Bài giảng Hình học-họa hình - ĐH Kỹ thuật công nghiệp

Trêng ®¹i häc kü thuËt c«ng nghiÖp bé m«n: H×nh ho¹ vÏ kü thuËt ------------- *** ------------

Bµi gi¶ng

H×nh häc – ho¹ h×nh

Bµi më ®Çu

I. Môc ®Ých, néi dung, yªu cÇu.

1. Mô c ®Ýc h. - Gióp sinh viªn n¾m v÷ng c¸c quy t¾c, vµ ph¬ng ph¸p cña H×nh ho¹ ®Ó häc tèt m«n VÏ kü thuËt, lµ m«n häc kh«ng thÓ thiÕu cña ngêi lµm c«ng t¸c kü thuËt.

- RÌn luyÖn kh¶ n¨ng t duy trõu tîng, h×nh dung vËt thÓ trong kh«ng gian. Kh¶ n¨ng nµy rÊt cÇn thiÕt cho ngêi lµm c¸n bé kü thuËt sau nµy trong viÖc c¶i tiÕn kü thuËt, ph¸t minh s¸ng chÕ … 2. Né i dung .

H×nh häc ho¹ h×nh lµ mét ngµnh cña h×nh häc, nã nghiªn cøu 2 hai vÊn ®Ò sau:

- Nghiªn cøu c¸c ph¬ng ph¸p biÓu diÔn c¸c h×nh kh«ng gian b»ng h×nh vÏ trªn mÆt ph¼ng.

- Nghiªn cøu c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n trong kh«ng gian b»ng h×nh vÏ trªn mÆt ph¼ng.

* Yª u c Çu p h¶n c huy Ón:

Trong kü thuËt, b¶n vÏ ph¶i tho¶ m·n yªu cÇu lµ: tõ b¶n vÏ ta ph¶i x©y dùng l¹i ®îc vËt thÓ trong kh«ng gian- Yªu cÇu nµy gäi lµ yªu cÇu ph¶n chuyÓn. B¶n vÏ tho¶ m·n yªu cÇu ph¶n chuyÓn gäi lµ ®å thøc.

§Ó chuyÓn c¸c h×nh kh«ng gian thµnh c¸c h×nh vÏ trªn mÆt ph¼ng ngêi ta

II. C¸c phÐp chiÕu.

dïng c¸c phÐp chiÕu.

1. PhÐp c hiÕu xuyªn

t©m.

a. §Þnh ng hÜa

-Trong kh«ng gian lÊy mét mÆt ph¼ng P lµm mÆt ph¼ng h×nh chiÕu, lÊy mét ®iÓm S kh«ng thuéc mÆt ph¼ng P lµm t©m chiÕu.

- H×nh chiÕu xuyªn t©m cña ®iÓm A bÊt S kú trong kh«ng gian lªn mÆt ph¼ng P lµ giao ®iÓm A’ cña ®êng th¼ng SA víi mÆt ph¼ng P .

+ P : Lµ mÆt ph¼ng h×nh chiÕu. Ký hiÖu b»ng ch÷ hoa. + S : Lµ t©m chiÕu. Ký hiÖu b»ng ch÷ in hoa. + SA: Lµ tia chiÕu.

b. TÝnh c hÊt.

-TÝnh c hÊt 1: H×nh chiÕu xuyªn t©m cña ®êng th¼ng kh«ng ®i qua t©m chiÕu lµ ®êng th¼ng. CM: gi¶ thiÕt cho AB kh«ng ®i qua t©m chiÕu, th× c¸c ®êng th¼ng chiÕu qua S vµ tùa trªn AB t¹o thµnh mf gäi lµ mf chiÕu. Mf nµy c¾t mf P theo ®t A’B’

* C¸c hÖ qu¶:

+ Mét ®iÓm M thuéc AB th× h×nh chiÕu xuyªn t©m M’ cña nã còng thuéc A’B’ .

(cid:222) VËy phÐp chiÕu xuyªn t©m b¶o tån

tÝnh liªn thuéc cña ®iÓm vµ ®êng th¼ng.

+ Ngîc l¹i, nÕu M’ thuéc A’B’ th× cha

ch¾c M ®· thuéc AB.

+A’B’ cßn gäi lµ h×nh chiÕu suy biÕn cña mÆt ph¼ng chiÕu (S,AB)

P

Më réng: NÕu mét h×nh ph¼ng bÊt kú thuéc mf chiÕu th× h×nh chiÕu xuyªn

t©m cña nã ph¶i thuéc ®êng th¼ng A’B’.

+ §êng th¼ng ®i qua t©m chiÕu th× h×nh chiÕu xuyªn t©m cña nã suy biÕn

thµnh mét ®iÓm.

E(¥)

F(¥)

C'” D'

+ NÕu mÆt ph¼ng chiÕu cña mét ®êng th¼ng nµo ®ã song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu th× h×nh chiÕu xuyªn t©m cña nã ë xa v« tËn.

- TÝnh c hÊt 2: H×nh chiÕu xuyªn t©m cña c¸c ®êng th¼ng song song nãi chung

lµ

c¸c ®êng th¼ng ®ång quy. S

A D

B' C

A' E

C' D' K’

P

* HÖ qu¶:

+ NÕu c¸c ®êng th¼ng song song ®· cho song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu

th× h×nh chiÕu cña c¸c ®êng th¼ng ®ã sÏ song song nhau.

2. PhÐp c hiÕu s o ng s o ng

a. §Þnh ng hÜa:

Trong kh«ng gian lÊy mÆt ph¼ng P lµm mÆt ph¼ng h×nh chiÕu vµ ®êng

th¼ng s kh«ng song song víi P lµm híng chiÕu.

H×nh chiÕu song song cña ®iÓm A lµ giao ®iÓm A’ cña ®êng th¼ng qua A ,

song song víi s, vµ mÆt ph¼ng P . P : lµ mÆt ph¼ng h×nh chiÕu. s: lµ híng chiÕu.

s AA’: lµ tia chiÕu

A' A’: lµ h×nh chiÕu song song cña ®iÓm

P

b. C¸c tÝnh c hÊt.

PhÐp chiÕu song song lµ trêng hîp ®Æc biÖt cña phÐp chiÕu xuyªn t©m khi

t©m chiÕu ë xa v« tËn, do ®ã nã cã c¸c tÝnh chÊt cña phÐp chiÕu xuyªn t©m.

PhÐp chiÕu song song cßn cã 2 tÝnh chÊt sau:

- TÝnh c hÊt 1:H×nh chiÕu song song cña c¸c ®êng th¼ng song song lµ c¸c ® êng th¼ng song song.

P

NhËn xÐt:

- Ta thÊy h×nh chiÕu song song cña ®êng th¼ng AB lµ A’B’. Ngîc l¹i A’B’ lµ h×nh chiÕu cña mäi ®êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng chøa ®êng th¼ng AB vµ song song víi s.

s A

B' C'

B'A' D'C'

AB CD

- TÝnh c hÊt 2: TØ sè hai h×nh chiÕu song song cña hai ®o¹n th¼ng song song b»ng tû sè cña hai ®o¹n th¼ng ®ã.

-HÖ qu¶

s

PhÐp chiÕu song song b¶o tån tØ sè ®¬n cña ba ®iÓm th¼ng hµng

C'A' CA C'B' CB

Mét sè trêng hîp ®Æc biÖt:

-Khi EF // s, th× E' ” F’ E

s - Khi AB // P, th× A’B’ // AB

E'” F’

3. PhÐp c hiÕu th¼ng g ãc .

a. §Þnh ng hÜa:

PhÐp chiÕu th¼ng gãc lµ trêng hîp ®Æc biÖt cña phÐp chiÕu song song khi

híng chiÕu vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng hinh chiÕu.

2. TÝnh c hÊt:

PhÐp chiÕu th¼ng gãc lµ trêng hîp ®Æc biÖt cña phÐp chiÕu song song nªn nã cã tÊt c¶ c¸c tÝnh chÊt cña phÐp chiÕu song song, ngoµi ra nã cßn cã tÝnh chÊt sau:

- §é dµi h×nh chiÕu th¼ng gãc cña mét ®o¹n th¼ng b»ng ®é dµi cña ®o¹n th¼ng ®ã nh©n víi cosj (j lµ gãc hîp bëi ®o¹n th¼ng ®ã vµ mÆt ph¼ng h×nh chiÕu). P

A’B’ = AB.cosj (j = AB x P ) KÕt luËn C¸c phÐp chiÕu trªn ®©y cho ta vÏ ®îc h×nh chiÕu cña c¸c ®èi tîng trong kh«ng gian lªn mÆt ph¼ng. Nhng ngîc l¹i,chóng cha thiÕt lËp quan hÖ mét ®èi mét gi÷a c¸c yÕu tè trong kh«ng gian víi c¸c yÕu tè trªn mÆt ph¼ng.

§Ó x©y dùng b¶n vÏ tho ¶ m·n ®iÒu kiÖn ph¶n c huyÓn,

tro ng kü thuËt th-ê ng dïng c ¸c ph-¬ng ph¸p s au:

- Ph¬ng ph¸p c¸c h×nh chiÕu th¼ng gãc.

- Ph¬ng ph¸p h×nh chiÕu trôc ®o.

- Ph¬ng ph¸p h×nh chiÕu phèi c¶nh.

- Ph¬ng ph¸p h×nh chiÕu cã sè.

Ph¬ng ph¸p c¸c h×nh chiÕu th¼ng gãc

Ch-¬ng 1: §iÓm

1.1 §å thøc cña mét ®iÓm

1.1.1 Dïng 2 mÆt ph¼ng h×nh c hiÕu.

P1 ^

a. C¸c h x©y dùng ®å thø c .

- Trong kh«ng gian lÊy 2 mÆt ph¼ng P2, lµm hai mf h×nh chiÕu. - ChiÕu ®iÓm A lªn 2 mÆt ph¼ng P1 vµ P2 ®îc 2 h×nh chiÕu lµ A1 vµ A2.

- Xoay mÆt ph¼ng P2 xung quanh giao tuyÕn x cña 2 mÆt ph¼ng theo chiÒu mòi tªn nh h×nh vÏ ®Ó mÆt ph¼ng P2 trïng víi mÆt ph¼ng P1.

” KÕt qu¶ trªn mÆt ph¼ng P2 P1

P1” P2

ta ®îc hai h×nh chiÕu th¼ng gãc cña ®iÓm A. H×nh thu ®îc b»ng c¸ch lµm nh vËy gäi lµ ®å thøc cña ®iÓm A.

b. C¸c ®Þnh ng hÜa:

thêng lÊy th¼ng ®øng -gäi lµ mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng. - P1

thêng lÊy n»m ngang- gäi lµ mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng.

- P2 - A1 gäi lµ h×nh chiÕu ®øng cña ®iÓm A.

- A2 gäi lµ h×nh chiÕu b»ng cña ®iÓm A.

gäi lµ trôc h×nh chiÕu.- - Giao tuyÕn x = P1 x P2

gäi lµ ®é xa cña ®iÓm

Kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn P1 A, víi quy íc:

th× ®é xa

NÕu A n»m phÝa tríc mÆt ph¼ng P1 > 0.

th× ®é xa

NÕu A n»m phÝa sau mÆt ph¼ng P1 < 0.

gäi lµ ®é cao cña ®iÓm A. th× ®é xa = 0. - Kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn P2

th× ®é cao > 0. NÕu A n»m thuéc mÆt ph¼ng P1 NÕu A n»m phÝa trªn mÆt ph¼ng P2

th× ®é cao < 0. NÕu A n»m phÝa díi mÆt ph¼ng P2

th× ®é cao = 0. NÕu A thuéc mÆt ph¼ng P2

chia kh«ng gian lµm 4 phÇn gäi lµ 4 gãc t. - Hai mÆt ph¼ng P1 vµ P2

vµ phÝa trªn mÆt

+ Gãc t I lµ phÇn kh«ng gian n»m phÝa tríc mÆt ph¼ng P1 ph¼ng P2 (§iÓm thuéc gãc I cã ®é xa > 0, ®é cao > 0).

+ Gãc t II lµ phÇn kh«ng gian n»m

vµ phÝa trªn

( ®iÓm thuéc gãc II cã ®é

phÝa sau mÆt ph¼ng P1 mÆt ph¼ng P2 xa < 0, ®é cao > 0).

+ Gãc t III lµ phÇn kh«ng gian n»m

III

vµ phÝa díi

(®iÓm thuéc gãc III cã ®é

phÝa sau mÆt ph¼ng P1 mÆt ph¼ng P2 xa < 0, ®é cao < 0).

+ Gãc t IV lµ phÇn kh«ng gian n»m

PII

vµ phÝa díi

( ®iÓm thuéc gãc IV cã

phÝa tríc mÆt ph¼ng P1 mÆt ph¼ng P2 ®é xa > 0, ®é cao < 0). - MÆt ph¼ng chia ®«i gãc t I vµ III gäi lµ mÆt ph¼ng ph©n gi¸c I.

- MÆt ph¼ng chia ®«i gãc t II vµ IV gäi lµ mÆt ph¼ng ph©n gi¸c II.

c . C¸c tÝnh c hÊt .

x) - Gäi Ax lµ giao ®iÓm cña trôc x víi mÆt ph¼ng x¸c ®Þnh bëi 3 ®iÓm A, A1, A2, . Th× trªn ®å thøc 3 ®iÓm A1, Ax, A2 th¼ng hµng vµ ®êng th¼ng nèi ba ®iÓm ®ã vu«ng gãc víi trôc x- Gäi lµ ®êng dãng th¼ng ®øng (A1 Ax A2 ^

- §é dµi A1 Ax b»ng trÞ tuyÖt ®èi ®é cao cña ®iÓm A.

NÕu A1 n»m phÝa trªn trôc x th× ®é cao >

Ax NÕu A1 thuéc trôc x th× ®é cao = 0

NÕu A1 n»m phÝa díi trôc x th× ®é cao < - §é dµi A2 Ax b»ng trÞ tuyÖt ®èi ®é xa cña 0 ®iÓm A.

P1” P2

NÕu A2 n»m phÝa díi trôc x th× ®é xa > 0

NÕu A2 thuéc trôc x th× ®é xa = 0

NÕu A2 n»m phÝa trªn trôc x th× ®é xa < 0

-NÕu A thuéc mf ph©n gi¸c I -th× A1 ®èi xøng víi A2 qua trôc x

-NÕu A thuéc mf ph©n gi¸c II- th× A1 trïng A2

NhËn xÐt: NÕu biÕt ®å thøc cña 1 ®iÓm, sÏ x©y dùng l¹i ®îc ®iÓm ®ã trong kh«ng gian b»ng c¸ch lµm ngîc l¹i qu¸ tr×nh x©y dùng ®å thøc cña ®iÓm

C¸c vÝ dô ®å thøc cña ®iÓm gãc t thø I Mp ph©n gi¸c I

gãc t thø II - §iÓm E ˛ - §iÓm F ˛ Mp ph©n gi¸c II

gãc t thø III

- §iÓm G ˛ - §iÓm H ˛ P1 P2 - §iÓm A ˛ - §iÓm B ˛ - §iÓm C ˛ - §iÓm D ˛ gãc t thø IV B1

A1 ” F1 F2

H2 E1 C2

x G2

A2 E2

C1 G1

1.1.2. Dïng 3 mÆt ph¼ng h×nh c hiÕu.

a. C¸c h x©y dùng ®å thø c :

, P2, ,

. - Trong kh«ng gian lÊy 3 mÆt ph¼ng ®«i mét vu«ng gãc víi nhau P1 , P2 , P3

- ChiÕu th¼ng gãc ®iÓm A lÇn l ,P3 ît lªn 3 mÆt ph¼ng P1 ®îc

A1, A2, A3. - Xoay mÆt ph¼ng P2 quanh trôc x theo chiÒu mòi tªn ®Ó ” mÆt ph¼ng P2 P1

- Xoay mÆt ph¼ng P3 quanh trôc z theo chiÒu mòi tªn ®Ó ” mÆt ph¼ng P3 P1

ta ® Az A1 A3 ” P2 P1

y Ax x z) ” - KÕt qu¶ trªn mÆt ph¼ng P3 îc ba h×nh chiÕu th¼ng gãc cña ®iÓm A ,®ã lµ ®å thø c cña ®iÓm A trªn ba m Æ t ph¼ng h×nh chiÕu. (Víi A1A2 ^ x, A1 A3 ^ Ay

P1” P2” P3

, vµ trïng P1

vÒ trïng P1 nhng ngîc chiÒu víi hai trôc ®ã.

* Chó ý: Trªn ®å thøc trôc y cã vÞ trÝ trïng víi trôc z do phÐp xoay P2 trïng víi trôc x do phÐp xoay P3

b. C¸c ®Þnh ng hÜa:

®îc ®Þnh nghÜa nh dïng 2 mÆt ph¼ng C¸c yÕu tè thuéc mÆt ph¼ng P1 , P2

h×nh chiÕu. C¸c yÕu tè cßn l¹i ®Þnh nghÜa nh sau:

: Lµ mÆt ph¼ng h×nh chiÕu c¹nh

- P3 - A3 : Lµ h×nh chiÕu c¹nh cña ®iÓm A.

gäi lµ ®é xa c¹nh cña ®iÓm A - Kho¶ng c¸ch tõ A -®Õn P3

c . C¸c tÝnh c hÊt :

Ngoµi c¸c tÝnh chÊt nh ®· nªu trong trêng hîp dïng hai mÆt ph¼ng h×nh chiÕu, cßn cã c¸c tÝnh chÊt sau:

Gäi Az lµ giao ®iÓm cña trôc z víi mÆt ph¼ng A A1A3

z).

- Th× trªn ®å thøc, ba ®iÓm A1, Az, A3 th¼ng hµng vµ ®êng th¼ng nèi ba ®iÓm ®ã vu«ng gãc víi trôc Z- gäi lµ ®êng dãng n»m ngang ( A1 Az A3 ^ - A3Az = A2Ax = AA1 ( ®é xa cña ®iÓm A).

Az A1 A3 - Gi÷a ®iÓm A3 vµ A2 liªn hÖ víi

nhau nh sau: z

-NÕu A2 n»m phÝa díi trôc x

y Ax x th× A3 n»m bªn ph¶i trôc z . Ay

-NÕu A2 n»m phÝa trªn trôc x A2

Ay th× A3 n»m bªn tr¸i trôc z.

P1” P2” P3 Z

-NÕu A2 thuéc trôc x

Chó ý: Do sù liªn quan gi÷a ba th× A3 thuéc trôc z. h×nh chiÕu th¼ng gãc cña mét ®iÓm, ta dÔ dµng vÏ ®îc h×nh chiÕu thø ba khi biÕt hai h×nh chiÕu cña nã.

VÝ dô: cho hai h×nh chiÕu B1 vµ B2 cña ®iÓm B, h·y vÏ h×nh chiÕu c¹nh B3.

X Y

Gi¶i: Do B2 phÝa trªn trôc x, vËy B3 n»m bªn tr¸i trôc z. Trªn ®êng n»m ngang qua B1,phÝa bªn tr¸i trôc z,ta ®Æt ®o¹n BzB3 = Bx B2,

B3 cßn cã thÓ t×m ®îc b»ng c¸c c¸ch nh m« t¶ trªn h×nh a vµ h×nh b ë díi ®©y

B3`

z Bz

x Ax

x Bx Bx

H×nh a H×nh b

1.2 C¸c h c huyÓn tõ to ¹ ®é ®Ò

c ¸c th¼ng g ãc s ang ®å thø c

1.2.1 To ¹ ®é ®Ò c ¸c c ña mé t ®iÓm.

VÞ trÝ cña ®iÓm A trong hÖ to¹ ®é Oxyz

hoµn toµn ®îc x¸c ®Þnh theo to¹ ®é:

A (XA, YA, ZA)

Trong ®ã, c¸c gi¸ trÞ ®¹i sè XA = OAx lµ hoµnh ®é cña ®iÓm A YA = OAy lµ tung ®é cña ®iÓm A ZA = OAz lµ cao ®é cña ®iÓm A

1.2.2. C¸c h c huyÓn tõ to ¹ ®é ®Ò c ¸c s ang ®å thø c .

-Trong c¸ch x©y dùng ®å thøc cña mét ®iÓm khi dïng ba mÆt ph¼ng h×nh chiÕu, nÕu lÊy c¸c mÆt ph¼ng h×nh chiÕu lµm c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é, c¸c trôc h×nh chiÕu lµm c¸c trôc to¹ ®é, th× hai ph¬ng ph¸p biÓu diÔn cã sù t¬ng quan nh sau:

+ XA= OAx = ®é xa c¹nh cña ®iÓm A.

+ YA = OAy =Ax A2 = ®é xa cña ®iÓm A.

+ ZA = OAz = AxA1 = ®é cao cña ®iÓm A.

Tõ s ù t¬ng quan trª n, ta dÔ dµng vÏ ®îc ®å thø c cña m é t ®iÓm khi biÕt c¸c to¹ ®é

®Ò c¸c cña nã.

VÝ dô :

VÏ ®å thøc cña ®iÓm M cã to¹ ®é (1, -2, 3)

Gi¶i:

Tõ XM = 1, ta vÏ ®îc Mx víi OMx = 1

YM = -2 ,ta vÏ ®îc M2 víi Mx M2 = 2( lÊy vÒ

phÝa ©m cña trôc y)

ZM= 3 , ta vÏ ®îc M1 víi Mx M1 = 3

- Tõ M1, M2 , ta t×m ®îc M3

Ch-¬ng 2: §-ê ng th¼ng 2.1 ®å thø c c ña ®-ê ng th¼ng

2.1.1. ®å thø c c ña ®-ê ng th¼ng .

Trong kh«ng gian ®êng th¼ng ®îc x¸c ®Þnh bëi hai ®iÓm vµ h×nh chiÕu cña

mét ®êng th¼ng lµ mét ®êng th¼ng. V× vËy ®å thøc cña ®êng th¼ng ®îc x¸c ®Þnh khi biÕt ®å thøc cña hai ®iÓm thuéc ®êng th¼ng Êy.

2.1.2. §Þnh ng hÜa.

” §å thøc cña mét ®êng th¼ng l(A,B) lµ mét cÆp ®êng th¼ng l1(A1,B1) vµ P2.

l2(A2,B2) trªn mÆt ph¼ng ®å thøc P1 B1

l1

l

l2

Ta gäi ®êng th¼ng bÊt kú lµ ®êng th¼ng cã híng kh«ng song song hoÆc vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu. Trªn ®å thøc, c¸c h×nh chiÕu cña ®êng th¼ng bÊt kú còng cã híng bÊt kú.

* NhËn xÐt:

Tõ hai h×nh chiÕu l1, l2 cña ®êng th¼ng ta cã thÓ dùng l¹i ®êng th¼ng l b»ng

, tõ h×nh chiÕu b»ng l2 dùng mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng

, hai mÆt ph¼ng nµy c¾t nhau theo giao tuyÕn, ®ã chÝnh lµ

c¸ch: Tõ h×nh chiÕu ®øng l1 dùng mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng P1 h×nh chiÕu b»ng P2 ®êng th¼ng l trong kh«ng gian.

l1

l

l2

2.2 c ¸c ®-ê ng th¼ng ®Æc biÖt

§êng th¼ng ®Æc biÖt lµ ®êng th¼ng cã híng song song , hoÆc vu«ng gãc

víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu.

2.2.1. C¸c ®-ê ng ®ång mø c .

®êng ®ång møc lµ ®êng th¼ng song song víi mét mÆt ph¼ng h×nh chiÕu

Gåm cã: §êng b»ng, ®êng mÆt, ®êng c¹nh.

a. §-ê ng b»ng .

* §Þnh nghÜa: §êng b»ng lµ ®êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng P2.

* TÝnh c hÊt:

- H×nh chiÕu ®øng b1 song song víi trôc x.

- H×nh chiÕu b»ng cña bÊt k× ®o¹n th¼ng nµo thuéc ®êng b»ng còng cã ®é dµi b»ng chÝnh nã: A2B2 = AB.

— - Gãc cña h×nh chiÕu b»ng cña ®êng b»ng víi trôc x chÝnh lµ gãc gi÷a ®êng th¼ng ®ã víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng P1 . (b · x) = — (b2 · P1 ) b. §-ê ng mÆt.

* §Þnh ng hÜa: §êng mÆt lµ ®êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng P1 .

A1 B m

A x

A2 B2

* TÝnh c hÊt:

- H×nh chiÕu b»ng m2 song song víi trôc x.

- H×nh chiÕu ®øng cña bÊt k× ®o¹n th¼ng nµo thuéc ®êng mÆt còng cã ®é dµi b»ng chÝnh nã: A1B1 = AB.

— - Gãc cña h×nh chiÕu ®øng cña ®êng mÆt víi trôc x chÝnh lµ gãc gi÷a ®êng th¼ng ®ã víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng P2 . (m · x) = — (m1 · P2 )

c . §-ê ng c ¹nh.

* §Þnh nghÜa: §êng c¹nh lµ ®êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu c¹nh P3 . P1

A1 A A3

A2 B

* TÝnh c hÊt:

- H×nh chiÕu ®øng vµ h×nh chiÕu b»ng( A1B1, A2B2 ) cïng n»m trªn ®êng dãng th¼ng ®øng vµ vu«ng gãc víi trôc x.

- H×nh chiÕu c¹nh cña ®o¹n th¼ng bÊt k× thuéc ®êng c¹nh A3B3 còng cã ®é dµi b»ng chÝnh nã.

— (A3B3 x z) = — (AB x P1 )

— (A3B3 x y) = — - Gãc gi÷a h×nh chiÕu c¹nh cña ®êng c¹nh víi trôc z lµ gãc gi÷a ®êng th¼ng ®ã víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng P1 . - Gãc gi÷a h×nh chiÕu c¹nh cña ®êng c¹nh víi trôc y lµ gãc gi÷a ®êng th¼ng ®ã víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng P2 . (AB x P2 )

2.2.2 C¸c ®-ê ng th¼ng c hiÕu.

®êng th¼ng chiÕu lµ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu.

Gåm cã: §êng th¼ng chiÕu b»ng, ®êng th¼ng chiÕu ®øng, ®êng th¼ng

chiÕu c¹nh.

a. §-ê ng th¼ng c hiÕu b»ng .

P1 B1

* §Þnh nghÜa: B1

§êng th¼ng chiÕu

A1 A1 x x b»ng lµ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng P2 .

A2” B2 A2” B2

* TÝnh c hÊt:

x - H×nh chiÕu b»ng suy biÕn thµnh mét ®iÓm: A2 ” -H×nh chiÕu ®øng lµ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi trôc x: A1B1 ^

- H×nh chiÕu ®øng vµ h×nh chiÕu c¹nh cña bÊt k× ®o¹n th¼ng nµo thuéc ®êng th¼ng chiÕu b»ng còng cã ®é dµi b»ng ®é dµi thËt.

A1B1 = AB = A3B3 .

A1” B1 * §Þnh nghÜa: b. §-ê ng th¼ng c hiÕu ®ø ng . P1

A1” B1

x A

A2 B §êng th¼ng chiÕu ®øng lµ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng P1 . x

B2 *TÝnh c hÊt:

x. - H×nh chiÕu ®øng suy biÕn thµnh mét ®iÓm: A1 ” - H×nh chiÕu b»ng lµ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi trôc x: A2B2 ^

- H×nh chiÕu b»ng vµ h×nh chiÕu c¹nh cña bÊt k× ®o¹n th¼ng nµo thuéc ®t chiÕu ®øng còng cã ®é dµi b»ng ®é dµi thËt:

A2B2 = AB = A3B3 .

c . §-ê ng th¼ng c hiÕu c ¹nh.

* §Þnh nghÜa:

B1 A1

A A3” B3 B x

§êng th¼ng chiÕu c¹nh lµ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu c¹nh P3 . *TÝnh c hÊt:

B3. A2 P2

A3” B3

- H×nh chiÕu c¹nh suy biÕn thµnh mét ®iÓm: A3 ” - C¸c h×nh chiÕu ®øng vµ h×nh chiÕu b»ng cïng song song víi trôc x:

A1B1 // x // A2B2.

-H×nh chiÕu ®øng vµ h×nh chiÕu b»ng cña bÊt k× ®o¹n th¼ng nµo thuéc ®êng th¼ng chiÕu c¹nh còng b»ng ®é dµi thËt:

A1B1 = AB = A2B2.

* Chó ý:

-®êng th¼ng kh«ng ph¶i lµ ®êng c¹nh hoµn toµn ®îc x¸c ®Þnh khi biÕt h×nh

chiÕu ®øng vµ h×nh chiÕu b»ng cña nã.

-Trêng hîp ®êng c¹nh, khi biÕt h×nh ®øng vµ h×nh b»ng , ®êng th¼ng ®ã

cha ®îc x¸c ®Þnh: Bëi mÆt ph¼ng ®i qua hai h×nh chiÕu ®ã vµ t¬ng øng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng vµ mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng sÏ trïng nhau. Do ®ã, muèn x¸c ®Þnh ®êng c¹nh trªn hai h×nh chiÕu th× ph¶i cho ®å thøc cña hai ®iÓm cña ®êng c¹nh. HoÆc cho h×nh chiÕu c¹nh víi h×nh chiÕu ®øng hoÆc h×nh chiÕu b»ng cña nã.

P1 p1

2.3 ®iÓm thué c ®-ê ng th¼ng

§Ó xÐt ®iÒu kiÖn mét ®iÓm thuéc mét ®êng th¼ng, ta ph©n ra c¸c trêng hîp sau:

2.3.1. Tr-ê ng hîp ®-ê ng th¼ng kh«ng ph¶i lµ ®-ê ng c ¹nh.

* §Þnh lý : §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét ®iÓm thuéc ®êng th¼ng lµ: h×nh chiÕu ®øng cña ®iÓm thuéc h×nh chiÕu ®øng cña ®êng th¼ng, h×nh chiÕu b»ng cña ®iÓm thuéc h×nh chiÕu b»ng cña ®êng th¼ng.

CM:- §iÒu kiÖn cÇn: gi¶ thiÕt trong kh«ng gian P1

m 1

cho A thuéc m, do tÝnh chÊt cña phÐp chiÕu b¶o tån sù liªn thuéc gi÷a ®iÓm vµ ®t ta cã:

- ®iÒu kiÖn ®ñ: gi¶ thiÕt trªn ®å thøc A1 thuéc m1, A2 thuéc m2, ta ph¶i cm A thuéc m.

A1 thuéc m1, A2 thuéc m2.

ThËt vËy, khi x©y dùng ®t m trong kh«ng gian, m lµ giao cña hai mf: mét mf qua m1 vµ v.gãc víi P 1, mét mf qua m2 vµ vu«ng gãc víi P 2.

c¸c ®t chiÕu ®øng qua A1 vµ ®t chiÕu b»ng qua A2 lÇn lît n»m trªn 2 mf ®ã, ®ång thêi cïng n»m trªn mét mf qua A1,A2 vµ vu«ng gãc víi trôc x. mÆt ph¼ng nµy c¾t m t¹i A cÇn t×m.

mét gãc b»ng 300. VÝ dô : VÏ ®êng b»ng d qua ®iÓm A(A1,A2) vµ hîp víi P1

Gi¶i:

- Qua A1 kÎ ®êng th¼ng d1 song song víi trôc x – lµ h×nh chiÕu ®øng cña d.

b»ng gãc gi÷a d2 víi trôc x , vËy qua A2 kÎ d2 hîp - V× gãc gi÷a ®êng th¼ng d víi P1

víi trôc x mét gãc 300 (Ta cã thÓ kÎ ®îc hai ®ê ng).

30°

P 1

P 3

A1 C*1 C1 B1

C*3

2.3.2 Tr-ê ng hîp ®-ê ng th¼ng lµ ®-ê ng c ¹nh.

C*2

P 2

”

* NhËn xÐt: - Tõ hai h×nh chiÕu víi : C1 ˛ A1B1, vµ C2 ˛ A2B2 c h-a ®ñ ®Ó kÕt luËn C ˛

AB. V× mäi ®iÓm thuéc mÆt ph¼ng chøa ®êng th¼ng AB vµ song song víi P3 ®Òu cã h×nh chiÕu ®øng vµ b»ng n»m trªn A1B1 vµ A2B2 . -VËy ®Ó xem mét ®iÓm cã thuéc ®êng c¹nh kh«ng th× hoÆc dùa vµo hc c¹nh: ®iÒu kiÖn lµ hc ®øng cña ®iÓm thuéc hc ®øng cña ®êng c¹nh vµ h×nh chiÕu c¹nh cña ®iÓm thuéc h×nh chiÕu c¹nh cña ®êng c¹nh .

C1 ˛ A1B1 ; C3 ˛ A3B3

-HoÆc ( NÕu chØ biÕt hc ®øng vµ hc b»ng), ta dùa vµo tÝnh chÊt kh«ng ®æi cña

tØ sè ®¬n cña 3 ®iÓm th¼ng hµng trong phÐp chiÕu song song. XÐt ®iÓm C ˛ AB, theo tÝnh chÊt cña phÐp chiÕu song song ta cã tØ sè:

KÝ hiÖu: (A1C1B1) = (A2C2B2)

VÝ dô : VÏ ®êng b»ng qua ®iÓm A(A1,A2) vµ c¾t ®êng c¹nh BC(B1C1,B2C2).

Gi¶i: Gäi ®êng th¼ng cÇn dùng lµ d:

- VÏ h×nh chiÕu ®øng d1 : Qua A1 kÎ d1 // x, d1 c¾t B1C1 t¹i ®iÓm I1 (lµ h×nh chiÕu ®øng cña giao ®iÓm gi÷a d vµ BC).

- T×m I2 trªn B2C2 b»ng ph¬ng ph¸p tû sè ®¬n:

(B1I1C1) = (B2I2C2).

- Nèi A2I2 ta ®îc d2 .

2.4 vÕt c ña ®-ê ng th¼ng

2.4.1. §Þnh ng hÜa.

- VÕt cña ®êng th¼ng lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu . - VÕt ®øng lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng P1. Thêng kÝ hiÖu lµ N. - VÕt b»ng lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng P2. Thêng kÝ hiÖu lµ M. - VÕt c¹nh lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu c¹nh P3. Th êng kÝ hiÖu lµ P.

ºN1

N 2.4.2 C¸c h x¸c ®Þnh vÕt.

l1

- NhËn xÐt: + V× ®iÓm vÕt ®øng N thuéc P1. ( N˛

l

M1 x

˛ N , N2

l2 ºM2

P1) vËy: N1 ” + T¬ng tù, M thuéc P2 , VËy M2 ”

M ˛ x. M, M1

Ta c ã c ¸c h x¸c ®Þnh c ¸c v Õt c ña ®-ê ng th¼ng :

” Nx .Tõ N2 kÎ ®êng dãng th¼ng

+ KÐo dµi h×nh chiÕu b»ng l2 c¾t trôc x t¹i N2 ®øng c¾t l1 t¹i N1 ” N.

+ .T¬ng tù, kÐo dµi l1 c¾t trôc x t¹i M1” Mx. Tõ ®iÓm nµy kÎ ®êng dãng

th¼ng ®øng c¾t l2 t¹i M2 ” M.

”

N

l1

” Mx

” N x

l2

” M

z t¹i mét ®iÓm ta ®îc - C¸c h x¸c ®Þnh vÕt c ¹nh: + KÐo dµi h×nh chiÕu b»ng l2 cña ®êng th¼ng c¾t trôc y ”

h×nh chiÕu b»ng P 2 cña vÕt c¹nh.

+ Dïng c¸ch x¸c ®Þnh h×nh chiÕu c¹nh t×m ®îc P 2 trªn trôc y ”

x. Tõ P 2 kÎ ®êng dãng song song víi trôc z, c¾t h×nh chiÕu c¹nh l3 cña ®êng th¼ng t¹i ®iÓm P 3 chÝnh lµ h×nh chiÕu c¹nh hay vÕt c¹nh cña ®êng th¼ng l.

l

l3

l1

P” P3

x M1

P” P3

l1

l2 M2

l2

VÝ dô:

T×m c¸c vÕt cña ®êng th¼ng l vµ xem ®êng th¼ng l ®i qua nh÷ng gãc phÇn t nµo ?

l1

M1 N2 x

l

M2 N1

l2

III

III I IV

2.5 t×m ®é dµi thËt c ña ®o ¹n th¼ng

vµ g ãc c ña nã víi c ¸c mÆt ph¼ng h×nh c hiÕu

P 1

-Gi¶ thiÕt cho c¸c hc A1B1vµ A2B2 cña ®o¹n th¼ng AB, h·y t×m ®é dµi thËt cña ®t ®ã vµ gãc nghiªng cña nã víi c¸c mf hc P 1 vµ P2.

BB2. XÐt tam g i¸c

P 2

*Tro ng h×nh kh«ng g ian bªn,qua ®iÓm A kÎ AB0 // A2B2, th× AB0 ^ vu«ng ABB0 ta thÊy: - c¹nh gãc vu«ng AB0 cã ®é dµi b»ng ®é dµi h×nh chiÕu b»ng A2B2

AB0 = A2B2

H×nh a

-c¹nh gãc vu«ng BB0 cã ®é dµi b»ng trÞ tuyÖt ®èi hiÖu ®é cao cña hai ®iÓm A,B:

BB0 =  ZA - ZB  =  AxA1 –BxB1 

- c¹nh huyÒn AB lµ ®é dµi thËt cña ®o¹n th¼ng AB.-KÝ hiÖu lµ §DT-AB.

- Gãc nhän ®èi diÖn víi c¹nh BB0 chÝnh lµ gãc nghiªng gi÷a ®o¹n th¼ng AB víi

mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng. a = — (AB x P2)

* Tõ nhËn xÐt trªn ta s uy ra c ¸c h t×m ®é dµi thËt c ña ®o ¹n th¼ng vµ g ãc

ng hiªng c ña nã víi c ¸c mfhc nh- s au:

- LÊy h×nh chiÕu b»ng lµm mét c¹nh gãc vu«ng, vÏ tam gi¸c vu«ng cã ®é dµi c¹nh gãc vu«ng cßn l¹i lµ hiÖu ®é cao cña hai ®Çu ®o¹n th¼ng, th× c¹nh huyÒn b»ng ®é dµi thËt cña ®o¹n th¼ng AB vµ gãc kÒ hc b»ng lµ gãc nghiªng cña AB víi P2

§DT-AB

ABxP1 A 1

ABxP2

B 2

- T¬ng tù, vÏ tam gi¸c vu«ng cã mét c¹nh lµ h×nh chiÕu ®øng, c¹nh cßn l¹i lµ hiÖu ®é xa cña 2 ®Çu ®o¹n th¼ng AB, th× c¹nh huyÒn cña tam gi¸c lµ §DT cña AB, gãc ®èi diÖn víi c¹nh hiÖu ®é xa lµ gãc nghiªng gi÷a AB víi mÆt ph¼ng P1 . Ph-¬ng p h¸p trª n g äi lµ p h-¬ng p h¸p tam g i¸c v u«ng .

* Chó ý:

- NÕu chØ cÇn x¸c ®Þnh ®é lín thËt cña mét ®o¹n th¼ng th× tam gi¸c vu«ng dùng

ë h×nh chiÕu nµo còng ®îc.

- NÕu muèn x¸c ®Þnh gãc cña ®o¹n th¼ng víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu nµo th×

ph¶i dùng tam gi¸c trªn h×nh chiÕu ®ã.

lµ 2 gãc phô nhau. NÕu kh«ng ph¶i lµ ®

vµ P2 lµ 2 gãc ®éc lËp nhau. - Víi ®êng c¹nh, gãc cña nã víi P1 vµ P2 êng c¹nh th× 2 gãc víi P1

2.6 vÞ trÝ t-¬ng ®è i c ña hai ®-ê ng th¼ng

Trong kh«ng gian hai ®êng th¼ng cã thÓ c¾t nhau, song song vµ chÐo

nhau.Ta ®i xÐt c¸c trêng hîp nµy trªn ®å thøc.

2.6.1. Hai ®-ê ng th¼ng c ¾t nhau.

a1 b1 a. Tr-ê ng hîp hai ®-ê ng th¼ng kh«ng ph¶i lµ I1 ®-ê ng c ¹nh.

* §Þnh lý: §iÒu cÇn vµ ®ñ ®Ó 2 ®êng th¼ng

c¾t nhau lµ c¸c h×nh chiÕu ®øng cña chóng c¾t nhau, c¸c h×nh chiÕu b»ng cña chóng c¾t nhau vµ hai giao ®iÓm ph¶i cïng n»m trªn mét ®êng dãng .

b2 I2 Cm: §iÒu kiÖn cÇn: a2

-Gi¶ thiÕt: cho a x b = I

-KÕt luËn: a1 x b1 = I1

x a2 x b2 = I2 I1I2 ^

x. Tõ gi¶ thiÕt: a x b = I, do tÝnh liªn thuéc ®îc b¶o tån trong phÐp chiÕu, ta cã: a1 x b1 = I1, a2 x b2 = I2, Vµ v× I1 vµ I2 lµ 2 h×nh chiÕu cña mét ®iÓm, nªn I1I2 ^ -§iÒu kiÖn ®ñ: Gi¶ thiÕt a1 x b1 = I1, a2 x b2 = I2, I1I2 ^

x, vËy chóng biÓu diÔn mét ®iÓm trong kh«ng gian- lµ I. KÕt luËn : a x b = I CM: V× I1I2 ^

V× I1 thuéc a1, I2 thuéc a2, nªn I thuéc a

I1 thuéc b1, I2 thuéc b2, nªn I thuéc b.

Do ®ã a x b = I

b. Tr-ê ng hîp c ã ®-ê ng th¼ng lµ ®-ê ng c ¹nh.

- Gi¶ thiÕt cho ®êng th¼ng m vµ ®êng c¹nh AB, mÆc dï c¸c h×nh chiÕu b»ng vµ ®øng cña chóng c¾t nhau, vµ c¸c giao ®iÓm Êy n»m trªn cïng mét ®êng giãng, nhng trong kh«ng gian cha ch¾c m c¾t AB.

- Gi¶ sö m1 x A1B1 = I1

m2 x A2B2 = I2

- Ta thÊy ®iÓm I ®· thuéc m. Bµi to¸n trë vÒ xÐt xem I cã thuéc ®êng c¹nh AB hay kh«ng, cã 2 ph¬ng ph¸p:

+Dùa vµo h×nh chiÕu c¹nh.

+ Dùa vµo tû sè ®¬n cña 3 ®iÓm (A1I1B1) vµ (A2I2B2).

NÕu I thuéc AB th× ®êng th¼ng m c¾t ®êng c¹nh AB. NÕu I kh«ng thuéc AB, th× m vµ AB chÐo nhau.

2.6.2 Hai ®-ê ng th¼ng s o ng s o ng .

Ta còng ph©n ra hai trê ng hîp:

a. Tr-ê ng hîp c ¶ hai ®-ê ng th¼ng kh«ng ph¶i lµ

®-ê ng c ¹nh.

• §Þnh lý: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hai ®êng th¼ng song song víi nhau lµ c¸c h×nh chiÕu cïng tªn cña chóng song song víi nhau.

• NÕu: a // b th× a1 // b1 ; a2 // b2 vµ ng

îc l¹i

Chøng minh:

+§iÒu kiÖn cÇn: Gi¶ thiÕt cho a// b, th× theo tÝnh chÊt cña phÐp chiÕu song song ta

cã

a1 // b1 vµ a2 // b2

+ §iÒu kiÖn ®ñ: gi¶ thiÕt cho a1 // b1, a2 // b2, ta ph¶i chøng minh a // b

LÊy ®iÓm M thuéc b- th× M1 thuéc b1, M2 thuéc b2- Qua M v¹ch ®êng th¼ng b' song song víi a , th× ta cã b'1 qua M1 vµ b'1 // a1 b'2 qua M2 vµ b'2 // a2

b 1 ”

a 1

a 2

2 ” b

b2, nghÜa lµ b' ” b1 vµ b'2 ” b vµ a // b. MÆt kh¸c, ta biÕt r»ng qua M1( hoÆc M2) chØ kÎ ®îc mét ®êng th¼ng song song víi a1 (hoÆc a2). VËy b'1 ”

C3 b. Tr-ê ng hîp c ¶ hai ®-ê ng lµ ®-ê ng c ¹nh. C1 A1 A3

* §iÒu kiÖn:

D3 D1

B1 B3 x

A2 - §Ó 2 ®êng c¹nh song song ngoµi ®iÒu kiÖn trªn th× h×nh chiÕu c¹nh cña 2 ®êng th¼ng ®ã ph¶i song song víi nhau. Tøc nÕu: AB // CD (cid:222) A1B1 // C1D1

C2 A2B2 // C2D2

A3B3 // C3D3 B2

C 1 - NÕu kh«ng dïng h×nh c hiÕu c ¹nh,ta nhËn xÐt: A1

gi¶ sö cho AB //CD, th× theo tÝnh chÊt cña phÐp chiÕu song song ta cã:

D1 B1 x

BA 11 DC 11

BA 2 DC 2

C2 A2

B2 D2

Ho Æc :

- NÕu hai ®êng c¹nh AB // CD th× tån t¹i mét

mÆt ph¼ng a (AB // CD).NÕu ta vÏ thªm c¸c ® êng phô AD vµ BC, th× chóng hoÆc song song , hoÆc c¾t chau

Tøc lµ: x Trªn ®å thøc: H×nh chiÕu ®øng vµ h×nh chiÕu b»ng cña hai ®êng th¼ng AD, BC c¾t nhau t¹i c¸c giao ®iÓm n»m trªn mét ®êng dãng th¼ng ®øng. I1I2 ^

Th× AB // CD

2.6.3 Hai ®-ê ng th¼ng c hÐo nhau.

Hai ®êng th¼ng chÐo nhau lµ hai ®êng th¼ng kh«ng c¾t nhau vµ kh«ng

song song víi nhau.

* VËy:

Hai ®êng th¼ng chÐo nhau th× ®å thøc cña chóng kh«ng tho¶ m·n ®iÒu

kiÖn cña hai ®êng th¼ng c¾t nhau vµ song song.

VÝ dô ®å thøc cña hai ®êng th¼ng a vµ b chÐo nhau:

2.7 hai ®-ê ng th¼ng vu«ng g ãc

H×nh chiÕu cña mét gãc vu«ng nãi chung kh«ng lµ mét gãc vu«ng.Trong h×nh häc

kh«ng gian ta cã ®Þnh lý sau:

2.7.1. §Þnh lý:

§iÒu kiÖn ®Ó mét gãc vu«ng chiÕu th¼ng gãc vÉn lµ mét gãc vu«ng lµ Ýt

nhÊt mét c¹nh cña nã song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu, cßn c¹nh kia kh«ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu.

Chø ng minh:

AC, AC // P, AB kh«ng

- Gi¶ thiÕt: Cho AB ^ vu«ng gãc P . Chøng minh: A'C' ^ A'B'

AB, mµ AC // P,

AB.

-Theo gi¶ thiÕt AC ^ vËy AC //A'C', nªn A'C' ^ - A'C' ^ - VËy A'C' ^ A A', v× lµ phÐp chiÕu th¼ng gãc. mÆt ph¼ng( ABB'A'), nªn A'C'^ A'B'

§Þnh lý nµy còng ®óng cho hai ®êng th¼ng vu«ng gãc vµ chÐo nhau.

2.7.2Trªn ®å thø c :

- Hai ®êng th¼ng vu«ng gãc c¾t nhau hoÆc chÐo nhau chiÕu xuèng mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng mµ c¸c h×nh chiÕu vÉn vu«ng gãc víi nhau khi cã Ýt nhÊt 1 ®êng lµ ®êng b»ng cßn ®êng kia kh«ng ph¶i lµ ®êng th¼ng chiÕu b»ng.

- Hai ®êng th¼ng vu«ng gãc c¾t nhau hoÆc chÐo nhau chiÕu lªn mÆt ph¼ng

h×nh chiÕu ®øng vÉn vu«ng gãc khi cã Ýt nhÊt 1 ®êng lµ ®êng mÆt cßn ® êng kia kh«ng ph¶i lµ ®êng th¼ng chiÕu ®øng.

a c¾t b

a1 b1 b1

x x a chÐo b

a2 b2 b2

D1 d1 C1

VÝ dô 1: VÏ nèt h×nh ch÷ nhËt ABCD, biÕt h×nh chiÕu cña c¹nh AB, h×nh chiÕu ®øng cña ®iÓm D lµ D1 ˛ d1. A1

d2 B2

VÝ dô 2: VÏ h×nh vu«ng ABCD, biÕt c¸c

h×nh chiÕu cña c¹nh AB , cßn ®Ønh D ˛ d.

Ch-¬ng 3: MÆt ph¼ng

3.1 §å thø c c ña mÆt ph¼ng

Tro ng kh«ng g ian, mé t mÆt ph¼ng ®-îc x¸c ®Þnh bë i mé t tro ng c ¸c c ¸c h s au:

- Ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng.

- Mét ®iÓm vµ mét ®êng th¼ng kh«ng ®i qua ®iÓm ®ã.

- Hai ®êng th¼ng c¾t nhau.

- Hai ®êng th¼ng song song.

Do ®ã ®å thø c c ña mÆt ph¼ng c ò ng ®-îc x¸c ®Þnh b»ng :

- §å thøc cña ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng.

- §å thøc cña mét ®iÓm vµ mét ®êng th¼ng kh«ng ®i qua nã.

- §å thøc cña hai ®êng th¼ng c¾t nhau.

- §å thøc cña hai ®êng th¼ng song song.

l1

l2

MÆt ph¼ng (ABC) MÆt ph¼ng (l,A) m1 a1 b1 n1

x x

a2 m2

MÆt ph¼ng MÆt ph¼ng

(axb) (m//n)

Chó ý:

Cã thÓ chuyÓn tõ c¸ch x¸c ®Þnh nµy sang c¸ch x¸c ®Þnh kh¸c mét c¸ch dÔ

dµng.

VÝ dô :

Trêng hîp mÆt ph¼ng x¸c ®Þnh b»ng ®iÓm A vµ ®êng th¼ng l cã thÓ chuyÓn sang trêng hîp mÆt ph¼ng x¸c ®Þnh b»ng hai ®êng th¼ng song song b»ng c¸ch.

mÆt ph¼ng x¸c ®Þnh b»ng hai ®êng th¼ng

song song (h // l). Qua A kÎ ®êng th¼ng h // l (cid:222) h1

l1

l2

3.2 c ¸c VÕt c ña mÆt ph¼ng

3.2.1. §Þnh ng hÜa:

- VÕt cña mÆt ph¼ng lµ giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng víi c¸c mÆt ph¼ng h×nh

chiÕu.

- VÕt ®øng cña mÆt ph¼ng lµ giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng víi mÆt ph¼ng h×nh

chiÕu ®øng, ( nÕu mÆt ph¼ng lµ a ,vÕt ®øng kÝ hiÖu lµ na ).

- VÕt b»ng cña mÆt ph¼ng lµ giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng víi mÆt ph¼ng h×nh

chiÕu b»ng,( nÕu mÆt ph¼ng lµ a , vÕt b»ng ký kÝ hiÖu lµ ma ).

P1

- VÕt c¹nh cña mÆt ph¼ng lµ giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu c¹nh ( nÕu mÆt ph¼ng lµ a , vÕt c¹nh kÝ hiÖu lµ pa ).

P3

P2

3.2.2. C¸c h×nh c hiÕu c ña vÕt.

na” na 1

x” na 2

” ma 1

-Vªt ®øng:

ma ” ma

x H×nh chiÕu ®øng cña vÕt ®øng lµ n(a )1 ” n(a ) H×nh chiÕu b»ng cña vÕt ®øng lµ n(a )2 ” -VÕt b»ng:

m(a )

x H×nh chiÕu b»ng cña vÕt b»ng lµ m(a )2 ” H×nh chiÕu ®øng cña vÕt b»ng lµ m(a )1 ”

- VÕt c¹nh:

p(a ) H×nh chiÕu c¹nh cña vÕt c¹nh lµ p(a )3 ”

H×nh chiÕu ®øng vµ h×nh chiÕu b»ng lµ

y p(a )1 ” z ,p(a )2 ”

- §Ó ®¬n gi¶n trªn ®å thøc ngêi ta quy íc: chØ ghi ký hiÖu tªn c¸c vÕt cña mÆt ph¼ng.

NhËn xÐt:

1- Trong kh«ng gian còng nh trªn ®å thøc vÕt ®øng vµ vÕt b»ng cña mÆt ph¼ng ph¶i c¾t nhau trªn trôc x( hoÆc song song v¬Ý trôc x). VÕt ®øng vµ vÕt c¹nh ph¶i c¾t nhau trªn trôc z( hoÆc cïng song song víi trôc z). Cßn vÕt b»ng vµ vÕt c¹nh trong kh«ng gian c¾t nhau trªn trôc y( hoÆc cïng song song víi trôc y), trªn ®å thøc ch©n cña hai vÕt nµy trªn trôc y, cã cïng kho¶ng c¸ch tíi giao cña c¸c trôc h×nh chiÕu.

2- Mét mÆt ph¼ng hoµn toµn ®îc x¸c ®Þnh bëi 2 vÕt. V× vËy cã thÓ cho mÆt ph¼ng b»ng hai vÕt cña nã. §©y chÝnh lµ c¸ch cho mÆt ph¼ng b»ng hai ®êng th¼ng c¾t nhau hoÆc song song.

a x

3-NÕu mét ®êng th¼ng thuéc mét mÆt ph¼ng th× vÕt cña ®êng th¼ng ph¶i

P 1

P 2

thuéc vÕt t¬ng øng cña mÆt ph¼ng.

VÝ dô : X¸c ®Þnh vÕt cña mÆt ph¼ng a (a ·

N1b

N1a

M1b

M1a

N2a

N2b

a x

M2b

M2a

3.3 c ¸c mÆt ph¼ng ®Æc biÖt

-mÆt ph¼ng ®Æc biÖt lµ mÆt ph¼ng vu«ng gãc, hoÆc song song víi mÆt

ph¼ng h×nh chiÕu.

3.3.1.C¸c mÆt ph¼ng c hiÕu.

C¸c mÆt ph¼ng chiÕu lµ c¸c mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi mét mÆt ph¼ng h×nh

chiÕu

Bao gåm cã:

MÆt ph¼ng chiÕu b»ng, mÆt ph¼ng chiÕu ®øng , mÆt ph¼ng chiÕu c¹nh.

P1 a

a. MÆt ph¼ng c hiÕu b»ng .

* §Þnh nghÜa: M¨t ph¼ng chiÕu b»ng lµ

mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng P2 .

* TÝnh chÊt:

- H×nh chiÕu b»ng cña mÆt ph¼ng chiÕu b»ng suy biÕn thµnh mét ®êng th¼ng trïng víi vÕt b»ng cña nã . §©y lµ tÝnh chÊt ®Æc trng cho mf chiÕu b»ng, v× biÕt hc b»ng th× mf nµy còng hoµn toµn ®îc x¸c ®Þnh.

- vÕt ®øng cña mÆt ph¼ng chiÕu b»ng a vu«ng gãc víi trôc x ( na ^ x).

- Gãc gi÷a h×nh chiÕu b»ng cña m¨t

ph¼ng chiÕu b»ng víi trôc x chÝnh lµ gãc gi÷a mÆt ph¼ng ®ã víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng.

y = (a ) x P1

b. MÆt ph¼ng c hiÕu ®ø ng .

* §Þnh nghÜa: MÆt ph¼ng chiÕu ®øng lµ mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng P1 .

* TÝnh chÊt:

- H×nh chiÕu ®øng cña mÆt ph¼ng chiÕu ®øng suy biÕn thµnh ®êng th¼ng trïng víi vÕt ®øng cña nã . a

- vÕt b»ng cña mÆt ph¼ng chiÕu ®øng

a 1

vu«ng gãc víi trôc x ( ma ^ x).

- Gãc gi÷a h×nh chiÕu ®øng cña mÆt

ph¼ng chiÕu ®øng víi trôc x chÝnh lµ gãc gi÷a mÆt ph¼ng ®ã víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng.

y = (a ) x P2

c . MÆt ph¼ng c hiÕu c ¹nh.

a q

* §Þnh nghÜa: MÆt ph¼ng chiÕu c¹nh lµ mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu c¹nh P3 .

*TÝnh chÊt : b

- H×nh chiÕu c¹nh cña mÆt ph¼ng chiÕu

c¹nh suy biÕn thµnh ®êng th¼ng trïng víi vÕt c¹nh cña nã .

- MÆt ph¼ng chiÕu c¹nh cã vÕt ®øng na vµ

vÕt b»ng ma song song víi trôc x:

na// ma// x

a ”

, vµ gãc cña nã víi trôc y( ” b y x

- Gãc gi÷a h×nh chiÕu c¹nh cña mÆt ph¼ng chiÕu c¹nh víi trôc z chÝnh lµ gãc gi÷a mÆt ph¼ng ®ã víi mf h×nh chiÕu ®øng P1 x )chÝnh lµ gãc gi÷a mÆt ph¼ng ®ã víi mf h×nh chiÕu b»ng P2. ma

q = (a ) x P1 , b = (a ) x P2

3.3.2. C¸c mÆt ph¼ng ®ång mø c .

MÆt ph¼ng ®ång møc lµ mÆt ph¼ng song song víi mét mÆt ph¼ng h×nh chiÕu.

Gåm cã :MÆt ph¼ng b»ng, mÆt ph¼ng mÆt, mÆt ph¼ng c¹nh.

a. MÆt ph¼ng b»ng .

* §Þnh nghÜa: MÆt ph¼ng b»ng lµ mÆt ph¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh

a 1

P1 A1

chiÕu b»ng P2 . NhËn xÐt: V× mÆt ph¼ng b»ng

,do ®ã nã vu«ng gãc

a song song víi P2,, víi P1 vµ P3. VËy mÆt ph¼ng b»ng còng lµ mÆt ph¼ng chiÕu ®øng vµ chiÕu c¹nh. * TÝnh chÊt:

- H×nh chiÕu ®øng cña mÆt ph¼ng b»ng suy biÕt thµnh mét ®êng th¼ng trïng víi vÕt ®øng cña mÆt ph¼ng vµ song song víi trôc x.

- H×nh chiÕu b»ng cña bÊt k× h×nh ph¼ng nµo thuéc mÆt ph¼ng b»ng còng cã ®é lín b»ng chÝnh nã .

a 1 A1

D A2B2C2=D ABC

b. MÆt ph¼ng mÆt.

* §Þnh ng hÜa:

P1 .

MÆt ph¼ng mÆt lµ mÆt ph¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng

a 2

A A2

C2 P2

. VËy ,nªn nã vu«ng gãc víi P2

NhËn xÐt: mÆt ph¼ng mÆt song song víi P1 mÆt ph¼ng mÆt còng lµ mÆt ph¼ng chiÕu b»ng.

* TÝnh chÊt:

- H×nh chiÕu b»ng cña mÆt ph¼ng mÆt suy biÕt thµnh mét ®êng th¼ng trïng víi

vÕt b»ng cña nã vµ song song víi trôc x.

- H×nh chiÕu ®øng cña bÊt k× h×nh ph¼ng nµo thuéc mÆt ph¼ng mÆt còng cã

®é lín b»ng chÝnh nã .

D A1B1C1 = D ABC

b. MÆt ph¼ng c ¹nh.

* §Þnh nghÜa: MÆt ph¼ng c¹nh lµ mÆt ph¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu c¹nh P3 . NhËn xÐt: mÆt ph¼ng c¹nh song

, , nªn nã vu«ng gãc víi P1

song víi P3, P2 . VËy mÆt ph¼ng c¹nh võa lµ mÆt ph¼ng chiÕu b»ng võa lµ mÆt ph¼ng chiÕu ®øng.

* TÝnh chÊt:

- H×nh chiÕu ®øng vµ h×nh chiÕu b»ng

cña mÆt ph¼ng c¹nh suy biÕn thµnh ® êng th¼ng trïng víi vÕt ®øng vµ vÕt b»ng cña nã vµ vu«ng gãc víi trôc x.

- H×nh chiÕu c¹nh cña bÊt kú h×nh ph¼ng nµo thuéc mÆt ph¼ng c¹nh còng cã ®é lín b»ng chÝnh nã.

D A3B3C3 = D ABC

3.4 ®-ê ng th¼ng vµ ®iÓm thué c mÆt ph¼ng

3.4.1. MÖnh ®Ò liªn thué c .

a. §-ê ng th¼ng thué c mÆt ph¼ng .

-Mét ®êng th¼ng thuéc mét mÆt ph¼ng nÕu cã 2 ®iÓm ph©n biÖt thuéc mÆt

ph¼ng ®ã.

- §êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng nÕu cã mét ®iÓm thuéc mÆt ph¼ng vµ ®ång

thêi song song víi mét ®êng th¼ng kh¸c cña mÆt ph¼ng.

b. §iÓm thué c mÆt ph¼ng .

- Mét ®iÓm thuéc mét mÆt ph¼ng nÕu nã thuéc mét ®êng th¼ng cña mÆt

ph¼ng ®ã. ¸p dông ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n sau:

3.4.2. C¸c bµi to ¸n:

* Bµi to ¸n 1: Cho mét ®êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng, biÕt mét h×nh chiÕu, t×m h×nh chiÕu thø hai cña nã. VÝ dô: Cho h×nh chiÕu ®øng c1 cña ®êng th¼ng c ’ a (a x b), t×m h×nh chiÕu b»ng c2.

a ( hoÆc c Gi¶i: - NÕu c1 ” a1 (hoÆc c1 ” b1) , th× c ”

”

b), v× a,b vµ c ’ (a )- lµ mÆt ph¼ng bÊt kú b2). .Vµ trong trêng hîp nµy c2 ” a2 (hoÆc c2 ”

-NÕu c1 x a1 =11 ; c1 x b1 = 21,,-th× c c¾t ®êng th¼ng a vµ b, .vËy c2 x a2 =12 ; c2 x b2 =22..§êng th¼ng qua 1222 lµ c2 cÇn t×m.

- NÕu c1 // b1 (hoÆc c1 // a1)

th× c // b ( hoÆc c // a )

vËy c2 // b2 (hoÆc c2 // a2)

c2 // b2- lµ h×nh chiÕu ph¶i t×m .

Trêng hîp nµy, gäi giao cña c vµ a lµ ®iÓm 1, th× tõ 11 = c1 x a1, ta t×m ®îc 12 thuéc a2, qua 12 kÎ

• Bµi to ¸n 2: Cho mét ®iÓm thuéc mét mÆt ph¼ng, biÕt mét h×nh chiÕu, t×m

h×nh chiÕu thø hai cña nã.

• VÝ dô: Cho h×nh chiÕu ®øng A1 cña ®iÓm A thuéc mÆt ph¼ng a (na , ma ).

T×m h×nh chiÕu b»ng A2.

Gi¶i:

N1 - Qua A ,ta kÎ ®êng th¼ng d n»m trong mf(a ). A1

VËy qua A1 kÎ ®êng th¼ng bÊt k× d1 .

a x

x M1 N2 - Gäi N lµ vÕt ®øng cña d, M lµ vÕt b»ng cña

N1 ˛ x , M ” x ma . d, th× N ” M1 ˛ na , N2 ˛ M2 ˛

M2 - VËy tõ M1 dãng vu«ng gãc víi trôc x, t×m ®îc

M2 ˛ d2

ma . - Nèi N2, M2 ®îc d2.

Tõ A1 dãng xuèng d2, ta ®îc A2 cÇn t×m .

3.5 c ¸c ®-ê ng th¼ng ®Æc biÖt c ña mÆt ph¼ng

3.5.1. §-ê ng th¼ng ®ång mø c c ña mÆt

ph¼ng .

a. §-ê ng b»ng c ña mÆt ph¼ng .

* §Þnh nghÜa: §êng b»ng cña mÆt ph¼ng lµ ®êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng vµ

song song víi mf h×nh chiÕu b»ng P2 . NhËn xÐt:- NÕu mf lµ mf b»ng, th× mäi ® êng th¼ng cña nã ®Òu lµ ®êng b»ng.

-NÕu mf kh«ng ph¶i lµ mf b»ng, th× còng cã v« sè ®êng b»ng, chóng song song víi nhau vµ song song víi vÕt b»ng cña mÆt ph¼ng.

* TÝnh chÊt:

- H×nh chiÕu ®øng song song víi trôc x.

b1 // x

- H×nh chiÕu b»ng song song víi vÕt

b»ng cña mÆt ph¼ng .

b2 // ma

(cid:222) C¸c h vÏ ®-ê ng b»ng thué c mÆt ph¼ng :

- MÆt ph¼ng cho bëi 2 vÕt c¾t nhau:

+ Cã thÓ vÏ h×nh chiÕu ®øng hay h×nh chiÕu b»ng cña ®êng b»ng tríc ®Òu ®

îc.

a x

- MÆt ph¼ng kh«ng cho b»ng vÕt:

+ Tríc hÕt vÏ h×nh chiÕu ®øng cña nã lµ mét ®êng th¼ng song song víi trôc x.

+ Dùa vµo bµi to¸n ®êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng ®Ó t×m h×nh chiÕu b»ng.

VÝ dô : VÏ ®êng b»ng b thuéc mÆt ph¼ng a (g x h).

Gi¶i:

- KÎ b1 // x, gi¶ sö b1 x g1 = 11 ; b1 x h1 = 21

- T×m h×nh chiÕu b»ng 12, 22 cña ®iÓm 1vµ 2

- Nèi 12, 22 ®îc b2- lµ h×nh chiÕu b»ng cña b

b. §-ê ng mÆt c ña mÆt ph¼ng .

* §Þnh nghÜa: §êng mÆt cña mÆt ph¼ng lµ ®êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng

a vµ song song víi mf h×nh chiÕu ®øng P1 . P1

NhËn xÐt:- NÕu mf lµ mf mÆt th× mäi ®t

cña nã ®Òu lµ ®êng mÆt.

x -NÕu mf kh«ng ph¶i mf mÆt th× còng cã v« sè ®êng mÆt, chóng song song víi nhau vµ song song víi vÕt ®øng cña mÆt ph¼ng.

m 2

* TÝnh chÊt:

- H×nh chiÕu b»ng song song víi trôc x. m2 // x - H×nh chiÕu ®øng song song víi vÕt ®øng cña mÆt ph¼ng . m1 // na

(cid:222) C¸c h vÏ ®-ê ng mÆt thué c mÆt ph¼ng :

m1 - MÆt ph¼ng cho bëi 2 vÕt c¾t nhau:

x êng mÆt tríc ®Òu ®îc, råi tõ ®ã t×m ®îc hc cßn l¹i.

a x

+ Cã thÓ vÏ h×nh chiÕu ®øng hay b»ng cña ® M1

M2 m2

- MÆt ph¼ng kh«ng cho b»ng vÕt:

+ Tríc hÕt vÏ h×nh chiÕu b»ng cña nã lµ mét ®

êng th¼ng song song víi trôc x.

11 + Dùa vµo bµi to¸n ®êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng ®Ó x¸c ®Þnh h×nh chiÕu ®øng. m1 21

VÝ dô : VÏ ®êng mÆt m thuéc mÆt ph¼ng a (g x

h).

Gi¶i:

- KÎ m2 // x, gi¶ Sö m2 x g2 = 12 ; m2 x h2 = 22 12 m2 22

- T×m h×nh chiÕu ®øng 11, 21 cña ®iÓm 1, 2

- Nèi 11, 21 ®îc m1 lµ h×nh chiÕu ®øng cña m

3.5.2. §-ê ng dè c nhÊt c ña mÆt ph¼ng .

. a. §-ê ng dè c nhÊt c ña mÆt ph¼ng ®è i víi mf h×nh c hiÕu b»ng P 2

* §Þnh nghÜa: §êng dèc nhÊt cña mÆt ph¼ng ®èi víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu

lµ ®êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng vµ vu«ng gãc víi ®êng b»ng cña

b»ng P2 mÆt ph¼ng (hoÆc vÕt b»ng cña mÆt ph¼ng).

na d1

* TÝnh chÊt:

- Mét mÆt ph¼ng a c¾t mÆt ph¼ng P2 cã v« sè ®êng dèc nhÊt ®èi víi P2 . C¸c ®êng th¼ng nµy song song víi nhau.

- H×nh chiÕu b»ng cña ®êng dèc nhÊt nµy vu«ng gãc víi h×nh chiÕu b»ng cña ®êng b»ng (hoÆc vÕt b»ng) cña mÆt ph¼ng.

chÝnh lµ gãc gi÷a mÆt ph¼ng ®ã víi

- Gãc gi÷a ®êng dèc nhÊt nµy víi mf P2 mÆt ph¼ng P2 .

(d x P2 ) = (a x P2 )

trªn ®å C¸c h vÏ ®-ê ng ®-ê ng dè c nhÊt c ña mé t mÆt ph¼ng víi mÆt ph¼ng P 2

thø c :

NÕu ®· cã h×nh chiÕu b»ng cña ®

êng b»ng (HoÆc vÕt b»ng) cña mÆt ph¼ng, th× vÏ h×nh chiÕu b»ng cña ® êng dèc nhÊt vu«ng gãc víi h×nh chiÕu b»ng cña ®êng b»ng (HoÆc vÕt b»ng) cña mÆt ph¼ng ,råi tõ ®ã suy ra h×nh chiÕu ®øng cña ®êng dèc nhÊt theo bµi x to¸n ®· xÐt ë môc tríc.

· P2

b. §-ê ng dè c nhÊt c ña mÆt ph¼ng ®è i víi mf h×nh c hiÕu ®ø ng P 1 * §Þnh nghÜa: §êng dèc nhÊt cña mÆt ph¼ng ®èi víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu

lµ ®êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng vµ vu«ng gãc víi ®êng mÆt cña

®øng P1 mÆt ph¼ng (hoÆc vÕt ®øng cña mÆt ph¼ng).

* TÝnh chÊt:

cã

. C¸c ®

- Mét mÆt ph¼ng a c¾t mÆt ph¼ng P1 v« sè ®êng dèc nhÊt ®èi víi P1 êng th¼ng nµy song song víi nhau.

- H×nh chiÕu ®øng cña ®êng dèc nhÊt nµy vu«ng gãc víi h×nh chiÕu ®øng cña ® êng mÆt (hoÆc vÕt ®øng) cña mÆt ph¼ng.

- Gãc gi÷a ®êng dèc nhÊt nµy víi mÆt

chÝnh lµ gãc gi÷a mÆt ph¼ng

ph¼ng P1 víi mÆt ph¼ng P1 .

(d x P1 ) = (a x P1 )

trªn ®å C¸c h vÏ ®-ê ng ®-ê ng dè c nhÊt c ña mÆt ph¼ng víi mÆt ph¼ng P 1

thø c :

NÕu ®· cã h×nh chiÕu ®øng cña ®êng mÆt (HoÆc vÕt ®øng) cña mÆt ph¼ng, th× vÏ h×nh chiÕu ®øng cña ®êng dèc nhÊt vu«ng gãc víi h×nh chiÕu ®øng cña ®êng mÆt (HoÆc vÕt ®øng) cña mÆt ph¼ng , tõ ®ã suy ra h×nh chiÕu b»ng cña ®êng dèc nhÊt theo bµi to¸n ®· xÐt ë môc tríc.

· P1

VÝ dô : X¸c ®Þnh gãc nghiªng cña mÆt ph¼ng a (g x h) víi mÆt ph¼ng P2 .

Gi¶i:

- VÏ ®êng b»ng b (VÏ b1, råi x¸c ®Þnh b2).

- Trªn g lÊy mét ®iÓm A bÊt k×. - Tõ A kÎ ®êng AH ^ Tõ A2 kÎ A2H2 ^ ®êng b»ng b : b2, tõ H2 (cid:222) H1 ˛ b1.

,chÝnh lµ

- T×m gãc nhiªng cña AH víi P2 gãc (a x P2 )

a ·

3.6 vÞ trÝ t-¬ng ®è i c ña hai mÆt ph¼ng

trong kh«ng gian hai mÆt ph¼ng cã thÓ song song hoÆc c¾t nhau.

3.6.1. Hai mÆt ph¼ng s o ng s o ng .

* §iÒu kiÖn:

- §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hai mÆt ph¼ng song song nhau lµ trong mÆt ph¼ng

nµy cã hai ®êng th¼ng c¾t nhau t¬ng øng song song víi hai ®êng th¼ng c¾t nhau cña mÆt ph¼ng kia.

b'1

a'1

a'2

Cho a (a x b) ; b (a’ x b’) NÕu a // a’ ; b // b’ , th× a // b

b'2

a b

- Trêng hîp trªn ®å thøc hai mÆt ph¼ng ®îc cho b»ng vÕt ®øng vµ vÕt b»ng, vµ hai mÆt ph¼ng kh«ng ph¶i lµ mÆt ph¼ng chiÕu c¹nh, th× ®iÒu kiÖn ®Ó hai mÆt ph¼ng song song lµ c¸c vÕt cïng tªn cña chóng song song víi nhau.

a // b (cid:219)

na // nb ma // mb

b x

* vÝ dô :

Qua ®iÓm A (A1,A2)dùng mÆt ph¼ng b (nb , mb ) song song víi mÆt ph¼ng a ,

biÕt c¸c vÕt cña mÆt ph¼ng a lµ(na , ma )

Gi¶i:

- Qua A dùng ®êng b»ng b thuéc ( b ), cã b1 ®i qua A1 vµ // x, b2 qua A2 vµ // ma

- Tõ ®ã t×m ®îc vÕt ®øng N(N1, N2) cña

b x

®êng b»ng b.

- Qua h×nh chiÕu ®øng N1 cña vÕt ®øng

kÎ nb // na .

- nb c¾t trôc x t¹i b x, qua b x kÎ mb // ma .

3.6.2. Hai mÆt ph¼ng c ¾t nhau.

Hai mÆt ph¼ng kh«ng song song sÏ c¾t nhau theo mét ®êng th¼ng. §Ó t×m

giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng ta xÐt c¸c trêng hîp sau.

a. Hai mÆt ph¼ng ®Òu lµ mÆt ph¼ng c hiÕu ®ø ng ho Æc

c hiÕu b»ng .

Giao tuyÕn cña chóng sÏ lµ ®êng th¼ng chiÕu ®øng hoÆc chiÕu b»ng.

l1

a 1

b 2

a b

l2

b. Mé t mÆt ph¼ng lµ mÆt ph¼ng c hiÕu ®ø ng , mé t mÆt ph¼ng lµ mÆt

ph¼ng c hiÕu b»ng .

Giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng cã h×nh chiÕu ®øng trïng víi hc ®øng cña

mÆt ph¼ng chiÕu ®øng, h×nh chiÕu b»ng trïng víi h×nh chiÕu b»ng cña mÆt ph¼ng chiÕu b»ng.

1 ” l 1

” a 1

2 ” l 2

l 2

” b 2

c . Mé t mÆt ph¼ng lµ mÆt ph¼ng c hiÕu ®ø ng mé t mÆt ph¼ng lµ bÊt k×.

Giao tuyÕn cña 2 mÆt ph¼ng cã h×nh chiÕu ®øng trïng víi hc ®øng cña mÆt ph¼ng chiÕu ®øng, h×nh chiÕu b»ng cña giao tuyÕn ®îc x¸c ®Þnh theo bµi to¸n ®êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng.

Cho mÆt ph¼ng a ^ , b lµ bÊt k×

1 , dùa vµo g ˛

” g 1

a 1

Giao cña a x b = g a P1 th× g1 ” mÆt ph¼ng b ®Ó t×m g2.

g 2

d. Mé t mÆt ph¼ng lµ mÆt ph¼ng c hiÕu b»ng , mé t mÆt ph¼ng lµ bÊt k×.

Giao tuyÕn cña 2 mÆt ph¼ng cã h×nh chiÕu b»ng trïng víi h×nh chiÕu b»ng cña mÆt ph¼ng chiÕu b»ng, h×nh chiÕu ®øng cña giao tuyÕn ®îc x¸c ®Þnh theo bµi to¸n ®êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng.

l1

” l2

e . Hai mÆt ph¼ng bÊt k×

a b §Ó t×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng nµy

ta dïng mÆt ph¼ng c¾t phô trî. * Né i dung : Gi¶ sö cho mÆt ph¼ng (a ) x (b ) Bíc 1: Dùng mÆt ph¼ng phô trî (s ),c¾t h' c¶ hai mÆt ph¼ng.

M s Bíc 2: T×m giao cña (s ) x (a ) = h (s ) x (b ) = h'

Bíc 3: T×m giao ®iÓm h x h' = M, th× M thuéc giao tuyÕn cña (a ) vµ (b ).

* Chó ý:

- MÆt ph¼ng phô trî (s ) ph¶i chän sao cho dÔ t×m ®îc h×nh chiÕu cña h vµ h'.

Do ®ã thêng chän mÆt ph¼ng phô trî lµ mÆt ph¼ng ®ång møc hoÆc mÆt ph¼ng chiÕu.

- NÕu trªn ®å thøc cña hai mÆt ph¼ng ®· cho cha cã ®iÓm chung nµo th× ph¶i dùng hai mÆt ph¼ng phô trî ®Ó t×m 2 ®iÓm chung cña hai mÆt ph¼ng ®ã.

VÝ dô 1:

T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng a (nb , ma ) vµ b (nb , mb )

Gi¶i:

N ’ l (giao tuyÕn cña a vµ b ).

Trªn ®å thøc ta thÊy: - na x nb = N1 ” Tõ N1 (cid:222) N2 ’ x.

l1

- ma x mb = M2 ” M ’ l. Tõ M2 (cid:222) M1 ’ x.

l2

Nèi N1 víi M1 ®îc l 1 -lµ h×nh chiÕu ®øng cña giao tuyÕn.

Nèi N2 víi M2 ®îc l 2- lµ h×nh chiÕu

b»ng cña giao tuyÕn.

VÝ dô 2:

T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng a (na , ma ) vµ b (nb , mb ), cã na // nb .

nb ”

Gi¶i:Gäi giao cña hai mf lµ g, ta

thÊy: - na // nb , vËy g // víi mf hc ®øng- cã nghÜa lµ: g1 // na // nb

M ’ g (cid:222) M1 ’ x

g2 // trôc x - ma x mb = M2 ” -VËy g1 qua M1 vµ // na // nb

g2 qua M2 vµ // trôc x

VÝ dô 3:

X¸c ®Þnh giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng a (g x h) vµ b (m // n).

s 1” a1” b1

Gi¶i:

l1

b'2

s '1” a'1” b'1

l2

a'2

3.7 vÞ trÝ t-¬ng ®è i g i÷a ®-ê ng th¼ng vµ mÆt ph¼ng

Trong kh«ng gian ®êng th¼ng kh«ng thuéc mÆt ph¼ng th× cã thÓ song

song víi mÆt ph¼ng hoÆc c¾t mÆt ph¼ng .

3.7.1. §-ê ng th¼ng s o ng s o ng víi mÆt ph¼ng .

* §iÒu kiÖn:

§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét ®êng th¼ng song song víi mét mÆt ph¼ng lµ

nã ph¶i song song víi (Ýt nhÊt) mét ®êng th¼ng cña mÆt ph¼ng ®ã. Ta vËn dông ®iÒu kiÖn ®ã vµo ®å thøc.

VÝ dô : Qua ®iÓm A(A1,A2), dùng ®êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng D BCD vµ P2 . * NhËn xÐt: + Gäi ®êng th¼ng cÇn dùng lµ d

+ V× d // P2, vµ d // D BCD, vËy d // víi ®êng b»ng cña D BCD

•C¸ch gi¶i: • KÎ ®êng b»ng h ’ D BCD

- Råi qua A kÎ d // h:

Qua A1 kÎ d1 // h1 // x .

Qua A2 kÎ d2 // h2 .

2. §-ê ng th¼ng c ¾t mÆt ph¼ng .

§Ó t×m giao ®iÓm cña ®êng th¼ng víi mÆt ph¼ng ta chia ra c¸c trêng hîp sau: a. Tr-ê ng hîp ®Æc biÖt.

§ê ng th¼ng hoÆ c m Æ t ph¼ng vu«ng gãc víi m Æ t ph¼ng h×nh chiÕu.

* MÆt ph¼ng lµ mÆt ph¼ng c hiÕu c ßn ®-ê ng th¼ng lµ ®-ê ng th¼ng bÊt k×.

- BiÕt mét h×nh chiÕu cña giao ®iÓm lµ giao gi÷a h×nh chiÕu suy biÕn cña mÆt ph¼ng chiÕu víi h×nh chiÕu t¬ng øng cña ®êng th¼ng.

a 2

J 1

- H×nh chiÕu cßn l¹i ®îc t×m b»ng c¸ch ¸p dông tÝnh liªn thuéc cña ®iÓm vµ ® êng th¼ng

l1

l2

J 2

MÆt ph¼ng chiÕu b»ng MÆt ph¼ng chiÕu ®øng

* §-ê ng th¼ng lµ ®-ê ng th¼ng c hiÕu, mÆt ph¼ng lµ bÊt k×:

- Mét h×nh chiÕu cña giao ®iÓm ®· biÕt lµ trïng víi h×nh chiÕu suy biÕn cña ® êng th¼ng chiÕu.

- H×nh chiÕu cßn l¹i cña giao ®iÓm ®îc t×m dùa theo tÝnh liªn thuéc cña ®iÓm vµ mÆt ph¼ng

l1

” J 1

l1

m1 J 1

J 2

M1 x x

l

” J 2 2

m2 M2

l2

§êng th¼ng chiÕu b»ng

§êng th¼ng chiÕu ®øng

b. Tr-ê ng hîp tæ ng qu¸t.

§ê ng th¼ng vµ m Æ t ph¼ng lµ bÊt k×

a Trêng hîp nµy muèn t×m giao ®iÓm ta dïng ph¬ng ph¸p mÆt ph¼ng phô trî.

s * Né i dung :

Gi¶ sö ®êng th¼ng d x (a ) = J Bíc 1: Qua ®êng th¼ng d dùng mÆt ph¼ng phô trî (s ). Bíc 2: T×m giao tuyÕn phô cña mÆt ph¼ng (s ) vµ (a ) , gi¶ sö gäi lµ g.

Bíc 3: T×m giao cña g vµ d lµ ®iÓm J , th× J lµ giao ®iÓm cÇn t×m.

* Chó ý: - MÆt ph¼ng phô trî (s ) ph¶i chän sao cho viÖc t×m giao tuyÕn g lµ dÔ dµng . Th

êng chän mÆt ph¼ng phô trî lµ mÆt ph¼ng chiÕu.

VÝ dô 1: T×m giao ®iÓm cña ®êng th¼ng l vµ mÆt ph¼ng a (n a , m a )

Gi¶i: Bíc 1: Qua l dùng mÆt ph¼ng chiÕu b»ng s Bíc 2: T×m giao tuyÕn phô (s ) x (a ) = g

Bíc 3: T×m giao ®iÓm cña g vµ l: g x l = J

l1

J 1

J 2

s 2 ”

l2” g2

VÝ dô 2: T×m giao ®iÓm cña ®êng th¼ng l vµ mÆt ph¼ng D ABC

Gi¶i:

(s Bíc 1: Qua l dùng mÆt ph¼ng chiÕu ®øng s 1 ” l1) B1

s 1 ”

Bíc 2: T×m giao tuyÕn phô g = (s ) x (a )

BiÕt g1 ” l1,ta t×m ®îc g2 .

l1 ” g1

J 1 11 Bíc 3: T×m giao ®iÓm J = g x l 21 C1

C2 22

J 2

l2

VÝ dô 3: T×m giao ®iÓm cña ®êng th¼ng l vµ mÆt ph¼ng a (a//b).

Gi¶i:

1 ”

s 1 ”

Bíc 1: Qua l dùng mÆt ph¼ng chiÕu ®øng s : (s l1)

l1” g1

Bíc 2: T×m giao tuyÕn phô g = (s ) x (a )

(cid:222) BiÕt g1 ” l1 g2

Bíc 3: T×m giao ®iÓm I = g x l

Trêng hîp nµy kh«ng nªn dïng mÆt phô trî lµ mÆt ph¼ng chiÕu b»ng v× khã t×m giao tuyÕn g.

l2

A1” B1

3.7.3. Quy -íc thÊy khuÊt.

x NÕu hai ®iÓm cïng tia chiÕu ®øng, quy íc ®iÓm nµo cã

a. Quy -íc thÊy khuÊt trªn h×nh c hiÕu ®ø ng .

®é xa lín h¬n, th× h×nh chiÕu ®øng cña nã sÏ thÊy, vµ h×nh chiÕu ®øng cña ®iÓm cßn l¹i sÏ khuÊt.

XÐt hai ®iÓm thuéc mét tia chiÕu ®øng nh h×nh vÏ :

Ta thÊy: A1 khuÊt , B1 thÊy

V× ®iÓm B cã ®é xa lín h¬n ®iÓm A

b. Quy -íc thÊy khuÊt trªn h×nh c hiÕu b»ng .

XÐt hai ®iÓm cïng thuéc mét tia chiÕu b»ng , quy íc, ®iÓm nµo cã ®é cao lín h¬n, th× h×nh chiÕu b»ng cña nã sÏ thÊy, vµ h×nh chiÕu b»ng cña ®iÓm cßn l¹i sÏ khuÊt.

VÝ dô: h×nh bªn, ta thÊy: B2 thÊy, A2 khuÊt, A1 x

V× ®iÓm B cã ®é cao lín h¬n ®iÓm A.

A2” B2

VÝ dô : XÐt thÊy khuÊt ë vÝ dô 2 môc 2

Bµi gi¶i: Sau khi x¸c ®Þnh ®îc giao ®iÓm J , ta thÊy:

- Giíi h¹n thÊy khuÊt cña ®êng th¼ng l trªn 2 h×nh chiÕu ®îc giíi h¹n bëi ®iÓm J .

s 1”

- XÐt trªn h×nh chiÕu ®øng:

l1 ” g1

” 1 '1

J 1

3'1

XÐt 2 ®iÓm 11 ” (Víi 1 ˛ 1’1 AB, 1’ ˛ l)

Ta thÊy ®iÓm 1 cã ®é xa lín h¬n ®iÓm 1’

(cid:222)

PhÇn ®o¹n th¼ng cña l1 ®ang xÐt lµ khuÊt, phÇn cßn l¹i lµ thÊy.

1'2

” 3'2

J 2

- XÐt trªn h×nh chiÕu b»ng:

XÐt 2 ®iÓm 32 ” (Víi 3 ˛ 3’2 AC, 3’ ˛ l)

l2

Ta thÊy ®iÓm 3’ cã ®é cao lín

g 2

h¬n ®iÓm 3

(cid:222)

PhÇn ®o¹n th¼ng cña l2 ®ang xÐt lµ thÊy, phÇn cßn l¹i lµ khuÊt.

3.8 ®-ê ng th¼ng vu«ng g ãc víi mÆt ph¼ng

Trong kh«ng gian ®iÒu kiÖn ®Ó mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi

* §iÒu kiÖn: mét mÆt ph¼ng lµ nã ph¶i vu«ng gãc víi hai ®êng th¼ng c¾t nhau cña mÆt ph¼ng ®ã. XÐt trªn ®å thøc, ta chia ra hai trêng hîp sau:

3.8.1. Tr-ê ng hîp mÆt ph¼ng kh«ng ph¶i lµ mÆt ph¼ng

c hiÕu c ¹nh. Gi¶ sö cho mÆt ph¼ng a bÊt kú, cÇn kÎ mét ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi

mÆt ph¼ng a .

Trong mÆt ph¼ng a ta vÏ hai ®êng

th¼ng c¾t nhau lµ ®êng b»ng b vµ ® êng mÆt m, råi vÏ ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi c¶ b vµ m, th× d vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng a .

Tõ ®iÒu kiÖn vÒ h×nh chiÕu cña hai ®êng th¼ng vu«ng gãc , ta cã nhËn xÐt:

+ ChiÕu lªn mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng ,th× d2 ^ b2 .

+ ChiÕu lªn mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng ,th× d1 ^ m1 J

Tõ nhËn xÐt trªn ta rót ra ®iÒu kiÖn sau:

* §iÒu kiÖn ®Ó ®-ê ng th¼ng vu«ng g ãc víi mÆt ph¼ng trªn ®å thø c :

®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mét mÆt ph¼ng lµ

h×nh chiÕu ®øng cña ®êng th¼ng ph¶i vu«ng gãc víi h×nh chiÕu ®øng cña ® êng mÆt cña mÆt ph¼ng (hoÆc vÕt ®øng cña mÆt ph¼ng), vµ h×nh chiÕu b»ng cña ®êng th¼ng ph¶i vu«ng gãc víi h×nh chiÕu b»ng cña ®êng b»ng cña mÆt ph¼ng(hoÆc vÕt b»ng cña mÆt ph¼ng).

b 2

3.8.2.Tr-ê ng hîp mÆt ph¼ng lµ mÆt d

ph¼ng c hiÕu c ¹nh.

a d3

J 3 J

Trêng hîp nµy ®êng b»ng vµ ®êng mÆt cña mf song song víi nhau, do ®ã ta lÊy mét ®êng th¼ng lµ ®êng mÆt (hay ® êng b»ng), cßn ®êng kia lµ ®êng c¹nh.Ta rót ra nhËn xÐt sau: §êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chiÕu c¹nh , th× nã lµ mét ®êng c¹nh vµ ph¶i vu«ng gãc víi ®êng c¹nh cña mÆt ph¼ng. VËy ta cã ®iÒu kiÖn sau:

J 1

J 3

J 2

x §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mf chiÕu c¹nh lµ nã ph¶i lµ ®êng c¹nh vµ cã h×nh chiÕu c¹nh vu«ng gãc víi h×nh chiÕu c¹nh cña ®êng c¹nh cña mÆt ph¼ng (hoÆc vÕt c¹nh cña mÆt ph¼ng) .

pa d // P3 vµ d3 ^

VÝ dô : T×m kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A tíi mÆt ph¼ng a (na x ma ).

1”

g1 ” s

Gi¶i: -Qua A kÎ ®êng th¼ng d ^ mf a -T×m giao ®iÓm H = d x a

{ H* na

DDT-AH

a x

A1 ” A 21

- X¸c ®Þnh §DT cña AH

{

ch¬ng 4*-C¸c phÐp biÕn ®æi h×nh chiÕu

§Æt vÊn ®Ò: Nh phÇn trªn ta thÊy, khi c¸c ®èi tîng h×nh häc cã vÞ trÝ ®Æc biÖt so víi HT c¸c mf h×nh chiÕu th× viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh ho¹ sÏ ®¬n gi¶n h¬n nhiÒu, v× vËy, ngêi ta thêng dïng phÐp biÕn ®æi ®Ó ®a c¸c h×nh tõ vÞ trÝ bÊt kú vÒ vÞ trÝ ®Æc biÖt- gi¶i c¸c bµi to¸n, råi biÕn ®æi ngîc l¹i sÏ ®îc kÕt qu¶ cÇn t×m.

Trong H×nh ho¹ thêng dïng c¸c phÐp biÕn ®æi sau:

- Thay c¸c mf h×nh chiÕu: lµ gi÷ nguyªn vÞ trÝ c¸c h×nh ®· cho, chØ thay ®æi c¸c mf h×nh chiÕu- víi ®iÒu kiÖn lµ híng chiÕu míi ph¶i vu«ng gãc víi mf h×nh chiÕu míi.

- PhÐp dêi h×nh: lµ gi÷ nguyªn HT c¸c mf h×nh chiÕu, híng chiÕu, chØ dêi h×nh ®· cho tíi vÞ trÝ ®Æc biÖt ®èi víi HT c¸c mf h×nh chiÕu.

4*-1 PhÐp thay c¸c mf h×nh chiÕu.

4*1.1 Thay mét mf h×nh chiÕu:

Lµ bá ®i mét mf h×nh chiÕu cò vµ thay vµo mét mf h×nh chiÕu míi cã vÞ trÝ th¼ng gãc víi mf h×nh chiÕu cßn l¹i.

a-Thay mf h×nh chiÕu ®øng

NhËn xÐt: Hai hÖ thèng lµ t¬ng ®¬ng C¸ch x® h×nh chiÕu ®øng míi:

-VÏ trôc x’-phô thuéc yªu cÇu bt.

-Hc b»ng A2 gi÷ nguyªn -A2A1’ ^ x’- trôc hc míi.

-§é cao cña A lµ kh«ng ®æi : -Tõ A2 h¹ ®êng vu«ng gãc víi x’, trªn ®ã lÊy ®o¹n Ax’A1’ = AxA1.

A1Ax = AA2 = A1’Ax’.

b-Thay mf h×nh chiÕu b»ng

NhËn xÐt:

-Hc ®øng A1 gi÷ nguyªn. - §êng th¼ng A1A2’ ^ trôc hc míi x”.

- §é xa kh«ng ®æi: AxA2 = A1 A = Ax”A2’

4*1.2 Thay hai mf h×nh chiÕu: Lµ thay ®æi lÇn lît c¶ hai mf hc cò b»ng hai mfhc míi theo 2 bíc sau:

-Thay hÖ thèng P1P2 b»ng hÖ thèng P2P1’. -Thay hÖ thèng P2P1’ b»ng hÖ thèng P1’P2’. Chó ý:

* Mçi ®êng dãng míi ®i qua 1 hc cò (hc gi÷ nguyªn) vµ th¼ng gãc víi trôc hc míi.

* Kho¶ng c¸ch tõ hc míi tíi trôc hc míi lu«n b»ng kc tõ hc cò (hc ph¶i thay) tíi trôc hc cò

4*1.3 C¸c bµi to¸n c¬ b¶n: chia lµm 4 lo¹i sau:

Bµi to¸n1: Thay mfhc ®Ó ®a 1 ®t bÊt kú trong ht cò thµnh ®t ®ång møc trong ht míi.

VÝ dô: cho ®t AB bÊt kú, cÇn ®a AB trë thµnh ®t mÆt trong ht míi. Ta lÊy mf P1’ vu«ng gãc víi P2 vµ song song víi AB, th×: -Trôc hc míi x’ // A2B2, Tõ ®ã vÏ ®îc A1’B1’.

-Trong ht míi th× A1’B1’ = AB, Gãc gi÷a A1’B1’víi trôc x’ chÝnh lµ gãc nghiªng cña AB víi mf hc b»ng P2.

Bµi to¸n 2:Thay mf hc ®Ó ®a 1 ®t bÊt kú trong ht cò thµnh ®t chiÕu trong ht míi.

Gi¶i: ë bµi to¸n 1 ta ®· thay mf P1 b»ng P1’ ®Ó ®a AB thµnh ®t mÆt trong ht P2P1’. B©y giê ta tiÕp tôc thay mf P2 b»ng mf P2’ sao cho mf P2’ võa vu«ng gãc víi P1’ võa vu«ng gãc víi AB.- nÕu gäi x” = P1’ x P2’, th× x” ph¶i vu«ng gãc víi A1’B1’ vµ trong ht míi nµy AB trë thµnh ®t chiÕu b»ng.

Bµi to¸n 3: Thay mfhc ®Ó ®a mf bÊt kú ABC trong ht cò thµnh mf chiÕu trong ht míi.

NhËn xÐt: §Ó ABC trë thµnh mf chiÕu trong ht míi, nÕu thay mf P1 b»ng mf P1’, th× mf P1’ võa vu«ng gãc víi P2, võa vu«ng gãc víi ABC.

h2, tõ ®ã dÔ dµng vÏ ®îc A1’B1’C1’ . Gãc gi÷a hc

Gi¶i: Trong mf ABC, ta v¹ch 1 ®êng b»ng h , råi lÊy mf P1’ vu«ng gãc víi h. - Gäi x’ = P2 x P1’, th× x’ ^ suy biÕn A1’B1’C1’ víi trôc x’ chÝnh lµ gãc nghiªng cña mf ABC víi mf P2.

Bµi to¸n 4: Thay mf hc ®Ó mf bÊt kú trë thµnh mf ®ång møc trong ht míi.

Gi¶i: Trong bt 3 ta ®· thay mf P1 b»ng mf P1’ ®Ó ®a mf ABC thµnh mf chiÕu ®øng trong ht P2P1’. B©y giê ta tiÕp tôc thay mf P2 b»ng mf P2’ sao cho P2’ võa vu«ng gãc víi P1’ võa song song víi ABC,th× trong ht míi mf ABC sÏ lµ mf b»ng. -Gäi x” lµ trôc hc míi, th× x” // A1’B1’C1’, tõ ®ã vÏ ®îc A2’B2’C2’- vµ A2’B2’C2’ b»ng ®é lín thËt cña tam gi¸c ABC.

4*-2 PhÐp di chuyÓn song ph¼ng.

a- §Þnh nghÜa: DCSP lµ gi÷ nguyªn c¸c mf hc, cßn tÊt c¶ c¸c ®iÓm cña vËt thÓ ®îc di chuyÓn trong c¸c mf song song víi mét mf cho tríc.

-Gi¶ sö ®iÓm M di chuyÓn song song víi mf P2, th× M sÏ vÏ lªn mét ®êng cong ph¼ng. MÆt ph¼ng cña ®êng cong // P2. Hc b»ng M2 sÏ vÏ ra mét ®êng cong gièng víi ®êng cong cña M vÏ ra.

Hc ®øng M1 di chuyÓn theo mét ®êng th¼ng // x

B- §Þnh lý: NÕu h×nh F ®iÓm thuéc h×nh F di chuyÓn song song víi mfhc b»ng P2 th× c¸c hc ®øng cña c¸c sÏ di chuyÓn theo c¸c ®t song song víi trôc x, hc b»ng míi cña h×nh

F sÏ b»ng hc b»ng cò.

// víi mphc P2 th× :

VËy: khi dc F * Hc b»ng míi cã h×nh d¸ng vµ ®é lín b»ng hc b»ng cò F 2' = F 2 vµ cã thÓ ®Æt F 2' ë vÞ trÝ bÊt kú thuËn tiÖn cho viÖc gi¶i quyÕt bµi to¸n ®Æt ra. *Hc ®øng míi vÏ ®îc nhê c¸c ®êng dãng n»m ngang tõ hc ®øng cò F 1 vµ c¸c ®êng dãng th¼ng ®øng tõ c¸c ®iÓm t¬ng øng cña hc b»ng míi F 2'.

di chuyÓn song song víi mfhc ®øng P1 th×:

NÕu h×nh F * Hc ®øng míi b»ng hc ®øng cò F 1' = F 1 * Hc b»ng míi vÏ ®îc nhê c¸c ®êng dãng n»m ngang tõ c¸c ®iÓm trªn F 2 vµ c¸c ®êng dãng th¼ng ®øng tõ c¸c ®iÓm t¬ng øng trªn hc ®øng míi F 1' . VÝ dô 1:T×m ®é lín thËt cña tam gi¸c ABC b»ng pp di chuyÓn song ph¼ng.

Gi¶i:

Bíc1- Di chuyÓn tam gi¸c ABC song song víi mfhc b»ng tíi vÞ trÝ vu«ng gãc víi mfhc ®øng

Bíc 2- Di chuyÓn tam gi¸c A'B'C' song song víi mfhc ®øng tíi vÞ trÝ song song víi mfhc b»ng ( A1"B1"C1" // x), khi ®ã A2"B2"C2" = §LT cña tam gi¸c ABC

B1' A1' C1" A1" B1"

C1'

A2"

C2"

B2"

VÝ dô 2: B»ng phÐp dêi h×nh song song víi mfhc b»ng ®a mf a vÒ vu«ng gãc víi mfhc ®øng.

n 'a

Gi¶i: *VÏ trong mf a mét ®êng b»ng h, th× trong qu¸ tr×nh di chuyÓn // víi P2, kho¶ng c¸ch tõ h2 ®Õn ma kh«ng ®æi ( h2 ®Õn ma = h2' ®Õn m'a ) vµ ®é cao cña ®t h kh«ng ®æi. *Khi mfa vu«ng gãc víi P1 th× m'a ^ x vµ hc ®øng cña mfa suy biÕn thµnh mét ®t.

h'1 h1

m'a

2 ' h

Ch-¬ng 4: §-ê ng c o ng , ®a diÖn vµ mÆt c o ng

4.1 ®-ê ng c o ng

4.1.1. §Þnh ng hÜa:

- §êng cong lµ quü ®¹o cña ®iÓm chuyÓn ®éng trong mÆt ph¼ng hay trong

kh«ng gian. Ngoµi ra ®êng cong cã thÓ lµ giao cña hai mÆt.

- §êng cong cã thÓ lµ ®êng cong ph¼ng hay ®êng cong ghÒnh:

+ §êng cong ph¼ng: Lµ ®êng cong khi mäi ®iÓm cña ®êng cong cïng thuéc

mét mÆt ph¼ng.

VÝ dô: §êng trßn, ®êng elip, ®êng parabol, hypebol ...

+ §êng cong ghÒnh: Lµ ®êng cong khi mäi ®iÓm cña ®êng cong kh«ng cïng

thuéc mét mÆt ph¼ng.

VÝ dô: §êng xo¾n èc ...

- BËc cña ®êng cong:

+ §êng cong ®¹i sè: Lµ ®êng cong biÓu diÔn ®îc b»ng ph¬ng tr×nh ®¹i sè, bËc

cña ph¬ng tr×nh lµ bËc cña ®êng cong.

+ §êng cong h×nh häc: §îc vÏ b»ng c¸ch x¸c ®Þnh ®iÓm

VÝ dô: §êng elÝp, ®êng th©n khai, ®êng trßn ...

4.1.2. C¸c tÝnh c hÊt vÒ h×nh c hiÕu c ña ®-ê ng c o ng .

- TÝnh c hÊt 1: H×nh chiÕu (Xuyªn t©m hay song song) cña tiÕp tuyÕn cña ®êng cong ë mét ®iÓm, nãi chung lµ tiÕp tuyÕn cña h×nh chiÕu cña ®êng cong t¹i h×nh chiÕu cña ®iÓm ®ã.

VÝ dô: t lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng cong c t¹i M

Th× t’ lµ tiÕp tuyÕn cña hc ®êng cong c’ t¹i M’

* Chó ý: Trong trêng hîp ®Æc biÖt tiÕp ®iÓm M

gi÷a ®êng cong c vµ t trong kh«ng gian, cã h×nh chiÕu M’ cã thÓ lµ ®iÓm uèn (H×nh a), hoÆc lµ ®iÓm lïi lo¹i 1 (H×nh b), hoÆc ®iÓm lïi l¹i 2 (H×nh c) trªn ®êng c'.

H×nh a H×nh b H×nh c

-TÝnh c hÊt 2: H×nh chiÕu cña ®êng cong ®¹i sè bËc n nãi chung vÉn lµ ®êng cong

®¹i sè bËc n.

+H×nh chiÕu th¼ng gãc cña 1 elÝp cã thÓ lµ 1 elÝp hoÆc 1 ®êng trßn.

+H×nh chiÕu th¼ng gãc cña 1 parabol ( hoÆc hypebol) lµ 1 parabol( hoÆc hypebol).

4.1.3 H×nh c hiÕu s o ng s o ng c ña ®-ê ng trßn.

TÝnh c hÊt:

-NÕu mf cña ®êng trßn song song víi mf h×nh chiÕu, th× h×nh chiÕu cña nã vÉn lµ ®êng trßn.

-NÕu mf cña ®êng trßn vu«ng gãc víi mf h×nh chiÕu, th× h×nh chiÕu cña nã suy biÕn thµnh ®o¹n th¼ng dµi b»ng ®êng kÝnh ®êng trßn.

- NÕu híng chiÕu kh«ng song, kh«ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa ®êng trßn

th× h×nh chiÕu cña nã lµ mét elÝp :

+ T©m cña ElÝp h×nh chiÕu lµ h×nh chiÕu cña t©m ®êng trßn

+ H×nh chiÕu cña 2 ®êng kÝnh vu«ng gãc cña vßng trßn lµ hai ®êng kÝnh liªn

hiÖp cña ElÝp h×nh chiÕu. Nãi chung c¸c ®êng kÝnh liªn hiÖp cña ElÝp kh«ng vu«ng gãc víi nhau. Trêng hîp c¸c ®êng kÝnh liªn hiÖp vu«ng gãc víi nhau ta gäi lµ trôc ng¾n vµ trôc dµi cña ElÝp.

+ Trôc dµi cña ElÝp lµ h×nh chiÕu cña ®êng kÝnh song song víi mÆt ph¼ng

h×nh chiÕu cña ®êng trßn.

+ Trôc ng¾n cña ElÝp lµ h×nh chiÕu cña ®êng kÝnh n»m trªn ®õ¬ng dèc nhÊt

cña mÆt ph¼ng chøa h×nh trßn víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu.

* BiÓu diÔn ®-ê ng c o ng :

- §êng cong còng ®îc biÓu diÔn b»ng c¸c h×nh chiÕu cña nã.

- Khi h×nh chiÕu cña ®êng cong lµ cung trßn th× ta vÏ cung trßn b»ng compa.

- Khi ®êng cong trªn h×nh chiÕu kh«ng ph¶i lµ ®êng trßn th× ph¶i t×m h×nh

chiÕu cña mét sè ®iÓm cÇn thiÕt trªn ®êng cong vµ nèi c¸c ®iÓm ®ã l¹i th× ® îc h×nh chiÕu cña ®êng cong , sè ®iÓm t×m ®îc cµng nhiÒu th× ®êng cong vÏ ®îc cµng chÝnh x¸c .

R 2

VÝ dô: cho ®êng trßn t©m o thuéc mÆt ph¼ng a (na , ma ).BiÕt O1 vµ hai vÕt cña mÆt ph¼ng a ,vÏ c¸c h×nh chiÕu cña ®êng trßn ®ã.Cho b¸n kÝnh ®êng trßn b»ng R.

4.2 ®a diÖn vµ mÆt c o ng

4.2.1. §a diÖn

1. §Þnh ng hÜa:

- §a diÖn lµ mét mÆt kÝn ®îc t¹o thµnh bëi c¸c ®a gi¸c ph¼ng g¾n liÒn víi nhau

bëi c¸c c¹nh.

- C¸c ®a gi¸c ph¼ng nµy gäi lµ c¸c mÆt cña ®a diÖn.

- Giao tuyÕn gi÷a c¸c mÆt cña ®a diÖn lµ c¸c c¹nh cña ®a diÖn.

- Giao cña c¸c c¹nh cña ®a diÖn lµ c¸c ®Ønh cña ®a diÖn.

S §Ønh - C¸c lo¹i ®a diÖn:

MÆt + MÆ t th¸p (MÆ t chãp) lµ ®a diÖn cã c¸c c¹nh

bªn c¾t nhau. (H×nh a)

MÆt chãp thêng ®îc kÝ hiÖu b»ng ®Ønh

(VÝ dô: S.ABCD …) D A

C¹nh B

C H×nh a

+ MÆ t l¨ng trô lµ ®a diÖn cã c¸c c¹nh bªn song song víi nhau.

* L¨ng trô xiªn lµ l¨ng trô cã c¸c c¹nh lµ ®êng th¼ng bÊt k×. (H×nh b)

* L¨ng trô chiÕu lµ l¨ng trô cã c¸c c¹nh bªn lµ ®êng th¼ng chiÕu. (H×nh c)

L¨ng trô thêng ®îc kÝ hiÖu b»ng c¸c c¹nh. (VÝ dô: a b c ….)

MÆt

§Ønh

D E

C¹nh

F C

H×nh b H×nh c H×nh d

+ §a diÖn bÊt k× (H×nh d)

2. BiÓu diÔn ®a diÖn.

- §a diÖn ®îc biÓu diÔn b»ng c¸c h×nh chiÕu bëi h×nh chiÕu c¸c c¹nh, c¸c ®Ønh

vµ c¸c mÆt bªn cña nã.

11 ” 1 '1

- H×nh biÓu diÔn cÇn ®îc xÐt thÊy,

2'1

khuÊt.Trªn mçi h×nh chiÕu, ®êng bao quanh h×nh chiÕu th× thÊy( vÏ b»ng nÐt liÒn ®Ëm). C¹nh cã h×nh chiÕu ë bªn trong ® êng bao quanh h×nh chiÕu th× ph¶i xÐt thÊy, khuÊt. C¹nh khuÊt vÏ b»ng nÐt ®øt.

1'2

” 2 '2 22

- VÝ dô: BiÓu diÔn th¸p S.ABC.Hai c¹nh SB

vµ AC chÐo nhau, ta thÊy S1B1 thÊy vµ A1C1 khuÊt.Tõ sù thÊy, khuÊt cña c¸c c¹nh, ta suy ra sù thÊy, khuÊt cña c¸c mÆt ®a diÖn trªn h×nh chiÕu ®ã.T¬ng tù díi h×nh chiÕu b»ng, S2A2 thÊy, cßn B2C2 khuÊt.

3. §iÓm thué c ®a diÖn.

- §Ó vÏ ®iÓm thuéc c¹nh cña ®a diÖn ta ¸p dông bµi to¸n vÏ ®iÓm thuéc ®êng

th¼ng.

- §Ó vÏ ®iÓm thuéc mÆt ®a diÖn ta g¾n ®iÓm vµo ®êng th¼ng thuéc c¸c mÆt

cña ®a diÖn.Cô thÓ nh sau:

MÆt c hãp:

+Ta g¾n ®iÓm vµo ®êng sinh ®i qua ®iÓm ®ã vµ ®Ønh chãp.

+ HoÆc g¾n ®iÓm vµo ®êng

N1 (K)

M1(T)

N2(T)

M2(T)

th¼ng ®i qua ®iÓm ®ã vµ song song víi c¹nh cña ®¸y chãp.

MÆt l¨ng trô :

M1 (K)

§Ó vÏ ®iÓm thuéc mÆt bªn cña l¨ng trô, ta g¾n ®iÓm vµo ®êng sinh thuéc mÆt bªn vµ song song víi c¹nh bªn cña l¨ng trô.

M2(T)

-Trªn h×nh chiÕu ®ang xÐt cña mét ®a diÖn,mét ®iÓm thuéc mét mÆt thÊy th× ®iÓm ®ã thÊy, mét ®iÓm thuéc mÆt khuÊt, th× ®iÓm ®ã khuÊt.

4.2.2. MÆt c o ng

1.C¸c kh¸i niÖm c ¬ b¶n:

- MÆt cong lµ quü tÝch cña mét ®êng (®êng th¼ng hoÆc ®êng cong) chuyÓn ®éng theo mét quy luËt nµo ®ã. §êng chuyÓn ®éng nµy gäi lµ ®êng sinh.

-TiÕp tuyÕn,mÆt ph¼ng tiÕp xó c víi mÆt

c o ng .

+mét ®êng th¼ng ®îc gäi lµ tiÕp tuyÕn cña

a mÆt cong t¹i ®iÓm M, nÕu nã lµ tiÕp tuyÕn t¹i M cña mét ®êng cong vÏ trªn mÆt cong qua ®iÓm M.

+trªn mÆt cong cã v« sè ®êng cong ®i qua M, do ®ã cã v« sè tiÕp tuyÕn t¹i M cña mÆt cong. NÕu c¸c tiÕp tuyÕn nµy cïng n»m trªn mét mÆt ph¼ng, th× mÆt ph¼ng nµy gäi lµ mÆt ph¼ng tiÕp xóc cña mÆt cong t¹i M. § êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng tiÕp xóc t¹i M ®îc gäi lµ ph¸p tuyÕn cña mÆt cong t¹i M.

+Hai mÆt cong gäi lµ tiÕp xóc víi nhau t¹i ®iÓm M, nÕu ®iÓm M thuéc c¶ hai mÆt vµ hai mÆt ph¼ng tiÕp xóc cña hai mÆt cong t¹i M trïng nhau.

+ BiÓu diÔn mét mÆt: lµ biÓu diÔn c¸c yÕu tè

h×nh häc ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh mÆt ®ã.

-§-ê ng thÊy ng o µi, ®-ê ng bao quanh

h×nh c hiÕu c ña mé t mÆt.

Gi¶ sö cã mét mÆt F , híng chiÕu s

vµ mÆt ph¼ng h×nh chiÕu P

.Ta v¹ch c¸c tia chiÕu theo híng s, . C¸c tia chiÕu

F tiÕp xóc víi mÆt F nµy t¹o thµnh mét mÆt trô tiÕp xóc víi mÆt F theo ®êng m, th×:

+§êng cong m gäi lµ ®êng thÊy øng víi híng

ngoµi trªn mÆt F chiÕu s.§êng thÊy ngoµi ®Þnh ra trªn mÆt F phÇn mÆt tr«ng thÊy vµ phÇn mÆt bÞ che khuÊt theo híng chiÕu s.

m' k'

+H×nh chiÕu m' cña m trªn mÆt

vµ c¾t ®êng thÊy

ph¼ng h×nh chiÕu P gäi lµ ®êng bao quanh h×nh chiÕu cña F trªn mÆt ph¼ng P. NÕu cã ®êng k thuéc mÆt F ngoµi m ë ®iÓm M, th× nãi chung h×nh chiÕu k' cña k sÏ tiÕp xóc víi ®êng bao quanh h×nh chiÕu cña mÆt F ë ®iÓm M' lµ h×nh chiÕu cña M.

2. C¸c mÆt c o ng th-ê ng g Æp.

a. MÆt nãn.

§Ønh

* §Þnh ng hÜa:

- MÆt nãn lµ mÆt ®îc t¹o thµnh bëi mét ®êng th¼ng chuyÓn ®éng lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh vµ tùa trªn mét ®êng cong cho tr íc.

- §iÓm cè ®Þnh gäi lµ ®Ønh nãn.

- §êng cong cho tríc gäi lµ ®êng chuÈn cña

§õ¬ng chuÈn

nãn.

* C¸c h biÓu diÔn:

Kh¶o s¸t mÆt nãn bao gåm mÆt xung quanh vµ mÆt ®¸y nãn. Trªn mçi h×nh chiÕu cÇn x¸c ®Þnh h×nh chiÕu cña ®Ønh nãn, ®¸y nãn, ®êng sinh bao ngoµi vµ x¸c ®Þnh phÇn thÊy vµ khuÊt trªn tõng h×nh chiÕu ®ã

Chó ý:

+Trªn h×nh chiÕu ®øng, nöa tríc cña mÆt nãn giíi h¹n bëi ®êng thÊy ngoµi sÏ thÊy,

cßn nöa sau khuÊt.

+Trªn h×nh chiÕu b»ng, nöa trªn cña mÆt nãn giíi h¹n bëi ®êng thÊy ngoµi sÏ thÊy, cßn

nöa díi sÏ khuÊt.

VÜ tuyÕn MÆt sau

MÆt tríc §êng

sinh S2 B

VÝ dô: cho mÆt nãn nh h×nh bªn.

-Theo híng chiÕu ®øng,®êng thÊy

ngoµi cña mÆt nãn lµ hai ®êng sinh SA vµ SB. Tõ ®ã vÏ ®îc ®êng bao quanh h×nh chiÕu ®øng cña mÆt nãn lµ S1A1B1S1. XÐt thÊy khuÊt, c¸c ®êng sinh cã ch©n n»m trªn cung A2D2B2 lµ thÊy trªn h×nh chiÕu ®øng cña mÆt nãn.

-Theo híng chiÕu b»ng, ®êng thÊy ngoµi lµ hai ®êng sinh SC vµ SD ,h×nh chiÕu b»ng cña chóng lµ S2C2 vµ S2D2 tiÕp xóc víi h×nh chiÕu b»ng ®êng trßn ®¸y t¹i C2 vµ D2. Tõ ®ã vÏ ®îc ®êng bao quanh h×nh chiÕu b»ng lµ S2C2A2D2S2. Trªn h×nh chiÕu b»ng chØ c¸c ®êng sinh cã ch©n n»m trªn cungC2A2D2 lµ thÊy.

-Trªn c¸c h×nh chiÕu, c¸c ®iÓm n»m trªn c¸c ®êng sinh thÊy trªn h×nh chiÕu ®ã sÏ thÊy.

§iÓm thuéc mÆt nãn:

§Ó x¸c ®Þnh c¸c h×nh chiÕu cña ®iÓm thuéc mÆt nãn ta cã 2 c¸ch:

- G¾n ®iÓm vµo ®êng sinh cña mÆt nãn.

M1 (T)

” N1 (K)

M1(T)

N2(K)

M2(T)

M2 (T)

- G¾n ®iÓm vµo ®êng trßn song song víi ®¸y cña mÆt nãn.

l b. MÆt trô .

• §Þnh ng hÜa: MÆt trô lµ quü tÝch cña mét ®

êng th¼ng chuyÓn ®éng lu«n song song víi mét ®êng th¼ng cho tríc vµ tùa trªn mét ®êng cong cho tríc.

- MÆt trô chiÕu: Lµ mÆt trô cã ®êng sinh lµ ®

êng th¼ng chiÕu.

- MÆt trô xiªn: Lµ mÆt trô cã ®êng sinh lµ ®êng

§õ¬ng chuÈn

O'1

O'2

b 2

th¼ng bÊt k×.

§iÓm thuéc mÆt trô:

-§Ó x¸c ®Þnh c¸c h×nh chiÕu cña ®iÓm thuéc mÆt trô, ta g¾n ®iÓm vµo ®êng sinh

M1 (T)

M1 (T) ”

N1 (K)

O'1

N (T) 2

O'2

M2 (K)

M2 (T)

cña mÆt trô.

c . MÆt c Çu V1

* §Þnh ng hÜa: MÆt cÇu cã thÓ coi lµ mÆt trßn xoay do nöa ®êng trßn lín bÊt kú cña mÆt cÇu xoay quanh ®êng kÝnh cña nã t¹o ra.

* H×nh biÓu diÔn:

§êng bao quanh h×nh chiÕu ®øng vµ h×nh

O 2

chiÕu b»ng cña mÆt cÇu lµ 2 vßng trßn b»ng nhau cã ®êng kÝnh b»ng ®êng kÝnh mÆt cÇu ®· cho. §ã lµ h×nh chiÕu t¬ng øng cña hai vßng trßn lín thuéc mÆt ph¼ng mÆt vµ mÆt ph¼ng b»ng.

* §iÓm thué c mÆt c Çu:

§Ó x¸c ®Þnh ®iÓm thuéc mÆt cÇu ta g¾n ®iÓm ®ã vµo ®êng trßn n»m trªn

M1 (K)

mÆt ph¼ng b»ng hoÆc mÆt ph¼ng mÆt cña mÆt cÇu.

M1 (T) N1 (K)

N1 (K)

M2 (T) ” N2 (K)

N2 (T)

M2 (T)

”

Ch-¬ng 5: Giao c ña mÆt ph¼ng víi c ¸c mÆt

§Þnh ng hÜa: Giao cña mÆt ph¼ng víi c¸c mÆt lµ tËp hîp c¸c ®iÓm võa thuéc

mÆt ph¼ng võa thuéc mÆt ®ã.

5.1. D¹ng c ña g iao

5.1.1. Giao c ña mÆt ph¼ng víi ®a

diÖn

- Giao cña mÆt ph¼ng víi ®a diÖn lµ mét ®a gi¸c, cã c¸c c¹nh lµ c¸c giao tuyÕn

cña c¸c mÆt cña ®a diÖn víi mÆt ph¼ng, cã c¸c ®Ønh lµ c¸c giao ®iÓm cña c¸c c¹nh cña ®a diÖn víi mÆt ph¼ng.

5.1.2. Giao c ña mÆt ph¼ng víi mÆt c o ng .Ta xÐt mé t s è tr-ê ng hîp s au:

a. Giao c ña mÆt ph¼ng víi mÆt trô .

NÕu lµ mÆt trô trßn xoay th× giao cã thÓ lµ:

- NÕu mÆt ph¼ng c¾t vu«ng gãc víi trôc mÆt trô th× giao tuyÕn lµ mét ®êng trßn. - NÕu mÆt ph¼ng c¾t hîp víi trôc cña trô mét gãc q < 90(cid:176) th× giao tuyÕn lµ mét ElÝp.

a - NÕu mÆt ph¼ng c¾t song song víi ®êng sinh cña mÆt trô th× giao tuyÕn lµ 2 ®êng sinh.

b. Giao c ña mÆt ph¼ng víi mÆt nãn.

NÕu mÆt nãn cã ®¸y (§êng chuÈn) lµ ®êng trßn th× giao tuyÕn cã thÓ lµ:

- Lµ mét ®êng trßn nÕu mÆt ph¼ng c¾t song song víi ®¸y nãn.

- Lµ mét elÝp nÕu mÆt ph¼ng c¾t c¾t tÊt c¶ mäi ®êng sinh cña nãn.

- Lµ mét Parabol, nÕu mÆt ph¼ng c¾t song song víi chØ mét ®êng sinh cña nãn.

- Lµ mét Hypecbol nÕu mÆt ph¼ng c¾t song song víi 2 ®êng sinh cña nãn.

-mÆt ph¼ng c¾t ®i qua ®Ønh nãn vµ tiÕp xóc víi mÆt nãn theo mét ®êng sinh.

MÆt ph¼ng a

a 1

song song víi ®¸y

nãn

a a

a 1

a // 1 ®êng sinh a c¾t tÊt c¶ ® a ®i qua S vµ c¾t nãn theo 2 ®êng sinh êng sinh

a 1

a // 2 ®êng sinh

c .Giao c ña mÆt ph¼ng víi

mÆt c Çu.

- MÆt ph¼ng c¾t mÆt cÇu

- MÆt ph¼ng tiÕp xóc víi mÆt

5.2.vÏ Giao c ña mÆt ph¼ng víi ®a diÖn

A – Tr-ê ng hîp ®Æc biÖt

Trêng hîp nµy mét h×nh chiÕu cña giao ®· biÕt. ¸p dông tÝnh liªn thuéc cña

c¸c yÕu tè h×nh häc ®Ó t×m h×nh chiÕu thø 2. §ã lµ c¸c trêng hîp:

1. MÆt ph¼ng c hiÕu c ¾t §a diÖn.

- Mét h×nh chiÕu cña giao tuyÕn ®· biÕt n»m trªn h×nh chiÕu suy biÕn cña mÆt ph¼ng chiÕu.

- H×nh chiÕu cßn l¹i cña giao t×m ®îc dùa vµo bµi to¸n vÏ ®iÓm hay ®êng th¼ng thuéc ®a diÖn.

* Ng uyªn t¾c nè i g iao :

- Hai ®iÓm cïng thuéc mét mÆt bªn cña ®a diÖn th× nèi ®îc víi nhau.

- Khi xÐt thÊy khuÊt, c¹nh nµo thuéc mÆt thÊy trªn h×nh chiÕu t¬ng øng cña ®a

diÖn th× sÏ thÊy.

a 1

VÝ dô : vÏ giao cña mÆt ph¼ng chiÕu ®øng a víi

mÆt chãp S.ABCD.

D1 D2

Gi¶i: V× (a ) ^ nªn giao tuyÕn cã:

a P1 , - H×nh chiÕu ®øng ®· biÕt thuéc a Gäi c¸c ®Ønh cña giao lµ 1,2,3,4 th× 11213141 ”

- T×m h×nh chiÕu b»ng cña c¸c ®Ønh lµ 12, 22, 32, 42 thuéc h×nh chiÕu b»ng c¸c c¹nh t¬ng øng cña chãp

- Nèi c¸c ®Ønh t×m ®îc vµ xÐt thÊy khuÊt cña chóng, ta ®îc h×nh chiÕu b»ng cña giao.

2. MÆt ph¼ng bÊt kú c ¾t l¨ng trô c hiÕu

- Mét h×nh chiÕu cña giao ®· biÕt n»m trªn h×nh chiÕu suy biÕn cña l¨ng trô chiÕu.

- H×nh chiÕu cßn l¹i t×m b»ng c¸ch ¸p dông bµi to¸n vÏ ®iÓm hay ®êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng.

VÝ dô: X¸c ®Þnh giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng a (n a , m a ) vµ l¨ng trô chiÕu abc.

Gi¶i:

V× l¨ng trô( abc)^ nªn giao tuyÕn cã: P2 ,

- H×nh chiÕu b»ng ®· biÕt . Gäi c¸c ®Ønh cña

na M1

a2” 12

giao lµ 1,2,3, th× h×nh chiÕu b»ng lµ tam gi¸c a2 , 22 ” cã c¸c ®Ønh: 12 ” b2 , 32 ” c2 ,

c2” 32

b2” 22 ma

- T×m h×nh chiÕu ®øng b»ng c¸ch g¾n chóng vµo c¸c ®êng th¼ng cña mÆt ph¼ng a , ta t×m ®îc c¸c ®Ønh lµ 11, 21, 31- vµ nèi chóng b»ng c¸c ®o¹n th¼ng, råi xÐt thÊy khuÊt.

B – Tr-ê ng hîp tæ ng qu¸t :MÆt ph¼ng bÊt k× c ¾t th¸p vµ l¨ng trô xiªn

Trêng hîp nµy cha cã h×nh chiÕu nµo cña giao tuyÕn ®· biÕt §Ó x¸c ®Þnh giao

ta thêng dïng ph¬ng ph¸p mÆt ph¼ng phô trî ®Ó t×m giao cña ®êng th¼ng bÊt kú(c¹nh cña ®a diÖn) víi mÆt ph¼ng bÊt kú (mÆt ph¼ng c¾t), råi nèi c¸c ®Ønh thuéc cïng mét mÆt bªn cña ®a diÖn l¹i víi nhau b»ng c¸c ®o¹n th¼ng vµ xÐt thÊy khuÊt cña chóng.

VÝ dô: vÏ giao cña mÆt ph¼ng a vµ

mÆt chãp S.ABC.

NhËn xÐt: - MÆt ph¼ng a (n a , m a ) vµ chãp

S.ABC lµ bÊt kú.

- Ta dïng c¸c mÆt ph¼ng phô trî

chiÕu ®øng, lÇn lît t×m giao cña x c¸c c¹nh SA,SB,SC víi mf(a )- t¬ng øng lµ c¸c ®iÓm 1,2,3.

- Nèi c¸c ®Ønh víi nhau b»ng c¸c ®o¹n th¼ng , ta ®îc giao lµ tam gi¸c 123. Trªn h×nh chiÕu ®øng: c¸c c¹nh 1121,2131 thÊy, cßn c¹nh 1131 lµ khuÊt. H×nh chiÕu b»ng cã c¹nh 1222, 1232 lµ thÊy, cßn c¹nh 2232 lµ khuÊt.

5.3. Giao c ña mÆt ph¼ng víi mÆt c o ng

1. Giao c ña mÆt ph¼ng c hiÕu vµ mÆt c o ng .

- Giao cña mÆt ph¼ng chiÕu víi mÆt cong cã mét h×nh chiÕu suy biÕn trïng víi

h×nh chiÕu suy biÕn cña mÆt ph¼ng.

- Tõ h×nh chiÕu ®· biÕt t×m h×nh chiÕu cßn l¹i theo bµi to¸n vÏ ®iÓm thuéc mÆt

cong.:

- Tr×nh tù: + X¸c ®Þnh d¹ng cña giao tuyÕn.

+ T×m h×nh chiÕu cña mét sè ®iÓm cÇn thiÕt thuéc giao tuyÕn nh: C¸c ®iÓm giíi h¹n thÊy khuÊt (nÕu cã); ®iÓm cao nhÊt, thÊp nhÊt; ®iÓm xa nhÊt, gÇn nhÊt... C¸c ®iÓm x¸c ®Þnh d¹ng ®êng cong trªn h×nh chiÕu.

+ Nèi c¸c ®iÓm ®· t×m ®îc vµ xÐt thÊy khuÊt.

a 1

VÝ dô 1: vÏ giao cña mf chiÕu ®øng (a )

C1” D1

vµ mÆt nãn trßn xoay ®Ønh S.

NhËn xÐt: - MÆt ph¼ng(a ) c¾t tÊt c¶ c¸c ®êng sinh

cña nãn vµ kh«ng vu«ng gãc víi trôc nãn, vËy giao tuyÕn lµ ElÝp x

- H×nh chiÕu ®øng cña ElÝp suy biÕn thµnh ®o¹n th¼ng A1B1 n»m trªn a

- X¸c ®Þnh h×nh chiÕu b»ng cña giao lµ

mét elÝp:

+ Mét trôc cña elÝp lµ A2B2 . +Trôc thø 2 lµ C2D2- lµ ®êng th¼ng chiÕu ®øng ®i qua trung ®iÓm cña A2B2. §Ó x¸c ®Þnh C2 vµ D2, ta dïng mf phô trî lµ mf b»ng ®i qua C1 ” D1.

-Tõ hai trôc, vÏ ®îc elÝp h×nh chiÕu b»ng.

VÝ dô 2: VÏ giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng chiÕu ®øng (a ) vµ trô xiªn.

a 1

31” 61

NhËn xÐt: - MÆt ph¼ng(a ) c¾t trô theo giao

tuyÕn lµ ElÝp.

- H×nh chiÕu ®øng cña giao lµ ®o¹n

th¼ng: 1141,n»m trªn a

O'1 - X¸c ®Þnh h×nh chiÕu b»ng cña

giao:

+ X¸c ®Þnh h×nh chiÕu b»ng cña c¸c ®iÓm 1, 2, 3, 4, 5, 6

O'2

+ Víi 22, 52 lµ c¸c ®iÓm giíi h¹n thÊy khuÊt trªn h×nh chiÕu b»ng.

+Nèi c¸c ®iÓm t×m ®îc, ta ®îc elip h×nh chiÕu b»ng.

Gi¶i:

-Giao lµ ®êng trßn. -H/c b»ng suy biÕn thµnh ®o¹n

th¼ng n»m trªn a 2.

-H/c ®øng lµ elÝp cã c¸c ®iÓm ®Æc

biÖt

+ 21 vµ 61- lµ hai ®iÓm giíi h¹n thÊy

khuÊt

+1141 vµ 3151- lµ hai trôc cña elÝp.

22” 62

32” 52

a 2

O'2

2. Giao c ña mÆt ph¼ng bÊt kú vµ mÆt trô c hiÕu.

- Giao tuyÕn cã mét h×nh chiÕu ®· biÕt trïng víi h×nh chiÕu suy biÕn cña trô

chiÕu.

- Tõ h×nh chiÕu ®· biÕt t×m ®îc h×nh chiÕu cßn l¹i.(T¬ng tù trêng hîp trªn).

VÝ dô: VÏ giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng a (n a , m a ) vµ trô chiÕu b»ng.

Bµi gi¶i:

Chó ý: NÕu mÆt ph¼ng c¾t trô chiÕu theo giao tuyÕn lµ ElÝp th× trôc ng¾n vµ trôc dµi cña ElÝp h×nh chiÕu còng nh ElÝp giao tuyÕn n»m trªn c¸c ®êng nh sau:

vµ ®êng b»ng, nÕu trô lµ chiÕu - §êng dèc nhÊt cña mÆt ph¼ng ®èi víi P2

b»ng.

vµ ®êng mÆt, nÕu trô lµ chiÕu - §êng dèc nhÊt cña mÆt ph¼ng ®èi víi P1

®øng.

Ch-¬ng 6: giao ®iÓm c ña §-ê ng th¼ng víi c ¸c mÆt

6.1. Giao c ña ®-ê ng th¼ng víi ®a diÖn

§Þnh ng hÜa: Giao cña ®êng th¼ng víi ®a diÖn lµ tËp hîp c¸c ®iÓm chung cña ®êng th¼ng vµ mÆt ®a diÖn.

A – Tr-ê ng hîp ®Æc biÖt

Trêng hîp mµ mét h×nh chiÕu cña giao ®iÓm ®· biÕt, ¸p dông tÝnh liªn thuéc

cña c¸c yÕu tè h×nh häc t×m h×nh chiÕu cßn l¹i.

1. §-ê ng th¼ng c hiÕu c ¾t ®a diÖn.

- Mét h×nh chiÕu cña giao ®iÓm trïng víi h×nh chiÕu suy biÕn cña ®êng

th¼ng.

- H×nh chiÕu cßn l¹i ¸p dông tÝnh liªn thuéc cña ®iÓm thuéc ®a diÖn ®Ó t×m.

S1 VÝ dô: T×m giao ®iÓm cña ®êng

th¼ng chiÕu b»ng m víi mÆt chãp S.ABC.

Ta thÊy: - V× ®êng th¼ng m ^ ,nÕu I1 P2

gäi giao cña m víi chãp lµ I vµJ , th×: m2 I2 ” J 2 ”

J1 A1 B1

C1 C2 -G¾n I,J vµo c¸c ®êng sinh cña c¸c mÆt cña chãp, ta sÏ t×m ®îc c¸c h×nh chiÕu ®øng cña chóng.

m2” I2” J 2

-Khi xÐt thÊy khuÊt cña ®êng th¼ng cÇn chó ý: §o¹n th¼ng nèi hai giao ®iÓm lu«n khuÊt ;phÇn h×nh chiÕu cña ®êng th¼ng n»m ngoµi ®êng bao quanh h×nh chiÕu cña ®a diÖn th× lu«n thÊy; phÇn cßn l¹i cña ® êng th¼ng trªn mçi h×nh chiÕu ®Òu cã mét ®Çu mót lµ lµ mét giao ®iÓm cña ®êng th¼ng víi ®a diÖn. NÕu giao ®iÓm ®ã thuéc mÆt thÊy cña h×nh chiÕu ®a diÖn th× ®o¹n th¼ng ®ã thÊy trªn h×nh chiÕu ®ã, ngîc l¹i th× ®o¹n ®ã khuÊt.

2. §-ê ng th¼ng bÊt kú c ¾t l¨ng trô c hiÕu.

- Mét h×nh chiÕu cña giao ®iÓm ®· biÕt lµ giao ®iÓm gi÷a h×nh chiÕu suy biÕn

cña l¨ng trô chiÕu víi h×nh chiÕu t¬ng øng cña ®êng th¼ng.

- H×nh chiÕu cßn l¹i ¸p dông tÝnh liªn thuéc cña ®iÓm thuéc ®êng th¼ng ®Ó

t×m.

J2 c2

VÝ dô: T×m giao ®iÓm cña ®êng th¼ng m vµ l¨ng trô chiÕu b»ng.

B – Tr-ê ng hîp bÊt kú - §-ê ng th¼ng bÊt kú c ¾t ®a diÖn bÊt kú.

Trêng hîp nµy cha cã h×nh chiÕu nµo cña giao ®iÓm ®· biÕt ta ph¶i dïng ph

¬ng ph¸p mÆt ph¼ng phô trî.

* Né i dung :

Bíc 1: Qua ®êng th¼ng ®· cho dùng mÆt ph¼ng phô trî (s ) Bíc 2: T×m giao tuyÕn phô cña mÆt ph¼ng phô trî (s ) víi c¸c mÆt cña §a

diÖn.

Bíc 3 T×m giao cña ®êng th¼ng ®· cho vµ giao phô, ®îc giao ®iÓm cña ®

êng th¼ng vµ §a diÖn. * Chó ý:

+ MÆt ph¼ng phô trî (s ) ph¶i chän sao cho dÔ t×m giao phô nhÊt. + Thêng chän mÆt ph¼ng phô trî(s ) lµ c¸c mÆt ph¼ng chiÕu chøa ®êng th¼ng, mÆt ph¼ng ®i qua ®êng th¼ng vµ ®Ønh th¸p; mÆt ph¼ng ®i qua ® êng th¼ng vµ song song víi c¹nh l¨ng trô...

+ Sau khi x¸c ®Þnh ®îc giao ®iÓm th× ph¶i xÐt thÊy khuÊt c¸c h×nh chiÕu cña ®êng th¼ng.

VÝ dô: X¸c ®Þnh giao cña ®êng th¼ng m víi mÆt chãp S.ABC.

C¸ch gi¶i:

B1: Qua m dùng mÆt ph¼ng (s ) ^

P1 B2: T×m giao phô 123 = (s ) x S.ABC

B3: T×m I, J lµ giao cña m víi giao

phô 123

B4: XÐt thÊy khuÊt c¸c h×nh chiÕu

cña m.

6.2. Giao §iÓm c ña ®-ê ng th¼ng víi mÆt c o ng

§Þnh ng hÜa: Giao cña ®êng th¼ng víi mÆt cong lµ tËp hîp c¸c ®iÓm chung cña

®êng th¼ng vµ mÆt cong.

A – Tr-ê ng hîp ®Æc biÖt.

Trêng hîp nµy mét h×nh chiÕu cña giao ®iÓm ®· biÕt, ¸p dông tÝnh liªn thuéc

cña c¸c yÕu tè h×nh häc ®Ó t×m h×nh chiÕu cßn l¹i.Gåm c¸c trêng hîp sau:

1. §-ê ng th¼ng c hiÕu c ¾t mÆt c o ng .

- Mét h×nh chiÕu cña giao ®iÓm ®· biÕt trïng víi h×nh chiÕu suy biÕn cña ®êng th¼ng.

- H×nh chiÕu cßn l¹i ¸p dông tÝnh liªn thuéc cña ®iÓm thuéc mÆt cong ®Ó t×m.

VÝ dô: T×m giao ®iÓm cña ®êng

m2” I2” J 2

th¼ng chiÕu b»ng m víi mÆt trô.

2. §-ê ng th¼ng bÊt kú c ¾t mÆt trô c hiÕu.

- Mét h×nh chiÕu cña giao ®· biÕt lµ giao gi÷a h×nh chiÕu suy biÕn cña mÆt trô

chiÕu víi h×nh chiÕu t¬ng øng cña ®êng th¼ng.

- H×nh chiÕu cßn l¹i ¸p dông tÝnh liªn thuéc cña ®iÓm vµ ®êng th¼ng ®Ó t×m.

VÝ dô: T×m giao cña ®êng th¼ng m vµ mÆt trô chiÕu b»ng.

B – Tr-ê ng hîp tæ ng qu¸t - §-ê ng th¼ng bÊt kú c ¾t mÆt c o ng .

Trêng hîp nµy cha cã h×nh chiÕu nµo cña giao ®· biÕt, v× vËy ph¶i dïng ph ¬ng ph¸p mÆt ph¼ng phô trî- t¬ng tù c¸ch x¸c ®Þnh giao ®iÓm cña ®êng th¼ng víi ®a diÖn.

Chó ý:

- MÆt ph¼ng phô trî (s ) ph¶i chän sao cho giao tuyÕn phô cña mÆt ph¼ng phô trî víi mÆt cong cã h×nh chiÕu lµ ®êng th¼ng hoÆc ®êng trßn. - NÕu mÆt cong lµ mÆt nãn, th× mÆt ph¼ng phô trî(s ) chøa ®Ønh nãn vµ ® êng th¼ng. - NÕu mÆt cong lµ mÆt trô, th× mÆt ph¼ng phô trî(s ) chøa ®êng th¼ng vµ song song víi ®êng sinh trô.

- NÕu mÆt cong lµ mÆt cÇu, th×:

+ NÕu ®êng th¼ng ®· cho lµ ®êng b»ng hay ®êng mÆt, th× mÆt ph¼ng phô trî (s ) lµ mÆt ph¼ng b»ng hay mÆt ph¼ng mÆt.

+ NÕu ®êng th¼ng lµ bÊt kú, th× dïng ph¬ng ph¸p biÕn ®æi h×nh chiÕu.

J 1

J 2

VÝ dô: T×m giao cña ®êng th¼ng m vµ mÆt nãn.

Ch-¬ng 7: g iao c ña hai mÆt

§Þnh ng hÜa: Giao cña hai mÆt ˘ vµ y lµ tËp hîp c¸c ®iÓm cïng thuéc mÆt ˘ vµ

mÆt y .

7.1. g iao c ña hai ®a diÖn

7.1.1. D¹ng c ña g iao .

- Giao cña hai ®a diÖn lµ mét hay

2 nhiÒu ®êng gÉy khóc khÐp kÝn gåm c¸c ®o¹n th¼ng nèi tiÕp nhau.

5 - Mçi ®Ønh cña giao lµ giao ®iÓm cña mét c¹nh nµo ®ã cña ®a diÖn nµy víi mét mÆt cña ®a diÖn kia.

4 6 - Mçi c¹nh cña giao lµ giao tuyÕn cña hai mÆt t¬ng øng cña hai ®a diÖn. 3

NhËn xÐt:

-Trêng hîp ®Çu, ta thÊy mçi ®a diÖn ®Òu cã Ýt nhÊt mét c¹nh kh«ng giao víi ®a diÖn kia- Gäi lµ c¾t nhau kh«ng hoµn toµn, giao cña chóng th êng lµ mét ®êng g·y khóc khÐp kÝn.

-Trêng hîp sau, tÊt c¶ c¸c

c¹nh( d,e,f) cña l¨ng trô xiªn ®Òu c¾t ®a diÖn kia-Gäi lµ c¾t nhau hoµn toµn, giao th êng lµ hai ®êng g·y khóc khÐp kÝn.

7.1.2. ph-¬ng ph¸p t×m g iao .

- §Ó t×m giao cña hai ®a diÖn ta cã thÓ:

+ X¸c ®Þnh c¹nh cña giao b»ng c¸ch t×m giao cña tõng mÆt cña §a diÖn nµy víi §a diÖn kia. C¸ch nµy thêng khã, nªn Ýt dïng.

+ X¸c ®Þnh c¸c ®Ønh cña giao b»ng c¸ch t×m giao cña c¸c c¹nh cña §a diÖn nµy víi §a diÖn kia, råi nèi chóng víi nhau b»ng c¸c ®o¹n th¼ng.

- Tr-ê ng hîp ®Æc bÞªt: (Mét §a diÖn lµ l¨ng trô chiÕu, mét §a diÖn lµ bÊt kú)

Trêng hîp nµy mét h×nh chiÕu cña giao dÔ dµng t×m ®îc, h×nh chiÕu cßn l¹i t×m ®îc b»ng c¸ch ¸p dông tÝnh liªn thuéc cña c¸c yÕu tè h×nh häc.

- Tr-ê ng hîp bÊt kú: (Hai ®a diÖn lµ bÊt kú)

§Ó t×m c¸c ®Ønh vµ c¸c c¹nh cña giao ph¶i dïng ph¬ng ph¸p phô trî.

* Ng uyªn t¾c nè i g iao :

- ChØ hai ®Ønh cïng thuéc mét mÆt cña ®a diÖn nµy ®ång thêi thuéc cïng mét mÆt cña ®a diÖn kia th× nèi ®îc víi nhau thµnh c¹nh cña giao.

* Ng uyªn t¾c xÐt thÊy khuÊt:

Trªn mçi h×nh chiÕu, c¹nh nµo cña giao thuéc hai mÆt cïng thÊy cña hai ®a

diÖn trªn h×nh chiÕu ®ã th× thÊy,cßn l¹i lµ khuÊt.

VÝ dô 1: VÏ giao cña hai ®a diÖn abc vµ def.

NhËn xÐt:

- Hai ®a diÖn c¾t nhau theo giao tuyÕn lµ 1 ®êng gÉy khóc.

-L¨ng trô a,b,c ^ , vËy h×nh

P2 chiÕu b»ng cña giao suy biÕn ,n»m trªn hc suy biÕn cña l¨ng trô nµy.

+T×m giao cña c¸c c¹nh cña l¨ng

trô( abc) víi l¨ng trô xiªn:

b2)

a2 f2 e2

C¸c c¹nh a,c kh«ng c¾t C¹nh b x (de) = 2 cã (22 ” C¹nh b x (df) = 5 cã (52 ” b2)

+T×m giao cña c¸c c¹nh l¨ng trô def

” ” víi l¨ng trô ®øng:

C¹nh d- kh«ng c¾t

C¹nh e x (ab) = 1, e x (bc) = 3

C¹nh f x (ab) = 6, f x (bc) = 4

+Nèi c¸c ®Ønh víi nhau b»ng c¸c ®o¹n th¼ng:

12 = ab x de 23 = bc x de 34 = bc x ef

45 = bc x df 56 = ab x df 61 = ab x ef

-Chó ý khi nèi ph¶i x¸c ®Þnh thÊy khuÊt cña c¸c c¹nh giao tuyÕn trªn c¸c h×nh chiÕu.

+ Cuèi cïng ph¶i xÐt thÊy khuÊt c¸c c¹nh cña hai ®a diÖn trªn tõng h×nh chiÕu do sù

che khuÊt lÉn nhau cña chóng. c1 a1

a2 f2 e2

Cã thÓ dïng h×nh khai triÓn c¸c mÆt cña hai ®a diÖn ®Ó nèi c¸c ®Ønh cña giao: ” ”

-Hai ®Ønh trªn mét « nèi víi nhau.

-C¹nh thuéc c¶ hai mÆt thÊy th× thÊy.

VÝ dô 2: VÏ giao cña chãp S.ABCD víi l¨ng trô chiÕu ®øng abc.

” 9 1” 1 0 1

-NhËn xÐt: TÊt c¶ c¸c c¹nh bªn cña chãp ®Òu c¾t l¨ng trô, vËy giao lµ 2 ®êng khÐp kÝn. -Sau khi x¸c ®Þnh c¸c ®Ønh cña giao, ta cã thÓ dïng h×nh khai triÓn mÆt xung quanh cña hai ®a diÖn ®Ó nèi c¸c ®Ønh cña giao víi nhau vµ xÐt thÊy khuÊt cña giao tuyÕn ®ã nh h×nh díi ®©y:

+ 22

32 52

102

D2 +

7.2 Giao c ña ®a diÖn víi mÆt c o ng .

7.2.1 D¹ng cña giao

- Giao cña ®a diÖn víi mÆt cong lµ mét hay nhiÒu ®êng khÐp kÝn gåm c¸c ®o¹n ®êng cong nèi tiÕp nhau.

- Cã c¸c ®iÓm gÉy khóc lµ giao ®iÓm cña c¸c c¹nh ®a diÖn víi mÆt cong.

- Cßn c¸c ®o¹n ®êng cong cña giao lµ giao cña c¸c mÆt cña ®a diÖn víi mÆt cong.

7.2.2 C¸ch t×m giao

- §Ó t×m giao cña §a diÖn víi mÆt cong ta lÇn lît t×m giao cña tõng mÆt cña §a

diÖn víi mÆt cong.

- Nguyªn t¾c xÐt thÊy khuÊt:

Trªn mçi h×nh chiÕu, phÇn ®êng cong nµo cña giao thuéc c¶ 2 mÆt cïng thÊy cña ®a diÖn vµ mÆt cong trªn h×nh chiÕu ®ã th× thÊy, cßn l¹i lµ khuÊt.

51 ”

71 ”

VÝ dô 1: VÏ giao cña l¨ng trô chiÕu ®øng ( abc)víi mÆt cÇu.

Gi¶i: -Cã hai mÆt ab vµ bc cña l¨ng trô c¾t mÆt cÇu, h×nh chiÕu ®øng cña giao suy biÕn thµnh c¸c ®o¹n th¼ng b111 vµ b141.

21 ”

”

-H×nh chiÕu b»ng lµ cung trßn 221232 vµ cung elÝp 224232.

” 71” 81

VÝ dô 2: VÏ giao cña l¨ng trô ( abc) vµ nãn ®øng. b1

Bµi gi¶i:

NhËn xÐt:

” 11” 21

a1 MÆt bªn (ac) x nãn = §êng trßn.

MÆt bªn (ab) x nãn = Parabol.

MÆt bªn (bc) x nãn = ElÝp.

Mp ®¸y trªn (abc) x nãn = Hypebol

C¹nh a x nãn = hai ®iÓm 1, 2.

C¹nh díi cña ®¸y trªn x nãn = hai ®iÓm 4, 5.

92 32

C¹nh b x nãn = hai ®iÓm 7, 8.

7.3. Giao c ña hai mÆt c o ng .

7.3.1. D¹ng c ña g iao .

- Giao cña hai mÆt cong nãi chung lµ mét hay nhiÒu ®êng cong ghÒnh. Trong mét sè trêng hîp giao cã thÓ lµ c¸c ®êng cong ph¼ng.

7.3.2 C¸c h t×m g iao

* Ng uyªn t¾c c hung :

§Ó vÏ giao cña 2 mÆt cong F vµ Y ta lµm nh sau:

- Dùng mÆt phô trî (s ) c¾t c¶ hai mÆt F

- T×m c¸c giao phô c = (s ) x F vµ Y , g = (s ) x Y

- T×m giao ®iÓm cña c vµ g lµ nh÷ng ®iÓm thuéc giao cña 2 mÆt ®· cho.

* Chó ý: - Khi chän mÆt phô trî (s ) ph¶i chän sao cho viÖc t×m giao phô ®îc dÔ dµng, th

êng chän (s ) lµ mÆt ph¼ng.

- Trêng hîp ®Æc biÖt :

Khi ®· biÕt 1 h×nh chiÕu cña giao, ®Ó vÏ h×nh chiÕu cßn l¹i ta tiÕn hµnh nh sau:

+ X¸c ®Þnh mét sè ®iÓm ®Æc biÖt vµ c¸c ®iÓm giíi h¹n thÊy khuÊt cña giao

+ C¨n cø vµo d¹ng cña giao ®Ó nèi c¸c ®iÓm võa t×m ®îc víi nhau.

+ Nãi chung sè ®iÓm t×m ®îc cµng nhiÒu th× giao vÏ cµng chÝnh x¸c.

+ XÐt thÊy khuÊt c¸c h×nh chiÕu cña giao vµ cña hai mÆt .

11” 21

51” 61

31” 41

71” 81

S1 VÝ dô : VÏ giao cña mÆt trô vµ mÆt nãn.

7.3.3 Trêng hîp hai mÆt bËc hai c¾t nhau theo hai ®êng bËc hai

1- NÕu hai mÆt bËc hai ®· c¾t nhau theo mét ®êng bËc hai , th× chóng cßn c¾t nhau theo mét ®êng bËc hai n÷a.

º C1 D1

2-NÕu hai mÆt bËc hai cïng néi hay ngo¹i tiÕp víi mét mÆt bËc hai thø ba, th× chóng c¾t nhau theo hai ®êng cong ph¼ng. C¸c ®êng cong nµy ®i qua giao ®iÓm cña c¸c ®êng tiÕp xóc.

C1 D1

”

7.2.5 hai mÆt bËc hai cã mÆt ph¼ng ®èi xøng chung

C1 E1

§Þnh lý: NÕu hai mÆt bËc hai cã mÆt ph¼ng ®èi xøng chung th× giao cña chóng chiÕu lªn mÆt ph¼ng ®èi xøng chung ®ã nãi chung lµ ®êng cong bËc hai.

”