Một số vấn đề chọn lọc trong toán cho kỹ sư
Nguyễn Linh Giang Viện CNTT&TT
Phần II. Xác suất và thống kê
(cid:134) Mô tả khóa học
(cid:132) Dành cho sinh viên đại học (cid:132) Xây dựng các mô hình xác suất và cơ sở
thống kê
(cid:132) Phân tích sự bất định (cid:132) Suy diễn thống kê (cid:132) Phân tích số liệu thực nghiệm
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên
(cid:134) Hai biến ngẫu nhiên
(cid:132) X và Y là hai biến ngẫu nhiên trên <Ω, F, P>, ta có:
x
2
X
)
x
F
(
x
)
F
(
x
)
f
(
x
)
dx
,
<
( ξ
≤
=
−
( xP
)
X
X
X
1
2
2
1
x
1
y
2
Y
)
y
)
)
f
(
y
)
dy
.
<
( ξ
≤
=
−
( yP
)
yF ( Y
yF ( Y
Y
1
2
2
1
y
∫= ∫=
1
(cid:132) Xác suất của cặp (X, Y) trên một miền bất kỳ D
bằng bao nhiêu ?
X
x
)
(
Y
)
y
?
<
)( ξ
≤
∩
<
)( ξ
≤
=
]
[ xP ( 1
2
y 1
2
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên
(cid:132) Hàm phân bố xác suất liên hợp của X và Y, với
yx ,(
Y (
)
y
)
x ) ∩≤
)( ξ
=
)( ξ
≤
]
x và y là hai số thực bất kỳ: [ XP ( XP (
FXY
Yx ,
y
)
,0
≥
≤
≤
=
=
XY
X
)
( F ,0 XY x y ) , (
.1) = x ( ,
y
).
( ξ
y ) = ( ) ξ
F ≤
, +∞ +∞ F −
<
(cid:134) Tính chất: F , ( −∞ Yx , ≤ 2
XY
2
XY
1
1
)
yx ,
Y
)
(
yx ,
)
F
(
yx ,
).
F
y
( ξ
≤
<
( ξ
≤
−
=
,( x ) −∞ XY ) y F = )
( xP ( XP
1
2
XY
1
XY
2
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên
(cid:134) Tính chất
X
Y
y
F
(
)
F
(
)
<
)( ξ
≤
<
)( ξ
≤
=
−
( xP 1
yx , 2 1
) 2
(
XY F
)
(
).
XY F
−
+
yx , 2 2 yx , 1
2
XY
yx , 2 1 yx , 1 1
XY
(cid:132) Hàm mật độ phân bố xác suất liên hợp
2
)
.
f
,( yx
=
XY
,( ) yx
F ∂ XY yx ∂∂
y
x
F
(
yx ,
)
f
(
vu ,
)
dudv
.
=
XY
XY
∞−
∫
∫∞−
∞+
∞+
(
)
.1
, yx
dxdy
=
f XY
∞−
∞−
∫
∫
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên
(cid:132) Xác suất để cặp (X, Y) trong một miền
y
F
(
x
yx ,
)
y
)( ξ
x Δ+≤
=Δ+≤
Δ+
y Δ+
D nào đó: Yyx , <
)( ξ
( XxP <
XY yx , )
F
yx ,(
)
F
(
x
F
yx ,(
)
) Δ+
−
y −Δ+
+
XY
XY
XY
Y
x
y
x Δ+
y Δ+
f
vu ),(
dudv
f
yx ,(
)
.
=
yx ΔΔ
XY
XY
x
y
∫
D
= yΔ
xΔ
,
)
D
f
,( yx
)
dxdy
.
∈
=
∫ ( ( YXP
)
XY
(
,
) Dyx ∈
∫ ∫
X
f
yF ) ( Y f y (
), dy
( +∞ XY +∞ f
y , .) yx ,(
)
dx
.
xF )( X x )( =
= ) =
X
Y
XY
XY
∞−
∞−
(cid:134) Các thống kê biên x F ,( +∞ ∫ yx ,( ) ,
F = XY +∞ ∫ f
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên
(cid:134) Đạo hàm của hàm dưới dấu tích phân
xb (
)
xH )(
yxh ,(
)
dy
.
( ∫=
b x (
)
h x b ( , )
h x a ( ,
)
dy
.
−
+
=
a x (
)
∫
) xa da x ( ) dx
dH x ( ) dx
db x ( ) dx
h x y ( , ) ∂ x ∂
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên
(cid:132) Trường hợp rời rạc
y
)
)
(
(
,
YxXP =
=
=
=
xXP i
p ij
i
j
ijp
j
j
i
( XP
( YP
y
y
)
)
=
=
=
=
j
n
, Yx i
p ij
j
j
(cid:134) X, Y: các biến ngẫu nhiên rời rạc (cid:134) pij = P(X = xi, Y = yj) là hàm phân bố liên hợp (cid:134) Các hàm phân bố biên là: ∑= ∑=
∑ ∑
i
i
∑ p 1 p
p 1 p
p 11 p
p 12 p
2
j
2
n
21
22
L L M
L L M
(cid:134) Hàm mật độ phân bố biên:
M p ij
M p in
M p i
1
M p i
2
ijp
∑
j
M p
M p
M p
M p
mj
mn
m
1
m
2
L M L
L M L
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên
Y
(cid:132) Ví dụ
1
(cid:134) Cho các biến ngẫu nhiên X, Y với
y
x
0
c,
,1
y
)
yx ,(
=
X
f XY
0
0,
⎧ ⎨ ⎩
∞+
< < < otherwise . 1 (cid:134) Xác định các hàm mật độ biên fX(x) và fY(y) (cid:134) Giải: ∞+
yx ,(
)
=
(cid:132) Ta có: do
f XY
∞−
1
2
1
1
y
∞+
∞+
f
yx ,(
)
dxdy
∫ dx
dy
cydy
1
c
2
=
=
=
=⇒=
=
⋅
XY
0
0
y
x
y
∞−
∞−
=
∫ c 0 =
=
∫
∫
∫
∫
∫
⎛ ⎜ ⎝
∞− ⎞ ⎟ ⎠
dxdy cy 2
.1 c 2
0
(cid:132) Từ đó:
1
∞+
f
(
x
)
f
(
yx ,
)
dy
2
dy
1(2
x
),
0
x
,1
=
=
=
−
<
<
X
XY
∞−
xy =
∫
∫
y
∞+
f
(
y
)
f
yx ,(
)
dx
2
dx
y ,2
0
y
.1
=
=
=
<
<
Y
XY
x
0
∞−
=
∫
∫
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên
(cid:132) Ví dụ: X và Y là hai biến ngẫu nhiên Gauss có hàm
mật độ phân bố liên hợp:
N
(
,
,
,
,
).
2 X
2 Y
Y
X
2
2
(
x
)
(2
y
y
)
(
)
−
−
−
μ Y
−
+
1
1 − 1(2
)
−
2 ρ
)( x − μρ X σσ YX
μ X 2 σ X
μ Y 2 σ Y
ρσσμμ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
e
,
f
,( yx
)
=
XY
1
−
2 ρ
2 σπσ X Y
,
| ,
x +∞<<∞−
y +∞<<∞−
ρ
.1| b <
(cid:134) Các hàm mật độ biên sẽ là:
∞+
2
1
(
)
2/
x
−
σ
μ− X
2 X
f
x
f
dy
e
N
(
),
(
)
(
yx ,
)
=
X
XY
, σμ X
2 X
∞−
= ∫
2 X
∞+
2
2 πσ 1
(
)
2/
y
−
μ− Y
2 σ Y
f
y
f
dx
e
N
(
),
(
)
(
yx ,
)
=
Y
XY
2 , σμ Y Y
∞−
= ∫
2 πσ
2 Y
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên
(cid:132) Các biến ngẫu nhiên độc lập
(cid:134) Hai biến ngẫu nhiên X và Y được coi làđộ c lập
thống kê nếu hai sự kiện {X(ξ)∈A} và {Y(ξ)∈B} là độc lập đối với hai tập A, B bất kỳ trên trục x và y.
y
)
)
)
)( ξ yx ,(
y ).
≤ )
YPx ( ) )( ξ f fx )( =
)( ξ (
( XP ( F
X
Y
X
Y
XY
(cid:134) Đối với hai sự kiện: {X(ξ)≤x} và {Y(ξ)≤y}, nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y là độc lập, sẽ có: x Y ( XP )( ) ( ξ ∩≤ ≤ = ≤ f y ( yx yFxF ,( ) )( ) = XY (cid:134) Trong trường hợp rời rạc:
XP (
y
)
XP (
(
y
)
for
all
i
,
j
.
=
=
=
=
=
Yx , i
j
YPx ) i
j
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên
(cid:134) Ví dụ: Cho fXY(x, y), xác định xem X, Y có độc lập
hay không.
y
−
2 exy
0,
, 0
,1
y ∞<<
x <<
f
yx ,(
)
=
XY
,0
otherwise.
⎧ ⎨ ⎩
(cid:132) Giải: tính fX(x), fY(y) và kiểm tra hệ thức:
fXY(x, y)= fX(x)fY(y)
∞
y
−
f
(
x
)
∞+ f
yx ,(
)
dy
x
2 ey
dy
=
=
X
XY
0
0
∫
∫
∞
y
−
x
2
ye
ye
dy
x ,2
0
x
.1
2
=
−
+
<
<
∞− y 0
0
∫
⎛ ⎜ ⎝
⎞ =⎟ ⎠
2
1
y
−
f
(
y
)
f
yx ,(
)
dx
e
, 0
y
.
=
=
<
∞<
Y
XY
0
∫
y 2 fx )(
f
yx ,(
)
f
(
y
),
=
XY
X
Y
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên
(cid:134) Hàm của hai biến ngẫu nhiên
z
z
)
,
,
)
D
(cid:132) Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên và g(x, y) (cid:132) Biến Z = g(X, Y), xác định fZ(z) theo fXY(x, y) ≤ (cid:132) Ta có:
)( ξ
=
≤
=
=
∈
( ( YXgP
( ZP
)
)
[ ( YXP
]
)( zF Z
z
f
,( yx
)
dxdy
,
=
XY
∫ ∫
, zDyx ∈
Y
(cid:134) DZ là miền trong không gian x, y sao cho g(x, y)≤z
zD
zD
X
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên
(cid:132) Ví dụ: Z = X+Y, xác đinh fZ(z)
yz −
∞+
f
yx ,(
)
dxdy
,
=
=
( YXP
)
XY
(cid:134) Lấy đạo hàm Fb(z), ta sẽ có fZ(z)b zF )( z Z zb (
≤+
)
zH (
)
−∞= .
zb (
)
dH
) za ( da
z )(
∂
z
),
dx
.
=
+
∫= ) z ), −
( zbh (
( zah (
)
za (
)
∫
zdb )( dz
dz
∫ ∫ y x −∞= ( zxh dx , ) z )( dz
zxh ),( z ∂
+∞
z y −
+∞
z y −
)
f ∂
f
z ( )
dy
f
x y dx dy ( ,
)
f
(
z
y y ,
) 0
=
=
−
− +
Y
XY
Z
X
−∞
−∞
−∞
−∞
∫
∫
∫
∫
( , x y XY z ∂
∂ z ∂
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝ +∞
(
=
−
f
z
, . ) y y dy
XY
−∞
∫
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên
(cid:132) Ví dụ: X, Y là hai biếnngẫu nhiên hàm
mũ độc lập với cùng tham số λ. Xác định hàm mật độ fZ(z) của Z = X+Y.
f
x )(
x − λ xUe
(
),
f
y )(
y − λ yUe
(
),
=
λ
=
λ
X
Y
z
z
x
)
−
x λ
−
( λ
−
−
z λ
−
f
z )(
e
e
dx
e
dx
z λ zUe
(
).
=
2 λ
=
2 λ
=
2 z λ
Z
0
z 0
∫
∫
Moment liên hợp và hàmđ ặc tính liên hợp
-Mô tả các tham số biểu diễn thông tin trong hàm phân bố liên hợp của hai đại lượng ngẫu nhiên.
yxg ,(
),
-Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y và hàm hai biến Xác định biến ngẫu nhiên Z:
YXg
(
,
)
Z =
∞+
ZE (
)
fz
z )(
dz
.
Ta có kỳ vọng của Z: =
=
Zμ
Z
∞−
∫
)
f XY
(z
YXg
z
z
)
(
,
=Δ+≤
z Δ+≤
<
)
Z
Theo định nghĩa hàm của biến ngẫu nhiên, ta sẽ xác định hàm của Z tính theo các đặc trưng của XY ( YXgZ = , yx ),( mà không phải tính ) Z z <
( zP
( zP ,( yx
)
yx ΔΔ
=
XY
fZ ). z )( f z =Δ ∑ ∑
(
f , ) zDyx Δ∈
là vùng không gian trong mặt phẳng xy thỏa
zDΔ
Trong đó mãn bất đẳng thức trên. Ta có:
z f
z ( )
g x y ,
(
)
f
(
x y ,
)
x y
.
z Δ =
Δ Δ
Z
XY
∑ ∑
(
,
z
x y D ) Δ∈
.
Lấy tích phân, ta có
+∞
+∞
+∞
E Z (
)
z f
z dz ( )
g x y f ( , )
x y dxdy ( , . )
=
=
Z
XY
−∞
−∞
−∞
∫
∫
∫
Hay:
+∞
+∞
[ (
E g X Y
)]
,
g x y f ( , )
x y dxdy ( , . )
XY
−∞
−∞
∫
= ∫ Nếu X và Y là rời rạc,
E g X Y
[ (
,
)]
)
(
(
,
y
).
=
=
=
g x y P X j
i
x Y , i
j
∑∑
i
j
Vì kỳ vọng là toán tử tuyến tính, ta có
E
,
)
(
[
,
)].
=
a g X Y ( k k
a E g X Y k k
∑
∑
k
k
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
( Xg
)
)
Z =
(YhW =
Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiênđ ộc lập,
∞+
∞+
YhXgE
([
()
)]
fyhxg )()(
fx )(
y )(
dxdy
=
Y
X
∞−
∞−
∫
∞+
∞+
fxg )(
dxx )(
fyh )(
y )(
dy
YhEXgE )]
([
([
)].
=
=
X
Y
∞−
∞−
∫
∫ ∫
YX ,
Cov
(
)
μ
=
−
−
Hiệp biến: Cho hai biến ngẫu nhiên bất kỳ X và Y [ XE (
]. )
X Y ()
μ Y
Ta có:
Cov
(
YX ,
)
E
(
XY
)
E
(
XY
)
YEXE )
(
(
)
=
−
=
−
μμ X Y
____ XY
__ __ YX
.
=
−
Ta thấy
Cov
(
YX ,
)
Var
(
X
Var )
Y (
. )
≤
Nếu
thì
U
aX
,Y
=
+
2
Var
(
U
)
(
)
(
Y
)
=
−
+
−
[ { XaE 2 Var
a
(
X
)
a 2
Cov
(
} μ Y YX , )
Var
(
Y
)
. 0
=
μ X +
] +
≥
Cov
)
YX ,
,
,1
ρ
=
=
1 ≤−
ρ
≤
XY
XY
( X
Var
Y
Cov (
YX , Var )
) (
)
( σσ Y X
Cov
(
, YX
σσρ=) XY Y
X
,0=XYρ
thì
YEXE )
XY
.0
E
E
(
(
(
)
(
)
).
=
)
)
(
,
Các biến ngẫu nhiên không tương quan: nếu X và Y gọi là không tương quan. Khi đó XY = Trực giao: X và Y gọi là trực giao nếu YhX ,
Xg (
Y
=
=
YEXE )
XY
E
),
(
(
)
(
=
Nếu X hoặc Y có kỳ vọng bằng 0, thì từ tính trực giao sẽ suy ra tính không tương quan. Nếu X và Y là độc lập, ta có
2.8. Phân bố Gauss
(cid:134) Biến ngẫu nhiên Gauss
(cid:132) Biến ngẫu nhiên Gauss một chiều
2
)( xp
exp
=
−
1 2
1 2 σπ
x ⎛ − ⎜ σ ⎝
μ ⎞ ⎟ ⎠
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
∞
)( xE
xp
)( dxx
μ
≡
=
∫
∞−
∞
2
(( xE
2 ))
x
)( dxxp
2 σ
≡
−
μ
=
−
) μ
∫
( ∞−
2.8. Phân bố Gauss
(cid:132) Phân bố Gauss nhiều chiều ( d chiều )
T
1 −
2/1
∑
exp p ( x )μ ( x )μ x )( = − − −
1 2 )2( 1 2/π d ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦
μ E )( x
∑ )( xxx p
T
∫ )(μ
d ≡ =
T ))μ
∫
)
xE=μ ( i
i
(cid:134) Trong đó, x, μ là các vector d-chiều (cid:134) ∑ ma trận hiệp biến – đối xứng, xác định nửa
dương.
)(
x
))
(cid:134) Khi ∑ xác định dương. −
=
−
xE (( i
σ ij
μ i
j
μ j
E (( x x ( x )(μ x )μ p )( xx d ≡Σ − − = − −
2.8. Phân bố Gauss
(cid:134) Ma trận hiệp biến
11
j
≠
=
∑
σσ , ij i σ 22
σ 33
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
σ ⎡ 00 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
2.8. Phân bố Gauss
2.8. Phân bố Gauss
(cid:134) Phân bố Gaussian nhiều chiều được xác định hoàn toàn bằng d+d(d+1)/2 tham số của vector μ và ma trận hiệp biến ∑.
(cid:134) Khoảng cách Mahalanobis:
T
r
1 − μxΣμx
)
(
)
(
=
−
−
![Bài tập Đại số tuyến tính [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250930/dkieu2177@gmail.com/135x160/79831759288818.jpg)
