Luận văn Thạc sĩ: Gradient suy rộng và ứng dụng vào bài toán tối ưu không trơn

Luận văn này nghiên cứu bài toán tối ưu không trơn, một lĩnh vực quan trọng trong tối ưu hóa do các hàm không khả vi gây ra nhiều thách thức trong việc xây dựng phương pháp giải. Với tính ứng dụng thực tiễn cao, việc phát triển các phương pháp giải cho bài toán này luôn thu hút sự quan tâm của giới toán học.

Sinh viên sau đại học, nghiên cứu sinh, giảng viên và các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực toán ứng dụng, tối ưu hóa, và các ngành liên quan có quan tâm đến tối ưu không trơn.

Luận văn tập trung nghiên cứu chuyên sâu về Gradient suy rộng và ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán tối ưu không trơn. Mở đầu, luận văn trình bày tổng quan về tối ưu không trơn, nêu bật những khó khăn cố hữu so với tối ưu trơn do sự không khả vi của hàm mục tiêu hoặc hàm ràng buộc. Dù vậy, tầm quan trọng trong ứng dụng thực tiễn của các bài toán này thúc đẩy sự phát triển các phương pháp giải mới. Mục tiêu chính của luận văn là cung cấp kiến thức nền tảng về tối ưu không trơn, đồng thời đề xuất các điều kiện tối ưu và giới thiệu một số phương pháp số học để giải quyết chúng. Cụ thể, Chương 1 đi sâu vào khái niệm Gradient suy rộng, khởi nguồn từ ý tưởng vi phân suy rộng của Clarke. Chương này định nghĩa các khái niệm cơ bản như hàm Lipschitz, đạo hàm theo hướng Dini, và Gradient suy rộng, cùng với việc phân tích các tính chất quan trọng và mối liên hệ giữa vi phân suy rộng và dưới vi phân. Các ví dụ minh họa được đưa ra để tăng cường sự dễ hiểu. Chương 2 trình bày các điều kiện tối ưu cho bài toán không trơn và giới thiệu chi tiết nhiều phương pháp giải bằng số, bao gồm phương pháp dưới gradient, phương pháp siêu phẳng cắt, phương pháp bó, phương pháp miền tin cậy đối với hàm hợp không trơn và phương pháp Newton không trơn. Luận văn phân tích cách các phương pháp này được mở rộng hoặc cải tiến từ các ý tưởng đã có để tăng tốc độ hội tụ. Tác giả đã nỗ lực sắp xếp nội dung một cách rõ ràng, so sánh và nhận xét về ưu nhược điểm của từng phương pháp, với hy vọng khắc phục các hạn chế hiện có và phát triển các thuật toán hiệu quả hơn trong tương lai.