Bài giảng Trường điện từ: Chương 3 - Châu Văn Bảo (ĐH Công nghiệp TP.HCM)

Chương 3:

MẬT ĐỘ ĐIỆN THÔNG, ĐỊNH LUẬT GAUSS, VÀ ĐỊNH LÝ DIVERGENCE

1

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

3.1. MẬT ĐỘ ĐIỆN THÔNG 1. Định nghĩa: D (C/m2) Mật độ điệnthông Ddo điệntích Q t ạora t ạiPlà1vect ơ cóchi ều của điệntr ườngEvàcó độ lớn bằng mật độ điệntích ρs tạiP.

oE (C/m2)

D = e (2)

Q

=

2. Mật độ điệnthông c ủa điệntích tại 1 điểm(FigC3.1) Trong hệ tọa độ cầu

D

a

r

2

rp 4

(1)

Figure C3.1

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

2

3.1. MẬT ĐỘ ĐIỆN THÔNG 3. Mật độ điện thông của điện tích phân bố theo đường (Fig C3.2)

=

TRong hệ tọa độ trụ (CCS) dọctheotr ục z ρL :là m ật độ điệntích

D

a

r

r L 2 pr

(C1)

Figure C3.2

4. Mật độ điện thông xuyên qua mặt phẳng S (Fig C3.3)

= Sr

rS :Là mật độ điệntích m ặt

D

(C2)

a N2

Figure C3.3

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

3

3.1. MẬT ĐỘ ĐIỆN THÔNG

VD3.1. Điệntíchphân b ốđề u với mật độ ρL =8nC/m d ọctheo trụcz.Tìm E và D tại điểmPcáchtr ụczkho ảng3m. Giải. Điện trường E tại P (r , f

- ·

(V/m)

, z) là 9 =

a rr

12

r

)

- ·

r == L Eaa 2 per o

810143.8 r 2(8.85410 p Tại r =3m, E =47.9 ar(V/m) Thôngqua E,tatìm D

9

2 (C/m )

rr

r

- - · ·

9 8101.27310 a r

r == L Daa 2 prpr

= 2 Tại r =3mthì D =0.424 ar (nC/m2)

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

4

q < p /2and

r =26cmand

3.1. Electric Flux Density DRILLPROBLEM3.1. Given a90 m Cpointchargelocatedat theorigin,findthetotalelectricfluxpassingthrough: (a)thatportionofthespherer =26cmboundedby 0 < 0 < f < p /2;(b)theclosedsurfacedefinedby z = – 26cm;(c)theplanez=26cm. ANSWERS. (a)7.5 ( m C);(b)60 ( m C);(c)30 ( m C)

r

SB =20mC/monthe SC =120 m C/m2 ontheplane

r

DRILLPROBLEM3.2. Calculate D inrectangularcoordinates atpointP(2,–3,6)producedby:(a)apointcharge Q A =55mCat PA (–2,3,–6);(b) auniformlinecharge xaxis;(c)auniformsurfacecharge z=–5m. ANSWERS:

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

5

(a) 6.38 ax –9.57 ay + 19.14az (m C/m2); (b) –212 ay + 424 az (m C/m2); (c) 60az (m C/m2)

3.2. ĐỊNH LUẬT Gauss 1. Mật độ điện thông Φ a. D đều, S phẳng, D vuông góc với S

Φ = DS (C3)

Figure C3.4a

! Nếu S làvect ơ có hướng aN,thì độ lớn:

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

6

Φ = D . S (C4)

3.2. ĐỊNH LUẬT Gauss

b. Nếu D đều, Sph ẳng, D có

(C5)

Φ = DN S Φ = DS cosq Φ = D. S

hướng bất kỳ.

Figure C3.4b

< p /2;

q

;

!Φ > 0 nếu 0 £ !Φ < 0 nếu p /2 < q !Φ = 0 nếu q = p /2

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

7

£ p

3.2. Gauss’s Law c. D và S bất kỳ (Fig 3.2)

l Chia Sthànhnhi ềudi ệntích

viphândS

l aN làvect ơ pháptuy ến của S

tạiP.

l dS = dSaN làvect ơ phần tử

mặt tại P củaS.

Figure 3.2

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

8

(C6) dΦ = DN dS = DdScosq = D . dSaN = D . dS

3.2. Gauss’s Law 1. Điện thông tổng xuyên qua S theo hướng an:

y

(C7)

D S(cid:215) d

= (cid:242)

S

2. NếuSlà m ặtkín,vect ơ an hướngrangoài:

y y

= = outenc outenc

(5)

S

(cid:242)

(cid:242) D s = = D S(cid:215) Q d Q d . (cid:209) S

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

9

3.2. Gauss’s Law Điện tích Q được bỡi những công thức sau: n

(pointcharge)

Q

= (cid:229)

Q k

= 1

k

(C8) •

(linecharge)

L

L

(C9) •

(surfacecharge)

S

S

(C10) •

(volumecharge)

v

= (cid:242) QdL r = (cid:242) QdS r = (cid:242) Qdv r

v

(C11) •

Gausscóth ể viết

(cid:215)

= D S ddv

r

v

S

v

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

10

(6) (cid:242) (cid:242)

3.2. Gauss’s Law Địnhlu ậtGauss: Điệnthông t ổngthoátrakh ỏiS b ằng điệntích tổngch ứatrongS. Chứng minh định luật Gauss

Q

= Da

= a S ; ddS

r

r

2

ap 4

Q

Điện thông tổng thoát ra khỏi mặt cầu S

(cid:215)

= D S ddS

2

S

S

ap 4

(cid:242) (cid:242)

Q

2

2

S

(cid:242)

a a == 4 p Q = dSS Q 4 p

(Gauss’s Law) hay Φout = Qc

Figure 3.3

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

11

3.2. Gauss’s Law DRILL PROBLEM 3.3. Given the Electric Flux Density

D = 0.3 r2ar (nC/m2) in free space:

(a) Find E at point P (r = 2, q = 25o, f = 90o) (b) Find the total charge within the sphere r = 3 (c) Find the total elctric flux leaving the sphere r = 4 ANSWERS. (a) 135.5 ar (V/m); (b) 305nC; (c) 965nC

DRILL PROBLEM 3.4. Calculate the total electric flux leaving the cubical surface formed by the six planes x, y, z = – 5, if the charge distribution is:

(m C/m) at x = –2, y = 3.

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

12

(a) two point charges: 0.1 m C at (1, –2, 3) and 1/7m C at ( –1, 2, –2) (b) a uniform line charge of p (c) a uniform surface charge of 0.1 (m C/m2) on the plane y = 3x ANSWERS (a) 0.243 m C; (b) 31.4 m C; (c) 10.54 m C

3.3. Áp dụng định luật Gauss:

ần

Dùng dịnhlu ậtGauss để tìm D, rồisuyra E 1.ChiaSra2ph § S┴ trên đó D vuônggóc v ới S (D // dS), thì D.dS =D.Ds § S// trên đóDsongsong v ới S (D ┴ dS),thì D.dS = 0

2.Trên S ┴ biên độ của Dlà:D = constant Áp dụng định luật Gauss:

D

S Q

SS

^ (cid:242) (cid:242) (cid:242)

(cid:215)=(cid:215)== = S D ddDdSDS S

=

=

^ ^

D

and

Suyra

D

a

N

Q S

Q S

(C12) ^ ^

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

13

aN là vectơ pháp đơn vị của S^

3.3. Application of Gauss’s Law

ọa độ cầu(FigC3.3).Dùng ĐL

q VD3.1 . Cho điệntíchQtrong t , f ). Gausstìm D và E tạiP(r,

Q

D

2

QQ = == S

S

GIẢI.

rp 4

=

^

= Da

D

r

r

2

Q a rp 4

Q

=

=

E

a

r

2

D e

r

4 pe

o

o

Figure C3.3

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

14

3.3. Application of Gauss’s Law

để tìm điện VD3.3. Dùng ĐLGauss trường đo điệntíchphân b ốđề u với mật độ ρL trên đườngth ẳngvô t ận. GIẢI. Chọn đườngth ẳngmang địệntích là2tr ụcz.Ch ọn mặtGauss đặcbi ệtlà mặttr ụ trònxoay,bánkính ρ vàchi ều caoL. ĐiểmP( r ,z) , f

D = Dr (r )ar

Figure 3.4

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

15

3.3. Application of Gauss’s Law: Some SCD

S^

II

= S1US3

L

=

=== D D r

r 2

L r L 2 L prpr

Here = S2, and S Using (C12), we have:

^

= Da

Drr

r

=

= E Er

=

= Ea

Err

r

Q S r = L a 2 pr r L 2 pe r o r L a 2 pe r o

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

16

3.3. Application of Gauss’s Law: Some SCD

VD3.4. Xét mộtcáp đồngtr ục gồmhai m ặttr ụđồ ngtr ụcdàivô ả sử mặttr ụ trongmang điệntích tậnbánkính avà b(0

GIẢI. Tương tự như VD3.3:

a

(

a

b

)

< < r

r

=

(cid:236)

(cid:237) (C12)

D

<

r L 2 pr 0(

aor )

> b

r

r

(cid:238)

L

r (cid:236)

a

=

E

2

(cid:239) r (a<ρ

(cid:239) (a>ρ or ρ>b) (cid:238)

0 0 L = 2p ar

S là mật độđườ ng

where r

Figure 3.5

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

17

3.3. Application of Gauss’s Law: Some SCD

Sb, D and E.

Sa, r

r EXAMPLE3.2. Cho mộtcáp đồngtr ụcL=50cm, a=1mmand b=4mm,Q=30nC.Tìm

SOLUTION

9

2

•

C m )

r

9.55(/ m

Sa

- ·

Q == a 2 aL p

-

3010 = 3 2(10)(0.5) p 9

3010

2

•

C m )

r

2.39(/ m

Sb

- - ·

Q === - b 2 bL p

3 2(410)(0.5) p

• In the region 1 < r < 4mm, we have

D r

2 )

r

r

a r 9.551079 === = Sa DnCmEV m (/);(/ r rre

o

- ·

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

18

• In the region r < 1mm or r > 4mm, D and E are zero

3.3. Application of Gauss’s Law: Some SCD

m Cislocatedat

DRILLPROBLEM3.5. Apointchargeof0.25 r=0,anduniformsurfacechargedensitiesarelocatedasfollows:

at r = 1cm, and

2mC/m2 –0.6mC/m2 at r = 1.8cm.

(c) r = 2.5cm

Calculate D at: (a) r = 0.5cm; (b) r = 1.5cm; (d)Whatuniformsurfacechargedensityshouldbeestablishedat r=3cmtocause D =0atr=3.5cm?

ANSWERS

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

19

(a) 796 ar (m C/m2) ; (b) 977 ar (m C/m2) (d) –28.3 (m C/m2) (c) 40.8 ar (m C/m2);

3.4. ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS:

l Cho điểm bất kỳ P(x,y,z). l D = Dxoax + Dyoay + Dzoaz là mật độ điện

In Fig 3.6:

thông tại tạiP.

l D Slà 1 hộpch ữ nhậtnh ỏ, cóchi ềudài

là D x, D y,và D z.

l D v = D x D y D zlà thể tích hộpch ữ nhật

nhỏ.

v là mật độ điệntích t ại P

l D Slà mặtph ẳngkín bao bọc D v l D Qlà t ổng điệntích chứatrong D v l r l D Φ làthông l ượng thoátrakh ỏihình h ộp

D S

Figure 3.6

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

20

ượngthoátrakh ỏi D S

3.4. ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS: Áp dụng dịnhlu ậtGauss(5),thông l bằng tổng điệntíchch ứatrong D v

D

z

y==D

»++

¶ (cid:230) (cid:246) ¶ ¶ D D (cid:215)

D S dQ

D v

S

D x xy

y y

(cid:231) (cid:247) (7) (cid:242) D ¶ ¶ ¶ Ł ł

Áp dụng ĐLGausscho m ặtkín D Sbaoquanhth ể tích D v vàcho kếtqu ả gần đúng ở côngth ức(7) :

D

D

z

v

D x xy

y z

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

21

¶ (cid:230) (cid:246) ¶ ¶ D D Điện tích trong thể tích (cid:231) (cid:247) D Q »++· v (8) ¶ ¶ ¶ Ł ł

3.4. ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS: EXAMPLE3.3. Tìm tổng điệntíchtrong m ộtth ể tích10 –9m3, tại gốc tọa độ, nếucho:

D = e–x siny ax – e–x cosy ay + 2z az (C/m2)

SOLUTION. Trước tiên ta tìm 3 thành phần trong (8):

D

D

z

=-=

=

x 2

x eye

sin;sin; y

¶ ¶ ¶ - -

D x xy

y z

¶ ¶ ¶

Tổng điệntíchtrongth ể tích D v tạiP(x,y,z)là:

D Q = 2 D v

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

22

Tại gốc tọa độ, nếu D v = 10–9m2, thì chúng ta có D Q = 2nC.

3.4. ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS: DRILL PROBLEM 3.6. In free space, let

D = 8xyz4ax + 4x2z4ay + 16x2yz3az (pC/m2)

(a) Find the total electric flux passing through the rectangular surface (z = 2, 0 < x < 2, 1 < y < 3), in the az direction.

(b) Find E at (P (2, –1, 3). (c) Find an approximate value for the total charge contained in an

incremental sphere located at P (2, –1, 3) and having a volume of 10–12 (m3).

ANSWERS

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

23

(a) 1365 (pC) (b) –146.4ax + 146.4ay –195.2 az (V/m) (c) –2.38 ×10 –21 (C)

3.5. Divergence

Từ (7) có:

(cid:215)

D S d

ψ

Q

y

S

D ++»=

=

¶ ¶ (cid:242) ¶ D D D

D x xyzvv

D z v

¶ ¶ ¶ D D D

D

Q

z

D y ++==

r

v

ψ = limlim v 0

v

0

D x xyzv

v

¶ ¶ ¶ D D (9) or ¶ ¶ ¶ D D D fi D fi

Chúng ta có thể viết (9) dưới dạng 2 phương sau:

(cid:215)

D S d

D

y

S

z

•

D ++=

¶ ¶ (cid:242) ¶ D D (10)

ψ limlim v 0

v

0

D x xyzv

= v

¶ ¶ ¶ D D D fi D fi

D

D

z

•

++

=

r

v

¶ ¶ ¶

D x xy

y z

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

24

(11) ¶ ¶ ¶

3.5. Divergence 1. Định nghĩa: Nếu A là một trường vectơ, thì divergence của

A tại điểm P được định nghĩa là:

(cid:215)

A

d

S

d

S

=

=

div

(cid:242) F (13)

A

(cid:209) lim D v 0

vdv

D D fi

!

(C13)

Divergence của vectơ A bằng thông lượng thoát ra khỏi một mặt kín nhỏ trên đơn vị thể tích khi thể tích này co lại và tiến tới không.

divA trong hệ trục tọa độ vuông góc

A z

=+

+

div

¶ ¶ ¶

A

A x xy

A y z

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

25

(C14) ¶ ¶ ¶

3.5. Divergence 2. Divergence trong RCS, CCS, và SCS.

D

D

z

=+

+

div

¶ ¶ ¶

D

(

R

)

D x xy

y z

(15) ¶ ¶ ¶

1

¶ ¶ ¶

(16)

D divD

D f C

D z z

1 + =+ ()( ) rr rrr f

¶ ¶ ¶

1

D f

2

¶ ¶ ¶

()(sin)( ) r

qq

11 2

rr

+ S sinsin qqq

r f

(17) ¶ ¶ ¶

=+ D divrDD r

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

26

• Nếu divD > 0 tại P thì P là điểm nguồn của D • Nếu divD < 0 tại P thì P là điểm giếng của D

3.5. Divergence

VD 3.4. Tìm divD tại gốc tọa độ

D = e–xsinyax – e–x cosyay + 2zaz

GIẢI. Sử dụng công thức (15):

D

D

z

=+

+

div

¶ ¶ ¶

D

D x xy

y z

¶ ¶ ¶

= –e–xsiny + e–xsiny + 2 = 2

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

27

Giátr ị củadiv D là hằng số 2. Nếu đơn vị của D làC/m 2,thì đơn vị củadiv D làC/m 3. Đâylà mật độ điệntíchkh ối, kháini ệm này sẽđượ c họctrongph ần tới.

Ineachofthefollowingparts,find a

3.5. Divergence DRILLPROBLEM3.7. numericalvaluefordiv D atthepointspecified: (a) D = (2xyz – y2) ax + (x2z –2xy) ay + x2yaz (C/m2)

at PA (2, 3, –1)

(b) D = 2r z2sin2f ar + r z2sin2f af + 2r 2zsin2f az (C/m2)

at PB (r = 2, f = 110o, z = –1).

(c) D = 2rsinq cosf ar + rcosq cos f aq –rsin f af (C/m2)

at PC (r = 1.5, q = 30o, f = 50o)

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

28

ANSWERS: (a) –10.00 (C/m3); (b) 9.06 (C/m3); (c) 1.29 (C/m3)

3.6. Phương Trình Maxwell Thứ Nhất (Trường điện tĩnh)

Divergence đượcxác định:

(cid:215)

D

d

S

S

=

=

div

D y (cid:242) D (18)

D

(cid:209)

v

0

limlim v v 0

v

D D D fi D fi

D

D

z

=+

+

div

¶ ¶ ¶

D

y z

div

D x xy r=D

v

(19) ¶ ¶ ¶

• (18) là định nghĩa của divergence. • (19)là côngth ức để xác định divergence của mộtvect ơ • (20)làcôngth ức(11) đượcvi ếtlà từ mới divD

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

29

(20)

3.6. Phương Trình Maxwell Thứ Nhất (Trường điện tĩnh)

y= D

Công thức (20), ĐL Gauss có:

Q

D

=

D y D

Chia 2 vế cho D v

v

Q v

D D

Cho thể tích D v tiến dần về 0

=

D y D

v

0

limlim v v 0

Q v

D D D fi D fi

v

l ĐâylàPh ươngtrình Maxwell thứ nhất trong 4ph ươngtrình

divD = r Hoặc (20)

l ĐLGauss g ọilà dạngtíchphân của phươngtrìnhMaxwell.

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

30

Maxwell, vàcòn g ọilà dạng điểm của ĐLGauss .

Phương Trình Maxwell Thứ Nhất (Trường điện tĩnh)

VDC3.5. Kiểmtraph ươngtrình Maxwellth ứ nhất từ giátr ị divD do một điệntích Q đặt tại gốcO t ạora.

GIẢI. Mật độ điện thông theo công thức (1), có thể viết:

Q

=

(C15) D = Drar + Dq aq + Df af

;

D r

rp 4

2 Sử dụng (17) để tính divD tại điểm P(r, q

Với Dq =0;

Df = 0 , f ):

D f

)

2 rD

q

r

¶ ¶ ¶

+ sinsin qqq

1 D q r f

¶ ¶ ¶

=

=

0

(cid:230) (cid:246) (cid:231) (cid:247) (if r „ 0)

11 =+ div(sin ) D 2 r 1 2

( rr d Q 4 dr p

r

Ł ł

v = 0 khắp mơi, ngoại trừ ở gốc O thì nó bằng vô cùng

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

31

Vậy r

3.6. Maxwell’s First Equation (Electrostatics)

Ineachofthefollowingparts,

the volume charge density

2

DRILLPROBLEM3.8. determine an expression for associatetwiththe D field:

-

a

(a)

=+ Daa

z

2

42 xyxx y xy z

z

2 2 z (b) D =zsin f ar +zcos f af + r sinf az (c) D =sin q sinf ar +cos q sinf aq +cos f af

4

2

2

(a)(

x

+ )

z

ANSWERS.

y 3

z

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

32

; (b)0; (c) 0

3.7. Toán tử vectơ (cid:209) và định lý Divergence

1. Toán tử (cid:209):Ta định nghĩa toán tử del (cid:209) là toán tử vectơ

=+

+

¶ ¶ ¶

(21)

a

(cid:209)

z

¶xy

¶ ¶

a xy

a z

Khilàmtoán v ớitoán t ử (cid:209), cứ xemnónh ư một vectơ bình thường với điềuki ệnthaytoánnhânvô h ướng bỡicác đạohàm riêng tương ứng.

(

)

¶ ¶ ¶ (cid:230) (cid:246) (cid:215) (cid:215) Da a DD D (cid:209) (cid:231) (cid:247) + aaaa xyzxxyyz z ¶ ¶ ¶ =+++ xy z Ł ł

D

D

z

=+

=+

+

+ )

D

D

D ()()( xy

z

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

xy

z

D x xy

y z

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

D

D

z

¶ ¶ ¶

==+

+

div

Vậy (cid:215) (16)

D

D(cid:209)

D x xy

y z

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

33

¶ ¶ ¶

3.7. Toán tử vectơ (cid:209) và định lý Divergence

2. Định lý Divergence Từ ĐL Gauss và ph ương trình Maxwell, ta có:

(cid:215) (cid:215)

D

S

D

r

(cid:209)

v

Sv

=== dQdvdv v

(cid:242) (cid:242) (cid:242)

(cid:209)

Địnhlý Divergence

(22) (cid:215) (cid:215)

D

= S ddv

D

(cid:209)

v

S

(cid:242) (cid:242)

(cid:209)

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

34

3.7. Toán tử vectơ (cid:209) và định lý Divergence

VD3.5. Kiểmtra địnhlýdivergence đối vớitr ườngvect ơ D = 2xyax + x2ay (C/m2), vlàhình h ộpxác định bỡi 6 mặt x = 0 và1, y = 0và2, z = 0và3.

3

GIẢI

= 2412

S

(cid:215) • (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242)

32 == S dydydzdz 00

0

32 1

=

2212

•

D(cid:209) D(cid:209) (cid:215)

v

== dvydvydxdydz v

00

0

(cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242)

=

+

2 =

D.

)xy2(

)x(

y2

x

y

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

35

¶ ¶ (cid:209) Với ¶ ¶

3.7. Toán tử vectơ (cid:209) và định lý Divergence

DRILL PROBLEM 3.9 Given the field

(C/m2), D = 6r sin (f /2)ar +1.5r cos (f /2)af

evaluatebothsidesofthedivergencetheoremfortheregion

boundedbythefivesurfaces:

r =2, f =0, f = p ,z= 0andz= 5

ANSWERS: 225; 225

Chapter 3. Quizzes

16/01/2013

CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM

36