Bài giảng Toán ứng dụng trong kinh tế: Chương 8

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA KINH TẾ - BỘ MÔN KINH TẾ HỌC

TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Chương 8: Phương trình sai phân

TS. Lê Minh Hiếu

Năm 2021

Nội dung

1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM

2. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 HỆ SỐ HẰNG (ÔTÔNÔM)

3. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 TỔNG QUÁT

TS. Lê Minh Hiếu

TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8

Năm 2021

2 / 16

4. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 4.1 Phương trình ôtônôm hệ số hằng thuần nhất 4.2 Phương trình ôtônôm hệ số hằng KHÔNG thuần nhất 4.3 Phương trình phi ôtônôm hệ số hằng

Một số khái niệm

1. Một số khái niệm

Cho hàm số yn = f (n), n ∈ N hay n ∈ N ∗. Hiệu số yn+1 − yn = f (n + 1) − f (n) gọi là sai phân cấp 1 của hàm số yn. Kí hiệu:

∆yn = yn+1 − yn;

Sai phân của sai phân cấp 1 gọi là sai phân cấp 2 của hàm số yn. Kí hiệu là ∆2yn:

∆2yn = ∆(∆yn) = ∆yn+1 − ∆yn = yn+2 − 2yn+1 + yn;

(a) Φ (n, yn, yn+1) = 0, (b) Φ (n, yn, yn+1, yn+2) = 0,

TS. Lê Minh Hiếu

TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8

Năm 2021

3 / 16

Phương trình sai phân cấp 1 có dạng: Phương trình sai phân cấp 2 có dạng: Nghiệm của phương trình sai phân là hàm số có dạng yn = ϕ(n) sao cho nó thỏa mãn phương trình (a) hoặc (b).

Một số khái niệm

Khái niệm nghiệm tổng quát, nghiệm riêng; nghiệm riêng được xác định khi cho điều kiện đầu;

Phương trình sai phân ôtônôm là phương trình không chứa biến n;

Giải phương trình: yn+1 = yn + 5

Đặt y0 = C, C là hằng số bất kỳ; Sử dụng phương pháp lặp: y1 = y0 + 5 = C + 5,

y2 = y1 + 5 = C + 2 × 5,

y3 = y2 + 5 = C + 3 × 5, ...

TS. Lê Minh Hiếu

TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8

Năm 2021

4 / 16

Nghiệm tổng quát là: yn = 5n + C Nếu cho điều kiện đầu thì có thể xác định được hằng số C.

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng (Ôtônôm)

2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng (Ôtônôm)

Dạng: p, q = const, yn+1 + pyn = q,

Nếu q = 0 thì gọi là phương trình thuần nhất; Nếu q (cid:44) 0 thì gọi là phương trình không thuần nhất;

Phương trình thuần nhất: Chọn y0 = C, C = const yn = C (−p)n

Phương trình không thuần nhất:

yn = C + qn,

TS. Lê Minh Hiếu

TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8

Năm 2021

5 / 16

TH p = −1: TH p (cid:44) −1: + C (−p)n . yn = q 1 + p

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 tổng quát

3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 tổng quát

Dạng:

yn+1 + pnyn = qn,

trong đó, pn và qn là các hàm số với biến rời rạc n = 0, 1, 2, ...

n−1 Y

n−1 X

Nghiệm tổng quát:

! ,

k=0

i=k

yn = y0 bi bk + qk bk

TS. Lê Minh Hiếu

TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8

Năm 2021

6 / 16

trong đó: bn = −pn.

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

Phương trình ôtônôm hệ số hằng thuần nhất

4. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

4.1. Phương trình ôtônôm hệ số hằng thuần nhất

Dạng: yn+2 + pyn+1 + qyn = 0,

trong đó, p và q là các hằng số. Phương trình đặc trưng: k2 + pk + q = 0, (1)

- TH1: phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt k1 (cid:44) k2

1 + C2kn

yn = C1kn

2 , C1, C2 = const, p 2 (cid:19)n

- TH2: phương trình (1) có nghiệm kép k1 = k2 = −

(cid:18)

TS. Lê Minh Hiếu

TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8

Năm 2021

7 / 16

− , yn = (C1n + C2) p 2

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

Phương trình ôtônôm hệ số hằng thuần nhất

- TH3: phương trình đặc trưng (1) có 2 nghiệm phức liên hợp k1,2 = α ± βi Nghiệm tổng quát có dạng:

yn = rn (C1 sin θn + C2 cos θn) , C1, C2 = const,

trong đó:

q

α2 + β2, cot θ = . r = α β

Ví dụ 4.1

Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sai phân sau:

a) yn+2 + 4yn+1 + 3yn = 0,

b) yn+2 − 6yn+1 + 9yn = 0,

TS. Lê Minh Hiếu

TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8

Năm 2021

8 / 16

c) yn+2 − 2yn+1 + 4yn = 0.

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

Phương trình ôtônôm hệ số hằng thuần nhất

a) yn+2 + 4yn+1 + 3yn = 0

HD: Phương trình đặc trưng k2 + 4k + 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt: k1 = −1, k2 = −3. Vậy nghiệm tổng quát là:

yn = C1(−1)n + C2(−3)n, C1, C2 = const.

b) yn+2 − 6yn+1 + 9yn = 0

TS. Lê Minh Hiếu

TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8

Năm 2021

9 / 16

HD: Phương trình đặc trưng k2 − 6k + 9 = 0 có nghiệm kép k1 = k2 = 3. Vậy nghiệm tổng quát là: yn = (C1n + C2)3n, C1, C2 = const.

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

Phương trình ôtônôm hệ số hằng thuần nhất

c) yn+2 − 2yn+1 + 4yn = 0

√ 3i √ 3 HD: - Phương trình đặc trưng k2 − 2k + 4 = 0 có 2 nghiệm phức liên hợp: k1,2 = 1 ± - Suy ra: α = 1 và β = - Tính được:

√

q

1 √ r = α2 + β2 = 1 + 3 = 2, cot θ = = ⇒ θ = α β π 3 3

- Nghiệm tổng quát có dạng:

(cid:19)

(cid:18)

TS. Lê Minh Hiếu

TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8

Năm 2021

10 / 16

n n + C2 cos , C1, C2 = const. yn = rn (C1 sin θn + C2 cos θn) = 2n C1 sin π 3 π 3

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

Phương trình ôtônôm hệ số hằng KHÔNG thuần nhất

4.2. Phương trình ôtônôm hệ số hằng KHÔNG thuần nhất

Dạng:

n là một nghiệm riêng của phương trình KHÔNG thuần nhất (2); ¯yn là nghiệm tổng quát

p, q, r = const. (2) yn+2 + pyn+1 + qyn = r,

n + ¯yn.

Nghiệm tổng quát: Gọi y∗ của phương trình thuần nhất tương ứng (yn+2 + pyn+1 + qyn = 0); khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (2) là: yn = y∗

n của phương trình (2) như thế nào?

TS. Lê Minh Hiếu

TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8

Năm 2021

11 / 16

¯yn đã biết cách tìm (xem lại phần 4.1); Cách tìm nghiệm riêng y∗

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

Phương trình ôtônôm hệ số hằng KHÔNG thuần nhất

Công thức nghiệm riêng y∗ n

Trường hợp 1: Nếu p + q (cid:44) −1

, y∗ n = r 1 + p + q

Trường hợp 2: Nếu p + q = −1 và p (cid:44) −2

n, y∗ n = r p + 2

Trường hợp 3: Nếu p = −2 và q = 1

n2. y∗ n = r 2

Ứng dụng: Giải phương trình yn+2 − yn+1 + yn = 2 với y0 = 4 và y1 = 7.

TS. Lê Minh Hiếu

Năm 2021

12 / 16

1 4 TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

Phương trình phi ôtônôm hệ số hằng

4.3. Phương trình phi ôtônôm hệ số hằng

Dạng:

n là một nghiệm riêng của phương trình (3); ¯yn là nghiệm tổng quát của phương trình

p, q = const, (3) yn+2 + pyn+1 + qyn = rn, rn = r(n), n ∈ N.

n + ¯yn.

Nghiệm tổng quát: Gọi y∗ thuần nhất tương ứng (yn+2 + pyn+1 + qyn = 0); khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (3) là: yn = y∗

- Xét hàm số rn có dạng: β (cid:44) 0, rn = Pm(n)βn,

TS. Lê Minh Hiếu

TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8

Năm 2021

13 / 16

trong đó, Pm(n) là đa thức bậc m theo biến n.

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

Phương trình phi ôtônôm hệ số hằng

- Xét phương trình đặc trưng: k2 + pk + q = 0. (4)

n: có 2 trường hợp Nếu phương trình đặc trưng (4) có nghiệm thực khác β thì

n = Qm(n)βn, y∗

Cách tìm nghiệm riêng y∗

trong đó, Qm(n) là đa thức bậc m theo biến n (tức là cùng bậc với đa thức Pm(n)), và được xác định bằng phương pháp hệ số bất định;

n = nsQm(n)βn, y∗

Nếu phương trình đặc trưng (4) có nghiệm thực bằng β thì

TS. Lê Minh Hiếu

TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8

Năm 2021

14 / 16

trong đó, s = 1 nếu β là nghiệm đơn, s = 2 nếu β là nghiệm kép.

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

Phương trình phi ôtônôm hệ số hằng

Ví dụ 4.2

(a) yn+2 − 3yn+1 − 4yn = 5 × 4n

Hướng dẫn: - Phương trình đặc trưng k2 − 3k − 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt k1 = 4, k2 = −1; - Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng:

¯yn = C14n + C2(−1)n, C1, C2 = const;

- Nghiệm riêng của phương trình (a) có dạng: y∗

n = n4n−1;

n = nA4n; 1 - Thay nghiệm riêng vào phương trình (a), tìm được A = 4

, nên y∗

- Nghiệm tổng quát của phương trình (a) là:

TS. Lê Minh Hiếu

TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8

Năm 2021

15 / 16

yn = n4n−1 + C14n + C2(−1)n, C1, C2 = const.

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2