B MÔN TOÁN NG D NG - ĐHBKỘ Ứ Ụ
-------------------------------------------------------------------------------------
PHƯƠNG PHÁP TÍNH – CHƯƠNG 6
GI I X P X PHẢ Ấ Ỉ ƯƠNG TRÌNH Đ O Ạ
HÀM RIÊNG
•TS. NGUY N QU C LÂN (05/2006)Ễ Ố
N I DUNGỘ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1- BA D NG PHẠ ƯƠNG TRÌNH Đ O HÀM RIÊNG CẠ Ơ B N Ả
2 –PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC. BÀI TOÁN LAPLACE
3– PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC. BÀI TOÁN TRUY N Ề
NHI T. SỆ Ơ Đ HI N – NỒ Ệ Ẩ
BA D NG PHẠ ƯƠNG TRÌNH Đ O HÀM RIÊNG CẠ Ơ B NẢ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phương trình elliptic (tĩnh – static):
( )
yxf
y
u
x
u,
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
Phương trình parabolic (truy n nhi t):ề ệ
0
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
x
u
a
t
u
X p x ấ ỉ đ o hàm riêng:ạ
( ) ( ) ( )
t
txuttxu
tx
t
u
∆
−∆+
≈
∂
∂
,,
,
( )
tx,
( )
ttx
∆+
,
t
∆
Phương trình hyperbolic (truy n sóng):ề
0
2
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
x
u
a
t
u
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
,,2,
,x
yxxuyxuyxxu
yx
x
u
∆
∆−+−∆+
≈
∂
∂
xx
∆+
xx
∆−
x
x
∆
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
4321
2
2
2
2
4
x
PuPuPuPuPu
y
u
x
u
∆
−+++
≈
∂
∂
+
∂
∂
P
1
P
2
P
3
P
4
P
BÀI TOÁN ELLIPTIC
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Toán t Laplaceử:
Ptrình Poisson (f ≡ 0: Laplace) & đi u ki n biên Dirichletề ệ
( )
Ω∂=Γ∈=
⊂Ω∈=
∂
∂
+
∂
∂
=∆
),(),,(),(
,),,(),(),(
2
2
2
2
2
yxyxgyxu
Ryxyxfyx
y
u
yx
x
u
u
( )
2
2
2
2
,y
u
x
u
uyxuu ∂
∂
+
∂
∂
=∆⇒=
Gi i b ng ả ằ sai phân h u ữ
h nạ: Chia nh ỏΩ. Tính
x p x ấ ỉ giá tr nghi m u ị ệ
t i các ạđi m chiaể
( )
yxfu ,:
=∆Ω
( )
yxgu ,:
=Γ
MINH H A Ý TỌ Ư NGỞ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính giá tr nghi m u(x, y) c a bài toán sau:ị ệ ủ
( )
( )
( )
( )
( )
*
31,2,1
41,1833,
31,168,4
41,21,
:
31,41,42
2
2
2
2
2
2
2
2
≤≤+=
≤≤+=
≤≤+=
≤≤+=
<<<<+=
∂
∂
+
∂
∂
=∆
yyyyu
xxxxu
yyyyu
xxxxu
yxxy
y
u
x
u
u
BieânKieänÑieàu
t i các ạđi m chia bên trong mi n ể ề đang xét v i bớ ư c ớ
chia cách đ u ề∆x = ∆y = 1