Bài giảng Lý thuyết mạch điện 2: Chương 2.1 - TS. Trần Thị Thảo

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Lý thuyết mạch điện 2: Chương 2.1 - Phương pháp tích phân kinh điển" được biên soạn với các nội dung chính sau đây: Lập phương trình đặc trưng và số mũ đặc trưng; Xác định các hằng số tích phân; Giải mạch bằng phương pháp tích phân kinh điển. Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng tại đây!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết mạch điện 2: Chương 2.1 - TS. Trần Thị Thảo

Chương 2: Các phương pháp tính quá trình quá độ trong mạch điện tuyến tính ➢ Phương pháp tích phân kinh điển ▪ Lập phương trình đặc trưng và số mũ đặc trưng ▪ Xác định các hằng số tích phân ▪ Giải mạch bằng phương pháp tích phân kinh điển ➢ Phương pháp toán tử Laplace ▪ Khái quát ▪ Phép biến đổi Laplace và tính chất ▪ Tìm gốc từ ảnh Laplace ▪ Ứng dụng phép biến đổi Laplace giải mạch điện 1
Phương pháp tích phân kinh điển ▪ Nghiệm quá độ: xếp chồng nghiệm xác lập và nghiệm tự do: xqd (t ) = xxl (t ) + xtd (t ) • Nghiệm xác lập : Nghiệm xác lập được tìm ở chế độ mới (sau khi đóng, cắt, chuyển mạch khóa K). Nghiệm xác lập được nguồn (kích thích) của mạch duy trì. Quy luật biến thiên của nó đặc trưng cho quy luật biến thiên của nguồn. Nghiệm xác lập là nghiệm riêng của phương trình vi phân có vế phải là kích thích của mạch. Ta đã biết cách tính nghiệm xác lập khi kích thích của mạch là nguồn hằng, nguồn điều hòa, hay nguồn chu kỳ. • Nghiệm tự do: Không được nguồn duy trì. Nghiệm tự do tồn tại trong mạch là do quá trình đóng cắt, chuyển mạch khóa K làm thay đổi kết cấu hay thông số của mạch. Nghiệm tự do là nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất (phương trình vi phân có vế phải bằng 0) 2
Tích phân kinh điển – Các bước thực hiện ➢ Tìm nghiệm xác lập - Sử dụng các phương pháp giải mạch xác lập tuyến tính đối với mạch mới bằng các phương pháp đã học ➢ Tìm biểu diễn của nghiệm tự do - Lập phương trình đặc trưng của mạch - Giải phương trình đặc trưng, biểu diễn dạng nghiệm tự do ➢ Biểu diễn dạng nghiệm quá độ=nghiệm xác lập + nghiệm tự do (còn chứa các hằng số tích phân) ➢ Tính sơ kiện. Tính các hằng số tích phân dựa vào sơ kiện tìm được ➢ Tìm được nghiệm quá độ 3
Phương trình đặc trưng ❖ Lập phương trình đặc trưng (hai cách) Cách 1: Đại số hóa phương trình thuần nhất: -Lập (hệ) phương trình vi tích phân của mạch ở chế độ mới. - Loại bỏ các nguồn kích thích, thu được phương trình vi phân thuần nhất. -Thay thế: d 1 ()  p()  ()dt  () dt p K R i (t ) u R (t ) + uC (t ) = 0 1 C  Ri + idt = 0 e C uC (t ) 1  1   Ri + i = 0  R+ i = 0 pC  pC  1 −1 →R+ =0 → p= pC RC 4
Lập phương trình đặc trưng- cách 1 i1 L1  i3 i − i − i = 0 i1 − i2 − i3 = 0 i2 1 2 3  R3  di1 1  1  R1i1 + L1 +  i2 dt = 0 E   R1i1 + L1 pi1 + i2 = 0 C2  dt C2  C 2 p R1 R4 K  di  R1i1 + L1 pi1 + R3i3 = 0  R1i1 + L1 1 + R3i3 = 0  dt i1 − i2 − i3 = 0 i1 L1   1 i2 i3  ( R1 + L1 p ) i1 + i2 + 0i3 = 0  C2 p E R3 ( R + L p ) i + 0i + R i = 0  1 1 1 2 33 C2 R1 1 −1 −1    i1  0  →  R1 + L1 p 0  i2  = 0  1  C2 p    i3  0   R1 + L1 p 0 R3  1 −1 −1 1  R1 + L1 p 0 =0 C2 p R1 + L1 p 0 R3  R3 L1C2 p 2 + ( R1R3C2 + L1 ) p + ( R1 + R3 ) = 0 5
Lập phương trình đặc trưng- cách 2 Cách 2: Đại số hóa mạch điện: - Phương trình mạch điện có dạng phương trình vi phân là vì trong mạch điện tồn tại các phần tử có quán tính L (quán tính từ trường), C (quán tính điện trường). - Có thể lập phương trình đặc trưng trực tiếp mạch điện (đã triệt tiêu nguồn) ở chế độ xác lập mới bằng cách đại số hóa mạch điện: L ↔ pL ; C ↔ 1/pC. -Tính tổng trở vào hoặc tổng dẫn vào của một nhánh bất kỳ và cho bằng 0. K R i (t ) K R i 1 Z = R+ pC 1 e C 1 uC (t ) pC Z =0 R+ =0 pC −1  p= RC 6
Lập phương trình đặc trưng- cách 2 - Có thể lập phương trình đặc trưng trực tiếp mạch điện (đã triệt tiêu nguồn) ở chế độ xác lập mới bằng cách đại số hóa mạch điện: L ↔ pL ; C ↔ 1/pC. -Tính tổng trở vào hoặc tổng dẫn vào của một nhánh bất kỳ và cho bằng 0. i1 L1 L1 p i1 i2 i3 i2 i3 E R3 R3 C2 1 R1 R4 C2 p K R1 Tổng trở vào nhánh bất kỳ (ví dụ nhánh 1), và đặt bằng 0  1  Z v = ( R1 + L1 p ) +  R3 || =0  C 2  p  R3 L1C2 p 2 + ( R1R3C2 + L1 ) p + ( R1 + R3 ) = 0 7
Giải phương trình đặc trưng ap 2 + bp + c = 0 ❖ Giải phương trình đặc trưng (PTĐT)  = b 2 − 4ac ➢ PTĐT có nghiệm thực phân biệt p1, p2 + 0 xtd (t ) = A1e p1t + A2e p2t −b +  −b −  p1 = ; p2 = 2a 2a ➢ PTĐT có nghiệm phức p1,2 = −  j xtd (t ) = Ae − t sin (t +  ) ➢ PTĐT có nghiệm kép + =0 p1 = p2 =  −b p1 = p2 = xtd (t ) = ( A1 + A2t ) e t 2a 8
ap 2 + bp + c = 0 Giải phương trình đặc trưng  = b 2 − 4ac −b +  −b −  p1 = ; p2 = ❖ Ví dụ nghiệm phân biệt 2a 2a p 2 + 500 p + 50000 = 0  p1 = −138,1966   p2 = −361,8034 → itd (t ) = A1e −138,1966t + A2e −361,8034t ➢ Cần tính các hằng số tích phân A1, A2 9
Tính hằng số tích phân ❖ Tính các hằng số tích phân • Xét mạch ở chế độ cũ, tính các sơ kiện độc lập tại t = - 0 (ví dụ uc(-0), iL(-0) ) • Áp dụng luật đóng mở tính giá trị sơ kiện độc lập tại t = + 0 (ví dụ uc(+0), iL(+0) ) • Lập phương trình mạch ở chế độ mới. Tại t = + 0 thay các sơ kiện độc lập để tính các sơ kiện phụ thuộc khác. Nếu cần thì đạo hàm cả hai vế của hệ phương trình mạch đến cấp cần thiết để tính các sơ kiện phụ thuộc khác. ❖ Tổng hợp kết quả của nghiệm quá độ, vẽ dáng điệu nghiệm (nếu cần thiết) 10
Phương pháp tích phân kinh điển ❖ Ví dụ 1: mạch RC, e=E0 một chiều K R i (t ) Tìm nghiệm quá độ uC(t), i(t) sau khi đóng khóa K: e C ❑ Ở chế độ xác lập cũ (khóa K mở): uC (t ) chỉ tính cho phần tử có quán tính (L, C): uC (−0) = 0 ❑ Ở chế độ mới (khóa K đóng): uC (t ) = uCxl (t ) + uCtd (t ) i (t ) = ixl (t ) + itd (t ) ▪ Nghiệm xác lập: uCxl (t ) = E0 ; ixl (t ) = 0 (ở chế độ xác lập với nguồn một chiều, tụ coi như hở mạch) ▪ Nghiệm tự do: • Phương trình đặc trưng: mạch sau khi xảy ra quá độ, ngắt bỏ nguồn 1 K R C i u R (t ) + uC (t ) = 0  Ri + idt = 0 1 −1  Ri + i = 0  RCp + 1 = 0  p = 1 pC RC pC −1 t → Dạng nghiệm tự do: uCtd (t ) = A1e RC −1 itd (t ) = A2 e RC t 11
K R i (t ) Phương pháp tích phân kinh điểne C uC (t ) ▪ Sơ kiện: Sơ kiện cho uC cần tìm uC(+0) để tính A1 Sơ kiện cho i cần tìm i(+0) để tính A2 • Theo luật đóng/mở: uC (+0) = uC (−0)  uC (+0) = 0V • Phương trình vi tích phân ở chế độ mới: u R (t ) + uC (t ) = E  Ri (t ) + uC (t ) = E E0 − uC (+0) E0 Ri (+0) + uC (+0) = E0  i (+0) = = R 1 R − t ▪ Nghiệm quá độ: uC (t ) = uCxl (t ) + uCtd (t ) = E0 + A1e RC Tại t=0 (t=+0): 1 − t i (t ) = ixl (t ) + itd (t ) = 0 + A2 e RC 1 − *0 uC (0) = E0 + A1e RC  A1 = − E0 −1  −1  t E0 RC t − 1 *0 E0 Nghiệm: uC (t ) = E0 1 − e  RC i(t ) = e i (t ) = 0 + A2e RC  A2 =   R R   Thay số với: E0 = 20V; R = 1; C = 0,5F ( ) uC (t ) = 20 1 − e −2t V; i (t ) = 20e −2t A i = iC = CuC = 0,5. ( −20 )( −2 ) e −2t = 20e −2t A 12
K R i (t )  −1  e C uC (t ) t uC (t ) = E0 1 − e  RC     −1 E0 RC t i(t ) = e R 13
Phương pháp tích phân kinh điển e(t ) = E0 sin (t + 0 ) ❖ Ví dụ 2: mạch RC với nguồn xoay chiều K R i (t ) Tìm nghiệm quá độ uC(t), i(t) sau khi đóng khóa K: ❑ Ở chế độ xác lập cũ (khóa K mở): e C uC (t ) chỉ tính cho phần tử có quán tính (L, C): uC (−0) = 0 ❑ Ở chế độ mới (khóa K đóng): uC (t ) = uCxl (t ) + uCtd (t ) ▪ Nghiệm xác lập: dùng ảnh phức: i (t ) = ixl (t ) + itd (t ) ixl (t ) = I o sin (t + i ) E 1 I= ;U C = I R+ 1 jC jC −1  uCxl (t ) = U Co sin (t + c ) ; t itd (t ) = A2 e RC −1 t ▪ Dạng nghiệm tự do: uCtd (t ) = A1e RC ▪ Sơ kiện: uC (+0) = uC (−0)  uC (+0) = 0V • Phương trình vi phân ở chế độ mới: u R (t ) + uC (t ) = e  Ri (t ) + uC (t ) = e Tại t=0: E0 sin (0 ) − uC (+0) E0 sin (0 ) Ri (+0) + uC (+0) = E0 sin (0 )  i (+0) = = 14 R R
Phương pháp tích phân kinh điển K R i (t ) ▪ Nghiệm quá độ: e C uC (t ) 1 − t uC (t ) = uCxl (t ) + uCtd (t ) = U Co sin (t + c ) + A1e RC 1 − t i (t ) = ixl (t ) + itd (t ) = I o sin (t + i ) + A2e RC Tại t=0 (t=+0): 1 − *0 uC (0) = U Co sin (c ) + A1e RC  A1 1 − *0 i (0) = I o sin (i ) + A2e RC  A2 15
Phương pháp tích phân kinh điển ❖ Ví dụ 3: mạch RL, E=E0 K R iL (t ) Tìm nghiệm quá độ iL(t) sau khi đóng khóa K: E L ❑ Ở chế độ xác lập cũ (khóa K mở): chỉ tính cho phần tử có quán tính (L, C): iL (−0) = 0 ❑ Ở chế độ mới (khóa K đóng): iL (t ) = iLxl (t ) + iLtd (t ) E0 ▪ Nghiệm xác lập: iLxl (t ) = R ▪ Nghiệm tự do: • Phương trình đặc trưng: mạch sau khi xảy ra quá độ, ngắt bỏ nguồn K R u R (t ) + u L (t ) = 0  RiL + L diL =0 iL dt L R E Lp  RiL + pLiL = 0  p +1 = 0  p = − R L R − t → Dạng nghiệm tự do: iLtd (t ) = Ae L 16
Phương pháp tích phân kinh điển K R iL (t ) Dạng nghiệm tự do: R − t iLtd (t ) = Ae L E L ▪ Sơ kiện: Sơ kiện cho iL cần tìm iL(+0) để tính A • Sơ kiện ở chế độ cũ (khóa K mở): iL (−0) = 0 A • Theo luật đóng/mở: iL (+0) = iL (−0)  iL (+0) = 0 A R E − t ▪ Nghiệm quá độ: iL (t ) = iLxl (t ) + iLtd (t ) = 0 + Ae L R R E − *0 E E Tại t=0: iL (0) = 0 + Ae L  0 + A = 0  A = − 0 R R R E0  − t R  iL (t ) = 1 − e L  R    17
Phương pháp tích phân kinh điển i1 L1 ❖ Ví dụ 4 : Mạch nhiều nhánh (cấp 2) i2 i3 R3 E0 = 10V; R1 = 40; E C2 L1 = 0,1H; C2 = 0,001F; R1 R4 K R3 = 10; R4 = 50; Tính dòng i3 sau khi đóng khóa K? i1 L1 i2 i3 E R3 ❑ Ở chế độ xác lập cũ (khóa K mở): C2 R1 R4 K Nghiệm ở chế độ cũ (xác lập một chiều):  E0 E0 i1 = R + R + R  iL ( −0 ) = i1 ( −0 ) = R + R + R = 0,1A  1 3 4 1 3 4  u = ( R + R )i  u ( −0 ) = ( R3 + R4 ) E0 = 6V  C 3 4 1 C R1 + R3 + R4 18
L1 ❑ Ở chế độ mới (khóa K đóng): i1 i2 i3 E R3 C2 ▪ Nghiệm xác lập (chế độ mới): R1 R4 K E0 i3 xl (t ) = = 0,2A R1 + R3 ▪ Nghiệm tự do: i1 L1 p Tìm phương trình đặc trưng: i3 i2 R3 Tổng trở vào nhánh bất kỳ (ví dụ nhánh 1), 1 C2 p R1 và đặt bằng 0  1  Z v = ( R1 + L1 p ) +  R3 || =0  C 2  p  R3 L1C2 p 2 + ( R1R3C2 + L1 ) p + ( R1 + R3 ) = 0  p 2 + 500 p + 50000 = 0  p1 = −138,1966; p2 = −361,8034 19
Phương pháp tích phân kinh điển i1 L1 p1 = −138,1966; p2 = −361,8034 i2 i3 E R3 - Dạng nghiệm tự do: i3td (t ) = A1e −138,1966t + A2e −361,8034t C2 R1 R4 K Cần tìm hai hằng số tích phân: A1, A2 từ sơ kiện Sơ kiện cho i3 cần tìm i3 (+0), i’3(+0) để tính hai hằng số tích phân - Theo định luật đóng mở: uC (+0) = uC (−0) = 6V iL (+0) = iL (−0) = 0,1A Hệ phương trình vi tích phân ở chế độ mới và xét tại t=0: i1 − i2 − i3 = 0 i1 ( +0 ) − i2 ( +0 ) − i3 ( +0 ) = 0    R1i1 + L1i1 + uC = E0   R1i1 ( +0 ) + L1i1 ( +0 ) + uC ( +0 ) = E0  i3 ( +0 ) , i2 ( +0 ) = i1 ( +0 ) − i3 ( +0 ) u − R i = 0  i2 ( +0 )  C 33 uC ( +0 ) − R3i3 ( +0 ) = 0  uC ( +0 ) = C2 Cần tìm i’3(+0) → Đạo hàm hai vế của phương trình vi tích phân và xét tại t=0 uC − R3i3 = 0  uC ( +0 ) − R3i3 ( +0 ) = 0  i3 ( +0 ) = −50A/s 20