1
Phương pháp tích phân kinh điển
Lập phương trình đặc trưng số đặc trưng
Xác định các hằng số tích phân
Giải mạch bằng phương pháp tích phân kinh điển
Chương 2:
Các phương pháp tính quá trình quá độ
trong mạch điện tuyến tính
Phương pháp toán tử Laplace
Khái quát
Phép biến đổi Laplace tính chất
Tìm gốc từ ảnh Laplace
Ứng dụng phép biến đổi Laplace giải mạch điện
2
Biến đổi Laplace
Biến đổi Laplace của hàm f(t):
Lưu ý: nhiều tài liệu hiệu s thay p
Một số biến đổi Laplace bản
0
)
((
) ( ) . pt
ft
f t F p e dt
==
0
0 0 0
00
00
1 1 1
( ) = ( ) ( ) . (0) (1)
pt pt F
f t F const f t F p e dt F e F F
pp
Fpp
−−

= = = = = + =


( )
0
00
0
00
1
( ) ( ) ( ) . pa
tt
a pt
atF
f t F e f t F p e dt F e pa
Fpa
e
−+
−−

= = = = =

++

Phương pháp toán tử Laplace
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) .
( ) 1
pt
f t t f t F p te dt e
−−
= = = = =
Hàm đơn vị 1(t):
Hàm Dirac (t):
0
0
1 1 1
( ) 1( ) ( ) ( ) . 1
1( (0) (1)
)pt pt
f t t f t F p e dt
te
p p p p
−−
= = = = = + =
Một số hàm khác:
22
cos .1( ) ( ) p
t t F p p
==
+
22
sin .1( ) ( )t t F p p
==
+
p
Toán tử Laplace:
3
Biến đổi Laplace
Tuyến tính dụ:
Đồng dạng: dụ:
Tính trễ:
( ).1( ) ( )
( ).1( ) ( )
-ap
f t t F p
f t a t a e F p
=
=
()
00
( ).1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
pt p x a ap px ap
a
f t a t f t a e dt f x e dx e f x e dx e F p
+
−−
= = = =
Dịch ảnh:
( ).1( ) ( )
at
e f t t F p a
=+
()
00
( ).1( ) ( ) ( ) ( )
at at pt p a t
e f t t e f t e dt f t e dt F p a

+
= = = +

Ảnh đạo hàm gốc:
Tính chất của biến đổi Laplace
Chứng minh: đặt: x=t-a dx=dt, t=x+a
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )a f t a f t a F p a F p+ = +
( )
22
1 1 1
cos t.1(t) 2 2 2
111
2
j t j t jttj
e
pj
pj
eee
p
p


= + = +




= + =

++

1
( ) ( )
p
f at F
aa
=
2
( ) ( ) ( 0) ; ( ) ( ) ( 0) ( 0)f t pF p f f t p F p pf f
= =
Chứng minh:
4
Bảng biến đổi Laplace
dụ
5
Biến đổi ngược Laplace (1)
11
( ) ( ) ( ) ( )
2
jpt
j
F p F p f t F p e dt
j


+
= =
Biến đổi ngược Laplace
Tìm gốc thời gian từ ảnh Laplace: Dùng bảng ảnh-gốc hoặc theo phương
pháp Heaviside:
Thực tế ít dùng công thức này (yêu cầu hội tụ,…).
1
1 1 0
1
1 1 0
()
() ()
mm
mm
nn
nn
a p a p a p a
Np
Fp Dp b p b p b p b
+ + + +
==+ + + +
Lưu ý: chỉ xét cho phân thức hữu tỉ
này khi m
n
Với m
n, cần chia đa thức để được
dạng trên.
Đưa về dạng bn=1 để tiện tính toán
Tìm nghiệm của đa thức mẫu số:
( ) 0 i
D p p
=
Nếu pi các nghiệm đơn, riêng biệt:
12
12
() n
pt
p t p t
n
f t k e k e k e
−−
= +
12
1 2 1 2
()
( ) ;
( )( ) ()
()(
)i
ii
p
n
nn
p
k
N p k k
Fp p p p p p p p p p p p p k p p F p =−
= = + +
+ + + + + =+
+
dụ:
()
() i
i
pp
Np
kDp =−
=
thể tính theo công thức:
1
1
12
1 1 1 1
2
()
()
( ) ( ) ( ) ( )
n
pp
n
p p k
p p k
p p F p k k p p F p
p p p p =−
+
+
+ = + + = +
++