BÀI GIẢNG 2: PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM PHỨC (phần 3)

Đối với dạng này ta thường gặp phương trình bậc 3 hoặc bậc 4 dạng đặc biệt có thể quy về phương trình bậc hai.

Đối với phương trình bậc 3 (hoặc cao hơn), về nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử để đưa về phương trình tích từ đó đưa được về tích của các phương trình bậc nhất và bậc hai.

1. Phƣơng pháp phân tích thành nhân tử.

Phương pháp phân tích: tương tự như đối với số thực ta có một số phân tích nhân tử sau:

Đối với phương trình bậc ba hoặc bậc bốn đề bài cho biết có một nghiệm thực hoặc

một nghiệm ảo. Ta dùng phương pháp sau đề tìm ra nghiệm đó:

B1. Giả sử phương trình có nghiệm thực ta có .

B2. Biến đổi hệ thức về dạng từ đó tìm ra a.

B3. Viết lại phương trình

Nếu phương trình có nghiệm thuần ảo thì cách làm tương tự.

Ví dụ 1. Giải phương trình biết rằng phương trình có 1

nghiệm thực.

Giải

Gọi nghiệm thực là z0 ta có:

Khi đó phương trình đã cho tương đương với

Giải phương trình trên tìm được các nghiệm của phương trình là z = -2; z= 2+ i; z= 3- 2i.

Ví dụ 2. Giải phương trình (1); biết phương trình có nghiệm

thuần ảo.

Giải

là một nghiệm thuần ảo của phương trình trên. Thay vào phương trình Giả sử

ta có:

Vậy là nghiệm của phương trình (1) nên ta có:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là .

Ví dụ 3. Giải phương trình

Giải

và

Nhận biết được phương trình có 2 nghiệm là Vậy phương trình đã cho tương đương với:

Vậy phương trình trên có nghiệm là

Ví dụ 4. Giải phương trình

. Giải

Phương trình đã cho tương đương với

. Vậy nghiệm của phương trình trên là

Bài tập đề nghị

Bài 1: Cho phương trình sau: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = 0 (1)

1) Chứng minh rằng (1) nhận một nghiệm thuần ảo.

2) Giải phương trình (1).

ĐS: 1) (1) có nghiệm thuần ảo z = 2i .

2)

Bài 2. Giải phương trình: z3 = 18 + 26i, trong đó z = x + yi ; x, y 

ĐS: z = 3 + i.

Bài 3. 1) Tìm các số thực a, b để có phân tích: z3 + 3z2 + 3z – 63 = (z – 3)(z2 +az + b)

2) Giải phương trình: z3 + 3z2 + 3z – 63 =0.

ĐS: 1) ; 2)

Bài 4. Giải phương trình: z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 0 (1)

ĐS:

Bài 5. Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0.

ĐS:

Bài 6. Giải phương trình , biết rằng phương trình có một nghiệm

thuần ảo.

HD: Giả sử nghiệm thuần ảo là . Thay vào phương trình

2. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ.

Dạng 1: Phương trình trùng phương .

Phương pháp giải: Đặt khi đó ta chuyển về phương trình bậc 2 ẩn t là

Dạng 2: Phương trình hồi quy với

Phương pháp giải: TH1: Xét không phải là nghiệm của phương trình trên nếu .

TH2: Xét chia cả hai vế của phương trình cho , ta được:

Đặt phương trình đã cho chuyển thành phương trình bậc 2 có dạng sau:

Dạng 3: Phương trình dạng

Phương pháp chung: Đặt . Phương trình đã cho trở thành:

Đặt ta được phương trình:

Dạng 4: Phương trình dạng trong đó các hệ số a; b; c; d thỏa

mãn . Phương pháp giải: Viết lại phương trình dưới dạng:

ta được phương trình bậc hai: Đặt với

Ví dụ 1. Giải phương trình

Giải

Đặt khi đó phương trình đã cho trở thành

Ta thấy nên phương trình (*) có hai nghiệm là

Vậy phương trình trên có 4 nghiệm là .

Ví dụ 2. Giải phương trình

Giải

Ta viết lại phương trình dưới dạng

Đặt , khi đó phương trình đã cho có dạng

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Ví dụ 3. Giải phương trình (1)

Giải

Vì z = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên ta có:

Đặt . Ta có phương trình:

(2)

Phương trình (2) có nghiệm là .

 Với

 Với

Vậy nghiệm của phương trình là

Bài tập đề nghị

Bài 1. Giải phương trình: (z2 + z)2 + 4(z2 + z) –12 = 0

Đáp số:

Bài 2. Giải phương trình: (z2 + 3z + 6)2 + 2z(z2 + 3z + 6) – 3z2

= 0

Đáp số:

Bài 3. Giải phương trình: z4 – 2z3 – z2 – 2z + 1 = 0

Đáp số: z = ; z = .

Bài 4. Giải phương trình: z4 – z3 + + z + 1 = 0 .

+ – i. Đáp số: z1 = 1+ i ; z2 = i ; z3 = 1– i ; z4 =