Trêng ®¹i häc l©m nghiÖp
Bé m«n To¸n
Vò Kh¾c B¶y
Bµi gi¶ng
ph¬ng ph¸p sè
(ph¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n)
Hµ néi - N¨m 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
1
LỜI NÓI ĐẦU
Để giải và tính toán các bài toán về kêt cấu cơ học, ngoài các phương pháp giải tích
ta còn có các phương pháp số. Do các bài toán cơ học thường dẫn đến việc giải các
phương trình vi phân với các điều kiện biên xác định nào đó. Vì vậy thời kỳ đầu của các
phương pháp số là : các phương pháp tích phân số và phương pháp sai phân hữu hạn. Cùng
với sự phát triển của máy tính điện tử, phương pháp phần tử hữu hạn ra đời và phát triển
rất mạnh mẽ và là một phương pháp được dùng rất phổ biến hiện nay khi tính toán các
bài toán cơ học. Nó cũng đã được áp dụng để có được nhiều chương trình tính cho các
dạng bài toán cơ học khác nhau: Tính cho dàn thanh, khung không gian, các kết cấu
dạng tấm , vỏ ,...
Phương pháp phần tử hữu hạn là môn học cơ sở của các ngành kỹ thuật liên quan
đến tính toán các kết cấu và hiện cũng là một môn học của ngành Xây dựng và Kỹ thuật
công trình thuộc trường ĐHLN.
Trong năm trước đây chúng tôi có biên soạn nội dung bài giảng : Phương pháp
phần tử hữu hạn để phục vụ cho công tác giảng dạy môn học : Phương pháp số. Vẫn biết
rằng tài liệu viết về môn học này đã có rất nhiều trên các dạng : sách , bài giảng và trên
mạng, song thiết nghĩ thì việc biên soạn một tài liệu dạng bài giảng về phương pháp
phần tử hữu hạn với thời lượng 2 tín chỉ cũng là điều cần thiết để các em sinh viên ( và
cả các độc giả lần đầu biết về phương pháp này) tiếp cận với môn học này thuận lợi hơn.
Tài liệu mới chỉ tiếp cận đến một số nội dung và khái niệm cơ bản của phương
pháp phần tử hữu hạn. Các vấn đề trình bày mới dừng đến việc tính toán cho dàn, khung
không gian.
Tài liệu cũng đã đưa ra một số thủ tục cơ bản trong lập trình tính toán, các thủ tục
này được viết trong Visual Basic, độc giả có thể chuyển đổi dễ dàng sang các môi trường
lập trình khác.
Mong rằng với ý muốn như thế sẽ giúp ích được phần nào cho quá trình học tập
môn học này của các em sinh viên, và tất nhiên rất mong được các đóng góp của độc giả
về các vấn đề trình bài trong tài liệu.
Tác giả
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
2
Chương I
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG &
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRONG CƠ HỌC
I.1 CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG
I.1.1 Ten xơ ứng suất.
Dưới tác dụng của lực ngoài, vật thể chịu lực bị biến dạng và bên trong nó sẽ
xuất hiện ứng suất. Ứng suất tại mỗi điểm khác nhau là khác nhau, véc tơ ứng suất không
những phụ thuộc vào điểm mà còn phụ thuộc vào hướng của thiết diện qua nó mà được
xác định bởi pháp tuyến có hướng
n
. Như vậy tập hợp cặp véc tơ ứng suất n
T
và véc tơ
n
tại điểm P sẽ xác định trạng thái ứng suất tại điểm đó. Trạng thái ứng suất tại điểm
hoàn toàn được xác định qua ten-xơ ứng suất – là một ten xơ đối xứng hạng hai, nên nó
có 6 thành phần độc lập:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
σ σ σ
σ σ σ
ij
với
σ σ
ij ji
Trong hệ tọa độ De-cac các thành phân của ten xơ ứng suất được ký hiệu là :
σ ;σ ; σ ; τ ;τ ; τ
x y z xy xz yz
I.1.2 Phương trình cân bằng
Tách phần thể tích V tùy ý giới hạn bởi mặt S của môi trường liên tục ở hình thái
biến dạng, xét sự cân bằng các lực tác dụng lên thể tích đó ( không kể lực quán tính) ta
được :
0
VS
ndVKdST
hay là 0
VS
ii dVKdSnT
Do
Vi
i
S
ii dV
x
T
dSnT
( công thức Gaoxơ - Ôtrôgratxki) nên ta có :
Vi
idVK
x
T
, vì V là thể tích tùy ý nên biểu thức dưới dấu tích phân bằng không
=> ta được : 00
j
i
ij
i
iK
x
lµhayK
x
T
(I.1)
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
3
Phương trình (I.1) được gọi là phương trình cân bằng,
ρ
là mật độ khối lượng ,
K
lực
khối.
Viết (I.1) dưới dạng tường minh ta được :
ττ
σ
ρ 0
τ σ τ
ρ 0
τ
τ σ
ρ 0
xy xz
x
x
yx y yz
y
zy
zx z
z
K
x y z
K
x y z
K
x y z
(I.2)
Với bài toán hai chiều ( Tấm , vỏ ), phương trình cân bằng có dạng :
τ
σ
ρ 0
τ σ
ρ 0
xy
x
x
yx y
y
K
x y
K
x y
(I.3)
Còn trong bài toán một chiều phương trình cân bằng sẽ là :
σ
ρ 0
x
x
K
x
(I.4)
I.1.3 Quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị ( hệ thức Cô-si)
Khi xây dựng hệ thức quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị, xuất phát từ sự thể hiện thay
đổi kích thước dài đoạn vô cùng nhỏ bất kỳ
X
d
lấy từ điểm
X
và thay đổi góc giữa hai
đoạn vô cùng nhỏ bất kỳ lấy từ điểm đó người ta đã dẫn đến ten-xơ biến dạng hữu hạn
viết trong hệ tọa độ Đề các : Grin và Anmăngxi
j
i k k
ij
j i i j
U
1 U U U
γ2 X X X X
(Grin) (I.5)
j
i k k
ij
j i i j
u
1 u u u
γ2 x x x x
(Anmăngxi) (I.6)
Trong đó Xn - biến Lagrăng, xk – biến Ơ le , Um và un là các thành phần chuyển vị theo
biến Lagrăng và Ơle.
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B
ộ môn Toán ĐHLN .
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
4
Trường hợp biến dạng nhỏ ( t.là khi bỏ qua VCB bậc cao – là các thành phần phi tuyến
trong (1.5) và (1.6) )) khi đó hai ten xơ này xấp xỉ bằng nhau và các thành phần của ten-
xơ biến dạng nhỏ sẽ có dạng:
333231
232221
131211
ij với các thành phần : 31 2
11 33 22
1 3 2
u
u u
ε , ε , ε ,
x x x
3 3
1 2 2 1
12 23 13
2 1 3 2 3 1
u u
1 u u 1 u 1 u
ε , ε , ε
2 x x 2 x x 2 x x
Để thuận lợi cho các công thức sau này trong tính toán theo phương pháp PTHH, người
ta ký hiệu :
- Các thành phần chuyển vị : u , v , w
- Các thành phần của ten-xơ biến dạng
ε
x ;
ε
y ;
ε
z ;
γ
xy ;
γ
xz ;
γ
yz với :
x y z
u v w
ε ; ε ; ε ;
x y z
xy xz yz
u v u w v w
γ ; γ ; γ
y x z x z y
(I.7)
Hay viết dưới dạng ma trận :
x
y
z
xy
yz
xz
0 0
x
ε0 0
y
ε
u
0 0
εz
. v
γ0
y x
w
γ0z y
γ
0
z x
(I.8)
I.1.4 Phương trình liên tục
Hệ thức Cô-si (I.8) cho sự liên hệ giữa 6 thành phần biến dạng xác định duy nhất qua 3
thành phần chuyển vị cho trước. Như vậy với 6 thành phần biến dạng cho trước chỉ từ
quan hệ (I.8) sẽ không cho duy nhất 3 thành phần chuyển vị, do đó giữa các thành phần