Bài giảng Lý thuyết thông tin Bùi Văn Thành: Chương 0

ườ ệ ạ ọ Tr ng Đ i H c Công Ngh Thông Tin

Ề Ạ KHOA M NG & TRUY N THÔNG

Ế LÝ THUY T THÔNG TINBùi Văn Thành

thanhbv@uit.edu.vn

Tháng 7 năm 2013

ươ

Ch

ng 0

XÁC SuẤT MA TRẬN

Ấ

XÁC SU T (Probability)

Ệ

Ế

Ẫ

ẫ

ệ ẫ

ả

ệ ư

ộ ẽ ả

ệ ắ ậ

ậ

ả

ặ ế ượ t đ c các h u qu có

t ch c h u qu nào s x y ra. Nh ng bi

ệ

ắ

ẫ

ộ

ẽ

ệ

ấ

ườ

ả

ặ

ợ

ắ ng h p x y ra (xúc s c có 6 m t 1, 2, 3,

ặ ắ c có 6 tr

ế ế ượ t đ

ắ ồ

ặ ề

ấ ể

ể

ấ

ệ ệ

ắ

ặ

ố

ị

1.1. THÍ NGHI M NG U NHIÊN, KHÔNG GIAN M U, BI N C : Ố 1.1.1. Thí nghi m ng u nhiên (Random Experiment) Thí nghi m ng u nhiên là m t thí nghi m có hai đ c tính : Không ế bi ể ả th x y ra Ví d : ụ ộ Tung m t con xúc s c là m t thí nghi m ng u nhiên vì : t ch c m t nào s xu t hi n Ta không bi ư Nh ng bi 4, 5, 6) Ràng bu c:ộ ư Con xúc s c đ ng ch t đ 6 m t đ u có th xu t hi n nh nhau. Cách tung xúc s c không c ý thiên v cho m t nào hi n ra.

ợ

ậ

ệ

ẫ

ọ

ể ả ệ

ậ ẫ ủ

ẫ ủ

ắ

ả

ộ

ẫ ủ

ệ

ả

ộ

ồ

ử

ấ

ớ

ẫ 1.1.2. Không gian m u (Sample Space) ả T p h p các h u qu có th x y ra trong thí nghi m ng u nhiên g i là không gian m u c a thí nghi m đó. ệ Ví d : ụ Không gian m u c a thí nghi m th y m t con xúc x c là: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Không gian m u c a thí nghi m th y cùng m t lúc hai đ ng xu là: E = {SS, SN, NS, NN} v i S: S p, N: Ng a

ủ

ế ố

ộ

ẫ ế ố ơ ẳ

ộ

ệ

ắ

ế ố

ả ẵ

ặ

ặ ẻ

: {1, 3, 5}

ế ố ơ ẳ

ế ố 1.1.3. Bi n c (Event) ố a) Bi n cế ợ ỗ ậ M i t p h p con c a không gian m u là m t bi n c ầ ử ọ ế ố ứ Bi n c ch a m t ph n t g i là bi n c s đ ng Ví d : ụ Trong thí nghi m th y 1 con xúc s c : Bi n c các m t ch n là : {2, 4, 6}. Bi n c các m t l Các bi n c s đ ng là : {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}

ệ

ự

ộ

ế ố ả ộ ậ

ả

ả ả ế ố A ta nói bi n c A x y ra ế ố A ta nói bi n c A không x y ra

ắ ế

ệ

ấ

ả

ặ

ộ

∈

∉

ế ố ế ố

ả

b) Bi n c x y ra (hay th c hi n) ế ố ọ G i r là m t h u qu x y ra và A là m t bi n c : ∈ế n u r ∉ế n u r Ví d : ụ Trong thí nghi m th y m t con xúc s c n u m t 4 xu t hi n thì: ả Bi n c {2,4,6} x y ra vì 4 {2, 4, 6} Bi n c {1,3,5} không x y ra vì 4 {1, 3, 5}

ộ

ươ

ế ố

∀

ng (bi n c không) E ắ ế ố ắ

ộ

Ghi chú: φ⊂ ế ố là m t bi n c E => ∀r, r φ ∉φ ế ố ộ là m t bi n c vô ph => ∈ ế ố ộ r, r => E là m t bi n c

⊂ E => E là m t bi n c ch c ch n

ố

ế ố

ề ế ⊂ ớ

ế

∪

⊂ ế ố ộ ủ ∪ B: A

B x y ra

ả

1.1.4. Các phép tính v bi n c Cho 2 bi n c A, B v i A E và B ế ố ộ ∪ B (Union): Bi n c h i c a 2 bi n a) Bi n c h i A ả  (A ệ ượ ố c ký hi u là A c A và B đ ả x y ra HAY B x y ra)

∩

ế ố

ả B x y ra

(A

∩ B (Intersection): A

ả

b) Bi n c giao A ả x y ra VÀ B x y ra)

A B ∩

ố ậ

ả A x y ra

ố đ i l p, Component of A):

Aụ (Bi n cế ế ố c) Bi n c ph  A không x y ra ả

ệ

ế ố

ắ t ( bi n c xung kh c, mutually exclusive

ả

d) Bi n c cách bi event) A cách bi A cách bi

ệ ớ  A ∩ B = ệ ớ  A v i B không cùng x y ra ớ

t v i B t v i B

ả ệ

ắ ế ố ặ ẻ

ế ố

ệ ế ố ộ ố ủ ặ

ẫ ệ ấ ệ

∪

B = {3} A = {2,4,6} : φ ∩ ế ố ơ ẳ ∩ ệ ấ ặ => A và C là C =

ế ố

ầ ủ

∪ ∪ ∪ ế ố ọ ế

ộ ệ ầ ủ Ví d : ụ ộ Trong thí nghi m th y m t con xúc s c, ta có không gian ấ ọ xu t m u: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} G i A là bi n c m t l ọ hi n => A = {1, 3, 5} G i B là bi n c khi b i s c a 3 ấ ọ xu t hi n => B = {3, 6} G i C là bi n c khi m t 4 xu t hi n => C = {4}, bi n c s đ ng. Ta có: A B = {1, 3, 5, 6} A ế ố ẵ bi n c khi m t ch n xu t hi n. A ệ t. 2 bi n c cách bi e) H ệ đ y đ (Collectively Exhaustive) ẫ ế ố G i A1, A2…, Ak là k bi n c trong không gian m u E ượ ọ c g i N u A1 A2 … Ak = E thì K bi n c trên đ 8 là m t h đ y đ .

Ấ

ị

ế ố

ế

ấ ủ

ể ế

ộ

1.2. XÁC SU T (Probability). 1.2.1. Đ nh nghĩa: ế ố ơ ẳ ẫ ế N u thông gian m u E có N bi n c s đ ng và bi n c A có n bi n ế ố ố ơ ẳ c s đ ng thì xác su t c a bi n c A là : P(A) = n(A)/N t :

ế ố

ệ

ả

ắ

ấ

ặ

ộ

ệ

ẵ

M t cách khác ta có th vi P(A) = Soá tröôøng hôïp A xaûy ra/Soá tröôøng hôïp coùtheå xaûy ra Ví d : ụ Trong thí nghi m th y m t con xúc s c, xác su t bi n c các m t ấ ch n xu t hi n là :

P(A) =n(A)/N = 3/6=1/2

ẫ

ế ố ấ ỳ ế ố là Bi n c vô ph

1.2.2. Tính ch t: ấ ọ ộ a. G i A là m t bi n c b t k trong không gian m u E : 0 ≤ P(A) ≤ 1 φ ế ố ắ ươ b. P ( ) = 0 => ng P (E) = 1 => E là Bi n c ch c ch n ắ

ứ ề

ấ ế ố ộ

ấ ủ

1.2.3. Công th c v xác su t : a) Xác su t c a bi n c h i:

∪

∩

P (A

ứ

B) = P (A) + P(B) P( A Ch ng minh: ẫ

ọ

c a không gian m u E

ầ ử ủ c a (A B) c a (A B) ∩ c a (B A)

ố G i N : là s ph n t ầ ử ủ ố n1: là s ph n t ầ ử ủ ố n2: là s ph n t ầ ử ủ ố n3: là s ph n t

∪

∩

B)=n1 + n2 + n3= n1+n2+n2+n3 –n2 = n(A) +n(B) n(A

∪

∩

B )/N

B)/N = n(A)/N + n(B)/N n(A ∩

n(A Do đó : n( A ∪ P(A

B) = P(A) + P(B) P(A

ệ t, ta có:

ế ố ∩ B) = P( ) = 0

φ B) = P(A) + P(B)

ế ố ụ ế ấ ủ

ố ậ ố đ i l p) ẫ ế ố ụ ủ ế ố

Ghi chú : ế N u A và B là 2 bi n c cách bi φ ∩ A B = =>P(A ∪ ==> P (A b) Xác su t c a bi n c ph (bi n c Bi n c ph c a bi n c A trong không gian m u E là A : P(A) + P (A) = 1

ứ

∩ φ Ch ng minh: A A∪ = E ∪ P (A A ) = P(E) P(A) + P( A ) P(A A ) = 1 vì P(A A ∩ ) = P( ) = 0

ấ ứ

ấ

ọ ệ ấ ệ ủ ế ố ề

ế ố ự ệ

ớ

ề 1.2.4. Công th c nhân v xác su t : ề a) Xác xu t có đi u ki n : G i P (B / A) là xác su t có đi u ki n c a bi n c B sau khi bi n c A đã th c hi n. V i P(A) > 0 ; P(B) > 0

ứ

ắ ắ ế ự s A th c hi n r i thì A là bi n c ch c ch n, ta có

ả ế ự ọ ố ở

ự ế ệ ế ố

ẫ ệ ự B th c hi n. ∈ ∩  r B A ∩ B/A

∩ ∩ B) /N)/(n(A)/N) = P(A B) /n(A) =(n(A

ứ Ch ng minh ế ố ẫ ọ G i E là không gian m u ch a hai bi n c A,B ố ệ ồ ả ử Gi ẫ ể ọ th ch n A làm không gian m u thu g n. ế ệ ố Bi n c B th c hi n sau khi bi n c A x y ra tr thành ế ố bi n c B/A. ỉ Trong không gian m u bi n c B/A th c hi n n u và ch ế n u A ∈ r ị Theo đ nh nghĩa, ta có: P(B/ A) =n(A ∩ B)/P(A)

ấ ề

ẫ

ượ ứ ế ố ế ố c tính:

∩

ố đ c l p : ộ ậ ộ ậ ề ươ ệ ớ

ế ố ế ố

ế ố ọ ấ ế ế ố ả c

ế ố ộ ợ

ứ b) Công th c nhân v xác su t: Cho hai bi n c A và B trong không gian m u E, xác ấ ủ su t c a bi n c giao đ ∩ P(A B) = P(B/A) * P(A) hay P(A B) = P(A/B) * P(B) c) Bi n cế ng di n Bi n c g i là đ c l p v i bi n c A v ph ổ ấ ủ xác su t n u xác su t c a bi n c B không thay đ i cho ượ dù bi n c A đã x y ra, nghĩa là: P(B/A) = P(B) ng ườ ạ ng h p hai bi n c đ c i: P(A/B) = P(A) Trong tr l ậ l p, công th c nhân tr thành:

ở ∩ P(A B) = P(A) * P(B)

ứ ứ ấ ầ ủ

ứ

ấ ầ ủ ả ế

ỉ ừ ệ ộ ộ s bi n c B x y ra khi và ch khi m t trong các bi n t nhau t ng đôi m t A1, A2…,

∩

ế ấ 1.2.5. Công th c xác su t đ y đ Công th c Bayes a) Công th c xác su t đ y đ : ả ử ế ố Gi ố ủ ệ ầ ủ c c a h đ y đ cách bi ả Ak x y ra. t xác su t P(Ai) và P(B/Ai) hãy tìm P(B) Bi

B A1 B A2 B Ak ∩

(B Ak) t bài toán thì ∪ ∩ A2) (B

∪ ∩ ế thi A1) ∩

∩

ả Theo gi ∪ ∪ ∩ ∩ … B = (B ∪ ∪ ∩ (B A2) … (B Ak)] = P(B)= P[(B A1) ∩ ∩ P(B A1) + P(B A2) + … + P(B Ak) Vì: P(B Ai) = P(B/Ai) * P(Ai) k

P(B) = ∑ P(B/ Ai)*P(Ai)

ượ ọ ứ i=1 ứ Công th c này đ ấ ầ ủ c g i là công th c xác xu t đ y đ .

ưở

ấ ng I s n xu t chi m 1/3

ủ

ả ế

ả ượ

ng.Phân x ưở

ẩ

ế

ph ph m

ế ưở ng II chi m 1/4; Phân ỷ ệ ế ưở ng IV chi m 1/6. T l ng là 0,15; 0,08; 0,05; 0,01.

ộ ả

ả

ẩ

ế

ẩ

Ví d : ụ Trong nhà máy có 4 phân x ổ t ng s n l ng c a nhà máy; Phân x ưở ế x ng III chi m 1/4; Phân x ươ ứ ưở ớ t ng ng v i các phân x ẫ ấ ể ấ Tìm xác su t đ l y ng u nhiên m t s n ph m trong kho s n ẩ ả ph m c a nhà máy thì s n ph m đó là ph ph m

ẩ

ế ố ấ ượ

ẩ

∪ ∩

ẩ iả : G i A1, A2, A3, A4 là bi n c l y đúng m t s n ph m c a ủ ộ ả ế ố ấ ế ộ c m t ph ph m (B A4) 4 ==>P(B) = ∑P(B/

(B A2)

(B A3)

ậ

ủ ọ Gi ọ ưở phân x ng I,II,III,IV. G i B là bi n c l y đ ∪ ∩ ∩ B = (B A1) Ai)*P(Ai) i=1 ề Theo đ bài: P(A1) = 1/3, P(A2) = 1/4, P(A3)= 1/4, P(A4) = 1/6, ∑P(Ai) = 1 P(B/A1) = 0,15, P(B/A2) = 0,08, P(B/A3) = 0,05, P(B/A4) = 0,01 17 V y P(B) =1/3 * 0,15 + 1/4 * 0,08 + 1/4 * 0,05 + 1/6 * 0,01 = 0,0816

ả ế ứ ượ ủ t các P(Ai), c c a bài toán trên, t c là bi

∪ ∩ ∪ ∩ (B A4) (B A3) ả ∪ ∩ (B A2)

∩

ứ b) Công th c Bayes: i bài toán ng Gi ế ố P(B/Ai) và bi n c B đã x y ra, tìm P(Ai/B) ∩ Ta có : B = (B A1) và P(Ai B) = P(Ai/B) * P(B) = P(B/Ai) * P(Ai)P(B/Ai )* P(Ai ) P(Ai/B)= P(B/Ai )* P(Ai )/P(B) k P(Ai/B)= P(B/Ai )* P(Ai ) /(∑ P(B/Ai ) * P(Ai ))

i=1

ứ

ể t v các bi n c Ai có th xem ượ ọ c g i là công th c Bayes, hay công ả thi

ả

ả ề ệ ế ố ế ề ế ố ế ớ thi ế ố ệ ấ t theo đó bi n c B xu t hi n. Ta ph i tính ấ t v i đi u ki n bi n c B xu t

ụ ế ả i thí d 2.2, cũng v i gi

thi ẩ ủ ứ ng th

ấ ể ấ ộ ế t nó là m t ph ph m.

ứ Công th c này đ ứ ấ th c xác su t các gi ế ư ả thi nh gi ấ ủ xác su t c a các gi hi n. ệ Ví d : ụ ớ ờ ạ t đó bây gi Xét l ta yêu ưở ộ ả ầ c u xác su t đ l y m t s n ph m c a phân x ẩ ế ấ nh t bi ả Ta ph i tìm P(A1/B) P(A1/B) = [P(B/A1) * P(A)]/P(B) = [0,15 * 1/3]/0,0816 = 0,61

ỗ

ằ

ệ

ể

ử

ượ

ế ệ ủ ấ ứ

ệ ừ

ườ

ế

ầ

ấ

ợ

ng h p bi n c A xu t hi n t

k1 đ n k2 l n trong n

ệ

ế ố

ấ ệ

ầ

ọ

∪

Ak1+1 … Ak2

ớ

ứ 1.2.6. Công th c Bernoulli : ứ a) Công th c Bernoulli : ế ử ử ộ ậ ữ N u ti n hành nh ng phép th đ c l p, trong m i phép th xác ấ ể ế ấ ế ố su t hi n c a bi n c A nh nhau và b ng p thì xác su t đ bi n ằ ễ ầ ố c bi u di n b ng c A xu t hi n k l n trong n phép th đó đ công th c Bernoulli Pn(k) = Cn k pk qnk V i q = 1p Ghi chú : ế ố a.Trong tr ử phép th thì ta ký hi u xác xu t đó là Pn(k1,k2) ấ G i Aki là bi n c A xu t hi n ki l n ∪ ∪ A = Aki k2

i=k1

Pn(k1,k2)=P(A)= ∑Cni piqni

ể ườ ệ ụ

ề ấ ụ

ớ ạ i h n.

ấ

ướ ấ

ế i thùng tr ỏ i. H i xác

ấ ể

ớ b.Khi n và k khá l n vi c tính toán Pn(k) và Pn(k1, k2) ả ắ ẽ ứ ạ i ta ph i tìm s ph c t p. Đ kh c ph c đi u đó ng ằ ầ cách tính g n đúng các xác su t đó b ng cách áp d ng ị các đ nh lý gi Ví d : ụ ế ắ Trong thùng có 30 bi: 20 tr ng và 10 đen. L y liên ti p ạ ề ỗ 4 bi, trong đó m i bi l y ra đ u hoàn l c khi ộ ạ ề ượ ấ c tr n l l y bi ti p theo và các bi đ u đ ắ ấ su t đ trong 4 bi l y ra có 2 bi tr ng. ấ ấ ượ ắ ể c bi tr ng p = 20/30 =2/3 có th iả : Xác su t l y đ Gi

ư xem nh nhau trong 4 phép th : q = 1 p = 1/3

ụ ứ ử áp d ng công th c Bernoulli

ỏ ấ ế ố

ầ

ệ iả :

ấ ể ế ố ấ ể ế ố ấ ể ế ố ấ ể ế ố ệ ệ ệ ệ ầ ầ ầ ầ

ấ ể ế ố ệ ấ

≈ Ví d : ụ ằ ệ ấ ể ấ Xác su t xu t hi n bi n c A b ng 0,4. H i xác su t đ ấ ử ế ố trong 10 phép th bi n c A xu t hi n không quá 3 l n. Gi p = 0.4, q = 0.6 ấ Xác su t đ bi n c A xu t hi n 0 l n : P10(0) = q10 ấ Xác su t đ bi n c A xu t hi n 1 l n : P10(1) = 10pq9 ấ Xác su t đ bi n c A xu t hi n 2 l n : P10(2) = 45p2q8 ấ Xác su t đ bi n c A xu t hi n 3 l n : P10(3) = 120p3q7 Xác su t đ bi n c A xu t hi n không quá 3 l n P10(0,3) = P10(0) + P10(1) + P10(2) + P10(3) ầ 0.38

Ghi chú:

ấ

ắ

ấ

ố ầ ị ố ủ

ộ

ị ớ

ọ

ố ầ ử

ế ố

ắ

ắ ệ b) S l n xu t hi n ch c ch n nh t: ộ ố ụ Tr s c a Pn(k) nói chung ph thu c vào k. Ta tìm m t s k0 sao ệ ấ ố ấ cho Pn(k0) đ t giá tr l n nh t. S k0 g i là s l n xu t hi n ch c ch n nh t c a bi n c A trong n phép th . Ta có:

ạ ấ ủ npq ≤ k0 ≤ np + p p ≠ 0 và p ≠ 1

ườ ằ

ủ

ộ

ế

ườ

i b ng 0,7. N u ng

i đó

ố ầ

ấ

Ví d : ụ ấ ắ Xác su t b n trúng đích c a m t ng ắ b n 25 phát. ị ả Xác đ nh s l n có kh năng trúng đích nh t. i ả :

ọ

n = 25, p = 0,7, q = 0,3 np q ≤ k0 ≤ np + p 25 * 0,7 – 0,3 ≤ k0 ≤ 25 * 0,7 + 0,7 17,2 ≤ k0 ≤ 18,2 ố Vì k là s nguyên, nên ch n k = 18

ứ ầ ể

ứ ượ ớ ạ ừ ị các đ nh lý gi c rút ra t i h n.

c) Các công th c g n đúng đ tính Pn (k) và Pn (k1,k2) Các công th c đ ứ Công th c Moixre Laplace :

≈ϕ Pn(k) (xk)/ npq

ứ ượ ử ụ c s d ng khi n khá

ế ố ử

ấ ủ ầ

• Công th c Moixre Laplace đ l n ớ • p là xác su t c a bi n c A trong phép th Bernoulli, p không quá g n 0 và 1 xk = (knp) / npq π ϕ ố (x) = 1 / 2 * ex²/2 : hàm s Gauss

ấ

ế

ạ ố

ấ ể ả

t là 0.4.Tìm xác su t

t lo i t

ế

ạ ố

ộ ấ

t lo i t

Ví d : ụ ấ Xác su t đ s n xu t ra m t chi ti ế ả ể t s n xu t ra thì có 13 chi ti đ trong 26 chi ti ề ấ V n đ là tìm P26(13) n = 26 p = 0.4 q = 0.6 xk = (k np) / npq = 1,04 ϕ

(xk) = (1,04) = 0,2323

ϕ ≈∅ β ∅ α ( )

α β

P26(13) = (xk)/ npq = 0,2323/2,5 = 0,093 Pn (k1, k2) ( )  = (k1 np)/ npq  = (k2 np)/ npq  ∅(x) = 1/ 2

π∫ x ex²/2dx : hàm Laplace chu n ẩ

ấ ng s n xu t bóng đèn đ t trung bình là

ưở ẩ ạ ấ ể t. Tìm xác su t đ trong 1000 bóng

ừ ạ ố ả 652 đèn 760 bóng đèn lo i t ấ t. Xác su t ph i

∅ α ∅ = (k1 np)/ npq = 3,31 => ( ) = (3,31) =

∅ β ∅ = (k2 np)/ npq = 4,14 => ( ) = (4,14) =

∅ β ∅ α Ví d : ụ ả ộ M t phân x ạ ố ả 70% s n ph m lo i t đèn có t tìm là P1000 (652, 760) n = 1000, p = 0,7 q = 0,3 k1 = 652 k2 = 700 α 0,499520 β 0,499968 P1000 (652, 760) = ( ) = 0,999488 ( )

→

Công th c Poisson • N u n → ế

0 sao cho np = (const) thì

ứ ∞ và p (e≈ λλk) / k!

Pn (k)

ị

ể

ầ

ể Đ nh lý Poisson cũng có th dùng đ tính g n đúng P (k1,k2)

ủ

ấ ể

ế

ẩ

ả ấ ả

ế

ẩ

ị ỏ

ẩ

Ví d : ụ ẩ ấ ể ệ ổ T ng s n ph m c a xí nghi p A trong 1 quí là 800. Xác xu t đ ộ ả s n xu t ra m t ph ph m là 0.005. Tìm xác su t đ cho : Có 3 s n ph m là ph ph m ả Có không quá 10 s n ph m b h ng

= np = 4

iả : n =800, p = 0,005 => Gi 1. P800(3) = e44³/3! = 0,1954 2. P800(0,10) =

MA TR NẬ

:ả

ủ ọ Mô t  Các dòng ngang c a ma tr n g i là

ướ

ố ộ ượ ườ ả c vi

ế ấ ặ ơ

 Thí d :ụ

hàng và các c t ộ ậ ứ ẳ ư ậ ượ ặ ạ c tộ . Hình d ng ma tr n đ th ng đ ng là c đ c tr ng ở ố ậ ầ ử ph n t . b i s hàng và s c t (kích th c ma tr n). k ấ ế ậ ữ ẹ ng đ Ma tr n th t thành b ng k p gi a 2 d u ặ ặ ngo c vuông "[" và "]" (ho c, hi m h n, d u ngo c "(" và ")").

ượ ườ ể

ậ Ma tr n th ạ c dùng đ mô ta không gian ể ự ộ ng đ ề tr ng thái trong đi u khi n t đ ng.

ậ

ặ

ạ

ệ Các lo i ma tr n đ c bi t

ạ

 Ma tr n tam giác

ậ ậ

ậ là ma tr n vuông đ ậ

ầ ử ằ

ậ

ử

c chia thành hai lo i là ướ i. ướ ạ n m phía d

ị có giá tr

i h ng t

ượ ma tr n tam giác trên và ma tr n tam giác d  Ma tr n tam giác trên khi các ph n t ọ

ầ ử ằ

ạ

ử

ậ

i khi các ph n t

n m phía trên h ng t

ị có giá tr

 Ma tr n tam giác d

ớ = 0, aij=0 v i m i i>j. ướ ớ

ằ b ng không, aij=0 v i m i i

ọ ậ

ấ ả

ậ  Ma tr n chéo

ườ

ề

ầ ử t c các ph n t là ma tr n vuông trong đó t ớ ằ ng chéo chính thì đ u b ng 0, nghĩa là =0 v i

ọ

ằ không n m trên đ m i i ≠ j.

ậ

ơ

ị Ma tr n đ n v

ơ ậ  Ma tr n đ n v

n m trên m t đ

ị

ấ ả ườ ố t c các ph n t

ơ ng thì là s 1), t ế ị còn l ườ ố

ị trên m t ộ vành nào đó, là ma tr n ậ ầ ử ằ ộ ườ ng chéo mang vuông, có các ph n t ố ế ủ ị giá tr là đ n v nhân c a vành đó (n u là vành s ạ ầ ử i thông th mang giá tr trung hòa (n u là vành s thông th ng thì là s 0).ố

ố ứ

ậ

Ma tr n đ i x ng

ố ứ

ớ

ỉ

ọ

c g i là đ i x ng khi và ch khi aij=aji v i

 A=[aij]mxn ượ A đ m i i,jọ

ứ

ố ứ

ậ

T c là: ả  Ma tr n ph n đ i x ng

ườ

ầ ử ằ

ậ

Là ma tr n mà các ph n t

n m

ậ  Ma tr n ba đ

ườ

ngoài ba đ

ng chéo: ằ ề ng chéo đ u b ng 0.

 Ma tr n s c p:

ượ

ự

ệ

ậ

ộ

ậ ổ ơ ấ

ố ớ

ộ

ị

ượ

ậ

ộ ố α khác

ậ ơ ấ  M t ma tr n s c p hàng nh n đ ơ ấ ộ c khi ta th c hi n m t phép ậ ủ ộ ế bi n đ i s c p đ i v i hàng (c t) c a m t ma tr n đ n v I. Kí ệ hi u là: Ma tr n s c p ộ

E ậ ơ ấ E1 nh n đ ậ

c khi ta nhân m t s ơ

ủ 0 vào m t hàng c a ma tr n đ n v

ị I.

ượ ậ  Ma tr n s c p ơ ấ E2 nh n đ

ớ ộ c khi ta nhân c ng vào ộ ố β khác 0 ớ c nhân v i m t s

ậ ơ hàng j v i hàng i đã đ ố ớ đ i v i ma tr n đ n v ậ ượ ị I.

ổ ị ậ  Ma tr n s c p

ượ ơ ấ E3 nh n đ ậ ủ c khi ta đ i v trí ơ ớ ị ậ hàng j v i hàng i c a ma tr n đ n v cho nhau.

ạ ố

ậ Các phép toán đ i s trên ma tr n

ậ

ướ c x . Cho các ma tr n c p x và ,

ậ ượ ấ ộ  Phép c ng ma tr n ậ ề ặ ể ộ Có th c ng hai ho c nhi u ma tr n có cùng kích t ngổ là ma tr n ậ ậ ấ ầ ử ươ ứ ộ t c do c ng các ph n t ng ng

th cùng c p x nh n đ (nghĩa là :

Phép nhân ma tr n ậ

 Phép nhân ma tr n v i m t s ằ

ấ ả

ầ ử

 Cho ma tr n và s ,

c tính b ng cách nhân t

t c các ph n t

ố tích đ

ượ ẳ

ạ

ậ ủ ớ ố c a v i s (nghĩa là ). Ch ng h n:

 Phép nhân ma tr nậ

ậ

ỉ ự

 Phép nhân hai ma tr n ch th c hi n đ

ố ộ ủ ậ

ủ

ằ

ố

ướ

có kích th

c x

ở

ị

ậ ớ ộ ố

ậ ệ ượ c khi s c t c a ma tr n ế ả ậ bên trái b ng s dòng c a ma tr n bên ph i. N u ma tr n có kích ướ ậ ướ c x , thì th ma tr n tích ứ ộ hàng th i, c t th j xác đ nh b i: có ph n t

ậ c x và ma tr n có kích th ứ ở ầ ử ứ đ ng

ọ ặ

ớ v i m i c p =1..m; j =1..p.

 Ch ng h n:

ẳ ạ

 Phép nhân ma tr n có các tính ch t sau: ớ

ậ

 (AB)C=A(BC) v i m i ma tr n c p Akxm , ma tr n Bmxn

ậ

và ma tr n Cnxp ("k t h p“)

ậ ấ

ọ ế ợ ọ ớ

ậ

ấ

ả

(A+B)C= AC+BC v i m i ma tr n c p Amxn và các ma tr n B và ma tr n C c p nxk ("phân ph i bên ph i").

ố

ằ

ậ

ầ

ố C(A+B)=CA+CB ("phân ph i bên trái"). C n chú ý r ng phép nhân ma tr n không giao hoán.

ấ ậ ấ

Bài giảng Lý thuyết thông tin: Chương 0 - Bùi Văn Thành

Chủ đề:

Ế LÝ THUY T THÔNG TINBùi Văn Thành

ươ

Ch

ng 0

XÁC SuẤT MA TRẬN

Ấ

XÁC SU T (Probability)

Ệ

Ế

Ẫ

Ẫ

ẫ

ệ ẫ

ệ

ự

ế ố ả ộ ậ

ề ế ⊂ ớ

1.1.4. Các phép tính v bi n c Cho 2 bi n c A, B v i A E và B ế ố ộ ∪ B (Union): Bi n c h i c a 2 bi n a) Bi n c h i A ả  (A ệ ượ ố c ký hi u là A c A và B đ ả x y ra HAY B x y ra)

ế ố

ố ậ

Aụ (Bi n cế ế ố c) Bi n c ph  A không x y ra ả

ệ

ế ố

ế ố

ắ t ( bi n c xung kh c, mutually exclusive

Ấ

ị

ứ ề

ấ ế ố ộ

ấ ủ

ấ

ắ

ấ

ố ầ ị ố ủ

ắ ệ b) S l n xu t hi n ch c ch n nh t: ộ ố ụ Tr s c a Pn(k) nói chung ph thu c vào k. Ta tìm m t s k0 sao ệ ấ ố ấ cho Pn(k0) đ t giá tr l n nh t. S k0 g i là s l n xu t hi n ch c ch n nh t c a bi n c A trong n phép th . Ta có:

Công th c Poisson • N u n → ế

ứ ∞ và p (e≈ ­λλk) / k!

MA TR NẬ

ậ

ặ

ạ

ệ Các lo i ma tr n đ c bi t

ậ ậ

ậ  Ma tr n chéo

ậ

ơ

ị Ma tr n đ n v

ố ứ

ậ

Ma tr n đ i x ng

ố ứ

ậ

T c là: ả  Ma tr n ph n đ i x ng

ườ

ậ  Ma tr n ba đ

ậ ơ ấ  M t ma tr n s c p hàng nh n đ ơ ấ ộ c khi ta th c hi n m t phép ậ ủ ộ ế bi n đ i s c p đ i v i hàng (c t) c a m t ma tr n đ n v I. Kí ệ hi u là: Ma tr n s c p ộ

ạ ố

ậ Các phép toán đ i s trên ma tr n

Phép nhân ma tr n ậ

ậ ệ ượ c khi s c t c a ma tr n ế ả ậ bên trái b ng s dòng c a ma tr n bên ph i. N u ma tr n có kích ướ ậ ướ c x , thì th ma tr n tích ứ ộ hàng th i, c t th j xác đ nh b i: có ph n t

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

ứ ∞ và p (e≈ λλk) / k!