Bài giảng Giải tích phức: Chương 3 - Nguyễn Thị Huyền Nga

Chương III của tài liệu này tập trung vào các hàm phức cơ bản, bao gồm đa thức, hàm mũ, hàm lượng giác, hàm hyperbol, hàm lôgarit và hàm lượng giác ngược. Mỗi loại hàm được trình bày chi tiết về định nghĩa, tính chất, và các ví dụ minh họa, giúp người đọc nắm vững kiến thức nền tảng về các hàm này trong không gian phức.

Sinh viên và những người làm việc trong lĩnh vực toán học và kỹ thuật cần nắm vững kiến thức về các hàm phức để giải quyết các bài toán phức tạp liên quan đến giải tích phức, biến đổi Fourier, và các ứng dụng khác.

Chương này trình bày một cách có hệ thống các hàm phức cơ bản. Bắt đầu với **đa thức**, chương giải thích cách tính đạo hàm của đa thức phức. Tiếp theo là **hàm mũ**, với các tính chất quan trọng như tính thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann, cách tính modulus và argument, cũng như các quy tắc về phép nhân và chia hàm mũ. Đặc biệt, chương nhấn mạnh sự khác biệt giữa hàm mũ phức và hàm mũ thực, chẳng hạn như tính tuần hoàn của hàm mũ phức. Phần về **hàm lượng giác** giới thiệu các hàm sin, cos, tan, cot và các điểm dị thường của chúng. **Hàm hyperbol** được trình bày cùng với mối quan hệ của chúng với các hàm lượng giác thông qua các hệ thức. Chương cũng cung cấp các bài tập chứng minh các hệ thức liên quan đến hàm hyperbol và lượng giác. **Hàm lôgarit** được định nghĩa và liên hệ với lôgarit tự nhiên, cùng với cách tính đạo hàm và các ví dụ minh họa. Cuối cùng, chương trình bày **hàm lượng giác ngược**, bao gồm cách tìm nghiệm của phương trình lượng giác phức và các ví dụ về cách tìm các hàm lượng giác ngược như arcsin, arctan, argcosh, argsinh. Chương kết thúc bằng việc giới thiệu **hàm lũy thừa tổng quát** và các ví dụ về cách tính giá trị của chúng.

Các điểm chính trong chương:

1. **Đa thức:** Định nghĩa và cách tính đạo hàm.
2. **Hàm mũ:** Tính chất, modulus, argument, và sự khác biệt so với hàm mũ thực.
3. **Hàm lượng giác:** Định nghĩa, các điểm dị thường, và bài tập liên quan.
4. **Hàm hyperbol:** Mối quan hệ với hàm lượng giác và các hệ thức.
5. **Hàm lôgarit:** Định nghĩa, liên hệ với lôgarit tự nhiên, và cách tính đạo hàm.
6. **Hàm lượng giác ngược:** Cách tìm nghiệm và các hàm ngược cơ bản.
7. **Hàm lũy thừa tổng quát:** Định nghĩa và ví dụ minh họa.