự nhiên đến số phức. Chương I tập trung vào số phức và mặt phẳng phức, bao gồm các dạng biểu diễn số phức (Decartes và mũ), các phép toán trên số phức, và các khái niệm liên quan đến tập con trong mặt phẳng phức. Các chương tiếp theo sẽ đi sâu vào hàm biến phức, các hàm phức cơ bản, tích phân phức, thuyết thặng dư và các phép biến đổi tích phân.

Số phức được biểu diễn dưới dạng Descartes z = a + ib, trong đó a là phần thực và b là phần ảo. Dạng mũ của số phức là z = re^(iθ), với r là modulus và θ là argument. Công thức Euler (e^(iθ) = cos θ + i sin θ) liên kết hai dạng biểu diễn này.

Mặt phẳng phức (Argand) biểu diễn số phức như một vectơ trên mặt phẳng tọa độ, với trục thực và trục ảo. Các phép toán đại số trên số phức (cộng, trừ, nhân, chia) tuân theo các quy tắc thông thường, với i^2 = -1. Lũy thừa và căn số của số phức cũng được thảo luận, với lưu ý rằng căn bậc n của một số phức có đúng n giá trị.

Các khái niệm về vùng lân cận, phần trong, tập mở và tập đóng được giới thiệu để mô tả các tập con trong mặt phẳng phức.