PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
PHNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYT CHUI
BÀI 14
§3. Phép tnh tin và phân thc n gin
• Quy tc phân thc n gin • S cng hưng và nhân t tích lp bc hai
1. M u.
Phưng trình vi phân tuyn tính vi h s hng có nghim là bin i Laplace nghch
o ca hàm hu t
=
( )
( )
( )
P s
R s
Q s
C
n
ư
a ra k
thu
t cho phép tính
{
}
−1
( )
R s
ư
c thu
n l
i.
2. quy tc phân thc n gin
a) Quy tc 1. Phân thc n gin tuyn tính
N
u
Q s
có
( )
−
n
s a
thì
(
)
R s
có các s
h
ng sau
( ) ( )
+ + + ∈ =
−− −
1 2
2
... , , 1,
ni
n
A A A
A i n
s a s a s a
b) Quy tc 2. Phân thc n gin bc hai
N
u
(
)
Q s
có
( )
(
)
− +
2
2
n
s a b thì
(
)
R s
có d
ng
( ) ( ) ( )
+ + +
+ + +
− +
− + − +
1 1 2 2
2 2
22 2
2 2
...
n n
n
A s B A s B A s B
s a b s a b s a b
ó
∈ =
, , 1,
i i
A B i n
nh lí 1. Bin i trên trc
s
N
u
{
}
=
( ) ( )
F s f t
t
n t
i v
i
>
s c
, thì t
n t
i
{
}
( )
at
e f t
v
i
> +
s a c
và có
{
}
( ) ( )
at
e f t F s a
= −
.
Hay t
ư
ng
ư
ng v
i
{
}
1
( ) ( )
at
F s a e f t
−
− =
Chng minh.
Ta có
( )
( )
( )
∞
− −
− =
0
s a t
F s a e f t dt
( )
∞
−
=
0
st at
e e f t dt
( )
{
}
= − >
,
at
e f t s a c
T
k
t qu
này và t
b
ng 4.1.2 có
(
)
f t
(
)
F t
at n
e t
( )
+
>
−
1
!,
n
n
s a
s a
(2.1)
cos( )
at
e kt
( )
−
>
− +
22
,
s a
s a
s a k
(2.2)
sin( )
at
e kt
( )
>
− +
22
,
k
s a
s a k
(2.3)
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
Ví d 1.
Tìm phép bi
n

i Laplace ng
ư
c c
a
a)
+
=
− −
2
3 2
1
( )
2 8
s
R s
sss
•
( ) ( )( )
+
= = + +
+ − + −
2
1
2 4 2 4
s A B C
R s s s s s s s
•
+ = + − + − + +
2
1 ( 2)( 4) ( 4) ( 2)
s A s s Bs s Cs s .
• Thay
=
0
s,
= −
2
s, và
=
4
s
ta có
− =
8 1
A,
=
12 5
B,
=
24 17
C
⇔
= −
1
8
A;
=
5
12
B, =
17
C
•
( )
= − + +
+ −
1 1 5 1 17 1
. . . ,
8 12 2 24 4
R s s s s
•
( )
{ }
− −
= − + +
1 2 4
1 5 17
.
8 12 24
t t
R s e e
b)
( )
+
=
+ +
2
4 2
2
5 4
s s
F s s s
(
( ) ( )
= − − +
1
2 cos sin 2 cos 2 2 sin 2
3
f t t t t t
)
c)
( )
−
=
+ +
2
4 2
2
3 2
s s
F s s s
(
(
)
= − − + +
2 cos sin 2 cos 2 2 sin 2
f t t t t t
)
Ví d 2.
Gi
i bài toán giá tr
ban

u ′′ ′
+ + =
2
4 4
y y y t
;
′
= =
(0) (0) 0.
y y
• Tác

ng phép bi
n

i Laplace ta có
+ + =
2
3
2
( ) 4 ( ) 4 ( ) .
s Y s sY s Y s
s
•
( )
= = + + + +
+
++
3 2 3 2 2
2
( )
2
( 2) 2
A B C D E
Y s s s
s s s s s
•

ng nh
t các h
s
ta có
( )
= − + − −
+
+
3 2 2
3 3
1 1 1
8 8
2 2 4
( )
2
2
Y s s s
s s s
•
− −
= − + − −
2 2 2
1 1 3 1 3
( ) 4 2 8 4 8
t t
y t t t te e
.
Ví d 3.
Xét m
t h
con l
c lò xo v
i
=
1
2
m,
=
17
k
,
=
3
c

n v
(mét, kilôgam, giây).
( )
x t
là kho
ng d
ch chuy
n c
a kh
i l
ư
ng
m
t
v
trí cân b
ng c
a nó. N
u kh
i l
ư
ng
ư
c

t
v
trí
=
(0) 3
x,
=
'(0) 1
x. Tìm
( )
x t
là hàm c
a dao

ng t
do t
t d
n.
Hình 4.3.1.
H
kh
i l
ư
ng-lò xo và v
t c
n c
a Ví d
1
• Ta có ph
ư
ng trình vi phân t
ư
ng
ng v
i bài toán là: ′′ ′
+ + =
1
3 17 0
2
x x x
v
i
i
!
u ki
n ban

u
=
(0) 3
x;
′
=
(0) 1
x
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
• Tác

ng phép bi
n

i Laplace vào hai v
, chú ý
{
}
=
0 0
ta có
[
]
− − + − + =
2
( ) 3 1 6 ( ) 3 34 ( ) 0
s X s s sX s X s
•
( ) ( )
+ +
= = +
+ + + + + +
2 2 2
3 19 3 5
( ) 3. 2
6 34
3 25 3 25
s s
X s s s s s
• S
d
ng (2.2), (2.3) có
(
)
−
= +
3
( ) 3cos5 2sin5
t
x t e t t
Hình 4.3.2.
Hàm v
trí
( )
x t
trong Ví d
1.
T
hình ta th
y

th
c
a dao

ng t
t d
n.
Ví d 4.
a) Xét h
con l
c lò xo - gi
m xóc nh
ư
trong Ví d
3, tuy nhiên v
i
i
!
u ki
n
′
= =
(0) (0) 0
x x và v
i m
t l
c tác

ng bên ngoài
=
( ) 15 sin 2
F t t
. Tìm chuy
n

ng t
c
th
"
i và
n

nh c
a kh
i l
ư
ng
ó.
• Ta c
n gi
i bài toán v
i giá tr
ban

u
+ + =
" 6 ' 34 30 sin2
x x x t
;
= =
(0) '(0) 0
x x .
• Tác

ng phép bi
n

i Laplace vào ta có + + =
+
2
2
60
( ) 6 ( ) 34 ( )
4
s X s sX s X s
s
•
( )
( )
( )
+ +
= = +
+
+ + + + +
2 2
2 2
60
4
4 ( 3) 25
3 25
As B Cs D
X s s
s s s
.
•

ng nh
t ta có = −
10
29
A, =
50
29
B, = =
10
29
C D . Vì v
y,
•
( ) ( ) ( )
− + + − + + −
= + = +
+ +
+ + + +
2 2 2 2
1 10 50 10 10 1 10 25.2 10( 3) 4.5
.
29 29
4 4
3 25 3 25
s s s s
X s s s
s s
• Do
ó
( ) ( )
−
= − + + −
3
5 2
( ) 2cos2 5sin2 5cos5 2 sin5
29 29
t
x t t t e t t
.
b)
(
)
( ) ( ) ( )
′′ ′ ′ ′′
+ − = = = =
3
6 0, 0 0, 0 0 1
x x x x x x
+)
( ) ( ) ( )
− − + − − =
3 2
1 1 6 0
s X s s s X s sX s
+)
( )
+
=
+ −
3 2
2
6
s
X s
s s s
= − − +
+ −
1 5 1 6
15 3 2
s s s
+)
{ }
{ } { }
(
)
−
= − − +
3 2
15 1 6
15
t t
e e
( )
{
}
−
= − −
2 3
1
6 5
15
t t
e e
+)
( )
( )
−
= − −
2 3
1
6 5
15
t t
x t e e
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
c)
(
)
(
)
′′ ′ ′
− + = = =
6 8 2, 0 0 0
x x x x x (
( )
( )
= − +
2 4
11 2
4
t t
x t e e
d)
( ) ( )
−
′′ ′ ′
+ + = = =
4 8 , 0 0 0
t
x x x e x x (
( ) ( )
− −
= − +
2
1
2 2cos2 sin2
10
t t
x t e e t t
)
e)
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
( )
′ ′′
− = = = = =
4 3
0, 0 1, 0 0 0 0
x x x x x x (
( ) ( )
= +
1
cosh cos
2
x t t t
)
f)
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
( )
′′ ′′ ′
+ + = = = = = −
4 3
13 36 0, 0 0 0, 0 2, 0 13
x x x x x x x
(
( )
= +
1 1
sin2 sin3
2 3
x t t t
)
g)
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
( )
′′ ′ ′′
+ + = = = = =
4 2 3
2 , 0 0 0 0 0
t
x x x e x x x x
(
( ) ( ) ( )
= + − − +
2
1
2 10 2 cos 5 14 sin
50
t
x t e t t t t
)
h)
(
)
(
)
′′ ′ ′
+ + = = = −
6 18 cos2 , 0 1, 0 1
x x x t x x
(
( ) ( ) ( )
−
= + + +
3
1 1
489 cos3 307 sin3 7cos 2 6 sin2
510 170
t
x t e t t t t
)
i)
(
)
( ) ( ) ( )
′′ ′ ′ ′′
+ − = = = =
3
12 0, 0 0, 0 0 1
x x x x x x (
( )
−
= − + −
3 4
1 5 1
6 21 14
t t
x t e e
)
k)
(
)
( ) ( ) ( )
′′ ′ ′ ′′
+ − = = = =
3
20 0, 0 0, 0 0 1
x x x x x x (
( )
−
= − + −
4 5
1 1 1
10 6 15
t t
x t e e
)
3. S cng hưng và nhân t tích lp bc hai
Hay dùng hai phép bi
n

i Laplace ng
ư
c c
a hàm phân th
c

n gi
n trong tr
ư"
ng h
p
phân tích l
p b
c hai (nh
n
ư
c khi s
d
ng k
#
thu
t nh
ư
Ví d
5, Bài 2)
( )
−
=
+
1
2
2 2
1
sin
2
s
t kt
k
s k
;
( )
−
= −
+
1
2 3
2 2
1 1
(sin cos )
2
kt kt kt
k
s k
Ví d 5.
S
d
ng phép bi
n

i Laplace

gi
i bài toán v
i giá tr
ban

u
′′ + =
2
0 0
sin
x x F t
ω ω
;
′
= =
(0) 0 (0)
x x
• Tác

ng phép bi
n

i Laplace vào có + =
+
2 2 0
0
2 2
( ) ( ) F
s X s X s
s
ω
ω
ω
•
( )( )
=
+ +
0
2 2 2 2
0
( ) F
X s
s s
ω
ω ω
= −
− + +
0
2 2 2 2 2 2
0 0
1 1
F
s s
ω
ω ω ω ω
,
≠
0
ω ω
tìm
ư
c
(
)
x t
•
N
u
=
0
ω ω
ta có
( )
=
+
0 0
2
2 2
0
( ) F
X s
s
ω
ω
, khi
ó
( )
= −
0
0 0 0
2
0
( ) sin cos
2
F
x t t t t
ω ω ω
ω
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
Hình 4.3.4.
Nghi
m c
ng h
ư
ng trong (18) v
i
=
0
1
2
ω
và
=
0
1
F,
cùng v
i
ư"
ng bao c
a nó
= ±
( )
x C t
Ví d 6.
Gi
i bài toán v
i giá tr
ban

u
(
)
+ + =
4
2 " 4
t
y y y te
;
= = = =
(3)
(0) '(0) "(0) (0) 0
y y y y .
• Có
{
}
′′ =
2
( ) ( )
y t s Y s
,
(
)
{
}
=
44
( ) ( )
y t s Y s
,
{
}
( )
=
−
2
1
1
t
te
s
.
• Tác

ng phép bi
n

i Laplace vào có
(
)
( )
+ + =
−
4 2
2
4
2 1 ( )
1
s s Y s
s
.
•
( )
2 2 2 2 2 2
2
4
( ) 1
( 1) ( 1) ( 1) 1
1
A B Cs D E s F
Y s s
s s s s
s
+ +
= = + + +
−
− + − +
+
• Dùng h
s
b
t

nh có
( )
( )
( )
+
= − + +
−
+
−+
2 2 2
2
1 2 2 2 1
1
1
11
s s
Y s ss
ss
• Do
ó
(
)
= − + + +
( ) ( 2) 1 sin 2cos
t
y t t e t t t
.


