Bài giảng Số phức TS. Lê Xuân Đại: Kinh nghiệm và kiến thức chuyên sâu

SỐ PHỨC

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TS. Lê Xuân Đại

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

1 / 33

TP. HCM — 2013.

Dạng đại số của số phức

Những khái niệm cơ bản

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

2 / 33

Dạng đại số của số phức

Những khái niệm cơ bản

Định nghĩa Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho i 2 = −1.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

3 / 33

Định nghĩa Dạng đại số của số phức là z = a + bi; (a, b) ∈ R2. a gọi là phần thực của số phức z, ký hiệu là Re (z), b gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im (z).

Dạng đại số của số phức

Những khái niệm cơ bản

Tập hợp số phức ta ký hiệu là C. Tập số thực là tập con của tập số phức vì với mọi a ∈ R ta luôn có a = a + 0i. Vậy R ⊂ C.

Ví dụ Số phức −1 + i, 2 + 3i, ...

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

4 / 33

Định nghĩa Tất cả các số phức có dạng 0 + bi, b (cid:54)= 0 được gọi là số thuần ảo. Số phức i, 3i, −i, ... là những số thuần ảo.

Dạng đại số của số phức

Những khái niệm cơ bản

Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng xOy .

Định nghĩa Khoảng cách từ z đến O gọi là môđun của số phức z và ký hiệu là |z| hoặc mod (z).

√

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

5 / 33

a2 + b2 |z| =

Dạng đại số của số phức

Những khái niệm cơ bản

√ Ví dụ Môđun của số phức 1 + i 3 là (cid:113) √ = 2. |z| = 12 +

2 3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

6 / 33

Dạng đại số của số phức

Các phép toán

Định nghĩa số phức bằng nhau Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau.

z1 = a1 + b1i = z2 = a2 + b2i

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

7 / 33

⇐⇒ a1 = a2 và b1 = b2.

Dạng đại số của số phức

Các phép toán

Ví dụ Tìm các số thực x, y thỏa (1 + 2i)x + (3 − 5i)y = 5 − i

Giải.

(1 + 2i)x + (3 − 5i)y = 1 − 3i

⇔ (x + 3y ) + (2x − 5y )i = 5 − i

(cid:26)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

8 / 33

⇔ ⇔ x + 3y = 5 2x − 5y = −1 (cid:26) x = 2 y = 1

Dạng đại số của số phức

Các phép toán

Định nghĩa phép cộng và phép trừ của 2 số phức Cho z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i là 2 số phức. Khi đó

z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i,

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

9 / 33

z1 − z2 = (a1 − a2) + (b1 − b2)i.

Dạng đại số của số phức

Các phép toán

Ví dụ Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (2 + 3i) + (−3 + 4i) − (6 − 5i)

Giải.

z = (2 − 3 − 6) + (3 + 4 − 5)i = −7 + 2i

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

10 / 33

⇒ Re (z) = −7, Im (z) = 2.

Dạng đại số của số phức

Các phép toán

Định nghĩa phép nhân của 2 số phức Cho z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i là 2 số phức. Khi đó

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

11 / 33

z1.z2 = (a1.a2 − b1.b2) + (a1.b2 + a2.b1)i.

Dạng đại số của số phức

Các phép toán

Ví dụ Cho z1 = 1 + 2i, z2 = 2 + bi. Tìm tất cả b sao cho z1.z2 là số thực.

Giải.

z1.z2 = (1.2−2.b)+(1.b+2.2)i = (2−2b)+(b+4)i.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

12 / 33

Để z1.z2 là số thực thì b + 4 = 0 ⇒ b = −4.

Dạng đại số của số phức

Số phức liên hợp

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

13 / 33

Định nghĩa Số phức z = a − bi được gọi là số phức liên hợp của số phức z = a + bi.

Dạng đại số của số phức

Số phức liên hợp

z − z = 2i.Im (z).

. =

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

14 / 33

Tính chất của số phức liên hợp 1 z + z = 2.Re (z), 2 z.z = |z|2. 3 z = z khi và chỉ khi z là một số thực. 4 z1 ± z2 = z1 ± z2. 5 z1.z2 = z1.z2. z1 z1 z2 z2 7 z = z. 8 z n = (z)n, ∀n ∈ N

Dạng đại số của số phức

Phép chia 2 số phức

= = Định nghĩa phép chia 2 số phức a1 + b1i a2 + b2i z1 z2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

15 / 33

+ i. = z1 z2 (a1 + b1i)(a2 − b2i) (a2 + b2i)(a2 − b2i) a2b1 − a1b2 2 + b2 a2 2 a1a2 + b1b2 2 + b2 a2 2

Dạng đại số của số phức

Phép chia 2 số phức

Ví dụ

Tính z = 2 + 3i 1 + 2i

Giải.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

16 / 33

− z = = i. 2 + 3i 1 + 2i 2.1 + 3.2 12 + 22 + 1.3 − 2.2 12 + 22 i = 8 5 1 5

Dạng lượng giác của số phức

Những khái niệm cơ bản

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

17 / 33

Cho số phức z = a + bi, z (cid:54)= 0. Gọi r là khoảng cách từ z tới gốc O và ϕ là góc giữa hướng dương của trục thực và bán kính véctơ của điểm z.

Dạng lượng giác của số phức

Những khái niệm cơ bản

Định nghĩa Biểu thức z = r (r cos ϕ + i sin ϕ) gọi là dạng lượng giác của số phức z. Ở đây r = |z| chính là môđun của số phức z, ϕ gọi là acgumen của số phức z và ký hiệu là Arg z

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

18 / 33

Chú ý. Góc ϕ được giới hạn trong khoảng 0 (cid:54) ϕ < 2π hoặc −π < ϕ (cid:54) π.

Dạng lượng giác của số phức

Các phép toán

Cho z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2) Sự bằng nhau.

(cid:26) r1 = r2 z1 = z2 ⇔ ϕ1 = ϕ2 + k2π, k ∈ Z

Phép nhân hai số phức.

z1.z2 = r1.r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

19 / 33

= (cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)), z2 (cid:54)= 0. Phép chia hai số phức. z1 z2 r1 r2

Dạng lượng giác của số phức

Các phép toán

√ Ví dụ Tìm mod (z) = r và argument Arg (z) = ϕ của số phức z = (1 + i 3)(2 − 2i).

Giải. √

+i sin )+i sin(− )) = ).2 z = 2(cos 2(cos(− π 4 π 3 √

− − = 4 )) = π 4 2(cos( √

= 4 ). + i sin

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

20 / 33

π 3 π π 3 4 2(cos √ ) + i sin( π 12 2 và ϕ = Vậy mod (z) = r = 4 π 4 π 3 π 12 π . 12

Dạng lượng giác của số phức

Các phép toán

Ví dụ √ 3 1 + i . Tìm argument ϕ của số phức z = 1 + i

Giải.

z = =

√

− = )) = π 4 2(cos( √

2(cos π √ 2(cos π π π 3 4 2(cos + i sin ). =

3 + i sin π 3 ) 4 + i sin π 4 ) π − ) + i sin( 3 π π 12 12

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

21 / 33

. Vậy ϕ = π 12

Dạng mũ của số phức

Công thức Euler

Định lý

eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ

Nếu z = eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ thì |z| = 1 và z −1 = = 1 cos ϕ + i sin ϕ

= cos ϕ − i sin ϕ.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

22 / 33

cos ϕ − i sin ϕ (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ϕ − i sin ϕ) Vậy z −1 = z.

Dạng mũ của số phức

Dạng mũ của số phức là z = reiϕ

Ví dụ √ 3 . Tìm dạng mũ của số phức z = −1 + i 1 − i

Giải.

3 −i −π

4 =

√ √ 3 = = 2ei 2π z = −1 + i 1 − i

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

23 / 33

2ei 2π √ 2ei −π √ 2ei 11π =

Dạng mũ của số phức

Ví dụ Biểu diễn các số phức có dạng z = e2+iy , y ∈ R lên mặt phẳng phức.

Giải.

z = e2+iy = e2.eiy = e2(cos y + i sin y ).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

24 / 33

Vì y là 1 số thực bất kỳ nên tập hợp tất cả những số phức có dạng z = e2+iy , y ∈ R là đường tròn tâm O bán kính r = e2.

Nâng số phức lên lũy thừa

Lũy thừa của số phức i

i 1 = i, i 2 = −1, i 3 = i 2.i = −i, i 4 = (i 2)2 = 1,

i 5 = i 4.i = i, i 6 = i 4.i 2 = −1, i 7 = i 4.i 3 = −i, i 8 = (i 4)2 = 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

25 / 33

Định lý Giả sử n là 1 số tự nhiên, khi đó i n = i r , với r là số dư khi chia n cho 4.

Nâng số phức lên lũy thừa

Lũy thừa của số phức i

Ví dụ Tính i 2011.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

26 / 33

Giải. Ta có 2011 = 4.502 + 3. Vậy i 2011 = i 3 = −i.

Nâng số phức lên lũy thừa

Công thức Moivre

Định lý Cho r > 0 và n là 1 số tự nhiên. Khi đó

(r (cos ϕ + i sin ϕ))n = r n(cos nϕ + i sin nϕ)

Định lý Cho n là 1 số tự nhiên. Khi đó

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

27 / 33

(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ,

Nâng số phức lên lũy thừa

Công thức Moivre

√ Ví dụ Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để số z = (− 3 + i)n là 1 số thuần ảo.

√

6 + i sin 5π

6 ))n =

3 + i)n = (2(cos 5π 6 ).

Giải. z = (− = 2n(cos 5nπ 6 + i sin 5nπ Như vậy, để z là số thuần ảo thì

. cos = 0 ⇔ = + kπ ⇔ n = 5nπ 6 5nπ 6 π 2 3 + 6k 5

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

28 / 33

Số k nhỏ nhất để 3 + 6k chia hết cho 5 là k = 2 ⇒ n = 3.

Khai căn số phức

Định nghĩa Căn bậc n của số phức z là số phức w sao cho w n = z, trong đó n là 1 số tự nhiên.

Định lý Cho z = a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ). Khi đó

√ n + i sin ) r (cos √ z = wk = n ϕ + k2π n ϕ + k2π n

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

29 / 33

với k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

Khai căn số phức

Định lý Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt.

Ví dụ √ Cho z = 1 − i. Tìm 3 z.

. √

2(cos + i sin ) −π 4

√ ⇒ 3 2(cos + i sin ), −π 4 −π 4 + k2π 3

−π 4 + k2π 3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

30 / 33

z = 1 − i = z = 6√ (k = 0, 1, 2)

Định lý cơ bản của đại số

Định lý Phương trình bậc n, n ∈ N∗,

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

31 / 33

anx n + an−1x n−1 + . . . + a1x + a0 = 0 (an (cid:54)= 0, ai ∈ C, i = 1, n) có đúng n nghiệm kể cả nghiệm thực, phức và bội của nó.

Định lý cơ bản của đại số

Định lý Cho phương trình bậc n, n ∈ N∗

anx n + an−1x n−1 + . . . + a1x + a0 = 0,

(an (cid:54)= 0, ai ∈ R, i = 1, 2, . . . , n). Nếu x = α là nghiệm của phương trình thì x = α cũng là nghiệm của nó.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

32 / 33

Hệ quả Phương trình bậc n với hệ số thực nếu có nghiệm phức thì sẽ có cặp nghiệm phức liên hợp.

Định lý cơ bản của đại số

Ví dụ Giải phương trình z 4 + z 3 + 3z 2 + z + 2 = 0 trong C biết z = i là 1 nghiệm của phương trình.

Giải. Vì z = i là 1 nghiệm của phương trình nên z = −i cũng là nghiệm của phương trình này. Do đó z 4+z 3+3z 2+z +2 = 0 ⇔ (z 2+1)(z 2+z +2) = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

33 / 33

 z = ±i √ ⇔ 3  z = −1 ± i 2

Thực hành MatLab

1 Lấy phần thực của số phức z : real (z) 2 Lấy phần ảo của số phức z : imag (z) 3 Lấy modul của số phức z : abs(z) 4 Lấy góc ϕ của số phức z : angle(z) 5 Số phức liên hợp của số phức z : conj(z)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

34 / 33

Kết thúc

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

SỐ PHỨC

TP. HCM — 2013.

35 / 33

THANK YOU FOR ATTENTION